IDEAS Y RECURSOS

ARTÍCULOS

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Índice42

febrero 2003

EDITORIAL3

5 ¿Qué formación inicial reciben los profesores de Matemáticas de secundaria?Francisco Gil Cuadra e Isabel Romero Albaladejo

13 Geometría para futuros profesores de primaria: experiencias con el tangramchino.María Teresa Fernández Blanco

23 Medidas de apoyo pedagógico, didáctico y organizativo ante el fenómeno delfracaso matemático escolar en alumnos minoritarios.Núria Planas i Raig

37 La modelización matemática: una herramienta válida en la enseñanza de lasmatemáticas universitarias.Joan Gómez i Urgellés

47 Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrarel tránsito de la Aritmética al Álgebra.Fredy E. González y Francisco Ruiz López

61 Interacciones y aprendizaje en Matemáticas: análisis de una experiencia didáctica.Marcela Cristina Falsetti, Mabel Alicia Rodríguez y Adriana Judith Aragón

69 El juego del caos en la calculadora gráfica: construcción de fractales.Juan C. Moreno-Marín

81 Humor gráfico para la enseñanza y el aprendizaje del azar.Mónica Beatriz Guitart-Coria y Pablo Flores Martínez

DirectoresEmilio Palacián GilJulio Sancho Rocher

AdministradorJosé Javier Pola Gracia

Consejo de redacciónJesús Antolín Sancho

Eva Cid CastroBienvenido Cuartero Ruiz

Faustino Navarro CirugedaRosa Pérez GarcíaDaniel Sierra Ruiz

Consejo EditorialJosé Luis Aguiar BenítezJavier Brihuega NietoM.a Dolores Eraso Erro

Ricardo Luengo GonzálezLuis Puig Espinosa

EditaFederación Española de Sociedades

de Profesores de Matemáticas

Diseño portadaPablo Cano

Diseño interiorConcha Relancio y M.a José Lisa

MaquetaciónE. Palacián, J. Sancho, D. Sierra

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza

C. Pedro Cerbuna,1250009-ZARAGOZA

Tirada: 6.800 ejemplaresDepósito Legal: Gr. 752-1988

ISSN: 1130-488XImpresión: INO Reproducciones. Zaragoza

MISCELÁNEA

91 El gran torneo cibermágico.Joaquín Aguilar Barriuso

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Asesores

Pilar Acosta SosaClaudi Aguadé BruixAlberto Aizpún López

José Luis Álvarez GarcíaCarmen Azcárate GiménezManuel Luis de Armas Cruz

Antonio Bermejo FuentesJavier Bergasa Liberal

María Pilar Cancio LeónMercedes Casals Colldecarrera

Abilio Corchete GonzálezJuan Carlos Cortés López

Carlos Duque GómezFrancisco L. Esteban AriasFrancisco Javier FernándezJosé María Gairín SallánJuan Gallardo Calderón

José Vicente García SestafeHoracio Gutiérrez FernándezFernando Hernández Guarch

Eduardo Lacasta ZabalzaAndrés Marcos GarcíaÁngel Marín Martínez

Félix Matute CañasOnofre Monzo del OlmoJosé A. Mora Sánchez

María José Oliveira GonzálezTomás Ortega del Rincón

Pascual Pérez CuencaRafael Pérez GómezAntonio Pérez Sanz

Ana Pola GraciaIsmael Roldán Castro

Modesto Sierra VázquezVicent Teruel Marti

Carlos Usón Villalba

SUMAno se identifica necesariamente

con las opiniones vertidasen las colaboraciones firmadas

97 Taller de problemas: El cálculo diferencial y el problema isoperimétrico.Grupo Construir las Matemáticas

101 Mates y medios: Comparar medios.Fernando Corbalán

105 Juegos: ¿Quién tiene…? Yo tengo…Grupo Alquerque

111 Recursos en Internet: Teoría de números en Internet.Antonio Pérez Sanz

115 Desde la Historia: Hacer de las Matemáticas un lenguaje verdaderamente uni-versal.Ángel Ramírez Martínez y Carlos Usón Villalba

RINCONES

RECENSIONES121

Historia de la matemática (C.B. Boyer). Currículo y matemáticas en la enseñan-za secundaria en Iberoamérica (A. Maz, M. Torralbo y C. Abraira –edits.–). Ideaspara la clase de Matemáticas. Reflexiones y materiales para unas matemáticascoeducativas (M.J. Luelmo, X. Nomdedeu, M.C. Rodríguez y F. Velázquez).Investigación en el aula de matemáticas: resolución de problemas (J.M.Cardeñoso, E. Castro, A.J. Moreno y M. Peñas –edits.–). Año Mundial de lasMatemáticas (G. Ochoa y J.R. Pascual –edits.–). Didáctica de la Matemática en laEducación Primaria (E. Castro –edit.–). Rincón matemático. Una experiencia paraatender a la diversidad (L. Morales –coord.–).

CRÓNICAS127

Premio Gonzalo Sánchez Vázquez. Nueva Dirección de Suma. La serie «Universomatemático» premiada en Pekín.

CONVOCATORIAS135

XIV Olimpiada Matemática Nacional de la FESPM. XI Jornadas para elAprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. XXI Concurso de Resolución deProblemas. Información sobre los premios ICMI.

N EL EDITORIAL del anterior número de la revista hablábamos dela necesidad de mantener vivo el debate sobre los problemas quenos afectan, a participar en la discusión y en la elaboración de sussoluciones: esa es una de las principales finalidades de nuestrosseminarios. La estructura de los seminarios persigue laparticipación de todas las sociedades que previamente a surealización han debido discutir un cuestionario previo, hacer suspropuestas y elegir a sus representantes. Durante los días que durael seminario se discuten estas propuestas y se elabora un documentode conclusiones que se difunden a través de la revista. Alguna delas directrices de trabajo de la Federación van saliendo de lasconclusiones de los distintos seminarios que se han ido realizando.

Sin embargo, hay algunos temas sobre los que es difícil establecerconclusiones y marcar metas más allá del corto o medio plazo. Unejemplo lo tenemos en los seminarios sobre las reformas educativas:las conclusiones de los seminarios de Jaca, El Escorial o La Gomerase basaban en un currículo muy diferente al que ahora se implanta.La reunión de La Gomera ya nació con la idea de que era necesariauna cierta continuidad y con esa intención acaba de tener lugar lasegunda edición del Seminario de Canarias de reflexión sobre laenseñanza de las matemáticas, cuyas conclusiones esperamos poderpublicar en el próximo número de SUMA.

El debate curricular no es el único tema que precisa una continuarevisión: las olimpiadas, las nuevas tecnologías y, en general, todoslos temas relacionados con la investigación en educaciónmatemática, han ido evolucionando y lo seguirán haciendo ynecesitarán un análisis y una reflexión que se extienda a través deltiempo. Para acometer este trabajo, la Federación se ha dotado deuna nueva estructura organizativa, que complementa a losseminarios: los grupos de trabajo estables.

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Grupos de trabajo

EDITORIAL

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febrero 2003

Se trata de formar grupos de personas, en general de diferentessociedades, que trabajen en torno a un tema, siempre directamenterelacionado con los objetivos y las líneas prioritarias de actuación fijadaspor la Junta de Gobierno de la FESPM, que podría tanto dar continuidadal trabajo de un determinado seminario como iniciar el trabajo sobre untema concreto. Las JAEM serán el lugar idóneo para que los grupospresenten a todos los socios los trabajos realizados y para el debate sobresus documentos y conclusiones, y también para que otras personasinteresadas en su línea de trabajo puedan integrarse en ellos. Losdocumentos y materiales que elaboren los grupos podrán difundirse através de la revista SUMA o del Servicio de Publicaciones de la Federación.

En las conclusiones del seminario de La Gomera se pedía a la Federaciónla puesta en marcha de algún grupo de trabajo estable que continuase eldebate allí iniciado, elaborando y difundiendo documentos queprofundizasen en temas como el papel de los algoritmos o las matemáticasen la vida cotidiana y sus repercusiones en el currículo. También habíanllegado a la Junta de Gobierno solicitudes de algunos socios que buscabanuna estructura estable para trabajar conjuntamente sobre un tema.Atendiendo a esta demanda la Federación primero elaboró un protocolosobre la creación de grupos de trabajo estable y posteriormente ha dado suplacet a la puesta en marcha de los dos primeros.

El grupo de trabajo sobre la educación matemática en Primaria, quepretende debatir las metas, propósitos y contenidos de la educaciónmatemática en esa etapa, analizar los currículos existentes tanto en lasdistintas comunidades del estado como en otros países y elaborarmateriales curriculares de apoyo a la labor docente en esta etapa. Elsegundo grupo de trabajo se centrará en el papel de las Calculadoras enla Educación Matemática y para ello estudiará qué contenidoscurriculares de las distintas etapas educativas ven favorecido suaprendizaje por el uso de las calculadoras, elaborará materiales paratrabajar con la calculadora en los diferentes niveles educativos, favorecerála investigación de aspectos relacionados con el aprendizaje matemáticomediante el uso de tecnología de las calculadoras y colaborará a sudifusión. Ambos grupos tienen el propósito de apoyar la formacióncontinua del profesorado desde sus temas de estudio y de proporcionar unámbito en el que compartir ideas, materiales y experiencias.

Esperamos disponer pronto de las primeras contribuciones de estos gruposy también que su constitución sirva para animar a otros colectivos aconstituirse como gruupos de trabajo sobre otros temas de interés paratodos.

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ENTRO DEL CAMPO de la formación de profesores se hapasado por diferentes etapas, en las que el foco de interésse ha desplazado de unos aspectos a otros. En una prime-ra etapa, se intentó identificar los comportamientos o lascaracterísticas de los buenos profesores partiendo de lasopiniones de los alumnos. Ante la escasez de resultadosobtenidos desde estos planteamientos, en la segundaetapa, se buscó relacionar las características y los compor-tamientos del profesor con el rendimiento de los alumnos;se perseguía identificar los factores que determinan la efi-cacia docente. La tercera etapa, llamada del pensamientodel profesor, se inició a partir de que los investigadores seinteresaran por recoger información de los elementos quedeterminan la vida del aula: los procesos de pensamientoy toma de decisiones de los profesores, los procesos deaprendizaje de los alumnos, los contenidos, las relacionespersonales, etc., para determinar las características de unaenseñanza efectiva.

Esto supuso un cambio de planteamiento, al admitirse quelos profesores son sujetos reflexivos y racionales que tomandecisiones, emiten juicios y generan rutinas propias de sudesarrollo profesional. Además, se aceptó que los pensa-mientos del profesor guían y orientan su conducta, y secomenzó a hablar del conocimiento profesional del profe-sor, como aquel que apoya y justifica las decisiones y accio-nes de trabajo de la enseñanza de las matemáticas (Llinaresy Sánchez, 1990; Ponte, 1994). Surgen así una serie de tra-bajos que ponen de manifiesto la importancia de las con-cepciones y creencias de los profesores como factor deter-minante en la toma de decisiones, y la importancia de con-siderarlas en la formación de profesores (Gil, 2000).

En la Universidad de Almería se imparte la licenciatura deMatemáticas, y la mayoría de los estudiantes que la cursanterminan dedicándose a la enseñanza. Aun así, la presenciade asignaturas de Didáctica de la Matemática se reduce a dos

El propósito de este trabajoes reflexionar sobre la

formación inicial que recibenen la universidad nuestros

futuros profesores dematemáticas de secundaria.En concreto, pretendemos

realizar un primeracercamiento a algunos de

los conocimientos,concepciones y creenciassobre las matemáticas, su

enseñanza y su aprendizajecon los que los licenciadosen matemáticas abandonan

la universidad y seincorporan al mercado

laboral, donde una de lassalidas más importantes es la

educación.

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¿Qué formación inicial recibenlos profesores de Matemáticasde secundaria?

Francisco Gil CuadraIsabel Romero Albaladejo

ARTÍCULOS

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febrero 2003, pp. 5-11

optativas de 4,5 créditos (más unas Prácticas de Enseñanzafinanciadas por otro Plan). En el mejor de los casos, la for-mación didáctica que reciben los alumnos no supera el 3 %de los créditos del plan de estudios, que es muy similar a ladel resto de universidades (Rico, 1999). El Plan pretende for-mar matemáticos con un fuerte dominio de los conceptos yprocedimientos propios de la actividad matemática, dirigidaésta a la investigación y no a la enseñanza.

Sin embargo, a la vez que los futuros profesores recibenconocimientos, se les transmiten concepciones y creenciassobre la utilidad de la matemática y su forma de apren-derla y enseñarla. Con honrosas excepciones, la metodo-logía a la que han sido expuestos durante su experienciaeducativa es a menudo la de transmisión de conocimien-tos, siendo los estudiantes sus receptores pasivos. Comoconsecuencia, los estudiantes para profesor suelen teneren alta consideración a los profesores que comunican unaimagen clara de las matemáticas, en forma de conferenciaselegantes y concisas. La propia naturaleza de lasMatemáticas contribuye a esta circunstancia, dada su natu-raleza jerárquica y la larga sombra que el formalismo enlas Matemáticas proyecta sobre su enseñanza.

En contraste, la mayoría de los movimientos de reformaabogan por un tipo de enseñanza orientada hacia los pro-cesos, en la que la instrucción pone su énfasis en la com-prensión de los alumnos, más que en la transmisión de unasmatemáticas jerárquicas y predeterminadas. La cuestión escómo hacer que los futuros profesores se replanteen suspuntos de vista, casi siempre implícitos, para considerar unavisión de las Matemáticas más orientada a los procesos ymás conectada con su utilidad y su relación con la vida, conlas implicaciones que ello tiene para la enseñanza.

En un primer acercamiento a la cuestión mencionada, y enel contexto del comienzo de una asignatura de Didácticade la Matemática de la licenciatura de Matemáticas, nosplanteamos realizar una exploración sobre las concepcio-nes y creencias de nuestros alumnos, como un elemento aconsiderar para determinar las acciones formativas que erapreciso realizar con ellos. Para ello, aplicamos un cuestio-nario abierto, elaborado por Cooney y otros (1998), convistas a obtener información acerca de las concepciones ycreencias con que un grupo de estudiantes para profesoriniciaba su formación didáctica, después de haber cursadotres cursos de Matemáticas.

El cuestionario, en una primera parte, incidía en un tópi-co matemático considerado fundamental en la licenciatu-ra. En concreto, nos referimos al concepto de función, elcual tiene además repercusiones en su futura vida profe-sional como profesores, pues es un contenido que se trataen la secundaria obligatoria y en el bachillerato. En unasegunda parte, el cuestionario incidía en las creencias delos estudiantes para profesor sobre las Matemáticas, suenseñanza y su aprendizaje.

Dicho cuestionario se aplicó a docealumnos de último curso de la licencia-tura de Matemáticas. A continuación,pasamos a resumir y comentar algunosde sus resultados.

Los conocimientosmatemáticosde los profesoresde secundaria en formación

En este apartado, nos vamos a ocuparde algunas de las preguntas sobre con-tenidos matemáticos que planteamos yde las respuestas obtenidas.

Cuando se preguntó a los estudiantespara profesor «¿qué es una función?»,once de ellos dieron una definición defunción y uno no. Los tipos de defini-ción que aparecieron pueden clasificar-se en:

• Definición de función como aplica-ción entre conjuntos (seis casos).

• Definición de función como rela-ción entre conjuntos (tres casos).

• Definición de función como rela-ción entre variables (un caso), citala utilidad de las funciones paramodelar fenómenos experimentales.

• Una «modelización de cualquierfenómeno físico, económico…, locual permite expresar de una mane-ra correcta este fenómeno» (un caso).

La casi totalidad de los estudiantes recu-rren, pues, a una definición formalistade función, puramente abstracta, endetrimento de aproximaciones quedoten de más sentido la definición parasus futuros alumnos y la conecten conexperiencias reales. Sólo en dos casosse alude a la modelación de fenómenos,aunque sin especificar qué tipo de fenó-menos son aptos para ser modelizadospor el concepto de función.

En la siguiente pregunta planteada, latotalidad de los estudiantes encuestadosresolvieron correctamente la ecuación4 – x = 2x + 3 usando métodos algebrai-cos (transposición de términos y despe-je de la variable). En once casos se

…a la vez quelos futurosprofesoresreciben

conocimientos,se les transmiten

concepcionesy creencias

sobre la utilidadde la matemática

y su formade aprenderlay enseñarla.

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aportan métodos alternativos, cuatropor ensayo y error (dando valores a lax) y siete por métodos geométricos.

Cuando se les pidió que resolvieran lasecuaciones 2x = 128, 3x = 309, nueve deellos resuelven las dos y los tres restan-tes resuelven sólo la primera. El procedi-miento utilizado para la primera ecua-ción consiste en emplear la inyectividadde la función exponencial, previa des-composición en factores primos de 128.En los tres casos en que no se resuelvela segunda ecuación no se usa la funciónlogarítmica de base 3. Uno, incluso, afir-ma que esta ecuación no tiene solución.

Ninguno de los doce estudiantes se plan-tea la posibilidad de dar una soluciónaproximada a la segunda ecuación, auncuando éste es un contenido de la ESO.

A continuación se les pidió que escri-bieran situaciones que razonablementerepresentaran los siguientes gráficos:

Aunque no se pedía explícitamente que identificaran lasfunciones, en ocho casos se plantearon el reconocimien-to de las funciones representadas con los siguientesresultados:

• En 6 casos se reconocen correctamente las funciones,desde un punto de vista estrictamente cualitativo, esdecir, se indica de qué «familia» es cada una de ellas.Se afirma que la primera es una parábola (o funcióncuadrática), la segunda una exponencial y la tercerauna logarítmica. No se dan las expresiones algebraicasde las funciones en ningún caso.

• En los dos restantes se dan descripciones muy vagasde algunas.

En cuanto a dar situaciones para cada una de las gráficas,los resultados obtenidos son:

• Primera gráfica. Se dan situaciones para esta gráficaen cinco casos. Las situaciones sugeridas son: acelera-ción y deceleración de un corredor, trayectoria de unproyectil u otro objeto, movimiento uniformementeacelerado y oscilación de ventas de un determinadoproducto.

• Segunda gráfica. Se dan situaciones para esta gráficaen seis casos. Las situaciones sugeridas son: aumentoespectacular de una inversión en un período de tiem-po, sudoración corporal en función de la temperatu-ra, desarrollo de alguna población animal en ausenciade depredadores o bajo protección, velocidad de uncoche que aumenta con el tiempo hasta estabilizarse,previsión de ventas de una mercancía y consumo deenergía eléctrica en una casa.

• Tercera gráfica Se dan situaciones para esta gráfica encinco casos. Las situaciones sugeridas son: crecimien-to de producción de una sustancia, evolución de untumor en función de la cantidad de un cierto fármacoadministrado al paciente, objeto que hundimos en elagua y va subiendo a la superficie, resurgir de unaempresa que estaba al borde de la quiebra, déficit osuperávit de una empresa (en millones) en funcióndel tiempo transcurrido.

En la mayoría de las respuestas se aprecia vaguedad ofalta de precisión al ajustar el fenómeno a la gráfica. Porotra parte, no se dan situaciones para ninguna de las grá-ficas en seis casos, que son los que no identificaron lasfunciones o lo hicieron de manera muy vaga. Es espe-cialmente significativo el hecho de que la mitad de estu-diantes ni reconocen las funciones ni son capaces deponer ejemplos.

Por último, se pidió a los estudiantes que describieran unasituación en la que usasen matemáticas la semana anterior.Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

• Ayuda a amigos estudiantes de secundaria.

Esespecialmentesignificativoel hecho de

que la mitadde estudiantesni reconocenlas funciones

ni son capacesde ponerejemplos.

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–1 0 1 2 3

1

–1

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–3 –2 –1 0 1 2 3

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1 2 3 4 5

• Para calcular porcentajes de precios (2).

• Evaluar relaciones calidad-cantidad-precio en diferen-tes marcas de un mismo producto (2).

• Para comprar la mínima tela posible a fin de confec-cionar unas cortinas, un mantel y unos cojines.

• Cálculo de precios en euros (2).

• Ayuda a una amiga en cálculos para estudiar la con-veniencia o no de un cierto crédito.

• Entender por qué al hacer una labor de cadeneta deforma circular, en cada vuelta concéntrica hay queaumentar el número de puntos.

• Ayuda a amigos o parientes pequeños en el aprendi-zaje de las tablas de multiplicar.

• Al hacer la compra, estimar si el presupuesto disponi-ble es suficiente para lo que hay que comprar.

• Medida de una pared para saber si cabe un armario.

• Continuamente, como estrategia de resolución de pro-blemas cotidianos.

Como vemos, el uso que se hace de las Matemáticasimplica operaciones numéricas básicas, medidas sim-ples, algunas estimaciones (para las que los estudiantesno han sido específicamente instruidos en su formaciónacadémica), ayuda a otros para resolver cuestionesescolares y respuestas vagas en torno a «problemas coti-dianos». De este modo, las matemáticas que conectancon su vida diaria no pasan de niveles elementales; losconceptos más sofisticados tienen sentido únicamenteen el ámbito académico y en un círculo cerrado, paraabastecer las propias necesidades del edificio matemáti-co abstracto.

En suma, al igual que los alumnos americanos, encues-tados por Cooney, Wilson, Albright y Chauvot, nuestrosestudiantes para profesor manifiestan un mayor conoci-miento académico de las Matemáticas que de las aplica-ciones que lo generan o de sus relaciones. Parece que elconocimiento matemático que poseen es insuficientepara adaptar distintos conceptos o ideas matemáticas acontextos que sean significativos para sus futuros alum-nos, así como para establecer conexiones explícitas yajustadas con las aplicaciones de dichos conceptos. Sóloa través de estas conexiones se trascendería el meroconocimiento general e informativo acerca de situacio-nes que los conceptos matemáticos podrían representar,y que parecen justificar superficialmente su inclusión enel currículo, para ser capaces de dotarlos de sentidofuera del contexto formal. Creemos que este nivel deconocimiento matemático afecta a la habilidad de losfuturos profesores para desarrollar estrategias óptimasque les permitan enseñar las Matemáticas del currículode secundaria.

Las creencias sobre laenseñanza de lasMatemáticas de losprofesores de secundariaen formación

Cuando se planteó a los estudiantesque compararan el aprender Mate-máticas con las siguientes actividades:

• trabajar en una cadena de montaje;

• hacer un rompecabezas;

• ver una película;

• realizar un experimento;

• cocinar con receta;

• construir una casa;

• coger fruta de un árbol;

• modelar una escultura de barro;

y que determinaran el mejor y el peorsímil, respondieron, como mejor símil:

• Construir una casa (ocho casos).Por las siguientes razones:

— Porque los nuevos conocimien-tos deben asentarse sobre losprevios, a modo de cimientos(cinco casos).

— Porque «hay que hacerlo pocoa poco y cada uno podemosexperimentar dentro de unoslímites lo que queremos pero alfinal todos obtenemos lomismo» (un caso).

— Porque se van adquiriendoconocimientos útiles para todala vida. «La casa que construi-mos es la mente del alumnoque cada año se ha de mejorar»(un caso).

— Porque se necesitan ciertosmateriales (axiomas o «concep-tos establecidos») y a partir deellos construimos distintas teo-rías (casas) que siempre tienenelementos en común (un caso).

• Modelar una escultura de barro(dos casos). Porque se parte deunos pocos axiomas aceptados(trozo de barro) y, a partir de ellos,se van construyendo estructuras y

…las matemáticasque conectan

con su vida diariano pasande niveles

elementales;los conceptos

más sofisticadostienen sentidoúnicamenteen el ámbitoacadémico

y en un círculocerrado,

para abastecerlas propiasnecesidadesdel edificiomatemáticoabstracto.

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deduciendo propiedades (procesode moldeado); porque tanto el artedel modelado como las matemáti-cas constituyen formas de expre-sión humana.

• Trabajar en una cadena de montaje(un caso). Porque todos los con-ceptos acaban siendo relacionadosy los usamos e introducimos paraideas posteriores. Es necesario quesean entendidos.

• Hacer un rompecabezas (un caso).Porque las matemáticas tienen unaestructura abierta similar a un puzz-le en el que vamos añadiendo pie-zas que encajan con las precedentes.

Vemos como todos los estudiantes insis-tieron, de una manera u otra, en lanecesidad de una fuerte fundamenta-ción del aprendizaje, así como en elcarácter estructurado y progresivo de lasMatemáticas.

Como peor símil, los futuros profesoresescogieron:

• Cocinar con receta (seis casos).Porque no debe ser un procesomecánico, hay que pensar (cincocasos) y porque «que una vez algose haya entendido en una clase, porexplicarlo de una forma, no signifi-ca que siempre sea así» (un caso).

• Trabajar en una cadena de montaje(cuatro casos). Porque no es unproceso monótono, mecánico (trescasos), y porque es un proceso enel que las actividades que lo com-ponen están relacionadas entre sí(un caso).

• Ver una película (un caso). Porquesi al alumno no le agrada el princi-pio de una película, ni siquierasigue viéndola, luego no es unabuena estrategia para aprendermatemáticas.

• Construir una casa (un caso). Por-que la adquisición del conocimien-to no es lineal, aditiva. El conoci-miento de un concepto matemáticono es estático, sino que evoluciona.

Aquí podemos observar principalmentecomo a nuestros estudiantes les despier-

ta rechazo el que las matemáticas se puedan concebircomo un proceso mecánico, monótono, que se realice sinsentido y sin comprensión por parte de los sus alumnos.Parece preocuparles el inducir a sus alumnos a pensar, aestablecer relaciones y a evolucionar en el proceso deadquirir conocimientos matemáticos.

Además, se les pidió una caracterización de un buenalumno. Se registraron los siguientes rasgos: capacidad derazonamiento (6), crítico (5), afán de superación (4),curioso (3), creativo (3), intuitivo (3), trabajador (3), capa-cidad de abstracción (2), riguroso (2), audaz (1), capaci-dad de inferencia (1) y capacidad de transmitir sus cono-cimientos (1).

A nuestro parecer, los encuestados identifican las cualida-des que consideran propias de los matemáticos profesio-nales (los investigadores en matemáticas), y que son lasque a ellos les gustaría tener, con las cualidades que carac-terizarían a un buen alumno de Matemáticas de secunda-ria. Respuestas a preguntas posteriores mostrarán que,como futuros profesores, los encuestados consideran quetienen responsabilidad sobre el desarrollo de estas cuali-dades en sus alumnos; lo que no sabemos es hasta quépunto ellos las tienen desarrolladas, si consideran que lastienen y si sabrían cómo fomentarlas.

Al caracterizar a alguien que no sirva para las matemáti-cas dieron los siguientes rasgos: desinteresado o despis-tado (6), acrítico (4), incapaz de aplicar conceptos cono-cidos (3), memorizador (2), derrotista (1), cerrado (1) ytodos sirven para las matemáticas, pero hay que sabermotivarles (2).

Llama la atención el énfasis en el interés y en la motiva-ción, aunque no sabemos qué estrategias de motivaciónpropondrían y cómo interpretarían el contraste con lapráctica.

También se pidió a los estudiantes para profesor que con-sideraran las siguientes similitudes: Un profesor de mate-máticas es como un…

• locutor de noticias de la radio;

• artista;

• médico;

• director de orquesta;

• jardinero;

• entrenador.

Eligieron como mejor símil:

• Entrenador (siete casos). Porque prepara a sus alum-nos para el futuro, obteniendo progresivamente mejo-res resultados (cinco casos), y porque favorece encada alumno el desarrollo de las capacidades que leresultan menos asequibles (dos casos).

…los encuestadosidentifican

las cualidadesque consideran

propias delos matemáticos

profesionales(los investigadoresen matemáticas),

y que sonlas que a ellos

les gustaría tener,con las cualidadesque caracterizarían

a un buenalumno

de Matemáticasde secundaria.

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• Director de orquesta (cuatro casos). Porque debe diri-gir y orientar el aprendizaje de los alumnos, y favore-cer su aprecio por la materia (tres casos), y porque,igual que el director, utiliza todos los medios a sualcance para hacer sonar una buena música; el profe-sor tiene que saber utilizar sus conocimientos paratransmitirlos con la mayor claridad posible (un caso).

• Jardinero (un caso). Porque «debe plantar conoci-mientos en los alumnos, cuidarlos, dejar que nazcanideas y conclusiones y luego ir modelándolos y cui-dándolos, quitando las malas hierbas y dejando lomejor».

En general, se aprecia en los símiles elegidos por los estu-diantes y en sus comentarios un interés en cuidar de susfuturos alumnos y fomentar sus capacidades y cualidadesmatemáticas, así como el aprecio por la materia. Tambiénsalen a la luz el interés por la efectividad y la obtenciónde buenos resultados formativos y, en algún caso, se trans-luce la preocupación por la transmisión clara a la que alu-díamos al principio del artículo.

Como peor símil escogieron:

• Locutor de noticias de radio (once casos). Porque selimita a contar sus conocimientos, sin favorecer lacomunicación con los alumnos y su participación(ocho casos), porque la labor del profesor no es sim-plemente «transmitir», sino enseñar (un caso), porqueel profesor no debe asumir un papel protagonista (uncaso) y porque el profesor debe favorecer en losalumnos su «afición» al razonamiento, por imitación desu propia conducta y no puede limitarse a ser unnarrador (un caso).

• Médico (un caso). Porque «no creo que haya nada quecurar, sólo hay que intentar enfocarlo de otra forma».

Una vez más, se constata el protagonismo que confierenlos encuestados a sus futuros alumnos y su preocupaciónpor la comunicación, la participación, la interacción. Esmuy significativo el hecho de que su centro de atención sehaya trasladado desde al profesor a los alumnos y que serechace un aprendizaje pasivo.

Cuando se pidió a los encuestados que dieran caracteriza-ciones del buen profesor, respondieron:

Un buen profesor de matemáticas: es motivador (5), per-mite y alienta la participación del alumno en la clase (5),reflexiona sobre su labor docente y tiene afán de supera-ción (5), fomenta el espíritu crítico en los alumnos (3), esclaro (2), comprensivo (2), está motivado por la enseñan-za (1), es creativo (1), paciente (1), preciso (1), ordenadoen sus desarrollos (1), y trabajador (1).

De nuevo, observamos el gran interés de los estudiantespara profesor por la motivación, por fomentar la partici-pación e implicación de los alumnos y por lograr un buen

ambiente de aula, así como por ser pro-fesionales eficientes en la enseñanza dela materia y por tener afán de evolucióny superación. Las cualidades personalesque se mencionan corroboran asimismoestos centros de interés.

En suma, por lo que respecta a las creen-cias de los estudiantes para profesorsobre el aprendizaje de las Matemáticas,se ha podido constatar que rechazan laidea de un aprendizaje mecánico ymonótono, y que centran su interés enfomentar la comprensión, en la línea delo estipulado por los nuevos plantea-mientos en educación matemática y eneducación en general. Ahora bien, suinsistencia en el carácter estructurado yfuertemente fundamentado de lasMatemáticas parece apuntar a que susconcepciones sobre la comprensiónmatemática están más cerca de unavisión platónica de la misma que de laresolución de problemas, la investiga-ción sobre situaciones abiertas, o la bús-queda de implicaciones con sus vidas ycon su entorno.

Por lo que respecta a la enseñanza delas Matemáticas, nuestros estudiantespara profesor manifiestan un marcadointerés por sus alumnos, en un doblesentido. Por una parte, se muestrandeseosos de fomentar el interés, la par-ticipación activa y la motivación endichos alumnos; por otra parte, se sien-ten responsables de su formación mate-mática y de fomentar en ellos cualida-des y rasgos que les permitan obtenerbuenos resultados en la materia encuestión. Quedaría por clarificar quéentienden los estudiantes para profesorpor buenos resultados, aunque todoapunta a que estarían directamenterelacionados con su visión de la com-prensión matemática tal como la hanesbozado en respuestas a preguntasanteriores.

Conclusiones

Aunque hay variaciones entre los estu-diantes encuestados, podemos encon-trar en ellos rasgos comunes significati-

…se ha podidoconstatar

que rechazanla idea

de un aprendizajemecánico

y monótono,y que centran

su interésen fomentar

la comprensión,en la línea

de lo estipuladopor los nuevosplanteamientosen educaciónmatemática

y en educaciónen general.

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vos que merece la pena destacar. Engeneral, nuestros estudiantes para pro-fesor muestran un gran interés por elaprendizaje matemático de sus alumnos,y asumen la responsabilidad por crearun ambiente de aprendizaje cómodo,motivador y, sobre todo, participativo,donde el protagonismo pertenece a susalumnos y el centro de atención estásituado en ellos.

Nuestros estudiantes ponen de mani-fiesto, asimismo, una visión de lasMatemáticas como un cuerpo estructu-rado de conocimiento que se construyesobre la base del conocimiento ante-rior. Las Matemáticas son algo que hayque entender, no que memorizar. Elaprendizaje rutinario y repetitivo ha deser evitado. Sin embargo, aunque estosestudiantes proceden de una formaciónacadémica exclusivamente matemáticaa nivel superior, no parecen prepara-dos para establecer conexiones entrelos conceptos matemáticos y aplicacio-nes prácticas o situaciones que losdoten de sentido fuera del formalismomatemático; a lo sumo, al intentar con-textualizar, se quedan en el nivel de lasgeneralidades o en el de situaciones tri-viales que pueden ser resueltas conconocimientos matemáticos elementa-les. Esto va en detrimento de la calidadde la educación matemática quepodrán proporcionar a sus futurosalumnos, por una parte, pero además,dificulta el que el futuro profesorpueda crear un ambiente de aprendiza-je estimulante y significativo, a pesarde lo que parece constituir un sincerointerés por su parte.

Los métodos de enseñanza con los quenuestros estudiantes para profesor hanaprendido las Matemáticas fomentanuna concepción de ellas como un cuer-po estructurado y formalizado de cono-cimientos (visión platónica), la cual secontrapone a la visión de la Matemáticacomo un campo de exploración y deresolución de problemas que se poten-cia en los actuales currículos. Esto cons-tituye un obstáculo para los nuevosplanteamientos educativos, pues losprofesores somos proclives a enseñar

siguiendo los mismos métodos por los que fuimos ense-ñados, y romper con esta inercia requiere conocer y viviruna forma diferente de saber, de aprender y de enseñarMatemáticas.

En este sentido, consideramos necesario revisar la prepa-ración no sólo pedagógica, sino también matemática, delos futuros profesores de secundaria, de manera que dotea los estudiantes para profesor de herramientas suficientespara afrontar su futura labor. Dicha preparación deberíacapacitarlos para realizar sus aspiraciones de crear unambiente motivador y participativo para sus futuros alum-nos, a la vez que conseguir que éstos aprendan matemáti-cas de forma efectiva. Por ello, en nuestra asignatura, lasacciones formativas van encaminadas a que los estudian-tes para profesor se cuestionen su visión de lasMatemáticas y sus propios conocimientos matemáticos;pretendemos que sientan la necesidad de establecer cone-xiones ricas entre las distintas ramas de las matemáticas, yentre las matemáticas y la fenomenología que le da origeny sobre la que tiene aplicación.

Entre dichas acciones formativas podemos señalar: el aná-lisis de incidentes críticos en los que subyacen problemasde motivación de los alumnos; el planteamiento de situa-ciones donde entre en conflicto la eficacia del conoci-miento matemático que poseen; el conocimiento de losproblemas históricos que originaron los conceptos mate-máticos, de los modelos y las representaciones de dichosconceptos, los materiales y recursos que pueden utilizar-se, y de las dificultades y errores que pueden surgir en elaprendizaje.

Bibliografía

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GARCÍA, M. (1997): Conocimiento profesional del profesor dematemáticas. El concepto de función como objeto de ense-ñanza-aprendizaje, GIEM, Sevilla.

GIL, F. (2000): Marco Conceptual y Creencias de los Profesoressobre la Evaluación en Matemáticas, Universidad de Almería,Almería.

LLINARES, S. y M.V. SÁNCHEZ (1990): Teoría y práctica en Edu-cación Matemática, Alfar, Sevilla.

PONTE, J. (1994): «Mathematics teachers’ professional knowled-ge», Proceeding XVIII PME, Lisboa.

RICO, L. (1999): «Matemáticas, Universidad y Formación del Pro-fesorado», Revista Interuniversitaria de Formación del Profe-sorado, n.° 34, 245-262.

SHULMAN, L. (1986): «Those who understand: knowledge growtin tecahing», Educational Research, n.° 15 (2), 4-14.

Francisco GilIsabel Romero

Departamento de Didácticade la Matemáticay de las CienciasExperimentales.

Universidad de Almería

11

En general,nuestros

estudiantespara profesor

muestranun gran interés

por el aprendizajematemático

de sus alumnos,y asumen

la responsabilidadpor crear

un ambientede aprendizaje

cómodo,motivador

y, sobre todo,participativo,

dondeel protagonismo

pertenecea sus alumnos

y el centrode atenciónestá situado

en ellos.

FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE SOCIEDADES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Comisión Ejecutiva

Presidente: Florencio Villarroya Secretariados:Secretario General: José Luis Álvarez García Prensa: Antonio Pérez SanzVicepresidente: Serapio García Revista SUMA: Emilio Palacián/Julio SanchoTesorera: Claudia Lázaro Relaciones internacionales: Carmen Azcárate/Luis Balbuena

Actividades: Xavier Vilella MiróPublicaciones: Ricardo Luengo González

Sociedades federadas

Federació d’Entitats per l’Ensenyamentde les Matemàtiques a CatalunyaPresidente: Marta Berini López-LaraApartado de Correos 1306. 43200-REUS (Tarragona)

Organización Española para la CoeducaciónMatemática «Ada Byron»Presidenta: Xaro Nomdedeu MorenoAlmagro, 28. 28010-MADRID

Sociedad Andaluza de Educación Matemática«Thales»Presidente: Salvador Guerrero HidalgoApartado 1160. 41080-SEVILLA

Sociedad Aragonesa de Profesoresde Matemáticas «Pedro Sánchez Ciruelo»Presidente: Florencio Villarroya BullidoICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12.50009-ZARAGOZA

Sociedad Asturiana de Educación Matemática«Agustín de Pedrayes»Presidente: José Joaquín Arrieta GallasteguiApartado de Correos 830. 33400- AVILÉS (Asturias)

Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»Presidenta: Dolores de la CobaApartado de Correos 329. 38201-LA LAGUNA (Tenerife)

Sociedad Castellano-Leonesa de Profesoresde MatemáticasPresidente: Constantino de la FuenteIB Comuneros de Castilla. C./ Batalla Villalar, s/n.09006-BURGOS

Sociedad Castellano-Manchega de Profesoresde MatemáticasPresidente: Serapio GarcíaAvda. España, 14, 5ª planta. 02006-ALBACETE

Sociedad de Educación Matemática de la Regiónde MurciaPresidenta: Remedios Peña QuintanaIES Francisco de Goya. C./ Caravaca, s/n.30500-MOLINA DE SEGURA (Murcia)

Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia(ENCIGA)Coordinador: Ricardo PadrónApartado de Correos 103.SANTIAGO DE COMPOSTELA

Sociedad Extremeña de Educación Matemática«Ventura Reyes Prósper»Presidente: Ricardo Luengo GonzálezApartado 590. 06080-BADAJOZ

Sociedad Madrileña de Profesoresde Matemáticas «Emma Castelnuovo»Presidenta: Carmen da VeigaC/ Limonero, 2828020-MADRID

Sociedad Matemática de Profesores de CantabriaPresidenta: Begoña Martínez BarredaCPR de Santander. C./ Peña Herbosa, 29.39003-SANTANDER

Sociedad Melillense de Educación MatemáticaPresidenta: Luis Serrano RomeroFacultad de Educación y HUmanidadesCtra. Alfonso XIII, s/n. 52005-MELILLA

Sociedad Navarra de Profesores de Matemáticas«Tornamira»Matematika Iraskasleen Nafar ElkarteaTornamiraPresidente: José Ramón Pascual BonisDepartamento de Matemática e Informática.Campus de Arrosadía. Universidad Pública de Navarra.31006-PAMPLONA

Sociedad «Puig Adam» de Profesoresde MatemáticasPresidente: José Javier Etayo GordejuelaDespacho 305. Facultad de Educación.Universidad Complutense. 28040-MADRID

Sociedad Riojana de Profesores de MatemáticasPresidente: Javier Galarreta EspinosaC.P.R. Avda. de la Paz, 9. 26004-LOGROÑO

Sociedade Galega do Profesorado de EducaciónMatemática (AGAPEMA)Presidente: Manuel Díaz RegueiroApartado 4188. 15080-A CORUÑA

Societat d’Educació Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»Presidente: Luis Puig EspinosaDepartament de Didàctica de la Matemàtica.Apartado 22045. 46071-VALENCIA

N LA OBRA Mathematical Recreations and Essays, W.W.Rouse Ball escribía:

La formación de diseños mediante siete piezas de madera...conocidas por tans... es uno de los pasatiempos más antiguos delOriente. Son centenares las figuras que es posible construir, queremedan hombres, mujeres, pájaros, bestias, peces, casas, bar-cos, objetos domésticos, dibujos, etc. Pero este tipo de tareas,aunque recreativas, no tienen carácter matemático, por lo que ami pesar, me contentaré con mencionarlas de pasada.

En contradicción con la opinión que Ball manifestaba enla anterior cita, se presentan en este trabajo una serie deactividades de carácter matemático cuyo soporte materiales precisamente el conjunto de esas siete piezas de made-ra conocidas por tans.

Los tangrams forman parte del grupo de juegos de disec-ción, de cuyo estudio se ocupa una de las ramas más anti-guas de la matemática recreativa y el que utilizamos enesta experiencia es quizás el más conocido de todos: eltangram chino. Los tans se obtienen dividiendo un cua-drado en siete piezas (figura 1): dos triángulos grandes,dos pequeños, uno mediano, un cuadrado y un romboide.

Este artículo tiene comoobjetivo presentar una

experiencia sobre Didácticade la Geometría llevada a

cabo en la Facultad deCiencias de la Educación deSantiago de Compostela conalumnos de la especialidadde maestro en Educación

Primaria.En ella se utilizó un juego dedisección (el tangram chino)

como base para larealización de una serie deactividades que tienen un

objetivo múltiple: concienciara los alumnos sobre lasventajas del uso de un

material manipulativo para elestudio de propiedadesgeométricas; desarrollar

diversas formas derazonamiento matemático;analizar la validez de lacomprobación frente a lademostración en diversassituaciones; confrontar las

concepciones previas de losalumnos con los resultadosde las experimentaciones.

13

Geometría para futurosprofesores de primaria:experienciascon el tangram chino

María Teresa Fernández Blanco

ARTÍCULOS

E

42

febrero 2003, pp. 13-22

Figura 1

Esta disección no se hace de manera arbitraria: como seaprecia en la figura, las líneas son trazadas de forma quelos tans guardan entre sí una serie de relaciones geomé-tricas que describimos a continuación:

• todos los vértices tienen ángulos múltiplos de 45°;

• todas las piezas contienen al triángulo pequeño unnúmero entero de veces;

• si tomamos como unidad de longitud un cateto deltriángulo pequeño, los lados de los diversos tansserán 1, 2, √2

—, 2√2

—.

Este juego nació como pasatiempo y su principal objetivoera la formación de diseños, conocidos con el nombre detangramas, la única restricción que tenía era que todos lostangramas se construían utilizando todas las piezas (figura2). Esta particular disección va a condicionar la construc-ción de los tangramas, de manera que para algunas figu-ras tendremos varias posibilidades, mientras que otras ten-drán una única solución e inluso nos encontraremos configuras imposibles de realizar utilizando únicamente lossiete tans (pese a que existen libro publicados que contie-nen más de mil figuras distintas). A pesar de la sencillezdel juego, la construcción de tangramas requiere un altogrado de intuición geométrica y de creatividad.

Obviamente, de las cuatro categoríasanteriores la más interesante desde elpunto de vista de la didáctica de lasmatemáticas es la tercera, aunque el tra-bajo con este material no deberíaexcluir las otras, ya que la manipulaciónde las piezas con fines lúdicos puedeservir para que los alumnos se familiari-cen con sus formas, sus medidas y otrascaracterísticas propias de cada tan.Problemas del tipo de «¿cuántos polígo-nos convexos diferentes podemos for-mar con los siete tans?» pertenecerían adicha categoría. El uso que daremos enesta ocasión al tangram no está conteni-do formalmente en ninguna de las cate-gorías anteriores, si bien en algúnmomento se plantearán problemas conposibilidades combinatorias como eldescrito más arriba.

Nosotros utilizaremos el tangram comorecurso y material didáctico para la intro-ducción y formación de conceptos geo-métricos, con el fin de que afloren lasconcepciones previas que tienen losalumnos sobre distintos conceptos mate-máticos, para reforzar conocimientos yconductas correctas y, a su vez, evitar obs-táculos que condicionarían y, en algúncaso, impedirían un aprendizaje posterior,para desarrollar habilidades y procesos,etc. Los conceptos y habilidades geomé-tricas serán el núcleo del objetivo que sequiere perseguir, pero sin olvidarnos de laMedida e incluso de los Números queaparecerán de una manera natural, ayu-dando de este modo a relacionar distintosbloques de la matemática que habitual-mente se mantienen diferenciados.

Conviene aclarar que el planteamiento,desarrollo y objetivo del trabajo realiza-do con este material sería distinto si setratara de alumnos de primaria o infan-til. La regla básica del tangram consisteen utilizar siempre los siete elementos,sin embargo, con niños pequeños sepuede simplificar su uso utilizando sola-mente algunas de las piezas. En los pri-meros ciclos educativos interesa resaltar,sobre todo, el reconocimiento de for-mas geométricas, realizar giros y despla-zamientos de figuras y desarrollar la crea-tividad (Cascallana, 1988). Por otra parte,

…utilizaremosel tangram

como recursoy material

didáctico parala introducción

y formaciónde conceptosgeométricos,

con el fin de queafloren

las concepcionesprevias

que tienenlos alumnos

sobre distintosconceptos

matemáticos,para reforzarconocimientosy conductas

correctasy a su vez evitarobstáculos quecondicionaríany en algún caso

impediríanun aprendizaje

posterior,para desarrollar

habilidadesy procesos…

14

Figura 2

Los juegos con tangrams pueden agruparse en lassiguientes categorías (Gardner, 1988):

1. Búsqueda de una o varias maneras de construir untangrama dado o, en su defecto, de una demostra-ción elegante de la imposibilidad de su construcción.

2. Encontrar la manera de representar, de la forma másartística o humorística, o de ambas, siluetas de ani-males, figuras humanas u otros objetos reconocibles.

3. Resolución de problemas de geometría combinatoriaque son planteados tomando como base los sietetans y sus relaciones.

4. Diseño de juegos competitivos que requieran uno omás conjuntos de tans.

los alumnos de esta experiencia educa-tiva son futuros profesores de primariay, como consecuencia de su paso porlos distintos niveles educativos, tienenadquiridas concepciones previas (algu-nas erróneas) que serán difíciles demodificar, ampliar o incluso abandonar;pero cuyo análisis y, en algún caso, con-traste con los resultados obtenidos ser-virá para enriquecer y ampliar los obje-tivos previos de las actividades pro-puestas.

Metodología

La metodología seguida en el desarrollode esta experiencia está basada en la«estructura de laboratorio», es decir,enfocada como una actividad investiga-dora sobre la construcción de concep-tos, resolución de problemas, técnicasde colaboración, etc. poniendo énfasisen la formación de conceptos y en laforma de adquirirlos. Bajo esta situación,el alumno construye sus propios conoci-mientos y el profesor se convierte en«promotor» de la investigación, presen-tando, organizando y guiando el trabajo(Alsina, Burgués y Fortuny, 1987).

La clase se organiza en grupos reduci-dos (cuatro alumnos como máximo encada uno) con lo que se busca que losalumnos expongan sus ideas dentro delmismo e interaccionen con sus compa-ñeros. El debate y el contraste de resul-tados con los demás grupos y con elprofesor enriquecerá la situación y ayu-dará a consolidar y establecer conclu-siones.

Apelando al dicho «la geometría se hacecon las manos», primeramente dejamosque manipulen los siete tans y queintenten formar un cuadrado con todaslas piezas como toma de contacto con elmaterial. Posteriormente, se iniciará laexperiencia propiamente dicha en laque plantearemos a los alumnos variasactividades, alguna de las cuales se pre-senta más adelante con detalle, en laque se pretende tratar multitud de con-tenidos matemáticos entre los que des-tacamos los siguientes:

• Triángulos. Clasificación.

• Cuadriláteros. Clasificación.

• Triángulos semejantes.

• Triángulos congruentes.

• Altura de un triángulo.

• Teorema de Pitágoras.

• Concepto de polígono.

• Elementos de un polígono.

• Clasificación de polígonos.

• Notación.

• Ángulos.

• Perímetro.

• Superficie. Unidad de área.

• Números irracionales.

• Razonamiento por inducción.

• Ejes de simetría de una figura.

Descripción de las actividades

Presentaremos de forma más detallada en este documentoseis de las actividades que componen esta experiencia, enlas cuales se sigue la formulación propuesta por ÁngelÁlvarez (1996) y que servirán como ejemplos de lo expues-to en la introducción. De esta forma, en algunas de ellas seintroducen y amplían conceptos, en otras se desarrollanhabilidades y destrezas, y en las restantes se procura com-binar ambos elementos. Una característica que se puedeobservar en algunas de ellas es que no son planteadascomo cuerpos cerrados y disjuntos sino que son retomadasy replanteadas con posterioridad (a partir de nuevos con-ceptos tratados o nuevos resultados obtenidos), lo queobliga a veces a ampliar los resultados o las conclusionesobtenidas con anterioridad, es decir, el desarrollo de la acti-vidad no es lineal, con una actividad tras otra, sino quepodría definirse como un recorrido en espiral (se vuelvena tratar actividades anteriores desde otro punto de vista yse analiza la influencia de los nuevos resultados o concep-tos sobre conclusiones obtenidas en ellas). Este es el casode la clasificación de las piezas del tangram que, a pesarde ser la primera de las actividades propuestas, a lo largodel desarrollo de las demás se irá enriqueciendo y amplian-do por la aparición de nuevos criterios de clasificación.

En cada una de las actividades se distinguirán los objeti-vos que se pretenden conseguir, las dudas y problemasconcretos que surgen en su desarrollo y que provocan amenudo que la tabla de contenidos planteada a priori seamplíe (reafirmando este hecho la influencia del alumnosobre su aprendizaje) y, por último, un breve resumen deldesarrollo de la actividad.

La metodologíaseguida

en el desarrollo deesta experiencia

está basadaen la «estructurade laboratorio»…

15

Actividad 1

¿Qué forma tienen las piezas del tangram? Clasifícalassegún distintos criterios.

En geometría una de las tareas propuestas con más asi-

duidad a los alumnos es la de clasificar los elementos de

un conjunto determinado (basta observar que los libros de

geometría de primaria y primeros cursos de secundaria

contienen multitud de estas clasificaciones: de ángulos, de

líneas, de polígonos, de triángulos...). La importancia de

una clasificación radica no sólo en obtener una partición

de un conjunto sino en conocer las características y pro-

piedades de los elementos de dicho conjunto, de manera

que el realizar estas actividades atendiendo a distintos cri-

terios nos permitirá conocer mejor dichos elementos. Así

mismo, es interesante ver cómo algunos de los criterios

elegidos por los alumnos en un principio pueden no dar

lugar a clasificaciones interesantes por múltiples causas: la

relación escogida no es de equivalencia, todas las figuras

están en una misma clase de equivalencia o incluso cada

elemento compone su propia clase.

También llama la atención a los alumnos el hecho de que

criterios aparentemente distintos (como la existencia de

diagonales y el número de lados) dan a veces lugar a cla-

sificaciones idénticas (en este caso en triángulos y cuadri-

láteros), lo que sirve para introducir distintas caracteriza-

ciones de los polígonos (por su número de lados o de dia-

gonales, por ejemplo).

Objetivos

• Obtener distintos criterios para clasificar triángulos.

• Distinguir criterios que permiten clasificar de los que no.

• Comprender la noción de partición de un conjunto.

• Clasificar cuadriláteros. Aquí aparece un elemento

nuevo, las diagonales, que nos van a ampliar el núme-

ro de criterios para hacer esa clasificación y que,

como consecuencia, enriquecerán el conocimiento de

los polígonos en general.

• Diferenciar entre triángulos semejantes y congruentes.

Principales dudas

• Posibilidad de que un triángulo pueda ser, por ejem-

plo, rectángulo e isósceles. El hecho de que duden

sobre esto va a provocar la necesidad de reconocer la

posibilidad de clasificar los triángulos atendiendo a

distintos criterios e, inmediatamente, introducir una

tabla de doble entrada que contenga las dos clasifica-

ciones: según el tipo de ángulo y según la igualdad de

los lados. Con respecto a esta tabla es muy interesan-

te el debate que surge en el aula sobre la existencia o

no de algunos pares de características: «equilátero +

rectángulo», «obtusángulo + isósceles».

• La segunda duda surge con la piezaque no es ni un triángulo ni un cua-drado (romboide). La primeraimpresión les hace pensar en unrombo, pero enseguida se dancuenta de que no lo es y analizanlas propiedades que caracterizan unrombo y cuáles de ellas mantiene eltan que tienen delante. Estas refle-xiones nos van a permitir entrar delleno en la clasificación de los cua-driláteros, construir distintos polígo-nos de este tipo y buscar criteriospara clasificarlos: atendiendo aigualdad de diagonales, posición dediagonales, igualdad de lados, para-lelismo de lados, ejes de simetría,ángulos rectos, ángulos iguales, etc.

No podemos perder de vista que la activi-dad era clasificar las piezas del tangram,pero para ello hay que reconocer lascaracterísticas de cada uno de los tans yeso fue lo que se hizo hasta el momento:qué tipo de polígono son atendiendo asus lados, si tienen simetrías, qué tipo deángulos tienen, etc. De esta manera, tene-mos bien caracterizados todos los tans, loque nos será de gran ayuda para las pró-ximas actividades. Los criterios usados enesta clasificación por los alumnos estánmuy condicionados por los que acabamosde ver en las de triángulos y cuadriláteros:número de lados, número de lados igua-les, tipos de ángulos, existencia de ángu-los rectos, existencia de lados paralelos,existencia de diagonales, etc. Es curiosoconstatar que algunos criterios como laexistencia de ejes de simetría (o su núme-ro), la cantidad de diagonales distintas,nunca son tenidos en cuenta a pesar dehaber sido trabajado en las clasificacionesde triángulos y cuadriláteros. Esto nosmuestra que los alumnos se manejan máscómodamente dentro de las clasificacio-nes clásicas que ellos estudiaron, a pesarde que a veces no sean las más idóneaspara lo que se pretende tratar.

Actividad 2

Mide y anota todas las longitudes (delados) distintas que encuentres.

La sola manipulación del material no essuficiente para recoger toda la informa-

La importancia deuna clasificación

radica no sóloen obtener

una particiónde un conjuntosino en conocer

las característicasy propiedades

de los elementosde dicho

conjunto…

16

ción que éste puede transmitir y tampo-co permite plasmarla claramente sobreel papel, por todo ello es muy impor-tante el uso de una notación correctapara cada pieza que nos ayude a ganaragilidad y eficacia. En este sentido, sepropone a los alumnos usar símbolos oletras para referirnos a dichas piezas,siempre después de que ellos compren-dan la necesidad de hacerlo, tras lo quese plantea la tarea de hallar notacionesadecuadas. Se presentan varias, pero entodas las ocasiones la aceptada por lamayoría tras un breve análisis de lasventajas e inconvenientes de cada unaes, coincidiendo con la propuesta porÁlvarez (1996), la siguiente:

P: triángulos pequeños,

G: triángulos grandes,

M: triángulo mediano,

R: romboide,

C: cuadrado.

Otra notación cómoda y bastante repre-sentativa sería: TP, TG, TM, R y C.

Objetivos

• Ver la necesidad y conveniencia dela utilización de una notacióncorrecta, lo cual va a permitir sim-plificar y mejorar la comprensióntanto de la escritura como de losgráficos y esquemas usados en eldesarrollo de las actividades.

• Comprender el concepto de unidadde medida de longitud.

• Ver la utilidad del trabajo con unavariable para no hacer depender elresultado obtenido del tangram decada grupo. Necesidad del uso dellenguaje algebraico para represen-tar resultados generales frente adatos o medidas particulares.

• Utilizar el teorema de Pitágoraspara conseguir todas las longitudesde los lados de los tans.

Principales dudas

• Operaciones con el número irracio-nal √2

—. Buscan la manera de elimi-

nar la raíz intentando aproximar suvalor, lo que implicará que en eseintento aparezcan nociones como

aproximación por defecto, aproximación por exceso,número de decimales para operar, etc.

• Problemas de diversos tipos relacionados con el sig-nificado de variable y el número de variables quenecesitan para obtener todas las longitudes.

El proceder habitual de los alumnos, cuando se les plan-tea este problema, es medir con una regla la longitud delos lados de cada tan y sólo después de la intervención delprofesor en el sentido de proponerles generalizar losresultados obtenidos a cualquier otro tangram indepen-dientemente de las dimensiones del cuadrado inicial, usa-rán una variable de la cual van a depender todas lasdemás longitudes. El número √2

— aparece al calcular, a

partir de la aplicación del teorema de Pitágoras, la hipote-nusa de P. Aquí conviene aclarar que tienen absolutalibertad para elegir como variable cualquier lado de cual-quiera de los tans, lo que nos permitirá contrastar y com-parar los resultados obtenidos por cada uno de los gruposy volver sobre la idea de semejanza. Es cierto que sepodría haber tomado como unidad de longitud el catetode P (o cualquier otro lado) con lo cual se eliminaría ladependencia de una variable, pero ese no sería el objeti-vo que se pretende y tampoco conseguiríamos eliminar elelemento perturbador y la dificultad, que tiene para ellos,operar con él. Además, en ninguna de las ocasiones enque fue planteada la actividad los alumnos sugirieron estaposibilidad, por lo que no se consideró necesaria una indi-cación en este sentido, si bien en un análisis posterior sífue comentada esta posibilidad por parte de la profesora.

Es preciso señalar que en la mayoría de las ocasiones losalumnos observan que es suficiente aplicar el teorema dePitágoras una sola vez, pues las demás longitudes se obtie-nen directamente manipulando correctamente los tans, esdecir, que una correcta y detenida manipulación y análisisde las piezas puede ahorrar cálculos innecesarios.

Actividad 3

Encuentra la superficie del tangrama cuadrado tomandocomo unidad cada una de las piezas. Calcula la superfi-cie de las demás piezas tomando como unidad:

a) Un triángulo grande.

b) El romboide.

c) Un triángulo pequeño.

d) El triángulo mediano.

Al manipular las siete piezas es fácil observar que el trián-gulo pequeño está contenido en las demás piezas unnúmero entero de veces, lo cual nos lleva a considerar estaactividad como una de las más sencillas, siempre que setenga claro el concepto de unidad de medida, en este casode superficie.

…es muyimportanteel uso de

una notacióncorrecta

para cada piezaque nos ayude

a ganaragilidad

y eficacia.

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Sin embargo, el concepto de unidad de medida no estátan claro como debiera y esto se constata cuando en estaactividad lo primero que hacen es calcular el área decada pieza y después multiplicarla o dividirla por elnúmero correspondiente para obtener el de las demáscon respecto a la pieza elegida. Es sólo en este momen-to cuando utilizan la idea de unidad de medida de super-ficie, lo que revela la identificación que hacen los alum-nos entre un concepto general (unidad de medida) y uncaso particular del mismo (las unidades del sistemamétrico decimal).

Objetivos

• Concepto de unidad de medida. Medida de superficie.

• Habituar a los alumnos a trabajar con cualquier uni-dad de medida.

• Pasar de una unidad a otra de forma sencilla.

• Obtener un nuevo criterio para la clasificación de laspiezas atendiendo al área.

Principales dudas

• Número de alturas de un triángulo. Esta duda surgecuando pretenden calcular el área del triángulopequeño para obtener la del tangrama en forma decuadrado La convicción generalizada de que sólotienen una altura deriva de la idea previa de base deun triángulo como el lado de mayor longitud que,además, se coloca horizontalmente, lo que implicaque la altura es el segmento que baja perpendicu-larmente desde el vértice opuesto a la base. El trián-gulo es rectángulo-isósceles y lo colocan con lahipotenusa como base (ver figura) para poder cal-cular la altura siguiendo la enseñanza que han reci-bido anteriormente.

Actividad 4

Tomando los dos triángulos pequeños,únelos para obtener todos los polígonosque puedas. Describe cada uno de lospolígonos obtenidos y sus característi-cas principales.

Dentro de esta misma actividad pode-mos distinguir dos planteamientos: elprimero en el que sólo se admiten unio-nes de lados de la misma longitud y elsegundo en el que se permite cualquiertipo de unión. En el primer caso sólopodrán construir cuadriláteros y triángu-los, concretamente los tan C, R y el M(figura 4). El segundo caso permitirá laaparición de polígonos cóncavos (figura5), obtendrán polígonos de más lados ydeslizando un lado sobre otro obten-drán una infinidad de polígonos distin-tos (figura 6) los cuales, sin embargo,tendrán una serie de característicascomunes. Este último panteamiento losllevará hasta una situación de conflictoentre el resultado y sus concepciones, lacual obligará a reenunciar el conceptode polígono de modo lo más claro ydetallado posible (figura 6).

Objetivos

• Revisar y ampliar el concepto depolígono.

• Clasificación de polígonos en cón-cavos y convexos.

• Comprobar que figuras de igual áreapueden tener distinto perímetro.

• Posibilidad de usar el perímetrocomo criterio para clasificar los tans.

…lo que revelala identificación

que hacenlos alumnos entre

un conceptogeneral(unidad

de medida)y un casoparticulardel mismo

(las unidadesdel sistema métrico

decimal).

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Figura 3

a

• Rechazo a la aparición de partes de la unidad, comosería el caso en el que si tomamos como unidad demedida la superficie de M, tendrían como superficiede P la mitad de M. Esto obedece a la poca confian-za de los alumnos cuando se trata de trabajar confracciones o decimales y a su identificación de lassoluciones correctas de un problema numérico connúmeros enteros. Figura 5 Figura 6 Figura 7

Figura 4

Principales dudas

• Construcción de figuras que nosaben si son o no polígonos, puesno encajan dentro de la idea queellos tienen de este concepto, aun-que en la mayoría de los casos noson capaces de exponer razones(más o menos convincentes) enque basar sus hipótesis. Entre lasfiguras que provocan esta cuestiónse encuentran principalmente lospolígonos cóncavos, puesto quehasta ahora no habían aparecido enactividades anteriores, y construc-ciones como la de la figura 7.

• La idea, muy arraigada en los alum-nos a pesar de su supuesta forma-ción matemática anterior (algunosalumnos tienen superada la asigna-tura de Matemáticas de COU), de «aigual área corresponde igual perí-metro» supone uno de los principa-les obstáculos en el desarrollo deesta actividad, llegando en algúncaso los alumnos a reafirmarse enesta hipótesis errónea pese a obte-ner resultados que la desmienten(piensan que el fallo es del resulta-do y no de la hipótesis).

Actividad 5

Ordena las piezas del tangram.

Ordenar también es una actividad pro-pia de numerosos campos de la mate-mática y, aunque su dominio habitualde actuación sea el de los Números,vamos a ver la importancia que llega aadquirir en geometría. El enunciado dela actividad está planteado de formapoco clara y es demasiado general, peroeste efecto está buscado con el fin deprovocar un análisis y debate que nosva a permitir retomar la idea de clasifi-cación como relación de equivalenciapero sin entrar de manera muy profun-da ni formalista en la Teoría de Con-juntos.

Objetivos

• Propiedades que determinan unarelación de orden.

• Diferenciar ordenar de clasificar.

Principales dudas

• Al aplicar la relación «menor que» (o «mayor que»), quees la que aparece en un primer momento, se encuentrancon el problema de definir ese «menor que» con respec-to a algo concreto, es decir, si uno plantea «¿qué piezadel tangram es menor que las demás», automáticamentelos alumnos piensan en los triángulos pequeños, al igualque consideran los triángulos grandes como las piezasmayores del tangram (nótese que en ningún caso hasido necesario definir el significado de «mayor que», lasrespuestas se basan únicamente en la propia intuición).Sin embargo, el problema surge a la hora de «ordenar»las otras tres piezas puesto que ello requiere una defini-ción concreta de la relación que estamos aplicando.Aquí surgen como posibles alternativas el área y el perí-metro: en el primer caso ninguna de las piezas seríamayor que las demás, pero sí en el segundo.

Llegado a este punto el profesor analiza con los alum-nos el proceso seguido y los invita a recordar el con-cepto de relación de orden. Tras un breve repaso delmismo, es asumido rápidamente el conflicto existenteentre la «ordenación» realizada y el cumplimiento de lapropiedad antisimétrica (existen piezas distintas quecoinciden en área y perímetro). Tras la sorpresa de losalumnos se les hace ver que lo que ellos hicieron enrealidad no es otra cosa que clasificar de nuevo las pie-zas atendiendo a nuevos criterios, con lo que se reto-man actividades anteriores y se muestra a los alumnosla importancia de tener claros los conceptos matemáti-cos que hay que aplicar (en este caso el de relación deorden) con el fin de evitar posteriores sorpresas.

• Conflicto sobre el significado de ordenar. En el dic-cionario se presenta como sinónimo de colocar, dis-tribuir… y este significado se acerca más al conceptoprevio de los alumnos que el matemático de estable-cer una relación de orden.

Actividad 6

Toma tres triángulos de entre los cinco existentes. Ensaya cómodeben situarse para obtener el polígono del máximo (mínimo)número de lados. Extiende el resultado a n triángulos.

En esta actividad se aplican y relacionan conceptos adqui-ridos en las anteriores (polígono cóncavo, convexo, con-cepto de vértice, etc.), por lo que no es planteada en nin-gún caso como una actividad propicia para que aflorennuevos contenidos. En este sentido, podemos considerar-la una actividad integradora o globalizadora.

Objetivos

• Indagar sobre las distintas posibilidades de elecciónde los triángulos y la influencia de esta elección sobreel resultado final.

Ordenartambién

es una actividadpropia

de numerososcampos

de la matemáticay, aunquesu dominio

habitualde actuación seael de los Números,

vamos a verla importancia

que llegaa adquirir

en geometría.

19

• Habituar al alumno a plantear estrategias de análisisen las que se traten de un modo exhaustivo todas lassituaciones posibles.

• Usar el método de inducción.

El razonamiento inductivo se puede considerar como unprocedimiento educativo muy útil para la adquisición ydescubrimiento de conceptos y propiedades de ámbitogeométrico o matemático en general. El uso de la induc-ción para contar (en este caso, el número de lados) con-siste en analizar la evolución de una determinada cantidadal aumentar la complejidad del problema.

Principales dudas

• ¿El número máximo (mínimo) de lados del polígonoque se va a formar depende de los triángulos escogi-dos?

Antes de comenzar con la enumeración de posibles resul-tados nos planteamos las distintas posibilidades de elec-ción de los triángulos:

• utilizar dos pequeños y el mediano (PPM);

• tomar dos pequeños y el grande (PPG);

• dos grandes y uno pequeño (GGP);

• dos grandes y el mediano (GGM);

• y, por último, uno grande, uno pequeño y el media-no (PMG).

En principio no resulta muy claro para los alumnos que lasolución depende o no de la combinación elegida ycomienzan a enfrentarse con el problema por el métodode ensayo-error. Si pretendemos obtener el polígono conel menor número de lados y tenemos en cuenta que cadagrupo hace su elección de triángulos, nos encontramoscon polígonos como los de la figura 8.

y llegar a la solución para n triángulosresulta muy sencillo (figura 9).

20

Figura 8

Tras sucesivas manipulaciones y análisis, y con algunaindicación por parte del profesor en casos concretos,observan que para obtener el número mínimo necesitanque lados de distintos triángulos unidos formen un ladodel polígono nuevo (supondría «convertir dos lados enuno») y que, además, el polígono sea convexo para noganar lados, es decir, unir los polígonos entre sí por ladosde igual longitud.

En el caso de construir el polígono con el mayor númerode lados la situación cambia (no depende de la elección)

Figura 9

Evaluación

La evaluación es una parte importanteen el proceso de enseñanza-aprendiza-je y, como tal, debe ser planteada en ladescripción y programación de todaactividad (y es importante que nuestrosalumnos de Magisterio así lo entiendan)pues casi siempre actividades diferen-tes requieren métodos o criterios deevaluación diferentes. Esto es impor-tante a la hora de programar cualquieractividad con nuestros alumnos, puescreemos que uno de los errores de laenseñanza tradicioinal consiste en lamecanización de los medios de evalua-ción (exámenes escritos en su mayoría)desvirtuando o ignorando totalmenteotras posibilidades muchas veces máseducativas para los alumnos (lectura delibros, realización y exposición de tra-bajos, exámenes o pruebas en grupo,trabajo de aula…). La metodologíaseguida condicionará el sistema de eva-luación, por lo que, al haber planteadola clase con una estructura de laborato-rio el profesor deberá recoger informa-ción sobre cada alumno y sobre ladinámica del grupo durante todas lassesiones de trabajo.

Se propuso a los alumnos tras finalizarlas actividades la realización de un tan-gram original, en el cual se dieran lasdos principales características del tan-gram chino manejado en clase, es decir,deberían construir un tangram de formaque tuviera una pieza «generadora» en

cuanto al área (el papel que hacía el tanP en el tangram chino) y que todos losdiseños de figuras estuvieran formadoscon todas las piezas que resultaran de ladisección de ese tangram. Este trabajodebería estar acompañado de una seriede actividades de tipos diversos queellos mismos propondrían (en algunoscasos originales y en otras adaptacionesde las ya realizadas) en las que se tra-bajasen contenidos matemáticos.

Se les enseñaron otros modelos de tan-grams que cumplían esos requisitos(tangram cuadrado, tangram rectangu-lar, tangram triangular, etc.), en los quese podían observar diferentes figurasgeneradoras dependiendo de la figurade la que se partía, y otros que no loscumplían pero que servían igualmentepara trabajar contenidos matemáticos,incluso en algún caso aumentaba lacomplejidad de la disección, de las for-mas y de los contenidos a estudiar (tan-gram en forma de huevo).

Los resultados fueron muy interesantes,desde la figura inicial elegida para rea-lizar la disección hasta la forma deplantear las actividades. La mayoríaoptó por elegir un polígono regularcomo figura inicial para obtener lostans, mientras que otros tomaron comoreferencia un barco, un muñeco, etc. Encuanto a la forma de plantear las activi-dades, tenemos por un lado los quesiguen un esquema idéntico al plantea-do en clase y, por otro lado, los que eli-gen otro tipo de opciones como, porejemplo, un cuento en el que el prota-gonista es la figura a partir de la cual seobtienen los diversos tans y en cuyodesarrollo se van obteniendo otros pro-tagonistas de la historia a partir de lasmismas piezas. Mientras se lee y siguela historia se van planteando al niñodiferentes actividades de contenidomatemático.

La presentación también fue interesantepuesto que contrastaban los que plantea-ban su trabajo de un modo académico:presentación de las piezas, actividades,soluciones; y quienes optaban por unestuche que contenía las piezas en dife-rentes materiales y se separaba por un

lado el material para el alumno y por otro las indicacionespara el profesor.

Conclusiones

Es cierto que los contenidos aparecen un poco desorde-nados si los comparamos con el esquema lógico-deducti-vo marcado por la enseñanza de la geometría tradicional;sin embargo esto hace, desde mi punto de vista, que segeneren conceptos, habilidades y procedimientos en elmomento que realmente los necesita el alumno y no antes.De esta forma, perdemos la secuencia lineal que se siguehabitualmente, pero, por el contrario, se dotan de signifi-cado los conceptos estudiados, viendo el nacimiento dealgunos de ellos como respuesta a problemas o situacio-nes concretos, es decir, la idea consiste en no presentar lasmatemáticas como un edificio terminado lleno de conteni-dos en principio innecesarios (desde el punto de vista delalumno), sino en ir construyendo dicho edificio siguiendomás o menos lo que es el desarrollo de la historia de cual-quier ciencia.

La mayoría de las actividades son sencillas y se necesitapoco tiempo para su desarrollo; sin embargo, cuandomenos lo esperamos se complican debido a los siguientesmotivos:

1. Las concepciones previas de los alumnos como con-secuencia de una geometría pobre y restringida alcálculo de áreas y volúmenes como único objetivo.

2. Poca destreza en la manipulación del material, en par-ticular el tangram, lo que hace que no vean la com-ponente geométrica que se deriva de las relacionesque existen entre las piezas, así como la escasa «visióngeométrica» que dificulta la consecución de algunasfiguras con rapidez.

3. Tendencia a dar un valor numérico en cualquier tipode situación de medida aunque no se requiera explí-citamente. Esta tendencia provoca que no vean la uti-lidad de usar una variable o bien que no lleguen acomprender el significado de unidad de medida.

Una conclusión de tipo general se basa en la importanciaque adquiere la metodología empleada otorgándole elmismo peso que a los contenidos. Desde esta perspectiva,el clima en el que aprenden los futuros profesores va aconfigurar su actitud a la hora de encontrarse con las situa-ciones de enseñanza como señalan Gimeno y Fernández,citados por Azcárate (1998):

El método con el que aprenden los futuros profesores genera unclima en el que aprenden muchas destrezas profesionales sote-rradamente, de forma implícita, que son las que configuran deci-didamente las actitudes del futuro profesor a la hora de enfren-tarse con las situaciones de enseñanza.

…la idea consisteen no presentarlas matemáticascomo un edificio

terminadolleno

de contenidosen principioinnecesarios

(desde el puntode vista

del alumno),sino en ir

construyendodicho edificio

siguiendomás o menos lo

que es el desarrollode la historiade cualquier

ciencia.

21

Para finalizar, se puede considerar esta experiencia comouna actividad abierta que coincide en el planteamientobase con los llamados «proyectos de aula» (De la Torre,1996), es decir, las situaciones con las que se encontraronlos alumnos requirieron más conocimiento geométrico delque poseen y los llevaron a aplicar lo que ya conocen, demanera que en este sentido se motiva al alumno (futuroprofesor de primaria) a plantearse preguntas y es él quiencrea su propio conocimiento.

El conocimiento profesional no puede ser transferido, es construi-do individualmente por cada profesor desde sus propias expe-riencias, en interacción con el entorno y en un camino que rela-cione el nuevo conocimiento con el pensamiento previamente ela-borado, en un intento de dar sentido al nuevo conocimiento.(Professional Development and Teacher Autonomy, Castle, K. yAichele, D. B. 1994)

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María Teresa FernándezFacultad de Ciencias de laEducación. Universidad deSantiago de Compostela.

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E LA DIVERSIDAD de culturasa la cultura de la diversidad

Un famoso relato de Franz Kafka, Comunidad, refleja latradicional hostilidad hacia lo diferente, lo extraño, lo quese aparta de la normalidad. En este relato, el escritor narrala historia de un grupo de amigos que dejan de sentirsecómodos ante la inesperada llegada de un extranjero.Estos amigos confían en que el extranjero se irá prontoporque aquél no es su lugar, restableciéndose, así, elsupuesto orden inicial. Nuestro mundo social, y nuestromundo educativo en particular, se caracterizan cada vezmás por la diversidad de culturas, culturas que unas vecesconviven y que otras veces simplemente aprenden asoportarse, como en el cuento de Kakfa. La crecientediversidad de culturas es una realidad que no necesita deestadísticas por lo evidente que resulta. Tampoco sonnecesarias estadísticas para señalar las múltiples dificulta-des y contradicciones que han surgido socialmente comoconsecuencia de la llegada masiva de gentes de otros paí-ses. Lo diferente, lo extraño, tiene la capacidad de provo-car un fuerte sentimiento de amenaza en muchos de noso-tros. La escuela y la educación matemática no viven ajenasa esta situación.

Sin duda, la inmigración está generando un profundodebate en nuestro país. El crecimiento de los flujos migra-torios, especialmente el de los llamados países del tercermundo hacia los llamados países del primer mundo, haprovocado que el tema de la educación multiculturalcobre una destacada relevancia en los últimos años. Enmuchas aulas hay un importante aumento de alumnosque viven una integración difícil. Se trata de alumnos per-tenecientes a minorías étnicas, inmigrantes de primera osegunda generación, que llegan a una sociedad y a un sis-tema educativo desconocidos para ellos y, en muchos

Este artículo aportareflexiones y sugerencias

para dar un paso adelanteen la construcción de unacultura de la diversidad enun ámbito donde apenas seplantea su conveniencia: elaula de matemáticas. Desde

el convencimiento de quetodo alumno debería recibiruna educación matemática

significativa y ningunodebería ser excluido por

motivo de diferenciasculturales, sociales o

lingüísticas, desarrollamosuna visión de la educaciónmatemática centrada en dos

grandes, y nada fáciles,objetivos: conseguir

aprendizaje matemáticopara todos y promover

formas de enseñanza quecontribuyan a la

democratización de unaprendizaje de calidad.

23

Medidas de apoyo pedagógico,didáctico y organizativo ante elfenómeno del fracaso matemáticoescolar en alumnos minoritarios

Núria Planas i Raig

ARTÍCULOS

D

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febrero 2003, pp. 23-36

sentidos, incompatibles con sus expectativas de normali-dad. Muchos de estos alumnos acumulan historiales aca-démicos de fracaso escolar y apenas unos pocos consi-guen promocionar en nuestro sistema educativo. A estasituación de diversidad étnica, hay que añadir el crecien-te proceso de marginación socioeconómica que experi-mentan la mayoría de lugares geográficos donde se insta-lan los inmigrantes.

La diversidad de culturas ya es un hecho. Pero, ¿qué ocu-rre con la cultura de la diversidad? A menudo se olvidaque todo aprendizaje es por contraste, y que el contrastesólo es posible si hay diferencias y si, además, éstas seexplicitan. Este artículo aporta reflexiones y sugerenciaspara dar un paso adelante en la construcción de una cul-tura de la diversidad en un ámbito donde apenas se plan-tea su conveniencia: el aula de matemáticas. Tratamos decontribuir a mejorar la comprensión de las dificultades enel aprendizaje matemático de los alumnos minoritarios,aunque nuestra propuesta incluye pautas de actuación quedeberán proporcionar respuestas positivas a las necesida-des de todos los alumnos. Estas pautas habrán de promo-ver una cultura de la diversidad en el aula de matemáticas,en espera de que algún día exista una cultura de la diver-sidad fuera de ella.

¿Desigualdad de oportunidadesen el aprendizaje matemático?

Todo alumno debería recibir una educación matemáticasignificativa y ninguno debería ser excluido por motivo dediferencias culturales, sociales o lingüísticas. Además, lasescuelas deberían contribuir de forma activa a identificaraquellos factores educativos que disminuyen las oportuni-dades de aprendizaje matemático de algunos alumnos ysuperar dichas barreras sin perjudicar seriamente la inte-gridad individual y colectiva de ningún alumno. Convieneexplicitar esta declaración de principios desde un inicio,por muy evidente que parezca, porque estas intencionesno coinciden precisamente con nuestra experiencia de larealidad. De acuerdo con estos principios de calidad eigualdad, no podemos dejar de buscar métodos y estrate-gias que favorezcan la consecución de una educaciónmatemática significativa para todos. Es decir, una educa-ción matemática que redefina los contenidos matemáticosescolares, primero en términos de educar ciudadanos paravivir en la sociedad actual y, sólo más tarde, en términosde capacitar unos determinados perfiles profesionales.

Cuando una educación matemática en la etapa de escola-rización obligatoria sólo es significativa para aquellos quehabrán de seguir estudios superiores, no tiene mucho sen-tido hablar de intentos por equiparar las oportunidades deaprendizaje matemático de todos los alumnos. Por supues-

to, el hecho de capacitar para unosdeterminados perfiles profesionales nose opone necesariamente al objetivomás global de educar ciudadanos, perosí es cierto que muchas veces lo restrin-ge hasta excluir de esa educación mate-mática a aquellos alumnos cuya identi-dad social no se ajusta a dichos perfiles.Nuestra experiencia muestra, por ejem-plo, que es poco habitual que, ante laspreguntas «¿Por qué estamos haciendoesto? ¿Para qué sirve?», los alumnosminoritarios acepten respuestas acadé-micas del tipo «Porque sale en el tema-rio» o «Lo váis a necesitar más adelante».Estos alumnos acostumbran a argumen-tar que para ejercer las profesiones quea ellos supuestamente les esperan no vaa ser necesario el temario de matemáti-cas que están dando. En cambio, losalumnos locales de clase media, laspocas ocasiones en que se permitenplantear estas mismas preguntas, acos-tumbran a mostrarse satisfechos conestas mismas respuestas o, al menos, ano mostrarse decepcionados. Aunqueestos últimos alumnos tampoco parecenesperar respuestas plenamente satisfac-torias, entienden que para ejercer el tipode profesiones que les depara el futurovan a necesitar unas matemáticas técni-cas y poco relacionadas con aspectos dela vida cotidiana, aspectos que, en cual-quier caso, deberán tratarse en otrasasignaturas. Así, la capacitación paraunos determinados perfiles profesiona-les de corte más académico parece ser-vir de mayor o menor motivación paralos alumnos en función de su ubicaciónsociocultural.

El ejemplo anterior pone de manifiestola fragilidad de las oportunidades deaprendizaje en el discurso pedagógicopráctico, aunque el discurso teóricoabogue por fortalecer las oportunidadesde los más débiles. El discurso pedagó-gico teórico que prevalece en la actuali-dad combina dos grandes preocupacio-nes: la atención a la diversidad y laigualdad de oportunidades. Se dice quepara darse uno de los principios men-cionados es imprescindible prestar aten-ción al otro y viceversa. Pero, más alláde aspectos relacionados con el currícu-

…las escuelasdeberíancontribuir

de forma activaa identificar

aquellos factoreseducativos

que disminuyenlas oportunidades

de aprendizajematemáticode algunosalumnosy superar

dichas barrerassin perjudicar

seriamentela integridad

individualy colectivade ningúnalumno.

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lo matemático y su justificación, ¿quétiene que ver la diversidad con la igual-dad?, ¿o con la desigualdad? Poner jun-tos a alumnos muy diversos no es unasituación de por sí igualitaria. La demo-cratización en el acceso a la educaciónno implica democratización en la aten-ción recibida ni en los resultados. Delmismo modo, el concepto de igualdadde oportunidades suele diluirse encuanto se intentan aplicar criterios dehomogeneización en la selección de ungrupo clase. En resumen, y tal comoseñala Clements (2000), las relacionesentre diversidad e igualdad son muycomplejas y se han venido caracterizan-do más por la desigualdad en las opor-tunidades de acceso, atención y resulta-dos de los distintos alumnos, que porlos intentos de equiparar en lo posiblelas condiciones de su aprendizaje.

Primeros indiciosdocumentadossobre la desigualdad

Aunque son más frecuentes que añosatrás, en el campo de la educaciónmatemática a nivel internacional y, enconcreto, en nuestro país, todavía noabundan trabajos sobre las dificultadesde aprendizaje matemático en alumnosinmigrantes. Y, cuando los hay, tien-den a reducir la problemática plantea-da a meras cuestiones relativas a han-dicaps cognitivos, lingüísticos, emocio-nales, culturales… Este hecho tieneque ver con la tardía introducción deldebate social en el ámbito de la edu-cación matemática y, como consecuen-cia, la tardía recontextualización teóri-ca de términos procedentes de las lla-madas teorías de lo social (antropolo-gía, psicología cultural, sociología críti-ca...) (para más detalle, ver Planas, enprensa). La mayoría de investigacionesdesarrolladas hasta el momento ponende relieve aspectos de los gruposminoritarios que acentúan sus diferen-cias respecto a los grupos mayorita-rios, en lugar de destacar aspectos queson comunes y que podrían encontrar-se radicalizados en alumnos con un

precario reconocimiento cultural y social (Keitel y Kil-patrick, 2000).

Revisando la literatura en educación matemática, a pesarde la escasez, se observa que durante los últimos veinteaños ha ido aumentando paulatinamente el interés por laperspectiva sociocultural y, aquí dentro, por la perspecti-va sociocultural crítica. De hecho, la investigación sobre elaprendizaje matemático de las minorías tiene sus orígenesen la investigación sobre el aprendizaje matemático de lasmujeres. En 1975 encontramos los primeros artículospublicados que tratan directamente el tema de las minoríasy las matemáticas. En concreto, se estudia el caso de lasmujeres pertenecientes a grupos minoritarios y sus dificul-tades en el aprendizaje matemático. Estudios anteriores sehabían referido a las diferencias en el terreno afectivoentre alumnos de distintos grupos sociales y culturales.Pero, aunque el rendimiento en matemáticas era una varia-ble a considerar en todos estos estudios, comprender losmotivos por los cuales el rendimiento era más bajo en losalumnos minoritarios no era un propósito explícito. Eltema se aproximaba desde un punto de vista descriptivo yesencialmente estadístico.

Hasta 1975 se habían desarrollado muy pocos trabajos derelevancia sobre matemáticas y minorías, todos ellos en lacomunidad de habla inglesa, y sólo unos pocos habíanllegado a ser publicados. Lo curioso es que en varios paí-ses se empezaba a promover el desarrollo de un currícu-lo de matemáticas especial para jóvenes de grupos mino-ritarios, a pesar, insistimos, de la ausencia de investiga-ciones en este campo. Unos años más tarde, los interesespolíticos en Estados Unidos, en una etapa de apogeo enla defensa de los derechos civiles de las minorías, hicie-ron que importantes fundaciones privadas costearan, porprimera vez, proyectos de investigación sobre minorías ymatemáticas. Como consecuencia, en marzo de 1984, unaprestigiosa publicación en educación matemática, elJournal for Research in Mathematics Education, editó unmonográfico titulado «Minorities and Mathematics». Elmonográfico incluía un recopilatorio de investigacionesempíricas de naturaleza estadística, donde se denunciabael elevado porcentaje de fracaso matemático escolar enlos grupos de alumnos inmigrantes de primera y segundageneración en países como Estados Unidos, Alemania yReino Unido. Se hablaba de alumnos minoritarios al refe-rirse a alumnos con condiciones de riesgo vinculadas a suprocedencia cultural y social. La editora del monográfico,Westina Matthews, en referencia a los prejuicios de tiposocial que, a su entender, limitaban la comprensión delfenómeno de fracaso escolar de las minorías, escribía enla introducción:

[…] Creo que nuestra incapacidad por comprender las diferenciasen la participación y el aprendizaje [matemático] entre los distin-tos grupos étnicos puede derivarse de varios supuestos cuestiona-bles que fundamentan las actuales líneas de investigación. […]

…las relacionesentre diversidad

e igualdadson muy complejas

y se han venidocaracterizando

más porla desigualdad enlas oportunidades

de acceso,atención

y resultadosde los distintos

alumnos,que por

los intentosde equipararen lo posible

las condicionesde su aprendizaje.

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El monográfico «Minorities and Mathematics» fue un puntode partida básico para investigaciones posteriores quedesde distintos ámbitos políticos fueron, en parte, obsta-culizadas. A pesar de las demandas de varios entornosacadémicos y foros internacionales de investigación, insti-tuciones gubernamentales y administraciones educativasde diversos países rechazaron sistemáticamente suminis-trar evidencias estadísticas concretas acerca del menor ren-dimiento matemático escolar de alumnos inmigrantes y/oen situación de riesgo social, argumentando que estosdatos podrían ser usados para estigmatizar aún más a estosgrupos de alumnos. En la actualidad, y a grandes rasgos,se pueden distinguir dos tipos de investigaciones. El pri-mer tipo hereda el enfoque estadístico inicial y se limita aexponer los índices de fracaso escolar de ciertos grupos,al mismo tiempo que reclama a las administraciones perti-nentes claridad en sus posicionamientos y actuaciones, yceleridad en la cesión de los datos. El segundo tipo com-plementa y, a la vez, reacciona al anterior. Lo comple-menta porque no sólo se piden responsabilidades a lasadministraciones sino que también se hace mención de losrestantes miembros de la comunidad educativa. Y suponeuna reacción porque exige ir más allá de la descripción decifras para llegar a interpretar su significado.

Los estudiosos que buscan interpretar el tema del fracasomatemático escolar señalan como causas indicadores demuy diversa índole. Para la mayoría de ellos, el origen delfracaso no reside únicamente en las características perso-nales del alumno y del grupo sociocultural al que éstepertenece. Las creencias y expectativas respecto a unosdeterminados grupos de alumnos y el convencimientogeneralizado de que éstos acumulan importantes déficitsdeben ser consideradas causas de primer orden ligadas alfracaso. Es necesario tener en cuenta las condiciones enlas que se produce el aprendizaje matemático, tantodesde la perspectiva del alumno como de su relación conel entorno interpersonal más inmediato, si queremosconstruir una interpretación del fracaso que no se centreen la penalización del alumno. El conjunto de estas con-diciones interrelacionadas es lo que, de algún modo,puede acabar originando trayectorias individuales y colec-tivas de fracaso escolar.

Sobre el fracaso escolar y el modelodel déficit

¿Por qué fracasan algunos alumnos en clase de matemáti-cas? Existen varios modelos explicativos que intentan res-ponder a esta cuestión. Antes que nada, es necesario acla-rar a qué tipo de fracaso nos referimos. Hay dos tipos prin-cipales de fracaso matemático escolar. En primer lugar,hay un fracaso que surge de las reiteradas evaluaciones

negativas que ciertos alumnos recibenen el área. Luego, encontramos otro fra-caso, también muy importante y del quese habla menos, que se refiere a aque-llos alumnos que acaban la escolaridadobligatoria sin haber adquirido las habi-lidades matemáticas mínimas paradesenvolverse en la sociedad donde lesha tocado vivir. En nuestro sistema edu-cativo, esta última noción de fracaso esdifícil de medir y observar porque ape-nas se hace referencia a ella. No habla-remos del fenómeno de analfabetiza-ción funcional en matemáticas, aunquecreemos que es un tema sobre el queaún no se ha reflexionado lo suficientey que tiene mucho que ver con el fenó-meno del fracaso. Lo dejamos para otroartículo. Aquí, cuando hablemos de fra-caso, estaremos refiriéndonos esencial-mente a los porcentajes de fracaso reco-nocidos oficialmente por medio dedatos estadísticos. Es decir, aquel fraca-so que se contrapone al denominadoéxito académico y que se origina comoconsecuencia de sistemas de evaluaciónaplicados a un determinado currículoestablecido. Éxito académico que, porotra parte, no tiene que ver necesaria-mente con la adquisición de un ciertogrado óptimo de alfabetización funcio-nal en matemáticas. Puede haber a lavez éxito académico y escasa compe-tencia matemática.

Por supuesto, el riesgo de fracaso siem-pre existe en toda la población escolar.Sin embargo, algunos grupos de alum-nos acumulan mayores porcentajes defracaso. Entre otros, encontramos a losjóvenes inmigrantes extracomunitarios.En este caso, es evidente la importanciaque tiene el dominio y uso del lenguajevehicular del aprendizaje respecto a losfenómenos de éxito y fracaso escolar.Pero sería demasiado simple interpretarel fracaso en las matemáticas escolaresde muchos alumnos inmigrantes tansolo en términos de dificultades lingüís-ticas. Del mismo modo que sería erró-neo confundir la dificultad en la com-prensión de una lengua específica conla incapacidad en el uso correcto decualquier lengua. Hay muchos otros fac-tores involucrados en sus dificultades de

…hay un fracasoque surge

de las reiteradasevaluaciones

negativasque ciertosalumnosreciben

en el área.

…otro fracaso,también

muy importantey del que

se habla menos,que se refiere a

aquellos alumnosque acaban

la escolaridadobligatoriasin haberadquirido

las habilidadesmatemáticas

mínimaspara desenvolverse

en la sociedaddonde

les ha tocadovivir.

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aprendizaje. En este punto, vamos a tra-tar de cuestionar creencias predominan-tes acerca de las razones asociadas a lasdificultades en el aprendizaje matemáti-co de estos grupos de alumnos.

El hecho de que en los últimos años laadministración educativa haya situadopor igual los alumnos discapacitados(físicos o psíquicos) y los procedentesde otros países dentro de la amplia cla-sificación de alumnos con necesidadeseducativas especiales (n.e.e.), ha contri-buido a empeorar las expectativas socia-les respecto al rendimiento escolar delos jóvenes de minorías étnicas. Sinembargo, los alumnos procedentes deminorías étnicas no son, ni deben tra-tarse como alumnos discapacitados,aunque necesiten apoyo, como todos,durante el período de su escolaridad.De todos modos, si tomamos la ampliadefinición oficial de alumnos con n.e.e.(es decir, cuando se presentan dificulta-des físicas, sensoriales, intelectuales,emocionales, sociales, o alguna combi-nación de éstas, que afectan al aprendi-zaje), estos alumnos pueden considerar-se bajo la etiqueta de necesidades edu-cativas especiales, al igual que todos losalumnos lo son en cierta medida y enciertos momentos.

Todos los alumnos tienen necesidadeseducativas específicas o especiales máso menos transitorias. Naturalmente,cuando la administración educativahabla de alumnos del tipo n.e.e. serefiere a problemáticas de una ciertagravedad y persistencia. Pero precisa-mente por eso no tiene sentido asociarel término directamente a los gruposminoritarios. Los alumnos inmigrantesno presentan en general handicaps detipo funcional, sensorial o motor, nitampoco dificultades específicas de tipovisual, auditivo, del habla o físicas. Lasdificultades de adaptación a la nuevacultura escolar y los frecuentes historia-les de bajo rendimiento académico noson argumentos suficientes para con-cluir sobre unas supuestas incapacida-des que les caracterizarían en el mundoescolar. Ni son discapacitados ni estángenéticamente imposibilitados paratener un buen desarrollo personal y un

acceso normalizado al currículo matemático escolar. Porello, se hace necesario revisar los programas compensato-rios dominantes en nuestro sistema educativo. El modelodel déficit subyacente en estos programas es un claroimpedimento para una aproximación efectiva a una cultu-ra de la diversidad en el aula de matemáticas.

Los programas compensatorios, implantados en las escue-las de casi todas las sociedades modernas a inicios de losochenta, consideran que los alumnos con identidad socialde riesgo requieren de una atención exclusiva y especiali-zada que garantice la adquisición de los objetivos escola-res por medio de una pedagogía adaptada. Los programasque se vienen adoptando en el intento de dar respuesta ala gestión de la diversidad sociocultural en las escuelas denuestro país se basan en esta idea. El problema radica enque la práctica compensatoria parte de una interpretaciónde la diferencia en tanto que déficit, y de la igualdad entanto que uniformidad. La filosofía de fondo consiste enun concepto negativo de diversidad cultural y social.Prevalece socialmente el prejuicio según el cual los alum-nos de grupos minoritarios son menos «racionales» y más«emocionales» que los otros. Se interpreta que su mundoes más afectivo y literario, mientras que el de otros alum-nos sería más formal y analítico. También se les consideramás supeditados a los intereses de su grupo social ymenos dispuestos a intereses sociales de tipo más general.Se tiende a creer que tienen una fuerte dependencia de lascondiciones de su contexto y que la vivencia principal-mente emocional de este contexto les impide desarrollarformas causales y genéricas de pensamiento que prescin-dan de su lugar o afiliación social.

El modelo del déficit cognitivo es todavía el más vigen-te, con todo el reduccionismo en la práctica educativaque ello conlleva. De los grupos minoritarios en lassociedades occidentales modernas se ha llegado a decirque presentan más dependencia del juicio de los demásy que este hecho dificulta el desarrollo de un buen pro-ceso de aprendizaje matemático. También se ha trabaja-do sobre la hipótesis de un retraso en la maduración delfuncionamiento cerebral de los alumnos minoritarios.Pero no cabe duda que este modelo resulta insuficientey contradictorio. Además, el hecho de que estos progra-mas se implementen únicamente en aulas con alumnosinmigrantes y/o en situación de riesgo social indica suescaso carácter inclusivo. Deberíamos preguntarnoscómo es posible que haya alumnos minoritarios que,pese a sus supuestas limitaciones de tipo cognitivo, con-siguen un buen rendimiento académico en matemáticas.Los casos de éxito académico de alumnos minoritarios encontextos de aprendizaje positivos para ellos muestranque no se pueden establecer diferencias cognitivas entreel rendimiento de los alumnos en función del gruposocial y cultural al que éstos pertenecen (Abreu, 2001).Actuar sobre el problema del fracaso significa actuar

Los casosde éxito

académicode alumnosminoritariosen contextos

de aprendizajepositivos para ellos

muestran queno se pueden

establecerdiferencias

cognitivas entreel rendimientode los alumnos

en funcióndel grupo social

y culturalal que éstospertenecen.

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sobre el contexto en el que se produce. Todo modeloexplicativo del fracaso debe situar la realidad del alumnoen los contextos socioculturales donde esta realidad sereconstruye continuamente.

No es posible comprender las causas del fracaso matemá-tico escolar explicando simplemente las características per-sonales y sociales de los alumnos. Para una interpretacióncorrecta del fracaso que no se base en la penalización delalumno, hay que tener en cuenta como mínimo tres aspec-tos: a) las medidas de apoyo pedagógico con las quecuentan estos alumnos, b) las medidas de apoyo didácticoy, por último, c) las medidas de apoyo organizativo delcentro. En primer lugar, ¿qué se acostumbra a hacer en lasaulas, desde el discurso pedagógico y desde el docente,para responder a la diversidad de alumnado?, ¿se ha pro-ducido un auténtico cambio de rol en el profesor ante lasnuevas circunstancias?, ¿se han diversificado estrategias ymetodologías para atender a la diversidad? Y aún más,¿cuáles son las reacciones organizativas de los centros antela escolarización de alumnos distantes de la «normalidad»esperada? Es necesario cuestionar decisiones organizativas,curriculares y pedagógicas que no parecen estar resol-viendo la problemática de fracaso matemático escolar enlos alumnos minoritarios, ya sean inmigrantes o en situa-ción de riesgo social, y que, a pesar de ello, continúanmanteniéndose.

Medidas de apoyo pedagógico:dificultades en el cambio de roldel profesor

La enseñanza de las matemáticas muestra una aparentecontradicción entre los objetivos expresados por lasmatemáticas escolares y los resultados más comunes, enespecial aquellos referidos a la tradicional contribuciónde esta área a los índices de fracaso mayoritariamenteconcentrados en los grupos minoritarios (van Oers,1998). En general, los docentes son conscientes de estaaparente contradicción y acostumbran a sentir una ciertafrustración. David, profesor de secundaria de un grupode alumnos hispanos en un aula de Tucson, Arizona,explica así su frustración ante una situación que le pare-ce fuera de su control:

Llevo ya más de dos semanas en esta escuela y estoy pensandoen renunciar. Mis más de veinte años de experiencia docente nome han preparado para esta situación. Los programas de estudioque se supone que debo seguir no tienen nada que ver con larealidad de mi aula. El promedio de la mayoría de mis estudian-tes de séptimo y octavo grado (de 12 a 14 años de edad) es detercer grado. […] No puedo creer que con toda mi experiencia,y mis estudios teóricos sobre la enseñanza de las matemáticas,esos «diablos» me estén prácticamente aplastando en todos lossentidos. (Civil, Planas y Fonseca, 2000: 37.)

En esa época, este profesor acababa deconcluir sus estudios de maestría eneducación matemática, y tenía muy pre-sentes los marcos teóricos y metodoló-gicos para desarrollar actividades deaprendizaje en ambientes con alumnosen período de adquisición de unasegunda lengua. Antes del inicio delcurso escolar invirtió mucho tiempopreparando lecciones y actividades deaprendizaje acordes no sólo con el con-tenido matemático que el currículoseñalaba, sino también con criteriospedagógicos de la enseñanza en con-textos multiculturales. Pero esas leccio-nes tan bien diseñadas eran excesiva-mente genéricas y no tenían en cuentaa los alumnos de esa escuela en con-creto; no tenían en cuenta sus experien-cias particulares ni sus intereses. Elcurrículo matemático que este profesortrataba de implementar vivía totalmenteapartado de la realidad cultural y socialde sus alumnos, no sólo por el nivel delos contenidos, sino principalmente por-que no integraba las experiencias cultu-rales que los alumnos ya poseían. Elprofesor, tras reflexionar sobre cómoresolver los problemas de participaciónen sus clases, entendió que le era nece-sario asumir un cambio de rol. Teníaque ceder parte de sus tareas y permitirque los alumnos le ayudaran a interpre-tar el currículo en el contexto de aquelgrupo clase.

Las necesidades educativas de la socie-dad actual requieren importantes cam-bios en las formas de actuación del pro-fesor. La escasa predisposición a enfren-tarse a estos cambios es un factor quedebe relacionarse con los elevados por-centajes de fracaso escolar. El profesoractual aún está demasiado condiciona-do por lo que el profesor de hace unasdécadas hacía en el aula a nivel de inte-racción, organización y toma de decisio-nes, obviándose una y otra vez las posi-bilidades del profesor como agente decambio, así como aquellos factores queinfluyen en los procesos de cambio. Lasrespuestas dadas por los enseñantes adeterminadas preguntas señalan algunasde las principales inercias del actual dis-curso pedagógico matemático: ¿Trans-

…¿quése acostumbra

a haceren las aulas,

desde el discursopedagógico

y desde el docente,para respondera la diversidadde alumnado?,

¿se ha producidoun auténticocambio de rolen el profesor

ante las nuevascircunstancias?,

¿sehan diversificado

estrategiasy metodologíaspara atender

a la diversidad?

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mitir información o negociar significa-dos? ¿Matemáticas escolares como unproducto dado o como un proyectocomún? ¿En qué sentido tiene que cam-biar el tradicional papel del profesor dematemáticas si se plantean sesionesbasadas en tareas no rutinarias y meto-dologías de atención a la diversidad?¿Cuáles deben ser las medidas de apoyopedagógico que deben favorecerse paraque profesores como David no piensenen renunciar?

Los profesores se encuentran con situa-ciones que, si bien son diferentes enmuchos aspectos, plantean una mismacuestión: ¿cómo desarrollar una ense-ñanza de las matemáticas que permita laparticipación de todos los alumnos?Cuando se habla de alumnos minorita-rios, es especialmente importante pen-sar tanto en su rendimiento como en susposibilidades de participación (Planas,2001). Facilitar su aprendizaje matemáti-co está relacionado con generar unclima donde puedan participar en igual-dad de condiciones que el resto dealumnos. La práctica diaria, la intuiciónde que las mejoras en educación mate-mática provienen de estudiar cuestionesconcretas y, finalmente, la certeza deque las decisiones tomadas en el aulano deben establecerse de forma defini-tiva y permanente sino versátil y conposibilidad de cambio, confirman lacomplejidad de la tarea de enseñar. Estacomplejidad hace que no se pueda con-cebir la acción sin una reflexión riguro-sa y útil. Pero, ¿cuántos profesores estándispuestos a intentar diferentes enfo-ques metodológicos? Cambiar significa,entre otras cosas, pasar a moverse porterrenos menos conocidos donde laexperiencia no puede usarse como unargumento de validez de la propiaactuación. Las situaciones de aula pue-den llegar a ser muy problemáticas y,sin embargo, la idea del cambio conti-núa viéndose como lo verdaderamenteproblemático.

Al abrir las puertas a la participación detodos los alumnos en el aula, se creansituaciones de inseguridad para eldocente (Civil, Planas y Fonseca, 2000).¿Qué hacer con intervenciones que

parecen no estar relacionadas con nuestra agenda mate-mática prevista?, ¿cómo integrar experiencias de alumnosque sean muy diferentes de las experiencias a las que eldocente está acostumbrado?, o ¿cómo romper con los este-reotipos que se usan para describir a ciertos grupos, nor-malmente aquellos grupos que son diferentes del nuestro,tópicos basados en aspectos superficiales y generalidades?En un aula con alumnos locales, guineanos, dominicanos,paquistaníes y magrebíes, ¿cuáles son los estereotipos quepesan sobre estos grupos?, ¿cómo influyen nuestro com-portamiento en el aula?, ¿hasta qué punto controlamos lainfluencia de estos estereotipos en nuestras actuaciones?Éstas son preguntas difíciles que no pueden evitarse siqueremos desarrollar un clima de mayor participación enel aula y, por tanto, de mayor aprendizaje. El mero hechode plantearse estas preguntas ya requiere un importantecambio de rol del profesor. El profesor debe negarse anormalizar la no participación sistemática de determinadosalumnos en el aula, buscando espacios de responsabilidadsin caer en fatalismos ni euforias excesivas.

Todavía es poco frecuente la consideración del profesorcomo investigador de su realidad de aula y como formu-lador en potencia de cuestiones relevantes para la mejorade la enseñanza. A menudo olvidamos que los profesoresson los principales agentes encargados de implementar loscambios educativos, lejos de ser meros repetidores pasivosajenos a reflexiones e innovaciones. Como consecuencia,se produce un cierto desánimo en el colectivo de ense-ñantes a los que socialmente se les exige éxitos en losaprendizajes, pero paradójicamente no se les reconoce unespacio y un tiempo para identificar, diagnosticar y apro-ximar ideas sobre problemas prácticos en situaciones par-ticulares. A todo esto hay que añadir inercias que mues-tran, por ejemplo, la falta de un espíritu de colaboraciónentre docentes: ¿no debería ser posible aprender tanto delos otros profesores como aprendemos de nuestros pro-pios alumnos? Se aprende de la realidad de un aula cuan-do se contrasta con la realidad de otras aulas. Para solu-cionar la falta de conocimientos del profesor referentes ala nueva situación, es imprescindible adoptar el rol delinvestigador en una dinámica de intercambio continuo.

Es habitual oir quejas sobre, por ejemplo, la falta de mate-riales curriculares innovadores ante situaciones de ense-ñanza y aprendizaje multiculturales. Pero éste es un pro-blema secundario, aunque importante. Si aparecen en elmercado nuevos materiales curriculares sin que el profe-sor haya asumido su cambio de rol, no cabe esperar queel uso de esos materiales aporte mejoras significativas. Lasmúltiples reticencias que todavía encontramos ante el quepara algunos es un excesivo uso de la calculadora ordina-ria o de la calculadora gráfica, o bien la preocupación porintroducir contenidos de estadística o de geometría cuan-do se tiene la certeza de que no hay un dominio suficien-te del cálculo más elemental, son aspectos que indican las

…¿cómo integrarexperienciasde alumnos

que seamuy diferentes

de las experienciasa las queel docente

estáacostumbrado?

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dificultades por modificar y ampliar partes de un currícu-lo que a veces parece intocable. El currículo matemáticoescolar sólo será integrador y tendrá un carácter culturalpositivo si nosotros lo interpretamos en este sentido, trasescuchar las interpretaciones de los diversos alumnos. Elcambio de rol del profesor es, pues, la principal medidade orden pedagógico que habrá de facilitar la consecuciónde posteriores medidas de orden didáctico y organizativo.

Medidas de apoyo didáctico:dificultades de aprendizajeen el alumno

Joel, alumno dominicano de incorporación tardía en uninstituto de Barcelona, respondió así en el transcurso deuna entrevista individual, acerca de su participación en lasclases de matemáticas:

metodologías motivadoras para los que«necesitan que se les anime a estudiar».Además de no comprender la importan-cia de ciertas tareas matemáticas plantea-das en el aula, Joel no comparte con elprofesor ni con algunos de sus compa-ñeros supuestos básicos para compren-der los enunciados de los problemasmatemáticos. Para él, «no hay sólo unaúnica interpretación correcta del proble-ma», «ni el enunciado contiene necesa-riamente toda la información requeridapara resolver la tarea».

Algunos profesores de matemáticashan tomado la iniciativa de responder alos nuevos retos planteados por lasaulas multiétnicas haciendo adaptacio-nes curriculares de muy diversa índole.Otros profesores han reaccionado conun cierto escepticismo, creyendo quees poco conveniente mantener alum-nos inmigrantes con el resto de alum-nos y que las adaptaciones curricularesno pueden salvar la enorme distanciaentre unos y otros, tanto por la capaci-dad cognitiva como por la predisposi-ción afectiva. Sin duda, es imposibleseparar el dominio cognitivo del afecti-vo en cualquier tipo de actividad. Hayun componente cognitivo en cadaobjetivo de naturaleza afectiva, y tam-bién hay un componente afectivo encualquier objetivo de naturaleza cogni-tiva. Sin embargo, las adaptacionescurriculares no parecen tener en cuen-ta este hecho. En cualquier caso, laatención a los alumnos de minoríasétnicas no debe reducirse a adaptacio-nes superficiales del currículo ni a lacontratación de más especialistas eneducación especial. Así pues, ¿cuálesdeben ser los principales criterios deapoyo didáctico en el aula que han decontribuir a que alumnos como Joelquieran participar y aprender?

Si aceptamos que las aulas no sonhomogéneas, deberemos aceptar quelas tareas y metodologías planteadastampoco deben ser homogéneas. Laheterogeneidad, la diversidad al fin y alcabo, está en la realidad que nos rodeay sólo prescindiendo de hacer referen-cias a la realidad podremos obviar ladiversidad. El hecho de reducir las

Si aceptamosque las aulas

no sonhomogéneas,

deberemos aceptarque las tareasy metodologías

planteadastampocodeben

ser homogéneas.

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ENTREVISTADORA. ¿Qué tal las clases de matemáticas?

JOEL. A veces sé lo que hay que hacer pero casi nunca lohago.

ENTREVISTADORA. ¿Y eso por qué?

JOEL. No vale la pena esforzarse...

ENTREVISTADORA. ¿Por qué dices eso?

JOEL. Ni voy a ser nunca un matemático ni tampoco quieroserlo.

ENTREVISTADORA. ¿Pero no vas a necesitar las matemáticaspara otras cosas?

JOEL. Yo me voy a poner a trabajar cuando pueda.

ENTREVISTADORA. Entonces, ¿las matemáticas de la escuelapara qué te sirven?

JOEL. Yo si quisiera las entendería, pero ¿para qué? Si sólosirven para aprobar, a mí no me sirven.

Lo que se pretende que el alumno aprenda puede encon-trarse muy lejos de su conjunto de experiencias vitales.Joel deja claro que las matemáticas no tienen nada que verni con su vida actual ni con sus planes de futuro. Sinembargo, de acuerdo con las opiniones manifestadas en laentrevista, no parece que este alumno actúe con despechoo irresponsabilidad. De hecho, Joel muestra una granmadurez en sus argumentos. La motivación por aprobar laasignatura le resulta insuficiente para implicarse en prácti-cas de aula que considera del todo irrelevantes. En undeterminado momento, Joel reconoce que mejoraría sucomportamiento si las clases le resultaran interesantes.Este alumno atribuye su baja motivación al hecho de serincapaz de sentirse atraído por contenidos tan lejanos desu vida cotidiana. Sus expectativas en relación con las lec-ciones de matemáticas son muy escasas. No cree que setraten conocimientos útiles, y tampoco cree que se usen

sesiones de clase de matemáticas, o decualquier otra asignatura, a conocimien-tos descontextualizados contribuye auniformizar la atención a los diferentesalumnos. No tienen mucho sentido lascontinuas propuestas de tareas única-mente situadas en el contexto académi-co entre alumnos de muy diversascaracterísticas. Sin embargo, ésta pareceser la pauta de actuación que predomi-na entre muchos de los profesionales dela educación matemática. No acostum-bra a haber diversificación de tareas, demétodos ni de estrategias ante la diver-sidad de alumnado. Sin duda, la ten-dencia a uniformizar tiene que ver conmuchas dificultades en el aprendizajematemático de los alumnos más aleja-dos de la «normalidad». Educar no debe-ría consistir en convertir en «normal» almás diferente, en uniformizar. Educardebería contribuir a normalizar la pre-sencia de ciertas diferencias en el aula.

Los actuales discursos docentes y peda-gógicos dominantes en las matemáticasescolares aún son herederos del sistemade creencias basado en el modelo deldéficit cognitivo. La práctica de habili-dades numéricas de primer orden endetrimento de otras propuestas centra-das en procesos de resolución de pro-blemas o en discusiones abiertas quepuedan implicar una mayor participa-ción del alumno minoritario son unaconsecuencia directa de la problemati-zación de la diferencia. Aunque los pro-gramas compensatorios están principal-mente dirigidos a las prácticas de laescuela primaria, sus orientacionesincluyen los alumnos minoritarios de laescuela secundaria que, debido a unsupuesto déficit, acostumbran a versesituados en un nivel de desarrollo cog-nitivo más propio de los últimos cursosde primaria. La medida excepcional deextender, sin ser modificados, progra-mas de primaria a alumnos escolariza-dos en la enseñanza secundaria señalala visión simplificada que se tiene delaprendizaje matemático en los gruposde riesgo.

Los alumnos minoritarios reciben unaeducación matemática que desoyeintencionadamente el desarrollo del

pensamiento crítico. En Estados Unidos, por ejemplo, sehan desarrollado estudios donde se muestra que, cuantosmás alumnos minoritarios hay en una escuela, menor es elnivel matemático exigido por sus profesores y menoresson las expectativas de que se produzca aprendizaje porparte de los miembros de la comunidad educativa. En lapráctica, y como consecuencia de estas expectativas,acaba produciéndose una enseñanza paralela al currículoordinario esencialmente basada en mecanismos de repeti-ción, de imitación y de ensayo-error. La definición delalumno a partir de déficits y no de potencialidades impi-de detectar y reconocer formas de conocimiento matemá-tico diferentes a las legitimadas en el aula. En definitiva,las prácticas compensatorias tienden a reducir las mate-máticas escolares a la enseñanza y el aprendizaje deaspectos rutinarios, sin tener en cuenta otras capacidadesque los alumnos puedan haber desarrollado fuera de laescuela o en sus países de origen.

De acuerdo con los programas compensatorios, tampocose recomienda el ambiente de resolución de problemasporque se cree que los enunciados verbales pueden difi-cultar la adquisición de contenidos matemáticos en alum-nos que supuestamente sufren, además de importanteslimitaciones cognitivas, déficits de alfabetización lingüísti-ca. Por un lado, se piensa que los alumnos de minoríasétnicas no pueden hacer matemáticas hasta adquirir unacierta competencia en la lengua vehicular del aprendizaje.Por otro lado, se interpreta que los alumnos de contextossociales deprimidos tienen un registro lingüístico escasoque les impide acceder a razonamientos de orden supe-rior, incluso cuando comparten la lengua principal delaula. Unos y otros, por razón de la lengua, ven negado elacceso completo al currículo ordinario de matemáticas. Ypor si fuera poco, el handicap asociado a su condiciónsociocultural hace que, una vez adquirida una cierta com-petencia lingüística, se les continúe ofreciendo una aten-ción basada en un currículo adaptado, donde las matemá-ticas se reducen a repeticiones mecánicas de ejerciciosrutinarios. La directividad del profesor y de las tareas quepropone obstaculiza el desarrollo de las competencias delalumno, sea o no inmigrante.

El currículo escolar debería reforzar lo que ha sido apren-dido previamente y, a su vez, debería introducir nuevosconocimientos construidos sobre el conocimiento yaadquirido. Habitualmente, el docente conoce algunosaspectos del bagaje escolar de cada uno de sus alumnos ypuede indagar parte del currículo que a cada uno de ellosha sido impartido. En este sentido, cuantos más alumnosinmigrantes haya en un aula, la situación habrá de resultarmás compleja para el profesor. Cada alumno inmigrante hanormalizado un cierto sistema educativo en su país de ori-gen y es muy probable que a los profesores de aquí lesfalte información necesaria al respecto. Además, las suce-sivas revisiones vividas por el currículo de nuestro país

…las prácticascompensatorias

tienden a reducirlas matemáticas

escolaresa la enseñanzay el aprendizaje

de aspectosrutinarios,sin tener

en cuentaotras capacidadesque los alumnospuedan haber

desarrolladfuera

de la escuelao en sus países

de origen.

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han alejado, en muchos casos, nuestro currículo de aquélque está siendo implementado en países no europeos (enPaquistán, por ejemplo, se enseña el uso de tablas de loga-ritmos a jóvenes varones de 14 años). Deberíamos, pues,esperar que los conocimientos matemáticos de un alumnoinmigrante fueran muy diferentes de los adquiridos por unalumno ubicado en el sistema local desde el inicio de suescolarización. No obstante, profesores y maestros acos-tumbran a suponer que los conocimientos matemáticosprevios y las necesidades educativas de alumnos inmi-grantes y locales son idénticas. Y, como consecuencia, nosospechan la necesidad de indagar en qué aspectos lasdiferentes trayectorias vitales pueden estar influenciandolos procesos individuales de aprendizaje matemático.

Es cierto que algunos alumnos acaban sabiendo más mate-máticas, al menos en lo que se refiere a las matemáticasacadémicas que habrán de ser evaluadas. Sin embargo,urge analizar las diferentes oportunidades de aprendizajeque han recibido unos y otros. Mientras unos han cons-truido la nueva matemática aprendida añadiendo conteni-dos al conjunto de sus conocimientos anteriores ya con-solidados, los otros han visto cómo se les pedía que entra-ran en contradicción con partes esenciales de su identidadpara así poder incorporar el nuevo código legitimado. Seacostumbra a enseñar y evaluar únicamente, por ejemplo,coordenadas cartesianas a alumnos que tienen múltiplesformas sofisticadas de orientación espacial desarrolladascomo consecuencia de precoces prácticas profesionales.No se da ningún valor, o apenas un valor escaso, a susestrategias para encontrar una determinada calle o parasaber en qué dirección hay que rezar para cumplir el ritomusulmán de orientarse hacia La Meca. Con esto, no que-remos decir que no sea necesario seleccionar y fijar ele-mentos culturales concretos para configurar el currículomatemático escolar. Pero la selección y priorización deunos elementos culturales no debe significar la negaciónde otros existentes (Gorgorió, Planas y Vilella, 2000). Lascoordenadas cartesianas, por ejemplo, no son más impor-tantes, desde un punto de vista matemático, que otros sis-temas de representación y orientación, por mucho quequeramos darles más importancia desde un punto de vistaevaluativo.

Medidas de apoyo organizativo:dificultades en la escolarización

La mayoría de actuaciones para la reducción de dificulta-des en el aprendizaje deben ir más allá de meras respues-tas a nivel individual, ya sean del profesor o del alumno,e incluir cambios más globales dentro del propio medioescolar. No podemos obviar que las dificultades en elaprendizaje tienen mucho que ver con las dificultades en

la escolarización. El mismo alumno delapartado anterior, Joel, durante el trans-curso de la misma entrevista, dijo losiguiente respecto a su relación con laescuela:

…profesoresy maestros

acostumbrana suponer que

los conocimientosmatemáticos

previosy las necesidades

educativasde alumnosinmigrantes

y localesson idénticas.

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ENTREVISTADORA. ¿Te gustaría continuaren esta escuela el próximo curso?

JOEL. Mis amigos me dicen que aquítodas las escuelas son iguales. No lesgusta mucho tener gente diferente.Muchos profes se quieren ir.

ENTREVISTADORA. ¿Te gustaría continuar?

JOEL. (Baja la mirada.) Ummm… nosé…

ENTREVISTADORA. ¿Tan terrible es?

JOEL. Tengo que irme acostumbrando.

Prácticamente todos los profesionalesde la educación matemática que handesarrollado su trabajo en aulas multiét-nicas han podido comprobar las enor-mes dificultades de escolarización y deaprendizaje de muchos alumnos inmi-grantes, en comparación con otros gru-pos de alumnos de su edad. Como ya seha dicho, buena parte de estos profe-sionales tienden a atribuir dichas difi-cultades a determinados déficits quesupuestamente limitarían la capacidadde aprendizaje de los alumnos inmi-grantes. Sin embargo, desde un puntode vista educativo, no tiene sentidopensar que las diferencias entre alum-nos inmigrantes y alumnos locales faci-litan u obstaculizan por sí mismas suescolarización. Es la gestión de estasdiferencias por parte de los miembrosde la comunidad educativa lo quepuede problematizarlas, convirtiéndolasen un elemento perjudicial para los pro-cesos de aprendizaje.

Para empezar, la educación de los alum-nos inmigrantes se lleva a cabo en cen-tros ordinarios, en un intento de facilitarsu integración. Sin embargo, han idoapareciendo estructuras organizativasespeciales para estos alumnos. ¿Cuálesson los cambios en las escuelas quedeberían (y podrían) llevarse a cabopara facilitar la adaptación de todos losalumnos? ¿Cuáles deben ser los princi-pales criterios de apoyo organizativo?

¿Dónde se encuentra la frontera entreactitudes de apoyo y actitudes de recha-zo hacia estos alumnos? Por supuesto,cada escuela debe tener capacidad paraelaborar sus propias estrategias de inte-gración y para modificar ciertas conduc-tas que pueden estar manifestándose enel clima social del centro. Pero hay algu-nas estrategias que, independientemen-te del centro, no nos parecen válidaspuesto que favorecen dos redes parale-las de escolarización que, en la práctica,acaban separando a los alumnos localesde los inmigrantes.

No insinuamos que deban adaptarseescuelas especiales para alumnos inmi-grantes, sino la necesidad de mejorar lasescuelas ordinarias y los currículos ofi-ciales para que estos alumnos tambiéntengan cabida. Hay que escolarizar a losjóvenes inmigrantes en centros ordina-rios, puesto que las dificultades de esco-larización no se resuelven aislándolosen centros especiales. Por otra parte, laescolarización de los alumnos inmigran-tes tiene lugar principalmente en cen-tros públicos. Se produce, pues, unfenómeno de concentración de estealumnado en unos determinados cen-tros, a menudo situados en barriossocialmente deprimidos. La coinciden-cia de la inmigración extracomunitariacon las situaciones de exclusión socialprovoca que muchos docentes de estasescuelas perciban la diversidad culturalcomo un problema y no como unafuente de riqueza en la enseñanza y elaprendizaje. En este sentido, un proble-ma de los centros de atención educativapreferente reside en la alta densidad dealumnos en situación de riesgo.

Ante la realidad de los centros de aten-ción educativa preferente, podemoscomprobar que tampoco se resuelve laescolarización de alumnos minoritariosen los centros ordinarios. Deben produ-cirse antes ciertos cambios en el mode-lo predominante de escuela. No es con-veniente, por ejemplo, recurrir a estrate-gias organizativas que, desde un princi-pio, sitúen a los alumnos minoritariosen grupos de bajo rendimiento matemá-tico simplemente por el hecho de serminoritarios. Con frecuencia se dice de

ellos que no cooperan, que reaccionan con agresividad,cuando no son radicalmente introvertidos, que llegan conmuy malos hábitos. Pocas veces se dice que provienen deotros modelos educativos y que les cuesta entender algu-nos aspectos del nuestro. ¿Acaso no se comportan de estemodo muy a menudo alumnos locales? Lo cierto es que loscódigos de comportamiento usados en la escuelas nosiempre coinciden con los códigos aprendidos en la fami-lia. Los comportamientos inesperados no sólo crean con-fusión en el docente, sino que también deben interpretar-se como un signo de confusión, de conflicto, en las men-tes de los alumnos.

Existen evidencias de que la organización de una escuelapuede tener algún tipo de efecto sobre el rendimiento dealgunos grupos de alumnos (Molina, 1997). La falta de unclima adecuado de apoyo en el aula y en la escuela puedecontribuir a crear mayores dificultades en los alumnosinmigrantes en sus intentos por ajustarse a las demandasde una organización educativa en parte desconocida paraellos. Tanto las escuelas como las aulas están mayoritaria-mente pensadas y dispuestas para alumnos y alumnas«normales». Ahí reside la principal limitación en el intentopor crear ese clima de apoyo. Cuesta darse cuenta de quela idea de normalidad supone un concepto poco útil encuestiones de educación, en especial cuando pretendeusarse para explicar el rendimiento matemático de losdiferentes grupos de alumnos. Estar pendiente de una cier-ta idea de normalidad impide construir un ambiente esco-lar favorable a la interculturalidad, es decir, al intercambiode reglas de juego distintas a las propuestas por la culturamayoritaria en el aula. Significa, en el peor de los casos,crear un ambiente donde las reglas de juego de las cultu-ras minoritarias no son reconocidas ni aceptadas. Y noolvidemos que la evolución en el aprendizaje de un alum-no está profundamente vinculada a la visión, las expecta-tivas y el reconocimiento de los otros participantes.

En general, las escuelas se organizan reformulando el con-cepto de diversidad hasta interpretarlo como un criterioválido para discernir capacidades y habilidades de losalumnos. La diversidad es vista esencialmente como diver-sidad de niveles y es usada para separar los alumnos enunos u otros grupos clase en función de niveles previa-mente identificados por medio de tests siempre dudosos.En la práctica no existe, por tanto, un referente cultural osocial asociado a la palabra diversidad, tan solo un refe-rente cognitivo. Se cae, así, en la trampa de hablar desdelo cognitivo para referirse a lo sociocultural. Aparen-temente, dos alumnos distribuidos en dos unidades distin-tas de programación son diversos porque no coinciden enuna de sus preferencias. Sin embargo, son diversos porquese les ha sugerido o impuesto la elección de una determi-nada unidad en función de su rendimiento académico.Unas unidades de programación están pensadas para «losbuenos en matemáticas», mientras que otras recogen «los

La coincidenciade la inmigraciónextracomunitariacon las situacionesde exclusión social

provoca quemuchos docentesde estas escuelas

percibanla diversidad

culturalcomo un problema

y no comouna fuentede riqueza

en la enseñanzay el aprendizaje.

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malos en matemáticas». Los profesores recién llegados aun centro son los que habitualmente reciben el «castigo»de encargarse de los alumnos a los cuales les han sidodiagnosticados niveles más bajos.

Cuando la diversidad ha enojado demasiado se han arti-culado duros regímenes disciplinarios. Hasta el momento,el uso de un tono imperativo y sancionador no parecehaber dado ningún resultado efectivo, excepto el delaumento de las cifras de absentismo en el grupo de alum-nos de riesgo. Este tono imperativo aparece en muchasnormativas de centro. Resulta paradigmático el caso de uncentro público donde no se aceptaba negociar el aplaza-miento de un examen convocado para la fiesta musulma-na del día del cordero a pesar de la notable presencia dealumnos que profesaban esta religión (Planas, Vilella yGorgorió, 1999). En ese mismo centro, los profesorestomaban toda clase de decisiones argumentando que losalumnos minoritarios no son capaces por ellos mismos detomarlas puesto que se encuentran la mayor parte deltiempo algo desorientados. El lenguaje usado por la comu-nidad educativa, las decisiones tomadas, las actitudesadoptadas, los valores y comportamientos explicitados enel ambiente escolar, forman una parte importante de lacultura real de un centro. Este conjunto de conocimientos,transmitidos muchas veces inconscientemente, constituyenparte del nivel oculto del currículo, y a pesar de sólohallarse incluidos en el nivel intencional de las respectivasdisciplinas académicas, acaban siendo conocimientos delcurrículo aprendido.

Hacia una interpretación inclusivadel fracaso matemático escolar

Como ya se ha dicho, aún existen demasiadas investiga-ciones sobre minorías y matemáticas que priorizan elhecho de documentar el bajo rendimiento de los alumnosminoritarios y que, sin embargo, no pretenden explicar lascausas de este menor rendimiento. Los estudios descripti-vos de tipo estadístico confirman lo que ya sabemos: queel porcentaje de fracaso en los grupos minoritarios es muyelevado. Faltan estudios en profundidad sobre las varia-bles que pueden estar condicionando dicho fracaso. Lavariable que se refiere a la dimensión personal del alum-no, a su identidad individual y colectiva, es importantepero no decide por sí sola el nivel de rendimiento mate-mático. Hay tres variables fundamentales que deben sertenidas en cuenta de forma interrelacionada. Hasta estepunto las hemos tratado por separado. Se trata de lasmedidas (o falta de medidas) de apoyo pedagógico, las deapoyo didáctico y las de apoyo organizativo del centro,que contribuyen a que la identidad del alumno sea unaventaja o una desventaja en su aprendizaje matemático.

Teniendo en cuenta las reflexionesaportadas hasta ahora, podemos consi-derar dos grandes conjuntos de causasgeneradoras de fracaso. Un primer con-junto depende del sistema de organiza-ción de la propia escuela y, más engeneral, de las directrices gobernantesen el sistema político-educativo dondela escuela se halla inmersa. Ya noshemos detenido algo en explicarlo y noqueremos hacer más énfasis en estosaspectos. No está realmente en manosde los docentes incidir en posiblesmejoras, al menos desde una perspecti-va práctica no tiene mucho sentidoempezar a pensar en cambiar el sistema.Nos interesa más hacer hincapié enaquel otro conjunto de causas relacio-nadas con el aula y nuestra actuación enella. Este artículo no pierde de vista losotros factores condicionantes del fraca-so mencionados, pero se dedica muyespecialmente a aquellos en los cualesel docente puede tener importantesespacios de acción. Para ello, analiza-mos las actuaciones, por acción o poromisión, de los participantes del aula,alumnos y profesor, y los situamos enun contexto más amplio de expectativasformadas, imágenes sociales construidasy valores asumidos que se sugieren pormedio del discurso pedagógico ydocente.

Cuando el profesor tiene unas clarasbajas expectativas formadas respecto alos alumnos minoritarios (medidas derechazo pedagógico), cuando los cono-cimientos matemáticos legitimados en elaula sólo representan la cultura mayori-taria (medidas de rechazo didáctico), ycuando además las reuniones de centrosirven para idear regímenes disciplina-rios que controlen con rigidez los desa-justes respecto a una esperada normali-dad (medidas de rechazo organizativo),entonces es muy difícil que el alumnominoritario desarrolle mecanismos posi-tivos de participación en el aula dematemáticas. Este alumno no vive ajenoa las medidas de rechazo más o menossutiles que experimenta en su entornoescolar. Las reacciones a estas medidasde rechazo pueden ser de muy diversaíndole. Algunos alumnos reaccionan

Hasta el momento,el uso

de un tonoimperativo

y sancionadorno parece

haber dadoningún resultado

efectivo,excepto el

del aumentode las cifras

de absentismoen el grupode alumnosde riesgo.

34

acomodándose a la situación y disimu-lando su incomodidad. Otros alumnos,sin embargo, reaccionan resistiéndose ala situación con actitudes de inhibiciónu obstaculizando la participación de losdemás. Es decir, las medidas de rechazono siempre implican resistencia alaprendizaje. Es la combinación de estasmedidas con la propia identidad decada alumno lo que determina reaccio-nes de acomodación o de resistencia. Elhecho de que algunos alumnos se resis-tan a participar en un ambiente pocofavorable para ellos no significa quedeban ser penalizados, ya que su resis-tencia puede interpretarse como unaresolución positiva al conflicto queexperimentan.

Desde esta perspectiva, el fracasomatemático escolar puede interpretar-se como el producto de dos situacio-nes interconectadas de exclusiónsocial y de autoexclusión psicológica,donde la primera crea las condicionesde base que facilitan la aparición de lasegunda. Para comprender mejor losmecanismos individuales de autoex-clusión que pueden activarse en algu-nos alumnos, hay que hablar de lasformas usadas por el alumno para inte-riorizar y dar sentido a las valoracionesque los otros otorgan a sus acciones ya la explicitación de sus significadospersonales. El conjunto de valoracio-nes coexistentes en el aula son denaturaleza sociocultural, pero tienenun fuerte impacto en la dimensión psi-cológica de sus participantes. ¿Quéocurre cuando los significados de unalumno se están desautorizando siste-máticamente por la visión dominanteen el aula? ¿Qué tipo de dificultadescomporta a ese alumno aceptar signifi-cados inicialmente no compartidos?¿En qué medida le es posible asumir eintegrar afectivamente modelos inter-pretativos diferentes de los propios?¿Cómo se manifiestan los procesos deacomodación y resistencia ante unarealidad que no se comprende o quees diferente de la esperada? Estas cues-tiones plantean la necesidad de anali-zar la manera en que el alumno vive elcontraste de significados y valoracio-

nes en el aula, y cómo esta vivencia afecta su identidadindividual.

Con frecuencia, la tensión psicológica derivada de laexperiencia de conflicto de significados y valoracionescontradictorias se expresa bajo la adopción de comporta-mientos de inhibición estables que tienden a favorecer laaparición del fracaso escolar. El alumno puede resolver latensión psicológica racionalizando la comprensión de larealidad del aula y de la escuela. Al darse cuenta que suinterpretación de lo que ocurre en el aula le puedeexcluir, el alumno puede optar por activar mecanismos dereadecuación al entorno y de reestructuración de partesde su identidad. Estos mecanismos son paralelos al encu-brimiento de las dificultades para comunicarse en unentorno hostil. En otras palabras, el alumno aprende aesconder su diferencia, independientemente de que tratede comportarse o no como se espera de él en el contex-to escolar. No cabe duda de que este aprendizaje influyeen sus formas de participación en el aula. El alumnoasume su lugar «natural» en el aula que le habrá de facili-tar el control de emociones negativas interiorizadas. Conel fin de sobrevivir a ciertas medidas de rechazo, el alum-no aprende a rechazar los que representan estas medidas.Naturalmente, el proceso que va desde la percepción demedidas de rechazo a la adopción de una actitud de noparticipación, es muy complejo.

¿Es posible reducir los índicesde fracaso?

Lamentablemente, las matemáticas escolares, desde sufuerte estatus social y académico, han sido muchas vecesusadas para justificar el papel prevalente de unos gruposy el subordinado de otros. Lejos de dejarnos sin posibili-dades de actuación, esta realidad nos obliga a repensarla educación matemática como un instrumento para equi-librar tanto como sea posible la desigualdad de oportu-nidades. La educación matemática tiene dos grandes, ynada fáciles, objetivos: conseguir aprendizaje matemáticopara todos y cuestionar aquellas formas de enseñanzaque no contribuyan a la democratización de un aprendi-zaje de calidad. Por ello, debe plantearse si tiene sentidohablar de un aprendizaje de calidad para todos o, lo quees lo mismo, si tiene sentido pretender reducir los índi-ces de fracaso matemático escolar. El papel del docenteen toda situación educativa es dual: por una parte, el deafianzador de conceptos, métodos y estrategias y, porotra, el de agente de cambio. La capacidad de cambio ensituaciones que en parte no funcionan es esencial parareducir el riesgo de fracaso matemático escolar. Sinembargo, cuando nos enfrentamos a situaciones comple-jas sin disponer de respuestas que las hagan algo com-

Lamentablemente,las matemáticas

escolares,desde su fuerteestatus socialy académico,

han sidomuchas veces

usadaspara justificar

el papelprevalente

de unos gruposy el subordinado

de otros.

35

prensibles, podemos caer en la tentación de buscar segu-ridad en la convicción de que no existen respuestas nimejoras. Es preciso combatir la sensación de que no sepuede hacer nada para mejorar el aprendizaje matemáti-co de ciertos grupos de alumnos.

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Núria PlanasDepartament de Didàctica

de la Matemàticai les Ciències Experimentals.

Facultat de Ciènciesde l’Educació.

Universitat Autònomade Barcelona.

Federació d’Entitatsper l’Ensenyament

de les Matemàtiquesa Catalunya

36

NALIZANDO la situación curricular de la enseñanza de lasmatemáticas en las Escuelas Universitarias (EU) en estasúltimas décadas, se observa una falta de aplicaciones y unexcesivo formalismo en los currículos de matemáticas. Eneste contexto, destaca la insatisfacción en la enseñanza tra-dicional mostrada por los estudiantes y una desmotivaciónhacia las áreas de matemáticas. Estos aspectos ya fueronapuntados por conocidos matemáticos y educadores.Destacamos a Julio Rey Pastor, Pedro Puig Adam y JohnPerry, que ya manifestaron su preocupación por mejorarla enseñanza de las matemáticas en las escuelas técnicas.En esta línea, Rey Pastor afirma:

La ausencia de aplicaciones nos hace incapaces de inspirar amora esta ciencia. (Citado en Lusa, 1982).

John Perry añade:

Es preciso desarrollar la intuición para que el ingeniero aprendalas relaciones entre el mundo real y la abstracción de la ciencia.(Citado en Lusa, 1982).

y Pedro Puig Adam comenta en el prólogo de CálculoIntegral (1979):

En la enseñanza de las matemáticas es necesario substituir el for-malismo por el pensamiento intuitivo y las matemáticas han deestar en contacto con situaciones de la realidad.

A partir de las afirmaciones apuntadas y de la propia expe-riencia docente podemos afirmar que todavía hoy, a laspuertas del siglo XXI, la intuición y las aplicaciones quedanen segundo plano. La aportación presentada está focaliza-da en la innovación docente, fundamentada en la modeli-zación matemática. De una manera breve, la modelizaciónmatemática consiste en presentar un problema real y acontinuación formularlo en términos matemáticos. El temaes totalmente innovador y está poco desarrollado en

Este artículo presenta elproceso de modelización

matemática comoherramienta innovadora en

la enseñanza de lasmatemáticas en las EscuelasUniversitarias (EU). Se relatala eficacia de la metodología

a partir de laexperimentación en escuelas

técnicas con alumnos deprimer curso de ingenieria.

El objetivo de la experienciaes estudiar la viabilidad y

eficiencia de implantartécnicas de modelización enlas EU, a través del diseñode unidades didácticas ytrabajos por proyectos.

Como principales resultadosse destacan las aportacionesmetodológicas referentes a

aspectos cognitivos(producciones matemáticas),epistemológicos y heurísticos

del aprendizaje de losalumnos.

37

La modelización matemática:una herramienta válida en laenseñanza de las matemáticasuniversitarias

Joan Gómez i Urgellés

ARTÍCULOS

A

42

febrero 2003, pp. 37-45

escuelas universitarias, lo cual provoca un fuerte atractivode investigación pedagógica que puede considerarsecomo una experiencia pionera en este ámbito. Para desa-rrollar la investigación es preciso definir y clasificar unosestadios de trabajo:

1. Inicial. Reflexionar sobre el estado actual de la ense-ñanza y establecer las hipótesis de trabajo. La princi-pal hipótesis es destacar que formamos a futuros inge-nieros y no a futuros matemáticos.

2. Intermedio. La búsqueda de un espacio de trabajopara desarrollar la experimentación y la investigaciónsobre el proceso de aprendizaje de los alumnos.

3. Final. Establecer la validez y eficacia de la metodolo-gía experimentada y la viabilidad de la inclusión delmodelaje en los currículums de matemáticas.

Es importante destacar dos aspectos: por un lado el pro-ceso de innovación docente del profesor –el cual se carac-teriza en el diseño de actividades extraídas de la realidad–y, posteriormente, el proceso de investigación didácticadel profesor actuando como investigador del proceso deaprendizaje de los alumnos y de la validez del método.

En esta investigación sobre innovación docente, el con-texto de trabajo escogido ha sido la Escuela UniversitariaPolitécnica de Vilanova i la Geltrú (EUPVG), centro depen-diente de la Universitat Politècnica de Catalunya. El domi-nio curricular está configurado por alumnos de primeroscursos de ingeniería industrial en las áreas de álgebra linealy ecuaciones diferenciales. La experiencia expuesta en elpresente artículo se basa en la experimentación de lametodología con alumnos de los cursos 1994-1995 hasta elcurso 2001-2002, y el análisis de los correspondientesresultados. Los resultados expuestos validan la metodolo-gía de la modelización matemática como herramienta deenseñanza/aprendizaje.

El marco teórico en que se apoya la experiencia está cons-tituido por tres ejes. El primer eje es el sociocultural-polí-tico. Este eje marca las connotaciones sociales de la mate-mática y su influencia en la vida cotidiana de los ciudada-nos. Para la adquisición de una competencia crítica y unaciudadanía inteligente es preciso que los alumnos y ciu-dadanos en general adquieran conocimientos suficientesde matemáticas que les proporcionen criterios de com-prensión y decisión (Skovsmose, 1997; Valero, 1994). Porcitar un ejemplo, la prensa diaria muestra situacionesusuales fuertemente matematizadas: desde los indicadoreseconómicos de la bolsa, hasta la interpretación de losesquemas y gráficos que establecen los pronósticos mete-orológicos. Las dos situaciones mencionadas se gestionanpor modelos matemáticos. En el ámbito de la ingenieríaencontramos ejemplos en sistemas mecánicos (engranajes,resortes…) y, principalmente, en el estudio de circuitos–tanto eléctricos como electrónicos–. Los sondeos electo-

rales y su interpretación es otro ejemplosutil.

El segundo de los ejes es el epistemo-lógico-educativo, el cual marca la meto-dología docente seguida, basada en elproceso de modelización (esquema 1).

En [1] simplificación: la situación realpuede manipularse de manera quecuando obtengamos el modelo real, ten-gamos que suponer diversas hipótesis.Por ejemplo, en situaciones de caída decuerpos no se obtiene el mismo mode-lo real si consideramos la situación conrozamiento o sin él. En [2] traducción:no es lo mismo proporcionar el modeloque construirlo. A menudo la tarea deconstrucción es laboriosa. En este casolo que se realiza es sustituir palabras porsímbolos matemáticos (por ejemplo:ecuaciones, matrices, funciones, etc.).De esta forma, se consigue una formu-lación matemática del problema y deuna manera natural se establece el pro-blema en términos matemáticos. En [3]aplicación de métodos matemáticos: eneste paso aparecen los algoritmos apro-piados para la resolución del problemamatemático que se deriva de la situa-ción real. Es preciso resolver el modelousando las herramientas adecuadas. Eneste punto, el profesor juega un papelimportante, ya que los estudiantes amenudo no saben resolver el modelo, yes en este estadio donde en el aula o

El marcoteórico

en que se apoyala experiencia

está constituidopor tres ejes.

38

Esquema 1. Organigrama del proceso de modelización

Situacióndel mundo real

Planteo del problemaen términos matemáticos

Modelización: procesode formulación

en términos matemáticos

Resolución Interpretación

Aplicación de métodos matemáticos [3]

Comparación [4]

Simplificación [1]

Traducción [2]

tutorías se muestran los métodos deresolución. Uno de los objetivos consis-te en que el estudiante se dé cuenta deque para llegar a resolver un caso usualdel ámbito de su especialidad necesitael aprendizaje de ciertos conceptos ytécnicas matemáticas que proporcionenrespuestas al problema establecido(aparece lo que podríamos llamar moti-vación). De esta manera, el alumnoalcanza un grado fuertemente elevadode interés por el aprendizaje de lasmatemáticas, ya que visualiza su utili-dad. Este hecho ya marca una diferenciaen relación con la enseñanza tradicio-nal. En [4] comparación: el objetivo esreescribir los resultados numéricosobtenidos en términos del problemapropuesto, interpretarlos y, a su vez,saber escoger, si hay diversas solucio-nes, la adecuada a la situación.

Seguidamente explicitaremos las defi-niciones y terminología involucrada enla investigación. Entenderemos pormatematización la definición aportadapor Jan de Lange (1993): «Transfor-mación mental en términos matemáti-cos de situaciones de la realidad»; enesta definición se considera el procesode abstracción mental como paso pre-vio a la modelización escrita. Es decir,el esquema mental realizado como faseanterior a la implementación escrita enlenguaje matemático. Asumimos comomodelización la definición aportadados años más tarde por Niss (1989): «Elarte de aplicar las matemáticas a situa-ciones de la vida real»; en este sentido,consideramos la interpretación como elconjunto de habilidades que nos per-miten plasmar el modelo de formaescrita. Finalmente aceptamos pormodelo la terna (A, M, f ), donde Arepresenta un conjunto de objetos delmundo real, M un conjunto de expre-siones matemáticas y f una correspon-dencia entre A y M.

En el tercer eje situamos el pragmático-actual. Este eje se nutre del estadoactual del tema. En la actualidad existendiversas experiencias de modelizaciónen niveles educativos inferiores a losuniversitarios, a pesar de ello es de des-tacar la experiencia de la Universidad

de Aalborg de Dinamarca (Vithal, 1995), en la cual se rea-lizan trabajos en proyectos. Entre las aportaciones más rele-vantes destacan las efectuadas en los Países Bajos por Jande Lange (experiencia Matematica A, de Lange, 1993) y lacontribución al trabajo en grupo y realización de proyectosefectuada en Lisboa por Paulo Abrantes (1994). Esta última,a pesar de ser de distinto nivel educativo, ha servido depatrón para el diseño de actividades en la EUPVG. Paravisualizar el estado actual de la investigación, es de desta-car que una simple ojeada a Internet, Alta Vista nos facili-ta 13004 entradas (con las palabras clave modelling, edu-cational, mathematical, junio de 1998). Entre ellas destacala web de Matskills (<http://www.hull.ac.uk/mathskills/newsletters/issue2/guest.htm>), la cual nos proporcionauna base de datos de expertos en modelización a nivelmundial y las recientes aportaciones sobre el tema.

En síntesis, hemos establecido los cimientos teóricos dela investigación presentando los ejes en los que se desa-rrolla. Seguidamente expondremos el desarrollo de laexperiencia.

Desarrollo de la experiencia

La experiencia está focalizada en la innovación docente, yse ha desarrollado en lo que denominamos unidades didác-ticas y proyectos. El objetivo consiste en implementar lastécnicas de modelización y estudiar su viabilidad y eficaciaen las escuelas universitarias. Para alcanzar este objetivo esnecesario establecer unos instrumentos de investigaciónválidos y fiables. Los instrumentos utilizados, tanto en elámbito de la investigación didáctica como en el proceso deinnovación docente, los podemos agrupar en cinco grupos:

I. Diseño de las unidades didácticas.

II. Implementación de proyectos.

III. Registro y selección de una muestra de estudiantes.Hoja de valoraciones de los interlocutores. Ficha per-sonal del alumno. Diario de sesiones. Registros envídeo. Audio.

IV. Autoinstrucción del profesor/investigador. Diario delprofesor.

V. Cuestionario cognitivo metodológico. Encuesta oficial.El examen.

Veamos a continuación algunos aspectos destacados de laexperiencia. En primer lugar presentaremos el diseño delas unidades didácticas y sus principales características. Laestructura estándar de una unidad didáctica se configuraen dos fases. La primera de ellas presenta la situación yconstruye el modelo de dicha situación; la segunda con-siste en la interpretación de los resultados y estableceranalogías. Las dos fases se enlazan a través de la resolu-

La estructuraestándar

de una unidaddidáctica

se configuraen dos fases.

La primera de ellaspresenta

la situacióny construyeel modelode dichasituación;la segundaconsiste en

la interpretaciónde los resultados

y estableceranalogías.

39

ción de las expresiones matemáticas involucradas de unaforma guiada. Las unidades didácticas se cumplimentan enlas aulas. En la experiencia se desarrollan dos unidadesdidácticas: Modelización de un sistema de resortes y Losastronautas y las ecuaciones diferenciales. A continuaciónmostramos la descripción del trabajo en una de las unida-des didácticas mencionadas.

Unidad didáctica. Modelizaciónde un sistema de resortes

El objetivo principal es, inicialmente, que a partir desituaciones reguladas por la ley de Hooke, con un únicoresorte y una sola masa, los estudiantes descubran dichaley como una relación lineal entre la fuerza y el despla-zamiento. En una segunda fase se añaden más resortes ynuevas masas; el objetivo a medio plazo es conseguirque se modelice la ley de Hooke en varias variablescomo un modelo lineal análogo al anterior. De estaforma descubren el concepto de matriz y las operacionesy propiedades típicas del cálculo matricial como modelode la ley de Hooke. En este proceso se involucran losconceptos de matriz de elasticidad y rigidez (inversasentre sí). Se pretende con ello que los alumnos produz-can la matriz inversa y obviamente su utilidad en lamecánica. En una tercera fase se presenta una situaciónusual simplificada en el área de mecánica técnica para elestudio y posterior interpretación del comportamientofísico de la situación. En la figura 1 se detalla el esque-ma presentado.

El objetivo final se centra en que reconozcan e interpretensituaciones distintas a las estudiadas, que comparten elmismo modelo. Entre ellas destacan las aplicaciones a cir-cuitos eléctricos. El esquema de la figura 2 se ha extraídode la mencionada unidad.

Con esta unidad se pretende que los estudiantes aprendanla necesidad y existencia del cálculo matricial como mode-lo matemático de situaciones usuales en las áreas propiasde su especialidad, y que, a su vez, obtengan una motiva-ción a través de las aplicaciones.

La unidad presentada se refuerza en soporte informático.Disponemos de un programa de simulación realizado enVisual Basic 4.0, en el cual los alumnos pueden definir a

voluntad las unidades deseadas delmovimiento de la masa involucradas. Enla figura 3 observamos el diseño de unade las pantallas.

Las principales características diferen-ciales del trabajo en unidades didácti-cas, con respecto a los métodos tradi-cionales, consisten en presentar loscontenidos de matemáticas en el con-texto técnico. Como aportación destacael hecho de que los alumnos descubren

40

K1M1 K12

K13

K23 K3M2

M3

x1 x2 x3

Figura 1. Esquema usual de mecánica técnica

Existe un paralelismo entre la ley de Ohm y la ley de Hooke. Las dos sonexpresiones del tipo

Suponer el siguiente circuito:

A B CA V C IA F C x

= ◊= = fi= = fi

ÏÌÓ

,;;

en el caso que Ley de Ohm Ley de Hooke

V R R I R I

R I R R R I

= +( ) ◊ - ◊

= - ◊ + + +( ) ◊1 2 1 2 2

2 1 2 3 4 20

V R R RR R R R

II0

1 2 2

2 2 3 4

1

2

ÊËÁ

ˆ¯̃

=+ -

- + +Ê

ËÁˆ

¯̃

Ê

ËÁˆ

¯̃

f K x K x x

f K x x K x

1 1 1 12 2 1

2 12 2 1 2 2

= - ◊ + ◊ -( )= - ◊ -( ) - ◊

ff

K K KK K K

xx

1

2

1 12 12

12 12 2

1

2

Ê

ËÁˆ

¯̃=

- +( )- +( )

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜Ê

ËÁˆ

¯̃

Podemos verlo en un ejemplo paralelo:

Si planteamos las ecuaciones:

R3R2

R4R1 I2I1V1

M2

K1K1 K12 K2M1

x1 x2

Expresándolo matricialmente:

Suponer el siguiente gráfico:

Planteamos las ecuaciones:

Expresándolo de forma matricial:

Observar la similitud entre ambos problemas. También tenemos que darnoscuenta de que en estos problemas obtenemos siempre matrices simétricas.

Figura 2. Esquema de modelos de situaciones análogas

Figura 3

los conceptos matemáticos involucra-dos, y simultáneamente aprenden lautilidad de los elementos matemáticosconstruidos.

Los proyectos

En las unidades didácticas, los alumnostrabajan guiados en las aulas y constru-yen modelos locales.

En los proyectos tienen que identificarel modelo global y trabajar sobre elmodelo. Para ello, es imprescindible eltrabajo fuera de las aulas y en grupo, yaque este tipo de práctica requiere labúsqueda de información: desde distin-tas áreas de conocimiento que seencuentran involucradas pasando porconsultas de libros de texto y tutorías.

Los proyectos tienen, por consiguiente,una componente pedagógica distinta alas unidades didácticas: una componen-te de investigación global.

Los proyectos propuestos en el dominiodel álgebra lineal corresponden a loscontenidos de diagonalización y se pre-sentan a partir de problemas reales. Unavez realizados los proyectos, éstos sondefendidos públicamente en el aulasiendo valorados por los compañeros.La valoración se realiza en unos formu-larios donde se recogen principalmenteaspectos de presentación, adquisiciónde conocimientos, claridad en la expo-sición y material aportado. A continua-ción citaremos los principales proyectosdesarrollados.

Proyecto1. Estudio del crecimientode una población de conejos

En el mismo, los alumnos tienen quebuscar la información adecuada parahallar la llamada matriz de crecimiento ya partir de las técnicas de diagonaliza-ción establecer, mediante el cálculo devectores propios, la población óptimade conejos.

Proyecto 2

Se estudia sistemáticamente un hipotéti-co caso del crecimiento de un virusinformático regido por la sucesión deFibonacci. Los alumnos tienen que hallar

el término general, para ello producen la potencia n-ésimade una matriz.

Proyecto 3

Se plantea un problema de circuitos eléctricos en dondeaparece una ecuación diferencial de segundo orden. Parasu resolución se les dirige al cálculo de la matriz expo-nencial.

Selección y registro de datos de aprendizajede una muestra de estudiantes

En el desarrollo de la investigación, hemos registradodatos cognitivos (producción de conocimientos matemáti-cos), epistemológicos (connotaciones matemática-reali-dad) y heurísticos (como conjunto de habilidades parasolucionar los problemas matemáticos involucrados), detodos los alumnos de los cursos mencionados con el finde establecer resultados fiables de la metodología. Hemosseleccionado cinco alumnos para analizar con profundi-dad su proceso de aprendizaje. Con el fin de no perdergeneralidad, los alumnos han sido seleccionados propor-cionalmente a su procedencia académica (cuatro de ellosde COU y uno de formación profesional). Los resultadosde cada uno han sido graficados con el fin de tener unavisión global del proceso de aprendizaje (Gómez, 1998),en el que destacamos su desarrollo en los periodos inicial,medio y final, en las componentes cognitivas, heurísticas yepistemológicas, valorados en tres grados o niveles (poco,aceptable, muy buena).

Autoinstrucción del profesor investigadory detalle de diversos instrumentosutilizados en la investigación

Durante la investigación es vital el papel del profesor. Elprofesor debe tener claro en todo momento los estadiosde trabajo y sus limitaciones, procurando ser lo menossubjetivo posible. Debe poseer conocimientos no propiosde matemáticas (aspectos tecnológicos), con el fin de esta-blecer los lazos entre la situación extra-matemática y elmodelo. El profesor investigador anota diariamente lasincidencias y aspectos más destacados en un documentodenominado diario del profesor, y, a su vez, elabora unaficha de cada alumno con un resumen de los aspectoscognitivos, epistemológicos y heurísticos más relevantes.La ficha de cada alumno permite ofrecer una visión rápi-da y global del proceso de aprendizaje y, a su vez, es unindicador de la eficacia de la metodología. Otro elementodestacado en la investigación es la preocupación del pro-fesor en registrar las opiniones de los alumnos de formaescrita, este hecho se realiza mediante los denominadoscuestionarios. En ellos se reflejan aspectos sobre la ense-ñanza tradicional, comparación de metodologías, y, ade-

Los proyectospropuestos

en el dominiodel álgebra lineal

correspondena los contenidos de

diagonalizacióny se presentan

a partirde problemas

reales.

41

proporcionados por los alumnos queavalan la necesidad de la inclusión dela modelización matemática en loscurriculos.

También hemos utilizado para la investi-gación la encuesta oficial que anualmen-te realiza la Universidad y el documentodenominado diario de sesiones (figura 6).La encuesta oficial posee la característicade ser anónima, este hecho nos propor-ciona criterios para establecer y compa-rar las respuestas de los estudiantes; enel hecho de ser anónima existe el peligrode que las respuestas no sean coinciden-tes con las realizadas de forma no anóni-ma. Es gratificante observar la coinciden-cia en las respuestas; este hecho es unindicador fiable (las respuestas no estánen contradicción) que refuerza las conje-turas. El diario de sesiones, es un docu-mento que cumplimenta el alumno. En élse recogen los puntos –a criterio delestudiante– más importantes del tema, elgrado de utilidad, los aspectos que que-dan claros y a su vez los que quedanoscuros y una aproximación a la utilidaddel tema en su formación académica. Porconsiguiente, el diario de sesiones per-mite registrar datos tema por tema, tantode la metodología como del proceso deaprendizaje.

Finalmente, otro instrumento de investi-gación utilizado es el examen. El exa-men es un elemento que permite averi-guar de una forma individualizada ypersonal la interpretación de esquemastécnicos y las habilidades matemáticasen la resolución del modelo (figura 7).

…el diariode sesiones

permiteregistrar datostema por tema,

tantode la metodologíacomo del procesode aprendizaje.

42

Figura 4. Opiniones de los estudiantes

He aprendido a construir matrices y su utilidad en aplicacio-nes cotidianas.

He aprendido aplicaciones de las matemáticas en la vidacotidiana de un ingeniero.

El beneficio de estas experiencias será una nueva y mejordocencia.

Todo parte de las matemáticas. En la enseñanza tradicionalno se contempla la utilidad de las matemáticas en la vidareal.

Prefiero la inclusión de las técnicas de modelización, es unmétodo más creativo. En él observas en qué ámbito puedesaplicar lo que has aprendido. En el método tradicional sóloves temario y no aplicación.

El modelaje es un método importante porque presenta situa-ciones reales que puedes resolver matemáticamente.

El trabajo en grupo hace participar a los alumnos en clase yayuda a hallar aplicaciones prácticas de la teoría.

Realizando un proyecto se aprende el tema muy bien, ya queresuelves un problema buscando tú la información.

Figura 5. Opiniones aportadas por los alumnos

Nom: Tema: Data inici: Data final:

1. Quins creus que són els punts més importants del tema?

2. Creus que tenen alguna utilitat?

3. Detalla els aspectes que han quedat clars.

4. Detalla els aspectes que han quedat foscos.

5. Pel que fa a l'ensenyament, creus que la forma d'exposar el tema téalguna diferència amb l'ensenyament tradicional.

6. Creus que el què has après te utilitat en la teva carrera, o fins i tot enla teva futura vida professional?

Figura 6. Diario de sesiones

más, se utiliza para descubrir los conocimientos previosque posee el alumno. Con ello podemos establecer crite-rios comparitivos sobre el proceso de enseñanza/aprendi-zaje y establecer resultados sobre la viabilidad de la meto-dología (Gómez, 1998). En la figura 4 vemos una muestrade comentarios establecidos en los cuestionarios por losestudiantes.

Consideramos oportuno incluir en el presente artículodiversos comentarios realizados por los propios alumnos,con el fin de mostrar el grado de implicación en la meto-dología. Mostramos a continuación (figura 5) argumentos

Resultados

Resultadosde la experimentación

Durante el desarrollo de la experiencia,

el profesor investigador ha utilizado

diversos instrumentos para establecer

resultados. Entre ellos destacan el regis-

tro en vídeo y audio de las actuaciones

de los estudiantes, y la posterior trans-

cripción por parte del profesor. Los ele-

mentos mencionados, conjuntamente

con las respuestas aportadas por los

estudiantes en las unidades didácticas,

proyectos y cuestionarios permiten esta-

blecer resultados acerca de las produc-

ciones matemáticas y el grado de impli-

cación matemática-realidad, así como la eficacia del pro-

ceso de enseñanza/aprendizaje en contraposición a la

enseñanza tradicional.

Los resultados de la experimentación pueden resumirse en

los siguientes puntos:

1. Se consigue una mejor conexión con el mundo real.

Tradicionalmente, las matemáticas aparecen desvincu-

ladas de la realidad.

2. La enseñanza tradicional mantiene excesivos formalis-

mos que se alejan de la realidad inmediata del futuro

ingeniero. En la modelización se evita la carga de for-

malismo, apostando por un aprendizaje más intuitivo

y próximo a los problemas de la técnica.

3. El modelaje es una herramienta de aprendizaje efi-

ciente:

3.1. Los alumnos aprenden de una manera espontá-

nea, dirigida y agradable.

3.2. Los estudiantes ven la utilidad de lo que aprenden.

3.3. Los estudiantes ven la necesidad de las matemá-

ticas para resolver problemas, deduciendo ellos

mismos las herramientas.

3.4. Los alumnos manifiestan una fuerte motivación.

3.5. Los estudiantes adquieren una actitud creativa.

3.6. Los estudiantes desarrollan la habilidad en el uso

de las matemáticas en situaciones no matemáticas.

En síntesis, los resultados enumerados proporcionan

información sobre aspectos heurísticos, epistemológicos y

cognitivos, como consecuencia de aplicar la metodología.

Hemos entendido por heurísticos, el conjunto de habili-

dades adquiridas en el análisis empírico como proceso de

abstracción en la construcción del modelo; por epistemo-

lógicos, la influencia observada en el proceso de apren-

dizaje de los alumnos de la modelización como herra-

mienta para resolver problemas de la vida cotidiana (uti-

litarismo); y por cognitivo, el grado de conocimiento

adquirido a nivel de producciones matemáticas. Estos

resultados han sido graficados de forma puntual (tema

por tema, figura 8) y de forma global (figura 9). Dichas

gráficas nos proporcionan una visión rápida de los aspec-

tos mencionados.

En cuanto a las aportaciones en la mejora de la calidad

docente se consigue la visión del modelaje como herra-

mienta para resolver problemas de la vida cotidiana y que

la metodología proporciona las producciones matemáticas

necesarias para el currículo del ingeniero. Argumento que

avala la necesidad de incluir la metodología de la modeli-

zación matemática como herramienta docente en los currícu-

los académicos.

…los resultadosenumerados

proporcionaninformación

sobre aspectosheurísticos,

epistemológicosy cognitivos…

43

a) Per quins valors dels paràmetres a i b representa la matriu de rigi-desa d’un sistema de resorts? (2 punts)

b) Pels valors trobats, representa graficament el sistema de masses iresorts que modelitza. (2,5 punts)

c) Si les masses s’han vellugat respectivament dues unitats, quantval la força obtinguda? (2.5 punts)

d) Suposa ara que totes les components de la força obtinguda pre-nen el valor de 4 unitats, quina es la matriu d’elasticitat? (3 punts)

Considerem la següent matriu :

- +- +

- + +

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜˜̃

( )( )

( )

3 22 24 5 3

a ab b

a b

a) Raoneu el perquè aquest circuit està descrit pel sistema d’equa-cions:

Sigui el circuit elèctric següent:

b) Demostreu que els valors propis de la matriu del sistema són realsi iguals si L = 4R2C. (1 punt)

c) Sigui R = 1, L = 4, C = 1. Si I(0) = 4 i V(0) = 2, quant valen laintensitat de corrent i la diferència de potencial a qualsevol ins-tant? (1.5 punts)

(0.5 punts)¢¢

ÊËÁ

ˆ¯̃

=- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜˜˜◊ÊËÁ

ˆ¯̃

IV

L

C RC

IV

0 1

1 1

C

R

L

Figura 7. Muestra del examen

2. El modelaje es una componente

cultural. El modelaje proporciona

conocimientos que usualmente no

se encuentran en los currículos de

matemáticas; en nuestro caso, los

estudiantes descubren la existencia

de un proyecto espacial denomina-

do Columbia, la biografía de

Robert Hooke, etc., elementos de

cultura general no proporcionados

clásicamente en las clases de mate-

máticas.

3. El modelaje constituye una forma

de aprendizaje significativo. Cons-

trucción en contraposición a la me-

morización. En la experiencia, por

citar un ejemplo, los alumnos pro-

ducen una matriz inversa a partir de

una situación técnica; hecho bas-

tante lejano de la memorización de

algoritmos.

4. El modelaje es una forma de reco-

nocer estructuras. Los alumnos

reconocen diversas situaciones, dis-

tantes en la vida real, pero con el

mismo modelo matemático de

denominador común.

5. El modelaje proporciona una visión

diferente e integradora de las mate-

máticas. En la metodología del

modelaje se engloban diversas

áreas de conocimiento, no sola-

mente de matemáticas, de manera

que no se presentan los temas de

forma aislada.

En síntesis, podemos afirmar que el

modelaje es una herramienta innovado-

ra de enseñanza eficiente, y una correa

de transmisión que proporciona la

adquisición de conocimientos y estable-

ce hermandad entre matemática y rea-

lidad.

Recomendacionespara futuras investigaciones

A raíz de la experimentación considera-

mos oportuno presentar orientaciones

para posteriores estudios relativos al

tema. Las recomendaciones están orien-

…el modelaje esuna herramienta

innovadorade enseñanza

eficiente,y una correa

de transmisiónque proporcionala adquisición

de conocimientoy establece

hermandadentre matemática

y realidad.

44

Las producciones matemáticas las podemos concretar en

los siguientos aspectos: los alumnos son capaces de reco-

nocer diversos tipos de matrices y adquirir una familiari-

zación con la terminología matemática. Consolidar cono-

cimientos: operaciones con matrices, sistemas de ecuacio-

nes lineales, determinantes. Adquirir conocimientos nue-

vos de álgebra lineal: polinomio característico, valor y vec-

tor propio, diagonalización. Estos conocimientos se

adquieren de una manera más profunda y de calidad que

de la manera tradicional que es rutinaria, ya que se pre-

sentan en el contexto usual de la especialidad.

Reconocimiento y familiarización de una ecuación dife-

rencial y su tipología: orden, campo de pendientes, lineal,

homogénea, homogénea de segundo orden, sistema de

ecuaciones diferenciales, matriz exponencial.

Conclusiones generales

Como fruto de las discusiones anteriores, resaltamos las

siguientes conclusiones generales en el ámbito de la inno-

vación didáctica

1. Las aplicaciones y el modelaje matemático constituyen

una forma de motivación e ilusión de los alumnos. Se

observa el sentido de los temas estudiados.

EpistemológicoHeurísticoCognitivo

Principio Mitad Final

Poco

Aceptable

Muy bien

Valoración

Tiempo

Figura 8. Resultados cualitativos

EpistemológicoHeurísticoCognitivo

Principio Mitad Final

Poco

Aceptable

Muy bien

Valoración

Tiempo

Figura 9. Resultados cualitativos globales

tadas al papel que debe asumir el pro-

fesor como investigador.

1. Establecer un estadio inicial y final

de trabajo. Es decir, marcar el domi-

nio y definir claramente los objeti-

vos y delimitaciones.

2. Acotación de las situaciones y pru-

dencia en la elección de problemas

no matemáticos. Con ello destaca-

mos que la tipología de problemas

y situaciones reales no son fácil-

mente matematizables, y hay que

tener en consideración los conoci-

mientos técnicos previos que posee

el alumno. Por lo tanto, es preciso

tener claro los criterios de selección

de situaciones.

3. Predisposición al diálogo con otros

profesores de otras áreas de cono-

cimiento. Este argumento se funda-

menta en coordinar contenidos

curriculares y averiguar las necesi-

dades de la especialidad.

4. Referenciar las clases y los ejerci-

cios a las situaciones estudiadas.

Con ello no se desvincula el diálo-

go matemática-realidad.

5. Interpelar a los alumnos en las aulas

y fomentar el debate. Es una mane-

ra de enriquecer el aprendizaje.

6. Atribuir especial atención a las acti-

vidades de modelización, seleccio-

nar comentarios y registrar los

aspectos más relevantes. Con ello se

consigue estudiar con mayor pro-

fundidad el proceso de aprendizaje.

7. Considerar el trabajo del profesor

como orientador de las actividades

y discusión de las mismas, no como

un simple orador y calificador.

8. El profesor ha de contribuir a facili-

tar recursos y poseer un elevado

grado de disponibilidad.

Nuevas líneasde investigación

Como nuevas líneas de investigación

en este ámbito de innovación didáctica

en educación matemática a nivel universitario destaca-

mos las siguientes:

1. Impacto de las nuevas tecnologías. La implementación

de las unidades didácticas en soporte informático per-

mite economizar tiempo. ¿Qué resultados cognitivos

diferenciados se obtendran en el perfi de aprendizaje

de los alumnos?

2. Recopilación de situaciones técnicas susceptibles

para implementar la metodología. El trabajo consis-

tiría en realizar un inventario de situaciones óptimas

en cada nivel educativo y establecer criterios y

requisitos para incluir estas situaciones en los currícu-

los de matemáticas (contextualización).

3. Influencia de la metodología en la eficacia del apren-

dizaje de otras asignaturas técnicas

4. Generalización de la experiencia a otras parcelas de

las matemáticas. Consistiría en aplicar la metodología

en ramas no necesariamente de álgebra lineal y ecua-

ciones diferenciales.

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Joan GómezUniversidad Politécnica

de Cataluña.Federació d’Entitatsper l’Ensenyament

de les Matemàtiquesa Catalunya

45

PUBLICACIONES DE LAS SOCIEDADES

OS RESULTADOS de las evaluaciones que se hacen a losalumnos de las escuelas e institutos en relación con surendimiento en Matemáticas, frecuentemente son desalen-tadores. En general, ellos no logran superar los nivelesaprobatorios mínimos. Ésta es una situación demasiadoextendida que crea la necesidad de diseñar opciones cuyaimplantación procure coadyuvar al incremento de la peri-cia que poseen los estudiantes para la realización de acti-vidades propias de la matemática. Para ello, resulta con-veniente examinar la situación con más detalle con objetode precisar los factores de mayor incidencia; uno de éstos,a nuestro juicio, está relacionado con las concepciones delos profesores acerca de lo que es la matemática, su ense-ñanza y evaluación. Destacamos dos perspectivas en rela-ción con el proceso de enseñanza y aprendizaje de lamatemática. En la primera de ellas, denominada «tradicio-nal», la matemática es vista como un gran conjunto deexpresiones simbólicas y fórmulas, cuyo aprendizaje con-siste en el re-conocimiento de algoritmos que permitantransformar unas expresiones simbólicas en otras, siendoen este caso el papel del enseñante el de limitarse a pre-sentar esos algoritmos, lograr que los alumnos los reten-gan y evaluar la capacidad de éstos para reproducirlos. Setrata de lograr un isomorfismo entre lo visto en clase, loevaluado en los exámenes y lo reproducido-devuelto porlos alumnos, es decir, se trata de la clásica rutina teoría-ejemplos-ejercicios que se basa en transmitir informaciónpara que el estudiante la registre y sea capaz de repetirla.En esta visión reproductivista del proceso de enseñanza yaprendizaje de la Matemática predomina una visión estáti-ca y cerrada.

La intencionalidad de este enfoque presupone una in-com-petencia del alumno, que por sí mismo, no es capaz deacceder al conocimiento, y es preciso brindárselo desdefuera, donde se ubica el docente, quien opera como un

Se presentan los resultadosde una experiencia realizada

con estudiantes paraprofesores de secundaria entorno a las posibilidades que

tiene la centenacuadriculada, o tabla de losnúmeros naturales del 1 al

100, para realizar el paso dela aritmética al álgebra. Las

actividades favorecen que losestudiantes adquieran los

siguientes objetivos:reconocer y describir

patrones numéricos, usarvariables para expresarrelaciones matemáticas,

formular y probar conjeturas,y comunicar ideas

matemáticas.

47

Las centenas cuadriculadas:un material matemáticamentepotente para ilustrar el tránsitode la Aritmética al Álgebra

Fredy E. GonzálezFrancisco Ruiz López

ARTÍCULOS

L

42

febrero 2003, pp. 47-59

proveedor de estímulos, conocimientos que han de «poner-se en la cabeza» de los estudiantes, quienes han de reac-cionar ante tales estímulos mediante una respuesta que esvalorada y, en consecuencia, reforzada o rechazada por eldocente, según sea o no isomorfa con un patrón esperadopreviamente establecido.

Frente a este modelo tradicional, poco a poco, se havenido construyendo una perspectiva diferente, la cualsuscribe otra visión acerca de lo que significa «sabermatemáticas», y ofrece una reconceptualización del ren-dimiento en matemática, asumiéndolo como la pericia enla ejecución de los procesos propios del quehacer mate-mático. Estos procesos se desarrollan a partir de la parti-cipación activa y consciente en «tareas intelectualmenteexigentes» (González, 1998), que le permiten a los alum-nos explorar ideas matemáticas en contextos de ense-ñanza y aprendizaje matemáticamente enriquecedores,contemplando una amplia variedad de nociones mate-máticas, y posibilitan el ejercicio de procesos próximos alquehacer matemático. Este tipo de tareas hace posibleque los alumnos aprendan matemática explorando y eva-luando ideas, elaborando conjeturas, comunicándose,razonando, analizando y pensando acerca de su propioproceso de aprendizaje de esta materia. Desde este puntode vista, son deseables las proposiciones didácticas parala enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas quehagan posible que los alumnos:

• Desarrollen una valoración positiva hacia las Mate-máticas.

• Incrementen razonablemente la confianza en su apti-tud propia para desempeñar tareas específicas delquehacer matemático.

• Mejoren su capacidad para resolver problemas mate-máticos.

• Amplíen su habilidad para comunicarse matemática-mente.

• Alcancen una adecuada pericia en el desarrollo derazonamientos matemáticos.

• Establezcan conexiones entre diversos campos de lamatemática.

Este contexto conlleva ampliar el alcance de lo que signi-fica «saber matemáticas», lo que implica, no sólo sabermanejar algoritmos, sino además: (a) comprensión de lasbases conceptuales mínimas de la matemática, (b) habili-dad para comunicar ideas matemáticas a otros, (c) capaci-dad para razonar matemáticamente, (d) familiaridad con eluso de diversificar herramientas tecnológicas para apren-der y hacer matemáticas. Así que, como alternativa al enfo-que «tradicional», se formula otro que plantea que la edu-cación matemática debe propender a que los estudiantessean competentes para:

• Dotar de significado a las ideasmatemáticas.

• Dilucidar si una idea es matemáti-camente correcta o no.

• Razonar matemáticamente

• Realizar conjeturas, inventar y resol-ver problemas.

• Establecer conexiones entre distin-tos campos de la matemática y conel acontecer cotidiano.

Para lograr lo anterior se precisa que enel aula se desarrollen actividades ade-cuadas a tales fines, y es en esta direc-ción en la que se orientó la experienciaque en este artículo se relata.

Marco teórico

Ubicamos este trabajo, en primer lugar,en el marco de la línea de estudio einvestigación dentro de la educación dela matemática que se denomina pensa-miento numérico y algebraico, y seocupa de los fenómenos de enseñanza,aprendizaje y comunicación de concep-tos numéricos, tanto en el medio esco-lar como en el social. El campo generalen el que se desenvuelve la investiga-ción en Pensamiento Numérico com-prende el estudio de los diferentes sis-temas cognitivos y culturales con quelos seres humanos asignan y compartensignificado utilizando diferentes estruc-turas numéricas (Rico y otros, 1997).

Las tareas que proponemos a los estu-diantes son tareas no convencionales detipo aritmético y algebraico, y el plantea-miento y resolución de dichas activida-des tienen que ver con el llamado «sen-tido numérico», concepto utilizado enlos Estándares Curriculares y de Eva-luación para la Educación Matemática(NCTM, 1991), que en el InformeCockcroft (1985) figura como «sentidodel número» y al que Wirtz (1974) serefiere como «simpatía por los números».No existe una caracterización del senti-do numérico que sea universalmenteaceptada, sin embargo podemos asumirla visión global que proporcionaHowden (1989):

El campo generalen el que

se desenvuelvela investigaciónen Pensamiento

Numéricocomprendeel estudio

de los diferentessistemas cognitivos

y culturalescon que los seres

humanosasignan

y compartensignificadoutilizandodiferentes

estructurasnuméricas.

48

El sentido numérico puede ser descritocomo una buena intuición sobre los núme-ros y sus relaciones. Se desarrolla gradual-mente como consecuencia de explorarnúmeros, visualizándolos en una variedadde contextos, y relacionándolos de mane-ras que no están limitadas por algoritmostradicionales.

Pensamos que difícilmente los futurosprofesores podrán fomentar el sentidonumérico en sus alumnos si ellos pre-viamente no se ejercitan en destrezasque permiten reflexionar desde diferen-tes puntos de vista sobre los números ysus relaciones.

El objeto matemático en el que centra-mos la experiencia es la centena cuadri-culada, o tabla que contiene los núme-ros naturales del 1 al 100 dispuestos en10 filas y 10 columnas (figura 1). Lastablas numéricas constituyen un medioexcelente para plantear tareas con elobjeto de identificar patrones numéricos,y conjeturar, descubrir y probar propie-dades aritméticas y algebraicas.

La noción de patrón, entendido comoregularidad que se forma a partir de unnúcleo generador, ocupa hoy día unlugar central en las matemáticas. Así,gran parte de los matemáticos están deacuerdo en concebir la matemática como«la ciencia o el estudio de los patrones»(Devlin, 1994). Para Stewart (1995) vivi-mos en un universo de patrones. El ins-

tinto del científico es tratar de comprender el mundo natu-ral, y el del matemático es estructurar ese proceso buscan-do la regla, la norma, la estructura, es decir, el patrón.

La actividad de reconocer y trabajar con patrones en tablasnuméricas está directamente ligada con la matemáticavisual y con el pensamiento visual. En general, hay con-senso entre investigadores y especialistas en que el desa-rrollo de las capacidades que caracterizan el pensamientovisual proporciona a los alumnos nuevos caminos parapensar y hacer matemáticas. Zimmerman y Cuningham(1991) recogen diversas investigaciones en torno a lavisualización, y concluyen que los alumnos tienen una altatendencia a pensar algebraicamente más que visualmente,incluso cuando se les fuerza a utilizar un proceso visual.Los autores explican este hecho aludiendo a razones talescomo: «el proceso visual es más difícil que el analítico, lovisual se considera menos sólido para la enseñanza o lovisual no es matemático», según algunos matemáticos, pro-fesores de matemáticas e incluso alumnos.

En nuestro trabajo planteamos tareas motivadoras con elfin de propiciar el descubrimiento y la conjetura, a travésde «visualización» de regularidades o patrones numéricos ypropiedades matemáticas, de manera que este hecho sirvade motivación para realizar representaciones simbólicasadecuadas que faciliten la demostración de algunas pro-piedades aritméticas y algebraicas.

Litwiller y Duncan (1980, 1986) proponen actividadesvariadas sobre tablas numéricas como la tabla de sumar, latabla de restar, la tabla de multiplicar y la centena cuadri-culada o tabla-100, término éste utilizado por Ruiz (2000)en el estudio de dicha tabla para obtener representacionesgeométricas para conceptos aritméticos. Si bien se trata deun objeto didáctico que no presenta mayor dificultad deuso en el aula, sí hay que tener en cuenta que su estudiodesde un punto de vista matemático formal escapa alámbito escolar.

Descripción de la experiencia

Este trabajo de innovación curricular, ha sido llevado acabo con un grupo de estudiantes para profesor desecundaria (EPP) en la Universidad Pedagógica Expe-rimental Libertador (UPEL) (Núcleo Maracay). La estruc-tura curricular de los estudios que debe realizar en laUPEL, quien aspire a convertirse en profesor de matemá-tica para educación secundaria, contempla los siguientescomponentes: (a) Formación general; (b) Formaciónpedagógica; (c) Formación especializada; y (d) Prácticaprofesional. Los tres primeros constituyen la base comúnde la formación del egresado. El componente de forma-ción especializada se refiere específicamente a las asig-naturas de Matemática y de Educación Matemática. En

Las tablasnuméricasconstituyenun medioexcelente

para planteartareas

con el objetode identificar

patronesnuméricos

y conjeturar,descubriry probar

propiedadesaritméticas

y algebraicas.

49

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11 12 13 14 15 16 17 18 19

21 22 23 24 25 26 27 28 29

31 32 33 34 35 36 37 38 39

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51 52 53 54 55 56 57 58 59

61 62 63 64 65 66 67 68 69

71 72 73 74 75 76 77 78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 96 97 98 99

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura 1. Centena cuadriculada tipo 1

relación con esta última se contempla el curso deIntroducción a la Educación Matemática en el cual elfuturo profesor tiene la oportunidad de vincularse con unconjunto de estrategias orientadas al logro de experien-cias de aprendizajes sistematizadoras y formalizadorasque favorezcan el dominio de los conocimientos de lasdiversas disciplinas y propicien una actitud positiva hacialas Matemáticas, así como también de diseñar, desarrollary evaluar situaciones didácticas y secuencias instruccio-nales relativas a los tópicos de los programas de mate-mática del nivel secundario y, al mismo tiempo, diseñary participar en proyectos de investigación relativos a laenseñanza de la matemática. Este curso es parte del com-ponente de Formación Especializada, se desarrolladurante cinco sesiones semanales de clase con una dura-ción de cuarenta y cinco minutos cada una, en un «perío-do académico» de dieciséis semanas. La experiencia a laque se refiere este artículo se llevó a cabo durante elperiodo 2001-1 (marzo-julio); en ella participaron dieci-nueve alumnos (diez mujeres y nueve hombres), con unaedad promedio de veinte años.

Los alumnos prepararon su propio plan individualizado deevaluación, seleccionando entre las actividades que semuestran seguidamente:

1. Trabajo individual (TI: 20 %).

2. Cuaderno de notas (CN: 30 %): registro escrito, diarioy pormenorizado de las fases preactiva, activa y postac-tiva correspondiente a cada uno de los encuentrospresenciales de trabajo (sesiones de clase).

3. Reseña de artículo (RA: 5 %): resumen escrito acercadel contenido de algún artículo referido a laEducación Matemática publicado en alguna revista delas que se encuentran en el Centro de Información yDocumentación de la institución.

4. Miniproyecto matemático (MPM: 15 %): trabajo senci-llo de investigación documental referido a un temamatemático señalado por el profesor o convenido, decomún acuerdo, entre el alumno y el profesor.

5. Ensayo libre (EL: 10 %): trabajo monográfico de temaescogido libremente por el alumno en relación con laEducación Matemática, tal como se estudió en clase.

6. Proyecto pedagógico de aula (PPA: 20 %): elaboraciónde un Proyecto Pedagógico de Aula, según algún con-tenido matemático de lo estudiado en el curso.

7. Miniproyecto educación matemática (MPEM 20%):trabajo sencillo de investigación referido a algún asun-to de la Educación Matemática señalado por el profe-sor o convenido, de común acuerdo, entre el alumnoy el profesor.

8. Ensayo didáctico (ED: 15%).

9. Asistencia (A: 5%).

Entre los miniproyectos didácticos deeducación matemática, el profesor pro-puso el trabajo con las centenas cuadri-culadas, mediante el cual se invitaba alos alumnos a intentar hacer matemáticaa partir de materiales sencillos, median-te la reflexión y la abstracción, y que fueasumido por siete de los alumnos parti-cipantes en el curso. Los resultados desu actuación son los que en este artícu-lo se relatan.

Era objetivo principal del miniproyectodidáctico de educación matemáticadenominado «centenas cuadriculadas»,que los estudiantes realizaran activi-dades propias del quehacer matemáti-co, tales como: identificar regularida-des y patrones numéricos, elaborar yverificar conjeturas, proponer enun-ciados de teoremas y, finalmente,demostrar tales teoremas. Para ello seles proporcionó un «material matemáti-camente potente» como son las Cen-tenas Cuadriculadas, ya que presentanlas siguientes tres características quedefinen a este tipo de material: (a)están al alcance de casi cualquier per-sona, (b) son de muy bajo costo o fáci-les de fabricar, (c) conllevan implícitoun conjunto de nociones o procesospropios de la Matemática. El uso ade-cuado de las centenas cuadriculadas,por parte del profesor, puede permitirque sus estudiantes desarrollen habili-dades para:

1. Reconocer y describir patronesnuméricos.

2. Usar variables para expresar rela-ciones matemáticas.

3. Formular y probar conjeturas.

4. Comunicar ideas matemáticas.

Para trabajar con las centenas cuadri-culadas, en este caso, se propusieron alos estudiantes las actividades que seseñalan a continuación:

• Explorar las centenas cuadriculadasy señalar algunos usos que puedadárseles.

• Trabajando por parejas, desarrollarlas actividades que se indican encada una de las hojas que contie-nen una centena cuadriculada.

Era objetivoprincipal

del miniproyectodidáctico

de educaciónmatemáticadenominado

«centenascuadriculadas»,

que los estudiantesrealizaranactividades

propiasdel quehacermatemático,tales como:identificar

regularidadesy patronesnuméricos,

elaborary verificarconjeturas,proponer

enunciadosde teoremas

y, finalmente,demostrar

tales teoremas.

50

• Trabajando en parejas, construirotras versiones de centenascuadriculadas e identificar en ellaspatrones numéricos (si es que hayalguno).

• Reunidos en grupo total, compartirideas, discutir hallazgos, y resolverdiferencias de opinión, si es quehay alguna.

Este procedimiento fue formulado delmodo como se expone en la figura 2.

Entre las respuestas aportadas por los estudiantes destaca-mos las de Maiyelines, María y Efraín:

Contiene los números consecutivos desde el 1 hasta el 100. Es uncuadrado. Puede ser dividida en triángulos y rectángulos, portanto tiene ángulos. Su diagonal principal lleva los números orde-nados de 11 en 11, desde el 1 hasta el 100. Su diagonal secun-daria, lleva los números ordenadamente de 9 en 9, desde el 10hasta el 91. Tiene filas y columnas. Cada columna tiene 10 núme-ros ordenados consecutivamente de 1 en 1. Cada fila tiene 10números ordenados de 10 en 10. Se observa la relación «mayorque»: a > b, si b está en una de las filas anteriores a a y en unade las columnas anteriores a a. Tiene la forma de una matriz.(Maiyelines)

Éstos son números naturales que van aumentando progresivamen-te de uno en uno hasta completar una cantidad de 10 números porfila y 10 números por columna, empezando con el número 1 y ter-minando la fila 10 con el número 100. La tabla me llama la aten-ción por su sencillez y me invita a pensar en todo lo que se puedehacer con los números que constituyen la centena cuadriculada yqué aspectos matemáticos se pueden resaltar en ella. Nos permi-te conocer algo más allá de los números naturales y de las ope-raciones básicas que ellos nos permiten efectuar; por ejemplo,entrelazarlos de diferentes maneras, construyendo figuras geomé-tricas conocidas entre ellos. Tomando debidamente los puntos queindican sus vértices y la unión de éstos para formar los lados dedicha figura. También nos permite analizar conceptos o aspectosmatemáticos que se visualizan con facilidad. (María)

Números naturales desde el 1 hasta el 100. Matriz, 10 ¥ 10, 10filas y 10 columnas. Figuras geométricas notables (triángulo, cua-drado, rectángulo). Diagonales, coordenadas. Progresiones arit-méticas. Grupos y Subgrupos. Números Naturales y NúmerosEnteros Positivos. Sistemas de Coordenadas. Conjuntos, índices.Relaciones de Orden. (Efraín)

Las obsevaciones anteriores se mantienen en los aspectosrelacionados con la forma de la centena, su contenido, elámbito al que se refieren los números. Hay manifestacio-nes relacionales explícitas, como por ejemplo, la nociónde orden, sin embargo, no se aprecia aún la percepción dela estructura profunda de la centena cuadriculada, es decir,del modelo matemático subyacente, sobre el cual sesoportan relaciones de mayor contenido matemático exis-tentes entre los números ubicados en las celdillas quecomponen la centena cuadriculada. Para ello fue necesa-rio conducirlos hacia la búsqueda de una relación entre elvalor del elemento dentro de cada celdilla y la posición deésta en el contexto de la centena cuadriculada, visualizán-dola como una matriz de orden 10 ¥ 10.

Recurrimos entonces a la notación matricial, y con ellocomenzamos a recorrer el tránsito de lo aritmético hacia loalgebraico, puesto que ya necesitaríamos apelar a notacio-nes simbólicas para expresar relaciones más generales. Larepresentación matricialmente de la Centena Cuadriculadase muestra en la figura 3.

La tarea, ahora, consistió en pedir a los estudiantes quetrataran de establecer alguna relación entre el númeroincluido en una celdilla cualquiera y la posición de éstadentro de la centena cuadriculada. Se hicieron varias veri-

51

Centena cuadriculada (tipo 1)

En esta figura se ha dibujado un cuadrado alrededor del 12;esta figura será llamada cuadrado de cuatro puntos alrede-dor de 12 porque como vértices tiene los cuatro números, 2,13, 22, y 11, y como centro tiene al número 12. Dibuje ydenomine otros cuadrados de cuatro puntos. ¿Cuál es la rela-ción existente entre los vértices y el centro? Elabore una con-jetura y trate de demostrarla.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11 12 13 14 15 16 17 18 19

21 22 23 24 25 26 27 28 29

31 32 33 34 35 36 37 38 39

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51 52 53 54 55 56 57 58 59

61 62 63 64 65 66 67 68 69

71 72 73 74 75 76 77 78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 96 97 98 99

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura 2. Cuadrado de cuatro puntos

La primera actividad que se planteó alos estudiantes consistió en pedirles queseñalaran la mayor cantidad posible denociones matemáticas que ellos observa-ran en la centena cuadriculada. Fue unaespecie de juego libre y manipulacióndespreocupada. Se les dijo que podíanhacer referencia a cualquier aspectomatemático que ellos percibieran, pormuy obvio que pareciese. La intenciónde esta actividad fue hacerles reflexionarsobre los aspectos matemáticos queencierra la centena cuadriculada.

ficaciones, se formularon y probaron algunas conjeturas y,al final se obtuvo que

La conjetura anterior fue verificada concada uno de los «cuadrados de cuatropuntos» indicados en la figura 4 y conotros señalados por los estudiantes;todo ello permitió reformular la conjetu-ra y darle forma al siguiente «teorema»:

52

a1 1 a1 2 a1 3 a1 4 a1 5 a1 6 a1 7 a1 8 a1 9

a2 1 a2 2 a2 3 a2 4 a2 5 a2 6 a2 7 a2 8 a2 9

a3 1 a3 2 a3 3 a3 4 a3 5 a3 6 a3 7 a3 8 a3 9

a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 5 a4 6 a4 7 a4 8 a4 9

a5 1 a5 2 a5 3 a5 4 a5 5 a5 6 a5 7 a5 8 a5 9

a6 1 a6 2 a6 3 a6 4 a6 5 a6 6 a6 7 a6 8 a6 9

a7 1 a7 2 a7 3 a7 4 a7 5 a7 6 a7 7 a7 8 a7 9

a8 1 a8 2 a8 3 a8 4 a8 5 a8 6 a8 7 a8 8 a8 9

a9 1 a9 2 a9 3 a9 4 a9 5 a9 6 a9 7 a9 8 a9 9

a10 1 a10 2 a10 3 a10 4 a10 5 a10 6 a10 7 a10 8 a10 9

a1 10

a2 10

a3 10

a4 10

a5 10

a6 10

a7 10

a8 10

a9 10

a10 10

Figura 3. Expresión matricial de la centena cuadriculada

a i j i jij

= - + " Œ( ) , , { , , , , , , , , , }1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Esta notación permitió avanzar más hacia el campo alge-braico.

La figura 4 recoge patrones cuadrados con los vértices enuna celdilla de la centena cuadriculada. Ahora la tareaconsistía en averiguar si existía o no alguna relación quevinculara a los «vértices» con el «centro» del «cuadrado».Luego de varias verificaciones se formuló la siguiente con-jetura:

La relación consiste en que, dado un cuadrado de cuatropuntos, si sumamos sus cuatro vértices y la suma se dividepor el centro, el resultado es cuatro, una constante.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11 12 13 14 15 16 17 18 19

21 22 23 24 25 26 27 28 29

31 32 33 34 35 36 37 38 39

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51 52 53 54 55 56 57 58 59

61 62 63 64 65 66 67 68 69

71 72 73 74 75 76 77 78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 96 97 98 99

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura 4. Cuadrados con cuatro puntos con centro

Teorema 1

Dada una centena cuadriculada de tipo 1,se tiene que para todo «cuadrado de cua-tro puntos» se cumple que el promedio desus «vértices» es igual a su «centro».

Para poder demostrar esto, resultó nece-saria una generalización aún mayor quela anterior; fue así como se presentó lacentena cuadriculada de tipo 1 en laforma como se muestra en la figura 5

Con este dispositivo, ya se podíademostrar el Teorema 1.

Para ello fue conveniente plantear unasituación genérica, tal como se muestraen la figura 6.

a1 1 a1 2 a1 3 … a1 (j–1) a1 j a1 (j+1) … a1 8 a1 9 a1 10

a2 1 a2 2 a2 3 … a2 (j–1) a2 j a2 (j+1) … a2 8 a2 9 a2 10

a3 1 a3 2 a3 3 … a3 (j–1) a3 j a3 (j+1) … a3 8 a3 9 a3 10

a4 1 a4 2 a4 3 … a4 (j–1) a4 j a4 (j+1) … a4 8 a4 9 a4 10

a5 1 a5 2 a5 3 … a5 (j–1) a5 j a5 (j+1) … a5 8 a5 9 a5 10

… … … … … … … … … … …

a(i–1) 1 a(i–1) 2 a(i–1) 3 … a(i–1) (j–1) a(i–1) j a(i–1) (j+1) … a(i–1) 8 a(i–1) 9 a(i–1) 10

ai 1 ai 2 ai 3 … ai (j–1) ai j ai (j+1) … ai 8 ai 9 ai 10

a(i+1) 1 a(i+1) 2 a(i+1) 3 … a(i+1) (j–1) a(i+1) j a(i+1) (j+1) … a(i+1) 8 a(i+1) 9 a(i+1) 10

… … … … … … … … … … …

a8 1 a8 2 a8 3 … a8 (i–1) a8 i a8 (i+1) … a8 8 a8 9 a8 10

a9 1 a9 2 a9 3 … a9 (i–1) a9 i a9 (i+1) … a9 8 a9 9 a9 10

a10 1 a10 2 a10 3 … a10 (i–1) a10 i a10 (i+1) … a10 8 a10 9 a10 10

Figura 5. Generalización de la centena cuadriculada de tipo 1

Lo que se desea es demostrar que elpromedio de los vértices coincide con elcentro, es decir:

y sólo si a y b pertenecen a la misma columna y b perte-nece a la fila i, mientras que a pertenece a la fila (i – 1);es decir: si a Œ a(i – 1) j y b Œ bi j, entonces (a – b) = 10.

Conjetura 3

La suma de los elementos de cualquiera de las filas es unmúltiplo de 5, es decir:

53

a(i–3) j

a(i–1) j

ai (j–3) ai (j–1) ai j ai (j+1) ai (j+3)

a(i+1) j

a(i+3) j

Figura 6. Representación genéricade un cuadrado de cuatro puntos

con su respectivo centro

ai j

a(i+2) j

a(i+3) (j–3) a(i+3) (j+3)

Figura 7. Triángulo isósceles

a a a aai j i j i j i j

ij( ) ( ) ( ) ( )- - + ++ + +

=1 1 1 1

4Efectivamente, dado que

a i j i jij

= - + " Œ( ) , , { , , , , , , , , , }1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

se tiene entonces que:

a a a ai j i j i j i j( ) ( ) ( ) ( ) [- - + ++ + +=1 1 1 1

4i j i j i j i j[( ) ( )] [( ) ] [( ) ( )] [ ]= - + - + - + + - + + + + =1 10 1 2 10 1 10 1 10

4i j i j

aij

[( ) ]= - + = - + =40 40 4

4

4 1 10

4

Nótese que no ha sido necesario recu-rrir a la centena cuadriculada (terrenoaritmético) sino que se ha trabajado conlas notaciones y relaciones algebraicasque poco a poco se han ido introdu-ciendo. A partir de aquí los estudiantesfueron invitados a que exploraran lacentena cuadriculada y formularan con-jeturas en la búsqueda de nuevas rela-ciones algebraicas existentes entre suselementos. Fue así como Maiyelines for-muló las siguientes tres conjeturas:

Conjetura 1

Sean a y b números naturales cualesquie-ra, entre 1 y 50; se tiene entonces que(a + b) siempre pertenece a la cuadrícula.

Conjetura 2

Sean a y b dos números de la cuadrícu-la; se tiene entonces que (a – b) = 10 si

a n nijj = = Œ

1

10

5 , N

El paso siguiente consistía en verificar estas conjeturas ytratar de demostrarlas genéricamente; así se hizo, al menosen el caso de la conjetura 3:

Sea F el conjunto de todas las filas de la centena cuadri-culada: F = {fi/1 ≤ i ≤ 10}.

Sea fi = {aij/1 ≤ j ≤ 10}; i Œ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Entonces

a n nijj = = Œ

1

10

5 , donde Z

En efecto:

a i j i jijj j j j= = = =Â Â Â Â= - + = - + =

1

10

1

10

1

10

1

10

1 10 1 10[( ) ] [( ) ]

i i i= - + = + = +10 10 55 10 45 5 2 9( )

Sabemos que i Π{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entoncesi ΠZ, 2 ΠZ y 9 ΠZ; por tanto, 5(2i + 9) ΠZ.

Además de Maiyelines, otros alumnos también se anima-ron a buscar sus propios teoremas; fue así como Eneidaformuló el siguiente

Teorema de Eneida

Dada una centena cuadriculada; si se considera un triánguloisósceles cuyos vértices sean aij, a(i+3)(j+3), a(i+3)(j-3); entonces elcentro del triángulo (figura 7) viene dado por la trisección de lasuma de sus vértices, es decir, el centro del triángulo es a(i+2)j.

Demostración

Considérese un triángulo isósceles cuyos vértices sean aij,a(i+3)(j+3), a(i+3)(j-3); donde i, j Œ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

En este caso se cumple que:

aij + a(i+3)(j+3) + a(i+3)(j-3) == [(i – 1)10 + j] + [(i + 2)10 + (j – 3)] + [(i + 2)10 + (j + 3)] =

= [(i – 1) + 2(i + 2)]10 + [j + (j – 3) + (j + 3)] == (3i + 3)10 + 3j = (i + 1)3·10 +3j

Por lo tanto:

componer el rombo en triángulos isorrec-tángulos. Si, por ejemplo, tomamos el devértices 6, 33 y 36, al sumar los númerosde sus vértices y dividir por tres, se obtie-ne 25. Si tomamos el triángulo de vértices6, 36 y 39, los sumamos, y dividimos portres, se obtiene 27. Y así se repite en elresto de los casos para obtener los cen-tros 45 y 47.

Nótese que los cuatro centros de lostriángulos isorrectángulos forman un cua-drado, cuyo promedio de vértices es 36;es decir, el centro del rombo que toma-mos inicialmente.

Veamos ahora la conjetura formuladapor María:

En todo cuadrado de «lado» dos, de «vér-tices contiguos», la suma de los vérticessobre la diagonal principal es igual a lasuma de los vértices sobre la diagonalsecundaria.

Demostración

En la figura 10 se puede apreciar que:

a(i–1) (j-1)+ ai j== [(i – 2)10 + (j – 1)] + [(i – 1)10 + j ] == [(i – 2)10 + j] + [(i – 1)10 + (j – 1)] =

=a(i–1)j + ai(j–1)

La producción algebraica de los alum-nos fue abundante. Para lograrlo se lespidió que trabajaran en forma indepen-diente fuera de clase, y que procuraranencontrar otras relaciones diferentes alas estudiadas en clase y distintas de lasde sus compañeros. Así fue como traba-jaron Efraín, Roselyn y José. A continua-

La producciónalgebraica

de los alumnosfue abundante.Para lograrlo

se les pidióque trabajaran

en formaindependientefuera de clase,

y que procuraranencontrar

otras relacionesdiferentes

a las estudiadasen clase

y distintasde las de suscompañeros.

54

a a a i jij i j i j+ += + ◊ ◊ + =+ - + +( )( ) ( )( ) ( )3 3 3 3

3

1 3 10 3

3

i j i j a i j= + + = + - + = +( )( ) [( ) ] 21 10 2 110

Eneida, después de haber demostrado «su teorema» seplanteó otros interrogantes:

¿Qué ocurrirá cuando, en vez de un triángulo isósceles conlas características dadas, tengamos un isorrectángulo(triángulo rectángulo isósceles)? ¿Será acaso que todo segenera de la descomposición poligonal de los rombos queencontramos dentro de la centena cuadriculada?

Veamos el siguiente ejemplo (figura 8).

El centro del rombo es 36. Además, el rombo lo podemosdescomponer en triángulos isósceles, siendo uno de ellos elde vértices 6, 33 y 39, y con el teorema de Eneida, podemoscalcular su centro que es 26. Del mismo modo se puede des-

6

15 16 17

24 25 26 27 28

33 34 35 36 37 38 39

44 45 46 47 48

55 56 57

66

Figura 8. Rombo

a(i–3) j

a(i–1) (j–1) a(i–1) (j–+1)

ai (j–3) ai j ai (j+3)

a(i+1) (j-1) a(i+1) (j+1)

a(i+3) j

Figura 9. Rombo en forma matricial

a(i–3) j

a(i–1) (j–1) a(i–1) j

ai (j–3) ai (j–1) ai j ai (j+3)

a(i+3) j

Figura 10. Cuadrado de lado dos

ción mostramos el resultado del trabajode estos tres estudiantes.

Efraín demostró tener una imaginaciónmatemática importante, de hecho élforma parte del equipo universitario deajedrez y en algunos campeonatos ha sido«primer tablero». Sus apreciaciones inicia-les al pedírsele que observara la centenacuadriculada fueron las siguientes:

Números naturales desde el 1 hasta el 100.Matriz, 10 ¥ 10, 10 filas y 10 columnas.Figuras geométricas notables (triángulo,cuadrado, rectángulo). Diagonales, coorde-nadas. Progresiones aritméticas. Grupos ysubgrupos. Números naturales y númerosenteros positivos. Sistemas de coordenadas.Conjuntos, índices. Relaciones de orden.

Nótese que mencionó algunos aspectosno evidentes sino que formaban partede la estructura profunda de la centena,es decir, de su modelo matemático sub-yacente. Esto hacía esperar conjeturasde naturaleza mucho más compleja quelas anteriores. En efecto, la primera con-jetura que Efraín formula establece que:

Los elementos situados en las diagonalesascendentes de una centena cuadricula-da de tipo 1, constituyen los términos deuna progresión aritmética de razón –9.

Nótese la introducción del concepto dediagonal ascendente; dos ejemplos deella se muestran en la figura 11.

Demostración de la conjetura 1 de Efraín

Sean a y b dos elementos consecutivos cualesquiera deuna Centena Cuadricualada situados en una de las diago-nales ascendentes. Queremos demostrar que su diferencia(b – a) es una constante (en este caso, –9). Si a y b sondos elementos cualesquiera de una centena cuadriculadade tipo 1 situados consecutivamente en una de las diago-nales ascendentes; entonces podemos suponer, sin pérdi-da alguna de generalidad, que: a = aij y b = a(i–1)(j+1)

Por lo tanto:

(b – a) = [(i – 1 – 1)10 + (j + 1)] – [(i – 1)10 + j ] = –9

Además de lo anterior, Efraín introduce la noción de «trián-gulo isorrrectángulo», ejemplificada en la figura 12.

A partir de aquí, Efraín formula su segunda conjetura:

El promedio de los vértices de un «triángulo isorrectángu-lo», en una Centena Cuadriculada de Tipo 1, es igual a sucentro.

Demostración

Si aij es el «centro» de un «triángulo isorrectángulo» en unaCentena Cuadriculada de Tipo; entonces, sus «vértices»serán: a(i–1)(j–2), a(i–1)(j+1), a(i+2)(j+1); por lo tanto:

55

a1 10

a2 9

…

a(i–2) (j+2) a4 10

a(i–1) (j+1) a5 9

ai j a6 8

… a77

a8 3 a8 6

a9 2 a9 5

a10 1 a10 4

Figura 11. Dos ejemplos de diagonal ascendente

a1 1 a1 2 a1 3 a1 4 a1 5 a1 6 a1 7 a1 8 a1 9

a2 1 a2 2 a2 3 a2 4 a2 5 a2 6 a2 7 a2 8 a2 9

a3 1 a3 2 a3 3 a3 4 a3 5 a3 6 a3 7 a3 8 a3 9

a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 5 a4 6 a4 7 a4 8 a4 9

a5 1 a5 2 a5 3 a5 4 a5 5 a5 6 a5 7 a5 8 a5 9

a6 1 a6 2 a6 3 a6 4 a6 5 a6 6 a6 7 a6 8 a6 9

a7 1 a7 2 a7 3 a7 4 a7 5 a7 6 a7 7 a7 8 a7 9

a8 1 a8 2 a8 3 a8 4 a8 5 a8 6 a8 7 a8 8 a8 9

a9 1 a9 2 a9 3 a9 4 a9 5 a9 6 a9 7 a9 8 a9 9

a10 1 a10 2 a10 3 a10 4 a10 5 a10 6 a10 7 a10 8 a10 9

a1 10

a2 10

a3 10

a4 10

a5 10

a6 10

a7 10

a8 10

a9 10

a10 10

Figura 12. Dos ejemplos de «triángulos isorrectángulos»,con sus respectivos «centros»

[( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )]i j i j i j- - + - + - - + + + + - + + =1 1 10 2 1 1 10 1 2 1 10 1

3

i j i j i j= - + - + - + + + + - + + =10 20 2 10 20 1 10 20 10 1

3

[( ) ]( )

i j i ji j aij= - + = - + = - + =30 30 3

3

3 1 10

31 10

A estas alturas, Efraín se atreve a formular el siguienteejercicio: Replicar la demostración anterior para el «trián-

gulo Isorrectángulo» cuyo «centro» sea a(i+2)(j+1), llegando,incluso a introducir algunas definiciones como las de«cuadrado principal», «cuadrado encajado» y «cuadradoencajado degenerado». Seguidamente se presentan dichasdefiniciones:

• En una centena cuadriculada de tipo 1, se dedominacuadrado principal a todo «cuadrado» de lado n, conn Œ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

• En una centena cuadriculada de tipo 1, se dedominacuadrado encajado dentro de un cuadrado principalde lado n» a todo «cuadrado» de lado m = (n – 2); portanto, se tiene que m, el lado de un cuadrado encaja-do de lado n, es tal que m Œ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

• Se denomina cuadrado encajado degenerado a uncuadrado encajado de lado 1, es decir, aquel que estáconstituido por un único punto.

En la figura 13, se muestran ejemplos de cuadrado princi-pal» y «cuadrado encajado.

Demostración

Consideremos la situación de la figura14; sin pérdida alguna de generalidad,podemos afirmar que:

Nótesela varieday riqueza

de observaciones,algunas

apreciablesa simple vista y

otras de carácterrelacional

(algebraicas).

56

a1 1 a1 2 a1 3 a1 4 a1 5 a1 6 a1 7 a1 8 a1 9

a2 1 a2 2 a2 3 a2 4 a2 5 a2 6 a2 7 a2 8 a2 9

a3 1 a3 2 a3 3 a3 4 a3 5 a3 6 a3 7 a3 8 a3 9

a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 5 a4 6 a4 7 a4 8 a4 9

a5 1 a5 2 a5 3 a5 4 a5 5 a5 6 a5 7 a5 8 a5 9

a6 1 a6 2 a6 3 a6 4 a6 5 a6 6 a6 7 a6 8 a6 9

a7 1 a7 2 a7 3 a7 4 a7 5 a7 6 a7 7 a7 8 a7 9

a8 1 a8 2 a8 3 a8 4 a8 5 a8 6 a8 7 a8 8 a8 9

a9 1 a9 2 a9 3 a9 4 a9 5 a9 6 a9 7 a9 8 a9 9

a10 1 a10 2 a10 3 a10 4 a10 5 a10 6 a10 7 a10 8 a10 9

a1 10

a2 10

a3 10

a4 10

a5 10

a6 10

a7 10

a8 10

a9 10

a10 10

Figura 13. Dos ejemplos de cuadrado principal de ladon = 4, con sus respectivos cuadrados encajados de lado

(n – 2) = 2

En relación con estas definiciones, Efraín formula elsiguiente teorema:

Teorema de Efraín

En una centena cuadriculada de tipo 1, la semisuma de los «vér-tices» de un cuadrado principal de lado n = 4, es igual a lasuma de los elementos de la diagonal principal de su cuadradoencajado.

a(i–2) (j–1) a(i–2) (j+2)

a(i–1) j a(i–1) (j+1)

ai j ai (j+1)

a(i+1) (j–1) a(i+1) (j+2)

Figura 14

[( ) ( )] [( ) ( )]i j i j+ - + - + + - + + +1 1 10 1 1 1 10 2

2

[( ) ( )] [( ) ( )]i j i j+ - - + + + - - + - =2 1 10 2 2 1 10 1

2

i j i j i j i j= + - + + + + - + + + - + - =10 1 10 2 10 30 2 10 30 1

2

i ji j= - + + = - + + =40 60 4 2

220 30 2 1

= [([( ) ] [( ) ( )] ( )( )i j i j a aij i j- + + - - + + = + - +1 10 1 1 10 1 1 1

Veamos seguidamente los aportes deRoselyn. Las apreciaciones iniciales deésta fueron las siguientes:

En las cuadrículas se encuentran los núme-ros naturales desde el 1 hasta el 100. Loselementos ubicados en las cuadrículas queconforman la diagonal principal (en ordendescendente) van de once en once. Los ele-mentos ubicados en las cuadrículas queconforman la primera columna van de diezen diez. Los elementos ubicados en las cua-drículas que conforman la diagonal secun-daria (en orden descendente) van de nueveen nueve. La centena cuadriculada puededividirse en cuatro cuadrados congruentes.La centena cuadriculada puede dividirse endos triángulos congruentes. La suma de dosnúmeros naturales cualesquiera pertene-cientes a {1, 2, 3, ..., 48, 49, 50} pertene-ce a la Centena Cuadriculada. La diferen-cia entre el elemento que pertenece a unacuadrícula y el que pertenece a la cuadrí-cula inmediatamente superior (es decir, estáen la misma columna pero en la fila ante-rior) es diez. La suma de los elementos quepertenecen a las cuadrículas que constitu-yen una fila es múltiplo de cinco.

Nótese la varieda y riqueza de obser-vaciones, algunas apreciables a simple

vista y otras de carácter relacional(algebraicas).

Roselyn también formuló conjeturas;una de ellas fue la siguiente:

La diferencia entre la suma de los ele-mentos que constituyen dos filas conse-cutivas es cien; es decir:

Demostración

En todo «cuadrado simétrico con respecto a los lados de la

Centena cuadriculada de tipo 1», sus vértices vienen dados

por aii, ai(11–i), a(11–i)i, a(11–i)(11–i).

Por lo tanto se cumple que:

aii, ai(11–i), a(11–i)i, a(11–i)(11–i)

= [(i – 1)10 + i] + [(i – 1)10 + (11 – i)] + [(10 – i)10 +i] +

+ [(10 – i)10 +(11 – i)] = 10i – 10 + i +10i

––10 + 11 – i + 100 – 10i + i +100 – 10i + 11 –i =

= (10 +1 +10 –1 –10 + 1–10 – 1) +

+ (–10 – 10 + 11 +100 +100 + 11) = 202.

Conclusiones

Con esta experiencia hemos pretendido poner de mani-

fiesto que la Centena Cuadriculada es un «material mate-

máticamente potente». Su uso adecuado por parte del

docente en el aula puede provocar en los estudiantes gra-

tificantes hallazgos y hacer que ellos tengan comporta-

mientos propios del quehacer matemático, como son:

apreciar regularidades, identificar patrones, formular con-

jeturas, verificarlas, enunciar teoremas y demostrarlos.

Existen diversas líneas de trabajo abiertas centradas en la

Centena Cuadrículada, algunas de las cuales se refieren a

las posibilidades de este material para realizar representa-

ciones geométricas para conceptos aritméticos, y otras

ponen énfasis en el paso de la aritmética al álgebra.

57

a aijj

i jj=

-=

 Â- =1

10

11

10

100( ) ,

i iŒ π1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1{ , , , , , , , , , },

a aijj

i jj=

-=

 Â- =1

10

11

10

100( ) ,

i iŒ π1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1{ , , , , , , , , , },

a a a aijj

i jj

ijj

ijj=

-= = =

   Â- = - - =1

10

11

10

1

10

1

10

10( ) ( )

a aijj

ijj j j= = = =

   Â= -È

Î

ÍÍ

˘

˚

˙˙

- - = = ◊ =1

10

1

10

1

10

1

10

10 10 10 10 100( )

a(i–1) 1 a(i–1) 2 a(i–1) 3 … a(i–1) (j–1) a(i–1) j a(i–1) (j+1) … a(i–1) 8 a(i–1) 9 a(i–1) 10

ai 1 ai 2 ai 3 … ai (j–1) ai j ai (j+1) … ai 8 ai 9 ai 10

a(i+1) 1 a(i+1) 2 a(i+1) 3 … a(i+1) (j–1) a(i+1) j a(i+1) (j+1) … a(i+1) 8 a(i+1) 9 a(i+1) 10

Figura 15

Finalmente, veamos la producción deJosé, quien introdujo la noción de cua-drado simétrico con respecto a los ladosde la centena cuadriculada de tipo 1;ejemplos de Cuadrados Simétricos seaprecian en la figura 16; con base enesta noción, José formula el siguienteteorema:

Figura 16. Se observan tres cuadrados de vérticessimétricos con respecto a los lados de la centena

cuadriculada

Teorema de José

La suma de los vértices de todo «CuadradoSimétrico con respecto a los lados de laCentena Cuadriculada de tipo 1» es cons-tantemente igual a 202.

Apréciese que aij = a(i–1)j + 10, " i Œ {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Demostración

Consideremos la situación de la figura15. Lo que queremos demostrar es:

En efecto:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Hemos constatado, después de diversas experiencias tanto

en Maracay (Venezuela) como en Granada (España), que

este tipo de trabajo con estudiantes para profesor favore-

ce una actitud más positiva hacia la Matemática y su ense-

ñanza.

Referencias bibliográficas

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Cockroft, MEC, Madrid.

DEVLIN, K. (1994): Mathematics: The Science of Patterns,Scientific American Library, Nueva York.

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LITWILLER, B.H. y D.R. DUNCAN (1980): Activities for the main-

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RICO, L., E. CASTRO, E. CASTRO, M. CORIAT e I. SEGOVIA(1997): «Investigación, Diseño y Desarrollo Curricular», en L.RICO (ed.): Bases Teóricas del Curriculum de Matemáticas en

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RUIZ, F. (2000): La Tabla-100. Representaciones geométricas de

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en formación, Tesis doctoral, Departmento de Didáctica de laMatemática, Universidad de Granada, Granada.

STEWART, I. (1995): Nature’s Numbers. Discovering order and

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ZIMMERMANN, W. y S. CUNNINGHAM (1991): «Visualization andthe nature of Mathematics», en W. ZIMMERMENN y S.CUNNINGHAM (eds.): Visualization in Teaching and

Learning Mathematics, Mathematical Association of America.Washington.

Anexo. Centenas Cuadriculadasde tipos diferentes a la de Tipo 1

Centena cuadriculada (tipo 2) (figura 17)

1. Sume los números en cada una de las cuatro primeras

filas.

58

2. ¿Existe algún patrón en estas

sumas? ¿Por qué ocurrirá?

3. Adivine y verifique las sumas

correspondientes a las siguientes

seis filas.

4. Repita los pasos 1, 2 y 3, pero traba-

jando por columnas.

5. Adivine y verifique los grandes tota-

les de las sumas y las columnas.

6. ¿Por qué los grandes totales están

relacionados en esa forma?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Figura 17

Centena cuadriculada (tipo 3)(figura 18)

Antes de trabajar con la siguiente

Centena, encuentre los siguientes tres

términos de cada una de las siguientes

secuencias numéricas. Hay más de una

respuesta posible.

1. 1 20 21 40 41 __ __ __

2. 1 19 23 37 45 55 __ __

__

3. 10 12 28 34 __ __ __

4. Explore la centena dada.

5. ¿En qué difiere esta centena de la

centena tipo 2.

6. Adivine y verifique las sumas de las

primeras tres columnas.

7. ¿Por qué son iguales las sumas de

las columnas en esta centena cua-

driculada?

Fredy E. GonzálezUniversidad PedagógicaExperimental Libertador.

Instituto Pedagógico«Rafael Alberto Escobar Lara»

Maracay (Venezuela)Francisco Ruiz

Departamento de Didácticade la Matemática.

Universidad de Granada.Sociedad Andaluza

de Educación Matemática«Thales»

59

cuadrado. ¿Pueden tener la misma suma dos cuadra-

dos de cuatro puntos que sean distintos?

5. ¿Es posible dibujar cuadrados de cuatro puntos cuya

suma sea 175 o 255?

6. Formule dos conjeturas acerca de los cuadrados de

cuatro puntos y pruébelas.

Centena cuadriculada (tipo 5) (figura 19)

1. Use la variación de la Centena Cuadriculada que se

muestra a continuación para hallar el resultado de las

siguientes operaciones sin efectuar la adición

1 + 2

1 + 2 + 3

...

1 + 2 + 3 + . . . + 8 + 9 + 10

1 + 2 + 3 + . . . + 8 + 9 + 10 + 9

1 + 2 + 3 + . . . + 8 + 9 + 10 + 9 + 8

...

1 + 2 + 3 + . . . + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + . . . + 2 + 1

2. Explore esta Centena Cuadriculada. Comparta sus des-

cubrimientos con los compañeros (Sugerencia:

Estudie los patrones en las sumas de las filas y las

columnas).

Centena cuadriculada (tipo 4)(figura 17)

1. Dibuje un cuadrado de cuatro pun-

tos alrededor de 34. ¿Cuál es la

media de los cuatro números en

este cuadrado?

2. Experimente dibujando otros cua-

drados de cuatro puntos y prome-

die los cuatro números en cada

figura.

3. Dibuje un cuadrado de cuatro pun-

tos cuyos números vértices sumen

296. ¿Cuál es el número que queda

en el centro de este cuadrado?

4. Se denomina suma del cuadrado a

la suma de los números vértices del

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91

Figura 18

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

2 5 9 14 20 27 35 44 54 64

4 8 13 19 26 34 43 53 63 72

7 12 18 25 33 42 52 62 71 79

11 17 24 32 41 51 61 70 78 85

16 23 31 40 50 60 69 77 84 90

22 30 39 49 59 68 76 83 89 94

29 38 48 58 67 75 82 88 93 97

37 47 57 66 74 81 87 92 96 99

46 56 65 73 80 86 91 95 98 100

Figura 19

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

N EL ÁMBITO educativo institucional, gran parte delaprendizaje se realiza, en general, a través de, o mejordicho «gracias a», interacciones entre los actores que inte-gran dicho ámbito. Nos referiremos particularmente eneste trabajo a las interacciones en la clase de Matemáticas.Si asumimos que los aspectos culturales y sociales son unaparte importante del aprendizaje matemático (Godino yLlinares, 2000), el docente, en sus programaciones, debe-ría diseñar actividades, o adecuar o seleccionar entre lasya existentes, para que surjan interacciones. Cuandohablamos de interacciones nos referimos al intercambiocomunicativo, recíproco y voluntario entre actores queparticipan de un acto intencionado como es el de enseñaro aprender. Dicho intercambio conlleva en sí mismo lapotencialidad de provocar alguna transformación (en lointelectual o en lo actitudinal) entre los sujetos participan-tes. El intercambio puede ser de experiencias, interpreta-ciones, opiniones, conocimientos, actitudes, etc., y estánfocalizados en un mismo objeto (problema, concepto,acción, etc.). Las interacciones en la clase pueden serentre: docente-alumno, docente-colectivo (clase comple-ta), alumno-alumno (por parejas o en grupo), docente-pequeño grupo, pequeño grupo-pequeño grupo. Resultadifícil para los actores, incluso para el docente, realizar unanálisis profundo de las interacciones en las cuales seencuentra involucrado para reflexionar y obtener conclu-siones sobre ellas. Por esta razón, contamos con pocainformación sobre los alcances de los distintos tipos deinteracciones en el aprendizaje matemático.

Con la intención de indagar sobre este último aspecto nospropusimos diseñar una secuencia didáctica, organizadaen una clase de dos horas, para obtener información sobrequé aprenden nuestros estudiantes preuniversitarios con

De acuerdo con elinteraccionismo simbólico(Godino y Llinares, 2000)asumimos que los aspectosculturales y sociales son una

parte importante delaprendizaje matemático

para nuestra población deestudiantes ingresantes a launiversidad. Presentamos

aquí una experienciadidáctica, realizada en elmarco de un proyecto deinvestigación, en la quepretendemos observar y

registrar los comportamientosy aprendizajes de

estudiantes preuniversitariosde Matemáticas con relacióna cierto tipo de interaccionesintencionalmente provocadas

y observables. Estaexperiencia fue diseñadacon la intención de hacersurgir una diversidad de

interacciones alrededor de larealización de un problema,

a través del cual seintroducen los temas: funcióncuadrática y modelización

usando la funcióncuadrática.

61

Interacciones y aprendizajeen Matemáticas: análisisde una experiencia didáctica

Marcela Cristina FalsettiMabel Alicia RodríguezAdriana Judith Aragón*

ARTÍCULOS

E

42

febrero 2003, pp. 61-68

* Las tres autoras son integrantes del proyecto Las relaciones interactivas en elaula en cursos introductorios de Matemática de la UNGS, que recibe subsi-dio del Ministerio de Educación de la Nación (Argentina).

relación a ciertas interacciones provocadas y observables.A modo exploratorio aplicamos esta secuencia en dos gru-pos de, aproximadamente, veinte alumnos cada uno. Laelaboración de la secuencia se adecua a las reglas de la lla-mada «ingeniería didáctica» (Douady, 1995) por cuanto lamisma es concebida por un grupo de investigadores-docentes con el fin de llevar a cabo un proyecto de apren-dizaje por interacciones que son reguladas por las inter-venciones del profesor.

Elaboración de una secuencia didácticapara analizar interacciones

Criterios de elaboración

La secuencia presentada es para introducir los temas «fun-ción cuadrática» y «modelización por función cuadrática».Los alumnos tienen, al iniciar esta actividad, práctica en eltrabajo en forma grupal y colectiva, resolviendo proble-mas. Acaban de estudiar los temas «funciones» y «funciónlineal» bajo el contexto de modelización. Los criterios usa-dos para diseñar la secuencia son los siguientes:

• Proponer una tarea compleja que demande habilida-des múltiples en un lapso de tiempo acotado.

• Dar lugar a interacciones: entre alumnos en un grupo,entre grupos, entre el profesor y cada grupo, entre elprofesor y el colectivo (la clase completa).

• Dar ciertas indicaciones al docente sobre sus inter-venciones durante la tarea asignada.

• Dar lugar al cambio productivo de opinión, a la refle-xión sobre la tarea designada, a la confrontación yasea entre grupos, entre el profesor y cada grupo, oentre el profesor y el colectivo.

• Que los cambios conceptuales que se den en cadaalumno estén sustentados en mecanismos de valida-ción que no dependan del profesor.

• Indicar al observador qué variables y acciones tiene queobservar.

• Proponer, para la tarea asignada, algunos indicadoresde aprendizaje a observar.

Estos criterios persiguen, por un lado, dar sentido al trabajogrupal y crear la condición de interdependencia y responsa-bilidad individual imprescindibles para el trabajo en peque-ños grupos; por otro lado, se quiere garantizar que aparez-can los dos aspectos funcionales más importantes del traba-jo en equipo que son: los aprendizajes que cada miembro delequipo logra individualmente y la producción grupal dondetodos deben responder por un producto que represente a lasproducciones individuales (Shulman y otros, 1999).

Descripción de la secuenciaProponemos trabajar sobre un problema en grupos for-mados espontáneamente. Debe haber un número par de

grupos y con cinco integrantes a losumo en cada uno de ellos.

En el momento de realizar la actividad sehabía ya enseñado y trabajado sobreÁlgebra y Geometría elemental (camposnuméricos, expresiones algebraicas,ecuaciones, construcciones geométricas,lugares geométricos, teorema de Thales,semejanza, teoremas de Pitágoras, trigo-nometría); sobre el concepto de funcióny su utilidad en la modelización; sobrefunciones lineales y problemas modeliza-bles a través de la función lineal (Almeiday otros, 2001; Falsetti y otros, 2001).

Problema

Se tiene un cuadrado de 25 cm de ladoy se considera el cuadrado ABCD cuyosvértices están a una misma distancia dde los vértices del cuadrado originalcomo indica la figura:

…se quieregarantizar

que aparezcanlos dos aspectos

funcionalesmás importantes

del trabajoen equipo que son:

los aprendizajesque cada miembro

del equipo lograindividualmentey la producción

grupaldonde todos

deben responderpor un productoque represente

a las produccionesindividuales…

62

A

B

C

D

d

a) Construir otros cuadrados inscritosde forma análoga al ABCD paraotros valores de d. Describir elcomportamiento de las áreas de loscuadrados.

b) ¿Cuál de los siguientes gráficospuede corresponder a la represen-tación del área del cuadrado que seforma en función de la distancia d?

A

B25

A

B25

A

B25

A

B25

Las consignas para dirigir la actividad enclase son:

El docente rotará por los grupos observando qué hacenlos alumnos y, de ser necesario, los ayudará sin decircómo se hace el problema.

ii) ¿Qué hace el observador?

Pasando por los grupos, el observador toma registro escri-to y puede grabar. Proponemos que el observador al regis-trar tenga en cuenta los siguientes puntos:

• Qué conocimientos ya adquiridos ponen de manifies-to y cómo lo hacen.

• Dinámica grupal: cómo intervienen cada uno de losparticipantes, cuáles son los comentarios, qué deci-siones se toman, etc.

• Qué escriben en el cuaderno, quiénes escriben, cómotraducen al lenguaje escrito lo que intercambian oral-mente.

• El tipo de justificaciones (se pueden basar en: atribu-tos del dibujo, propiedades deducidas a partir deldibujo como figura de análisis, explicación ligada alproceso operacional de producción de la solución,propiedades en general, etc.).

iii) Algunas formas de acción previstas para resolver la tarea

En relación con la matemática:

• Pueden probar con dos valores únicamente e inferirun mismo tipo de crecimiento para todo el dominio.

• Pueden probar con algunos valores e inferir el creci-miento y el decrecimiento.

• Pueden modelizar usando el teorema de Pitágoras ydar la expresión del área en función de d.

En relación con la dinámica grupal:

• Interactuar con otro sujeto de modo que sirva a cadaalumno para entender el problema, sistematizar susconocimientos, seleccionar las estrategias, reflexionar,relacionar, etc.

iv) ¿Cuáles son los posibles indicadores de la evolución enel aprendizaje?

• El alumno (que probó con valores de manera queconcluyó un determinado sentido de la desigualdad),empieza a concebir la variabilidad de las magnitu-des, la dependencia entre ellas y, el tipo de depen-dencia.

• El alumno (que hasta el momento en el curso sóloestudió, con detalle matemático, las funciones linea-les), comienza a concebir que un fenómeno puedatener intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

• El alumno es capaz de exponer con algún soporte(puede ser el gráfico) las diferencias respecto a losmodelos estudiados anteriormente, más precisamentela «no proporcionalidad» en el proceso.

Pueden probarcon dos valores

únicamentee inferir

un mismo tipode crecimiento

para todoel dominio.

Pueden modelizarusando

el teoremade Pitágoras

y dar la expresióndel área

en función de d.

63

A

B25

A

B25

A

B25

A

B25

1. Resolver en grupo la parte a) delproblema dado.

2. Cada grupo deberá escribir en lapizarra la resolución. Una vez quetodos hayan escrito su respuestacada grupo deberá explicarla.

3. Resolver en grupo la parte b) delmismo problema. Explicitar, porescrito, las razones por las cualescada uno de los gráficos ha sido ele-gido o descartado.

4. Entregar la producción al profesor.

5. Cada grupo recibirá del docente laproducción de otro grupo, la cualdeberá corregir indicando si estábien o no y explicando, al otrogrupo, las razones por escrito.

6. Devolver a cada grupo su produc-ción.

7. Analizar las correcciones hechas enla producción propia por el otrogrupo, ¿harían algún cambio?

Todos los puntos deben estar desarrolla-dos por escrito para entregarlos. Cadagrupo debe entregar un único ejemplaral docente.

Analizaremos las instancias 1, 2, 3, 5, 7con respecto a interacciones.

1. Trabajo en cada grupo

i) ¿Qué hace el profesor mientras los estu-diantes comienzan a desarrollar la tarea?

Cuadro 1

2. Cada grupo expone

i) ¿Qué hace el docente?

• Modera el intercambio.

• Propone, en caso de ser necesario, que sean dos o máscompañeros de un mismo grupo los que exponganpara todos lo realizado en el seno de su grupo.

• En caso de ser necesario, hace preguntas que creaque posibilitarían una mayor comprensión, sin pro-nunciarse al respecto ni hacer valoraciones.

ii) ¿Qué hace el observador?

Presta atención a:

• Qué y cómo comunica de manera escrita cada gruposu producción.

• Qué y cómo comunica de manera oral cada grupo suproducción.

• La exposición del grupo observado en la instancia deproducción grupal, comparándola con lo observadoen el interior del mismo (como por ejemplo, qué es loque ellos seleccionan para comunicar).

• La presencia o falta de justificaciones y a su tipología(como por ejemplo, si fueron lo suficientementeexplícitos para los demás compañeros).

• Al tipo de comportamiento de los alumnos que nopertenecen al grupo que expone:

— si escuchan;

— si lo toman en cuenta;

— si consideran lo que dice el otro como un pensa-miento/razonamiento consistente y fundado quelos podría hacer cambiar de opinión.

• Cómo juega la valoración de las personas en elmomento de escuchar la exposición.

• En qué medida consideran relevante lo hecho por suscompañeros en comparación con lo del docente.

iii) Algunas formas de acción previstas.

• Cada grupo escribe en la pizarra su producción y laexplicará. Dentro de las posibles explicaciones unasserán de carácter más procesual y otras de caráctermás general.

• Prever su postura ante el problema, pudiendo cam-biarla o seguir sosteniendo la misma.

iv) ¿Cuáles son los posibles indicadores de la evolución enel aprendizaje?

• Cambio de opinión.

• Uso de expresiones y notación matemática.

• Mayor nivel de formulación de ciertas preguntas.

• Mayor nivel de justificación de la resolución.

3. Se resuelve en grupo la parte b)del problema

En esta instancia sugerimos las mismasindicaciones que en la instancia 1 parael docente y el observador.

i) Algunas formas de acción previstas.

• «Fuerzan» la situación tratando deaplicar algún modelo que involucrela función lineal que es lo que ellosconocen mejor.

• No tienen en cuenta el rango de lasvariables involucradas.

• Hacen su propio gráfico de acuerdoa lo obtenido en el punto a) a travésde puntos y después ven cuál de losgráficos es el que más se parece a loque ellos realizaron.

• Explican qué representaría cada grá-fico sin relacionarlo con la parte a).

ii) ¿Cuáles son los posibles indicadoresde la «evolución en el aprendizaje»?

• El descarte del gráfico que involu-cra funciones lineales.

• El poder pasar de un tipo de gráficode situación (como el de los cua-drados) a una representación sim-bólica intermedia, explícita o no,para obtener información que luegovuelquen en un tipo de representa-ción gráfica de tipo matemático-ana-lítico (por ejemplo, interpretar en ungráfico matemático la simetría de lostamaños de los cuadrados a medidaque varía la distancia a uno de losvértices).

• Mayor nivel de justificación.

• Coherencia con la resolución de laparte a).

5. Corrección cruzada entre grupos

i) ¿Qué hace el docente?

Supervisa que la corrección sea comple-ta, esté explicada y lo suficientementejustificada.

ii) ¿Qué hace el observador?

• Detecta si hay un cambio de actituden el grupo que pasó a tener el rolde «evaluador» (si son muy exigenteso no, con qué compromiso realizan

Qué y cómocomunica

de manera escritacada grupo

su producción.

Qué y cómocomunica

de manera oralcada grupo

su producción.

64

la tarea que servirá para utilizar aotro grupo de compañeros, etc.).

• Detecta cómo juega la valoraciónde las personas en el momento dela corrección (puede ser que losintegrantes de un grupo considerenque los integrantes del grupo asig-nado son flojos y entonces estavaloración sea suficiente para nointentar leer en detalle lo escritopor sus compañeros).

iii) Algunas acciones previstas

• Los alumnos discuten las respuestasde sus compañeros de acuerdo conlo resuelto por ellos y no con loque sus compañeros escribieron.

• No saben cómo corregir.

• Dicen que están de acuerdo o nosin dar ninguna valoración de loque están revisando.

• Evitan pronunciarse al respecto.

iv) ¿Cuáles son los posibles indicadoresde la evolución en el aprendizaje?

• Mayor nivel de justificación de locorregido.

• Cambio de opinión.

• Reconocimiento de aportes delmodo de resolución del otro grupo.

• Uso de lenguaje y notación adecua-dos.

7. Análisis de correcciones hechaspor otro grupo

i) ¿Qué hace el docente?

• Controla que todos los grupos reci-ban su devolución.

• Es mediador, en caso de ser nece-sario, entre los «correctores» y los«corregidos».

• Ayuda a los alumnos que recibenlas correcciones para que las en-tiendan.

ii) ¿Qué hace el observador?

• Detecta si hay buena recepción delos trabajos corregidos por los com-pañeros.

• Registra los cambios de ideas y nocio-nes a partir de esas correcciones.

iii) Algunos resultados previstos

• Los alumnos no entienden las correcciones hechas.

• Se provocan discusiones por no querer aceptarcorrecciones por parte de sus compañeros y solicitanmayor fundamentación o bien dan una mejor explica-ción, como por ejemplo: «aquí nosotros quisimosescribir tal o cual cosa…».

• Reconocen los errores.

iv) Indicadores de evolución en el aprendizaje

• Reconocimiento de errores.

• Entendimiento de correcciones bien hechas.

• Mejor justificación de lo realizado.

• Análisis crítico de la propia producción.

• Reelaboración de la forma incorrecta en función de locorregido.

Breve descripción de lo sucedidodurante el desarrollode la experiencia

Presentación del primer grupo

El primer grupo en donde se aplica la experiencia era muyheterogéneo, con mayoría de aspirantes a ingresar a la uni-versidad entre los veinticinco a cuarenta años de edad, conexperiencia escolar largamente interrumpida. Además, salvopocas excepciones, en cuanto a habilidades y competenciasmatemáticas, la clase era de «alumnos flojos». El profesorsolía en este curso explicar detalladamente y asistir a cadauno de los estudiantes, o a cada grupo que se formabaespontáneamente, corrigiendo los errores y explicando nue-vamente, en forma personalizada y de otras maneras, encaso de notar que no hubo entendimiento. Frente a las dis-tintas tareas asignadas en clase, los estudiantes tenían untiempo acotado para pensar cómo la desarrollarían y paratrazar una estrategia de desarrollo. Pasado este tiempo, elprofesor, mediante una exposición dialogada y participativacon la clase completa, recopilaba lo hecho y desarrollaba eltema en forma teórico-práctica. Este curso contaba conpoca experiencia de trabajo en pequeños grupos con unaactividad especialmente diseñada para ello.

Descripción del desarrollo de la secuencia

En el momento de la experiencia, el profesor les presentóla modalidad de trabajo y frente a la consigna del cuadro1, los estudiantes se agruparon respetando la disposiciónen la que estaban ubicados, que responde a afinidades per-sonales. Se organizaron seis grupos con una cantidad deintegrantes de entre 3 a 5 personas. En todos ellos hubo

Controla quetodos los grupos

recibansu devolución.

Es mediador,en caso

de ser necesario,entre

los «correctores»y los «corregidos».

Ayudaa los alumnosque reciben

las correccionespara que

las entiendan.

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inicialmente una lectura silenciosa e individual del ejerciciopropuesto. En algunos grupos, en los cuales no hubo unintento conjunto de entender el enunciado, llamaron direc-tamente al profesor quien les explicó y dio pautas deacción. Surgió como obstáculo no previsto la dificultad porentender qué significa estar «inscrito». En general, salvo enuno de los grupos, se planteó un trabajo colaborativo, esdecir todos abordaron la misma tarea; en el restante, encambio, decidieron trabajar individualmente para comparardespués. En todos estos grupos, salvo uno, la figura dellíder no apareció claramente; sí es notorio que en todosellos uno o dos integrantes tomaron la responsabilidad dehacer los cálculos, los dibujos del análisis, mientras el restopensaba, obtenía conclusiones, dilucidaba y anticipabasobre lo producido por esa persona y registraba en suscuadernos cuando creía estar seguro de que se habían rea-lizado bien las cosas. En el grupo restante, formado porcinco personas, una mujer parecía tener la voz cantantepero en realidad esbozaba ideas en voz alta para que otrocompañero, más tímido pero más «matemático», le corrigie-ra y así juntos iban diseñando una estrategia de acciónmientras el resto esperaba el acuerdo entre estos dos paracomenzar a actuar. En algunas ocasiones el profesor, quesupervisaba los grupos, intervino ayudando y contestandomás de lo que el grupo solicitaba o haciendo notar que elcamino tomado no era el correcto.

Respecto a poner en juego conocimientos ya adquiridos, entodos los grupos se comenzó a concebir la variabilidad dela magnitud d. Es notorio lo sucedido en dos de los gruposen donde establecieron una hipótesis anticipatoria, o pre-supuesto, que pretendían corroborar con sus cálculos. Enuno de ellos, bajo una visión analítica, se aprestaron a darvalores a la distancia d presuponiendo de antemano quepara diferentes valores obtendrían el mismo lado del cua-drado menor y, por lo tanto, el área sería constante. En elotro, bajo una visión geométrica, supusieron que el cuadra-do inscrito es el rotado de uno fijo (algunos dijeron que erael rotado del cuadrado mayor) y concluían directamenteque el área era constante. Para estos grupos fue costosoreconocer el tipo de dependencia entre las variables. Elresto de los grupos reconoció rápidamente que había creci-miento y decrecimiento de los valores del área de acuerdoa la posición del inscrito y la simetría fue identificada por-que «se vuelven a alcanzar los mismos valores del área unavez que el vértice del cuadrado inscrito se corrió de la mitaddel cuadrado original». Enseguida pasaron a los gráficos dela parte b) del ejercicio e indicaron que los que podíancorresponder estaban entre los gráficos 1, 4, 7 y 8.

Al finalizar el tiempo asignado, todos los integrantes de losgrupos manifestaban los siguientes indicadores de apren-dizajes umbrales: concibieron la variabilidad de las mag-nitudes, la dependencia entre ellas; concibieron un tipo decomportamiento combinado en cuanto al crecimiento;descubrieron que en un cierto rango de variabilidad de d

los valores del área crecen o decrecen.Sin embargo, no todos fueron capacesde establecer el tipo de dependenciaentre las variables ni de exponer justifi-cadamente lo realizado. De los seis gru-pos, destacamos sólo dos cuyos indica-dores de aprendizaje fueron más eleva-dos por cuanto justificaron mejor y esta-blecieron claramente las diferencias conel modelo lineal conocido. Cabe desta-car que sólo uno de esos dos gruposrealizó la modelización usando el teore-ma de Pitágoras.

La exposición de los grupos se realizóen forma ordenada. Durante la mismalos demás estudiantes permanecíancallados sin manifestar si entendían ono lo que los compañeros estabanexplicando. El profesor debería haberfomentado mayor intercambio en esemomento. Después de la exposición decada grupo, la clase identificó comoforma más adecuada aquélla donde seusó el teorema de Pitágoras para mode-lizar la variabilidad; sin embargo, nopudieron inferir un comportamientoglobal de la dependencia a través deesta fórmula, ya que al realizar la parteb) del ejercicio, cometieron errores. Enprincipio no hubo inconvenientes endescartar aquellos gráficos que no mos-traban simetría, sin embargo, en sumayoría, no supieron descartar losmodelos que involucraban la funciónlineal y los pocos que lo hicieron no lohicieron justificadamente.

En cuanto a la dinámica grupal de lasinstancias siguientes, hubo más incon-venientes en los momentos de realizarla corrección y de recibir la corrección.Es decir, que hubo dificultades en pre-sentar un producto grupal (la exposi-ción y defensa de lo realizado por elequipo a la clase, la presentación deuna selección justificada de gráficospara ser corregido, la corrección de laproducción de otro grupo). Cabe aclararque era la primera vez en la que se lessolicitaba y evaluaba una produccióngrupal. Consideramos que, según losindicadores formulados, en el punto 7no hubo el aprendizaje esperado pueslas correcciones realizadas por los gru-pos no eran claras ni justificadas.

Al finalizarel tiempo

asignado, todoslos integrantesde los gruposmanifestabanlos siguientesindicadores

de aprendizajesumbrales:

concibieronla variabilidad

de las magnitudes,la dependencia

entre ellas;concibieronun tipo de

comportamientocombinadoen cuanto

al crecimiento…

66

Presentación del segundogrupo

Este curso contaba, en el momento deobservar la experiencia, con práctica enel desarrollo de actividades grupales. Enestas actividades, los estudiantes tratabande resolver la tarea propuesta en gruposmientras el profesor asistía y guiaba latarea de cada grupo. Luego, medianteuna exposición dialogada y participativacon la clase completa, desarrollaba unapuesta en común, con los distintos razo-namientos proporcionados por los dife-rentes grupos. En el momento de laexperiencia, el profesor les presentó lamodalidad de trabajo y frente a la con-signa del cuadro 1, los estudiantes seagruparon respetando la disposición enla que estaban ubicados que respondía aafinidades personales. Se formaron así 14grupos con entre 5 a 8 integrantes.

En este caso, contamos con una observa-ción localizada, de un equipo en particu-lar que fue elegido al azar. El mismo con-taba con 7 integrantes. Tres de los cualestenían entre 19 y 25 años aproximada-mente, los otros cuatro entre 25 y 55 añosaproximadamente. En un principio, cadaintegrante leyó silenciosa e individual-mente el ejercicio propuesto. Algunosescribieron solos en sus cuadernos, otrosse quedaron observando lo que hacía elcompañero; nadie pedía explicación.Cabe destacar que en este grupo tres par-ticipantes pensaban seguir la mención deadministración y, casualmente, estabansentados alineados los tres juntos. Ellosfueron los primeros del grupo en obteneralguna conclusión En un principio secomunicaban entre sí, sin compartir susrazonamientos a los demás. El resto delos integrantes trabajaba solo o no traba-jaba. Al poco tiempo, uno de los partici-pantes que no trabajaba, se anima a pre-guntarle al resto, sobre el enunciado delproblema, aduciendo no entender elenunciado «No entiendo… ¿qué hay quehacer?». Ahí, el subgrupo de tres personasque se había formado, trata de explicarle,con sus palabras lo que habían entendi-do. Destacamos como dificultad no pre-vista, el entendimiento del enunciado delproblema propuesto. También surgióaquí como obstáculo la dificultad por

entender qué significa estar «inscrito», y la movilidad de lafigura de análisis a través de la variabilidad de d. Una vezque ellos lograban con sus palabras comunicarse y enten-derse, avanzaban en cuanto al análisis del problema. En estegrupo, enseguida se manifestó este subgrupo de tres perso-nas que llevaban la «voz cantante», estos integrantes si biencomunicaban sus conclusiones al resto, sólo integraban alresto de los participantes en el caso de que alguno de elloslo requiriera expresamente pidiendo ayuda.

Así, fueron obteniendo conclusiones como la variabilidadde las magnitudes, la dependencia entre ellas; concibieronun tipo de comportamiento combinado en cuanto al cre-cimiento, descubrieron que en un cierto rango de variabi-lidad de d los valores del área crecen o decrecen, se die-ron cuenta de la simetría del problema. Esto lo consiguie-ron proponiendo distintos valores de d.

Los integrantes de este grupo manifestaban los siguientesindicadores de aprendizajes umbrales: concibieron la varia-bilidad de las magnitudes, la dependencia entre ellas; conci-bieron un tipo de comportamiento combinado en cuanto alcrecimiento, descubrieron que en un cierto rango de varia-bilidad de d los valores del área crecen o decrecen. Sinembargo, no fueron capaces de establecer el tipo de depen-dencia entre las variables ni exponer justificadamente lo rea-lizado. De los catorce grupos, destacamos sólo uno cuyosindicadores de aprendizaje fueron más elevados por cuantojustificaron mejor y establecieron claramente las diferenciascon el modelo lineal conocido. Cabe destacar que sólo ésterealizó la modelización usando el teorema de Pitágoras.

La exposición de los grupos se realizó en forma mediana-mente ordenada. Durante la misma, algunos estudianteshacían comentarios entre ellos de las resoluciones queaparecían en la pizarra, otros permanecían callados sinmanifestar si entendían o no lo que los compañeros esta-ban explicando.

Aunque muchas de las conclusiones explicitadas erancarentes de formalización en lenguaje matemático, hubobuen intercambio en esta instancia. En esta clase, mientrasalgunos grupos exponían, hubo intervención del restopara entender la exposición.

Después de la exposición de cada grupo, la clase identificócomo forma más adecuada aquélla donde se usó el teoremade Pitágoras para modelizar la variabilidad. Todos los gruposprestaron especial atención a la construcción de la fórmula,anotaban en sus cuadernos y se explicaban entre ellos.

Al realizar la parte b) del ejercicio indicaron que los quepodían corresponder estaban entre los gráficos 1, 4, 7 y 8.En principio no hubo inconvenientes en descartar aquellosgráficos que no mostraban simetría, sin embargo, les costódescartar los modelos que involucraban la función lineal yaquéllos que lo descartaron no lo hicieron justificadamente.

En este curso, debido a la cantidad de alumnos, no sepudo avanzar más en el desarrollo de la propuesta.

De los catorcegrupos,

destacamossólo uno cuyos

indicadoresde aprendizaje

fueronmás elevadospor cuantojustificaron

mejory establecieron

claramentelas diferenciascon el modelo

lineal conocido.Cabe destacarque sólo éste

realizóla modelización

usandoel teorema

de Pitágoras.

67

Conclusiones

Las interacciones pueden servir para relacionar los signifi-cados nuevos con los que ya se tienen para ir, de estemodo, construyendo un concepto matemático. El conoci-miento matemático responde a ciertas reglas rigurosas deestructuración; en la sociabilización de este tipo de cono-cimiento mediante las interacciones se exige hacer explí-citas esas reglas en forma clara para que pueda habercomunicación y, por lo tanto, no pueda eludirse el cono-cimiento de las mismas.

En el seno del grupo las interacciones son espontáneas, lacomunicación se realiza a través de un lenguaje más infor-mal y los integrantes parecen entenderse mediante expre-siones poco precisas. En cambio, cuando deben presentaruna producción grupal y responder por ella (momentos 5,6 y 7) les resulta más complicado, pues la negociación designificados (Godino y Llinares, 2000) se produce a unnivel superior, de ahí la dificultad con la que se encontra-ron los alumnos y que no pudieron superar.

Esta experiencia nos alerta, además, sobre la importanciade dar lugar a diversos tipos de interacciones y aprendi-zajes sociales para llegar a una forma acabada de apren-dizaje matemático. Si en lugar de realizar las indicaciones3, 4, 5, 6 y 7 del recuadro 1 para realizar la parte b) delejercicio propuesto, hubiese sido simplemente «indicarcon una cruz el o los gráficos que pueden correspondera la representación del área del cuadrado» las observacio-nes muestran que es altamente probable que muchos gru-pos habrían respondido correctamente con una cruzdebajo de la figura 7. Sin embargo, aun cuando la res-puesta hubiera sido correcta, y pudiera considerarse queentonces hubo entendimiento y algún aprendizaje, deesta forma no habrían surgido las contradicciones en lossignificados y errores matemáticos que conviven en losestudiantes como las que mostramos en los documentosdel anexo.

En relación a esto hemos visto que esta experiencia logró«complejizar» un contenido matemático desde una pers-pectiva personal y social para enriquecerlo y llegar a él deuna forma más consciente y, por lo tanto, más reflexivarevalorizando los recursos de validación.

Bibliografía

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SHULMAN, J., R. LOTAN y J. WHITCOMB(comp.) (1999): El trabajo en grupo y ladiversidad en el aula, Amorrortu, BuenosAires.

Marcela C. FalsettiMabel A. RodríguezAdriana J. AragónInstituto del Desarrollo

Humano.Universidad Nacionalde General Sarmiento.Área de Matemática.

Los Polvorines (Argentina)

68

Anexo

Corrección de otro grupo

A IDEA de fractal, concebida por B. B. Mandelbrot(1977), es el punto de partida para el desarrollo de todala geometría fractal en el último cuarto del siglo XX, yrepresenta un concepto revolucionario que ha permitidoimportantes progresos en el estudio de objetos y fenó-menos irregulares. Sus aplicaciones en el aula, para laenseñanza de la geometría, son muy interesantes (Fer-nández y Pacheco, 1991), permitiendo la exploración einvestigación con reglas y estructuras matemáticas muysencillas pero con resultados de complejidad y bellezaextraordinarias.

Con la introducción de los fractales como objeto de estu-dio, se puede trabajar de acuerdo con numerosos objeti-vos de la competencia matemática propios de la secunda-ria. Se manejan conceptos habituales de los currículosmatemáticos como la iteración, las transformaciones geo-métricas lineales y las no-lineales, la semejanza y la homo-tecia, la convergencia y el límite, o el determinismo y elazar, permitiendo mostrar interesantes interconexionesentre diferentes ideas matemáticas.

En este artículo, se presenta una propuesta didáctica dis-tinta al trabajo tradicional en geometría durante la etapasecundaria. Se refiere a actividades de tipo investigativo,sugeridas en las pequeñas investigaciones de las orienta-ciones didácticas oficiales. Plantea una recreación sobre eljuego del caos, compuesta por la experimentación y estu-dio de diferentes transformaciones geométricas lineales.Esta actividad incide en algunas de las líneas de investiga-ción en la didáctica de las matemáticas que, desde hacetiempo, se consideran como prioritarias en el contexto dela enseñanza secundaria, como geometría, creatividad,diseño de materiales para la enseñanza y algoritmos(Caballer, Carrascosa y Puig, 1986). Para seleccionar eltema de la actividad y la metodología, se han utilizado cri-terios de innovación, interés y actualización.

Este artículo aporta unmodelo de actividad

matemática en el contextoconstructivista. Se proponen

unos ejercicios atractivossobre la generación defractales lineales con eljuego del caos. Se ha

elegido este tema por suutilidad en la didáctica de la

geometría en la ESO,favoreciendo un aprendizaje

efectivo de lastransformaciones de

similaridad.El juego del caos produceuna secuencia aleatoria depuntos que eventualmente

condensan en el atractor deun fractal lineal. A partir dellistado del juego que generael triángulo de Sierpinski, se

puede modificar ladescripción analítica de las

transformaciones y obtener elatractor de numerosos

fractales, como resultado deljuego, en la pantalla de lacalculadora. Esto no sólo esdivertido, sino que es una

forma interesante de estudiarlas transformaciones lineales

en el plano, uno de losobjetivos de las matemáticas

en secundaria.

69

El juego del caosen la calculadora gráfica:construcción de fractales

Juan C. Moreno-Marín

IDEASY

RECURSOS

L

41

noviembre 2002, pp. 69-79

Objetivos y metodología

Este trabajo consiste en el diseño y elaboración de una acti-vidad que permita al alumno ampliar sus conocimientossobre las transformaciones lineales, desarrollando destrezasy aplicando recursos personales en la resolución de losejercicios. De esta manera, se proporciona a los profesoresun ejemplo de ejercicios para fomentar una enseñanza dela geometría más creativa, favoreciendo el desarrollo de laenseñanza de las matemáticas y la investigación en el aula.

La programación del currículo oficial de matemáticas parala ESO supone considerar diferentes contenidos referidos aconceptos, procedimientos y actitudes, y un amplio rangode metodologías, enmarcadas dentro del enfoque cons-tructivista sobre el aprendizaje y el cambio conceptual.

Los contenidos de geometría en esta etapa, centrados cla-ramente en la geometría analítica, podrían basarse en unadidáctica de la geometría fundamentada en los grupos detransformaciones, que, partiendo de juegos y ejercicioscon transformaciones topológicas, afines y proyectivas,continúe con la construcción geométrica de modo naturalde esos contenidos (Dienes y Golding, 1972). En este con-texto, el objetivo específico de estas actividades instructi-vas es que los estudiantes puedan adquirir un dominiosuficiente de las transformaciones geométricas lineales, deforma que las puedan utilizar y modificar a medida que seenfrentan con nuevos ejercicios.

Para este fin se ha propuesto la generación de fractales line-ales con el juego del caos. Su elección se debe a que, par-tiendo de este tema considerado como centro de interés, sepueden desarrollar de una manera distinta diversos aspectosde la geometría y la probabilidad, que forman parte de laprogramación de matemáticas en ESO (Sánchez, 1997). Estasactividades entroncan contenidos de la etapa de las opera-ciones concretas, con los de la geometría analítica en laetapa de las relaciones formales, propios de la secundaria.

Distinguir elementos de figuras planas, hallar relaciones desimetría, incidencia o perpendicularidad; reconocer figurascongruentes, semejantes o equivalentes según un criteriodado; o definir conceptos y enunciar propiedades geomé-tricas, son algunos de los objetivos, referentes a los con-ceptos, del estudio de la geometría durante la etapa 12-16años (Alsina, Burgués y Fortuny, 1987), en los que incideesta actividad.

Realizar observaciones sistemáticas, clasificarlas, y expre-sarlas en diferentes lenguajes; usar las transformacionesgeométricas, isometrías y semejanzas; resolver problemaspor el método analítico y el método gráfico; o interpretarrepresentaciones y deducir relaciones geométricas de lasmismas, son algunos de los objetivos procedimentales.

Mientras que, valorar positivamente las actividades desti-nadas a resolver cuestiones o descubrir hechos; valorar el

uso correcto del vocabulario estudiado;y reconocer la necesidad de utilizartodas las técnicas e instrumentos de cálcu-lo y representación gráfica a su alcancepara abordar situaciones problemáticas,son objetivos actitudinales que se persi-guen con el trabajo propuesto.

El planteamiento de situaciones proble-máticas concretas, puede establecer lasconexiones entre los conceptos, los pro-cedimientos y las actitudes que destaca-rían la funcionalidad de los conocimien-tos, fomentando las interacciones entrelas matemáticas y el alumno dentro delcontexto social y de desarrollo tecnoló-gico en el que se desenvuelve.

Las actividades que se presentan pre-tenden la utilización del juego del caospara modificarlo y adaptarlo a diferentestransformaciones geométricas. Las posi-bilidades de los estudiantes de manejarmentalmente las transformaciones geo-métricas y sus propiedades, son prácti-camente ilimitadas, igual que los gradosde dificultad con los que pueden plan-tearse problemas y actividades (Núñez,1985). El principal objetivo no debe serúnicamente la resolución de estos ejer-cicios, sino capacitar al estudiante parala utilización del juego hacia el estudiode nuevas situaciones, relacionarlasentre sí e interpretarlas como parte deun todo más amplio. De esta manera seconvierte en una actividad matemáticacreativa, permitiendo producir resulta-dos nuevos a partir de variaciones delos conocidos y sintetizar los diferentesaspectos del conocimiento matemáticodesarrollado para configurar una ciertavisión global del mismo.

Una de las implicaciones didácticas quese persiguen con esta experiencia es elfomento en los estudiantes de la utiliza-ción, durante el proceso de resoluciónde estos ejercicios, de todos sus conoci-mientos y procedimientos involucradosen cada caso. Estos aspectos cognitivosconstituyen, según Callejo (1994), elconjunto de conocimientos que estándisponibles en la memoria del sujetopara ser utilizados: hechos, definiciones,algoritmos…, cuya integración no seconsigue mediante la transmisión de

Las posibilidadesde los estudiantes

de manejarmentalmente lastransformaciones

geométricasy sus propiedades,son prácticamente

ilimitadas,igual quelos grados

de dificultadcon los que

pueden plantearseproblemas

y actividades.

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conceptos y posterior resolución reitera-tiva de ejercicios de aplicación, sino rea-lizando actividades de enseñanza-aprendizaje relacionadas con contextosconcretos, que muestren a los estudian-tes la necesidad de asimilar los concep-tos matemáticos que intervienen.

En resumen, con esta metodología seplantea la necesidad de que tanto elprofesor como el estudiante adopten unpapel coherente con el enfoque cons-tructivista, encaminando las actividadesa conseguir que los estudiantes utilicentodos sus conocimientos sobre el tema,contrasten sus propuestas y resultadoscon sus compañeros, y apliquen estosresultados a otras situaciones. La mane-ra de construir los aprendizajes, consis-te en realizar los ejercicios propuestos,dando respuesta a las actividades plan-teadas, aprendiendo a trabajar de formaautónoma, siendo capaz de tomar ini-ciativas y de acoplarse al trabajo delresto del grupo.

Otra cuestión a tener en cuenta es que laresolución de ejercicios puede contem-plarse como una actividad de apoyo yconsolidación para el aprendizaje de loscontenidos conceptuales. Como afirmanBoch y Gascón (1994), este tipo de pro-puestas se tienden a considerar peyora-tivamente, como trabajo consideradocomo meramente mecánico y repetitivo,sólo porque pueda parecer rutinario yno creativo. Lo que se propone es apa-rentemente un tipo de trabajo matemáti-co insignificante y humilde, aunquenecesario para el desarrollo creativo dela actividad matemática en general y delproceso didáctico en particular.

También se pretende el objetivo desuperar la dificultad que tienen los estu-diantes para diferenciar los aspectosdeterministas de lo aleatorio, revisandolas nociones fundamentales sobre elconocimiento probabilístico y, entreellas, sobre la aleatoriedad. La capaci-dad de reconocimiento y tratamiento delos sucesos aleatorios depende del nivelde reconocimiento de la incertidumbre,de la comprensión de la noción de azar,fundamental a la hora del tratamientode la probabilidad en el aula y en nues-

tro juego. Desde la educación primaria, se recogen en elcurrículo de matemáticas los conceptos fundamentales delconocimiento probabilístico: reconocimiento de los fenó-menos y sucesos aleatorios, y cuantificación de la proba-bilidad de sucesos sencillos.

Conforme se llevan a cabo las actividades en la práctica,se pone en marcha la fase de evaluación del proceso edu-cativo. La evaluación en geometría nos debe indicar quécomportamientos de percepción espacial, y de compren-sión de conceptos y relaciones geométricas han sidoadquiridos (Alsina, Burgués y Fortuny, 1987).

Para conocer el proceso de aprendizaje, se propone unatécnica de evaluación compuesta básicamente por dosfases. Una fase basada en la observación directa de la rea-lización de los distintos ejercicios y exploraciones. Estaobservación se puede realizar de forma subjetiva in situ,en el momento de la realización de las actividades, y deforma más objetiva controlando y revisando los registrosescritos en el cuaderno de matemáticas.

La otra fase de evaluación es la de observación indirecta,quizá la más productiva, en la que se analiza la respuestagráfica en la calculadora y escrita en el listado de los pro-gramas que el estudiante da al aplicar los conceptos utili-zados en cada nueva situación. La observación indirectanos permitirá evaluar si el aprendizaje ha sido significati-vo. En esta fase, las preguntas que se planteen no sólo sonimportantes para la evaluación, sino para todo el procesoeducativo.

La representación gráfica es un lenguaje muy importan-te para construir y expresar los conocimientos geométri-cos. Cada vez hay más herramientas inteligentes dispo-nibles para la generación y representación gráfica defractales, tales como calculadoras gráficas, hojas de cál-culo o programas gráficos. Además de la capacitaciónpara generalizar el uso de las herramientas, un proble-ma clave del aprendizaje es que los estudiantes sean máscapaces de discernir e identificar las situaciones en lascuales una herramienta resulta aplicable. Mediante eljuego del caos se ha convertido el estudio de las trans-formaciones lineales a una forma que facilita el uso deuna de esas herramientas.

La integración de la calculadora gráfica como soporte parael trabajo didáctico en clase, y utilizada como canal trans-misor de contenidos matemáticos, proporciona a los estu-diantes el entorno adecuado para esta actividad de inves-tigación geométrica. Al optar por la calculadora, se fomen-tan actividades exploratorias con las que pueden contras-tar rápidamente sus intuiciones. El trabajo individual, quefavorece el manejo de esta herramienta, se equilibra conla cooperación entre ellos, necesaria para el aprendizajede su uso y para resolver todos los errores que la edicióny modificación de los programas conlleva.

…con estametodologíase plantea

la necesidadde que tantoel profesor

como el estudianteadopten un papel

coherentecon el enfoqueconstructivista,encaminandolas actividades

a conseguirque los estudiantes

utilicen todossus conocimientos

sobre el tema,contrasten

sus propuestasy resultados consus compañeros,

y apliquenestos resultados aotras situaciones.

71

La calculadora tiene la desventaja de la pobre resolucióngráfica de su pantalla, fundamental para representar losresultados geométricos del juego, que con seguridad mejo-rará rápidamente en futuros modelos. A cambio, su capaci-dad de cálculo y de programación son suficientes para estepropósito y, sobre todo, se ha convertido en la herramien-ta de cálculo más accesible. Muy por delante de los orde-nadores, en la actualidad las calculadoras gráficas están dis-ponibles en las aulas de secundaria, bien aportadas por loscentros de enseñanza, o personalmente por los estudiantes.

Los fractales lineales

Los elementos de la geometría fractal se describen median-te reglas de cálculo y algoritmos que, con la ayuda de unaherramienta de cálculo y representación como la calcula-dora gráfica, se convierten en formas y estructuras. Losfractales, que aparentan tener una gran complejidad,poseen una misma regularidad geométrica, la autosimilari-dad o invarianza bajo escala. Si se analizan estas estructu-ras a distintas escalas, se encuentran una y otra vez losmismos elementos básicos. Su interrelación a distintasescalas, se describe matemáticamente con el concepto dedimensión fractal (Jürgens, Peitgen y Saupe, 1990).

Los fractales lineales forman un grupo fundamental de estageometría. Cada fractal lineal queda totalmente definidopor un conjunto de transformaciones lineales afines en elplano. Para constituir un algoritmo fractal lineal deben serademás transformaciones contractivas, es decir, que la dis-tancia entre dos puntos cualesquiera disminuya cuando seaplica la transformación. En todas las transformacioneslineales afines, las rectas paralelas se transforman en rec-tas paralelas, así como los puntos medios en puntosmedios, y las razones entre distancias a lo largo de las mis-mas rectas, o a lo largo de paralelas, se transforman en lasmismas razones (Dienes y Golding, 1972).

El fractal es la figura límite resultante de una sucesión infi-nita de repeticiones de las transformaciones sobre unafigura original. El comportamiento límite garantiza que,con independencia de la figura original, cada algoritmofractal da lugar a una figura límite, y sólo una.

Los fractales lineales son estrictamente similares a sí mismos,es decir, un pequeño fragmento cualquiera de ellos contie-ne una figura que, con la ampliación adecuada, es idénticaal objeto completo. La singularidad de un fractal lineal, comoobjeto geométrico autosimilar, es fácilmente reconocida porlos estudiantes si se revisan algunos ejemplos.

Esta experiencia, que permite desarrollar parte de los con-tenidos de la geometría analítica del plano en las mate-máticas de la etapa secundaria obligatoria, se orienta hacialas transformaciones de similaridad, que son composicio-nes de escalado o contracción, traslación y rotación, a las

que se les puede añadir la reflexión.Además de éstas, también puede habertransformaciones con diferentes factoresde reducción en distintas direcciones.Una transformación de similaridad con-serva los ángulos, mientras que contrac-ciones más generales, no.

El objeto de esta actividad didáctica,consiste en la descripción y formulaciónanalítica de transformaciones geométri-cas sencillas en el plano para obtenerimágenes fractales. Se utiliza la calcula-dora gráfica programable como soportepara el cálculo y la representación gráfi-ca de una larga sucesión de transforma-ciones. Además, la aplicación de unprocedimiento aleatorio para obtenerfractales lineales, puede parecer unaparadoja que deberá ser analizada.

El juego del caos

El algoritmo conocido como juego delcaos es un método muy sencillo y eficazpara la generación de figuras fractales,consistente en realizar una sucesión detransformaciones sobre un solo punto.Comenzando con un punto cualquieraen el plano, se le aplica una de las trans-formaciones que definen el fractal, ele-gida aleatoriamente, y se obtiene unnuevo punto. Se le vuelve a aplicar otratransformación elegida al azar al nuevopunto, y así sucesivamente, obteniéndo-se un conjunto de puntos como conse-cuencia de la sucesión aleatoria detransformaciones. El conjunto así cons-truido llena densamente la figura límitesin depender de la sucesión concreta detransformaciones elegidas.

Ésta es la característica más interesantedel juego del caos: cuando el procesoaleatorio se repite un gran número deveces, el conjunto de puntos resultante seaproxima a una figura conocida y clara-mente determinista. Parece sorprendenteque un juego aleatorio como éste, délugar a modelos tan estructurados comolos fractales, ilustrando las potentes cone-xiones que subyacen en las matemáticas.

No se trata de un caso de caos determi-nista como sugiere Gallardo (1995), sino

El algoritmoconocido comojuego del caoses un métodomuy sencilloy eficaz parala generación

de figurasfractales,

consistenteen realizar

una sucesión detransformaciones

sobre un solopunto.

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simplemente de un procedimiento alea-torio sobre un conjunto limitado detransformaciones, que tras un númeroelevado de iteraciones produce todaslas secuencias posibles de las mismas, oal menos muchas, y por lo tanto elpunto móvil visita todas, o casi todas,las pequeñas copias que constituyen lafigura completa.

Otra de las características del juego delcaos, es que presenta el fractal tal ycomo es, sin depender del número deiteraciones. Así, la figura mantiene unnivel infinito de detalle y autosemejanzaa cualquier escala, aunque para escalasmuy pequeñas sea necesario generaruna gran cantidad de puntos, hasta quesu densidad sea suficiente para observarla figura. Como el primer punto se haelegido al azar sobre el plano, el juegodebe encaminarse primero hacia la figu-ra límite, por lo que los puntos obteni-dos en las primeras tiradas se deben eli-minar sin representar.

El resultado del juego tampoco dependedel dado utilizado, es decir, no está con-dicionado por las probabilidades con lasque cada transformación contractoraentre a formar parte del juego. Esteaspecto probabilístico del juego conectacon su eficacia en la convergencia, conla rapidez en la obtención de la figuralímite. El fractal se obtiene más rápida-mente si no se eligen las transformacio-nes al azar con igual probabilidad, sinoque la velocidad de formación de lafigura aumenta sensiblemente cuando alas transformaciones más contractoras seles asigna una probabilidad mayor. Deesta manera se puede conseguir que lasucesión de puntos en el juego, barra enpromedio con la misma frecuencia cadauno de los puntos de la figura límite. Lautilización de estas frecuencias permiteformar figuras con diferentes tonos degris, asignando probabilidades que denlugar a distintas frecuencias con que semarquen puntos en cada área.Aplicando con esta técnica los tres colo-res fundamentales pueden codificarsefiguras en color.

El triángulo de Sierpinski (1915) es elejemplo más sencillo que se puede utili-

zar para describir cómo se obtiene la imagen fractal en eljuego. Las tres transformaciones lineales que lo definen,consisten en la reducción a la mitad de tamaño y el des-plazamiento hacia uno de los vértices de un triángulo equi-látero. Durante el juego, cada transformación se traduce enun desplazamiento del punto en el interior del triángulo.Para cada movimiento se utiliza un método aleatorio, porejemplo lanzando un dado, para seleccionar una de las trestransformaciones, y consecuentemente uno de los vérticesdel triángulo, y el punto se desplaza hasta la mitad de ladistancia al vértice correspondiente. Esta regla es reflejo dela geometría de Sierpinski, pues la figura consiste en trescopias autosimilares de mitad de tamaño cada una.

Si se representan las trayectorias que unen los puntosmedios, aparece la secuencia del juego y se puede obser-var la aleatoriedad del proceso, el movimiento aparente-mente caótico del punto móvil. Dibujando sólo los impre-decibles puntos medios, en el triángulo emerge un mode-lo estructurado que, en el límite infinito, resulta ser el frac-tal de Sierpinski. Esta figura se puede generar por infinitossaltos aleatorios guiados por un dado, donde los puntos,eventualmente, condensan en un fractal determinista.

Mediante los sucesivos movimientos en el juego, aparece-rán todas las secuencias posibles que localizan subtrián-gulos entre cuyos límites deberá caer el punto y, por lotanto, el punto móvil alcanzará todos esos subtriángulos(Peitgen, Jürgen y Saupe, 1992). Cuanto más continúe eljuego, mayor será el número de puntos que aparezcanrepresentando esos subtriángulos. Jugando indefinidamen-te, aparecerá el triángulo fractal completo, mientras que,cuando paremos el juego después de un número finito detiradas, el triángulo de Sierpinski aparecerá incompleto.

Fractales lineales en el juego del caos

El juego del caos permite la incorporación de diferentestransformaciones en el algoritmo, que, mediante su apli-cación sobre puntos del plano, obtiene figuras fractales. Lainvestigación en este tema se compone de una serie gra-duada de ejercicios que se presentan a los estudiantes.Para este trabajo la actividad será distribuida temporal-mente en seis sesiones de una hora cada una, las cualespueden ser ampliadas si surge su necesidad.

Hemos mencionado el triángulo equilátero de Sierpinski,pero cualquier otro fractal lineal puede ser reproducidoigualmente con el juego del caos. Atendiendo a una de lascuestiones pendientes planteadas por Gallardo (1995),numerosos fractales matemáticos se obtienen por este pro-cedimiento en la práctica totalidad de las aplicacionesinformáticas que los calculan. En este caso, y para evitardificultades añadidas, se ha decidido restringir su utiliza-ción sólo a los fractales lineales.

El triángulode Sierpinski

(1915)es el ejemplomás sencilloque se puede

utilizarpara describir

cómo se obtienela imagen

fractalen el juego.

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El trabajo matemático subyacente consiste en obtener ladescripción analítica en términos de coordenadas cartesia-nas de todas las transformaciones estudiadas sobre lospuntos del plano, que en la geometría afín resulta senci-llo. A partir de un sistema de coordenadas cartesiano, sepueden hallar fórmulas matemáticas que permitan obtenerla posición del punto transformado a partir del anterior.Para ello, cada transformación puede descomponerse enpartes, expresándose como la que resultaría al aplicarsucesivamente varias transformaciones simples.

Metodológicamente, no resulta difícil que los estudiantesadquieran destreza en el uso del juego del caos en la cal-culadora si se introducen progresivamente, atendiendo asu dificultad, las diferentes transformaciones de similari-dad; se ensaya y se experimenta con ellas hasta obtener suexpresión analítica general y, posteriormente, se incorpo-ran como modificaciones sobre el programa que obtieneel triángulo equilátero fractal. El listado de este programasuele aparecer como ejemplo de programación en elmanual de muchas calculadoras. Se les proporciona eseprograma ofreciéndoles el listado, que deben introducir enla calculadora, o mejor, pidiéndoles que se lo intercambiende máquina a máquina conectándolas entre sí.

La resolución de los ejercicios requiere la representacióngráfica del resultado del juego: la primera vez como com-probación del resultado y, posteriormente, como experi-mentación de nuevas variantes.

Descripción de los ejercicios que componenesta actividad

¿Qué ocurre si se cambian las transformaciones, si se cam-bia el número de copias, o sus propiedades de contracción(escalado, rotación…), o la configuración en la que seagrupan las imágenes contraídas? La respuesta a esta pre-gunta es la tarea que se plantea.

Ejercicio 1

La primera puesta en marcha del juego se proponemanual, para aplicar las tres transformaciones que generanel triángulo de Sierpinski. Los estudiantes deberán jugar,inicialmente, en una hoja de papel que contenga los tresvértices del triángulo equilátero. Las tiradas de un dadopermiten elegir al azar cada transformación.

Para ejecutar las jugadas se les proporciona una regla delpunto medio. Se trata de una pequeña regla graduada conuna escala simétrica respecto a su centro, que resulta muyútil para realizar los desplazamientos al punto medio entrela posición del punto y el vértice correspondiente.

Se pueden obtener resultados conjuntos de un gran núme-ro de tiradas si los estudiantes utilizan hojas transparentesal dibujar los puntos que aparecen en el juego, para, des-pués, superponerlas y proyectar el resultado combinado

sobre una pantalla. Aparecerá el agru-pamiento esperado, pero sólo a partirde un número suficiente de jugadas. Laformación de la figura fractal es la situa-ción adecuada para discutir e interpretarcómo se produce este resultado, cómolos puntos acaban llenando densamentela figura límite.

Las primeras preguntas que se puedenplantear como estas:

• ¿Hay límites y cuáles son para todoslos posibles puntos en este juego?

• ¿Aparecerán localizados aleatoria-mente los sucesivos puntos mediosdentro de esos límites?

• ¿Cubren los puntos completamentela región triangular?

• ¿Parece predecible el resultado queaparece con los puntos que emer-gen del movimiento aleatorio depuntos en el juego del caos?

No cabe duda de que el lugar posiblepara el movimiento de los puntos seráel interior del triángulo, y que aparece-rá rápidamente una aproximación altriángulo de Sierpinski. La localizaciónde una secuencia de puntos dibujadosdepende básicamente del resultado alea-torio del dado; cuando se comparendiferentes hojas del juego variarán con-siderablemente unas de otras. Aunquecada resultado es diferente, rápidamen-te se comprueba que un gran númerode jugadas nos generan el resultadofractal. Comprobar que diferentes pun-tos de partida no dan lugar a diferenciasen los resultados, es una de las obser-vaciones que hay que realizar.

Ejercicio 2

Como resulta tedioso continuar utilizan-do lápiz y papel para realizar un grannúmero de tiradas, a partir de aquí sepropone utilizar una herramienta anuestro alcance para reproducir el juegodel caos: la calculadora gráfica. Es nece-sario ser cuidadoso introduciendo ymodificando los listados de programasen la calculadora para simular el juego.

La tarea principal es la de revisar el lis-tado del programa del juego del caos(figura 1), interpretando sus diferentes

Metodológicamente,no resulta

difícilque los estudiantes

adquierandestrezaen el uso

del juego del caosen la calculadorasi se introducenprogresivamente,

atendiendoa su dificultad,las diferentes

transformacionesde similaridad…

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partes y todas las instrucciones. La cal-culadora utiliza un lenguaje de progra-mación sencillo, similar al Basic.

Se procede a analizar y describir laestructura del algoritmo de cálculo queestructura el juego. Sin hacer hincapiéen los detalles de programación, lo fun-damental aquí es la comprensión de lasimulación con la máquina. Continúa eltrabajo con la introducción de maneracuidadosa en la calculadora del listadodel juego del caos para el triángulo deSierpinski, y con su ejecución.

Antes de proponer nuevas versiones del programa, sedeberá utilizar el ejemplo anterior para, conocidas lastransformaciones que generan el triángulo fractal, revisarsu conexión con los desplazamientos del punto.

Ejercicio 3

Una vez con el programa del juego en la calculadora, eneste ejercicio se propone modificar las transformacionesen su aspecto más sencillo, las traslaciones. Sobre eltriángulo obtenido en la etapa previa, esta primera varia-ción de las reglas del juego supone cambiar la posiciónde los tres vértices del triángulo. Se pide a los estudian-tes que obtengan el triángulo rectángulo de Sierpinskique aparece en la figura 2, y otro con un ángulo obtusocomo muestra la figura 3. Cada uno de ellos sigue cons-tituido por tres copias, con factor de escala dos, pero deforma distinta y colocadas en posiciones diferentes. En ellistado del programa, basta con modificar las expresionesque describen el desplazamiento de las dos coordenadasdel punto al centro entre su posición y cada vértice. Sepuede comprobar que la autosimilaridad de la figura semantiene.

La calculadorautiliza

un lenguajede programación

sencillo,similar al Basic.

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Program Hexagon

FnOff :ClrDrawPlotsOff AxesOff0ÆXmin:1ÆXmax0ÆYmin:1ÆYmaxrandÆX:randÆYFor(K,1,3000)randÆNIf 1/6>NThen(X+(2*.25))/3ÆX:(Y+(2*.067))/3ÆYEndIf 1/6<N and N£1/3ThenX/3ÆX(Y+(2*.5))/3ÆYEndIf 1/3<N and N£1/2Then(X+(2*.25))/3ÆX:(Y+(2*.9330))/3ÆYEndIf 1/2<N and N£2/3Then(X+(2*.75))/3ÆX:(Y+(2*.9330))/3ÆYEndIf 2/3<N and N£5/6Then(X+(2*1.))/3ÆX(Y+(2*.5))/3ÆYEndIf 5/6<NThen(X+(2*.75))/3ÆX:(Y+(2*.067))/3ÆYEndPt-On(X,Y)EndStorePic 6

Figura 1. Listado del programa del juegodel caos en la calculadora gráfica TI-83para obtener el hexágono de Sierpinski.

El resultado del juego se muestraen la figura 7

Figura 2. Triángulo rectángulo de Sierpinski obtenidocomo el equilátero, pero modificando las traslaciones

(la posición de los vértices)

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Figura 3. Triángulo obtusángulo obtenido igualque el equilátero de Sierpinski, pero modificando

la posición de los vértices

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Ejercicio 4

En general, cualquier transformación aplicada a un puntoen el plano se convierte en un desplazamiento del puntoa otra posición. La variación que se quiere obtener coneste ejercicio se refiere al cambio de escala o relación desemejanza. Un escalado es una transformación en la quesólo cambian las distancias, todos los ángulos se conser-van; se trata de una transformación particular que con-serva el paralelismo. De igual manera que se ha visto conel triángulo de Sierpinski que la reducción a mitad detamaño y traslación a un vértice del triángulo supone eldesplazamiento a mitad de camino de la posición delpunto, una contracción con factor de reducción k y tras-lación a un vértice supondrá el desplazamiento a unaposición donde la distancia anterior d al vértice se redu-ce a d/k.

El ejercicio se presenta como la variación de los cambiosde escala en las tres transformaciones que dan lugar altriángulo fractal, y la imagen resultante permitirá compro-bar el efecto de las modificaciones realizadas. Tras su aná-lisis, se concluye que las diferentes contracciones debendar lugar a distintos desplazamientos del punto en el seg-mento que une su posición y el vértice elegido, que ya noserán al punto medio.

Se puede comenzar modificando la transformación quetraslada al vértice superior, cambiándola a un factor dereducción tres. La contracción desplazará el punto sobreuna línea recta hacia el vértice superior de tal maneraque la nueva distancia sea 1/3 de la anterior. Si jugamoscon esta nueva regla resultará una imagen muy diferen-te, con tres piezas autosimilares, dos de ellas exactamen-te de mitad de tamaño de la imagen completa, y la ter-cera de 1/3 del tamaño total. De nuevo, el número decopias es igual al número de vértices, y el factor de esca-la de cada transformación corresponde al factor de dis-tancia al vértice.

Los estudiantes continuarán ganando confianza en elmanejo de las transformaciones y en el control del pro-grama si se les propone que ensayen modificaciones quesobre ese mismo programa supongan contracciones condiferentes reducciones de tamaño, con factor de reducciónk = 2, 3, 4. Para que los cambios de escala en cada trans-formación correspondan a los factores propuestos, se editay modifica el programa para desplazar el punto hasta 1/2,2/3 y 3/4 del camino total hacia los vértices izquierdo,superior y derecho, respectivamente. El resultado de eje-cutar el juego se muestra en la figura 4.

Ejercicio 5

Después de haber recreado diferentes figuras fractalesdefinidas con tres transformaciones y, por consiguiente,utilizado el triángulo como elemento base o iniciador delas mismas, se abre una nueva perspectiva en el diseño de

fractales al proponerse distinto númerode contracciones y, por lo tanto, el usode otros polígonos.

Aquí se sugieren algunos ejemplos sen-cillos con el cuadrado, el pentágono y elhexágono regulares. Dividir un cuadra-do en nueve cuadrados iguales cuyosvértices coincidan con las terceras par-tes de las aristas del primero, permitirádefinir varios generadores de figurasfractales. Basta con elegir un subconjun-to cualquiera de esos cuadrados.

La figura 5 muestra un ejemplo dondeaparecen el iniciador, el generador y lasegunda etapa de la formación de unfractal muy conocido, inventado porTamás Vicsek (Sander, 1987). Se pidedibujar un cuadrado dividido en sub-cuadrados y seleccionar algunos deellos como generador de un fractal. Sepuede también utilizar un triángulodividido en subtriángulos (equiláteros,isósceles, rectángulos…). En estoscasos sencillos, y a partir de imágenescomo las de esta figura, los estudiantes

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Figura 4. Configuración fractal resultado de diferentescontracciones. Los factores de reducción son 2, 3 y 4.

Las traslaciones son las mismas quelas del triángulo equilátero fractal

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Figura 5. Esquema que muestra las primeras etapas de lageneración de un fractal lineal a partir de un cuadrado.

El atractor correspondiente se presenta en la figura 6

iniciador generador segunda etapa

deben describir las transformaciones:calcular el factor de escala necesario ylocalizar las coordenadas de sus vérti-ces. El resultado del juego con estastransformaciones se presenta en lafigura 6.

Pero es necesario mantener una actitudcrítica para no generalizar erróneamen-te, no todas las reglas en el juego delcaos generan fractales. Cuando seleccio-namos los cuatro vértices de un cuadra-do y utilizamos un factor de escala dereducción de 2, ¿aparece el cuadrado deSierpinski?

de Sierpinski, que se puede obtener con cinco transfor-

maciones con un factor de reducción de 3/8, y en el que

también aparece una curva de Koch; de esta forma, los

estudiantes revisan las propiedades de los polígonos regu-

lares: las coordenadas de los vértices del pentágono y del

hexágono.

Ejercicio 7

Otras transformaciones lineales que permiten definir fracta-

les son las rotaciones alrededor de un punto. Usualmente,

la rotación resulta asociada a una semejanza y/o a una tras-

lación. Cuando alguna contracción incluye una rotación,

además del desplazamiento hacia el vértice, es necesario

girar el punto a su alrededor.

Se comienza con las rotaciones más sencillas de expresar

en coordenadas cartesianas, las de 180° y de 90°, en cual-

quiera de los dos sentidos de giro, para después generali-

zar el procedimiento que permita representar rotaciones

de cualquier ángulo. Para la rotación de 90° de amplitud

alrededor del origen de coordenadas, obtenemos que la x

transformada es la opuesta de la y previa, y la y transfor-

mada es igual a la x previa.

Se propone, como primer ejemplo, utilizar el conjunto de

transformaciones que genera el triángulo equilátero frac-

tal, para añadir una rotación de 180° en la contracción que

desplaza al vértice superior. Obtenida la expresión analíti-

ca de la rotación, habrá que editar y modificar el progra-

ma en las instrucciones correspondientes a los desplaza-

mientos hacia los vértices. La imagen resultante se mues-

tra en la figura 8.

Este ejemplo se puede ampliar añadiendo en las demás

transformaciones una rotación de 180° alrededor de cada

vértice del triángulo. Otro conjunto de transformaciones

sobre el triángulo aparece en la figura 9, con el efecto de

una rotación de –90° sobre el vértice superior.

Otrastransformaciones

linealesque permiten

definirfractales

son las rotacionesalrededor

de un punto.

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Figura 6. Las aspas de Vicsek definidas con cincotransformaciones con factor de reducción de tres,

y traslación a los vértices y al centro de un cuadrado

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Figura 7. Hexágono de Sierpinski. Obtenido con seistransformaciones y un factor de reducción de tres.

Aparecen curvas de Koch en el atractor

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Ejercicio 6

Si en el ejercicio anterior se enuncia-

ban las transformaciones, en este se

propone realizar uno de esos ejem-

plos. Los estudiantes tienen que intro-

ducir en el juego seis transformacio-

nes, cada una con una reducción con

factor de escala tres, y traslación a los

vértices de un hexágono regular. Al

fractal resultante, que aparece en la

figura 7, se le puede llamar hexágono

de Sierpinski, y consta de seis partes

autosimilares.

Dentro del hexágono aparece otra

famosa curva fractal, el límite interior de

esta figura es la curva de copo de nieve

de H. von Koch (1906). Un ejemplo

parecido para construir es el pentágono

Ejercicio 8

Como segundo ejemplo de transformaciones con rotación,se pide construir la figura llamada árbol de Navidad auto-similar (Peitgen, Jürgen y Saupe, 1992). Se obtiene con lasmismas tres transformaciones, de factor de reducción dosy traslación a los vértices del triángulo equilátero y conrotación en dos de ellas: de 90° en sentido horario alrede-dor del vértice inferior derecho, y de –90° alrededor delvértice inferior izquierdo.

Ejercicio 9

Pero investigar cómo actúa el juego del caos sobre un con-junto de transformaciones lineales, también nos puede lle-var a modificar las reglas del juego en lo referente a la asig-nación de probabilidades para cada transformación. Losfractales geométricos más regulares se obtienen de formamás efectiva haciendo equiprobables todas las transforma-ciones. Esos ejemplos son la situación ideal para compro-bar el efecto de modificaciones en la probabilidad de lasdiferentes transformaciones en el proceso aleatorio. El ejer-cicio consiste en modificar las probabilidades en algunosde los ejercicios anteriores, y comprobar cómo varían las

densidades de puntos, cómo cuando elnúmero de jugadas no sea muy grande,las regiones del fractal menos definidasson las correspondientes a las transfor-maciones menos probables.

Ejercicio 10

Alternativamente al ejercicio 5, en elque se pedía la descripción de las trans-formaciones a partir de la figura delgenerador del fractal lineal, la realiza-ción de los ejercicios anteriores capacitaa los estudiantes para deducir las reglasutilizadas en el juego a partir de la geo-metría de la figura fractal resultante. Eneste caso se pide la descripción de lascontracciones que dan lugar a diversosfractales lineales. Se cuidará que lastransformaciones resultantes sean senci-llas, es decir, que las reglas no seandemasiado complicadas de describir. Enmuchos casos sencillos, el número deejes radiales de simetría coincide con elnúmero de vértices y de contraccionesen la figura. La figura 10 presenta unejemplo muy sencillo que se puede uti-lizar, en el que las transformaciones sereducen a contracciones y traslaciones.

Los fractalesgeométricos

más regularesse obtienende forma

más efectivahaciendo

equiprobablestodas las

transformaciones.

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Figura 9. Figura fractal obtenida modificando el triánguloequilátero de Sierpinski al añadir a sus transformaciones

una rotación de 90° alrededor del vértice superior

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Figura 10. Fractal lineal que se define seleccionandocinco de los subcuadrados del iniciador de la figura 5.

Las cinco transformaciones sólo son reduccionesde factor tres y traslaciones

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

Ejercico 11

Los fractales se caracterizan por sudimensión fractal, generalización de ladimensión euclídea, por lo que otro aná-lisis interesante es la deducción de la

Figura 8. Imagen fractal descrita mediantetres transformaciones con factor de reducción dos,traslación a los vértices de un triángulo equilátero

y una rotación de 180° alrededor del vértice superior

Con el juego del caosen la calculadora

El atractor

dimensión fractal de cada una de las imá-genes. Utilizando cualquiera de las defi-niciones de dimensión fractal, como porejemplo la dimensión de homotecia deHaussdorff-Besicovitch (1919), se con-cluye que el número de transformacio-nes que generan copias del conjunto ini-cial, y el factor de escala en las mismas,son los determinantes de esta caracterís-tica de cada fractal. Se propone, en esteejercicio, que los estudiantes deduzcan ladimensión fractal de las imágenes obte-nidas en los ejercicios anteriores.

Cuando se llega al final de esta expe-riencia, del programa original del trián-gulo fractal sólo queda lo esencial deljuego aleatorio del caos, que puede vol-ver a revisarse con los estudiantes. Ellos,con la práctica adquirida, se atreveráncon casi cualquier propuesta que se leshaga de transformaciones en el plano,incluso las no-lineales.

En el diseño de esta actividad se pue-den añadir ejercicios con mayor com-plejidad para atender a estudiantes dediferentes niveles en la misma clase.Sobre todos los ejercicios presentados,existen innumerables variaciones quepermitirán a los estudiantes afianzar elcarácter de cada tipo de transformación,su expresión analítica y su consecuenciagráfica. Hay numerosos objetos fractalesque presentan características parecidasen los que seguir investigando las pro-piedades de las transformaciones geo-métricas y la autosimilaridad.

Conclusión

Como se indicó al principio, el propósitode esta propuesta es ofrecer una estrate-gia atractiva para mejorar las destrezas delos estudiantes en el manejo de las trans-formaciones lineales en el plano.

Esta innovación quiere responder a lanecesidad del profesorado tanto deincorporar actualizaciones en el currícu-lo de geometría, como la de fomentaren los estudiantes el uso de nuevasherramientas.

La rentabilidad del estudio de los fractales lineales en elaula está garantizada, permitiendo combinar conocimien-tos, procedimientos y habilidades de una manera eficaz, ysobre un tema de actualidad en las matemáticas. El plan-teamiento como investigación que hace esta propuesta yel manejo de un sencillo programa en la calculadora,fomentan el interés en su realización, con una implicaciónmuy alta de los estudiantes en la tarea planteada desde elprincipio.

El aprendizaje significativo de la geometría analítica se con-sigue en muchas ocasiones desde la práctica de ejerciciosde investigación como los presentados en esta actividad.

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Juan C. Moreno-MarínIES Leonardo da Vinci

Alicante.Dpto. Física Aplicada,

Fac. CienciasUniversidad de Alicante.

Societat d’EducacióMatemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»

79

El aprendizajesignificativo

de la geometríaanalítica

se consigueen muchasocasiones

desde la prácticade ejercicios

de investigacióncomo

los presentadosen esta actividad.

CONVOCATORIA DEL CARGO DE SECRETARIO/ADE PRENSA DE LA FESPM

El Estatuto de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas(FESPM) establece, en su artículo 11, los cargos unipersonales, entre los cuales se contem-plan las secretarías de área. A su vez, el Reglamento de la FESPM especifica en el artículo7 las áreas de trabajo y en el artículo 9 el procedimiento de elección.

La Junta de Gobierno de la FESPM, en la reunión celebrada en Madrid el día 8 defebrero de 2003, ha decidido convocar la Secretaría de Prensa en los siguientes términos:

Podrá presentar su candidatura a la Secretaría de Prensa cualquier socio/a de unaSociedad Federada, con un año de antigüedad al menos.

La solicitud, dirigida al Presidente de la FESPM, deberá ir acompañada de lasiguiente documentación:

1. Certificado en el que conste que es socio/a activo/a de una SociedadFederada, y su antigüedad.

2. Un Proyecto en el que se exponga su línea de trabajo.

Las candidaturas podrán presentarse de cualquiera de las formas siguientes, tenien-do en cuenta los plazos que en cada caso se señalan:

A) Por correo postal, hasta el 20 de junio de 2003, dirigido a:

SR. PRESIDENTE DE LA FESPM

Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas P. Sánchez Ciruelo

ICE Universidad de Zaragoza

C/ Pedro Cerbuna, 12 – 50009 - Zaragoza

B) Por correo electrónico hasta el 22 de junio de 2003. En tal caso el mensaje sedirigirá a: fvillarroya@able.es

La Junta de Gobierno de la FESPM elegirá al Secretario/a de Prensa, entre los/ascandidatos/as presentados/as para un periodo de 4 años, en su reunión del día 3 de juliode 2003. Previamente deberá oírse al Secretario General. Una vez decidida la elección secomunicará oficialmente a las Sociedades Federadas, y a la persona elegida.

Madrid, a 8 de febrero de 2003José Luis Álvarez García Secretario General

S FRECUENTE que el profesor utilice elementos humorísti-

cos en su clase, tratando con ello de hacerla más amena. En

este artículo queremos mostrar el interés que puede tener

el empleo del humor en clase, con una intención cognitiva

que no pierde de vista la emotividad, a la que, naturalmen-

te, debe unirse el aspecto distendido y ameno. Proponemos

este empleo en la enseñanza del concepto de probabilidad,

que tiene que sustentarse en la caracterización adecuada de

la idea de azar, tan presente en la vida cotidiana.

El tratamiento del azar en la enseñanza obligatoria no puede

limitarse al aprendizaje de instrumentos matemáticos con

vistas a su aplicación y ampliación en posteriores cursos,

sino que tiene que atender a su papel enculturador (Bishop,

1999), relacionado con la educación para afrontar fenóme-

nos naturales y el mundo del juego (MEC, 1991). Por tanto,

en el campo del azar se pone de manifiesto con mayor

intensidad la necesidad de que su estudio influya en el ser

del futuro ciudadano, generándole actitudes que le permitan

afrontar el amplio campo de aplicaciones que tiene en su

desenvolvimiento futuro (seguros, experimentos científicos,

previsión de enfermedades y del tiempo meteorológico,

etc.), o interpretar adecuadamente las informaciones (relati-

vas a los fenómenos mencionados, pero también a los jue-

gos de azar y su propaganda, no siempre bien intenciona-

da) que le están bombardeando y moldeando su vida. En

este artículo presentaremos algunas viñetas que pueden ayu-

dar a dar ideas del azar y la probabilidad, enfatizando

empleos cotidianos de la idea de azar, proponiendo que los

alumnos las analicen y estudien sus términos y significados.

El humor en la enseñanza

El humor puede emplearse en la enseñanza como recurso

para amenizar y distender, pero también puede tener otros

Es frecuente emplearelementos humorísticos en

clase para darle amenidad.En este artículo queremos

mostrar el interés que puedetener el empleo del humor enclase, para educar la actitud

de los alumnos. Esto esespecialmente indicado en elconcepto de probabilidad y

azar. La sociedad actualnecesita que sus ciudadanosestén educados en el azarpara afrontar fenómenosnaturales y del mundo deljuego. Es necesario, pues,que la enseñanza del azarinfluya en el ser del futurociudadano, generándoleactitudes que le permitanafrontar sus aplicacionessociales. Se presentan

algunas tareas de enseñanzabasadas en el análisis deviñetas humorísticas, para

enseñar el azar y laprobabilidad, implicando demanera humorística al lector

con los conceptosmatemáticos tratados.

81

Humor gráficopara la enseñanzay el aprendizaje del azar

Mónica Beatriz Guitart-CoriaPablo Flores Martínez

IDEASY

RECURSOS

E

42

febrero 2003, pp. 81-89

empleos (Francia y Fernández, 1995). Nosotros hemos pre-sentado varios (Flores, 2003, 1997, 1998a y 1998b; GrupoLaX, 1998), siempre referidos a educación matemática.

La investigación en educación matemática que se ha ocu-pado de los aspectos emocionales ha apoyado el empleode elementos anecdóticos. Mc Leod (1992) propone anéc-dotas para detectar y crear actitudes hacia las matemáticas.Gómez Chacón (2000) emplea viñetas humorísticas en suscursos de formación emocional de profesores de matemá-ticas. El empleo de elementos evocadores en educaciónmatemática es amplio, tal como hemos destacado al anali-zar las metáforas sobre la enseñanza (Flores, 1999). Paulos(1994) manifiesta una relación entre el humor y la lógicadel discurso cotidiano, y aporta una jocosa mirada sobrela presencia de las matemáticas en los medios de comuni-cación (Paulos, 1996), al igual que Fernández Aliseda yotros (2000). Bracho (1999) propone chistes para la ense-ñanza de las matemáticas. Y no podemos olvidar que elmismo NCTM que, en la revista Mathematics teaching inthe Middle School, dedica un lugar a las viñetas humorísti-cas y propone cuestiones para emplearlas en clase.Además, el NCTM ha editado un cuadernillo sobre mate-máticas y humor (Azzolino y otros, 1998). Gonick y Smith(1992) han escrito una estadística en comic, recientemen-te traducida y publicada en España.

Humor y cambio

En el análisis psicoanalítico que Freud (1969) hace delhumor enfatizaba su carácter espontáneo, con lo que alsurgir de una actuación no planificada, hace que incidadirectamente en el subconsciente. Watzlawick (1992) vamas lejos al proponer recurrir al humor para tratar de inci-dir sobre aspectos no previstos por el interlocutor, espe-cialmente en el campo de la psiquiatría. La idea de estosautores es que, si queremos proponer un cambio enalguien, tenemos que valernos de elementos que incidanen sus creencias más profundas, aunque el sujeto no seaconsciente de su implicación. En la educación matemáticaque afronta el azar y la probabilidad no sólo se pretendeque el alumno adquiera conocimientos, sino que tambiénse vean afectadas sus actitudes; no se trata sólo de sumi-nistrar instrucción matemática, sino que se pretende queinfluya en la manera de contemplar el mundo aleatorio enel que está sumergido, afrontándolo de manera más cien-tífica. Por tanto, no basta con exponer, de manera sufi-cientemente clara, los diversos conceptos, sino que el pro-fesor tiene que tratar de que estos conceptos influyan enla vida de los aprendices. El alumno ha de hacerse cons-ciente de sus concepciones erróneas, que suelen estarmuy arraigadas, y que no es posible corregir simplementecon explicaciones.

Tal como apunta Watzlawick y otros(1976), el cambio pretendido es un cam-bio que no corresponde a las expectati-vas del alumno, por lo que tiene queanclarse y realizarse en terrenos inespe-rados por el niño. En este caso, en laeducación, estamos en una situaciónpróxima a las que se proponen en psi-quiatría, tratando de favorecer que seopere en el niño un cambio en la inter-pretación del mundo, que consista enuna nueva forma de estructurar esosconocimientos y de relacionarlos conlos acontecimientos.

Con esta perspectiva, los educadoresmatemáticos necesitamos recursos quehagan que el educando apele a su posi-cionamiento vital, para ponerlo en telade juicio, y, si es posible, para que lehaga cambiar de manera efectiva decomportamiento, guiado por la intuiciónpercibida. El humor, tal como señalanWatzlavick (1992) y Paulos (1994), entreotros, permite la relación de la personacon elementos interpretativos que tie-nen como referencia aspectos no con-templados por ella. Para ejemplificaresto, en este artículo vamos a mostrarejemplos de viñetas que contienensituaciones cotidianas relacionadas conel azar, tratando de mostrar los elemen-tos evocadores que pueden suministrar,para que los aprendices las analicen yse adueñen de los aportes cognitivos yafectivos que llevan consigo.

El azar y el humor

El azar y el humor conviven con noso-tros, hasta tal punto que creemos que sepuede manipular el azar, creemos quese puede vivir sin humor... Veamoscómo el humor puede ayudarnos atomar contacto con el azar y la probabi-lidad.

Vamos a partir de que «[…] entendemosque el azar es anterior a la probabilidad,lo contrario de lo que se ve en los librosde texto, donde lo aleatorio suele defi-nirse en términos de probabilidad(véase, por ejemplo, la definición quenos dan de muestra aleatoria)». (Gutié-

…vamosa mostrar

ejemplos de viñetasque contienen

situacionescotidianas

relacionadascon el azar,

tratandode mostrar

los elementosevocadoresque puedensuministrar,

para quelos aprendiceslas analiceny se adueñende los aportes

cognitivosy afectivos

que llevan consigo.

82

rrez, 1992, p. 19). De aquí, la importan-cia fundamental que tiene el manejar elconcepto de azar con fluidez, sin dejar-nos influenciar por concepciones erró-neas basadas en «el enfoque subjetivodel azar, el cual está referido al conoci-miento e ignorancia, y el llamado azarobjetivo, no obstante, la importanciaque pueda tener desde el punto de vistapráctico o científico, es en realidad unaclase especial de azar subjetivo y unaderivación de éste. […] La expresión‘por azar’ hace referencia más bien alestado de nuestra información acerca dela concurrencia del suceso consideradocon el suceso tomado como premisa»(Keines, 1973, p. 317 citado en Gutié-rrez, 1992, p. 27).

Vemos entonces, que la información, suuso e interpretación, es fundamentalpara construir cualquier concepto basa-do en el azar. Nuestro concepto de azarsuele estar basado en algunos precon-ceptos que hacen de él algo huidizoque no podemos manejar, o por el con-trario, es tal que, ante determinadascondiciones creemos poder «domesticar-lo» a nuestro antojo. Ian Stewart (2001)comenta que en un pasado remoto lanaturaleza aparecía como algo incom-prensible, gobernado por el antojo delos dioses, luego los científicos creyeronhaber descubierto las leyes que explica-ban cada movimiento del universo, peroesta teoría comenzó a debilitarse y a

intranquilizar a los que pensaban que todo estaba en unorden natural, perfecto y controlado, con la introducciónde los conceptos de incertidumbre y azar, que aunqueparezca contradictorio, ponen orden al caos.

En la viñeta de la figura 1, Carlos Hernández refleja unaforma de concebir el orden del mundo, que se presta adebatir sobre esta cuestión. A partir de ella podemos pro-poner a los alumnos que respondan a cuestiones como lassiguientes:

Nuestro conceptode azar

suele estar basadoen algunos

preconceptosque hacen de él

algo huidizoque no podemos

manejar,o por el contrario,

es tal que,ante determinadas

condicionescreemos poder«domesticarlo»

a nuestroantojo.

83

Figura 1. Viñeta Orceman

Cuestiones sobre la viñeta 1

1) Buscar significado de los términos caos y azar y señalarcoincidencias y diferencias.

2) Ordenar según la posibilidad de predecir, algunos fenó-menos, como: lo que va a salir al lanzar un dado, la apa-rición de un terremoto, la hora de las mareas, el tiempoatmosférico, un crack financiero.

3) Indicar en qué se parecen y diferencian estos dos fenó-menos: la aparición de un terremoto y el lanzamiento deun dado.

En 1800 se decía que «azar» era una mera palabra que no sig-nificaba nada o bien que se trataba de una idea del vulgo quedesignaba la suerte o hasta la falta de ley, de manera que debíaquedar excluida del pensamiento de la gente ilustrada. Todosuceso derivaba necesariamente, por lo menos en el mundo feno-ménico, de una serie anterior de condiciones. Hasta los estudio-sos de la medicina y la vida, que rechazaban las leyes univer-sales en su dominio, sostenían que existían eslabones particula-res e individuales de una causalidad necesaria y no prestabanapoyo a la idea fundamental de azar (Hacking, 1995, p. 9).

En la viñeta de la figura 2, la administración hace uso delazar para tomar decisiones, mediante algo más que eljuego de palabras (azar = fortuna). Puede parecer un rela-

to cruel y extremista pero... ¿ocurre en nuestra vida coti-diana? Pensemos en los procesos que determinan: la incor-poración al servicio militar, la escuela a la que asistiránnuestros hijos, las cuestiones que van a aparecer en unexamen, etc.

Para aclarar esta polisemia, proponemoslas siguientes cuestiones:

84

Figura 2. Quino, la inspección de hacienda y la fortuna

Figura 3. Quino, Felipe y el destino

Cuestiones sobre la viñeta 2

1) Hacer una lista de los términos rela-cionados con el azar que aparecenen el texto.

2) Buscar significados del término «fortu-na». Buscar las acepciones que seemplean en la viñeta, y relacionarlasentre sí.

3) Estudiar posibles estrategias paradeterminar lo que cada ciudadanotiene que pagar como impuestos, opara seleccionar las preguntas de unexamen.

Un aspecto importante lo constituye lacreencia en el azar que algunos indivi-duos profesan, por ejemplo: al apostaren la lotería al número que no ha sali-do, suponiendo que ya es hora de quesalga; creer que hay números del dadoque salen más que otros; creer que elresultado obtenido depende de laforma en que se tire el dado o se bara-jen las cartas, etc. Para rebatir estas creen-cias, es necesario insistir, en nuestraenseñanza, sobre el concepto de azar ylas creencias que tienen nuestros alum-nos, ligadas a éste concepto. Más alláde dar definiciones formales, es necesa-rio lograr desarrollar actitudes correctashacia el azar, que consideren sus limita-ciones y adviertan sobre las ventajas y

desventajas de tomar decisiones a partirde él. Uno de los elementos que influ-yen es «el destino».

El creer en el destino nos muestra, en laviñeta de la figura 3, cierta contradic-ción, por suponer que tenemos ya fija-do nuestro actuar pero que hay cierta«flexibilidad» que nos permite alterarlo.Por tanto, podemos plantear las siguien-tes cuestiones:

La probabilidad y el humor

Los usos de la probabilidad son muy variados (Godino yotros, 1989). Informalmente la probabilidad es tratadacomo un concepto ambiguo que involucra deseos perso-nales, supersticiones y hasta toma de decisiones basadasen el «sentido común». Formalmente, requiere un soportelógico, a partir del cual construir modelos de fenómenosaleatorios, leyes y fundamentos que sustenten esta estruc-tura. Ambos usos nos presentan dificultades a la hora desu enseñanza, si queremos que los alumnos hagan una uti-lización correcta de la misma.

Vamos a presentar viñetas en las que, informalmente, setrata la probabilidad según distintas ópticas.

No se hace nada extraño, al distinguir entre el conocimiento quetenemos de nuestra propia existencia y el que dice que ‘dos y dosson cuatro’. Este sentimiento absoluto e infalible será llamado cer-teza. Tenemos grados de conocimiento menores que llamaremos

Informalmentela probabilidad

es tratadacomo un concepto

ambiguoque involucra

deseos personales,supersticiones

y hastatoma de decisiones

basadas enel «sentido común».

85

Cuestiones sobre la viñeta 3

1) Buscar significados de «destino», des-tacando los que se relacionan conazar.

2) Ordenar los sentidos de destino quehas encontrado por el grado en elque podemos manejarlo.

3) Buscar otras situaciones familiares enlas que se utilice destino, y estudiar sugrado de predeterminación y deimportancia para tomar decisiones.

Observamos que el concepto «azar» seutiliza con diversos nombres (Godinoy otros, 1989), tales como los reflejadosen estas viñetas: causa del caos, fortu-na (confusión que se explota en lafigura 2), destino, etc. Pero además, laidea que tenemos del azar no repercu-te necesariamente en nuestras actitu-des. No es infrecuente que expertosestadísticos muestren actitudes haciajugar un determinado número en lalotería, por ejemplo. Nuestra propues-ta es que en la enseñanza se utilicenviñetas que puedan ayudar a sacar arelucir las creencias de los alumnossobre el azar, y tratar de confrontarlasentre sí, y con su utilización prácticaen el mundo cotidiano, mostrando laimportancia del estudio de la estadísti-ca y cálculo de probabilidades comoinstrumentos para afrontar fenómenosligados al azar.

La viñeta de la figura 4 nos da ocasiónde que el alumno reflexione sobre elpapel que la sociedad le ha asignado alazar. Para ello proponemos que res-ponda a las cuestiones siguientes:

Cuestiones sobre la viñeta 4

1) Anota sucesos de tu vida cotidiana que achaques a lasuerte (resultado de un examen, resultado de un partidode fútbol de tu equipo, tu estado de humor al levantarte,etc.).

2) Estudia las características de todos ellos, y ordena desdeel más azaroso al menos.

3) Busca las condiciones para que un fenómeno sea consi-derado como aleatorio, y juzga cuál de los anterioresacontecimientos es realmente aleatorio.

Figura 4. Monumento al azar

grados de creencia, pero que son en realidad grados de conoci-miento... Por grado de probabilidad significamos realmente, odebemos significar, grados de creencia... Probabilidad se refiereentonces, e implica, creencia, más o menos, y creencia no es másque otro nombre del conocimiento imperfecto, o puede expresarel estado de la mente en conocimiento imperfecto. (De Morgan,1847, citado en Gutiérrez, 1992, p. 293).

Muchas veces, se usa el concepto de probabilidad par-tiendo del sentido común, basándose en experiencias pre-vias, en intuiciones o creencias, sin realizar cálculos. Estanoción subjetiva de probabilidad, obviamente, dependede quien la interprete y, muchas veces, se ve afectada porsucesos que alteran su «valor», dando lugar a un conceptointuitivo de probabilidad condicionada. En la viñeta de lafigura 5 observamos la subjetividad al suponer que «des-mejorar» se debe a la presencia de sopa, estando además,este hecho condicionando su estado de ánimo. En el len-guaje cotidiano usamos «probablemente», «probabilidadde…», etcétera, para indicar nuestra incertidumbre antealgo incierto exterior a nosotros (Matte, 1995). Para evitarsentidos tan subjetivos de probabilidad, sugerimos que losalumnos realicen las siguientes cuestiones:

Las personas asignan probabilidades sinbasarse en una estructura lógica propo-sicional. Sin embargo, la idea estadísticade probabilidad es objetiva y aunque sebasa en un grado de confianza, su rela-ción con la proporcionalidad tiene quematizarse con la presencia de fenóme-nos verdaderamente aleatorios.

La probabilidad puede tratarse a partirdel resultado de una experimentación,lo que da origen a la concepción fre-cuencialista. La teoría frecuencial permi-te tratar fenómenos en donde no existeuna «regularidad» en los elementos usa-dos para la experimentación. En lasviñetas de las figuras 6 y 7 se presentandos situaciones frecuencialistas con dis-tintos desenlaces.

Las viñetas dejan ver un concepto deprobabilidad basado en la cantidad deveces que aparece el suceso objeto deanálisis, respecto a un universo determi-nado. En el primer caso (figura 6) sehace uso de una comparación, tratadacomo proporción. En la segunda tiracómica (figura 7) observamos que unapersona puede basarse en sus propiascreencias respecto a una situación y«medir» la credibilidad según ciertos pre-conceptos. Este grado de creencia sólose sustenta en una lógica «cotidiana»coherente. En ambas situaciones, la fre-cuencia con que ocurren los hechosproporcionan la idea de probabilidad,tan comúnmente ligada al porcentaje,en general, intuitivo de una situación

La teoríafrecuencial

permite tratarfenómenoen dondeno existe

una «regularidad»en los elementos

usadospara la

experimentación.

86

Figura 5. Mafalda y probabilidad de sopa

Cuestiones sobre la viñeta 5

1) Identifica los elementos que asemejan, y los que diferen-cian, los acontecimientos de esta viñeta con la prediccióndel tiempo atmosférico.

2) Estudiar si nuestro estado de ánimo está relacionado demanera probabilística, y si puede compararse con la pre-dicción del tiempo atmosférico.

3) (En caso de trabajarlo después de la instrucción proba-bilística). Analiza el suceso aleatorio al que Mafaldaestá aplicando probabilidad, indicando su espaciomuestral y las informaciones necesarias para determinarla probabilidad.

dada. Pero ¿son igualmente azarosos losfenómenos referenciados? Para estudiaresto sugerimos las siguientes cuestiones:

te, después de ver ciertas condiciones iniciales; supone-mos que no está segura de lo que va a ocurrir y que en sudecisión, por uno u otro resultado, pesan en su ánimo lascondiciones psíquicas del momento, sus creencias perso-nales, etc.

Para comprender la tira de la figura 8 hay que precisar queel término papelones, se emplea en Argentina para refe-rirse a una situación bochornosa. En ella se emplea lamáquina como un objeto que rompe la subjetividad, o queasume la responsabilidad de los errores de predicción.Esta lectura nos permite fundamentar que la probabilidadtiene que partir de una teoría. Para ello, en las prediccio-nes hacemos uso de la probabilidad, pero considerada enrelación con la evidencia contenida en otra proposición,que actúa como cuerpo de evidencia. Es cierto que lamayor parte de los juicios de probabilidad son formuladosen términos absolutos, sin ninguna referencia a ese cuer-po de evidencia. Cuando nos anuncian lluvias, esta afir-mación debe estar acompañada de una base, a partir de lacual se puede decir esto, como «dadas las condicionesmeteorológicas actuales, y si éstas se mantienen…». Es

…enlas prediccioneshacemos uso dela probabilidad,pero considerada

en relacióncon la evidencia

contenida enotra proposición,

que actúacomo cuerpode evidencia.

87

Figura 6. Mafalda y la lista de teléfonos

Figura 7. Mafalda y los países

Cuestiones sobre las viñetas 6 y 7

1) Define los fenómenos que se contem-plan en las viñetas, los espaciosmuestrales y los sucesos elementales.

2) Estudias los principios del azar queverifican los fenómenos citados.

3) Indicar los sucesos a los que se leestán asignando probabilidades enuno y otro caso, verificando si está encondiciones de aplicar la probabili-dad laplaciana.

Estos ejemplos nos sirven para ver una«actitud» hacia la probabilidad. La per-sona que interviene actúa racionalmen-

fundamental, entonces, usar correctamente las evidenciasdisponibles, a fin de dar juicios de probabilidad satisfacto-rios, y así evitar «papelones». Surge en este punto unaambigüedad típica a la hora de hacer uso de las predic-ciones. Algunas veces las personas deciden en función delpronóstico del tiempo y otras, ante la escasa credibilidadde éste, suponen que no se cumplirá. Cuando se dice:«dadas las condiciones metereológicas actuales, […], conuna borrasca en el…, lloverá, probablemente, mañana»;vemos que se ha emitido un juicio (dado por una perso-na) y las condiciones iniciales en las que se basa. Sinduda, ante este juicio se presentan dos posibles resultados,que, ante el marco de referencia propuesto, hace que unode ellos sea más probable que el otro. Cuando nos expre-samos en estos términos, hay una razón que nos permitevolcarnos hacia uno de los sucesos, así, la probabilidadvive sobre argumentos no formalizados, que se ubicanentre la aceptación y la refutación.

Es importante preparar, sobre todo actitudinalmente, anuestros alumnos, en el correcto uso de «probable», «posi-ble», etc., para que emitan sus juicios y tomen sus decisio-nes a partir de una base correcta de condiciones iniciales.Para ello proponemos las siguientes cuestiones relativas ala viñeta:

Al enseñar probabilidades en la educa-ción obligatoria, es importante, resaltarque para su utilización adecuada hayque indicar los recursos necesarios, elgrado de certidumbre al dar un resulta-do y el marco de referencia que abar-can las conclusiones, tal como vemosaparece en la historia de la figura 9, quenos permite volver a insistir en el inte-rés que tiene el empleo de las viñetashumorísticas para la enseñanza yaprendizaje del azar y la probabilidad.En ella se pueden hacer las siguientescuestiones:

88

Figura 8. Felipe y el pronóstico del tiempo

Cuestiones sobre la viñeta 8

1) Justifica si una máquina puede hacer predicciones mejo-res del tiempo, de la que se hacen en los espacios televi-sivos.

2) Estudia si el tiempo meteorológico es un fenómeno alea-torio y su espacio muestral.

3) Escucha la información meteorológica de un diario de TVy apunta los instrumentos que emplean para ella. ¿Quiénhace la predicción? Figura 9. Seguridad de ganar

Conclusiones

En este artículo hemos hecho un reco-

rrido por distintos aspectos relaciona-

dos con la enseñanza y el aprendizaje

de la probabilidad, comenzando por el

análisis del azar. Para llevar a cabo una

enseñanza que tome en consideración

estos aspectos, proponemos completar

la instrucción matemática formal, con

la realización de una serie de tareas de

análisis de viñetas humorísticas

(Flores, 2003) en las que se alude al

azar y la probabilidad. Con ello trata-

mos de que los alumnos relacionen de

manera distendida y significativa, las

concepciones cotidianas del azar y

probabilidad, con las científicas, tra-

tando con ello que la formación cien-

tífica influya en la actitud del niño

frente a las situaciones azarosas coti-

dianas.

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Mónica B. Guitart-CoriaUniversidad Nacional de

Cuyo. Mendoza.Argentina

Pablo FloresFacultad de Ciencias

de la Educación.Universidad de Granada.

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»

89

Cuestiones sobre la viñeta 9

1) Define el espacio muestral de una rifa(como la de un coche), estudia si veri-fica los principios de la probabilidadlaplaciana.

2) Identifica el suceso seguro, y algunossucesos del fenómeno, y calcula laprobabilidad de ganar si se compranalguna proporción de boletos.

3) Busca una noticia sobre sondeos deopinión, y destaca los indicadores deconfianza de éxito en la predicción, yde error.

…los alumnosrelacionende maneradistendida

y significativa,las concepciones

cotidianasdel azar

y probabilidad,con las científicas,tratando con elloque la formación

científicainfluya

en la actituddel niño frente

a las situacionesazarosas

cotidianas.

CONVOCATORIA DEL CARGO DE SECRETARIO/ADE RELACIONES INTERNACIONALES CON IBEROAMÉRICA

DE LA FESPM

El Estatuto de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas(FESPM) establece, en su artículo 11, los cargos unipersonales, entre los cuales se contem-plan las secretarías de área. A su vez, el Reglamento de la FESPM especifica en el artículo7 las áreas de trabajo y en el artículo 9 el procedimiento de elección. La Junta de Gobiernode la FESPM ha considerado oportuno, además, constituir dos secretarías de relacionesinternacionales, una para las relaciones con Europa y otra para las relaciones conIberoamérica.

La Junta de Gobierno de la FESPM, en la reunión celebrada en Madrid el día 8 defebrero de 2003, ha decidido convocar la Secretaría de Relaciones Internacionales conIberoamérica en los siguientes términos:

Podrá presentar su candidatura a la Secretaría de Relaciones Internacionales conIberoamérica cualquier socio/a de una Sociedad Federada, con un año de antigüedad almenos.

La solicitud, dirigida al Presidente de la FESPM, deberá ir acompañada de lasiguiente documentación:

1. Certificado en el que conste que es socio/a activo/a de una SociedadFederada, y su antigüedad.

2. Un Proyecto en el que se exponga su línea de trabajo.Las candidaturas podrán presentarse de cualquiera de las formas siguientes, tenien-

do en cuenta los plazos que en cada caso se señalan:A) Por correo postal, hasta el 20 de junio de 2003, dirigido a:

SR. PRESIDENTE DE LA FESPMSociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas P. Sánchez CirueloICE Universidad de ZaragozaC/ Pedro Cerbuna, 12 – 50009 - Zaragoza

B) Por correo electrónico hasta el 22 de junio de 2003. En tal caso el mensaje sedirigirá a: fvillarroya@able.es

La Junta de Gobierno de la FESPM elegirá al Secretario/a de RelacionesInternacionales con Iberoamérica, entre los/as candidatos/as presentados/as para unperiodo de 4 años, en su reunión del día 3 de julio de 2003. Previamente deberá oírse alSecretario General. Una vez decidida la elección se comunicará oficialmente a lasSociedades Federadas, y a la persona elegida.

Madrid, a 8 de febrero de 2003

José Luis Álvarez García

Secretario General

L REY Binar01

En el lejano y mágico país de Infolandia reinaba desdehacía muchos años un todopoderoso señor llamadoBinar01. Por extraño que parezca –y a fe cierta que a sussúbditos así se lo pareció–, al comienzo de su reinadosuprimió por real decreto todas las cifras excepto el ceroy el uno. Algunos pensaban que esto era debido a queen su nombre solo aparecían esas cifras y menosprecia-ba a todas las demás; otros sostenían que tal hecho sedebía a una manía persecutoria surgida en su niñez alaprender la tabla de multiplicar por un número mayorque uno. Lo cierto fue que, después de anunciar la desa-parición de las cifras distintas de cero o uno (no se podíani nombrarlas bajo pena máxima de ser multiplicado porcero), se produjeron grandes manifestaciones de rechazopor todo el país.

La más tumultuosa tuvo lugar en el centro neurálgico deInfolandia, un lugar llamado Chiptown, donde confluíande muchos lugares grandes y espaciosas vías de comuni-cación, amplias autopistas por donde circulaban a granvelocidad buses llenos a rebosar de ciudadanos descon-tentos. La gran revuelta comenzó en el Memory Center y,de forma bastante aleatoria y descontrolada, se fue dis-persando por pequeños distritos periféricos, donde rápi-damente fue sofocada por la guardia real, que llegó inclu-so a registrar buscando cifras sospechosas y hasta metióen celdas personales a los más revoltosos.

El gran descontento provocó que la medida no entraseen vigor hasta pasado un largo periodo de adaptación.En todas las escuelas se cambiaron paulatinamente lasviejas tablas de sumar por otras que, aunque al principioresultaban bastante chocantes, poco a poco se fueronimponiendo por su sencillez y además se aprendían fácil-mente. El nuevo sistema de contar recibió el nombre de

El hombre es un ser al que lanaturaleza ha expulsado desu seno, forzándole así a

inventarse su propio mundo oa perecer. En el mundo

cibermágico sus seres poseensu propia acción, pilotan supropia vida, son libres y la

actividad vital es sudesarrollo y supervivencia.

Ya lo cantaba el poeta:¿Y ha de morir contigo el mundo

mago]donde guarda el recuerdolos hálitos más puros de la vida,la blanca sombra del amor

primero,]la voz que fue a tu corazón, la

mano]que tú querías retener en sueños,y todos los amores que llegaron al alma, al hondo

cielo?]¿Y ha de morir contigo el mundo

tuyo,]la vieja vida en orden tuyo y

nuevo?]¿Los yunques y crisoles de tu

alma]trabajan para el polvo y para el

viento?]

91

El gran torneo cibermágico

Joaquín Aguilar Barriuso

MISCELÁNEA

E

42

febrero 2003, pp. 91-96

binario1 en honor del soberano de Infolandia. Como losnúmeros binarios sólo contenían ceros y unos se podíaestablecer una equivalencia entre los números decimalesy binarios de la siguiente forma:

0 = 0, 1 + 0 = 1 = 1, 1 + 1 = 2 = 10, 1 + 1 + 1 = 3 = 11,1 + 1 + 1 + 1 = 4 = 100, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 = 101,

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 = 110,1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 = 111,…

y así uno podía continuar indefinidamente. Los sabiosbinarios (SBI) indagaron sobre ciertas propiedades y des-cubrieron, por ejemplo, que sumar el doble de una ciertasuma de unos consistía en añadir un cero al final de laexpresión inicial

(1 + 1) + (1 + 1) = 100(1 + 1 + 1 + 1 ) + (1 + 1 + 1 + 1)= 1000

(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1) == 10000,...

pero si en estas expresiones se restaba una unidad, enton-ces se obtenía

(1 + 1) + (1 + 0 ) = 11(1 + 1 + 1 + 1 ) + (1 + 1 + 1 + 0)= 111

(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1) == 1111,...

Estudiaron también las distintas operaciones que se podíanrealizar con los números binarios, como por ejemplo:

Mientras tanto, en la escuela encantadade Hogwarts donde estudiaban losaprendices de magos había comenzadoel segundo trimestre del curso, todosestaban muy ilusionados y contentos deverse después del corto periodo de des-canso que habían pasado junto a susfamilias y seres queridos.

El gran torneo matemático

En el castillo virtual de la ciudad deCibergos, una de las siete ciudades vir-tuales del reino de Zamundo, se cele-braba ese mismo año un torneo mate-mático al que fueron invitados los estu-diantes más aventajados y aplicados deInfolandia y Matemanía. También comoera tradición en el sistema cibermágicose había cursado una invitación –conuna lechuza mensajera llamado Matfer–,al colegio encantado de Hogwartsdonde estudiaban los futuros magos.

Tanto los SBI como los SMA se esmera-ron por preparar a conciencia a losalumnos más dispuestos en la dura dis-ciplina matemática. Había gran expecta-ción por comprobar el comportamientode los jóvenes de Infolandia, pues pen-saban que habían perdido con el cam-bio y necesitaban un milagro parapoder hacer algo. Los alumnos queestudiaban para magos también habíanmostrado mucho interés en las clases deArts Matemathica que impartía el maes-tro Xa Qin. El día previsto para la prue-ba se encontraron todos los participan-tes en el gran Salón Circular donde elPresidente del Gran Jurado abrió elsobre lacrado y leyó muy despacio ycon gran solemnidad el enunciado delenigma que tenían que desentrañar2:

1 Los números escritos en el siste-ma binario aparecen en cursi-va en el texto.

2. Propuesto en la XXXVII Olim-piada Matemática celebradaen Murcia:Determinar la función f: N ÆN (siendo N = {1, 2, 3…} elconjunto de los números natu-rales) que cumple, para cuales-quiera s, n pertenecientes a N,las siguientes condiciones:f(1) = f(2s) = 1 y si n < 2s,entonces f(2s + n) = f(n) + 1. Calcular el valor máximo def(n) cuando n ≤ 2001. Hallar el menor número naturaln tal que f(n) = 2001.

92

Suma Resta Multiplicación Potencia

10110 1011 101 10112 = 1111001+ 11011 – 101 ¥ 11 1013 = 1111101

110001 110 101 114 = 1010001

101 105 = 100000

1111

Con el fin de comprobar que los estudiantes estaban bienpreparados elaboraron extrañas pruebas con diferentesoperaciones binarias (OBI) que los alumnos debían supe-rar para obtener un hermoso diploma que llevaba la rúbri-ca del monarca.

Por fin, llegó el día señalado del 1 de enero del 2001 fechalímite para, después de pasado el periodo transitorio depruebas, hacer efectivo el nuevo sistema binario y el pue-blo se engalanó de fiesta y salió a celebrarlo, pues todosestaban seguros de que el cambio les traería prosperidady felicidad.

En la vecina república de Matemanía habían visto desde elprincipio con mucho recelo –y hasta se diría que con cier-ta sorna por parte de algunos sabios matemáticos (SMA)–,el nuevo sistema, revolucionario para ellos, pues estabananclados en el tradicional y clásico sistema decimal y, evi-dentemente, despreciaban cualquier innovación.

Una transformación de números natu-rales convierte al uno y a cualquierpotencia de dos en el número uno, y sia un número natural n se le suma unapotencia de dos mayor que dichonúmero, el transformado de la suma esuna unidad mayor que el transformadodel número n.

1.a Si transformamos todos los númerosdesde el uno hasta el 2001, ¿cuál

Con el finde comprobar que

los estudiantesestaban

bien preparadoselaboraron

extrañas pruebascon diferentesoperaciones

binarias (OBI)que los alumnos

debíansuperar…

Todos los participantes tomaron buenanota del enunciado del enigma y des-pués de unos breves momentos inicialesde desconcierto y vacilación –en partedebido a lo extraño y asombroso que lespareció la comprensión del problema alque tenían que enfrentarse–, comenza-ron por identificar los datos más relevan-tes, a planificar sus propias estrategias ya ponerlas en práctica para resolverlo.

Fueron bastantes los que consiguieronacertar con la solución correcta y llega-ron a ella de muy diversas formas, elgran jurado tuvo que emplear muchotiempo para decidir el fallo del concur-so, pero al final de las arduas delibera-ciones premió a los tres estudiantes quemás destacaron por su originalidad,imaginación, claros razonamientos lógi-co-matemáticos, destreza en el cálculo,rapidez de reflejos en dar las respuestasválidas y también por el encanto lúdico-mágico de sus respuestas.

Las respuestasde los tres ganadores

El ganador de Infolandia fue Super-mario –un alumno del distrito deJoystick–, para él fue como un juego deniños resolver el problema propuesto yaque dominaba como nadie el difícil artede operar con ceros y unos. Antes depresentarse al concurso ya había desta-cado por su destreza –ostentaba elrecord de la mejor puntuación en eldiploma OBI–, además su preparaciónpor los SBI le dotó de valiosas herra-mientas de cálculo, estrategias heurísti-cas y una autoestima extraordinaria.Respondió de la siguiente forma al pro-blema:

En binario la transformación es una fun-ción f que cumple:

f (1) = f (10) = f (100) = f (1000) == f (10…0) = … = 1

y, para cualquier otra expresión de unos y ceros, se tienelo siguiente:

f (1) = 1, f (11) = f (10 + 1) = f (1) + 1 = = 1 + 1 = 2,f (111) = f (100 + 11) == f (11) + 1 = 2 + 1 = 3

f (110110) = f (100000 + 10110) = f (10110) + 1 == f (10000 + 110) +1 = f (110) + 2 == f (100 + 10) = f (10) + 3 = 1 + 3 = 4

La conclusión era trivial, para saber la transformación queexperimentaba un número había que sumar los unos queaparecían en la expresión binaria de dicho número.

Como la expresión binaria de 2001 es: 11111010001, exis-ten varios números anteriores y con más cifras de unos.Las soluciones vienen dadas por los números:

1111111111 (1023); 10111111111 (1535);11011111111 (1791); 11110111111 (1919);

11111011111 (1983)

Al aplicar la función f a cualquier número nos queda:

f (10111111111) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10

Es decir, sumamos diez unos y este es el valor máximo.

Para contestar a la segunda pregunta escribió lo siguiente,el número n viene dado en binario por:

n = 111111111…11111111

Es decir, poner una pila de 2001 unos.

La segunda premiada Lara Croft participaba por la repú-blica de Matemanía y era alumna del distrito 007. Sintener licencia del MAPLE V –programa informático quehabía pirateado de la red de sus vecinos de Infolandia–,lo había utilizado para la resolución del problema. En susmanos constituía un arma letal para hacer frente a losincreíbles cálculos que tuvo que realizar para terminar

Todoslos participantes

tomaronbuena nota

del enunciadodel enigmay después

de unos brevesmomentosiniciales

de desconciertoy vacilación

–en parte debidoa lo extrañoy asombroso

que les parecióla comprensióndel problemaal que tenían

que enfrentarse–,comenzaron

por identificarlos datos

más relevantes,a planificarsus propiasestrategias

y a ponerlasen práctica

para resolverlo.

93

será el valor mayor de la transforma-ción?

2.a ¿Cuál será el valor del número máspequeño que se transforme en elnúmero 2001?

con el endiablado y enrevesado problema. Estos fueronlos siguientes:

Es sabido que cualquier número natural se puede expre-sar –de forma única–, como suma de potencias distintas debase 2. Otra propiedad interesante de las potencias delnúmero 2 es que cualquier potencia de 2 es una unidadmayor que la suma de todas las potencias anteriores a ella,como por ejemplo:

210 = 1024 > 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 1023;

por lo que se determinan los números menores que 2001que se pueden poner como suma de potencias distintas de2 y con la mayor cantidad de sumandos. Tenemos que:

1023 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 == 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

1535 = 210 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 == 1024 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

1791 = 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 == 1024 + 512 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

1919 = 210 + 29 + 28 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 == 1024 + 512 + 256 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

1983 = 210 + 29 + 28 + 27 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 == 1024 + 512 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Como cada número de los anteriores se puede expresarcomo la suma de diez potencias distintas de 2, y como lasuma de las potencias de dos consecutivas desde 20 a 210

vale 211 – 1 = 2047 > 2001, la respuesta es 10. Si se aplica acualquiera de los números indicados la función transfor-madora f se tiene:

f (1023) = f (29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20) == f (28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20) + 1 =

= f (27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20) + 2 == f (26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20) + 3 = .. = f (20) +9 = 10.

Claramente esto mismo ocurriría con los demás números,luego el valor máximo que toma la función es 10 en esoscinco números.

Como la respuesta era muy larga, buscóotra expresión para sumar:

El tercerganador,

Harry Potter,participaba

por Gryffindorde la escuelade aprendicespara brujosdel colegioHogwarts.

Las dificultadesque encontrópara resolver

el enigmaestuvierona punto de

hacerleabandonar, perosu perseverancia

no conocíalímites.

94

[ > sum (2^k , k = 0 . . 2000);

229626139054850904846566640235536396804463540417739040095528547365153252278474062771331897263301253983689192927797492554689423792172611066285186271233330637078259978290624560001377558296480089742857853980126972489563230927292776727894634052080932707941809993116324797617889259211246623299072328443940665362688337817968917011204758969615828117801869553000858005433413251661044016264472562583522535766634413197990792836254043559716808084319706366503081778867804183841109915567179344078320163914433261165510760851167452031056697572838864109017830551567765250350871057601645685541635930907524369702298058751

Tenía la fórmula algebraica adecuada,luego la respuesta siendo n = 2000 eraobvia, 22001 – 1.

El tercer ganador, Harry Potter, partici-paba por Gryffindor de la escuela deaprendices para brujos del colegioHogwarts. Las dificultades que encontrópara resolver el enigma estuvieron apunto de hacerle abandonar, pero superseverancia no conocía límites.Aunque llevaba varios años estudiandola dura disciplina con el maestro Xa

[ > sum (2^k , k = 0 . . n);

2(n + 1) – 1

Por otra parte, el valor más pequeño den que cumple f (n) = 2001 viene dadopor:

n = 22000 + 21999 + 21998 + 21997 + 21996 +21995 + … + 210 + 29 +

+ 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20

Con el ordenador portátil, ejecutó elprograma y tecleó la sentencia:

Qin, nunca se le había dado la materiatan bien como a su amiga Hermione.

Comenzó probando varios conjurosmágicos, el primero que intentó fuePrincipia Pythagórica, pero la varitamágica después de dibujar un extrañotriángulo en el aire, se quedó inmóvil.Lo volvió a intentar con otros muchosprincipios: Principia Diophanto, Prin-cipia Thales…, pero la varita seguíamuda, sin resolver el misterioso enig-ma de la transformación de númerosnaturales, por lo que su desesperacióniba en aumento. Comenzaba a sentirsetriste, abatido, con ganas de olvidarsede esta pesadilla que le recordabaaquella otra en la que siendo niñohabía sobrevivido a un enfrentamientocon las fuerzas tenebrosas de las ArtesOcultas.

Después de un momento de vacilaciónse repuso y una luz brilló en su interior,recordó las enseñanzas de su granmaestro y pronunció las palabras mági-cas Principia Inductionis… y al instan-te un espectacular fogonazo surgió desu varita mágica y al ritmo de una melo-día maravillosa empezaron a chisporre-tear de su extremo una lluvia de estre-llas que se iban a posar suavemente enlos peldaños de una escalera giganteque iba emergiendo poco a poco desdeel suelo.

Sin perder la calma, recordó que la pri-mera prueba consistía en conocer elvalor máximo de la transformaciónhasta el numero 2001, por lo que sin

tiempo de pensar y casi de forma instintiva dijo:«Principia Inductionis 2001». Las estrellas cesaron deimproviso y sin saber muy bien lo que había sucedido seacercó a la escalera. Todas las estrellas tenían escrito ensu interior un número, en el primer peldaño y perfecta-mente ordenadas estaban las estrellas con los números 1,2, 4, 8, …, 1024; miró en el segundo peldaño y observóque los números de las estrellas eran 3, 5, 9, …, 1536;siguió subiendo peldaño a peldaño hasta llegar al últimoque contenía estrellas y que precisamente era el décimo,en él pudo ver que se encontraban las estrellas numera-das con 1023, 1535, 1791, 1919 y 1983. Comprobó queestaban todos los números del 1 al 2001, y entonces com-prendió la respuesta al enigma que le había proporcio-nado las palabras mágicas:

Todos los números que se podían poner como una únicapotencia de dos se colocaban en el primer peldaño de laescalera, 1= 20, 2= 21, 4= 22, 8= 23, …, 1024= 210; los quese expresaban como suma de dos potencias de dos dis-tintas en el segundo, 3 = 20 + 21, 5 = 20 + 22, 9 = 20 + 23,1536 = 29 + 210; y así sucesivamente hasta llegar al últimopeldaño el décimo en el que aparecían los cinco númerosque se podían poner como suma de diez potencias de 2:

1023 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20,

1535 = 210 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20,

1791 = 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20,

1919 = 210 + 29 + 28 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20,

1983 = 210 + 29 + 28 + 27 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20.

La llave que había resuelto la transformación era elPrincipio de Inducción, que se aplicaba sobre el númerode sumandos que aparecía en la descomposición enpotencias de dos de cualquier número natuaral. Comohabía visto, el 1 y todos los números que eran potenciasde dos se colocaban en el primer peldaño, y si un núme-ro se podía poner como la suma de n potencias de dos,todas distintas, es decir, N = 2k1 + 2k2 + 2k3 + … +2kn, siendok1 > k2 > k3 > … > kn números natuales, como el númeroN ’ = 2k2 + 2k3 + … +2kn < N, ya estaba situado en el pelda-ño (n – 1), al añadirle 2k1, que curiosamente era mayorque N ’ y por la propiedad mágica de la transformaciónpasaba al pendaño siguiente n.

Ahora era evidente, ¡sí, claro!, pero le había costado unenorme esfuerzo averiguarlo. Ya había contestado a la pri-mera prueba, la respuesta era diez, pero, ¿qué haría pararesolver la segunda prueba?

Se encontraba cansado, mareado, con la cabeza que ledaba vueltas de puro agotamiento, pero haciendo unúltimo esfuerzo y después de pasar un buen rato pen-sando, apretó firmemente la varita mágica hecha deacebo y pluma de fénix y dijo para completar de colo-car a los números naturales que faltaban: «Principia

Despuésde un momentode vacilación

se repusoy una luz brillóen su interior,

recordólas enseñanzas

de su granmaestro

y pronunciólas palabras

mágicasPrincipia

Inductionis…

95

Inductionis Completa». Nuevamente ésta cobró vida y desu extremo comenzaron a surgir estrellas, la primera quetenía el número capicúa 2002 = 210 +29 +28 +27 +26+ 24

+21 se fue a colocar en el peldaño que le correspondía–el séptimo–, junto a 2001 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24

+ 20; a continuación surgió el 2003 –que tenía la asom-brosa propiedad de ser un número primo–, y se colocóen el peldaño octavo ya que 2003 = 210 +29 +28 +27 +26+24 +21 + 20 y así al ritmo de una mágica melodía y a unavelocidad de vértigo –cercana a la luz–, se iban a posarsobre los peldaños de la escalera que crecía, crecía enanchura y en altura y empezaba ya a perderse de vistaen el cielo infinito.

Con renovados ánimos, y sin pensarlo dos veces, montóen su escoba mágica –con la que jugaba de buscador aljuego de quidditch–, y subió velozmente hasta el peldañonumerado 2001; allí estaban ordenadas secuencialmentelas estrellas que habían ido a parar a ese escalón. Pero, ¡ohcielos!, la primera era una estrella enorme, supergigante,mucho más grande que las que ocupaban la posición ini-cial en los primeros peldaños y no se atrevía a cogerla pormiedo a perder el equilibrio y caer de la escoba mágicadesde esa gran altura. Estuvo dudando un momento yrecordó que las primeras que habían aparecido en los diezprimeros escalones eran las numeradas por 1, 3, 7, 15, 31,63, 127, 255, 511 y 1023, les fataba una unidad para serpotencia perfecta de 2. Como último recurso sumó unaunidad al número que figuraba en la estrella y pronunciólas palabras mágicas «Reductio Potentia»; en un instante lagigantesca estrella se convirtió en una estrella tan peque-ña que le cabía perfectamente en el bolsillo de su panta-lón, y al mirarla observó que en ella aparecía la expresión:22001, entonces le restó uno y ya tenía la respuesta a lasegunda pregunta del enigma: 22001 – 1, que coincidía conla suma de 22000 + 21999 + 21998 + … + 23 + 22 + 21 + 20.Rápidamente la guardó y bajó a toda prisa para entregár-sela al gran jurado.

Los premios

El gran jurado otorgó a cada uno de los tres ganadores unamedalla de oro olímpica y a su regreso a sus respectivospaíses, Supermario fue recibido por el soberano Bin01que le concedió una beca para estudiar matemáticas yconvertirse en un gran SBI; Lara Croft recibió como pre-mio de los sabios SMA un programa de MATLAB (MATrixLABoratory) –ahora con licencia–, para poder resolver conrapidez todos los problemas matemáticos que se le cruza-sen por el camino; y Harry Potter recibió de su maestro XaQin la gran enciclopedia matemática Sigma (S), que con-tenía un compendio de los saberes matemáticos que sehabían recopilado en el último milenio.

Tenía una nota de felicitación del direc-tor del colegio en la que aparecía escritauna bonita poesía de un gran sabio quehabía vivido en Siora –una de las ciuda-des virtuales del reino de Zamundo–:

Joaquín AguilarIES Cardenal López

de Mendoza. Burgos.Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

96

Leer, leer, leer, vivir la vidaque otros soñaron.Leer, leer, leer, el alma olvidalas cosas que pasaron.Se quedan las que quedan, las ficciones,las flores de la pluma,las olas, las humanas creaciones,el poso de la espuma.Leer, leer, leer, ¿seré lecturamañana también yo?¿Seré mi creador, mi criatura,seré lo que pasó?

A. Machado

Comoúltimo recurso

sumóuna unidadal número

que figurabaen la estrellay pronunciólas palabras

mágicas«Reductio

Potentia»…

EMOS DEJADO PARA EL FINAL aquella resolución por la que comienzala mayoría del profesorado de Matemáticas: la basada en el uso delCálculo Diferencial. Siempre que hemos propuesto el problema queplanteábamos en la primera entrega en algún curso o seminario, la formade abordarlo ha sido echando mano de las derivadas para la búsquedade extremos de determinada función área. Como se habla de enmarcarun cuadro de 3 m de perímetro, siempre han comenzado pensando enformas rectangulares, por lo que el problema que se planteaban solía serel siguiente:

Entre todos los rectángulos de igual perímetro P, el cuadrado de lado P/4 es el queencierra la mayor área.

Y la forma de abordar la solución era, más o menos, como sigue.

97

El Cálculo diferencialy el problema isoperimétrico

Grupo Construir las Matemáticas*

TALLERDE

PROBLEMAS

H

42

febrero 2003, pp. 97-99

* Los componentes del Grupo Construir las Matemáticas son Rafael Pérez, IsabelBerenguer, Luis Berenguer, Belén Cobo, M.a Dolores Daza, Francisco Fernández,Miguel Pasadas y Ana M.a Payá.

Si denominamos b y h a las dimensiones del rectángulo, puesto que elperímetro es P, será P = 2b + 2h. Su área en función de b será:

h

b

bP b

Pb

b-Ê

ËÁˆ¯̃

= -2

2 22

Consideramos entonces la función real de variable real:

A b Pb

b b P( ) [ , ]= - Œ2

0 22

Puesto que A’(b) = P/2 – 2b, A’(b) = 0 si y sólo si b = P/4. AdemásA”(P/4) < 0, luego para b = P/4, la función tiene un máximo local.

Introduciendo la ligadura en la función a optimizar, pues-to que a = P – b – c, se tratará de calcular el máximo dela función de dos variables:

98

De hecho es un máximo global de la función A(b), ya queéste o se alcanza en los extremos del intervalo o en suinterior, pero en los extremos hay valores mínimos:

A AP

AP P

( ) ; ;0 02

03 18

2

= ÊËÁ

ˆ¯̃

= ÊËÁ

ˆ¯̃

=

Si b = P/4, entonces h = P/4; es decir, el rectángulo demayor área, entre los de un mismo perímetro P, es el cua-drado de lado P/4.

Bien, ya hay una solución. Rápidamente se piensa en quees el círculo de longitud P el que mayor área encierra. Sinembargo, la prueba correspondiente al crecimiento delárea para polígonos regulares a medida que aumenta elnúmero de lados no es inmediata. Esta será nuestra, porahora, última resolución parcial del problema y despedi-remos al actual equipo director de SUMA haciendo lasreflexiones finales y, tal y como anunciamos en su día,planteando el enunciado actual sobre el que se sigue bus-cando solución.

Comencemos por el caso más sencillo: el polígono regu-lar de menor número de lados.

Entre todos los triángulos de igual perímetro P, el triángulo equi-látero de lado P/3 es el que encierra mayor área.

Recordando la fórmula de Herón, el área de un triángulode lados a, b y c es:

P Pa

Pb

Pc

2 2 2 2-Ê

ËÁˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

donde P es el perímetro de dicho triángulo.

Como c < a + b = P – c, entonces 2c < P y por tanto c < P/2.Análogamente podemos ver que b < P/2 y que a < P/2.

Para resolver el problema planteado, deberíamos encon-trar el máximo de la función:

g a b cP P

aP

bP

c

a b cP P P

1 2 2 2 2

02

02

02

( , , )

( , , ) , , ,

= -ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

Œ ÈÎÍ

˘˚̇

¥ ÈÎÍ

˘˚̇

¥ ÈÎÍ

˘˚̇

con

con la ligadura P = a + b + c. Observamos que maximizarg1 es equivalente a maximizar:

g a b cP P

aP

bP

c2 2 2 2 2( , , ) = -Ê

ËÁˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

Calcularemos entonces los extremos de la función:

g a b cP P

aP

bP

c

a b cP P P

1 2 2 2 2

02

02

02

( , , )

( , , ) , , ,

= -ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

Œ ÈÎÍ

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¥ ÈÎÍ

˘˚̇

¥ ÈÎÍ

˘˚̇

con

con la ligadura P = a + b + c.

g b cP P

b cP

bP

c

b cP P

( , )

( , ) , ,

= - + +ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

-ÊËÁ

ˆ¯̃

Œ ÈÎÍ

˘˚̇

¥ ÈÎÍ

˘˚̇

2 2 2 2

02

02

con

La existencia del valor máximo de la función g está ase-gurada por el teorema de Weierstrass ya que g es una fun-ción continua en un conjunto compacto del plano.

Analizaremos los puntos críticos interiores del dominio dela función y posteriormente los de la frontera.

Empezamos pues, buscando los puntos críticos de la fun-ción g en (0,P/2) ¥ (0,P/2). Como:

∂∂

= + - -

∂∂

= + - -

g

bb c

P b c P c P

g

cb c

P b c P b P

( , )( )( )

( , )( )( )

2 2

42 2

4

y en consecuencia el sistema:

∂=

∂=

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

g

dbb c

g

dcb c

( . )

( . )

0

0

tiene como únicas soluciones los pares (0, P/2), (P/3, P/3),(P/2, 0) ó (P/2, P/2).

En consecuencia el único punto crítico de la función g en(0, P/2) ¥ (0, P/2) es (P/3, P/3).

La frontera de (b, c) Œ [0, P/2] ¥ [0, P/2] está formada porlos cuatro segmentos: b = 0 con 0 ≤ c ≤ P/2, b = P/2 con0 ≤ c ≤ P/2, c = 0 con 0 ≤ b ≤ P/2, c = P/2 con 0 ≤ b ≤ P/2.

Así el estudio de los puntos donde las funciones reales deuna variable real siguientes alcanzan sus extremos:

t c g cP P

c c P

t c gP

c P

t b g bP P

b b P

t b g bP

1

2 2

2

3

2 2

4

04 2

0 2

20 0 0 2

04 2

0 2

20 0

( ) ( , )

( ) ,

( ) ( , )

( ) ,

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ˆ¯̃

£ £

= ÊËÁ

ˆ¯̃

= £ £

= = - -ÊËÁ

ˆ¯̃

£ £

= ÊËÁ

ˆ¯̃

=

si

si

si

si ££ £b P 2

nos llevará considerar los puntos (0, 0), (0, P/2), (P/2, 0)y (P/2, P/2). teniendo en cuenta que:

gP

gP

gP

gP P

gP P P

( , ) ; , ; ,

, ; ,

0 016

02

02

0 0

2 20

3 3 432

4

4

= - ÊËÁ

ˆ¯̃

= ÊËÁ

ˆ¯̃

=

ÊËÁ

ˆ¯̃

= ÊËÁ

ˆ¯̃

=

99

el máximo absoluto de la función g será: la función n será decreciente en [3, ∞ ) y además:

P 4

432

obtenido para b = P/3 y c = P/3. En consecuencia será a= P – P/3– P/3 = P/3.

Por tanto el triángulo de perímetro P de área máxima seráel triángulo equilátero de lados P/3.

¿Qué relación existe entre las áreas de dos polígonos regularescon distintos lados e igual perímetro P?

Según vimos en el número 37 de SUMA, el área de unpolígono regular de n lados y perímetro P es:

P

nn

2

4 ◊ tg p

Consideramos la función real de variable real:

g xP

xx

x( ) [ , )=◊

Œ •2

43

tgcon

p

que es continua y derivable. Veamos que la función g escreciente en [3, ∞ ). Para ello comprobaremos que g ’(x) > 0si x Œ [3,∞ ):

g xP

xx

Px

x

xx x

xx x x x x

x x x x

' ( )

cos cos

= -◊

+◊

= ¤

- ◊ + ◊ = ¤

- ◊ ◊ + = ¤ ◊ = ¤

◊ = ¤ =

2

2

2 2

3

2

4 40

0

0

1

2

2 2 2

ctg cosec

ctg cosec

sen sen

sen sen

p p p

p p p

p p p p p p

p p p p

Veamos ahora que no existe x Œ [3, ∞ ) que satisfaga la últi-ma ecuación. Para ello consideramos la función:

n xx x

x( ) [ , )= - Œ •2 23

p psen para

Derivando tenemos:

n xx

xx

x xm m

' ( ) = - +◊

= ¤

- + = ¤ =

22

2

0

12

02

2

2 2

p p p

p p p

cos

cos con entero

es decir si x = 1/m, siendo m un entero no nulo. Como estono puede ocurrir, tenemos que n ’(x) ≠ 0 para x Œ [3, ∞ ).Puesto que n es continua y derivable en [3, ∞ ) n serádecreciente o creciente.

Como:

lim ( ) ( ) lim ( )x x

n x n xÆ Æ•

= - + > =3

1

63 3 4 0 0p y

n xx x

x( ) [ , )= - > Œ •2 20 3

p psen para

En consecuencia g ’(x) ≠ 0 para x Œ [3, ∞ ), y por tanto lafunción continua y derivable g será creciente o decrecien-te en [3, ∞ ).

Como:

lim ( ) , lim ( )x x

g xP

g xP

Æ Æ•= =

3

2 2

12 3 4p

y

P P2 2

12 3 4<

p

la función g será creciente en [3, ∞ ).

En consecuencia si n1 < n2 son dos números naturales,entonces g(n1) < g(n2), es decir el área del polígono regu-lar de perímetro P con n1 lados es menor que el del polí-gono regular de perímetro P con n2 lados.

OR QUÉ COMPRAMOS un periódico y no otro? ¿Cuál es la razón de queveamos más esta cadena de televisión que la otra? ¿Y por qué tenemospresintonizadas algunas emisoras de radio? Seguro que todos tenemosalguna respuesta a esas preguntas, aunque lo más fácil es que sean gené-ricas en la mayoría de los casos y en bastantes tengan que ver con algu-na opción política. Pero puede ser que nuestros alumnos y alumnas ten-gan unas opciones «heredadas» de la familia (hasta que toman posesióndel mando a distancia al menos) o no sean capaces de cuantificarlas deninguna manera.

Tanto para unos como para otros, pero sobre todo en el caso de los másjóvenes, puede ser de interés tener modelos para comparar los medios,para así poder decir de forma cuantificada las razones de nuestros gus-tos. Y para poner de manifiesto que una de las tareas fundamentales delas matemáticas es proporcionar modelos para analizar la realidad (de losmedios de comunicación en este caso). No vamos a dar un modelo cerra-do de protocolo para comparar medios (lo que sería una plantilla del tipode las que utilizan las empresas de encuestas), sino algunos aspectosrelevantes (o al menos que se pueden tener tener en cuenta) para quecada uno, a partir de ese menú, y añadiendo otros ingredientes, si losecha en falta, pueda confeccionar su propio instrumento de análisis. Noslimitaremos a la prensa y la televisión.

Periódicos

Vamos a ir citando una serie de apartados que se pueden considerar,haciendo además comentarios relativos a otras posibles utilizacionespedagógicas de los mismos (marcadas con el símbolo ∆).

• Tamaño del periódico. Primer aspecto que se percibe. En nuestropaís tienden todos al tamaño tabloide, con desplazamientos hacia lamedia de los más alejados (como podrían ser ABC creciendo y elanterior formato de Heraldo de Aragón menguando). Pero, ¿tambiénson así en otros países? Desde luego que no. Sería interesante unainvestigación al respecto, al menos en los países cercanos a noso-tros, y que se puede realizar con más facilidad con el auxilio deInternet.

101

Comparar medios

Fernando Corbalán

M A T E SY

M E D I O S

P

42

febrero 2003, pp. 101-103

102

∆ También se puede tomar la superficie del periódi-co como unidad para medir superficies (resaltan-do con esa unidad inusual que medir es compa-rar). / Investigar a partir de sus dimensiones cómotienen que ser las bobinas de papel a partir de lasque se edita. / Ver si sólo se puede tirar el perió-dico de una forma o hay varias/...

• Tamaño relativo de titulares y texto. Constatar quealgunos periódicos son «todo titulares» y otros sólo tie-nen «letra», y entre ambos hay todos los posiciona-mientos posibles. ¿Da lo mismo o hay preferencias?

∆ Tratar de la importancia relativa de cada parte enuna superficie.

• Fracciones periódicas (o porcentajes periódicos si seopta por el procedimiento habitual en los medios),que poco tienen que ver con el concepto ya acuñadopor los egipcios, y que quieren indicar una forma demedir en los periódicos diferentes aspectos: páginascon publicidad, con fotos o gráficos, de servicios (car-telera, museos, actos…), etc., o cualquier aspecto quese considere interesante.

∆ Se puede aprovechar para realizar las equivalen-cias entre fracciones y porcentajes, tan necesariascomo poco interiorizadas (¡con tantos algoritmoscomo se llega a automatizar en la enseñanza!).

• Unas fracciones periódicas especialmente importantesson las que cuantifican cada una de las posibles sec-ciones (política, internacional, cultura, economía,deportes…), que son un buen elemento para compa-rar la importancia relativa que se les da a cada tema.

∆ Quizás este apartado permitiría distinguir entre losllamados periódicos «nacionales», «regionales» y«locales» (con terminología todavía sin adaptar alestado de las autonomías). Y tal vez se aprecie queen bastantes se cumple una especie de ley noescrita de las redacciones: los periodistas que«mandan» son los de deportes.

• Número de suplementos semanales. Cuyo aumentonos indica que los periódicos han cambiado su «papel»(han pasado de dar las noticias –que ahora propor-cionan la radio o la televisión– a comentarlas), ade-cuándose a la cambiante realidad.

∆ Eso nos debería hacer pensar en si los enseñantestambién nos tomamos en serio el proceso de«reconversión», puesto que la mayoría de la infor-mación que tienen que procesar nuestros alumnosno se la proporcionamos en el sistema educativo.

• Cantidad y contenido de los suplementos en color.Que puede hacernos detectar un proceso de disputadel territorio a las revistas del corazón, verdaderofenómeno nacional (y hasta producto de exportación)

y que al no estar en los periódicos hacen que bordee-mos la frontera del subdesarrollo en el consumo deperiódicos (10 por cada 1000 habitantes según laUNESCO).

∆ Un ejercicio interesante es comparar en ellos elporcentaje dedicado a publicidad en diferentesépocas del año (en Navidad parece que los artícu-los son la excusa para poder editar un folletopublicitario)./ También es posible comparar con lastiradas de los periódicos en otros países de nuestroentorno y ver el tipo de los de mayor tirada.

Además de todo lo anterior, por supuesto que se eligenperiódicos por su adscripción ideológica (o política) ysegún se prefiere lo cercano o lo lejano, continuar con losperiódicos de siempre (si no han desaparecido) o variar…

Y no hay que olvidar, sobre todo en clase de matemáticas,los periódicos deportivos, correlato «masculino» de la pren-sa del corazón y (casi) los únicos periódicos que algunavez, tras un evento destacado, se ven por las clases.Porque además de ser de gran interés para el alumnado(también femenino cada vez más) son una fuente de inte-resantes matemáticas, sobre todo de estadística y gráficos,que aparecen con profusión en sus páginas.

Televisión

La televisión es de todos los medios el de mayor interéspara nuestros estudiantes; no sé si también para el profe-sorado. Aunque para «nosotros» (los profes) no suele ser elmedio de estudio preferido, porque en la prensa nos sen-timos más «superiores» (quizás porque su análisis es másparecido a la práctica escolar habitual).

Es un medio muy vivo y en permanente cambio y aco-modación a las «necesidades» del consumidor (o creandonuevas para correr a llenarlas), de forma que en pocosaños se ha pasado de una sola televisión a varias genera-listas y después (por parabólica aislada o de plataformas opor cable) a una oferta tan desaforada de canales con untema único («temáticos») que el problema es, por un lado,enterarse de la oferta y, por otro, tener tiempo para poderver lo que interesa. Un asunto curioso es constatar quecuando sólo había una cadena nos quejábamos de su cali-dad..., y lo mismo sigue pasando ahora que hay muchas.Una muestra más de que la cantidad no es sinónimo deavance.

Si nos limitamos a las cadenas generalistas (intentar com-parar las otras es un intento vano) se pueden utilizar unasfracciones del mismo tipo que en la prensa (aquí seríantelevisivas) aunque en este caso las secciones que habríaque comparar serían diferentes (noticias, documentales,series de ficción, películas, deportes…), con una atenciónespecial al tiempo dedicado a publicidad (y los subterfu-gios para encubrirla). Para calcularlas se pueden utilizar

103

las programaciones que aparecen en los periódicos (conlo que matamos dos medios de un tiro), pero hay unaforma de hacer comparaciones inmediatas (algo que lasnuevas generaciones aprecian tanto) y que nuestros alum-nos y alumnas ya conocen de sobras: el «zapping».

Con su práctica sistemática se puede ver lo iguales queacaban siendo en una primera aproximación todas lascadenas (parece que todas se ponen de acuerdo en emitiranuncios a la misma hora) pero que quizás no lo son tantosi se profundiza más. Y para eso sirven los modelos, parapoder aportar datos de las diferencias. Como estos temascambian es cuestión de investigar los intereses de losalumnos y alumnas y diseñar los temas tratados y tipos de

programas que se pueden estudiar (concursos y tipos delos mismos; series para adolescentos o mayores; progra-mas de música joven…).

Final

Y para acabar, creo que es conveniente aprovechar cual-quier aproximación a los medios para propiciar que nues-tros estudianters vean que las diferentes partes de lasmatemáticas (números de distinto tipo, funciones y gráfi-cas, geometría, estadística…) tienen una presencia impor-tante en ellos. Que constaten, en definitiva, que las mate-máticas son importantes fuera del aula, en la vida.

CONVOCATORIA DEL CARGODE SECRETARIO/A GENERAL DE LA FESPM

El Estatuto de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas(FESPM) establece, en su artículo 11, los cargos unipersonales, entre los cuales se contem-pla la secretaría general, cuyas funciones están recogidas en el artículo 21 del citado esta-tuto. A su vez, el Reglamento de la FESPM especifica en el artículo 8 los requisitos exigidospara este cargo, así como el procedimiento de elección.

La Junta de Gobierno de la FESPM, en la reunión celebrada en Madrid el día 8 defebrero de 2003, ha decidido convocar la Secretaría General en los siguientes términos:

Podrá ser candidato a la Secretaría General cualquier Socio de una Sociedad Fede-ra-da, con una antigüedad mínima de dos años.

La solicitud dirigida a la Presidencia de la Federación, deberá ir acompañada dela siguiente documentación:

a) Certificado en el que conste su condición de Socio activo de una Sociedad Fede-rada y su antigüedad.

b) Una memoria de un máximo de tres folios, a doble espacio y por una cara, enla que exponga su posible programa de actuación al frente de la SecretaríaGeneral

Las candidaturas podrán presentarse de cualquiera de las formas siguientes, tenien-do en cuenta los plazos que en cada caso se señalan:

A) Por correo postal, hasta el 20 de junio de 2003, dirigido a:SR. PRESIDENTE DE LA FESPMSociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas P. Sánchez CirueloICE Universidad de ZaragozaC/ Pedro Cerbuna, 12 – 50009 - Zaragoza

B) Por correo electrónico hasta el 22 de junio de 2003. En tal caso el mensaje sedirigirá a: fvillarroya@able.es

La Junta de Gobierno de la FESPM elegirá al Secretario/a General, para un perio-do de 4 años, entre los/as candidatos/as presentados/as en su reunión del día 3 de juliode 2003. Previamente a la elec-ción, la Junta de Gobierno oirá a la Sociedad a la que per-tenezca cada uno de los/as can-didatos/as. Una vez decidida la elección se comunicaráoficialmente a las Sociedades Federadas, y a la persona elegida.

Madrid, a 8 de febrero de 2003José Luis Álvarez García Secretario General

STE JUEGO consta de 40 tarjetas, que en una de sus caras tienen una pre-

gunta y en la otra una respuesta que no corresponde a la pregunta que

le acompaña.

Reglas del juego

Se entrega una tarjeta a cada alumno de la clase. Si sobran tarjetas se

reparten a criterio del profesor pues todas las tarjetas han de formar parte

del juego. Se sigue la siguiente dinámica:

a) Un alumno, elegido al azar, lee la pregunta que figura en su tarjeta,

comenzando por la frase “¿Quién tiene...?”

b) El alumno que posea en su tarjeta la respuesta a esa pregunta la lee

en voz alta, comenzando con las palabras “Yo tengo...”

c) A continuación el alumno que ha respondido da la vuelta a su tarje-

ta y formula la pregunta que figura en ella.

d) El proceso se sigue hasta que se cierra el circuito, lo que sucede

cuando responde a la última pregunta el alumno que lanzó la pri-

mera pregunta.

Puntualización

Si al terminar de cerrarse el circuito, quedasen tarjetas sin utilizar (algo

más corriente de lo que parece) es debido a que en algún momento no

se ha dado la respuesta correcta a la pregunta. Es aconsejable localizar

donde ha ocurrido el fallo.

105

¿Quién tiene…? Yo tengo…

Grupo Alquerque*

J U E G O S

E

42

febrero 2003, pp. 105-110

* Los componentes del Grupo Alquerque de Sevilla son Juan Antonio Hans Martín(C.C. Santa María de los Reyes), José Muñoz Santonja (IES Macarena), AntonioFernández-Aliseda Redondo (IES Camas), José Blanco García (IES Alcalá del Río) yJosefa M.a Aldana Pérez (C.C. Inmaculado Corazón de María —Portacelli—).

106

Tarjetas

En el ejemplo que presentamos en las páginas que siguen,cada tarjeta tiene su anverso (donde figura una pregunta)y su reverso (con una respuesta), separados por una líneade puntos. Si las tarjetas parecen demasiado pequeñas, sepuede hacer una fotocopia ampliándo la página hasta unA3. Cada hoja se corta por la mitad y cada una de las mita-des se dobla por la línea de puntos central y de esa mane-ra las dos caras quedan opuestas. A continuación se pegany se recortan quedan formadas las tarjetas. Si estas dospartes se hacen por separado conviene pegarlas. En cual-quier caso conviene plastificar las tarjetas una vez recorta-das, lo que permite utilizarlas muchas veces.

Aclaraciones

Hemos presentado un juego de contenidos geométricos,pero es posible construir juegos equivalentes en cualquierotro bloque. La forma más fácil de construir las tarjetas esescribir una pregunta y en la tarjeta siguiente escribir larespuesta correspondiente, así hasta el final, en el que larespuesta a la pregunta de la última tarjeta se colocaría enla primera tarjeta.

El número de tarjetas puede ser el que se desee; bastahacer más o menos preguntas con sus respuestas.

El objetivo de la actividad es realizar un repaso rápido delos conceptos estudiados en un determinado bloque.

Como la realización de la actividad requiere poco tiempo,en una sesión de clase se puede jugar varias veces, bara-jando las tarjetas y repartiéndolas de nuevo, con lo quecada alumno tendrá que responder a preguntas distintas.

Es posible encontrar versiones de este juego para otrosbloques en los libros reseñados en la bibliografía.

BibliografíaGARCÍA AZCARATE, ANA (1999): Pasatiempos y juegos en clase de

Matemáticas. Números y álgebra. Ediciones UAM, Madrid.

GRUPO AZARQUIEL: En dos palabras. Colección Matemáticaspara Secundaria. Editorial S.M., Madrid.

GRUPO AZARQUIEL (1991): Ideas y actividades para enseñarálgebra. Colección matemáticas: cultura y aprendizaje. Ed.Síntesis, Madrid.

Pregunta 1¿Quién tiene…?

Respuesta 40Yo tengo…

Pregunta 2¿Quién tiene…?

Respuesta 1Yo tengo…

Pregunta 3¿Quién tiene…?

Respuesta 2Yo tengo…

Pregunta 40¿Quién tiene…?

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107

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IN DUDA, a Pitágoras le debemos el nacimiento de las Matemáticascomo ciencia. De hecho, el término Matemáticas se le atribuyenormal-mente a él.

Podemos resumir la deuda de la Humanidad con los pitagóricos en estoscuatro puntos:

• Proporcionan la primera visión cosmológica del universo físico.

• Afirman que la esencia del mundo físico es matemática.

• Colocan el número natural como origen, fundamento y explicaciónde todas las cosas.

• Son los responsables de la organización del saber en las cuatroramas que perdurarán hasta los tiempos de Newton: Aritmética,Geometría, Música y Astronomía. El famoso cuadrivium medieval.

Pero los matemáticos les debemos algo más importante: el nacimiento de laTeoría de Números. Filolao, un siglo después de Pitágoras, llegó a afirmar:

Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible quesin número nada pueda ser conocido ni concebido.

111

Teoría de números en Internet

Antonio Pérez Sanz

RECURSOSEN

INTERNET

S

42

febrero 2003, pp. 111-114

En este rincón vamos a realizar una excursión por algunaspáginas de Internet dedicadas a la Teoría de Números ynos vamos a detener preferentemente en páginas en cas-tellano.

Nuestra primera y casi obligada visita es a la página titula-da «Teoría de Números» de X. Xarles

http://usuarios.lycos.es/somriure/index.htm

No es una página con grandes alardes de presentación visual,pero en cambio es un auténtico tesoro de contenidos arit-méticos. En ella encontramos 10 apartados, como el tetractis,no podía ser otro número, cada cual más interesante:

• ¿Qué es la teoría de números? Muy breve historia dela teoría de números.

• Las ternas pitagóricas.

• Algunas conjeturas para números primos.

• Las particiones de un número.

• Fracciones continuas.

• ¿Que números son resta de un cuadrado menos uncubo?

• ¿Cuantos números primos hay? (El postulado deBertrand).

• ¿Son 8 y 9 las únicas potencias consecutivas? (La con-jetura de Catalán).

• Una breve introducción a la aritmética modular: lascongruencias.

• Enlaces.

En ella no encontraremos una visión enciclopédica de lahistoria de la teoría de números pero, al menos, podemosdisfrutar de pequeñas chispas que hacen de la aritméticala rama de las matemáticas más compleja, pero a la vezmás asequible a un público amplio.

Encontraremos teoremas, como éste:

Teorema: La fracción continua asociada a r es periódica siy sólo si r es solución de una ecuación de segundo grado(que usualmente se les llama cuadráticas).

Una aproximación interesante a las principales conjeturassobre números primos, un pequeño viaje por un tema hoyolvidado, el de las fracciones continuas; y una breveexcursión a los principios del siglo XIX de la mano deGauss y de sus congruencias. Con resultados e informa-ciones siempre actuales e interesantes. Muchos opositoresde secundaria agradecerán un paseo por esta página.

Dario Alpern desde Argentina nos regala otra brillantecolección de resultados clásicos sobre teoría de Números,esta vez acompañados de pequeños applets de Java paraobtener resultados numéricos concretos. (Por cierto algu-nos de estos applets tiene dificultades de funcionamiento).

http://www.alpertron.com.ar/TNUMEROS.HTM

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En su página encontramos estos apartados:

1. Resolución de ecuaciones cuadráticas en dos varia-bles enteras: Calculadora que permite resolver laecuación diofántica ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0donde las variables desconocidas x e y tienen la res-tricción que deben tomar valores enteros solamente.Hay dos modos de ejecución: Sólo solución (dondese muestran los resultados) y Paso a paso (donde semuestra cómo se hallaron dichos resultados).Realizado en Java/Javascript.

2. Resolución de ecuaciones cuadráticas modulares:Calculadora que resuelve ecuaciones de la formaax2 + bx + c = 0 (mod n). Actualizado el 2 de mayode 2002.

3. Suma de potencias: Tabla de relaciones de la forma ap

+ bq = cr con mcd(a, b, c) = 1.

4. Espiral de Ulam: Applet Java que muestra una repre-sentación gráfica de los números primos. Modificadoel 10 de noviembre de 2000.

5. Factorización usando curvas elípticas: Applet capazde encontrar factores de 20 o 30 dígitos de númeroso expresiones numéricas de hasta 1000 dígitos.Calcula además la cantidad y suma de los divisores, elindicador de Euler y la función Moebius del númeroy su descomposición como suma de hasta cuatro cua-drados perfectos.

6. Factorización de enteros gausianos: Applet capaz deencontrar factores de números complejos de la formaa + bi donde a y b son enteros. Incluye una calcula-dora que permite calcular expresiones que incluyenoperadores y funciones con enteros gausianos.Actualizado el 1 de junio de 2002.

7. Calculadora de logaritmos discretos: Applet que calcu-la el exponente en la expresión BaseExponente =Potencia (mod Módulo). Actualizado el 31 de marzode 2002.

8. Calculadora de fracciones continuas: Permite hallar eldesarrollo en fracciones continuas de números racio-nales y de irracionalidades cuadráticas. Actualizado el28 de abril de 2002.

9. Todo entero positivo es la suma de cuatro cuadradosperfectos: Demostración constructiva de este teoremainteresante. Actualizado el 5 de octubre de 2001.

10. Suma de cuadrados: Esta calculadora halla la des-composición de un número o expresión numérica enuna suma de hasta cuatro cuadrados. No necesita lafactorización en números primos. Actualizado el 1 dediciembre de 2002.

11. Números brillantes: Problema interesante sobre pro-ductos de dos números primos del mismo tamaño.

12. Factores de números de Fermat modificados: Factoresde números de la forma 43n+23n+1 y 43n–23n+1.

13. Factores de números cercanos a googolplex: Factoresde números en el rango 1010100 a 1010100 + 999.

Carles Pina nos brinda en su página un estudio curioso,con software incorporado, sobre las terminaciones de los

En ella encontrarás información sobre el mayor númeroprimo conocido en la actualidad, pero además podrás dis-frutar de una amplia información sobre los distintos tiposde números primos, curiosidades sobre los más grandes,conjeturas, resultados teóricos, historia, personajes...

Los primos de Sophie Germain

Si los números p y 2p + 1 son primos entonces p es unprimo de Sophie Germain. En apariencia no son especial-mente interesantes, salvo por el hecho de que gracias a ellola célebre matemática francesa dio un notable impulso a lademostración parcial del Último Teorema de Fermat.

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números primos. Y junto a ello un programa para decidirsi un número es primo o compuesto.

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/

Launchpad/2208/index.html

Si estas dispuesto a utilizar el idioma inglés, es obligada lavisita a la web con la información más exhaustiva sobretodo tipo de números primos:

http://www.utm.edu/research/primes/.

Si quieres más información sobre el tema no dejes de visi-

tar esta página:

http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/

SophieGermain.html

Por cierto si quieres información sobre la demostración del

Último Teorema de Fermat te sugiero que visites esta web:

http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/

articulos/articulo1.html

Y para terminar esta pequeña excursión por el mágico

número de los números naturales, yo también he querido

poner mi granito de arena en la divulgación de esta apa-

sionante rama de las Matemáticas, si quieres información

sobre las diversas aportaciones al estudio de los números

poligonales o figurados a lo largo de la historia no dejes de

visitar esta dirección:

http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4/numeroshtml/

numeros.htm

Te sorprenderá la larga lista de matemáticos notables que a

lo largo de más de dos mil años se han sentido atraídos por

estos «ingenuos» números.

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URANTE ESTAS NAVIDADES, la tragedia del Prestige ha puesto de mani-fiesto el imposible sincretismo entre la actual concepción del progreso yla ecología. El prestigio occidental basado en la ciencia, el desarrolloindustrial, y el petróleo como fuente de energía, se partía en dos destru-yendo sin escrúpulo parte de los pocos recursos naturales que este neo-liberalismo no ha confiscado todavía.

La acumulación de beneficios por parte de las empresas, convertida pri-mero en axioma y más tarde en dogma, las ha dejado fuera de la corrien-te de solidaridad que ha catapultado la conciencia ciudadana2. Al final,la juventud, y esto no es cuestión de edad fisiológica, desabastecida deprotección social y justicia distributiva, vestida de un impoluto blanco,recogía los excrementos del liberalismo económico con sus propias ma-nos, para salvaguardar algún principio ético de esos que nos negamos aentregar en derrota. Un buen momento, no más que cualquier otro, parapreguntarnos qué es el progreso y, como esto va de historia, para bus-car una aproximación parcial3, y tendenciosa ¡por supuesto!, que dé res-puesta a la, para algunos, omnipresente pregunta de ¿qué polvos traje-ron estos lodos?

Un lenguaje universal

Hace unos días, mientras releíamos ese excelente compromiso con laeducación que constituye el manifiesto de La Gomera4, nos encontramoscon la afirmación de que había que aprovechar el carácter universal dellenguaje matemático desde un punto de vista intercultural... y, por unmomento, pasaron por la cabeza los y las Dai Chin, Jamila, Cristian,Fawda, Hasna, Hasania, Latifa... que pueblan nuestros centros, y pensa-mos en comprarnos un traje blanco con sombrero a juego... Y es que, laenseñanza de la Matemáticas es tan fina, tan delicada, tan inmaculada, ...tan ... perfecta, que no la pringan ni el chapapote de las medidas que lasdistintas administraciones están aplicando para atender la multiculturali-dad. Un problema, en apariencia distinto al del epígrafe anterior, peroque en el fondo no es otra cosa que una consecuencia más del colonia-lismo occidental.

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Hacer de las Matemáticasun lenguaje verdaderamenteuniversal

Ángel Ramírez MartínezCarlos Usón Villalba

D E S D EL A

H I S T O R I A

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febrero 2003, pp. 115-119

A la memoria de Ilona Lackova1

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Pero, y perdonad este irrespetuoso trato coloquial: ¿Dequé vamos? ¿Las Matemáticas un lenguaje universal? ¿Cuáles el reducido universo de expertos al que nos referimos?Nos negamos a pensar que una afirmación tan sentida ygeneralizada sea producto de una consciente demagogia,o de una interiorizada ceguera que nos impide ver estadisciplina, desde el punto de vista de su enseñanza, comouno de los instrumentos favoritos del positivismo occiden-tal. ¿De verdad alguien cree que la extracción social, cul-tural, étnica... no condiciona las Matemáticas que interesana nuestras alumnas y alumnos, e incluso las que son capa-ces de crear? Más aún, transcurridos un par de años desdeque se abandona la enseñanza obligatoria ¿alguien piensa,en serio, que una ecuación de segundo grado o un poli-nomio es un punto de encuentro universal?, ¿para cual-quier ciudadano?, y si lo piensa... ¿en qué sentido, en susemántica o en su sintaxis? La situación es suficientemen-te inquietante para que nos planteásemos el inaplazableproblema de construir unas matemáticas inclusivas, comoprimer paso hacia una sociedad intercultural. Esa ha sidonuestra preocupación de fondo cuando, a lo largo de estosartículos, hemos insistido en destacar las relaciones entrela historia de las Matemáticas y el mundo islámico.

Desde estas páginas hemos reivindicado el mestizaje cul-tural y el honor de haber participado, desde la Península,en ese momento álgido del desarrollo científico y filosófi-co que marcó de forma tan decisiva el devenir posteriordel mundo occidental. Es ahora el momento de reflexio-nar sobre esa particular evolución que nos ha situado fren-te a la catástrofe del Prestige y nos abocará, si no lo reme-diamos antes, a una confrontación interétnica en nuestrasaulas. Dos caras, sin más, de una misma moneda.

Una reflexión necesaria, porque, si de construir una socie-dad intercultural y una escuela inclusiva se trata, tanimportante es saber lo que nos une con otras civilizacio-nes como identificar de qué se alimenta nuestro etnocen-trismo: ese núcleo duro de la propia cultura, excluyente ydogmático, que es fundamento y cuna de nuestro propiointegrismo. Y ese análisis nos sitúa en 1492, un crucialmomento en el que occidente comienza su colonialismoamericano y se inicia el destierro definitivo de la culturamusulmana de territorio hispano. ¿Qué pasó a partir de ahíy qué papel jugaron las matemáticas en el proceso?

Aritmética y capitalismo

El protagonismo de las aritméticas mercantiles sería muypeculiar puesto que contribuyeron a eliminar de las con-ciencias de las autoridades eclesiásticas, y de la propiaburguesía, los problemas éticos imputables al concepto delucro. El intercambio comercial fue imponiendo, poco apoco, un liberalismo de precios tan salvaje y descarnado

que llevó a los clérigos del siglo XVI a clamar contra lausura5, en una actitud que fue pasando desde la total orto-doxia de la prohibición a la dulcificación progresiva de lacondena. Alegaron primero la hipótesis del riesgo mer-cantil y formularon más tarde una teoría sobre la balanzade pagos que acabó por justificarla. No en vano los comer-ciantes eran, con sus dádivas, una de las principales fuen-tes de financiación de la Iglesia6.

El modelo de capitalización de la riqueza había roto lasrestricciones feudales, abriendo paso al convencimientode que era posible un desarrollo ilimitado en el que lanavegación jugaba un importante papel. Pero su impor-tancia dependía de que se fuera capaz de resolver dosserios problemas7: el uso de cartas marinas y la determi-nación de la longitud. Los portulanos habían revelado suescasa utilidad en mares abiertos y en grandes distanciaspor su particular sistema de proyección doble de paralelosy meridianos, por un lado, y rumbos fijos por otro. Lasolución matemática llegaría, en 1569, de la mano deGerhard Kramer (Mercator) y de los logaritmos. El proble-ma de determinar la longitud lo resolvió, de forma defini-tiva, el cronómetro marino, aunque no fuese una realidadhasta 1770.

Pese a lo que pudiera parecer por los párrafos anteriores,y a que a finales del siglo XVII se daban ya las condicio-nes para el posterior desarrollo del modo de produccióncapitalista, sería erróneo pensar que la fuerza impulsora dela ciencia en este siglo era exclusivamente utilitaria.Mantenía aún el prestigio de la filosofía del mundo anti-guo, que se había encargado de potenciar el Renaci-miento, y conservaba todavía el título de filosofía natural.Pero, con todo ello, el siglo XVIII vería nacer tres cienciasaplicadas: la Geodesia, la Astrometría y la Mecánica celes-te. Según Bernal (1967), «el nacimiento de la [nueva] cien-cia se produjo inmediatamente después que el del capita-lismo», con él «la idea de progreso, tan extraña a la men-talidad medieval, […] emprendió su triunfante carrera».

Las matemáticasy la revolución burguesa

En Inglaterra, la ciencia, tras someter con Newton la natu-raleza al dictado del álgebra, había iniciado un caminoque la llevaría a convertirse en la enseña de la nueva civi-lización industrial. Y, sin embargo, como muestra el ejem-plo de la máquina de vapor, la Revolución Industrial fuemás un producto de cambios tecnológicos y de la trans-formación del sistema económico, del capitalismo, que deldesarrollo científico. Pero, mientras tanto ¿qué hacían losmatemáticos en ese siglo al que Boyer, bajo la perspectivade esta disciplina, definirá como un prosaico interludio?Nada más sencillo, hacer realidad aquella frase que

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Napoleón I todavía no había pronunciado: «El progreso yel perfeccionamiento de la matemática están íntimamenteligados a la prosperidad del estado». En Francia, concreta-mente, preparar primero y desarrollar después laRevolución8 de 1789. La mayoría de ellos tuvieron unaparticipación tan activa9 que, aunque pueda parecer exa-gerado, estableceremos una comparación con la de LeónTrostky en la Revolución Rusa.

Según describe él mismo, Trostky participó en el levanta-miento de Octubre y en el Gobierno de los Soviets, fueComisario del Pueblo para las relaciones exteriores y mástarde Comisario de Guerra y Marina, para pasar después ala organización del ejército y los ferrocarriles. El resto desu tiempo lo dedicó a la militancia y a escribir. LazareCarnot, por ejemplo10, formó parte de la Asamblea Legis-lativa de 1791 y fue presidente de la Convención de 1792.Impulsó la creación del Comité de Salud Pública y, en rea-lidad, fue el artífice principal de las victorias de los ejérci-tos revolucionarios. En 1800 fue nombrado Ministro de laGuerra y en 1802 miembro del Tribunado. Como Generalde División defendió la plaza de Anvers en 1814. Despuéssería nombrado ministro del Interior y miembro del Go-bierno Provisional tras la caída del Emperador. Y, comoTrostky, terminó su vida política en el exilio.

Y es que «La estructura de la sociedad marca los cuadrosde la creación científica, la forma exterior de su trabajo,una cierta moda en la elección de los temas y de la mane-ra de presentarlos. Estas interacciones son más fácilmentevisibles en las épocas, donde las pasiones son más fuertesy la vida más intensa» ...pero existen siempre, tanto si sequiere, como si no, ser consciente de ellas. Cerrar los ojos,enrocarse en el platonismo del conocimiento puro paraque el torreón de marfil de la neutralidad te proteja de lasmiserias del mundo real, es una forma, como otra cual-quiera, de situarse al servicio de las ideas dominantes.También desde nuestra labor de profesores.

Pero, en esta breve descripción de la forma en que lasMatemáticas han contribuido a dar el largo salto que vadesde la apuesta por la racionalidad de Averroes hasta elpositivismo deshumanizador de Comte, debemos hacerreferencia a un hito que es, en sí mismo, el símbolo de laglobalización11. Se trata, evidentemente, del nacimientodel metro y de la consiguiente implantación del SistemaMétrico Decimal.

La unificación de las medidas tradicionales fue una nece-sidad de las monarquías absolutistas, imprescindible parauna eficaz organización del Estado y para controlar losimpuestos. Los jacobinos, por su parte, propusieron unamétrica en base diez que acabase con el modelo duodeci-mal y con cualquier otra referencia al pasado. Pero elrequisito de uniformidad e internacionalización fue unaexigencia del desarrollo industrial. Y es que, aquella pro-puesta de Talleyrand a la Asamblea Nacional de propor-

cionar a tous les temps et a touts les peuples un prototipométrico tomado de la naturaleza, era cualquier cosamenos inocente e ingenua.

Las nuevas medidas significaban un profundo cambio delas relaciones sociales. Pero no soólo eso: los geodestasfranceses, ante el elevado costo de sus investigaciones, notuvieron el más mínimo reparo en justificar sus peticioneseconómicas con argumentos como: Un buen mapa permi-tiría conocer mejor la posición de los soldados en la bata-lla. Ciertamente, una cartografía precisa eliminaba los pro-blemas de reconocimiento del terreno antes de la invasióny posibilitaba el poder situar con exactitud las fuentes demateria prima y construir las vías necesarias para explo-tarla. En resumen, una correcta planimetría podía facilitara Francia conquistar el mundo. Y es que, en palabras deBiot: «...la ciencia también tiene su política: algunas veces,para servir a los hombres, se necesita acudir al engaño».

En brazos del positivismo

Estamos, por tanto, en la época del metro, que es comodecir de la tríada ciencia-poder-colonialismo. Bajo el influ-jo de una sensibilidad que nos lleva de la mano a AugustComte, Stuart Mill y Jules Ferry. La revolución francesa,que cuenta entre sus méritos más indiscutibles el habergeneralizado la educación, elevó también el «cuadrivium»al nivel de los conocimientos básicos. Para entonces,Saint-Simón había transformado el progreso y la razón téc-nica en la nueva religión que ofrecía fundamento y salva-guarda al poder de los industriales: «Las opiniones cientí-ficas, transmitidas por la escuela, deberán cobrar formasque las vuelvan sagradas». ¡Desde luego que lo hemosconseguido! ¡Y con qué eficacia!

La ciencia, entendida como suma de hechos comprobadosy relaciones mensurables entre sucesos cuantificables, notardaría en traspasar los límites de lo material para con-vertir la política en sociología. 1848 conocerá, de la manode Comte, el nacimiento de su Asociación Libre para laInstrucción Positiva y no tardaría en intentar convencer ados de los poderes más conservadores del momento: elzar de Rusia y el visir del Imperio Otomano, de la necesi-dad de apostar por el totalitarismo científico.

El positivismo excluía, por una parte, la posibilidad dereflexionar sobre las causas, porque remitían de nuevo alas tinieblas teológicas de la Edad Media, y, por otra, recha-zaba el análisis de las consecuencias bajo el epítome axio-mático de la bondad del progreso. Evitaba así una con-frontación con el materialismo que le permitía, de paso,conceptualizar la mejora social a partir de una descarada ydescarnada revisión de la esclavitud12. Desde su exclusivis-ta posicionamiento, la primacía racional, científica y técni-ca otorgaba a occidente la condición de raza superior y el

derecho a expandir el nuevo evangelio por la vía del colo-nialismo13. Esa misma dominación imperialista que justificóen cada momento el que Kuwait se desmembrase de Irak,la Guerra del Golfo, la de Afganistán y las que vendrán...

Pues bien, esa concepción positivista de la jerarquía deculturas sirve todavía de fundamento ideológico al con-cepto de integración étnica. No está escrito en el aire delas especulaciones manifiestamente ideológicas: la Ency-clopedia Universalis (1985) resume el concepto de inte-gración en tres principios básicos: aculturización, asimila-ción y dispersión. A través del primero se debe producirla renuncia a la propia cultura y adoptar los usos y cos-tumbres de la dominante (la nuestra, ni qué decir tiene).La asimilación debe garantizar que se ha interiorizado elproceso para que la aplicación de los esquemas del indi-vidualismo occidental consiga atomizar sus comunidades ydisolverlas como un azucarillo en un vaso de leche. Ese esel objetivo utópico de las sociedades industrializadas: quelos inmigrantes-esclavos, como la sacarina, endulcen sindejar huella ni poso. El elevado número de asiladosextranjeros hizo imposible el objetivo de integrar-asimilaren Inglaterra, que apostó por la multiculturalidad. Unmodelo de plato combinado que siempre permite apartartodo aquello que disgusta al paladar exigente.

De vuelta al aula

Pero, cuidado, esos posicionamientos lejos de haber sidosuperados están tan profundamente enraizados en noso-tros como para que, en mitad de la refriega de El Egido,«el menos dogmático de los policías municipales» de lalocalidad, según El País, afirmara que «El problema, estáen la falta de integración de los inmigrantes por los hábi-tos tan especiales que tienen. […] Eso no es racismo. Esun rechazo en cierta manera lógico. Además, puede quenosotros tengamos parte de culpa por no enseñarles nues-tras costumbres en cuanto bajan de la patera».

Ante la disyuntiva, algunos preferimos un modelo inter-cultural donde las personas sean antes que nada ciudada-nos y ciudadanas, y donde el resultado final se beneficie,como en la ensalada, la macedonia o el gazpacho, de laaportación libre del sabor y la textura de sus componen-tes. Y eso tiene profundas implicaciones didácticas. La pri-mera que, dentro del aula y previamente, cuando se orga-nizan los grupos, los chavales son alumnos o alumnasantes que magrebíes, colombianos, chinos o cameruneses.La segunda que hemos de tomar conciencia de nuestroetnocentrismo y luchar desde las Matemáticas y la Tutoríacontra ese primitivismo anulador.

El esfuerzo por desterrar el eurocentrismo nos debe llevara recuperar la memoria histórica acerca de las aportacio-nes de otras culturas que enaltecieron y construyeron la

nuestra, a sentirnos deudores de ellas, pero también aborrar del horizonte de nuestras aulas la mitificación quehemos construido de occidente a base de dotar de nom-bre propio a los teoremas de otros. Por ejemplo, podría-mos empezar, a título simbólico, por llamar teorema delkou-ku14 al de Pitágoras y, a un nivel mucho más profun-do, por apostatar de ese íntimo convencimiento de queformamos parte de una cultura que se autoengendró ynació del exclusivo seno de una virgen griega. Pero, si debuscar una propuesta de trabajo más concreta se trata, osinvitamos a investigar no tanto los orígenes como la este-la que a lo largo de los siglos han ido dejando infinidadde problemas de esos que llamamos clásicos y que, qui-zás por ello, siguen adornando nuestros libros de texto15.

Ahora bien, adoptar una actitud inclusiva supone tambiénnegarse a comulgar con ruedas de molino: no aceptar lascondiciones en que se integra en las aulas al alumnadocon un desconocimiento total de cualquier idioma16 en elcual poder entenderse, ni grupos de más de quince per-sonas que, por retraso escolar, problemas de aprendizajeo de conducta, o por la razón que fuere, requieran unaatención individualizada. Un grupo de esas característicascon un número superior de alumnos, no es una clase, esun gueto.

La universalidad del lenguaje matemático más que unmedio es un objetivo. Más que el principio del cual partir,debería de ser ese puerto al que nunca acabamos de llegar.Y eso no implica, es cierto, grandes modificaciones curri-culares en lo que a conceptos se refiere, pero obliga a unaradical transformación de los procedimientos y a una pro-funda adecuación del modelo evaluador, integrándolo, deuna vez por todas, en el proceso de enseñanza-aprendiza-je. No hacen falta grandes alardes a la hora de definir obje-tivos, ni temibles listados de conceptos, procedimientos,actitudes o criterios de evaluación, basta con tomar comomodelo a seguir a Ibn al-Waqqasi, tal como lo define Sa`idal-Andalusí17, y perseguir la formación de personas «depensamiento sólido y reflexión penetrante». Para ello nisiquiera sería necesario que nuestro alumnado dominaratodas las áreas de conocimiento. Lo que sí sería conve-niente es que aprovecháramos la idea –no tanto los fines–de Mohamed Ábed Yabri (2001) para iniciar, también desdeoccidente, una «crítica científica de la razón» o lo que es lomismo analizar el acto intelectual que ha dado origen alpensamiento contemporáneo.

Referencias bibliográficas

Aunque preferimos intercalar las referencias bibliográficasen el texto, junto a las ideas que se han tomado prestadas,en este caso hemos optado por aligerar su lectura inclu-yéndolas al final:BERNAL, J.D. (1967): Historia Social de la Ciencia I y II, Ediciones

Península, Barcelona.

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BOYER, C.B. (1986): Historia de la Matemática, Alianza Editorial,Madrid

GARAUDY, R. (1991): Los integrismos, Gedisa, Barcelona.

DHOMBRES, N. y J. (1989): Naissance d’un nouveau pouvoir:sciences et savants en France 1793-1824, Ediciones Payot,París.

DE LORENZO, J.A. (1998): La revolución del metro, Celeste Edi-ciones, Madrid.

MARTÍN, M. (1976): Comte, el padre negado. Origen de la deshu-manización de las ciencias sociales, Akal, Madrid

USÓN, C. (2001): «La resistencia a la globalización», en Unidadesde medida en La Rioja, Fundación Caja Rioja, Logroño.

TATON, R. (director) (1988): Historia General de las Ciencias, Edi-torial Orbis, Barcelona.

TROSTKY, L. (1978): Mi vida, Editorial Tebas, Madrid.

YABRI, M.Á. (2001): El legado filosófico árabe, Editorial Trotta,Madrid.

Notas1 Cuando ya teníamos casi cerrado este escrito nos hemos enterado de la

muerte de Ilona Lackova. Aunque su relación con las matemáticas sea irre-levante, su memoria servirá de puente y excusa para la redacción del pró-ximo artículo, que será además nuestra despedida de esta temporal colabo-ración con SUMA.

2 Con las excepciones que convengan y que, curiosamente, no afectan a laspetroleras.

3 En realidad una simplificación. Como comenta Bernal no es posible estable-cer relaciones lineales de causa-efecto en un momento en el que las interac-ciones entre ciencia, industria y economía son mucho más ricas y complejasde lo que caben en este artículo.

4 Sociedad Canaria Isaac Newton: «Seminario de reflexión sobre la enseñan-za de las matemáticas», Suma n.° 37, Junio 2001.

5 Entre las obras que nos han llegado, dentro del ámbito nacional, tenemos:Instrucción de mercaderes de Sarabia de la Calle, El provechosos tratado decambios y contrataciones de mercaderes y reprobación de la usura deCristobal de Villalón, el Tratado de los préstamos que pasan entre mercade-res y tratantes y por consiguiente de lo logros, cambios compras adelanta-das y ventas al fiado de Fray Luis de Alcalá, el Tratado de cuentas de Diegodel Castillo o El comentario resolutorio de cambios de Martín de Azpilicueta,todos ellos alrededor de 1550. Un poco más tarde, en 1569, La suma detratos y contratos de Tomás de Mercado.

6 Sirva como ejemplo el hecho de que una de las mayores fortunas de la bur-guesía aragonesa, el capital de los Zaporta, se dilapidó, al extinguirse lafamilia, en la financiación de la Cartuja de la Inmaculada de Zaragoza.

7 De su importancia dan idea los astronómicos premios que ofrecían los dis-tintos gobiernos europeos y que multiplicaban por 200 el salario anual deun astrónomo real. Esa fue la cantidad que percibió Harrison del gobiernoinglés gracias a su cronómetro marino. Felipe III ofrecía 6000 ducados derenta perpetua, 2000 de renta vitalicia y 1000 para ayuda de costas. Y esque el tema no sólo afectaba a la navegación: españoles y portugueses sehabían repartido el mundo en Tordesillas, en 1494, con referencia a un meri-diano cuya posición exacta fue siempre difícil de establecer. También laMecánica Celeste es deudora de esta situación gracias a que el estudio delmovimiento de la Luna frente a las estrellas fijas fue una propuesta alternati-va al problema de la longitud.

8 Sobre el hecho de que su concordancia temporal con la Revolución Industrialfue mucho más que una coincidencia no parece necesario extenderse por-que existe abundante bibliografía al respecto.

9 P. Sergescu, 1949, en Mathématiciens français du temps de la RévolutionFrançaise ofrece un detallado catálogo de las actividades desarrolladas porlos matemáticos franceses a lo largo de este interesantísimo periodo.

10 Se puede elegir a Monge como modelo, si se prefiere: su vida política, aligual que la de Carnot, estuvo colmada de responsabilidades. Y, al igual queTrostky, también dedicó sus ratos libres a la militancia activa. Su GeometríaDescriptiva, desarrollada de cara a la construcción de fortificaciones, cons-tituyó durante 27 años un secreto militar celosamente guardado. Su alumnoCarnot, entre verso y verso, también escribió un estudio sobre la direcciónde las balas. Dicho lo cual conviene hacer una salvedad: Trostki fue un ideó-logo de la revolución, cosa que no fueron ni Monge ni Carnot.

11 No sólo métrica, para mayor detalle véase: C. Usón (2001)

12 Más allá de la teoría C. Dikens lo describió con la maestría de un gran lite-rato.

13 Jules Ferry, Journal Officiel (Cámara de Diputados): «Las naciones superiorestienen un derecho sobre las inferiores».

14 Con este nombre era conocido en la antigua China, en referencia a los colo-res kou (rojo) y ku (azul) de las figuras que intervenían en su demostración.

15 Sabia denominación, por cierto, aunque algo eufemística. Libros de doctrinasería más adecuado en casi todos los casos.

16 Pero, ¡cuidado!, el aprendizaje del castellano (o de la lengua que sea) esresponsabilidad de todos. Un idioma sólo se aprende dentro del contexto enel que resulta necesario y el aula de Matemáticas también forma parte deese contexto.

17 Sa`id al-Andalusí escribió en 1068 el Libro de las categorías de las Naciones(Kitab Tabaqat al-uman) posiblemente el primer tratado de historia de la cien-cia que se conoce. Una traducción de Eloisa Llavero fue publicada por edito-rial Trotta en el año 2000. En ella Sa`id elogia al juez de Talavera Abu-l-Walid Hisam ben Ahmad ben Hisam Jalid al-Kinani (Ibn al-Waqqasi) como«uno de los eruditos cuyo saber se extendía al dominio de todas las ramas delconocimiento. Era un hombre de pensamiento sólido y reflexión penetrante.Dominaba perfectamente la geometría y la lógica […] la gramática, lexico-grafía, poesía, retórica, derecho islámico, tradiciones históricas y teologíaespeculativa. Era, además, un elocuente poeta y una eminencia en todas lasciencias, no existiendo ningún genealogista, historiador o biógrafo que loaventajase». Otro más para la colección de desapercibidos...

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

LISTA DE PRECIOSFondo actual Socios No socios

1. Los Historiadores de la Matemática Española, Francisco Vera 4 € 6 €2. Instrumentos y Unidades de Medida Tradicionales en Extremadura,

Sociedad Extremeña de Educación Matemática 12 € 14 €3. Abraham Zacut, J.M. Cobos Bueno 9 € 12 €4. Utilización de Maple como apoyo a la matemática en el Bachillerato,

José Ángel Méndez Contreras 7,5 €5. Las matemáticas de Alicia y Gulliver, Jordi Quintana Albalat 1 €6. La rosa de los vientos, Juan Antonio García Cruz 1 €

Fondo antiguo Socios No socios1. IV OLimpiada Matemática Nacional Española, FESPM 3 € 6 €2. Actas VI JAEM, Sociedad Extremeña de Educación Matemática 3 € 4 €3. Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática

• Geometría y sentido espacial 6 € 7 €• Geometría en el Ciclo Medio 7 € 9 €• Geometría desde Múltiples Perspectivas 7 € 9 €

P e d i d o s : Servicio de Publicaciones de la FESPM. Apdo. de Correos 590. 06080 BADAJOZe-mail: PublicaFESPM@navegalia.com

HISTORIA DE LA MATEMÁTICACarl B. BoyerAlianza Universidad TextosMadrid 1992Versión española de Mariano Martínez PérezISBN: 84-206-8094-X808 páginas

Título original:A HISTORY OF MATHEMATICS

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RECENSIONES

Un clásico de historia 42

febrero 2003

Entre los libros que tratan sobre temas científicos podemos encontrar algunos que se leen porplacer y otros que se leen por necesidades relacionadas con nuestro trabajo. Los primeros sue-len tener carácter divulgativo y los segundos se centran, generalmente, en alguna parcela espe-cífica del conocimiento científico. Sin embargo, existen algunos libros que se pueden leer porlos dos motivos antes mencionados. Uno de estos últimos es la Historia de la Matemática de C.B.Boyer que, a estas alturas, podemos considerar un clásico en su especialidad.

En efecto, esta obra nos conduce por un recorrido a través de lahistoria de la Matemática que comienza tratando el concepto denúmero en el primer capítulo, dedicado a los orígenes primitivos,y termina con la noción de estructura y la matemática bourba-quista surgidas durante el siglo XX, pasando, entre tanto, por lospuntos más destacados de la génesis del conocimiento matemá-tico a lo largo de todas las épocas, incluyendo referencias a lamatemática china e india (Capítulo XII) y a la árabe (CapítuloXIII). En este recorrido podemos disfrutar de una prosa fluida yprecisa, en la que se entremezclan de una forma bastante equi-librada los personajes y las ideas, inmersos, a su vez, en unorden cronológico, lo que nos permite seguir, de una formaamena, el nacimiento de los conceptos más importantes de laMatemática, sin necesidad de tener una gran formación en estadisciplina. Un aspecto que merece ser destacado es la excelentetraducción al castellano del profesor Mariano Martínez.

Pero también es un libro que deben tener a mano todas las per-sonas cuya relación con la Matemática sea de índole didáctico,sobre todo los profesores de Bachillerato si, como es de suponer,se pretende presentar los contenidos de Matemáticas no comoalgo acabado, atemporal, sin relación con una época y con unasociedad determinadas, sino, por el contrario, como una disci-plina viva y relacionada con la cultura imperante en cada etapade la historia. En este sentido, estamos ante un libro que combi-na perfectamente la amplitud de los temas tratados con la pro-fundidad de los mismos, lo que lo convierte en un buen manualpara preparar introducciones históricas para cada uno de lostemas del currículo de Matemáticas de Bachillerato, en las quese puedan estudiar los orígenes y la evolución hasta la formula-ción actual de los conceptos propios de la Matemática.

Además de los temas ya mencionados, entre los veintisiete capí-tulos del libro podemos destacar, sin hacer una enumeracióndetallada, aspectos como la Matemática en Egipto y Meso-potamia; la cultura Ggriega, desde sus orígenes Jónicos conTales y Pitágoras hasta el ocaso de Alejandría, pasando por laépoca heroica de los tres problemas clásicos, el descubrimientode los inconmensurables, las paradojas de Zenón, etc., Platón yAristóteles, Eudoxo de Cnido y la teoría de las proporciones. Acontinuación, aparecen los tres grandes de la Geometría:Euclides, Arquímedes y Apolonio, después se tratan los orígenesde la trigonometría y las técnicas de medición griegas, relacio-nadas con la astronomía; y, por último, Diofanto de Alejandría ysu lugar en la historia del álgebra, así como Nicómaco deGerasa y Pappus de Alejandría, con lo que llegamos al final delperiodo alejandrino. Más adelante, nos encontramos con laEuropa medieval de, entre otros, Fibonacci y su Liber abaci,Nicolás de Oresme y la latitud de las formas; el Renacimientocon Nicolás de Cusa, Luca Pacioli y su Divina Proporción,Leonardo da Vinci y Cardano autor de la Ars Magna. Después,aparecen Fermat y Descates y la invención de la geometría ana-lítica, hasta llegar a Newton con la teoría de las fluxiones y losPrincipia, Leibniz y el origen del cálculo infinitesimal, la familiaBernouilli, Taylor y los desarrollos en serie, etc.; la época de

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Euler; los matemáticos de la RevoluciónFrancesa , el periodo de Gauss y Cauchy yla época heroica de la geometría en la quesurge la geometría proyectiva, las geometríasno euclídeas, y los espacios de dimensiónsuperior. Nos encontramos luego con la arit-metización del análisis junto con la apariciónde ciertas inquietudes acerca de sus funda-mentos, las definiciones de número real y delímite, el Teorema de Bolzano–Weierstrass ylas cortaduras de Dedekind. Por último, laaparición del álgebra abstracta y los aspec-tos del siglo XX.

En resumen, se trata de una obra que debefigurar en la biblioteca de toda persona quese dedique a la enseñanza de las matemáti-cas, aunque esto último no es ninguna nove-dad, pues si analizamos los resultados de laencuesta, titulada «los cuarenta principales»y realizada por el Comité Nacional del Año2000, bajo la dirección de la profesora M.a

Jesús Luelmo, con el propósito de, entre otrascosas, detectar los títulos y autores más cita-dos por los profesores de matemáticas,vemos que el título que se destaca, es, preci-samente, la Historia de la Matemática deC.B. Boyer.

Carlos Mederos Martín

CURRÍCULO Y MATEMÁTICASEN LA ENSEÑANZA

SECUNDARIAEN IBEROAMÉRICA

Alexander MazManuel Torralbo

Concepción AbrairaServicio de PublicacionesUniversidad de Córdoba

Córdoba, 2002ISBN: 84-7801-648-1

186 páginas

Obra colectiva cuyo objetivo gene-ral consiste en brindar un conocimiento delcurrículo de matemáticas en algunos paísesiberoamericanos, centrando el análisis decada país en los niveles correspondientes ala enseñanza secundaria obligatoria desdelos 12 años hasta los 16. El libro se articulabajo dos niveles: el sistema educativo gene-ral, describiendo el marco legal en el cual seapoya, y el currículo específico de matemáti-

…estamos anteun libro

que combinaperfectamentela amplitudde los temastratados con

la profundidadde los mismos,

lo que lo convierteen un buen

manualpara prepararintroducciones

históricaspara cada uno

de los temasdel currículo

de Matemáticasde Bachillerato…

cas correspondiente a los niveles menciona-dos, haciendo énfasis en los objetivos, con-tenidos y criterios de evaluación específicospara el área.

Los países estudiados y sus respectivos auto-res son: Argentina (Liliana Tauber y NoraGatica), Brasil (Màrcia Cyrino y UbiratanD’Ambrosio), Chile (Maryorie Benavides yMaría Carolina Brieba), Cuba (Aida MaríaTorres y Dámasa Martínez), España(Concepción Abraira, María del PilarGutiérrez y Alexander Maz), México (JoséGuzmán, Fernando Hitt y Manuel Santos),Venezuela (José Ortiz y Ligia Sánchez),Portugal (Carolina Carvalo) y Colombia(Alexander Maz, Miguel Ernesto Villarragay Manuel Torralbo).

IDEAS PARA LACLASE DE MATEMÁTICAS.REFLEXIONES Y MATERIALESPARA UNAS MATEMÁTICASCOEDUCATIVAS.Mª Jesús LuelmoXaro NomdedéuM.a Carmen RodríguezFidela Velázquez.Consejería de Educación,Cultura y Deportesdel Gobierno de CanariasGran Canaria, 2001ISBN: 84-699-5137-8184 páginas

Se publica este excelente libro–un encargo hecho en 1994 porel extinto Centro de Desarrollo Curricular delMEC, en el que colaboraron, además de lasautoras, otras dos profesoras de la Orga-nización Española para la CoeducaciónMatemática Ada Byron– en un momento queme parece de abandono, tanto institucionalcomo particular (de los docentes), de la coe-ducación. Y por ello es oportuno, ya queviene afortunadamente a recordar que haytareas pendientes.

Es un lugar común entre los enseñantes elmejor rendimiento escolar de las chicas fren-te al de los chicos, lo que las da por salva-das para muchos, sin parase a pensar o aobservar el importante tema de cómo sonlas relaciones entre ambos en los centros.

Por mi parte, además, siempre he puesto pegas al «buen rendi-miento» escolar de las alumnas. Intentaré explicar el porqué demis reservas.

Ocurre que el sistema educativo enseña la obediencia y valo-ra bien, por tanto, al alumnado obediente; y las chicas lo sonen mayor medida. Deberían pasar varias generaciones decoeducación, social y personalmente consciente, para queempezaran a desprenderse del papel cultural, que ya desem-peñaron sus madres y abuelas, de guardianas de la norma.Digo «deberían» y no «deberán» porque tengo sensación deretroceso: por caminos sutiles que cada vez lo son menos [nome parece el momento de un análisis detallado para el quetodos y todas tenéis preparación suficiente; sólo una sugeren-cia: escuchad, por favor, los anuncios de la radio]; el «Sis-tema» –ese monstruo ciego, inexistente según mis colegaspostmodernos, quizás no planificado pero sí muy eficaz– estáconsiguiendo contrarrestar el efecto publicitario de la mayorpresencia social de la mujer. No le ha hecho falta inventarnada nuevo; simplemente insiste en que, más allá de su acti-vidad, siga cargando desde su infancia con las pesadas losasque la limitaron en el pasado.

Hay obediencias y obediencias. Creo que se entiende lo quedigo [en caso contrario recúrrase a Erich Fromm (Sobre ladesobediencia)]. Unas son sanas y otras no. El sistema educa-tivo potencia las segundas al tiempo que incita a despreciar lasprimeras. Recojo a continuación algunas actitudes perversasanotadas desde mi experiencia, basada en una pequeña mues-tra de adolescentes del Altoaragón, pertenecientes a una deter-minada capa social y en unas coordenadas temporales muyconcretas:

• No dejarme escribir 20,5 porque «siempre se ha puesto21/2».

• Preferir el chapapote calculístico algebraico a la experi-mentación empírica en geometría.

• Pedir con insistencia recetas y odiar el acto de conjeturar.

• Creer que las matemáticas escolares sirven para algo, hastael punto de que si no saben resolver ecuaciones pueden lle-gar a «vivir debajo de un puente».

• Importarles más el fin que los medios.

• Plantearse fines baratos (siguiendo a Alberto Cortez, los quese compran con el dinero).

• Hacer dejación de sus obligaciones como gestores y gesto-ras, en colaboración con sus colegas y el profesor, del espa-cio didáctico de la clase de matemáticas.

• Copiar todo. Todo: incluyendo el marco del tablero de lapizarra y el armario donde se guarda el aparato de vídeo.

• Etc., etc.

Las tres primeras son adaptaciones al contexto de la clase dematemáticas de la exigencia general de obedecer que guía laplanificación escolar. Con ellas y otras similares, los futuros licen-

123

ciados y licenciadas en OSO (obediencia secundaria obligato-ria; creo que los primeros gestores, en tiempos ya lejanos, inten-taron honestamente que fuera ESO) intentan salvaguardar lassiguientes de una improbable creatividad del profesor y, conello, su futuro... material.

Por supuesto que hay alumnos varones que adoptan éstas y otrasactitudes similares. Pero, puesto que son consecuencia del ocul-to currículo escolar –ese que no viene recogido en los papelespero cuyo cumplimiento se vigila cuidadosamente–, si acepta-mos que las chicas son más obedientes, cabe esperar que seanellas quienes las defiendan más a menudo y con más énfasis.Desde luego, sé que la validez de cualquier afirmación es sóloestadística. También sé que el aparente desinterés de los chicosno es constructivo, puesto que encubre la obediencia insana, losincapacita para la otra y les deja sin recursos para seguir unaalternativa si se presenta. Pero, en mi pequeño microcosmosescolar, la respuesta al enunciado «Se elige un estudiante alazar. Se sabe que se manifiesta pública e incluso desairada-mente en defensa de las perversiones anteriores u otras pareci-das. ¿Qué probabilidad hay de que sea una chica?» da un por-centaje tan superior al 50% que se puede apostar con tranquili-dad por la situación que propone.

De manera que sí, hay que salvar a los chicos, claro que sí,¡¡pero también a las chicas!! Hay que salvarlas de su mala obe-diencia y de ese programa interno personal que les hace desearcon vehemencia la seguridad material y mental desde edadestan tempranas. ¿Que todo esto viene condicionado socialmentey que son resultado de lo que se quiere/intenta que sean? Nome cabe duda. Y no creo que sea tan difícil rastrear los hilos con-ductores de las marionetas. Pero el profesor o profesora de mate-máticas actúa sobre casos individuales, y tiene que proponer ymotivar cambios individuales.

Así pues, hay que preocuparse de la coeducación en clase dematemáticas. Ese tren no se pasó la estación (aunque nadie sesubiera). Sigue ahí esperando y da la impresión de que pocaspersonas suben a él. Por eso no arranca. La suposición de quenuestra materia es ideológicamente aséptica y que, por tanto,esta componente transversal queda fuera de nuestro campo decompetencias, olvida que la elaboración y adquisición de cono-cimientos se hace siempre en un marco en el que los afectos jue-gan un papel importante (somos también nuestra circunstancia).Y la clase de matemáticas debería intentar servir, entre otrascosas y por poner algún ejemplo, para que la alumna V...empiece a atreverse a hablar en público y aumente su seguri-dad en sí misma, o decida por sí sola si ha llegado a una res-puesta con garantías para los problemas que ha resuelto y noniegue por sistema la validez de su trabajo. Y con ello, ayudara que el alumno J... empiece a perder su tópica valoraciónnegativa sobre las mujeres.

El primer capítulo del libro revisa cuestiones ya clásicas para unanálisis que permita una acción positiva desde la coeducación.Conviene recordarlas, porque la ola conservadora de los tiem-pos hace olvidar temas sobre los que la reflexión era habitual

hace unos años. De entre todas ellas resal-taré la más directamente relacionada conlos comentarios que he hecho anteriormen-te: por razones sociales y culturales, noforma parte del proyecto vital de gran partede nuestras alumnas interesarse por lasmatemáticas. Pero no por la propia materiaen sí, sino por el hecho de que son mujeres,y ni la imagen de las matemáticas es social-mente femenina ni sienten que su valora-ción social fuera a ser alta si se dedican aellas. Una cuestión clave difícil de combatirincluso desde actitudes de consciencia coe-ducativa.

Sólo se me ocurre poner una pega a estaprimera parte: el olvido de la componentesocial, algo habitual en este tipo de estu-dios. Se contestará que las discriminacionesde género saltan las barreras sociales y cul-turales, y es cierto, pero hay matices queinciden de forma importante en las aulas yque convendría tener en cuenta. Creo quees urgente la elaboración de un archivo deanécdotas que trasladen a la realidadactual el pensamiento teórico expuesto eneste primer capítulo. Y no sólo porque siem-pre es útil la constatación de la concordan-cia entre teoría y práctica, sino sobre todoporque los ejemplos convencen más que lasexplicaciones generales.

El segundo capítulo expone las característi-cas del modelo propuesto por las autoras.Modelo de sociedad (desde la perspectivade la problemática del género), modelo dematemáticas y modelo educativo. En loscapítulos tercero y cuarto, un amplio listadode propuestas didácticas, acompañadas decomentarios metodológicos, en la mejor tra-dición de innovación que ha habido ennuestro país: la del Grupo Cero deValencia.

En definitiva, una bonita (también físicamen-te; la edición es muy agradable), útil y opor-tuna publicación, cuyo único problema va aser su no distribución comercial, como ocu-rre con tantas otras editadas por las institu-ciones. Es obligado agradecer a laConsejería de Educación del Gobierno deCanarias que haya decidido recuperar estetrabajo del olvido al que lo habían conde-nado los avatares políticos.

Ángel Ramírez Martínez

De maneraque sí,

hay que salvara los chicos,claro que sí,

¡¡pero tambiéna las chicas!!

Hay que salvarlasde su malaobediencia

y de ese programainterno personal

que les hacedesear

con vehemenciala seguridad

materialy mental

desde edadestan tempranas.

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INVESTIGACIÓN ENEL AULA DE MATEMÁTICAS:RESOLUCIÓN DE PROBLEMASJosé M. CardeñosoEncarnación CastroAntonio J. MorenoMaría Peñas (Editores)Departamento de Didácticade la Matemáticade la Universidadde Granada y SAEM ThalesGranada, 2002269 páginas

Este libro constituye las actas de lasjornadas sobre Investigación en elaula de matemáticas, que periódi-camente organizan la Sociedad Thales y eldepartamento de Didáctica de la Matemá-tica de la Universidad de Granada y que enesta ocasión están centradas en la Resolu-ción de problemas.

Se recogen los textos de cinco conferencias,«La resolución de problemas desde la inves-tigación en educación matemática» (E.Castro), «Evaluación de la resolución de pro-blemas aritméticos en el marco de un proyec-to europeo» (J.D. Godino), «Experienciassobre la resolución de problemas en el aulade secundaria» (F. Luque), «Arte fractal» (J.Martínez) y «Matemáticas de ayer para elaula de hoy» (C.O. Suárez); tres talleres,«Materiales didácticos en la resolución deproblemas» (El Grupo PI), «Puzzles en alam-bre» (P. Flores) y «Resolución de problemascon lápiz y papel» (F. Fernández); así comouna mesa redonda y una veintena de comu-nicaciones.

AÑO MUNDIALDE LAS MATEMÁTICASGustavo OchoaJosé Ramón Pascual (Editores)Universidad Públicade NavarraPamplona, 2002ISBN: 84-95075-76-8174 páginas

Este libro reseña el conjunto de activi-dades que tuvieron lugar en Navarra, conmotivo del Año Mundial de las Mate-

máticas, y organizadas por el Comité Navarro, que se formó poriniciativa del Departamento de Matemática e Informática de laUniversidad Pública de Navarra y de la Sociedad de profesoresde Matemáticas «Tornamira».

Amén de las intervenciones en los actos de apertura y clausura,se incluyen los textos de las conferencias sobre las matemáticasy su enseñanza que se impartieron, las bases y los fallos de losdiversos concursos de fotografía matemática, las fotografías pre-miadas, los problemas planteados en la Olimpiada Matemáticacelebrada en dicho año, y los artículos sobre cuestiones de ladisciplina que algunos vocales publicaron en la prensa local.Entre los autores figuran Pedro Burillo, Claudi Alsina, CarmenHerrero, David Nualart, Rafael Pérez, Esteban Induráin y JavierBergasa.

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAEN LA EDUCACIÓN PRIMARIA

Enrique Castro (Editor)Síntesis

Madrid, 2001ISBN:84-7738-919-5

624 páginas

El objetivo de este manual (n.° 1 de la serieDidáctica de la Matemática, que publica la edi-torial Síntesis) es proporcionar un marco con-ceptual sólido y unas herramientas útiles tanto

para la formación del profesorado de matemáticas de EducaciónPrimaria como para su trabajo en el aula.

La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se abordadesde una perspectiva propia que integra el conocimiento mate-mático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio detalla-do de los correspondientes temas básicos del currículo.Asimismo, el libro ofrece una aproximación disciplinar propia yoriginal a las nociones relacionadas con la formación enDidáctica de la Matemática.

Los capítulos de este libro han sido elaborados por profesores dedistintas universidades andaluzas y abordan los diferentes temasbajo un mismo esquema. Sus títulos son los siguientes:

• Matemáticas en Educación Primaria (Luis Rico).

• Aprendizaje y evaluación (Pablo Flores).

• Materiales didácticos y recursos (Moisés Coriat).

• Unidades didácticas. Organizadores (Isidoro Segovia y LuisRico).

• Los procesos matemáticos como contenido. El caso de la prue-ba matemática (Mercedes García y Salvador Llinares).

• Primeros conceptos numéricos (Enrique Castro y EncarnaciónCastro).

• El sentido numérico y la representación de los números natu-rales (Salvador Llinares).

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• Adición y sustracción (Carlos Maza).

• Multiplicación y división (Enrique Castro).

• Algoritmos de cálculo (Rafael Roa).

• Relatividad aditiva y números enteros (José Luis González).

• Fracciones en el currículo de la Educación Primaria (Encar-nación Castro y Manuel Torralbo).

• Números decimales (Enrique Castro).

• Números irracionales. Raíces y potencias. Notación científi-ca (Luis C. Contreras y José Carrillo).

• Introducción a la Geometría (M.a Jesús Cañizares y Luis Serrano).

• Elementos geométricos y formas planas (Luis Serrano).

• Elementos geométricos y formas espaciales (M.a JesúsCañizares).

• Transformaciones geométricas (José Carrillo y Luis C.Contreras).

• Números y formas (Francisco Ruiz).

• Introducción a las magnitudes y la medida. Longitud, masa, ampli-tud, tiempo (Antonio Frías, Francisco Gil y M.a Francisca Moreno).

• Área y volumen (M.a Francisca Moreno, Francisco Gil yAntonio Frías).

• Proporcionalidad entre magnitudes (Francisco Fernández García).

• Análisis exploratorio de datos (Angustias Vallecillos).

• Probabilidad (Pilar Azcárate y José M.a Cardeñoso).

RINCÓN MATEMÁTICO.UNA EXPERIENCIA PARAATENDER A LA DIVERSIDADLucía Morales Rufo (Coordinadora)Consejería de Educaciónde la Comunidad de MadridMadrid, 2002ISBN: 84-699-7671-0112 páginas

Con motivo de la celebración del Año Mundialde las Matemáticas, durante el curso 1999-2000, seis institutos de secundaria y el CPR deLeganés (Madrid) participaron en un proyectode innovación educativa denominado «Rincón Matemático2000», que pretendía incidir en uno de los objetivos propuestospor la Unión Matemática Internacional: popularizar las Mate-máticas.

El libro describe esta experiencia, en la que participaron entorno al medio centenar de profesores y más de mil alumnos, yreproduce los materiales didácticos elaborados para su desarro-llo, presentados en diversas secciones: El problema de la sema-na; Miscelánea matemática: citas, poesías, adivinanzas, chistesy gazapos y curiosidades; Adivina: ¿quién es?; Colaboraciones:¿sabías?; y Noticias y convocatorias.

126

REMIO Gonzalo Sánchez VázquezEn la reunión ordinaria de la Junta de Gobierno de laFederación Española de Sociedades de Profesores deMatemáticas, del día 8 de febrero de 2003, se acordó con-ceder el «III Premio Gonzalo Sánchez Vázquez» a los valo-res humanos a los profesores Antonio Aranda Plata yAdelina Flores Medina.

Antonio Aranda Plata

Natural de Córdoba, nacido el 25 de diciembre de 1942.

Padre de 5 hijos (y un nieto) tiene una familia mucho másamplia: la de una gran cantidad de amigos y amigas quelo aprecian y respetan. Y muchos más hijos y nietos: susalumnos.

Es Licenciado en Ciencias Matemáticas por la UniversidadComplutense de Madrid, desde 1965.

Es catedrático de Bachillerato y, en la actualidad, profesorTitular de Escuela Universitaria en el Departamento deÁlgebra de la Universidad de Sevilla.

Su labor docente es muy amplia y vocacional, centrándoseen las enseñanzas secundaria y universitaria dentro del ámbi-to de las matemáticas, con incursiones en la informática.

En la enseñanza secundaria ha ejercido ininterrumpida-mente desde octubre de 1966, que comienza como Pro-fesor Interino en el Instituto Ramiro de Maeztu, en Madrid,hasta el 23/11/93 que obtiene por concurso una plaza deProfesor Asociado a tiempo completo (dedicación exclusi-va) en el Departamento de Álgebra de la Universidad deSevilla. Antes ha ejercido su labor profesional en los cen-tros siguientes: además del Instituto Ramiro de Maeztu, yacitado, como profesor Agregado de Matemáticas en elInstituto de Enseñanza Media San Isidoro de Sevilla;

127

III Premio Sánchez Vázquez,Nueva Dirección de SUMA,«Universo matemático» premiado

CRÓNICAS

P

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febrero 2003

Instituto de Bachillerato Rodrigo Caro de Coria del Río(Sevilla); Instituto Español de Bachillerato de Andorra laVella; Instituto de Enseñanza Secundaria Isbilya de Sevilla.En los cursos 1968/69 a 1974/75 alterna su trabajo docen-te en Bachillerato con encargos de curso en la Facultad deMatemáticas de la Universidad de Sevilla.

Su labor docente es ejemplar:

En los centros en los que ha ejercido la docencia siempreha sido un profesor muy querido y apreciado por sus alum-nos y compañeros. Se ha preocupado siempre por la reno-vación y actualización de contenidos y métodos. Éste hasido –y sigue siendo– el objetivo central en su importantelabor de creación e impulsor del movimiento asociativo.

En sus clases de la Facultad ha sido siempre propuestopúblicamente por los alumnos como uno de los mejoresprofesores, consiguiendo el primer premio al mejor profe-sor en el año 1995. Es uno de los docentes que tiene másascendencia entre los alumnos; la muestra de ello es quesus tutorías están siempre llenas, con alumnos que aguar-dan para consultarle.

Y es uno de los profesores más renovadores de la Facultadde Matemáticas: impulsor y profesor del llamado Curso 0(curso preparatorio de los alumnos que ingresan por pri-mera vez en la Facultad) y promotor, y profesor, de unCurso de Metodología del Álgebra y la Geometría en laEnseñanza Secundaria destinado a aquellos alumnos quemanejan la docencia como una opción a su salida profe-sional. Es de destacar cómo, en esta línea, Antonio Arandaretoma la tradición iniciada por el Profesor GonzaloSánchez Vázquez en los años setenta, en la mismaFacultad en la que impartió clases de Metodología y eraprácticamente la única voz que hablaba de tales temas endicha Facultad.

Dentro de sus preocupaciones docenteshay que incluir sus inquietudes en elcampo de la renovación didáctica y delasociacionismo del profesorado.

Es miembro fundador del Colectivo deDidáctica de las Matemáticas, grupo derenovación incardinado en los movi-mientos de renovación pedagógica definales de los años setenta y comienzode los ochenta. Participa, como miem-bro de dicho colectivo, en la reuniónque tiene lugar en Sevilla (diciembre de1980), con otros Grupos (Zero deBarcelona, Gamma –luego Azarquiel–de Madrid, el Colectivo Leonés, elGrupo de Didáctica de las Matemáticasde Cantabria y otros) y la SociedadCanaria. En dicha reunión se tomarondos acuerdos que marcarían el rumbode los movimientos asociativos en mate-máticas: por un lado, aceptar el ofreci-miento del ICE de La Universidad Autó-noma de Barcelona de organizar unasPrimeras Jornadas sobre Aprendizaje yEnseñanza de las Matemáticas, y, ensegundo lugar, continuar en contacto (através de reuniones periódicas) parapromover la renovación en la enseñan-za de las Matemáticas, lo que sería elgermen de la actual Federación.

Antonio Aranda es, pues, uno de los crea-dores e impulsores de nuestras actualesJAEM. Pero, además, participa en unareunión informal en Madrid, en septiem-bre de 1983, como representante de laThales y con representantes de laSociedad Isaac Newton y de la SociedadAragonesa para impulsar la Federaciónde Profesores. Fue el primer intento parala creación de nuestra Federación y ahíestuvo Antonio Aranda.

Es miembro del grupo gestor de laSociedad Thales y socio fundador de lamisma. En la Asamblea constituyente dedicha sociedad, en noviembre de 1981,el profesor Aranda es nombrado secreta-rio general de la Sociedad Thales deProfesores de Matemáticas, trabajandoestrechamente con D. Gonzalo SánchezVázquez, nombrado en esa misma asam-blea presidente de dicha asociación.

La primera tarea que encabeza comosecretario de la Sociedad es doble en el

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En sus clasesde la Facultadha sido siempre

propuestopúblicamente

por los alumnoscomo uno

de los mejoresprofesores,

consiguiendoel primer premioal mejor profesoren el año 1995.

sentido de la consolidación del movi-miento asociativo: por un lado, afianza-miento de las JAEM, para lo que seacoge bajo el auspicio de la Thales, a lasegunda edición de dichas jornadas(Sevilla, abril de 1982). Por otro, afian-zamiento de la naciente SociedadThales: la propia organización de dichasJornadas, aparte de una ingente tareaorganizativa, redundaría, como así fue,en la consolidación de la sociedad de laque era secretario.

En el año 1983 marcha en Comisión deServicios al Instituto Español de Ando-rra. A la vuelta se incorpora a las tareasasociativas; primero, como presidenteprovincial en Sevilla de la SociedadThales (organizando en esta ciudad lasVI Jornadas bienales de la Sociedad) y,posteriormente, en 1997, nuevamentecomo Secretario General de la misma.En medio, desarrolla una extraordinarialabor como responsable del área cientí-fica del Comité Organizador del VIIICongreso Internacional de EducaciónMatemática (Sevilla, julio 1996), pero,sobre todo, como el principal elementodinamizador del citado Comité por suscualidades humanas (algo imprescindi-ble en un amplísimo Comité que habríade organizar un evento para 4000 per-sonas venidas de más de 100 países).

Forma parte del Comité de la secciónespañola de ICMI en representación dela FESPM.

Es uno de los promotores de los Cursosa Distancia (a través de Internet) orga-nizado por la Sociedad Thales que hantenido un fuerte impacto en la comu-nidad educativa andaluza.

En el año 2000 deja la Secretaría de laSociedad y pasa a ocupar una vocalía enla Junta Directiva Provincial de la Socie-dad Thales en Sevilla, en la que siguesiendo una persona muy activa y de refe-rencia para las nuevas generaciones.

Adelina Flores Medina

Nace en Telde (Gran Canaria) el 1 demayo de 1939. Cursa el Bachillerato yPreuniversitario en el colegio de las Tere-sianas de Las Palmas. Hija y nieta de far-

macéutico sigue la tradición familiar y comienza laLicenciatura en Farmacia (Selectivo en La Laguna y 2.° y 3.°de Farmacia en la Complutense de Madrid). Al finalizar eltercer curso, ingresa en la Congregación de DominicasMisioneras de La Sagrada Familia, única de fundación cana-ria cuya dedicación es la enseñanza. A causa de una ley de1960 que prohibía ejercer la docencia a los farmacéuticos seve obligada a cambiar de carrera y elige Ciencias Biológicas,que cursa igualmente en la Complutense. Compatibiliza susestudios con el trabajo como secretaria y responsable depiso del Colegio Mayor Santa M.a del Pino (donde había resi-dido en sus años de estudiante de Farmacia).

Termina la carrera en 1967 y la destinan a Canarias dondepone en marcha y dirige el Colegio Universitario FemeninoSanta M.a del Pino de La Laguna (Tenerife). A la vez comien-za su quehacer docente como profesora de Ciencias enBachillerato y Preuniversitario en el Colegio Santa Rosa deLima de dicha Ciudad. En estos años forma parte de la Juntade Gobierno del Colegio de Doctores y Licenciados. En losveranos asiste en la Universidad de Navarra a cuatro cursosrelacionados con la práctica docente (Didáctica Aplicada,Sistemas y Técnicas Educativas y Equipos de Dirección)impartidos por el único Instituto de Ciencias de la Educaciónque existía en ese momento en España. En 1968 laCongregación de Dominicas hace un planteamiento renova-dor del sistema educativo de sus colegios, e implantan, anti-cipándose en el tiempo, la enseñanza individualizada. Coneste motivo, colabora y participa en la elaboración delProyecto Educativo de los Centros de la Congregación, tra-bajando con otras profesoras de la misma, en el diseño delas líneas pedagógicas y filosofía educativa de dicho pro-yecto, en una época en la que a nivel oficial estatal no exis-tía este planteamiento.

[Antonio Aranda]desarrolla unaextraordinaria

laborcomo responsabledel área científica

del ComitéOrganizador

del VIII CongresoInternacionalde EducaciónMatemática,

pero, sobre todo,como el principal

elementodinamizador

del citadoComité

por sus cualidadeshumanas…

129

En 1970 es destinada a Santa Cruz de La Palma donde con-tinúa su labor docente impartiendo clases de Biología yMatemáticas de Bachillerato en el Colegio Santo DomingoGuzmán. Paralelamente a su trabajo en el colegio de LaPalmita inicia su andadura en el campo de la alfabetizaciónorganizando en los barrios marginales de dicha capital(especialmente en la Barriada del Pilar) un Proyecto deAlfabetización de Adultos y Ancianos, para lo cual elaboraun Método de Alfabetización basado fundamentalmente enla «Pedagogía del Oprimido» de Paulo Freire, adaptándolo ala realidad concreta de la mujer y el hombre de Canarias.Desde varios lugares de las islas, grupos con compromisosde inserción en el mundo obrero, y grupos de alumnos cris-tianos de la Universidad de La Laguna le solicitan que trans-mita este proyecto a través de cursos de EducaciónLiberadora y Cultura Popular. Se realizaron en Las Palmas,Vecindario, Teror, Santa Cruz de Tenerife, San Juan de LaRambla y La Laguna.

También en La Palma, organiza cursos de Promoción de laMujer y de Actualización Didáctica de Profesores de EGB,especialmente sensibilizados en la mejora de su actividaddocente, así como cursos y jornadas a padres y madres de

alumnos (Llanos de Aridane, San José de Breña Baja y Santa

Cruz de La Palma).

En los veranos, y como consecuencia de la necesidad que

se planteaba en su Congregación de ofrecer una cultura

básica a las hermanas que habían ingresado en la misma sin

estudios, organiza cursos de Cultura General en Teror.

Elabora, para los mismos, un material pedagógico y didácti-

co adaptado a personas adultas.

En 1971 con motivo de la erupción del volcán Teneguía en

Fuencaliente participa activamente en la evacuación de los

damnificados de Las Manchas y en la atención a los mismos.

En 1973 abandona su compromiso con la Congregación de

Dominicas y decide dedicarse al mundo de los menos favo-

recidos desde la enseñanza pública. Al hacer, con otra com-

pañera, una opción por el trabajo en zonas de especial nece-sidad y al no existir Centros de Enseñanza Media en las mis-mas, por estar situados en zonas urbanas, decide dedicarse

al nivel educativo de la Enseñanza General Básica, lo cual

posibilitaba su inserción en el mundo rural de Canarias.Aprueba el concurso-oposición al Cuerpo Especial deProfesores de EGB y tiene su primer destino en Tacoronte

donde la Inspección Educativa le encomienda el montaje del

Colegio Público «M.a Rosa Alonso» que fue el primer centro

de 22 unidades de la provincia de Tenerife. En dicho centroda clases de Matemáticas y Ciencias Naturales en Segunda

Etapa, monta los laboratorios e imparte cursos de Montaje yPrácticas de Laboratorio para el profesorado de dicha etapa

en Tenerife. También colabora con la Inspección Educativaen los Cursos de Actualización Didáctica del Profesorado,

especialmente sobre elaboración de material didáctico.

En 1975 obtiene su primer destino comopropietaria provisional en El Valle de SanLorenzo (Arona), donde continúa comoprofesora de Matemáticas y CienciasNaturales en 2.a etapa. Allí sigue trabajan-do con su Proyecto de Alfabetización deAdultos, ampliándolo al mundo de losenfermos, algunos terminales. (Con sumétodo Freire enseña a leer a una jovenmujer aquejada de cáncer, teniendo queacostarse en su cama como única formade hacerle visible la lectura).

En 1977, con motivo del concurso detraslados para su destino definitivo, soli-cita en primer lugar la Escuela Graduadamixta de La Gavia (Telde) donde perma-nece 23 años (19 dedicada a la enseñan-za en el Ciclo Medio y, los 4 últimos, aalumnos con Necesidades EducativasEspeciales) siendo a la vez Directora de lamisma y desde donde se jubila en el año2000. En este barrio fija su residencia, y apetición de los vecinos, crea laAsociación de Vecinos de la que será susecretaria durante 20 años. Su labordocente está entrelazada con ser voz delos que no la tienen. Consigue el aguacorriente, alumbrado público y domésti-co, las carreteras de acceso al barrio einteriores, transporte público (SALCAI),recogida de basura, red de alcantarillado,cédulas de habitabilidad de casas deautoconstrucción y cuevas, pensiones,ayudas a minusvalías, teléfono, plazapara el barrio y el tan ansiado y soñadolocal social, lugar de acontecimientos cul-turales, de ocio y festivos del barrio.

A su llegada a La Gavia, la escuela conta-ba con dos aulas en estado deprimente ysituadas en diferentes lugares del barran-co. Tanto el acceso a las mismas, como lacomunicación entre ambas, se realizabapor veredas muy difíciles de transitar.Una de ellas no tenía patio de recreo y laotra contaba sólo con un pequeño barri-zal de 11 metros cuadrados que no sepodía utilizar en los abundantes días delluvia de entonces. La situación de laescuela, sin protección en su parte fron-tal, la que daba al barranco, y conderrumbamientos de grandes piedras ybarro en la posterior, junto a la ladera,hizo que emprendiera una lucha incansa-

Allí siguetrabajando

con su Proyectode Alfabetización

de Adultos,ampliándolo

al mundode los enfermos,

algunosterminales.

130

ble y continuada para conseguir, primeroreunir a todos los alumnos que estabandisgregados y luego crear un espaciodigno como recinto escolar. Al jubilarsedeja el actual colegio con carretera deacceso, cinco aulas, dos patios, huertosescolares, porche de protección a la llu-via, dos despachos, recinto para materialescolar, muros de protección hacia elbarranco y la ladera, abundante dotaciónbibliográfica y material escolar.

Esta dura, árdua y constante lucha porlograr unas dignas condiciones materialespara poder «aprender a aprender» no leimpiden aceptar en 1986 la petición de laConsejería de Educación para formarparte de un grupo de 15 profesores delarchipiélago para trabajar durante trescursos escolares en la Experimentacióndel Ciclo Medio de la EGB dentro delProyecto de Reforma del Ciclo Medio dela Comunidad Autónoma de Canarias,coordinado por el Departamento dePedagogía de la Universidad de LaLaguna. Fueron años de intenso trabajoen La Reforma Educativa que le llevan acomunicar sus experiencias dandoJornadas sobre La Globalización en elCiclo Medio a los Colectivos de EscuelasRurales de Telde y La Aldea de SanNicolás de Tolentino.

Continúa desde La Gavia impartiendocursos de Educación Liberadora, CulturaPopular, Metodología y Material Didác-tico para adultos, así como Jornadas deDidáctica y creación de material didácticopara Primaria.

En los años noventa forma parte de unproyecto dirigido por una profesora deEducación Infantil del Centro y se creala Escuela de Padres del Colegio y LosTalleres. Esta experiencia resultó alta-mente positiva por la amplia participa-ción de los padres y fue expuesta aotros Centros por medio de Jornadasrealizadas en los Centros de Profesoresde Telde y Las Palmas. A petición de ungrupo de padres ayuda en la elaboraciónde los tramites de creación del APA delcolegio.

Una de sus últimas investigaciones sobrematerial didáctico en matemáticas fue laaplicación de los mini-ábacos, que supu-

sieron en sus manos un sinfín de aplicaciones para la com-prensión del sistema de numeración y operaciones, paraalumnos de todos los niveles, desde Infantil a Primaria ypara los de necesidades educativas especiales. A petición delos CEP de Telde, Santa Lucía y Galdar transmitió esta expe-riencia a numerosos profesores de sus distritos a través deJornadas en Arguineguín, Telde, Agaete, Sta. Mª de Guía,Galdar, San Nicolás de Tolentino y al Colectivo de EscuelasRurales de Telde.

En 1997, el barrio, por medio de un escrito con firmas detodos sus vecinos, solicita que el Colegio lleve su nombre.El 8 de Marzo de 1999, Día de la Mujer Trabajadora, comono era menos de esperar, tiene lugar el acto oficial que per-mite contemplar, esculpido en piedra de cantería canaria, ladenominación del mismo como Colegio Público deEducación Infantil y Primaria Profesora Adelina FloresMedina.

Por motivos de salud se ve obligada a solicitar la jubilaciónofertada por la Logse, y muy a pesar suyo, entrega su casitaescolar de La Gavia a la Administración y traslada su domi-cilio a Las Palmas de Gran Canaria. Ha continuado estrecha-mente ligada a La Gavia y su presencia puntual ante cual-quier acontecimiento es la misma de siempre ya que el bino-mio Adelina-Gavia es inseparable. Como ella siempre dice:La Gavia es mi «lugar en el mundo».

El 31 de marzo de 2001 la Asociación de Vecinos la nombraHija Adoptiva del Barrio, aunque la placa conmemorativadice Hija Predilecta de La Gavia.

La Sociedad de Profesores de Matemáticas Isaac Newtonsabe de sus participaciones en las Jornadas con su propiomaterial didáctico así como de los valores humanos que lahacen merecedora de ser propuesta para el III Premio«Gonzalo Sánchez Vázquez».

Nueva Dirección de SUMA

Cumplidos dos periodos de la actual Dirección de Suma,y después de la correspondiente convocatoria, en la reu-nión ordinaria de la Junta de Gobierno de la FederaciónEspañola de Sociedades de Profesores de Matemáticas, deldía 8 de febrero de 2003, se acordó por unanimidad nom-brar como Directores de Suma para los próximos cuatroaños la candidatura presentada conjuntamente porFrancisco Martín Casalderrey e Inmaculada Fuentes, de laSociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «EmmaCastelnuovo».

Los nuevos directores editarán la revista a partir del núme-ro 44 de noviembre del presente año. Aun cuando en elpróximo número (junio) dedicaremos más espacio a la«sucesión», de momento deseamos hacer constar aInmaculada Fuentes y Francisco Martín nuestra más cordial

…tiene lugarel acto oficialque permitecontemplar,esculpidoen piedra

de canteríacanaria,

la denominacióndel mismo comoColegio Públicode Educación

Infantil y PrimariaProfesoraAdelina

Flores Medina.

131

felicitación, nuestro agradecimiento más efusivo (poraquello de la «liberación») así como mostrar nuestra abso-luta seguridad de que en sus manos Suma va a tomar unempuje inusitado que la va a convertir en una de las revis-tas sobre educación matemática más significativa de lasque se editan internacionalmente.

Francisco Martín Casalderrey

Es Licenciado en Matemáticas por la Universidad deZaragoza y profesor de enseñanza secundaria desde 1979.Fue uno de los promotores de la Sociedad Aragonesa deProfesores de Matemáticas de la que fue vicepresidente.Formó parte del comité organizador de las III JAEM. En1985 se traslada a Madrid para trabajar en el Ministerio deEducación donde formó parte del equipo que puso enmarcha el Proyecto Atenea, que se integraría después enel Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y laComunicación. En 1989 pasó a ser Consejero Técnico dela Secretaría de Estado de Educación. En estos años parti-cipó en la fundación de la Sociedad Madrileña deProfesores de Matemáticas «Emma Castenuovo» de la queforma parte en la actualidad. A partir de 1991 se reincor-pora a la labor docente trabajando entre 1992 y 1998 en elLiceo Cervantes de Roma. Actualmente está destinado enel Instituto «Juan de la Cierva» de Madrid y ejerce comoinspector de educación en la Comunidad de Madrid. Harealizado varios proyectos de innovación educativa, obte-niendo por uno de ellos el premio nacional. Ha partici-pado y coordinado proyectos de investigación con la Uni-versidad de Bolonia, la Universidad de Coimbra, el Minis-terio de Educación de Irlanda y la Universidad de Tübin-gen. Su presencia ha sido bastante habitual como con-ferenciante y ponente en actividades de formación delprofesorado. Ha realizado abundantes publicaciones en elámbito de la historia de las matemáticas, la didáctica de lasmatemáticas y sobre tecnologías de la información. Su últi-mo libro titulado Cardano y Tartaglia. Las matemáticas enel Renacimiento Italiano apareció en 2000.

Inmaculada Fuentes Gil

Licenciada en Matemáticas por la Universidad Complu-tense de Madrid. Profesora de enseñanza secundaria, haejercido su labor docente en distintos Institutos de Madridy está destinada actualmente en el IES «Ágora» de Alco-bendas (Madrid).

Forma parte del grupo Azarquiel de Mátemáticas deMadrid desde 1980, con el que ha realizado diferentes pro-yectos de investigación educativa. Su perfil de profesora-investigadora en didáctica la ha llevado a no dejar el aula,compaginando la docencia con la investigación.

Ha participado en los movimientos de innovación y reno-vación pedagógica asistiendo y actuando como ponente

en numerosos Congresos y Jornadasrelacionadas con la Enseñanza de lasMatemáticas, así como impartiendo cur-sos dirigidos a profesores de Mate-máticas.

Es miembro, desde su fundación, de laSociedad de Profesores de MatemáticasEmma Castelnuovo.

La serie «Universomatemático» premiadaen Pekín

«Universo matemático», serie producidacon motivo del Año Mundial de lasMatemáticas, por el programa de la tele-visión educativa de TVE «la aventura delsaber», realizada por Ana Martínez, conguión y presentación de Antonio PérezSanz, ha sido galardonada en el FestivalInternacional de Documentales Cientí-ficos de Pekín, con el Premio Especialdel Jurado. Los premios se fallaron elpasado 11 de diciembre en la capitalchina.

A este Festival Internacional, con carác-ter bienal, concurren las produccionescientíficas de las más prestigiosas cade-nas de televisión de Asia, Europa,EE.UU. y Australia. El jurado está forma-do por especialistas de Japón, Australia,China, Francia, Reino Unido y EE.UU.

El premio lo ha obtenido el primer pro-grama de la serie titulado Pitágoras:mucho más que un teorema por «susmeritorios valores y por su creatividad».El jurado resaltó el hecho de que «conuna producción tan sencilla lograba tanalta calidad en la explicación para elpúblico general de un tema matemáticoy científico».

«Universo matemático» es una serie de10 programas de 24 minutos cada uno,cuyo contenido trata de las grandesideas matemáticas y de los matemáticosque las han descubierto. La serie se emi-tió a lo largo del año 2000 y 2001 enTV2 y en el Canal Internacional en elprograma «La Aventura del saber» y en elCanal Temático Grandes Documentales(Hispavisión) de TVE.

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Los programas están concebidos comoun viaje organizado para el espectador,con excursiones en el tiempo y en elespacio para perseguir las grandes ideasmatemáticas y visitar a los personajesque las han producido en el contextohistórico y cultural en el que nacen y sedesarrollan.

A lo largo de la serie asistimos a la colo-cación de las primeras piedras del mag-nífico edificio matemático, a cargo delos pitagóricos. Descubrimos también laherencia matemática que nos legaronlos egipcios y los babilonios, las increí-bles aventuras de un número tan popu-lar como π a lo largo de la historiadesde Arquímedes hasta Ramanujan y laevolución, muchas veces sorprendente,de las cifras desde las culturas másremotas hasta nuestros días.

Conocemos a algunos de los arquitectosque pusieron los cimientos e hicieronelevarse las paredes de esta catedral dela inteligencia, así visitamos y vemos tra-bajar a Fermat, el genio de los números,a Gauss el príncipe de los matemáticos,al prolífico y genial Euler y a los padresdel cálculo diferencial e integral,Newton y Leibniz, siendo testigos privi-legiados de la polémica más famosa dela historia de las matemáticas. Somostestigos también de las aventuras y des-venturas de los matemáticos en laRevolución Francesa y exploramos lapresencia de las mujeres matemáticas alo largo de más de dos milenios. No sóloconoceremos a los personajes sino quenos detendremos también en mirar losmateriales matemáticos que utilizaban ylos numerosos avatares a lo largo de laconstrucción del Universo Matemático.

Los títulos de los programas son:

• Pitágoras: mucho más que un teo-rema.

• Historias de PI.

• Números y cifras: un viaje en eltiempo.

• Fermat: el margen más famoso de lahistoria.

• Gauss: el príncipe de los Matemáticos.

• Euler: el genio más prolífico.

• Newton y Leibniz: sobre hombros de gigantes.

• Las Matemáticas en la Revolución Francesa.

• Mujeres Matemáticas.

• Orden y Caos. La búsqueda de un sueño.

Para una información más detallada de los programas sepuede consulta la dirección de Internet:

http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4

Es interesante destacar el hecho de que el premio lo haobtenido un programa de divulgación matemática en com-petición con documentales de todas las categorías del cer-tamen: medioambiente, divulgación científica, infantil, lar-gometrajes, geografía, medicina... Lo que viene a demos-trar que los contenidos matemáticos también pueden serdivulgados en televisión y atraer e interesar a un públicomuy amplio.

Desde SUMA nos congratulamos de este premio concedi-do a TVE, por lo que supone de reconocimiento hacia suincipiente labor de divulgación matemática, que espera-mos que anime a sus dirigentes a insistir en ella y que enuna próxima crónica, con motivo de otro premio, poda-mos sustituir el adjetivo «incipiente» por el de «ingente»(que también empieza por in).

Pero como lo que más feliz hace son los éxitos más cer-canos, constituye un placer felicitar al guionista y presen-tador de la serie (también de la anterior «Más por menos»,que no sabemos si tuvo algún premio, pero lo merecía),Antonio Pérez Sanz, Vocal de Prensa de la Federación ycolaborador incansable de nuestra revista, a través de artí-culos, crónicas y, en los últimos años, como coordinadory autor del rincón «Recursos en Internet».

Antonio, felicidades, gracias por deleitarnos con tus crea-tivos trabajos, y por favor… sigue.

133

OLIMPIADA Matemática Nacionalde la FESPM

Del 25 al 29 junio del 2003 se celebrará en La Rioja la XIVOlimpiada Matemática Nacional, dirigida a estudiantes de2.° de Educación Secundaria Obligatoria, convocada por laFederación Española de Sociedades de Profesores deMatemáticas y organizadas, en esta edición, por la Socie-dad Riojana de Profesores de Matemáticas «A prima».

Objetivos

• Fomentar entre los estudiantes el gusto por lasMatemáticas, así como presentar una visión de lasmismas complementaria y más realista que la utiliza-da en el aula.

• Ofrecer a los alumnos la oportunidad de disfrutar conla resolución de problemas matemáticos en los que serequiere el uso de diversas estrategias de pensamiento.

• Contribuir a la mejora de la enseñanza y del aprendi-zaje de las Matemáticas en la escuela.

• Apoyar la innovación entre el profesorado en la formade hacer Matemáticas.

• Propiciar la participación masiva de estudiantes y pro-fesores en las fases previas al encuentro nacional, deacuerdo con los objetivos propuestos en los estatutosde la Federación.

• Fomentar el espíritu cooperativo, potenciando la par-ticipación en equipo.

• Favorecer las relaciones de amistad y conocimientoentre jóvenes de diversas comunidades autónomas.

• Dar a conocer al alumnado participante, así como alprofesorado acompañante, las singularidades cultura-les, geográficas y humanas de La Rioja.

135

Actividades de la Federación:Olimpiada, JAEM

CONVOCATORIAS

XIV

42

febrero 2003

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PROGRAMA DE ACTIVIDADES

Miércoles, 25 de junio

De 17h a 21h. Recepción de participantes en el IES La Laboral.

21h 30m: Cena.

22h 30m: Acto de bienvenida. Normas y programa de la Olimpíada.

24h: Alojamiento en la Residencia del IES La Laboral.

Reunión del equipo organizador con los colaboradores y coordinadores.

Jueves, 26 de junio

9h: Desayuno.

10h 30m: Pruebas individuales en la Universidad de La Rioja. Almuerzo.

13h 30m: Bienvenida del Alcalde de Logroño en el Ayuntamiento.

14h 30 m: Lunch ofrecido por el Ayuntamiento de Logroño.

16h: Tarde de piscina con juegos matemáticos y merienda.

20h: Película y cena.

24h: Alojamiento en la Residencia del IES La Laboral.

Viernes, 27 de junio

9h: Desayuno.

10h : Salida hacia Calahorra.

11h: Prueba por equipos. Almuerzo.

13h 30m: Bienvenida del Alcalde de Calahorra en el Ayuntamiento.

14h 30 m: Comida ofrecida por el Ayuntamiento de Calahorra.

17h: Visita guiada por Calahorra.

20h: Salida hacia Logroño.

21h 30 m: Cena en el IES La Laboral.

22h 30m: Fiesta en La Laboral.

24h: Alojamiento en la Residencia del IES La Laboral.

Sábado, 28 de junio

8h 30m: Desayuno en La Laboral.

9h 15h: Salida hacia Haro.

10h: Visita al Museo del vino de Haro.

12h: Visita a las Bodegas Bilbaínas de denominación de origen Rioja.

14h: Bienvenida del Alcalde de Haro y comida ofrecida por el Ayuntamiento.

16h 30m: Salida hacia Nájera.

17h: Charla matemática en el centro de la Fundación Caja Rioja de Nájera.

19h: Visita a Santa María la Real de Nájera.

21h 30m: Bienvenida de la Alcaldesa de Nájera y cena ofrecida por el Ayuntamiento.

23h 30m: Salida hacia Logroño.

24h: Alojamiento en la Residencia del IES La Laboral.

Domingo, 29 de junio

9h: Desayuno

10h: Charla–conferencia matemática.

11h 30m: Acto de entrega de obsequios y diplomas a todos los participantes.

12h: Clausura de la XIV Olimpíada Matemática Nacional.

13h 30m: Comida de despedida.

PARTICIPANTES

Sociedades pertenecientes de la FESPM

Andalucía 6

Aragón 3

Asturias 3

Canarias 3

Cantabria 3

Castilla–León 3

Castilla–La Mancha 3

Cataluña 3

Extremadura 3

Galicia 3

Madrid 3

Melilla 2

Murcia 3

Navarra 3

Valencia 3

Invitaciones

Principado de Andorra 2

Escuelas españolas en Marruecos 2

País Vasco 2

Sociedad organizadora

La Rioja 6

XI JORNADAS para elAprendizaje y Enseñanzade las MatemáticasLas JAEM se han convertido en un lugarpara la reflexión, información, debate ybúsqueda de soluciones a los retos queplantea el Aprendizaje y la Enseñanzade las Matemáticas. Son, además, unmomento propicio para encontrarse conpersonas que comparten profesión ydeseos de mejorarla, lo que conlleva lacreación de contactos y lazos de amis-tad entre los asistentes.

Las XI JAEM se desarrollarán en SantaCruz de Tenerife los días 2, 3 y 4 dejulio de 2002 y en Las Palmas de GranCanaria el día 5. Están convocadas porla Federación Española de Sociedadesde Profesores de Matemáticas y organi-zadas por la Sociedad Canaria de Pro-fesores de Matemáticas «Isaac Newton»

Estructura general

Las XI JAEM se organizan en torno a lassiguientes actividades:

• Cuatro Conferencias Plenarias

• Siete Núcleos Temáticos que sedesarrollan en ponencias. Al finali-zar las ponencias de cada núcleo,habrá un debate con todos losponentes presentes.

• Comunicaciones, centradas preferen-temente en los Núcleos Temáticos.

• Talleres.

• Zoco matemático.

• Exposiciones. Se contará con intere-santes exhibiciones de temas relacio-nados con la Educación Matemática.

• Entrega del III Premio Gonzalo Sán-chez Vázquez

• Homenaje al Profesorado argentino.Se descubrirá una escultura mate-mática en recuerdo del profesorLuis A. Santaló.

• Actividades culturales. Se presenta-rá a los asistentes alguna muestrade la cultura canaria.

• Exposición y venta de materialesdidácticos por parte de casascomerciales, de la Federación y delas Sociedades Federadas.

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Comité de Programas

Luis Balbuena(Presidente)

Concepción García

Juan Antonio García

Margarita Marín

Emilio Palacián

Manuel Pazos

Un hombre solo, una mujer,así tomados de uno en uno

son como polvo no son nada, no son nada. (J.A.G.)

Traducido a nuestro oficio:Un enseñante aislado, un equipo pequeño

no puede hacerse oír respecto a losproblemas fundamentales de nuestra enseñanza.

La FESPM, nacida con vocación independiente, con voz pro-pia, como lugar de discusión de ideas, de debate de pro-puestas entre las diferentes sociedades que le dan alma, cora-zón y vida, por supuesto a través de sus socios, OS INVITAuna vez más a participar activamente en nuestras Jornadas,las de todos aquellos profesores de matemáticas que pensa-mos que el papel de las matemáticas en la formación de losindividuos es importante, pero que vemos que cada vez lascondiciones se nos ponen más difíciles: con horarios dismi-nuidos debemos de formar a nuestro alumnado cada vez másdiverso en una sociedad que cada vez necesita más forma-ción científica en las personas que la integran.Las JAEM nos proporcionan un lugar ideal para discutir elpresente e imaginar el futuro: para plantear grandes y peque-ños debates:¿Y si cambiasen las estructuras escolares y no los programas?¿Y si la escuela fuese un lugar protegido, lugar de trabajo, depaz, de igualdad, de laicismo?¿Y si la sociedad confiase en sus maestros y profesores?¿Y si ...Os esperamos.

Florencio VillarroyaPresidente de la FESPM

Como Presidenta de la Sociedad Canaria Isaac Newton deProfesores de Matemáticas, quiero expresar mi deseo de quela responsabilidad asumida al comprometernos a organizarlas XI JAEM se vea compensada por el éxito de las mismas.Asimismo, nuestro esmero en tratar de conseguir un eventocon el máximo nivel profesional se relaciona con la celebra-ción durante el 2003 de los XXV años de la creación de nues-tra Sociedad.Deseamos, además, que les quede un grato recuerdo de suestancia en las islas, no solo por el entorno geográfico, sinopor el nivel de relaciones humanas y profesionales que lasJAEM siempre propician. Les ofreceremos una muestra delpatrimonio cultural de las islas dentro de las actividades quefiguran en el programa. Se está realizando un importante esfuerzo para conseguirofertas de alojamiento que tengan una alta relación cali-dad/precio con el fin de que el aspecto económico no sea unelemento disuasorio para compartir estos días con nosotros.En este sentido, el desplazamiento a Gran Canaria, paracelebrar allí la última jornada de las JAEM, no supondrá uncoste adicional para los congresistas. Confiamos en que la buena voluntad y el esfuerzo que estárealizando el equipo de trabajo creado en torno a las XI JAEMse vean recompensados con una participación importante yque al regresar a sus lugares de origen, lo hagan satisfechos.

Dolores de la CobaPresidenta de la Sociedad «Isaac Newton»

• ANTONIO PÉREZ JIMÉNEZ. ¡Al fin puedePepito aprender probabilidad!

• MARISA SORIANO y EMILIA PARDO. Ma-temáticas en la Educación infantil.Una manera de organizarse.

5. El cálculo hoy. Perspectivas de futuro

• ANTONIO MARTINÓN. La enseñanza delcálculo en la Educación Secundaria.

• FRANCISCO PUERTA GARCÍA. Calcula-doras y currículo: de las cuatroreglas al cálculo simbólico.

• MODESTO SIERRA. De L´Hopital a lasnuevas tecnologías: algunos aspec-tos de la evolución de la enseñanzadel Análisis Matemático.

• PILAR TURÉGANO. La integral definidaen la Enseñanza Secundaria.

6. Conexiones

• SILVIA MARGELI y ÁNGEL ALSINA. Mani-pulación e imagen virtual en laclase de matemáticas.

• JOSÉ L. MONTESINOS. Las Matemáticasy el Absolutismo Político: Hobbes.

• ÁNGELA NÚÑEZ. Aprendizaje de lasMatemáticas con «Descartes»: unrecurso interactivo en INTERNET.

• NURIA PLANAS. Identidad y conflicto enel aula de Matemáticas multicultural.

• COVADONGA RODRÍGUEZ-MOLDES. Ma-temáticas más allá del currículo.

• ADELA SALVADOR. ¿Dónde hay fractales?

7. Problemas no matemáticos del profe-sorado de Matemáticas

• MANUEL ALCALÁ. Aprender a ser a tra-vés de la Educación Matemática.

• FERNANDO ALONSO. La innovación decada uno.

• JAVIER BRIHUEGA. La Programación.

• MANUEL GARCÍA DÉNIZ y JOSÉ A. RU-PÉREZ. Esta semana... ¿qué hacemos?Dinamización de las matemáticasen los Centros Educativos.

• SANTIAGO LÓPEZ ARCA. Pasaba poraquí y me vi atrapado en la ESO.

• JOSÉ A. LÓPEZ VARONA. Los estudios deevaluación nacionales e internacio-nales: información sobre el sistema.

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CONFERENCIAS PLENARIAS

• CLAUDI ALSINA. El Teorema del amor. Demostracióncompleta.

• CARMEN AZCÁRATE. Profesores de Matemáticas: dematemáticos a profesores.

• MANUEL FERNÁNDEZ REYES. Algunas reflexiones sobre loque nos queda por hacer.

• MARTÍN KINDT. Una excursión en el paisaje geométri-co del pintor Alberto Durero.

NÚCLEOS TEMÁTICOS

1. Modelizar la realidad

• MIQUEL ALBERTÍ. Pa´Tangke Lumu´: realidad lejana,matemática cercana.

• PINO CABALLERO. Matemáticas para la SeguridadCotidiana.

• JOSEP GASCÓN. El espacio de las Organizaciones Di-dácticas posibles en las Instituciones docentes.

• CARLOS USÓN. Un universo de certezas a la dulce som-bra de la regularidad.

2. A vueltas con los números

• DAVID BARBA. Los números antes y ahora y el trata-miento de la diversidad... de los docentes.

• MARÍA LUZ CALLEJO. Números que dan que pensar.

• MANUEL FERNÁNDEZ CABALLERO. Los otros números.

• ANTONIO R. MARTÍN ADRIÁN. Los algoritmos tradiciona-les de las cuatro operaciones aritméticas: ¡Han muer-to, pero no han sido enterrados!

• JOSÉ A. MORA y SALVADOR CABALLERO. Calculadora paraalumnos con dificultades en Matemáticas.

• MARTÍN M. SOCAS. Transición del pensamiento numéri-co al algebraico. Problemas de aprendizaje.

3. La geometría desde diferentes perspectivas

• MENCHU BAS. Ver, construir y tocar la Geometría. Utili-zación didáctica de los materiales.

• AGUSTÍN CARRILLO DE ALBORNOZ. Descubrir la Geome-tría con la ayuda de las nuevas tecnologías.

• NURIA GORGORIÓ. Geometría y visualización a lo largodel currículo.

• JOSÉ MUÑOZ, JUAN A. HANS y ANTONIO FERNÁNDEZ-ALI-SEDA. Miscelánea geométrica.

4. Estadística y probabilidad: educar para controlar elazar

• JOSÉ COLERA. La azarosa andadura de la enseñanza delazar.

• ANDRÉS NORTES. Tratamiento estadístico en el aula dela realidad diaria.

Comité Organizador

Luis Balbuena(Presidente)

Inés Plasencia(Secretaria)

Francisco Aguiar(Tesorero)

Pilar Acosta

Sergio Darias

Carlos Duque

Laura Fernández

Emma García Mora

Lourdes Hernández Pérez

Jesús Méndez

Francisco Padilla

Francisco Puerta

Jacinto Quevedo

M.a Jesús Rodríguez Martín

José A. Rupérez

Arnulfo Santos

Carmen Tavío

Ana Trujillo

Fidela Velázquez

COMUNICACIONES

Consiste en intervenciones de aproxi-madamente 15 minutos (más 10 decoloquio) en las que se podrá compar-tir y transmitir a otros compañeros pun-tos de vista, experiencias de aula, etc. Seregirán por las siguientes normas:

1. Las Comunicaciones deben estarreferidas a la enseñanza o el apren-dizaje de las Matemáticas en cual-quiera de los niveles educativos.

2. Han de encuadrarse en los NúcleosTemáticos propuestos aunque tam-bién se ofrece la posibilidad dehacerlas sobre cualquier otro tema.

3. Deben ser inéditas.

4. Si es de varios autores, al menosuno ha de estar inscrito. El certifica-do en este caso, será colectivo.

5. La admisión de los trabajos queda-rá supeditada a la decisión del Co-mité de Programa.

6. El plazo de admisión finaliza el día1 de abril de 2003.

7. Deberá expresarse con claridad quétipo de material de apoyo necesitapara su exposición (retroproyectorpara transparencias o de opacos,proyector de diapositivas, vídeo,cañón, ordenador, ordenadores enred, software, etc). Todas las pre-sentaciones informáticas debenvenir en formato Power-Point 2000.En otros supuestos, consultar con laOrganización.

8. Se dispondrá de 15 minutos para suexposición más 10 de coloquio conlos asistentes.

9. Se publicarán en las Actas de las XIJAEM, siempre que se adapten a lascondiciones que se especifican enlas normas para la publicación.

10. No se mantendrá correspondenciasobre las causas de no aceptaciónde una Comunicación.

TALLERES

Según las siguientes normas:

1. Los participantes a las XI JAEM pue-den presentar propuestas de realiza-ción de Talleres.

2. Quien lo desee, deberá enviar una descripción delTaller, indicando de la manera más detallada posible,el material que debería poner a su disposición elComité Organizador de las XI JAEM.

3. El plazo de admisión de propuestas finaliza el día 1de abril de 2003. A continuación, se confirmará a losautores si su propuesta ha sido aceptada por elComité de Programa y si existe algún problema con elmaterial que ha sido solicitado al Comité Organizador.

4. La descripción de los Talleres aceptados y realizadosse publicará en las actas de las XI JAEM. Para prepa-rar este documento, seguir las normas para la publi-cación.

5. Se ofertan dos posibilidades de tiempo (una o doshoras). La que se elija debe especificarse en la des-cripción del Taller:

ZOCO

El Zoco Matemático pretende ser una oferta que se hace atodos aquellos asistentes que deseen disponer de un espa-cio físico y horario en el que puedan presentar materialesdidácticos, recursos, programas informáticos, pósteres, etc.Se trata, junto con las Comunicaciones y Talleres, de uncanal ideal para tomar parte activa en las XI JAEM.

El Comité Organizador tratará de ayudar y orientar a quie-nes se animen a presentar algo en el Zoco Matemático ypara poder atender su solicitud les pedimos que tengan encuenta las normas siguientes:

1. Quien desee hacer uso del Zoco deberá enviar unadescripción de lo que presentará así como una rela-ción detallada del material que lo compone: paneles,tamaño de las piezas que presenta, etc.

2. Ha de indicar con claridad qué desea que la organi-zación ponga a su disposición: mesas, lugar para col-gar posters, ordenador, etc.

3. El plazo de admisión de peticiones para el Zoco ter-mina el 1 de abril de 2003. Posteriormente se lescomunicará si se ha aceptado su participación y siexiste algún problema con las peticiones efectuadas.

4. Se presentará una memoria de lo expuesto en el Zocopara publicarlo en las Actas de las XI JAEM, siempreque se adapten a las condiciones que se especificanen las normas para la publicación establecidas en estedocumento.

5. Los solicitantes se comprometen a montar y a des-montar su material en el espacio que se le asigne y aestar presentes en el lugar en los momentos que se lesindique para que los asistentes puedan dialogar conellos sobre lo expuesto.

6. Para el transporte hasta la sede de las JAEM de los mate-riales para exponer en el Zoco, deben ponerse en con-tacto con el Comité Organizador para informarles sobrela forma de hacerlo y de solicitar ayuda económica.

Coordinadores locales

Ana Negrín

Juan Contreras

Candelaria Espinel

Pino Cruz

Juan Cuenca

Consuelo González Luis

Enrique Freaza

Carmen Delia Clemente

Agustín Marrero

Horacio Arencibia

A. Alicia Pérez Hernández

José Antonio Martín Corujo

Asunción Reyes

Carmen Etelia Martín

Genaro Padilla

Lucía Henríquez Rodríguez

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Normas de publicación en las Actas

La publicación en las Actas de las XI JAEM deComunicaciones, Talleres y Zoco Matemático está sujeta ala aceptación y cumplimiento de las normas expuestas enla web de las XI JAEM:

www.sinewton.org/xi_jaem

También se puede solicitar al Comité Organizador.

Exposiciones

Durante las Jornadas, permanecerán abiertas diversasexposiciones relacionadas con la enseñanza y el aprendi-zaje de las Matemáticas. En el programa definitivo se deta-llarán sus contenidos.

La hora de los patrocinadores

Hora reservada en exclusiva, dentro del horario de lasJAEM, para que las casas patrocinadoras puedan mostrar alos asistentes sus productos, en la forma que determinecada una de ellas. Se informará pormenorizadamente enel programa definitivo.

Programa de acompañantes

Se está elaborando un programa de acompañantes que sedará a conocer a través de la WEB o de la SecretaríaTécnica.

Inscripción, alojamiento y desplazamiento

Las normas para la inscripción figuran en el número 41 deSUMA. Asimismo, y además para todas las cuestiones rela-cionadas con alojamientos y viajes, dirigirse a la SecretaríaTécnica de las XI JAEM.

En la WEB de las XI JAEM se encontrará informaciónactualizada sobre esos temas.

Más información

Comité Organizador

Apartado de correos 329, 38280 La Laguna (Tenerife)

Teléfono 922641061 / Fax 922640037e-mail: xi_jaem@sinewton.org

página web: www.sinewton.org/xi_jaem

Secretaría Técnica

I.J&AsociadosCl. Tomás Zerolo, 17

38300 La Orotava (Tenerife)Tfn.: 922 33 68 15Fax 922 33 68 16

e-mail: info@ij-asociados.com

XXI Concurso deResolución de Problemas

Convocado por la Sociedad «Puig Adam»de Profesores de Matemáticas y elColegio de Doctores y Licenciados enCiencias y en Letras, de acuerdo con lassiguientes bases:

Primera: Los alumnos podrán participaren el Concurso en tres niveles:

a) Primer nivel: alumnos de 3.° de ESO.

b) Segundo nivel: alumnos de 4.° de ESO.

c) Tercer nivel: alumnos de 1.° de Ba-chillerato

Segunda: Las pruebas consistirán en laresolución de Problemas de Matemá-ticas (los mismos para todos los concur-santes de un mismo nivel) y se realiza-rán en la mañana del sábado 7 de juniodel 2003 a partir de las 10 horas en laFacultad de Matemáticas de la Uni-versidad Complutense de Madrid.

Tercera: A los mejores de cada nivel, seconcederán diplomas y premios.

Cuarta: Los Centros que deseen presen-tar alumnos (hasta un máximo de seis)deberán realizar la preinscripción antesdel dia 7 de Mayo del 2003, dirigiéndo-se por carta o por fax al presidente denuestra Sociedad:

Prof. Javier Etayo Gordejuela

Departamento de Álgebra

Facultad de Ciencias Matemáticas

28040-Madrid

Fax: 91 394 4662

En la preinscripción no es preciso hacerconstar los nombres de los alumnosseleccionados. Si algún centro deseapresentar más de seis alumnos, debesolicitarlo antes de la fecha mencionadaanteriormente.

Quinta: Los centros entregarán a losalumnos que envíen, credenciales indi-viduales en las que se haga constar quehan sido seleccionados por su excep-cional aprovechamiento en Matemá-ticas, así como el curso en que estánmatriculados en el año académico 2002-2003.

140

Información sobrelos premios ICMI

El Comité Ejecutivo de la InternationalCommission on Mathematical Instructiondecidió crear dos premios a la investi-gación en educación matemática, en sureunión anual del año 2000:

• El Premio Hans Freudenthal, paraun programa destacado de investi-gación en educación matemática enlos últimos 10 años,

• El Premio Felix Klein Award, a unavida dedicada con éxito a la inves-tigación en educación matemática.

Estas distinciones consisten en un certi-ficado y una medalla, y estarán acompa-ñadas por una mención. Tendrán uncarácter similar al de un grado honorífi-co concedido por una universidad, y seconcederá cada año con numeraciónimpar. En cada ICME, se presentarán lasmedallas y certificados de los premiosconcedidos desde el ICME anterior y seentregarán en la Ceremonia de Apertura.

Los primeros galardonados con los pre-mios Freudenthal y Klein, serán dados aconocer al final del año 2003. Tambiénse presentarán formalmente en la cere-monia de apertura del congreso ICME10 en Copenhague.

Un Comité de Elección (CE) de seis per-sonas seleccionará los premiados. Los

miembros del CE serán elegidos por el Presidente delICMI, previa consulta con el Comité Ejecutivo y otros aca-démicos del área. El periodo de servicio es de 8 años norenovables, con tres de los miembros reemplazados cadacuatro años, en ocasión del ICME. Uno de los tres miem-bros que continúan será nombrado Presidente del Comité.Para iniciar el proceso se nombró un comité de 8 miem-bros en 2002, tres de ellos con un periodo de servicio de8 años, el resto por 4 años. Michele Artigue, profesora dela Universidad Paris 7 en Francia, y vicepresidente de ICMIaceptó presidir el Primer Comité de Elección por 4 años.No se darán a conocer los miembros activos del comité,excepto su presidente. El resto de los nombres de miem-bros del comité se harán públicos al finalizar su periodode servicio.

Una vez nombrado el CE, trabaja en forma completamen-te autónoma. Su trabajo y actas son internas y confiden-ciales, excepto en el proceso obvio de solicitar consejo einformación a la comunidad profesional, por parte del pre-sidente del comité. El comité tiene plenas facultades paraseleccionar los premiados. Su decisión es definitiva. Unavez hecha, se informará, confidencialmente, al ComitéEjecutivo de ICMI, vía su Presidente.

El CE está abierto a sugerencias respecto a los futurosgalardonados. Todas estas sugerencias, que deben ser cui-dadosamente apoyadas, deben ser enviadas por correoordinario al presidente del Comité, antes del final de Juniode 2003 (la dirección se da a continuación).

Michèle ArtiguePresidente del ICMI Awards Committee

IREM, Université Paris 7, Case 70182 place Jussieu,

75251 Paris Cedex 05 France

141

NORMAS DE PUBLICACIÓN

1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, ICE de Universidad de Zaragoza, C./Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original ya que éste será enviado a asesores para serreferenciado. Estos en ningún caso serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán laconveniencia o no de la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

3. Los gráficos, diagramas y figuras se enviarán en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra sobre papelblanco. Así mismo, podrán incluirse fotografías. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igualforma, si tiene que llevar un pie de ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de entre cinco y diez líneas, que no necesariamente tiene que coincidircon la Introducción al artículo. Debe ir escrito en hoja aparte. En ese mismo folio aparecerán los datos de identifica-ción del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto; sociedad fede-rada a la que pertenecen (si procede).

5. Si se usa procesador de texto, agradeceremos que además se envíe un disquette con el archivo de texto que contengael artículo, así como tantos archivos gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quiera incluir. La etiquetadel disquette debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuanto al formato de los archivos de texto, se recomienda MS-Word (hasta versión 5.0) en Macintosh, o WordPerfect (hasta versión 5.1) en PC. Los archivos gráficos es preferibleque tengan formato EPS o TIFF.

6. En cualquier caso, tanto un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y nofotocopias.

7. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

8. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo.

9. La bibliografía se dispondrá al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título delartículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:

TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.

En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.Por ejemplo:

GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.

En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entrecomillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:

VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidadde Zaragoza, Zaragoza.

10. Dentro del texto, las referencias a la bibliografía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Porejemplo: …supone un gran avance (Hernández, 1992).

Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el año. Por ejemplo: …según Rico(1993).

11. Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -–en caso afirmativo– la posi-ble fecha de su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicacionesa las que lo hayan remitido. No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

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Señores, les ruego atiendan, con cargo a mi cuenta/libreta y hasta nueva orden, los recibos que periódica-mente les presentará la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) para elpago de mi suscripción a la revista SUMA.

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Fotocopiar y enviar a: Revista SUMA. ICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

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