Ejercicio 1.

Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )=x3− x2−6 x y el eje X. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

Dllo

Se calculan los puntos de corte de f(x) con el eje X de la siguiente manera y graficamos la función para una mejor comprensión del ejercicio:

f ( x )=x3− x2−6 x

Pasamos de lado los términos de la función e igualamos a cero 0−x3+x2+6 x=0

Sacamos factor común por agrupación de términosx (−x¿¿2+x+6)=0¿

Calculamos los puntos de corte de la función con el eje xx1=−2 , x2=0 , x2=3

Integramos la función obtenida

∫(−x3+ x2+6 x )dx

Aplicar la regla de la suma∫ f ( x )± g (x )dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x )dx

∫−x3dx+∫ x2dx+∫6 x dx

Entonces integramos el primer término ∫−x3dx

Aplicar la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

∫−x3dx=−x3+1

3+1=−x4

4

Entonces integramos el segundo término ∫ x2dx

Aplicar la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

∫ x2dx= x2+1

2+1= x

3

3

Entonces integramos el tercer término ∫6 xdx

Sacamos la constante de la integral∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

6∫ xdx

Aplicar la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

6∫ xdx=6 x1+1

1+1=6 x

2

2=3 x2

Finalmente

∫−x3+x2+6 xdx=−x4

4+ x

3

3+3 x2

De acuerdo a los puntos de corte de la función con el eje xx1=−2 , x2=0 , x3=3

Reemplazamos los puntos de corte de la función con el eje x en la función integrada

Para x1=−2

F (−2 )=− (−2 )4

4+

(−2 )3

3+3 (−2 )2=16

3=5.3333

Para x2=0

F (0 )=−(0 )4

4+

(0 )3

3+3 (0 )2=0

Para x3=3

F (3 )=− (3 )4

4+

(3 )3

3+3 (3 )2=63

4=15.75

Finamente calculamos el área

A1=¿

A2=¿

El áreatotal A es :

A=A1+A2=5.3333u2+15.75u2=21.0833u2