Sucesiones y Series

Sucesiones y series

1. Sucesiones de números reales.

Una sucesión es un conjunto de números reales dados en un orden definido. Estos números seobtienen generalmente a partir de una cierta regla.

Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 . . .

1, 4, 9, 16, 25 . . .

Cada elemento de una sucesión se llama término, y se representa con una letra minúscula con unsubíndice: a1, a2, a3 . . . (primer término, segundo término, etc). an es el término n-ésimo o término

general.

Para los ejemplos anteriores: 2, 4, 6, 8, 10 . . . an = 2n1, 4, 9, 16, 25 . . . an = n2

Una sucesión tiene infinitos términos, y se expresa frecuentemente por su término general, dadoen función de n. Para hallar cualquier término de la sucesión basta sustituir n por el orden del términodeseado.

Ejercicio 1

Dada la sucesión an = 5n + 2, hallar los cuatro primeros términos. ¿Cuál es el término no

11?

a1 = 5 · 1 + 2 = 7; a2 = 5 · 2 + 2 = 12; a3 = 5 · 3 + 2 = 17; a4 = 5 · 4 + 2 = 22

a11 = 5 · 11 + 2 = 57

Es decir, conocido el término general podemos hallar cualquier término de la sucesión.En otras ocasiones, una sucesión se expresa mediante una ley de recurrencia, que permite obtener

un término a partir de otros anteriores.

Ejercicio 2

Hallar los primeros términos de la sucesión dada por: a1 = 2; an = 3an−1.

a1 = 2; a2 = 3a1 = 6; a3 = 3a2 = 18; a4 = 3a3 = 54 . . .

Conocidos algunos términos de una sucesión también puede hallarse, en ocasiones, el términogeneral, aunque suele ser un problema más difícil. No obstante, hay casos sencillos.

1

2 Sucesiones y series

Ejemplos

1, 3, 5, 7, 9 . . . an = 2n − 1 1,1

2,

1

3,

1

4,

1

5. . . an =

1

n

1

2,

2

3,

3

4,

4

5. . . an =

n

n + 1−1, 1, −1, 1, −1 . . . an = (−1)n

1, 2, 4, 8, 16, 32 . . . an = 2n−1 4, 7, 10, 13, 16, 19 . . . an = 3n + 1

Después veremos que para determinados tipos de sucesiones (aritméticas y geométricas) existenmétodos muy cómodos de hallar el término general.

2. Series.

Una serie es la suma de una sucesión de números. Las series pueden ser finitas o infinitas

dependiendo de que el número de sumandos sea finito o infinito.

Por ejemplo: 1 + 3 + 5 + · · · + 97 + 99 ⇒ es una serie finita (tiene 50 términos)

1 + 3 + 5 + · · · ⇒ es una serie infinita

En una serie, la suma de los n primeros términos se representa por Sn. Así:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

. . . . . . . . . . . . . . .Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an

Ejercicio 3

Dada la serie 1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · · hallar S1, S5 y S6.

S1 = a1 = 1

S5 = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16=

16 + 8 + 4 + 2 + 1

16=

31

16

S6 = S5 +1

32=

31

16+

1

32=

62 + 1

32=

63

32

Ejercicio 4

La suma de los n primeros términos de una serie viene dada por Sn = n2 + n. Hallar S1,S2, S3, y encontrar una expresión para el término general de la sucesión, an.

S1 = 12 + 1 = 2; S2 = 22 + 2 = 6; S3 = 32 + 3 = 12

Luego: a1 = S1 = 2; a2 = S2 − S1 = 4; a3 = S3 − S2 = 6, etc.

La sucesión es an : 2, 4, 6, . . . 2n.

También podríamos hallar an así:

an = Sn −Sn−1 = (n2 +n)− [(n− 1)2 +(n− 1)] = n2 +n− (n2 − 2n+1+n− 1) = 2n

Maribel M uñoz M olina - 2009

Sucesiones y series 3

3. Sucesiones y series aritméticas.

3.1. Definición.

Consideremos las siguientes sucesiones de números reales:

3, 5, 7, 9, 11 . . .

12, 9, 6, 3, 0, −3 . . .

6, 10, 14, 18, 22 . . .

Son ejemplos de sucesiones aritméticas.

Una sucesión o progresión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene a partir delanterior sumándole una cantidad fija, llamada diferencia de la sucesión y representada por d:

d = an − an−1

Si la diferencia d es positiva, la sucesión aritmética es creciente (términos cada vez mayores). Sila diferencia es negativa la sucesión es decreciente (términos cada vez menores).

Por ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14 . . . d = 3

10, 6, 2, −2, −6 . . . d = −4

Si a, b y c son tres términos consecutivos de una sucesión aritmética, entonces

b − a = c − b ⇒ 2b = a + c ⇒ b =a + c

2

es decir, el término central es la media aritmética de los términos anterior y posterior. De ahí elnombre de sucesión aritmética.

3.2. Término general.

Conocido el primer término a1 y la diferencia d, es fácil hallar los demás términos de la sucesiónaritmética:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a20 = a1 + 19d

En general:

an = a1 + (n − 1)d Término general de una sucesión aritmética

Ejercicio 5

Calcula la diferencia y el término general de la sucesión aritmética:1

3,

5

3, 3 . . .

d = a2 − a1 =5

3− 1

3=

4

3

an =1

3+ (n − 1) · 4

3⇒ an =

1

3+

4

3n − 4

3⇒ an =

4

3n − 1



Ejercicio 6

Halla el término 30o de una sucesión aritmética en la que a1 = 5, d =√

2.

a30 = a1 + (30 − 1)d = 5 + 29√

2

Ejercicio 7

En una sucesión aritmética a10 = 7 y d = 3. Halla el término general.

7 = a1 + (10 − 1) · 3 ⇒ a1 = −20

an = −20 + (n − 1) · 3 = −20 + 3n − 3 ⇒ an = 3n − 23

3.3. Series aritméticas finitas.

Consideremos una serie aritmética finita, con n términos, y veamos cómo hallar la suma de estosn términos. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + · · · + 99 (hemos de sumar 99 términos).

Podemos hacerlo del siguiente modo:

S99 = 1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99

+ S99 = 99 + 98 + 97 + · · · + 2 + 1

2 · S99 = 100 + 100 + 100 + · · · + 100 + 100︸︷︷︸

99 sumandos

Por tanto: 2 · S99 = 100 · 99 ⇒ S99 =100 · 99

2= 4950

Vamos a aplicar este método a una serie aritmética finita en general:

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · · + (an − 2d) + (an − d) + an

+ Sn = an + (an − d) + (an − 2d) + · · · + (a1 + 2d) + (a1 + d) + a1

2 · Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + · · · + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)︸︷︷︸

n sumandos

2 · Sn = n(a1 + an) ⇒ Sn =1

2n(a1 + an)

La suma de los términos de una serie aritmética finita es igual a la semisuma de los extremos por elnúmero de términos.



Ejercicio 8

Halla la suma de la serie: 6 + 10 + 14 + · · · + 50

Se tiene que: a1 = 6; an = 50; d = 10 − 6 = 4

El número de términos de esta serie será:

50 = 6 + (n − 1) · 4 ⇒ 50 = 6 + 4n − 4 ⇒ n = 12 términos

Luego: S12 =1

2· 12(6 + 50) = 6 · 56 = 336

Ejercicio 9

Halla la suma de los 20 primeros términos de una sucesión aritmética en la que a1 = 3 yd = 1/2.

a20 = 3 + 19 · 1

2=

25

2; S20 =

1

2· 20

(

3 +25

2

)

= 10 · 31

2= 155

Ejercicio 10

En una sucesión aritmética la suma de los 10 primeros términos es 520, y a7 es el doble dea3. Halla el primer término y la diferencia.

S10 = 520 ⇒ 1

2· 10(a1 + a10) = 520 ⇒ 1

2· 10(a1 + a1 + 9d) = 520 (∗)

a7 = 2a3 ⇒ a1 + 6d = 2(a1 + 2d) ⇒ a1 + 6d = 2a1 + 4d ⇒ a1 = 2d

Sustituyendo en (∗): 1

2· 10(2d + 2d + 9d) = 520 ⇒ 65d = 520 ⇒

d = 8; a1 = 16

4. Sucesiones y series geométricas.

4.1. Definición.

Consideremos las siguientes sucesiones de números reales:

2, 6, 18, 54, 162 . . .

27, −9, 3, −1, 1/3, −1/9 . . .

4, −4, 4, −4, 4, −4 . . .

Son ejemplos de sucesiones geométricas.



Una sucesión o progresión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene a partirdel anterior multiplicando (o dividiendo) por un número fijo, llamado razón de la sucesión yrepresentado por r:

r =an

an−1

Para los ejemplos anteriores: 2, 6, 18 . . . r = 3

27, −9, 3 . . . r = −1/3

4, −4, 4, −4 . . . r = −1

Si a, b y c son tres términos consecutivos de una sucesión geométrica, entonces

b

a=

c

b⇒ b2 = ac ⇒ b = ±√

ac, donde√

ac es la media geométrica de a y c.

4.2. Término general.

Conocido el primer término a1 y la razón r, es fácil hallar los demás términos de la sucesióngeométrica:

a2 = a1 · ra3 = a2 · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = a1 · r3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .a20 = a1 · r19

En general:

an = a1 · rn−1 Término general de una sucesión geométrica

Ejemplos

El término general de las sucesiones en los ejemplos anteriores será:

2, 6, 18 . . . an = 2 · 3n−1

27,−9, 3 . . . an = 27

(−1

3

)n−1

= 33 · (−1)n−1

3n−1= 34−n(−1)n−1

4,−4, 4 . . . an = 4(−1)n−1

Ejercicio 11

Halla el término 14o de la sucesión:1

3,2

3,4

3. . .

r = 2; a14 = a1 · r13 =1

3· 213 =

8192

3



Ejercicio 12

Sabiendo que a7 = 1 y r =1

2, halla el primer término.

a7 = a1 · r6 ⇒ 1 = a1

(1

2

)6

⇒ 1 =a1

64⇒ a1 = 64

Ejercicio 13

Halla el término general de una sucesión geométrica en la que a5 =7

3y r = −2

a5 = a1 · r4 ⇒ 7

3= a1 · (−2)4 ⇒ a1 =

7

48; luego: an =

7

48(−2)n−1

Ejercicio 14

Halla el número de términos de la sucesión geométrica: 0,25; 0,75; 2,25; . . . 44286,75.

r =0, 75

0, 25= 3 ⇒ 44286, 75 = 0, 25 · 3n−1 ⇒ 3n−1 = 177147 ⇒

⇒ (n − 1) log 3 = log 177147 ⇒ n − 1 =log 177147

log 3⇒

⇒ n =log 177147

log 3+ 1 = 12 términos.

4.3. Series geométricas finitas.

Consideremos una serie geométrica finita, con n términos, y veamos cómo hallar la suma de estosn términos:

Sn = a1 + a2 + · · · an−1 + an

Multiplicando los dos miembros de la igualdad anterior por la razón r:

r · Sn = a1 · r + a2 · r + · · · + an−1 · r + an · r , es decir:

r · Sn = a2 + a3 + · · · + an + an · r

Restando: rSn − Sn = anr − a1

Sn(r − 1) = anr − a1

Sn(r − 1) = (a1rn−1)r − a1

Sn(r − 1) = a1rn − a1

Sn(r − 1) = a1(rn − 1)



Despejando Sn: Sn =a1(r

n − 1)

r − 1o también Sn =

a1(1 − rn)

1 − r

(suma de una serie geométrica finita).

Ejercicio 15

Halla la suma de los seis primeros términos de la serie: 2 − 6 + 18 − · · ·

Se tiene que: a1 = 2; r =−6

2= −3; n = 6

S6 =2((−3)6 − 1)

−3 − 1=

2(729 − 1)

−4= −364

Ejercicio 16

La suma de los siete términos de una serie geométrica finita es 16383, y la razón es 4.Halla la serie.

16383 =a1(4

7 − 1)

4 − 1⇒ 16383 =

16383a1

3⇒ a1 = 3

Luego, la serie es: 3 + 12 + 48 + 192 + 768 + 3072 + 12288

4.4. Series geométricas infinitas.

Consideremos una serie geométrica con infinitos términos, y veamos si es posible hallar la sumade los mismos:

• Si |r| > 1 entonces los términos crecen indefinidamente en valor absoluto, y análogamente, susuma. En este caso sólo es posible sumar un número finito de términos (mediante la fórmulavista en el apartado anterior). Si el número de términos es infinito, la serie no tiene suma enIR, y se dice que es una serie divergente.

• Si |r| < 1, es decir, −1 < r < 1, los términos de la serie se van haciendo cada vez máspequeños en valor absoluto, y en este caso si vamos a poder calcular la suma de los infinitostérminos de la serie.

Como |r| < 1, a medida que n crece, rn decrece indefinidamente, siendo cada vez más próximoa cero:

n −→ ∞ ⇒ rn −→ 0 ⇒ 1 − rn −→ 1

La suma será:

Sn =a1(r

n − 1)

r − 1=

a1(1 − rn)

1 − r⇒ S =

a1

1 − rSuma de una serie geométrica infinita

En este caso se dice que es una serie convergente (con suma en IR). Por tanto, para que unaserie infinita sea convergente debe ser |r| < 1.



Ejercicio 17

Halla la suma de la serie1

2+

1

4+

1

8+ · · ·

a1 =1

2r =

1

2, luego S =

a1

1 − r=

1

2

1 − 1

2

= 1

Ejercicio 18

Halla la suma de la serie 18 − 6 + 2 − · · ·

a1 = 18 r = −1

3S =

18

1 −(

−1

3

) =27

2

Ejercicio 19

Hallar la fracción generatriz del número decimal 0, 36363636 . . .

0, 363636 · · · = 0, 36 + 0, 0036 + 0, 000036 + · · · =36

100+

36

10000+

36

1000000+ · · ·

Se trata de la suma de una serie infinita de razón r =1

100; luego:

S =

36

100

1 − 1

100

=36

99=

4

11

5. La notación Σ.

El símbolo∑

(letra griega sigma mayúscula) se lee: “sumatorio” (suma de). Así:

k∑

n=1

an significa: “la suma de todos los términos an, desde n = 1 hasta n = k ”.

Por tanto, representa la suma de los k primeros términos de una serie:

k∑

n=1

an = a1 + a2 + · · · + ak = Sk


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