Sucesiones de números reales: problemas diversos (1)febrero 4, 2014 Cálculo/Análisis

1 Sea la sucesión Usando la definición de límite, demostrar que y hallar a

partir de qué término la diferencia es menor que

Tenemos las equivalencias:

Es decir, para cualquier si elegimos número natural tal que , entonces si por tanto es límite de la sucesión Eligiendo

luego a partir del término ocurre

2 Calcular

Sugerencia: usar la identidad

Para se verifica:

Llamando y queda:

= .an

2n + 17n + 5

{ } →an

27

| − 2/7|an 0.002.

SOLUCIÓN

| − 2/7| < ϵ ⇔ − < ϵ ⇔ < ϵan∣∣∣2n + 17n + 5

27

∣∣∣

∣∣∣14n + 7 − 49n − 10

49n + 35∣∣∣

⇔ < ϵ ⇔ < ϵ ⇔ < 49n + 35 ⇔ < n.∣∣∣

−349n + 35

∣∣∣

349n + 35

3ϵ

3 − 35ϵ

49ϵ

ϵ > 0, n0 > (3 − 35ϵ)/49ϵn0

| − 2/| < ϵan n ≥ ,n0 2/7 { }.an ϵ = 0.002 :

n > ⇔ n > = 29.89 … ,3 − 35ϵ

49ϵ

3 − 35 ⋅ 0.00249 ⋅ 0.002

a30 | − 2/7| < 0.002.an

( − n) .limn→+∞

+ 2n3 n2− −−−−−−√3

− = (A − B)( + AB + ).A3 B3 A2 B2

SOLUCIÓN

A ≠ B

A − B = .−A3 B3

+ AB +A2 B2

A = + 2n3 n2− −−−−−−√3B = n

− n = .+ 2n3 n2− −−−−−−√3 2n2

+ n +( + 2n3 n2)2− −−−−−−−−√3 + 2n3 n2− −−−−−−√3n2

Dividiendo numerador y denominador entre

Por tanto,

3 Demostrar que

Se verifica por tanto si

Dado que se concluye del teorema del Sandwhich que

4 Demostrar que la sucesión no es convergente, en donde representa la parte en-

tera de

Tenemos: y lo cual implica y La sucesión no es convergente por tener dos subsucesiones con distintos límites.

5 Sin usar el criterio de Stolz, calcular

Habíamos demostrado que

Por tanto,

:

n2− n = .+ 2n3 n2− −−−−−−√3 2

+ + 1( + 2n3 n2)2

n6

− −−−−−−−−−√3 + 2n3 n2

n3

− −−−−−−−√3

L = = .2

1 + 1 + 123

= 0.limn→+∞

2n

n!

SOLUCIÓN

≤ ⇔ 4 ≤ n,2n

12

n ≥ 4 :

0 ≤ = ⋅ ≤ = .2n

n!23

1 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ n

43

( )12

n−3 323

( )12

n

0 = = 0,limn→+∞

limn→+∞

323

( )12

n

= 0.limn→+∞

2n

n!

= ⌊ ⌋an

(−1)n

n⌊x⌋

x.

SOLUCIÓN

= ⌊1/2n⌋ = 0a2n = ⌊−1/(2n + 1)⌋ = −1a2n+1 { } → 0a2n

{ } → −1.a2n+1

.limn→+∞

∑k=1

nk2

n3

SOLUCIÓN

= + + + … + = .∑k=1

n

k2 12 23 32 n2 n(n + 1)(2n + 1)6

6 Demostrar que

Descompongamos la fracción en suma de fracciones simples:

Igualando e identificando coeficientes, obtenemos y por tanto

Es decir,

7 Usando el criterio de Stolz, calcular

La sucesión es estrictamente creciente y tiene límite Sea Entonces,

Por el criterio de Stolz,

8 Demostrar que para todo se verifica

Llamemos Claramente la sucesión satisface las hipótesis del criterio de Stolz. Usando la fórmula del binomio de Newton:

= = = .limn→+∞

∑k=1

nk2

n3lim

n→+∞

n(n + 1)(2n + 1)

6n3

26

13

= 1.limn→+∞

∑k=1

n 1k(k + 1)

SOLUCIÓN

= + = .1

k(k + 1)A

k

B

k + 1A(k + 1) + Bk

k(k + 1)

1 = A(k + 1) + Bk A = 1 B = −1,

= ( − ) = (1 − ) + ( − )∑k=1

n 1k(k + 1)

∑k=1

n 1k

1k + 1

12

12

13

+ ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) = 1 − .13

14

14

15

1n

1n + 1

1n + 1

= (1 − ) = 1 − 0 = 1.limn→+∞

∑k=1

n 1k(k + 1)

limn→+∞

1n + 1

L = .limn→+∞

n

2n

SOLUCIÓN

=yn 2n +∞. = n.xn

= = = 0.limn→+∞

−xn+1 xn

−yn+1 yn

limn→+∞

n + 1 − n

−2n+1 2nlim

n→+∞

12n

L = 0.

p ∈ N = .limn→+∞

1np+1

∑k=1

n

kp 1p + 1

SOLUCIÓN

= ,xn ∑nk=1 kp = .yn np+1 { }yn

Tenemos el cociente de dos polinomios en con el mismo grado, por tanto:

Como consecuencia del criterio de Stolz,

9 Calcular

Podemos escribir:

Ahora bien, como deducimos del criterio de la media aritmética que

10 Demostrar que la implicación que aparece en el criterio de la media aritmética no es reversible.

Consideremos como contraejemplo la sucesión no convergente y sea la sucesión de sus medias aritméticas. Las subsucesiones de las medias

aritméticas para términos pares e impares son:

Se verifica y de lo cual se deduce que Es decir, la sucesión no es convergente, pero si lo es la de sus medias aritméticas.

= =−xn+1 xn

−yn+1 yn

(n + 1)p

(n + 1 −)p+1 np+1

+ p + … + 1np np−1

(p + 1) + ⋯ + 1np

n

= .limn→+∞

−xn+1 xn

−yn+1 yn

1p + 1

= .limn→+∞

1np+1

∑k=1

n

kp 1p + 1

L = ( + + + ⋯ + ) .limn→+∞

35n

510n

715n

2n + 15n2

SOLUCIÓN

+ + + ⋯ + = .3

5n

510n

715n

2n + 15n2

+ + + ⋯ +35

510

715

2n + 15n

n

=limn→+∞

2n + 15n

25

L = .25

SOLUCIÓN

= (−1 ,an )n

= ( + + ⋯ + )/nbn a1 a2 an

= = 0,b2n

−1 + 1 − 1 + ⋯ + 12n

= = .b2n−1−1 + 1 − 1 + ⋯ − 1

2n − 1−1

2n − 1

{ } → 0b2n → 0b2n−1 { } → 0.bn { }an