SUCESIÓN NUMÉRICA

Docente: Huamaní Pillaca Víctor

Email: huamanipillaca@gmail.com

http://victor-relacionesmetricas.blogspot.com/Blogger:

1. una sucesión numérica se caracteriza por tener como términos a los números , distribuidos y ordenados de acuerdo a una ley de formación.

Veamos:

1° 2° 3° 4°……… n°

1t 2t 3t 4t nt Término de una sucesión

Donde : nt Término general o enésimo termino.

Ejemplos:

2 3nt n -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; ….. 2

( ) 1nf n 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; ……

DEFINICIÓN .-una sucesión de números reales es una función f: N en R definida en el conjunto N = { 1 ; 2 ; 3 ; ….} de números naturales y que va formando valores en el conjunto R de los números reales.

1234

N Rt

1135

2 3nt n

1 2 3 4

1

3

5

N

2 3nt n t

- 1

Ejemplo 1

La sucesión para el cual : 22 1nt n

Los términos son: 1 ;7 ; 17 ; 31 ; …..

Ejemplo 2

La sucesión para el cual: 2

1nt n

Los términos son: 1 1 1

1; ; ; ;......4 9 16nt

Ejemplo 3

La sucesión para el cual: 3 1n

nt

Los términos son: 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; ……..

Ejemplo 4

Es cribe el término enésimo o ley de formación de las sucesiones:

a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …..

b) 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….

c) – 6 ; - 1 ; 4 ; 9 ; 14 ; …..

d) 3 11 9

3; ; ; ;.....4 27 32

e) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ….. 2nnt

2

3

2n

nt

n

3 1nt n

5 2nt n 5 11nt n

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Es una sucesión lineal de primer orden, en la cual fijado el primer término; cada término siguiente , a partir del segundo, se obtiene sumando al termino anterior un número llamado: diferencia o razón aritmético constante de la sucesión.

Ejemplo 1 :

Se tiene la sucesión :

3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ……

+2 +2 +2 +2

Es lineal y se denomina progresión aritmética, pues tiene su razón aritmético constante r = 2

Ejemplo 2

-2 ; - 5 ; - 8 ; - 11 ; ……… r = - 3

Ejemplo 3

3 ; 1 ; - 1 ; - 3 ; - 5 ; …. r = - 2

Cálculo del término enésimo de una P.A.

Sea la P.A:

1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t+r +r +r

Se observa lo siguiente:

2 1t t r 3 1 2t t r

4 1 3t t r

1 ( 1)nt t n r

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Donde:

1 :t:nt

Primer término

Último término, término general o enésimo término

n : número de términos

r : es la razón aritmético

Ejemplo 1

En cada caso encuentra la ley de formación:

a) 8 ; 3 ; - 2 ; - 7 ; - 12 ; … r = - 5 5 13nt n

b) - 18 ; - 15 ; - 12 ; - 9 ; …. 3 21nt n Ejemplo 2

En la P.A . encuentra la cantidad de términos:

9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ….. ; 142

Desarrollo:

Sabemos que:

1 ( 1)nt t n r

142 = 9 + ( n – 1 ) 7

142 – = 9 + 7n - 7

142 - 2 = 7n

20 = n

Otra forma: ley de formación

7 2nt n 142 = 7n + 2 n = 20

Calculo de la suma de los términos de una P.A.

Se tiene la P.A.

1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t

1 2 3 4 .... nS t t t t t Aplicaremos la siguiente fórmula:

Ejemplo 1

Encuentra la suma de los 20 primeros términos de las siguientes P.A:

a) 4 ; 7 ; 13 ; …..

1( )

2nt t n

S

Desarrollo:

1( )

2nt t n

S

Hallando el último término:

3 4nt n

20 3(20) 4t

20 64t (4 64)20

2S

680S

Ejemplo 2

Halla la suma de los 25 primeros términosEn la P.A.

7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….

Desarrollo:

Hallando el último término:

5 2nt n 25 5(25) 2t

25 127t (7 127)25

2S

1675S

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Es la sucesión en la cual, dado un primer término diferente de cero, cada término que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato anterior al Multiplicarlo por un número diferente de cero llamado cociente común o razón geométrica de la sucesión.

Ejemplo 1

2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; ….

3 3 3 3

-3 ; - 6 ; - 12 ; - 24 ; ….

Ejemplo 2

r = 3

r = 2

2 2 2

Término enésimo de una progresión geométrica

Se tiene la siguiente P.G:

5 ; 15 ; 45 ; 135 ; ….

3 3 3Se observa que:

12 5 3t

23 5 3t

34 5 3t ...

.

.

.

.

.

.1

1n

nt t r

Donde:

:nt Término enésimo.

1t : primer término

r : razón

n : número de términos.

Ejemplo 1

Encuentra el término 10 de la P.G. siguiente:

2 ; 8 ; 32 ; 128 ; ….

Desarrollo:

Sabemos :

11

nnt t r

1 2t , r = 4 y n = 10

10 110 2 4t

910 2 4t

Ejemplo 2

Halla el término enésimo de la P.G

1/3 ; 1 ; 3 ; 12 ; ……

Desarrollo:

11.33

nnt

Se tiene:

11

nnt t r

Ejemplo 3

Halla el término enésimo de la P.G

60 ; 15 ; 15/4 ; 18/8 ; …

Desarrollo:

Se tiene:

11

604

n

nt

Ejemplo 4

En una P.G. se tiene que el término 6 es 1/32 y r = 1/2. Halla el primer término.

Desarrollo:

11

nnt t r

6 1

1

1 1

32 2t

1

1 1

32 32t

1 1t

Suma de los términos de una P.A.

1.

1nt r t

Sr

Ejemplo 1

Halla la suma de los ocho términos de la siguiente P.G.

1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …

Desarrollo:

11

nnt t r

78 1.2t 8 128t

Entonces :

128 2 1

2 1S

S = 255