Sucesiones 2015 2_3

Unidad 2. Funciones Sucesiones

Sucesiones parte 3

Ejercicio 4.- Suponga que tiene kn discos circulares ocupando n renglones e inscritos en un triángulo

equilatero como se ve el la �gura

Entonces k1 = 1, k2 = 1 + 2 = 3, k3 = 1 + 2 + 3 = 6, ...Sea A el área del triangulo equilatero y sea Akn el área total de los kn discos.

Hallar

lımn→∞

AknA

Solución Primero calcularemos el área del triangulo

Según la �gura, por le teorema de pitagoras

h2 +(a

2

)2

= a2 ⇒ h =

√3a

2

por lo tanto el área del triángulo sera:

A =a ·√3a2

2⇒ A =

√3a2

4

Ahora bien h es bisectriz del triángulo equilatero

por lo tanto los ángulos α son iguales, también

ambos triángulo tienen un angulo recto y por lo

tanto el tercer ángulo β es el mismo en el otro

triángulo.

Por lo tanto son triángulos semejantes

Facultad de Ciencias UNAM

Cálculo Diferencial e Integral 1

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz

1


Por semejanza de triángulos se tiene

√3a2a2

=x

r⇒√

3 =x

r⇒ x = r

√3

Según la �gura

2x = a ⇒ x =a

2

Sustituimos en

x = r√

3 ⇒ a

2= r√

3 ⇒ r =a

2√

3

Para el caso k2 = 1 + 2 = 3 tiene

por semejanza de triángulos

√3a2a2

=x

r⇒√

3 =x

r⇒ x = r

√3

también

2x+2r = a ⇒ 2r√

3+2r = a ⇒ r =a

2√

3 + 2

Para el caso k3 = 1 + 2 + 3 = 6 tiene

por semejanza de triángulos

√3a2a2

=x

r⇒√

3 =x

r⇒ x = r

√3

también

2x+4r = a ⇒ 2r√

3+4r = a ⇒ r =a

2√

3 + 4

continuando con este proceso se tiene la sucesión de radios

a

2√

3,

a

2√

3 + 2,

a

2√

3 + 4, ...,

a

2√

3 + 2(n− 1)




2


Ahora bien para sumar las áreas de los circulos kn correspondientes se tiene

Ak1 = (1)π

(a

2√

3

)2

, Ak2 = (1+2)π

(a

2√

3 + 2

)2

, Ak3 = (1+2+3)π

(a

2√

3 + 4

)2

,

..., Akn

(n(n+ 1)

2

)π

(a

2√

3 + 2(n− 1)

)2

Vamos ahora a calcular el límite

lımn→∞

AknA

= lımn→∞

(n(n+ 1)

2

)π(

a2√3+2(n−1)

)2

√3a2

4

= lımn→∞

4n(n+ 1)πa2

2√

3(2√

3 + 2(n− 1))2a2= lımn→∞

n(n+ 1)π

2√

3(√

3 + (n− 1))2

= lımn→∞

π

2√

3· n2 + n

(2√

3 + (n− 1))2= lımn→∞

π

2√

3·

n2

n2 + nn2

( 2√3

n + (n−1)n )2

=π

2√

3




3


Ejercicio En la �gura se ilustran dos circulos C y D de radio 1. Se construye una sucesión de circulos

de la siguiente manera:

El primer circulo C1 es tangente a C y D

El segundo circulo C2 es tangente a C, D y C1

este procedimiento se continua en forma inde�nida.

Encuentre una sucesión {Cn} que de los diametros de los circulos.

¾Cual será el diametro del n-ésimo circulo?

Solución Para calcular el diámetro del primer circulo te-

nemos: Por el teorema de pitágoras

12 + (1− r1)2

= (1 + r1)2

entonces

r1 =1

4⇒ DiamC1 =

1

2

Para calcular el diámetro del segundo circulo te-

nemos: Por el teorema de pitágoras

12 + (1− 2r1 − r2)2

= (1 + r2)2

entonces

r2 =1

12⇒ DiamC2

=1

6




4


Para calcular el diámetro del tercer circulo tene-

mos: Por el teorema de pitágoras

12 + (1− 2r1 − 2r2 − r3)2

= (1 + r3)2

entonces

r3 =1

24⇒ DiamC3

=1

12

Tenemos entonces la sucesión de diametros

{an} = {1

2,

1

6,

1

12, ...,

1

n(n+ 1)}

y el diametro del n-ésimo circulo es

Diamcn =1

n(n+ 1)

De�nición 1. Se dice que una sucesión de números reales es monótona creciente si cada término es

menor o igual que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor o, a lo sumo, son iguales.

an ≤ an+1 ∀ n ∈ N

De�nición 2. Se dice que una sucesión de números reales es monótona estrictamente creciente si cada

término es menor que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor.

an < an+1 ∀ n ∈ N

Ejemplo Probar que la sucesión de término general

an =

(1 +

1

n

)nes monotona creciente

Solución Usando el desarrorollo del binomio se tiene

an =

(1 +

1

n

)n= 2 +

1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ ...

Vamos a comparar los términos ak y ak+1, tenemos entonces que

ak =

(1 +

1

k

)k= 2+

1

2!

(1− 1

k

)+

1

3!

(1− 1

k

)(1− 2

k

)+...+

1

k!

(1− 1

k

)(1− 2

k

)(1− 3

k

)···(

1− k − 1

k

)+...




5


ak+1 =

(1 +

1

k + 1

)k+1

= 2 +1

2!

(1− 1

k + 1

)+

1

3!

(1− 1

k + 1

)(1− 2

k + 1

)+ ...+

1

(k + 1)!

(1− 1

k + 1

)(1− 2

k + 1

)(1− 3

k + 1

)· · ·

(1− k

k + 1

)+ ...

Vamos a comparar los k-ésimos términos

1

k!

(1− 1

k

)(1− 2

k

)(1− 3

k

)· · ·

(1− k − 1

k

)1

k!

(1− 1

k + 1

)(1− 2

k + 1

)(1− 3

k + 1

)· · ·

(1− k

k + 1

)tenemos que:

n < n+ 1 ⇒ 1

n<

1

n+ 1⇒ − 1

n< − 1

n+ 1⇒ − h

n< − h

n+ 1, h = 1, 2, 3, ..., k − 1

⇒ 1− h

n< 1− h

n+ 1, h = 1, 2, 3, ..., k − 1

por lo tanto término a término

an =

(1 +

1

n

)n<

(1 +

1

n+ 1

)n+1

= an+1

por lo tanto la sucesión {an} es monotona estrictamente creciente

Teorema 1. Si {an} es una sucesión monotona creciente y acotada superiormente entonces {an} es

convergente

Demostración. Sea A = {an ∈ {an}|n ∈ N} se tiene que A 6= ∅ y A esta acotado superiormente por tanto

existe supA = αpor ser α = supA se tiene que α ≥ an ∀n ∈ N por tanto α+ ε > an ∀n ∈ N ε > 0por otro lado al ser α = supA se tien que existe Nε tal que α− ε < aNε y como an es monotona creciente

entonces si n > Nε entonces α− ε < aNε < an para todo n > Nεpor tanto α− ε < an < α+ ε para todo n > Nε esto quiere decir que

−ε < an − α < ε ∀n > Nε ⇒ |an − α| < ε ∀n > Nε ⇒ lımn→∞

an = α




6

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