A S I G N A T U R A : E S T A D Í S T I C A I I

¡Error!Marcador no definido.

Segunda Unidad

Series de tiempo

Sumario:Esta unidad pretende familiarizar al alumno con las series de tiempo (ocronológicas), percibiendo su aplicación a situaciones comunes en la empresa,como estimar valores futuros de una serie. Da a conocer una aplicación de losnúmeros índices para hacer las series comparables en el tiempo.

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INTRODUCCIÓN

ara cualquier gerente de empresa, es importante pronosticar el futuro conalgún grado de certeza, y de hecho, se considera exitosa la funcióndesempeñada por un ejecutivo cuando logra estimar, con mayor precisión

que otros, lo que el futuro le depara.

Cómo no va a ser importante saber por ejemplo:

- ¿Cuál será la producción del próximo período?- ¿Cuáles podrían ser las ventas estimadas del próximo año?- ¿Cómo saber qué cantidad de stock será necesario tener para responder a las

demandas de los clientes?, etc.

Las interrogantes que se presentan en una empresa productiva o de servicios soninnumerables. Por lo tanto, cualquier método que permita adelantar juicios respectode que podría ocurrir, naturalmente con algún grado de seguridad, es obligatorio serconocido por quienes estudian administración. En las páginas siguientes veremoslas series de tiempo y su composición responden a esta problemática.

B: Conducta esperada en el alumno

Considerando lo señalado en la introducción, al término de la unidad usted deberáconocer y saber expresar, en el ámbito de la estadística económica, lo siguiente:

- El concepto de serie de tiempo.- Los componentes de la serie de tiempo.- La diferencia entre esos componentes.- La forma de determinar cada uno de esos componentes.- La factibilidad de poder eliminar algunos de esos elementos.- El uso de los números índices para suavizar la serie.- Los conceptos de intercepto y pendiente de la función de estimación.- El grado de confianza que se puede tener sobre la predicción.

C: Objetivos de la Unidad

- Conocer los elementos que constituyen una serie de tiempo.- Interpretar el significado que desde el punto de vista económico, se le puede dar

a cada uno de esos componentes.- Conocer y usar los métodos para determinar la tendencia de la serie.- Conocer y seleccionar el método adecuado para medir la tendencia de la serie.- Conocer los métodos para determinar y eliminar la variación estacional de una

serie.

P

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- Conocer el uso de los índices para suavizar la serie de tiempo, eliminando laestacionalidad.

- Conocer el grado de precisión que se obtiene con el pronóstico al determinar latendencia de la serie.

- Conocer la imposibilidad práctica de determinar los demás componentes de laserie de tiempo.

D: Contenidos de la Unidad

2.1.- Concepto y definición.

2.2.- Clasificación de las series cronológicas según sus movimientos.

2.3.- Tendencia lineal. Datos mensuales estimados.

2.4.- Tendencias no lineales.

2.5.- Variación estacional.

2.6.- Variaciones cíclicas y aleatorias.

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2.1.- Concepto y definición.Se llama serie cronológica o temporal, a aquélla en la que alguno de sus caracteresse mide en unidades de tiempo; el resto de los caracteres de la serie puede sercualitativo o cuantitativo.

La expresión matemática de este tipo de serie es entonces: Y = f(t)y permite estudiar el comportamiento de la variable Y a lo largo del tiempo t.

Algunas gráficas de series cronológicas:

Y Y -110- - Yt+2 90 - - Yt70 - - Yt-2 -50 - -30 - ! - t-2 t t+2 - ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ en fe ma ab my ju jl ag se oc nv di

2.2.-Clasificación de las series cronológicas según sus movimientos

Si observamos cualquiera de las figuras anteriores podemos observar que losvalores de la serie (valores de Y) son distintos en cada período, de forma que lagráfica de la función evoluciona al transcurrir el tiempo. A esta evolución se lellama movimiento de la serie.

Cualquier serie cronológica estará sujeta a movimientos más o menoscomplejos, que podemos descomponer en 4 característicos principales,conocidos como componentes de la serie cronológica.

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Aunque en algunos casos, para simplificar el estudio de la serie de tiempo, seconsidera tan sólo uno o dos de estos componentes, no por ello en la mayoríade los casos están presentes estos 4 componentes.

Una forma de presentarlos es expresarlos como una función, ya sea de suma oproducto, como la siguiente:

Y* = T * C * E * A

En que:- (T) movimientos de larga duración o tendencia,- (C) cíclicos,- (E) estacionales y - (A) al azar o irregulares.

* Movimientos de larga duración o tendencia: mediante este movimientose intenta encontrar la dirección general o tendencia del gráfico de la serieen el tiempo. La curva de tendencia muestra la evolución general de laserie y puede determinarse por varios métodos; algunos de ellos son: el demínimos cuadrados (que ya vimos en Estadística 1) y el de semipromedios.En general, este movimiento estará representado por una recta o curva deltipo de las figuras de la página siguiente.

* Movimientos cíclicos: se estudian también en movimientos de largaduración y representan las oscilaciones a lo largo de la recta o curva detendencia. Estas oscilaciones reflejadas en los períodos de larga duraciónconstituyen los ciclos de la serie, y pueden o no ser periódicos. Engeneral, un movimiento se considera cíclico si su período tiene un intervalode tiempo no inferior a un año. Una representación genérica se muestra enel gráfico correspondiente.

* Movimientos estacionales: representan, durante años sucesivos, laevolución de la serie a lo largo de cada período de tiempo dentro de cadaaño. Una buena parte de las series cronológicas siguen normas idénticasdurante estos períodos de tiempo, y su gráfico tiene un aspecto muy similaral de años anteriores y sucesivos. Estos movimientos anuales se deben asucesos recurrentes que se repiten anualmente. Un gráfico que presentaeste movimiento en conjunto con los dos anteriores aparece en lossiguientes:

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* Movimientos al azar o irregulares: ocurren en una unidad de tiempo daday siendo esporádicos, alteran la serie. Suelen existir debido a hechosaislados tales como guerras, terremotos, inundaciones, olimpiadas, etc.Aunque estos hechos producen variaciones en la serie que sólo duran uncorto intervalo de tiempo, las consecuencias suelen ser tan intensas queson capaces de alterar otros movimientos de la serie (originar un nuevociclo, variar la tendencia, etc.).

Y Y Y

línea de tendencia

t ttMovimientos de larga duración (tendencia) Movimientos cíclicos

Y Y

T tMovimientos estacionales Movimientos al azar o irregulares

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Actividad de Aprendizaje

1. Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellosconceptos que ha seleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que seentrega a continuación para realizar esta actividad. Recuerde que las palabras deenlace deben formar NECESARIAMENTE una unidad semánticaCOHERENTE

Construya un mapa conceptual.

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2.3.- Tendencia lineal

El método mas ampliamente aplicado para ajustar las líneas de tendencias aseries de tiempo es el de mínimos cuadrados.

Sabemos que el problema de ajustar una recta de mínimos cuadrados: Y* = ß0+ ß1 x , consiste esencialmente en determinar los valores ß0 y ß1 , que para un

conjunto de datos dado, hagan la y - y∗( )∑2, lo más pequeña posible. Para

hacerlo se usa el sistema de ecuaciones normales:

y = n∑ β0 + β1 x∑( )xy =∑ β0 x∑( )+ β1 x2∑( )

Como en el análisis de series de tiempo, las x prácticamente siempre se refierena períodos sucesivos (por lo general años), puede simplificarse el problemarealizando un cambio de escala, o una codificación de las x, de manera que enla nueva escala la suma de las x sea igual a cero.

- Si la serie tiene un número impar de cifras, al año del centro se le designapor x=0

- Si la serie tiene un número par de cifras, a los dos años del centro se lesllama (x= -1) y (x= +1), quedando el origen de la serie entre esos 2 años.

Si realizamos este cambio en el sistema de ecuaciones normales tendremosentonces:

y = nβ0∑ xy = β1 x 2∑( )∑

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Ejemplo: en la tabla siguiente se presentan las ventas en miles de pesos de unaempresa, durante 9 años:

AÑO x Ventas en xy x² Miles (y)

1990 -4 15.432 -61.728 161991 -3 17.406 -52.218 91992 -2 16.616 -33.232 41993 -1 18.532 -18.532 11994 0 18.480 0 01995 1 16.405 16.405 11996 2 19.680 39.360 41997 3 22.210 66.630 91998 4 20.525 82.100 16

∑ 0 165.286 38.785 60

β 0 =165.286

9=18.365,1

β1 =38.785

60= 646,4

Por lo tanto: y* = 18.365,1 + 646,4 x es la ecuación de la línea de la tendencia.

Para mayor claridad de lo que representa esta ecuación de la tendencia, serecomienda agregar una explicación, en la que se señala con precisión el origenque tienen las x y las unidades de medida en que se presentan las x y las y.

En el ejemplo:

y* = 18.365,1 + 646,4 x

origen : 1º/Julio/1994 (se considera el orígen en la mitad del año).unidad de x : un año.unidad de y : ventas en miles de pesos.

Esto permite saber, que para la tendencia de 1994 se tiene un valor de 18.365,1miles y que el incremento de la tendencia anual (el crecimiento de un año alsiguiente) en las ventas se estima como 646,4 miles en este período.

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Cuando hemos calculado una ecuación de tendencia, podemos utilizarla paraestimar el valor de la tendencia en un año cualquiera, al sustituir en la ecuaciónel valor de x.

Ejemplo: determine el monto de las ventas para 1991 y 1998, es decir, x =-3 yx = 4, respectivamente.

y* = 18.365,1 + 646,4 (-3) = 16.425,9 (para 1991)

y* = 18.365,1 + 646,4 (4) = 20.950,7 (para 1998)

- Como puede verse, para el año 1991 se estima una venta de y* = M$16.426, cuando en la práctica el valor real es: Y = M$ 17.406.-, lo mismoque para 1998, donde el valor estimado es de y* = M$ 20.951 y el valor reales: Y = M$ 20.525.

- En el primer caso se produce una subestimación del verdadero valor de lasventas de la compañía, mientras en el segundo, por el contrario, ocurre unasubestimación de dichas ventas.

- Esto evidencia que la recta, siendo una buena estimación de la tendencia delas ventas de la empresa, no es exacta y que se ha cometido un error deestimación.

- Pero se puede calcular el error estándar de estimación Sy,x , para lo cual sepuede utilizar la fórmula siguiente:

S2y,x = ∑ ( y*i – yi )2 de cuya raíz se obtiene el valor requerido.

- Con este error estándar de estimación, se pueden construir (tal como vimosen Estadística 1), intervalos de confianza para la estimación de la forma:

[ y* ± k Sy,x ]

en que k corresponde a un número entero determinado por el nivel deconfianza que deseamos tener de la estimación hecha.

¡¡¡¡ OJO !!!! Actualmente estos cálculos no se realizan de forma manualya que usando las herramientas estadísticas del EXCEL, se puede obtenertoda esta información.

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Actividad de Aprendizaje

Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellos conceptosque ha seleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que se entrega acontinuación para realizar esta actividad. Recuerde que las palabras de enlace debenformar NECESARIAMENTE una unidad semántica COHERENTE.

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2.3.1. Datos mensuales estimados

A veces es necesario o deseable, modificar una ecuación de tendencia como laanterior, con el fin de utilizarla con datos mensuales, para que las x se refierana meses sucesivos y no a años sucesivos, o el origen de las x sea la mitad de unmes y no la mitad de un año. Hay procedimientos que permiten realizar esteajuste.

Actividad de Aprendizaje

• Seleccione, haga una lista y ordene jerárquicamente los conceptos másrelevantes de la lectura anterior.

• Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellosconceptos que ha seleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que seentrega a continuación para realizar esta actividad. Recuerde que las palabras deenlace deben formar NECESARIAMENTE una unidad semánticaCOHERENTE.

Construya un mapa conceptual de al menos tres niveles de profundidad.Recuerde que hay dos aspectos MUY IMPORTANTES: ordenar losconceptos y formarse una idea global de lo más relevante de la lectura.

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2.4.- Tendencias no lineales

Cuando los datos parecen desviarse ampliamente de la linealidad, en el análisisde regresión de una serie de tiempo, debemos pensar en el ajuste de una curvaen lugar de una línea recta.

Una de las curvas mas útiles es la parábola, cuya ecuación es:

y* = a + b x + c x2

Al ajustar una parábola por medio del método de mínimos cuadrados, debemosdeterminar a, b y c, de la ecuación, para lo que se usa el siguiente sistema deecuaciones normales:

∑y = n a + b (∑ x) + c (∑ x2) ∑x y = a (∑ x) + b (∑ x2) + c (∑ x ) ∑ x2y = a (∑ x2)+ b (∑ x ) + c ( ∑ x )

Pero, podemos nuevamente cambiar el origen, por lo ∑ x = 0 y la ∑ x3 = 0. Porlo tanto el sistema se reduce a:

∑ y = n a + c (∑ x2) ∑ x y = b (∑ x2) ∑ x2y = a (∑ x2) + c (∑ x )

donde "b" se determina directamente.

Existen otras técnicas diferentes con las que se pueden describir las tendenciasen términos matemáticos, pero la mayoría de los problemas se resuelvanusando éstas.

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Actividad 2.1:

Don Luis Cicleto, distribuidor y minorista de bicicletas de 5 y 10 velocidades paraniños, ha tratado de pronosticar la demanda de sus productos, pero los resultados nole han satisfecho. El problema ha sido resuelto usando el método de promediosmóviles y el método de mínimos cuadrados (determinando tanto la recta como laparábola), que se pueden ajustar a los datos.

El desarrollo es el siguiente: usando el método de promedios móviles (n=2),tenemos:

Mes Ventas(Y) n =2 n=2 n =2

Ene. 1.800Feb. 800Mar. 1.000 1.300Abr. 800 900May. 1.300 900 1.100,0Jun. 1.000 1.050 900,0 Jul. 1.500 1.150 975,0 1.000,00Ago. 1.100 1.250 1.100,0 937,5 0 (1)Sep. 1.050 1.300 1.200,0 1.057,50Oct. 900 1.075 1.275,0 1.150,00Nov. 2.200 975 1.187,5 1.237,50Dic. 4.800 1.550 1.025 0 1.231,25Ene. 3.500 (2) 1.262,5 1.106,25Feb. 2.525 1.143,75Mar. 1.893,75

• Entre más grande sea el valor de n (número de datos a promediar), elpronóstico responderá a los cambios con poca importancia.

• (1) Podría usarse el valor conocido en lugar del valor estimado o el menorde los valores estimados.

• Podrían ser ponderados asignándole mayor importancia a los datos másrecientes.

• Con el método de promedios móviles se estima que en Enero de 2.000 sevenderán 3.500 bicicletas (2).

• Las estimaciones que se han determinado no son coincidentes, estonaturalmente significa que “Una herramienta matemática de pronóstico,NO PUEDE reemplazar al buen juicio de quien decide”.

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La tabla para el cálculo de la recta y la parábola es la siguiente:

MesProducción(Y) xi yi xi xi2

yi xi2 xi

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Ene. 1.800 -6 -10.800 36 64.800 1.296Feb. 800 -5 - 4.000 25 20.000 625Mar. 1.000 -4 - 4.000 16 16.000 256Abr. 800 -3 - 2.400 9 7.200 81May. 1.300 -2 - 2.600 4 5.200 16Jun. 1.000 -1 - 1.000 1 1.000 1Jul 1.500 1 1.500 1 1.500 1Ago 1.100 2 2.200 4 4.400 16Sep 1.050 3 3.150 9 9.450 81Oct 900 4 3.600 16 14.400 256Nov 2.200 5 11.000 25 55.000 625Dic 4.800 6 28.800 36 172.800 1.296∑ 18.250 0 -24.800 182 371.750 4.550

50.250 =25.450

Para determinar la ecuación de la recta, y* = a + bx, tenemos el siguiente sistemade ecuaciones normales

∑y = n a + b ∑x∑yx = a ∑x + b ∑x2

18.250 = 12 aa = 1.520,83

25.450 = 182 bb = 139,835

Y* = 1.520,83 + 139,835 x; para enero de 2000: x = 7, por lo tanto

Y* =1.520,83 + 139,835 * 7 = 2.499,7

Con la recta se estima que las ventas en enero de 2.000 serán 2.500 bicicletas.

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Para determinar la ecuación de la parábola, y* = a + bx + cx2, usamos el sistema deecuaciones normales, en que se han eliminado los términos en que aparecen: ∑x y∑x3 iguales a cero.

∑y = n a + c∑x2

∑yx = b∑x2

∑yx2 = a ∑x2 + c∑x4

al reemplazar

18.250 = 12 a + 182c

25.450 = 182 b ∴ b = 139.825

371.750 = 182a + 4.550 c

12 182

∆ = = 54.600 – 33124 = 21.476 182 4.550

18.250 182∆a = = 83.037.500 – 67.568.500 = 15.379.000 371.750 4.550

12 18.250∆c = = 4.461.000 – 3.321.500 = 1.139.500 182 371.750

∆a 15.379.000a = = = 716,10 ∆ 21.476

y* = 716,10 + 139.835 x + 53,06 x2

∆c 1.139.500c = = = 53,06 ∆ 21.476para enero de 2000: x = 7, por lo tanto

y* = 716,10 + 139.835 * 7 + 53,06 * 72 = 716,10 + 978.845 + 2.599,94

y* = 4.294,9 Para enero de 2000, con la parábola, se pronostica una venta de4.295 bicicletas.

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Mientras más se aleje de los últimos valores conocidos de la serie, el pronósticoresultará menos certero.

El pronóstico realizado no logró sus objetivos porque hubo cierta diferencia notableentre el valor estimado y el valor observado. Si se le ha pedido su asesoría. ¿Cuálsería su pronóstico?

Actividad de Aprendizaje

• Seleccione, haga una lista y ordene jerárquicamente los conceptos másrelevantes de la lectura anterior.

• Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellosconceptos que ha seleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que seentrega a continuación para realizar esta actividad. Recuerde que las palabras deenlace deben formar NECESARIAMENTE una unidad semánticaCOHERENTE.

- Construya un mapa conceptual de al menos tres niveles de profundidad.

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2.5.- Variación estacional

Recordemos que se trata de aquellos movimientos que en una serie ocurren máso menos con regularidad en los mismos meses de años sucesivos. A la medidade esta variación estacional se les llama índices de variación estacional oíndice estacional.

Por ser mensuales los datos, un índice estacional consta de 12 números, uno porcada mes, y cada uno de ellos expresa la actividad de ese mes en particularcomo porcentaje de la actividad del mes promedio.

Por ejemplo, si el índice estacional de las ventas de un comerciante en junio es92, esto quiere decir que las ventas de junio suelen ser equivalentes al 92% delas ventas del mes promedio. Nótese que se utiliza la expresión "suelen ser",porque el porcentaje real de un mes dado varía ampliamente de un año a otro,y el 92% es un promedio de estos porcentajes. Como sería el caso del ejemplo,en que naturalmente Don Luis Cicleto no puede creer que las ventas deNoviembre - Diciembre puedan ser iguales que las de Junio – Julio.

Aunque los índices estacionales suelen determinarse de forma mensual, sepueden elaborar para otras subdivisiones, por ejemplo en períodos trimestraleso semanales.

Para medir las variaciones estacionales o para elaborar un índice estacional,con frecuencia se utiliza el método de la razón del promedio móvil o delporcentaje del promedio móvil.

En la práctica, los patrones estacionales varían un poco de un año a otro, demanera que no se puede esperar que el promedio móvil elimine toda lavariación estacional. Sin embargo, eliminará la mayor parte de dicha variacióny también la mayor parte de la variación irregular, de modo que el promediomóvil de 12 meses es una estimación de las componentes de tendencia y de lasvariaciones cíclicas de la serie.

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Actividad de Aprendizaje

• Seleccione, haga una lista y ordene jerárquicamente los conceptos másrelevantes de la lectura anterior.

• Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellosconceptos que ha seleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que seentrega a continuación para realizar esta actividad. Recuerde que las palabras deenlace deben formar NECESARIAMENTE una unidad semánticaCOHERENTE.

Construya un mapa conceptual de al menos tres niveles de profundidad.

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2.6.- Variaciones cíclicas y aleatorias

De la misma forma como se determina la variación estacional, podría precisarse lavariación cíclica. Pero para ello es necesario contar con información para una seriede años, pues generalmente los ciclos en la economía se reproducen cada 10 o másaños.

En el caso de la variación aleatoria, como su nombre lo indica, es imposible depronosticar y es aquí en general, cuando los pronósticos pierden toda suvalidez.

Actividad 2.2

Dada la siguiente ecuación de tendencia de las ventas en millones de pesos deuna empresa.

origen : 1/7/96 y* = 48 + 5,76 x unidad de x : año

unidad de y : millones de pesos

- Interprete los parámetros de la función.

- Sabiendo que los índices estacionales están dados por:

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Indice 119,8 107,2 103,4 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 96,4 106,0 112,3 119,6

Interprete los índices estacionales de enero y mayo.

- Determine cuál sería la venta de 1998, usando la función anual.- Interprete los valores encontrados en el punto anterior.- Desestacionalice el valor encontrado en el punto c) anterior, e interprete su

valor.

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DESARROLLO

Teniendo la ecuación de tendencia de las ventas en millones de pesos de laempresa.

origen : 1/7/96 y* = 48 + 5,76 x unidad de x : año

unidad de y : millones de pesos

a) Interprete los parámetros de la función.

El valor del intercepto (β0 = 48), significa que la venta mínima de laempresa, o el valor inicial de la serie de las ventas de ésta es de 48 millonesde pesos.

El valor de la pendiente (β1 = 5,76), significa que el incremento anual delas ventas de la empresa es de 5.760.000 pesos, es decir, que anualmente laempresa crece en sus ventas en 5.760.000 pesos.

b) Si los índices estacionales para cada uno de los meses del año son lospresentados en la tabla:

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Indice 119,8 107,2 103,4 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 96,4 106,0 112,3 119,6

El índice de enero (119,8), significa que las ventas en dicho mes, aumentan en19,8%, por tratarse de enero. Es decir, que por las características del productoque se comercializa, en tal fecha se vende un 19,8% más que lo normal.

¡¡¡¡¡OJO!!!!!

Esto significa que si en el mes de enero de un año cualquiera se tiene una ventade 90 millones de pesos que es mayor que la del mes anterior (85 millones depesos), no significa que la empresa está empezando a vender más, si no quedeberá desestacionalizarse la venta de enero, eliminando el factor estacional,dividiendo por el índice que se tiene. Es decir:

Las ventas reales de enero, sin el incremento estacional, serían: MM$ 90 : 1.198 = 75,125209 es decir: se vendió $ 75.125.209.-

se puede ver que esta venta es inferior a la del mes anterior ($85.000.000.-)

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El índice de Mayo (87,2), significa que las ventas en dicho mes de Mayo,normalmente disminuyen en 12,8%, por tratarse de él. Es decir, que por lascaracterísticas del producto que se comercializa, en mayo se vende un 19,8%menos que lo normal.

Nota: si quiere desestacionalizar la venta de mayo deberá, al igualque en el caso anterior, dividir por 0,872. Por ejemplo, si las ventasde mayo de un año cualquiera fueran 65 millones, la venta real paradicho mes sería de:

MM$ 65 : 0,872 = 74,541284

es decir, que si el mes no fuera mayo en que las ventas bajan, estaventa representaría para la empresa una venta real de 74.541.284pesos.

c) La venta estimada para 1998, usando la función anual, sería:

y* = 48 + 5,76 x = 48 + 5,76 (2) = 48 + 11,52 = 59,52 millones depesos

d) Esto significa que se pronostica que las ventas que se podrían producir en elaño 1998, si las condiciones de ventas de la empresa se mantienen, seríandel orden de los 59.520.000 pesos.

e) Suponiendo que esta venta anual se pudiera “repartir” igualitariamente,durante los 12 meses del año, entonces la venta mensual promedio para unmes sería de aproximadamente $ 4.960.000 pesos.

Si este valor estimado se desestacionaliza por el correspondiente índiceestacional, se tendría una estimación más fidedigna de lo que se podríavender en un mes cualquiera del año 1998.Por ejemplo:- La venta para febrero de 1998 podría ser: 4,96 : 1,072 = $ 4.626.866- La venta para agosto de 1998 podría ser: 4,96 : 0,895 = $ 5.541.899

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Ejercicio propuesto

1.- En los años 1970-1982, las ventas de energía eléctrica y gas en Chile (enmiles de millones de pesos) fueron: 22,1, 24,7; 27,9; 31,7;39,1; 46,9; 53,5;62,6; 69,8; 79,6;95,5; 111,6 y 122.

a) Ajuste a esta serie una recta por el método de los mínimos cuadrados.b) Ajuste una parábola por el método de los mínimos cuadrados.

c) ¿Cuál es la estimación del valor de la tendencia en el año de 1980, sobre labase de las dos funciones de pronóstico?

c) Calcule los valores de tendencia para cada uno de los años de la serieusando las dos funciones y dibuje las curvas que pasan por ellos,comparando visualmente las tendencias rectilínea y parabólica.

2.- Dados los siguientes datos sobre el Producto Nacional Bruto de un país(en miles de millones de dólares) calcule la tendencia usando alguno delos métodos que Ud. considere mas adecuado al problema.

AÑO: 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960PNB: 347 365 363 397 419 443 444 482 503

3.- Los gastos personales en un país durante ciertos años fueron:

AÑO: 1956 1957 1958 1959 1960Gastos: 270 285 295 315 330 (en miles de millones $)

a) Ajustar la curva de tendencia a una recta por el método de mínimoscuadrados y por alguna otra que Ud. estime se ajuste a ellos.

b) Basándose en estas ecuaciones, ¿en que año diría Ud. que los gastospersonales alcanzarán los 360 (miles de millones de pesos).

4. En un estudio de ventas de un producto de línea blanca, un fabricante calculala siguiente ecuación de tendencia por el método de mínimos cuadrados:

origen : 1986 y* = 2.800 + 200 x unidad de x: un año unidad de y: número unidades vendidas c/ año.

a) ¿Cuál es el incremento anual del número de unidades vendidas?b) Si la empresa puede producir sólo 3.600 unidades anuales, ¿En qué año se

habrán igualado las ventas previstas y su capacidad física actual?

c) ¿En cuánto excede la capacidad actual de la compañía a la cifra de las ventasestimadas para 1992?