Sucesiones monótonas

febrero 4, 2014 Cálculo/Análisis

DEFINICIÓN. Sea una sucesión.

 Se dice que es monótona creciente si, y sólo si para todo se verifica es decir si cada

término es menor o igual que el siguiente.

 Se dice que es monótona decreciente si, y sólo si para todo se verifica es decir, si

cada término es mayor o igual que el siguiente.

 Se dice que es monótona si, y sólo si es monótona creciente o monótona decreciente.

Es claro que para demostrar que una sucesión es monótona creciente (decreciente) basta demos-

trar que para todo se verifica ( ). Si además la sucesión es de térmi-

nos positivos, también se puede demostrar que es monótona creciente (decreciente) demostrando que

para todo se verifica ( ).

TEOREMA. Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente. Además su

límite es el extremo superior del conjunto de los términos de la sucesión.

Análogamente, toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. Además

su límite es el extremo inferior del conjunto de los términos de la sucesión.

Se recuerdan los axiomas del extremo superior e inferior:

Todo subconjunto no vacío de y acotado superiormente (inferiormente) tiene extremo superior (infe-

rior).

1  Estudiar la monotonía de las sucesiones:

Tenemos:

TEORÍA 

{ }xn

(i)   n, ≤ ,xn   xn+1

(ii)   n, ≥ ,xn   xn+1

(iii)

{ }xn

n   − ≥ 0xn+1   xn   − ≤ 0xn+1   xn

n   / ≥ 1xn+1   xn   / ≤ 1xn+1   xn

R

= , = , = .xn

2n

n + 1  y n

n

+ 1n2  zn

n + 1

3n − 11

SOLUCIÓN

 

Dado que la sucesión es monótona creciente.

Como la sucesión es monótona decreciente.

Por último, para tenemos y para para por tan-

to no es monótona.

2  Estudiar la monotonía de las sucesiones:

Tenemos:

Ambas sucesiones son de términos positivos. Como y la suce-

sión no es monótona.

Sin embargo, para todo por tanto es monótona decreciente.

3  Se considera la sucesión

Demostrar que es monótona creciente.

 Demostrar que es cota superior de la sucesión.

 Concluir que es convergente.

 Para todo se verifica

− = − = ,xn+1   xn

2(n + 1)

(n + 1) + 1

2n

n + 1

2

(n + 2)(n + 1)

− = − = ,y n+1   y nn + 1

(n + 1 + 1)2

n

+ 1n2

− − n + 1n2

[(n + 1 + 1] ( + 1))2 n2

− = − = .zn+1   zn

(n + 1) + 1

3(n + 1) − 11

n + 1

3n − 11

−14

(3n − 8)(3n − 11)

− ≥ 0xn+1   xn   ∀n, { }xn

− ≤ 0y n+1   y n   ∀n, { }y n

n = 2 − = −7/5 ≤ 0,z3   z2   n = 3, − = 7 ≥ 0,z4   z3

{ }zn

= , = .an

7n

n!  bn

7n

(n + 5)!

SOLUCIÓN

= ⋅ = ,an+1

an

7n+1

(n + 1)!

n!

7n

7

n + 1

= ⋅ = .bn+1

bn

7n+1

(n + 6)!

(n + 5)!

7n

7

n + 6

/ = 7/6 > 1a6   a5   / = 7/8 < 1,a8   a7

{ }an

/ ≤ 1bn+1   bn   n, { }bn

= .an

2n

+ 1n2

a)

b)   K  = 3

c)

SOLUCIÓN

a)   n

− = − = ≥ 0,an+1   an

2(n + 1)

(n + 1) + 1

2n

n + 1

2

(n + 2)(n + 1)

 

por tanto es monótona creciente.

 Para todo se verifica

es decir para todo luego es cota superior de

Se concluye de los apartados anteriores y de un conocido teorema.

4  Se considera la sucesión definida por y

Demostrar por inducción que para todo

Demostrar que es monótona creciente.

 Demostrar está acotada superiormente.

 Calcular el límite de caso de ser convergente.

 Se verifica para por hipótesis. Si entonces por tanto existe

y es

Tenemos que demostrar que para todo . Usemos el método de inducción. Para

tenemos Supongamos que entonces,

Como se cumple o de forma equivalente

Podemos expresar

Dado que para todo se verifica para todo lo cual implica que es cota

superior de

La sucesión es monótona creciente y acotada superiormente, en consecuencia es convergente. Sea

su límite. Tomando límites en la relación

Pero para todo por tanto

5   Demostrar que toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente, es convergente, y que su

límite es el extremo superior del conjunto de los términos de la sucesión.

{ }an

b)   n

3 − = 3 − = = ≥ 0,an

2n

n + 1

3n + 3 − 2n

n + 1

n + 3

n + 1

≤ 3an   n,   K  = 3 { }.an

c)

{ }an   = 0a1   = .an+1   6 + an− −−−−

√ 

a) ≥ 0an   n.

b) { }an

c) { }an

d) { }an

SOLUCIÓN

a)   n = 1 ≥ 0,an   6 + ≥ 0,an

=an+1   6 + an− −−−−

√    ≥ 0.

b) ≥an+1   an   n n = 1

= ≥ 0 = .a2   6√    a1   ≥ ,an+1   an

= ≥ = .an+2   6 + an+1− −−−−−−√    6 + an

− −−−−√    an+1

c) = ≥ ≥ 0,an+1   6 + an− −−−−

√    an   6 + ≥ ,an   a2n

− + + 6 ≥ 0.a2n   an

− + + 6 = (3 − )(2 + ) ≥ 0 para todo n.a2n   an   an   an

2 + ≥ 0an   n, 3 − ≥ 0an   n, 3

{ }.an

d)

L   = :an+1   6 + an− −−−−

√ 

L = ⇒ = 6 + L ⇒ L = 3 ∨ L = −2.6 + L− −−−−

√    L2

≥ 0an   n,   L = = 3.limn→+∞

an

 

Sea monótona creciente, es decir para todo Si además está acotada, el conjunto

de los términos de la sucesión tiene extremo superior (axioma del extremos superior). Veamos que

Para todo existe número natural tal que

pues en otro caso, no sería extremo superior de Como es monótona creciente, y es cota

superior de implica que

que a su vez implica Esto demuestra simultáneamente que es convergente con lí-

mite

SOLUCIÓN

{ }an   ≥an+1   an   n.   A

S 

→ S .an+1   ϵ > 0   n0

S  − ϵ < ≤ S ,an0

S A. { }an   S 

A, n ≥ n0

S  − ϵ < ≤ S ,an

| − S | <  ϵ.an   { }an

S .