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Ejercicios propuestos (Series) Prof. Jos Luis Quintero
1. Establezca en cada caso si la sucesin converge o diverge y
encuentre el lmite de las sucesiones convergentes:
a.
=
+ 1n2
)n(sen
10ne.n
b. { }=
+ 1nn1n
c.
=
1nn
)n(sen
d. { }=
+ 1n2 nn3n
e. { }=
+ 1n)1nln()nln(
f.
=
+pi
1n
n
n3)eln(
g.
=
+
1n
2n
2
2
4n1n
h.
=
1n2))n(ln(
n
i.
=
+
+
+
1n
22
n
)2n(4n)2n(
Rta. 4
j.
=
+
+
1n
12n
1n1n
diverge
k.
=
+
1nn
n
e58e32
41
.Rta
l.
=
+1n
n
1nn
-
2. Dada la serie
=1nn3
2:
a. Identifiquela como una serie geomtrica y obtenga el valor de
su suma.
b. Transformela en una serie telescpica y obtenga el valor de su
suma.
Respuesta: la suma es igual a 1.
3. Calcular la suma de la serie n n
n
n 2
1 2 35
=
+ + .
4. Calcular la suma de la serie n 2 n 1
n 1n 2
3 27
+
+
=
+ .
5. Calcular la suma de la serie
=
+
+
1n22 )1n(n
1n2. Rta: 1.
6. Calcular la suma de la serie
=
++0n
3)2)(n(n1
. 1/2 .Rta .
7. Calcular la suma de n 1
2n(n 1)(n 2)
=
+ + .
8. Calcular la suma de n
n 3
3 6(n 3)(n 4)5
=
+ +
.
9. Expresar
=
+
+
2n)1nln().nln()nln()1nln( como una serie telescpica y
calcular su suma. ln21 .Rta .
10. Calcular la suma de la serie
=
+
+
+
+0n1n
1n
n
n
213
213
. Diverge
-
11. Usando el criterio de la integral, establezca la
convergencia o
divergencia de la serie
=
1n
3n2en . Converge. Integral e31 .
12. Usando el criterio de la integral, establezca la
convergencia o
divergencia de la serie
=1nne
n. Converge.
13. Aplicando el criterio del cociente, establecer la
convergencia o
divergencia de la serie
=
1n4n
)1n2...(5.3.1. Rta. Diverge.
14. Aplicando el criterio del cociente, establecer la
convergencia o
divergencia de la serie
=1n
n
!nn
. Rta . Diverge.
15. Estudie la convergencia de las siguientes series
alternas:
a.
=
+
1n
n
2n3)1(
Rta. Converge condicionalmente
b.
=
+
1n2
n
)2n3()1(
Rta. Converge absolutamente
c.
=
+
++
+
1n2
1n
6n5n)2n()1( Rta. Converge condicionalmente
16. Halle el radio y el intervalo de convergencia para cada
serie de potencias:
a.
=1n
n
n
x )1,1[ .Rta
b.
=
0n
n2n xn)1( )1,1( .Rta
c. (0,6) Rta. 3
)3x(0n
n
n
=
-
d.
=
+0n
nn
3)1x(
3n
)2,4( .Rta
e.
=
+
0n4
n
16n)1x2(
[0,1] .Rta
f.
=
2n
n
)nln(.n)5x(
[4,6) .Rta
g.
=
+
1n
nn
xn
)1n2( Rta. Converge para toda x
h. n0n
n
nn )2x(
125)1(
+
=
),( .Rta 51258
i.
=
+
+
0n1n
n1nn
7x43
),( .Rta 127127
j.
=
1nn
nn
n
)1x(8 Rta. Converge para toda x
17. Hallar el desarrollo de MacLaurin de )x21ln()x(f 2+= y
encuentre el intervalo de convergencia de la serie obtenida.
18. A partir de la serie geomtrica y por cambios de variable
construya la serie de MacLaurin de las siguientes funciones
indicando su dominio de convergencia. a. 2x1
x)x(f
= b. 1x4
1)x(f 2 +=
19. A partir de las series de xe y de senx construya las series
de
a. x
e1)x(fx
= .
b. 22
x
)x(sen)x(f = .
20. A partir de la serie geomtrica y por derivacin o integracin,
halle las series de: a. 2)x1(
1)x(f
=
b. )x(arctg)x(f 2=
-
21. Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la funcin
)x(senx)x(f 22= y determinar su intervalo de convergencia.
=
+
+
0n
)1n(4n
)!1n2(x)1(
.Rta converge para toda x
22. Usando el desarrollo obtenido en el apartado anterior,
calcular
1
0 f(x)dx con un error menor que 510 . Rta. 0.1821114
23. Determine la serie de MacLaurin para 2xe y utilicela
para
estimar 1
0
2x dxe hasta tres cifras decimales exactas.
24. Hallar el desarrollo de la serie de MacLaurin de 3xe)x(f = y
utilicela para estimar la integral
1
0
3x dxe con un error menor
que 210 .
0.805 !nx1)(
.Rta0n
n3n
=
25. Obtenga el desarrollo de MacLaurin de la funcin
2ee)x(f
xx
= y determinar su intervalo de convergencia.
26. Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la
funcin
23 )x1(1)x(f
+= ,
determinando su intervalo de convergencia.
1x1 ,nx)1( .Rta1n
)1n(31n
-
28. Calcular con tres decimales exactos:
1
0 dx
x
cosx1 Rta 0.239
29. Calcular con un error menor que 0.03: +1
0 dx
x
x)ln(1.
Rta.0.83861
30. Encuentre una representacin en serie de potencias de la
funcin x
xcos1)x(f = .
=
+
1n
1n1n
)!n2(x)1( .Rta
31. Tomando en cuenta el ejercicio anterior, aproxime con una
exactitud de dos cifras decimales:
1
0 f(x)dx . Rta. 4823 .
