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5Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 119
e n g u a j e a l g e b r a i c o
1 Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraicapara cada uno de los siguientes enunciados:
a) El triple de x.
b)La mitad de su anterior.
c) El resultado de sumarle tres unidades.
d)La mitad de un número tres unidades mayor que x.
e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades.
f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x.
a) 3x b) c) x + 3
d) e) 3 · (x + 5) f ) 3x + 5
2 Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series:
a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ?
b)3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ?
c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ?
d)4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ?
a) an = 2n b) bn = 2n + 1 c) cn = 5n d) dn = 5n – 1
3 Copia y completa las casillas vacías.
4 El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4.Escribe los cinco primeros términos de dicha serie.
an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21
1 2 3 4 5 … n
1 3 6 10 15 …n(n + 1)—
2
1 2 3 4 5 … n
2 –7 –22 –43 –70 … 5 – 3n2
1 2 3 4 5 … n
10 …n(n + 1)—
2
1 2 3 4 5 … n
–22 … 5 – 3n2
x + 32
x – 12
L
Pág. 1
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
5 El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión:
an =
Calcula los términos a5, a9 y a15.
an = 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22
6 Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula
a =
completa la tabla.
7 Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraica-mente:
a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.
b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.
c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y enNavidad.
a) 0,8x
b) x + 0,8x 8 1,8x
c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x
8 Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados:
a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado,obtienes el triple de dicho número.
b)Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes laedad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge.
Edad de Jorge ÄÄ8 x
Edad del padre ÄÄ8 x + 33
a) = 3x
b) 3x + 5 = x + 33
x + 152
b 0 0 2 3 4
c 0 5 7 3 9
a 0 2 4 3 6
b 0 0 2 3 4
c 0 5 7 3 9
a
3b + 2c5
3n – 12
3n – 12
Pág. 2
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
o n o m i o s
9 Copia y completa.
10 Opera.
a) 2x + 8x b)7a – 5ac) 6a + 6a d)15x – 9xe) 3x + x f ) 10a – ag) a + 7a h)2x – 5xi) 9x + 2x j) 9a – 9a
a) 2x + 8x = 10x b) 7a – 5a = 2a
c) 6a + 6a = 12a d) 15x – 9x = 6x
e) 3x + x = 4x f ) 10a – a = 9a
g) a + 7a = 8a h) 2x – 5x = –3x
i) 9x + 2x = 11x j) 9a – 9a = 0
11 Reduce.
a) 3x + y + 5x b)2a + 4 – 5ac) 7 – a – 5 d)3 + 2x – 7
e) 2x + 3 – 9x + 1 f ) a – 6 – 2a + 7
g) 8a – 6 – 3a – 1 h)5x – 2 – 6x – 1
a) 3x + y + 5x = 8x + y b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4
c) 7 – a – 5 = –a + 2 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4
e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1
g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3
M O N O M I O 8a2—xy3 a3b
C O E F I C I E N T E 82—3
1
PA RT E L I T E R A L a xy a3b
G R A D O 1 2 4
M O N O M I O 8a2—xy3
C O E F I C I E N T E 1
PA RT E L I T E R A L a3b
G R A D O
MPág. 3
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 120
12 Quita paréntesis y reduce.
a) x – (x – 2) b)3x + (2x + 3)
c) (5x – 1) – (2x + 1) d)(7x – 4) + (1 – 6x)
e) (1 – 3x) – (1 – 5x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1)
g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)
a) x – (x – 2) = 2
b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3
c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2
d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3
e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x
f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4
g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3
h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2
13 Opera y reduce.
a) 5x · 2 b)6x : 2
c) 3x · 4x d)12x : 3x
e) x · 6x f ) x2 : x
g) x2 · x3 h)x5 : x2
i) 3x · 5x3 j) 15x6 : 5x4
k) (–2x2) · (–3x4) l) (–20x8) : 5x7
m) x3 · (–3x3) n) x2 : (–2x3)
ñ) x · x2 o) x : x3
a) 5x · 2 = 10x b) 6x : 2 = 3x
c) 3x · 4x = 12x2 d) 12x : 3x = 4
e) x · 6x = 4x2 f ) x2 : x = 3x
g) x2 · x3 = x5 h) x5 : x2 = x3
i) 3x · 5x3 = 15x4 j) 15x6 : 5x4 = 3x2
k) (–2x2) · (–3x4) = 6x6 l) (–20x8) : 5x7 = –4x
m) x3 · (–3x3) = –4x6 n) x2 : (–2x3) = –
ñ) x · x2 = o) x : x3 = 9x2
16
32
x3
323
12
15x
25
43
14
34
23
16
32
23
12
25
43
14
34
23
Pág. 4
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
o l i n o m i o s
14 Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
a) x3 + 3x2 + 2x – 6 b)4 – 3x2
c) 2x5 – 4x2 + 1 d)7x4 – x3 + x2 + 1
a) Grado 3. b) Grado 2.
c) Grado 5. d) Grado 4.
15 Reduce.
a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 b)3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1
c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 d)5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4
a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 = 2x2 – 3x – 4
b) 3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1 = x2 + 7x – 1
c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 = x3 + 4x2 – 6x
d) 5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4 = 6x3 – 7x2 – x + 3
16 Quita paréntesis y reduce.
a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3)
c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) d)(3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x)
a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x2 – 3x – 2
b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3) = 4x2 – 2x + 3
c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) = 2x2 – 2x + 9
d) (3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x) = 4x2 – 8x – 3
17 Copia y completa.
18 Considera los polinomios siguientes:
A = 3x3 – 6x2 + 4x – 2 B = x3 – 3x + 1 C = 2x2 + 4x – 5
Calcula.
a) A + B b)A + B + C c) A – Bd)B – C e) A + B – C f ) A – B – C
a) A + B = 4x3 – 6x2 + x – 1 b) A + B + C = 4x3 – 4x2 + 5x – 6
c) A – B = 2x3 – 6x2 + 7x – 3 d) B – C = x3 – 2x2 – 7x + 6
e) A + B – C = 4x3 – 8x2 – 3x + 4 f ) A – B – C = 2x3 – 8x2 + 3x + 2
2x3 – 3x2 + 4x – 8+ 4x3 + 5x2 – 5x – 2
6x3 + 2x2 – x – 10
3x2 – 5x – 5+ 2x2 + 4x – 1
5x2 – x – 6
■■x3 – 3x2 + ■■x – 8+ 4x3 + ■■x2 – 5x – ■■
6x3 + 2x2 – x – 10
3x2 – 5x – 5+ ■■x2 + ■■x – ■■
5x2 – x – 6
PPág. 5
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
19 Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo:
• (–x2) · (4x3 – 7x2 – x + 9) =
= 4x3 · (–x2) – 7x2 · (–x2) – x · (–x2) + 9 · (–x2) =
= –4x5 + 7x4 + x3 – 9x2
a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2)
b) (–4) · (2x2 – 5x – 1)
c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1)
d)x2 · (5x2 + 3x + 4)
e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2)
a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x + 4
b) (–4) · (2x2 – 5x – 1) = –8x2 + 20x + 4
c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1) = 3x4 – 4x3 – 6x2 – x
d) x2 · (5x2 + 3x + 4) = 5x4 + 3x3 + 4x2
e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2) = –2x4 + 4x3 – 6x2 – 4x
20 Reduce.
a) 2(3x – 1) + 3(x + 2)
b)5(x – 2) – 2(2x + 1)
c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5)
d)4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1)
e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3)
a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4
b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12
c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x2 – 8x – 13
d) 4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1) = 5x2 – 23x + 9
e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3) = 3x2 – 14x + 9
21 Multiplica.
a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5)
c) (2x + 3) · (3x – 4) d)(x + 1) · (x2 + x + 1)
e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)
g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)
a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x2 – 5x + 3
b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x2 – 17x + 10
c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x2 + x – 12
d) (x + 1) · (x2 + x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1
e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) = 4x3 – 8x2 + 7x – 2
f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1) = 3x4 – 4x3 + 11x2 + 13x + 2
g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3) = 2x5 – 9x4 + 26x2 + 6x – 9
Pág. 6
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 121
22 Resuelto en el libro de texto.
23 Calcula.
a) (x2 + 1) · (x – 2) b) (2x2 – 1) · (x2 + 3)
c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) d)(x2 + 2) · (x3 – 3x + 1)
a) (x2 + 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2
b) (2x2 – 1) · (x2 + 3) = 2x4 + 5x2 – 3
c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) = 6x4 – 9x3 – 4x2 + 10x – 6
d) (x2 + 2) · (x3 – 3x + 1) = x5 – x3 + x2 – 6x + 2
24 Opera como en el ejemplo.
• (x2 + 3) · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) + 3 · (x2 – 1) =
= x3 – x2 + 3x2 – 3 = x3 + 2x2 – 3
a) (x + 1) · (x2 + 4) b) (x3 + 1) · (x2 + 5)
c) (x2 – 2) · (x + 7) d)(x3 – 3x + 5) · (2x – 1)
a) (x + 1) · (x2 + 4) = x3 + x2 + 4x + 4
b) (x3 + 1) · (x2 + 5) = x5 + 5x3 + x2 + 5
c) (x2 – 2) · (x + 7) = x3 + 7x2 – 2x – 14
d) (x3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x4 – x3 – 6x2 + 13x – 5
25 Reduce.
a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1)
b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2)
c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2)
d)(4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12)
a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1) = 5x + 1
b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x2 + 5x – 10
c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2) = 3x2 – 8x + 7
d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12) = 2x2 – 4x – 3
26 Resuelto en el libro de texto.
27 Realiza las divisiones siguientes:
a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 c) (3x2 – x) : xd)(4x3 – 8x2) : 2x e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x f ) (12x3 + 9x2) : 3x2
a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3 b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1
c) (3x2 – x) : x = 3x – 1 d) (4x3 – 8x2) : 2x = 2x2 – 4x
e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x = 2x2 – x + 3 f ) (12x3 + 9x2) : 3x2 = 4x + 3
Pág. 7
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
r o d u c t o s n o t a b l e s y e x t r a c c i ó n d e f a c t o r c o m ú n
28 Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios:
a) 3x + 3y + 3z b)2x – 5xy + 3xzc) a2 + 3a d)3a – 6be) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x2 + 12x3
g) 9a + 6a2 + 3a3 h)2a2 – 5a3 + a4
a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z )
b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z )
c) a2 + 3a = a (a + 3)
d) 3a – 6b = 3(a – 2b )
e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z )
f ) 4x – 8x2 + 12x3 = 4x (1 – 2x + 3x2)
g) 9a + 6a2 + 3a3 = 3a (3 + 2a + a2)
h) 2a2 – 5a3 + a4 = a2(2 – 5a + a2)
29 Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los pro-ductos notables.
a) (x + 3)2 b) (3 + a)2
c) (2 – x)2 d)(a – 6)2
e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2
g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5)
a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2
c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36
e) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2
g) (x – 5) · (x + 5) = x2 – 25 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x2 – 25
30 Resuelto en el libro de texto.
31 Descompón en factores.
a) x2 – 6x + 9 b)x3 – 9xc) 3x2 + 6x + 3 d)2x3 – 12x2 + 18xe) x4 – x2 f ) 4x2 + 4x + 1
a) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3)
b) x3 – 9x = x (x2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3)
c) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1)
d) 2x3 – 12x2 + 18x = 2x · (x2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3)
e) x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x + 1) · (x – 1)
f ) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)
PPág. 8
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a los ejercicios y problemas
32 Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, sim-plifica.
a) b) c) d)
a) = =
b) = =
c) = =
d) = =
33 Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, sim-plifica.
a) b)
c) d)
e) f )
a) = =
b) = =
c) = =
d) = =
e) = =
f ) = = 3(x + 1)5x
3(x + 1)2
5x (x + 1)3x2 + 6x + 3
5x2 + 5x
1x – 3
2x (x – 3)2x (x – 3)2
2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x
x + 15x
(x + 1)2
5x (x + 1)x2 + 2x + 15x2 + 5x
1x – 1
3(x + 1)3(x + 1)(x – 1)
3x + 33x2 – 3
5x + 3
5(x + 3)(x + 3)2
5x + 15x2 + 6x + 9
x + 3x – 3
(x + 3)(x – 3)(x – 3)2
x2 – 9x2 – 6x + 9
3x2 + 6x + 35x2 + 5x
2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x
x2 + 2x + 15x2 + 5x
3x + 33x2 – 3
5x + 15x2 + 6x + 9
x2 – 9x2 – 6x + 9
x – 1x2
2x (x – 1)2x3
2x2 – 2x2x3
23x
2x (x + 5)3x2(x + 5)
2x2 + 10x3x3 + 15x2
1x + 2
xx (x + 2)
xx2 + 2x
23
2(x + 1)3(x + 1)
2x + 23x + 3
2x2 – 2x2x3
2x2 + 10x3x3 + 15x2
xx2 + 2x
2x + 23x + 3
Pág. 9
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 106
Ya has visto algunas expresiones matemáticas en las que intervienenlas letras.Ahora, vas a aprender a manejar estas expresiones iniciando el estudiodel álgebra.
1 Calcula el I.M.C. de estos modelos:BERTA. Pesa 59 kg y mide 1,80 m.IRINA. Pesa 54 kg y mide 1,79 m.RAÚL. Pesa 67 kg y mide 1,82 m.¿Les contratará la pasarela de la moda?
SÍ NO——— ———
Berta 8 I.M.C. = = 19,21 8 Contratada Ò
Irina 8 I.M.C. = = 16,85 8 Contratada Ò
Raúl 8 I.M.C. = = 20,23 8 Contratado Ò
2 Pésate, mídete y calcula tu I.M.C.Consulta: ¿Cuál es el adecuado para tu edad? (Ver CD-ROM).
Pregunta abierta.
67(1,82)2
54(1,79)2
59(1,8)2
Pág. 1
Unidad 5. Álgebra
EL MUNDO DE LA MODAPLANTA CARA A LA ANOREXIA
La pasarela Ibermoda XXI nocontratará en la presente ediciónmodelos con un Índice de MasaCorporal inferior a 18. Dicho ín-dice se calcula con la fórmula:
I.M.C. =
siendo P el peso (en kilos) y ala altura (en metros).La medida supone una llamadade atención a la sociedad
Pa2
PASARELA IBERMODA XXITARIFAS DE RETRIBUCIÓN DE LOS MODELOS
S = n · S 8 Sueldo (€)n 8 n.º de días de contrato
°¢£
30 000n + 10
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
3 Calcula la retribución de un modelo según trabaje 1, 2, 3, 5 ó 10 días.
PÁGINA 107
ANTES DE COMENZAR, RECUERDA
1 Calcula el área de este trapecio teniendo en cuenta la fórmula:
ATRAPECIO
= · a
ATRAPECIO
= · 10 = 130 m2
2 Completa.
a) 5 · (6 + 8) = 5 · + 5 ·
b)30 + 24 = 6 · + 6 · = 6 · ( + ) = 6 ·
a) 5 · (6 + 8) = 5 · + 5 ·
b) 30 + 24 = 6 · + 6 · = 6 · ( + ) = 6 ·
3 Calcula de dos formas (quitando y sin quitar paréntesis).
a) 8 – (9 – 5 + 2) b)3 – (2 + 3 – 11)
a) 8 – (9 – 5 + 2) = 8 – 9 + 5 – 2 = 2
8 – (9 – 5 + 2) = 8 – (6) = 2
b) 3 – (2 + 3 – 11) = 3 – 2 – 3 + 11 = 9
3 – (2 + 3 – 11) = 3 – (–6) = 3 + 6 = 9
94545
86
8 + 192
b2 = 18 m
b1 = 8 m
a = 10 mb1 + b2
2
D Í A S T R A B A J A D O S (n )30 000
C Á L C U L O : n · —n + 10
R E T R I B U C I Ó N
130 000
1 · —1 + 10 2 727,27 €
230 000
2 · —2 + 10 5 000 €
330 000
3 · —3 + 10 6 923,08 €
530 000
5 · —5 + 10 10 000 €
1030 000
10 · —10 + 10 15 000 €
Pág. 2
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
4 Simplifica:
a) a – (a – b) – b b) a + (a – b) – b
a) a – (a – b ) – b = a – a + b – b = 0
b) a + (a – b ) – b = a + a – b – b = 2a – 2b
5 Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b) = =
c) = = d) =
6 Simplifica:
a) m2 · m b)a2 · a4 c) d)
a) m2 · m = m3 b) a2 · a4 = a6 c) = x d) =
PÁGINA 109
1 ¿Cuál de las identidades de la derecha corresponde al enunciado de la izquierda?
Propiedad asociativa de la multiplicación
(a · b ) · c = a · (b · c )
2 Copia y completa las casillas vacías.
1 2 3 4 5 … n
3 8 15 24 35 … n2 + 2n
1 2 3 4 5 … n
1 4 7 10 13 … 3n – 2
1 2 3 4 5 … n
15 … n2 + 2n
1 2 3 4 5 … n
10 … 3n – 2
a · b · c = c · a · b
(a · b) · c = a · (b · c)
a · (c + 1) = a · c + a
°§§¢§§£
Si al multiplicar tres omás números se agrupande diferentes formas, elresultado no varía.
1a2
a · a2
a2 · a3x5
x4
a · a2
a2 · a3x5
x4
ab
a2
ab12
88 · 2
816
56
9 · 59 · 6
4554
34
3 · 154 · 15
4560
a2
ab816
4554
4560
Pág. 3
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
3 Escribe los cinco primeros elementos de la serie cuyo término general es:
an =
4 Completa la tabla siguiente:
5 Escribe el término general de estas series:
a) 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - … 8 an = ? b)0 - 3 - 8 - 15 - 24 - … 8 bn = ?
a) 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - … 8 an = n2 b) 0 - 3 - 8 - 15 - 24 - … 8 bn = n2 – 1
6 La suma de los n primeros números naturales es:
1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
Calcula la suma 1 + 2 + 3 + … + 50.
1 + 2 + 3 + … + 50 = = 1 275
7 El sueldo mensual bruto, el IRPF y el sueldo neto de los empleados de una em-presa se calculan con las siguientes fórmulas:
¿Cuánto cobrará este mes un trabajador con 8 años de antigüedad y que tieneacumuladas 21 horas extra?
Cobrará 963,90 €.
SB
= 900 + 3 · 8 + 10 · 21 = 1 134 € SN
= 0,85 · SB
= 0,85 · 1 134 = 963,90 €
a = Antigüedad (años)
b = Horas extraordinarias
SB = 900 + 3a + 10b
IRPF = 0,15 · SB
SN = 0,85 · SB
502 + 502
n2 + n2
1 2 3 4 5 … n
3 6 9 12 15 … 3n
2 5 8 11 14 … 3n – 1
15—2
411—2
7 …3n – 1—
2
1 2 3 4 5 … n
3 6 9 12 15 …
2 5 8 11 14 …
15—2
411—2
7 …
n 1 2 3 4 5
3n + 1—
22
7—2
513—2
8
3n + 12
Pág. 4
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
8 Traduce a lenguaje algebraico las edades de los miembros de esta familia:
9 Teniendo en cuenta a la familia del ejercicio anterior, escribe una igualdad querefleje este nuevo dato:
— El padre de Sara tiene 5 años más que la madre.
Calcula por tanteo la edad de Sara.
= + 5
= + 5
4x = x + 30 8 4x – x = 30 8 3x = 30 8 x = 30 : 3 = 10
La edad de Sara es 10 años.
PÁGINA 1111 Copia y completa.
M O N O M I O 8a –3x a2b2—xy43
C O E F I C I E N T E1—4
PA RT E L I T E R A L ab
G R A D O
x + 254x
EDAD MADREEDAD PADRE
Pág. 5
Unidad 5. Álgebra
E D A D
SARA
Tiene x años. x
ROSA (hermana mayor)Le saca 2 años a Sara.
ANA (madre)Tenía 25 años cuando Sara nació.
JOAQUÍN (padre)Cuadruplica la edad de Sara.
E D A D
SARA
Tiene x años. x
ROSA (hermana mayor)Le saca 2 años a Sara. x + 2
ANA (madre)Tenía 25 años cuando Sara nació. x + 25
JOAQUÍN (padre)Cuadruplica la edad de Sara. 4x
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
3 Suma los monomios siguientes:
a) a + a b)m + m + m c) x + x + xd)n + n + n + n e) x2 + x2 f ) a3 + a3 + a3 + a3
a) a + a = 2a b) m + m + m = 3m c) x + x + x = 3x
d) n + n + n + n = 4n e) x2 + x2 = 2x2 f ) a3 + a3 + a3 + a3 = 4a3
5 Suma las siguientes expresiones:
a) 4a + a b)x + 5x c) 5m + 3md)4n + 4n e) 3x2 + 6x2 f ) 5a2 + a2 + 2a2
g) m3 + 2m3 + 4m3 h)3x4 + 6x4 + 2x4
a) 4a + a = 5a b) x + 5x = 6x
c) 5m + 3m = 8m d) 4n + 4n = 8n
e) 3x2 + 6x2 = 9x2 f ) 5a2 + a2 + 2a2 = 8a2
g) m3 + 2m3 + 4m3 = 7m3 h) 3x4 + 6x4 + 2x4 = 11x4
7 Resta estos monomios:
a) 8x – 3x b)4a – 7a c) 7m – md)8n – 7n e) 11x2 – 6x2 f ) 5a2 – 9a2
g) 7m3 – 4m3 h)4n4 – n4
a) 8x – 3x = 5x b) 4a – 7a = –3a c) 7m – m = 6m
d) 8n – 7n = n e) 11x2 – 6x2 = 5x2 f ) 5a2 – 9a2 = –4a2
g) 7m3 – 4m3 = 3m3 h) 4n4 – n4 = 3n4
9 Reduce todo lo posible.
a) 3x + x + 2 + 6 b)4a + 2a – 7 + 5
c) 3a + 3 – 2a + 1 d)5 – 3x + 4x – 4
e) 5x + 2 – 3x + x f ) 2a – 3 – 2 + 3ag) 7 – 4a – 7 + 5a h)4x – 3 – 4x + 2
a) 3x + x + 2 + 6 = 4x + 8 b) 4a + 2a – 7 + 5 = 6a – 2
c) 3a + 3 – 2a + 1 = a + 4 d) 5 – 3x + 4x – 4 = x + 1
e) 5x + 2 – 3x + x = 3x + 2 f ) 2a – 3 – 2 + 3a = 5a – 5
g) 7 – 4a – 7 + 5a = a h) 4x – 3 – 4x + 2 = –1
M O N O M I O 8a –3x a2b2—xy43
1— ab4
C O E F I C I E N T E 8 –3 12—3
1—4
PA RT E L I T E R A L a x a2b xy4 ab
G R A D O 1 1 3 5 2
Pág. 6
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
10 Reduce.
a) x2 + 4 + x2 + 1 b)5x2 – 3 – 4x2 + 1
c) x2 – 6x + 2x + x2 d)3x + 4x2 – x2 + xe) x2 + 4x + 1 + 2x + 3 f ) 5x2 + 3x – 4x2 – 2x + 1
g) 3x2 + 4 – x2 + 2x – 5 h)10 – 3x + x2 – 7 – 4x
a) x2 + 4 + x2 + 1 = 2x2 + 5 b) 5x2 – 3 – 4x2 + 1 = x2 – 2
c) x2 – 6x + 2x + x2 = 2x2 – 4x d) 3x + 4x2 – x2 + x = 3x2 + 4x
e) x2 + 4x + 1 + 2x + 3 = x2 + 6x + 4 f ) 5x2 + 3x – 4x2 – 2x + 1 = x2 + x + 1
g) 3x2 + 4 – x2 + 2x – 5 = 2x2 + 2x – 1 h) 10 – 3x + x2 – 7 – 4x = x2 – 7x + 3
12 Quita paréntesis y reduce.
a) 3x + (2x – 1) b)7x – (5x – 4)
c) 6x – (4x + 2) d)3x – (x + 5)
e) (x – 5) + (x – 3) f ) (4x + 2) – (3x + 2)
a) 3x + (2x – 1) = 3x + 2x – 1 = 5x – 1
b) 7x – (5x – 4) = 7x – 5x + 4 = 2x + 4
c) 6x – (4x + 2) = 6x – 4x – 2 = 2x – 2
d) 3x – (x + 5) = 3x – x – 5 = 2x – 5
e) (x – 5) + (x – 3) = x – 5 + x – 3 = 2x – 8
f ) (4x + 2) – (3x + 2) = 4x + 2 – 3x – 2 = x
13 Quita paréntesis y reduce.
a) (3x2 – 5x + 2) + (x2 – 2x + 1)
b) (5x2 – 2x – 3) – (4x2 + 3x – 1)
c) (x – 3) + (x2 + 2x + 1)
d)(6x2 – x) – (3x2 – 5x + 6)
a) (3x2 – 5x + 2) + (x2 – 2x + 1) = 3x2 – 5x + 2 + x2 – 2x + 1 = 4x2 – 7x + 3
b) (5x2 – 2x – 3) – (4x2 + 3x – 1) = 5x2 – 2x – 3 – 4x2 – 3x + 1 = x2 – 5x – 2
c) (x – 3) + (x2 + 2x + 1) = x – 3 + x2 + 2x + 1 = x2 + 3x – 2
d) (6x2 – x) – (3x2 – 5x + 6) = 6x2 – x – 3x2 + 5x – 6 = 3x2 + 4x – 6
14 Calcula:
a) El valor numérico de 5x2 para x = 1.
b)El valor numérico de –4x2 para x = –3.
c) El valor numérico de –2xy para x = 3 e y = –5.
a) 5x2 para x = 1 8 5 · 12 = 5
b) –4x2 para x = –3 8 –4 · (–3)2 = -4 · 9 = –36
c) –2xy para x = 3, y = –5 8 –2 · 3 · (–5) = 30
Pág. 7
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 112
15 Haz las multiplicaciones siguientes:
a) (3x) · (5x) b) (–a) · (4a) c) (4a) · (–5a2)
d) · (6x) e) · f ) (5a) · – a2
a) (3x) · (5x) = 3 · 5 · x · x = 15x2
b) (–a) · (4a) = –1 · 4 · a · a = –4a2
c) (4a) · (–5a2) = 4 · (–5) · a · a2 = –20a3
d) · (6x) = · 6 · x2 · x = 3x3
e) · = · · x2 · x2 = x4
f ) (5a) · – a2 = 5 · – a · a2 = –a3
17 Multiplica estos monomios:
a) (3x) · (5xy) b) (–2ab) · (4b)
c) (4x3y) · (xy) d) – ab · – ab
a) (3x) · (5xy) = 3 · 5 · x · x · y = 15x2y
b) (–2ab) · (4b) = –2 · 4 · a · b · b = –8ab2
c) (4x3y) · (xy) = 4 · x3 · x · y · y = 4x4y2
d) – ab · – ab = – · – a · a · b · b = a2b2
18 Simplifica como en los ejemplos.
• = = = 5x • = =
a) b) c)
d) e) f )
a) = = 2x b) =
c) = = d) = = 3a
e) = = f ) = = 1a
8 · a2
8 · a2 · a8a2
8a35x
3 · 5 · x3 · x · x
15x3x2
4 · 3 · a · a4 · a
12a2
4a12
5 · x2 · 5 · x
5x10x
1a
33a
2 · 2 · x2
4x2
8a2
8a315x3x2
12a2
4a
5x10x
33a
4x2
15a
3 · a3 · 5 · a · a
3a15a2
5x1
5 · 4 · x2 · x4 · x2
20x3
4x2
)32(2
3)32()2
3(
)32()2
3(
)15()1
5(16
12
13)x2
2()x2
3(12)x2
2(
)15()x2
2()x2
3()x2
2(
Pág. 8
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
19 Divide.
a) (10x) : (2x) b) (5a2) : (15a2)
c) (14a2) : (–7a) d)(6x3) : (9x2)
e) (10x2) : (5x3) f ) (–5a) : (–5a3)
a) (10x) : (2x) = = 5
b) (5a2) : (15a2) = =
c) (14a2) : (–7a) = = –2a
d) (6x3) : (9x2) = = x
e) (10x2) : (5x3) = =
f ) (–5a) : (–5a3) = =
PÁGINA 113
1 Indica el grado de cada polinomio:
a) x2 – 3x + 7 b)x4 – 2 c) 5x3 – 3x2
a) Grado 2. b) Grado 4. c) Grado 3.
2 Calcula el valor numérico de x3 – 5x2 – 11.
a) Para x = 1.
b)Para x = –1.
a) Para x = 1 8 x3 – 5x2 – 11 = 13 – 5 · 12 – 11 = 1 – 5 – 11 = –15
b) Para x = –1 8 x3 – 5x2 – 11 = (–1)3 – 5 · (–1)2 – 11 = –1 – 5 – 11 = –17
3 Calcula el valor numérico de 3ab2 – 5a + 3b para a = 2 y b = –1.
Para a = 2 y b = –1:
3ab2 – 5a + 3b = 3 · 2 · (–1)2 – 5 · 2 + 3 · (–1) = 6 – 10 – 3 = –7
4 Calcula, por tanteo, los valores de x que anulan cada polinomio:
a) x2 – 2x + 1 b)x3 – 8 c) x4 – x3
a) x2 – 2x + 1 = 0 para x = 1
b) x3 – 8 = 0 para x = 2
c) x4 – x3 = 0 para x = 1 y para x = 0
1a2
–5 · a–5 · a · a2
2x
5 · 2 · x2
5 · x2 · x
23
3 · 2 · x2 · x3 · 3 · x2
7 · 2 · a · a–7 · a
13
5 · a2
3 · 5 · a2
5 · 2x2x
Pág. 9
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 114
5 Copia y completa.
6 Dados los polinomios A = 3x3 – 5x2 – 4x + 4 y B = 2x3 – x2 – 7x – 1, calcula.
a) A + B b)A – B
a) b)
7 Dados los polinomios M = 7x3 – 6x2 + 2 y N = 5x2 – 3x – 5, calcula.
a) M + N b)M – N c) N – M
a) b)
c)
PÁGINA 115
8 Calcula.
a) 3 · (2x + 5) b)5 · (x2 – x)
c) 7 · (x3 – 1) d)(–2) · (5x – 3)
e) x · (x + 1) f ) 2x · (3x – 5)
g) x2 · (5x – 2) h)3x2 · (x + 2)
i) 3x · (x2 – 2) j) 5x · (x2 + x + 1)
a) 3 · (2x + 5) = 6x + 15 b) 5 · (x2 – x) = 5x2 – 5x
c) 7 · (x3 – 1) = 7x3 – 7 d) (–2) · (5x – 3) = –10x + 6
e) x · (x + 1) = x2 + x f ) 2x · (3x – 5) = 6x2 – 10x
g) x2 · (5x – 2) = 5x3 – 2x2 h) 3x2 · (x + 2) = 3x3 + 6x2
i) 3x · (x2 – 2) = 3x3 – 3x2 j) 5x · (x2 + x + 1) = 5x3 + 5x2 + 5x
N 8 5x2 – 3x – 5– M 8 –7x3 + 6x2 + 0x – 2
M + N 8 –7x3 + 11x2 – 3x – 7
M 8 7x3 – 6x2 + 0x + 2– N 8 – 5x2 + 3x + 5
M – N 8 7x3 – 11x2 + 3x + 7
M 8 7x3 – 6x2 + 0x + 2N 8 5x2 – 3x – 5
M + N 8 7x3 – x2 – 3x – 3
A 8 3x3 – 5x2 – 4x + 4– B 8 –2x3 – x2 – 7x – 1
A – B 8 x3 – 4x2 + 3x + 5
A 8 3x3 – 5x2 – 4x + 4B 8 2x3 – x2 – 7x – 1
A + B 8 5x3 – 6x2 – 11x + 3
x3 – 4x2 + 4x – 1+ 2x3 – 2x2 + x + 4
3x3 – 6x2 + 5x + 3
3x3 – 6x2 + 8x + 2+ 2x3 + 2x2 – 6x – 9
5x3 – 4x2 + 2x – 7
x2 + 5x – 7+ x2 – 8x + 52x2 – 3x – 2
x3 – 4x2 + ■■ – 1+ ■■ – ■■ + x + ■■
3x3 – 6x2 + 5x + 3
3x3 – 6x2 + 8x + 2+ 2x3 + 2x2 – 6x – 9■■ – ■■ + ■■ – ■■
x2 + 5x – 7+ x2 – 8x + 5■■ – ■■ – ■■
Pág. 10
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
9 Multiplica.
a) (x + 1) · (x – 2) b) (2x – 1) · (x – 1)
c) (2x – 3) · (3x – 2) d)(4 + x) · (2x + 1)
a) (x + 1) · (x – 2) = x · (x – 2) + (x – 2) = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2
b) (2x – 1) · (x – 1) = 2x · (x – 1) – 1 · (x – 1) = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x2 – 3x + 1
c) (2x – 3) · (3x – 2) = 2x · (3x – 2) – 3 · (3x – 2) = 6x2 – 4x – 9x + 6 =
= 6x2 – 13x + 6
d) (4 + x) · (2x + 1) = 4 · (2x + 1) + x · (2x + 1) = 8x + 4 + 2x2 + x = 2x2 + 9x + 4
10 Realiza los siguientes productos:
a) (2x + 1) · (x2 – x – 1)
b) (3x – 2) · (2x2 + 4x – 3)
c) (x2 + 2x – 3) · (3x2 + 5x – 4)
a) (2x + 1) · (x2 – x – 1) = 2x · (x2 – x – 1) + 1 · (x2 – x – 1) =
= 2x3 – 2x2 – 2x + x2 – x – 1 = 2x3 – x2 – 3x – 1
b) (3x – 2) · (2x2 + 4x – 3) = 3x · (2x2 + 4x – 3) – 2 · (2x2 + 4x – 3) =
= 6x3 + 12x2 – 9x – 4x2 – 8x + 6 = 6x3 + 8x2 – 17x + 6
c) x2 + 2x – 3
Ò 3x2 + 5x – 4
–4x2 – 8x + 12
5x3 + 10x2 – 15x
3x4 + 6x3 – 9x2
3x4 + 11x3 – 3x2 – 23x + 12
PÁGINA 117
1 Copia y completa.
a) (x + 1)2 = x2 + 2 · · + 2 = x2 + 2 +
b) (a + 3)2 = 2 + · a · 3 + 2 = a2 + a +
c) (x – 5)2 = x2 – 2 · · + 52 = x2 – x +
d)(a – 2)2 = 2 – 2 · · + 2 = a2 – a +
e) (x + 5) · (x – 5) = 2 – 52 = x2 –
f ) (a – 1) · (a + 1) = 2 – 2 = a2 –
Comprueba los resultados efectuando cada producto.
a) (x + 1)2 = x2 + 2 · · + 2 = x2 + 2 +
b) (a + 3)2 = 2 + · a · 3 + 2 = a2 + a +
c) (x – 5)2 = x2 – 2 · · + 52 = x2 – x + 25105x
9632a
1x11x
Pág. 11
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
d) (a – 2)2 = 2 – 2 · · + 2 = a2 – a +
e) (x + 5) · (x – 5) = 2 – 52 = x2 –
f ) (a – 1) · (a + 1) = 2 – 2 = a2 –
2 Calcula.
a) (x + 4)2 b) (x – 1)2 c) (x – 6) · (x + 6)
d)(a + 2)2 e) (a – 1)2 f ) (a + 4) · (a + 4)
a) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 b) (x – 1)2 = x2 – 2x + 1
c) (x – 6) · (x + 6) = x2 – 36 d) (a + 2)2 = a2 + 4a + 4
e) (a – 1)2 = a2 – 2a + 1 f ) (a + 4) · (a + 4) = (a + 4)2 = a2 + 8a + 16
4 Opera.
a) (2x – y)2 b) (5 – 3x)2 c) (1 + 2a)2
d)(3a + 2b)2 e) (2x + 1) · (2x – 1) f ) (3a – 2b) · (3a + 2b)
a) (2x – y)2 = 4x2 – 4xy + y2 b) (5 – 3x)2 = 25 – 30x + 9x2
c) (1 + 2a)2 = 1 + 4a + 4a2 d) (3a + 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2
e) (2x + 1) · (2x – 1) = 4x2 – 1 f ) (3a – 2b) · (3a + 2b) = 9a2 – 4b2
5 Copia y completa.
a) x2 + 2xy + y2 = ( + )2 b)a2 – 2a + 1 = ( – )2
c) 4x2 + 4x + 1 = ( + )2 d)a2 – 16 = (a + 4) · ( – )a) x2 + 2xy + y2 = ( + )2 b) a2 – 2a + 1 = ( – )2
c) 4x2 + 4x + 1 = ( + )2 d) a2 – 16 = (a + 4) · ( – )
6 Simplifica las fracciones siguientes:
a) b)
c) d)
e) f )
g) h)
a) = =
b) = = a + 3a – 3
(a + 3)(a – 3)(a – 3)2
a2 – 9a2 – 6a + 9
x + yx – y
(x + y)2
(x + y)(x – y)x2 + 2xy + y2
x2 – y2
a2 – 16a + 4
9x2 + 6x + 13x + 1
2a + 34a2 – 9
a2 + 8a + 16a2 – 16
x – 4x2 – 8x + 16
a2 – 1a2 – 2a + 1
a2 – 9a2 – 6a + 9
x2 + 2xy + y2
x2 – y2
4a12x
1ayx
11a
25x
4422aaPág. 12
Unidad 5. Álgebra
5Soluciones a las actividades de cada epígrafe
c) = =
d) = =
e) = =
f ) = =
g) = = 3x + 1
h) = = a – 4
PÁGINA 118
7 Copia y completa.
a) 7x + 7y = 7 · ( + ) b)6a – 9b = 3 · ( – )c) 2x + xy = x · ( + ) d)x + x2 – x3 = x · ( + – )e) 5x2 + 10xy + 15x = 5x · ( + + )a) 7x + 7y = 7 · ( + ) b) 6a – 9b = 3 · ( – )c) 2x + xy = x · ( + ) d) x + x2 – x3 = x · ( + – )e) 5x2 + 10xy + 15x = 5x · ( + + )
8 Extrae factor común.
a) 8x + 8y b)3a + 3b c) 5x + 10
d)8 + 4a e) x2 + xy f ) 2a2 + 6a
a) 8x + 8y = 8 · (x + y) b) 3a + 3b = 3 · (a + b )
c) 5x + 10 = 5 · (x + 2) d) 8 + 4a = 4 · (2 + a)
e) x2 + xy = x · (x + y) f ) 2a2 + 6a = 2a · (a + 3)
9 Simplifica.
a) b) c)
a) = = b) = =
c) = = 11 + x
x2
x2 · (1 + x )x2
x2 + x3
aa + 2b
4a4 · (a + 2b )
4a4a + 8b
3x2 + y
3xx · (2 + y )
3x2x + xy
x2
x2 + x34a
4a + 8b3x
2x + xy
32yx
x2x1y2
3b2ayx
(a + 4)(a – 4)a + 4
a2 – 16a + 4
(3x + 1)2
3x + 19x2 + 6x + 1
3x + 1
12a – 3
2a + 3(2a + 3)(2a – 3)
2a + 34a2 – 9
a + 4a – 4
(a + 4)2
(a + 4)(a – 4)a2 + 8a + 16
a2 – 16
1x – 4
x – 4(x – 4)2
x – 4x2 – 8x + 16
a + 1a – 1
(a + 1)(a – 1)(a – 1)2
a2 – 1a2 – 2a + 1
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Unidad 5. Álgebra