TRABAJOS DE ESTADISTICA Vol. 1, Nt]m. 1, 1986, pp. 140 a 150

S U M A S DE P R O D U C T O S DE V.A.I.I.D

Revisado, octubre 1985

Ricardo VElez Victor Herndnde: Unit, ersidad Aut6noma de Madrid

RESUMEN

Obtenemos en este trabajo resultados del tipo ley fuerte, teorema central del limite, Icy del logaritmo iterado etc., para la sucesi6n de variables alea- torias

l I n = I -,}- X 1 + X 1 X 2 -]- X I X 2 X 3 q- . . .

donde {Xk}~=l es una sucesi6n de variables independientes e igualmente distribuidas, analizando previamente su convergencia.

Palabras clace: Leyes fuertes. Teorema central del limite. Ley del logaritmo itfrado.

Clasificaci6n A.M.S.: 60F15. Title: Sums of products of i.i.d.r.v.

SUMMARY

In this paper we get some results about the asymptotic behavior of the sequence

FI, = 1 + X I + X I X 2 + X I X 2 X 3 + ...

where {X,~.=I are i.i.d, random variables. Strong limit laws Central limit theorem and Iterated Logarithm law are obtained, after an analysis of the convergence of FI,. Rates of convergence are also given.

Key words: Strong laws. Central limit theorem. Iterated logarithm law.

A,M.S. 1980 Subject Classification: 60F15.

140

1. Introducci6n

Sean {Xk} ~= ~ variables aleatorias independientes, igualmente distri- buidas y no negativas. Consideremos la sucesi6n n, = 1 + X~ + + X ~ X 2 + ... + X ~ X 2 . . . X , , cuyo compor tamiento asint6tico se pre- tende analizar. Las propiedades de n, estfin relacionadas con las de

la sucesi6n So = O, S. -- ~ lg X k puesto que 7t. = Z e s~. 1 o

2. Convergencia de ~.

E1 siguiente resultado analiza el limite casi seguro de la sucesi6n creciente ~,.

Teorema 1. Si E(lg X 1 ) e [ - o v , 0 ) , lira ~. < oo casi seguro.

Si E(lg X1)~[0, ~ ] , lira ~. = oo casi seguro. ?1 -'-* O 0

Demostraci6/1: En virtud de la ley de los grandes nflmeros de Kol-

Sn c . s . m o g o r o v , - - - - * E ( I g X ~ ) siempre que E(lg X1) exista. Por tanto, si

/1

E ( l g X 1 ) e [ - o o , 0 ) y E ( l g X t ) < 6 < 0 , con probabil idad uno, ser~ / I O0 O0

- - < 6 a partir de un no en adelante, de forma que Z es" < Z en'~ < oo /1 no no

c.s. y 7r. converge casi seguro hacia un limite finito. Si E(lg Xl)e(0, ~ ] el mismo razonamiento prueba que 7t. c.s. , or.

En el caso E(lg X~) = 0, la recurrencia de las sumas S. (c.f. Chow- Teicher (1978), p~g. 145) garantiza que, con probabil idad uno, serfi S. > 0 o bien exp ( S . ) > 1, para infinitos valores de n, por consiguiente

l - I . --~ O0 C.S.

Si E(lg + X1) = ~ y E(lg- X~) -- ~ no parece sencillo dar condi- ciones suficientes para la convergencia de n , . Desde luego la recu- rrencia de la sucesi6n {S,}~=~ es una condici6n suficiente para la divergencia de FI,, en este sentido el teorema de Chung-Fuchs (c.f. Chow-Teicher (1978), p~tg. 145) proporciona una condici6n suficiente para la divergencia, por tanto la transitoriedad de las sumas es una condici6n necesaria para la convergencia, sin embargo, esta condici6n

141

no es suficiente (sobre los posibles comportamientos, a veces insos- pechados de S,, ver Stout (1974), prig. 337).

Otra condici6n necesaria para la convergencia, independiente de las hip6tesis sobre los momentos, se sigue del resultado de Spitzer (1956).

Puesto que 1 ~< 1-I. Y, la convergencia de I-I, en media de orden p equivale a E(Y p) < ~ . A continuaci6n estudiamos los momentos de Y

T eo re ma 2 . S e a p > 0 , E(Y p)< or s i y s 6 1 o s i E ( X ~ ) < 1.

Demostraci6n: Como n , = l + X l r c ' , - I siendo rc'.-x=l+X2+S2X3+ + ... + X2X3. . .X, independiente de X~ y con la misma distribuci6n que rc,_~, serfi Y = 1 + X~Y' siendo Y' independiente de X: y con la misma d i s t r i b u c i 6 n que Y. Po r c o n s i g u i e n t e E ( ( Y - 1 ) p)= = E(X~)E(Y p) y si E(Y p) < o~ resulta E(X~) < 1.

Supongamos ahora E(X~) < 1 y consideramos pc(0, 1]; en tal caso (I + a ) p~< 1 + a p v a > 0 d e f o r m a que

E(nP,) <~ 1 + E(X~)E(rrg_~) Vn

es decir

E(rr~) <~ 1 + E(X~) + E(X~) a + ... + E(X])" 'On

y, por tanto,

E(Y p) <~ [1 - E(X~)] -x

S i p >/ 1 utilizando la desigualdad de Minkowsky

E(n~) lip <<. 1 + E(X~)~"PE(rr~_ t) I~p ~< 1 + E(X~) ~'p + ... + E(X~) "'p

y, por tanto,

E(Y ~) ~ [1 -- E(Xg~/P] -"

A prop6sito de la relaci6n entre los resultados anteriores, la desi- gualdad de Jensen permite concluir que E ( l g X x ) < 0 si E(X~)< 1

142

para algfin p > 0. En sentido contrario se verifica el siguiente resul-

tado que utilizaremos m~s adelante.

Lema 1. Si E ( X ~ ) < oo para algfin p > 0, E(X'~) ~/" decrece hacia e e(Ig x') cuando r ~. 0. En particular, si E(lg XI) < 0, existe rl > 0 tal que

E(X'I) < 1 Vr < rx. (Este resultado aparece propuesto en Rudin (1970) Cap. 3.)

Demostraci6n: Recordemos que E(X'x) x/" es una funci6n creciente de r > 0 y que lg E(X'I) es una funci6n convexa (c.f. L6eve (1963)).

Si 0 < P{Xx > 0 } < 1, como X]--* l{x , r ' cuando r,~0 y para 0 < r < p se tiene:

0 ~< X] ~< mhx(1, X])

se verificar~.:

I g E ( X ] ) ~ I g P { X 1 :~0}. , cuando r~0

r - l l g E ( X ~ ) ~ - ~ , cuando r+0

Entonces E(Ig X~) = - o c puesto que X I = 0 con probabil idad posi- tiva y lg + XI es integrable.

Si P { X I > 0} = 1, como

X~lgXl l {x~<l] <<. X '~ IgXI <<.X~lgXlI{x~>1} V r e [ a , b ]

siendo ambos extremos integrables si b < p, resulta que E(X'~), y por consiguiente lg E(X~), son derivables en (0, p) y se tiene

d E(X'x lg X 1) _ l g E(X]) - a r E( X'I)

Adem~s, como X'I c.s. r~-Tz~l, es E(X]) ~-Z-0--~l; por otra parte X ' x l g X l decrece hacia Ig X x cuando r + 0, de manera que E(X'I lg X 1) ~ E(lg X x).

Consecuentemente (cf. Freedman (1971) w 3-16), lg E(X]) es deriva- ble por la derecha en el origen, con derivada E(IgXI), es decir, r - 1 lg E(X]) -~ E(lg Xt) cuando r $ 0.

143

3. Propiedades asint6t icas de FI, en el caso E(lg X~) > /0 .

Teo rema 3. Si E(lg X 1 ) / > 0 se cumple :

I - I n

i) ~ 0 c.s. ~X n

Fin ii) - - ~ o o c . s .

0~ n

para cada ~ , 0c > e x p ( E ( l g X l ) )

para cada 0 < ~ < exp(E( lg Xt ) )

X1 X1X2 X1X2...X, Demostraci6n: Si lgct > E ( l g X ~ ) , I + - - + ~ + - . . +

O~ (X 2 tX n

/ - - x

converge casi seguro pues to q u e E / l g ~ ) < O ; c o m o 0c > 1, ~ " t o % y

el lema de K r o n e c k e r asegura q u e --n" 5_~ O. O~ n

S u p o n g a m o s a h o r a E(lg X1) - lg ~ > O, entonces :

S. - n lg 0c c.s. , E ( I g X I ) - lg0~ > 0

con lo cual se tendril:

H . exp (S,) S . - n l g 0 c - - - , o o c.s. y - - >

(X n !1 § O0 C.S.

Teorema 4. Si E ( l g X I ) ~> 0, lgn------Z~ c S , E ( l g X 1 ) . /1

Demostraci6n: Si E(lg Xl)~(0, oc), Va, b con 0 < a < E( lgX1) < b es

~n C.S. ), e "--~n" r oo y ~ 0, luego, con p r o b a b i l i d a d uno, e "~ < n. < e ~, o

lg n. bien, a < - - < b a par t i r de un n e n adelante .

n.c.s, lg n. Si E(IgX~) = 0, Vb > 0 es ~-~ , 0 y po r c o n s i g u i e n t e 0 ~< n < b

a par t i r de un n co n p ro b ab i l i d ad uno.

144

lr. c.s. l g nn Si E(IgX1) = co, Va > 0 es - - ,oo con lo cual - - > a a par-

e na n

tir de un n c.s.

Lema . Si E ( l gXI ) > 0, lg lr. - Sn converge en ley hac ia una distri-

buci6n concen t r ada en [0, co).

Demostraci6n: Obs6rvese que

7r': = 1 + X . + S n X n - 1 --~ . . . -~- X n X n _ I . . . X 2 X 1

t iene la m i s m a dis t r ibuci6n que re. cua lquiera que sea n. P o r t an to ,

si E(lg X l) < 0, rc,~' converge en ley hacia una d is t r ibuci6n concen t ra -

da en [1; oo) (sin embargo , re;,' = 1 + X.Tr,~'-i no puede converger en p robab i l idad a un l imite finito en ningfin caso, pues s ino X , conver- geria en probabi l idad) .

Ahora bien

1 1 1 ) = __ _ _ + . . . +

7"(, n X 1 X 2 . . . X n 1 + X~ + X . X . - I X , X n - i . . . X 1

Teorema 5.

tiene

7~ n de forma que , o equ iva len temente lg n, - S~, converge en ley

X1...Xn si E(lg X1) > 0.

Si E(lg X1) > 0 y Ellg XIIP < co siendo 1 < p < 2, se

lg rcn - nE(lg X i ) p 0 n~lP

Si ademfis E(X1 r~ < O0 para algfln ro > 0,

Demostraci6n : Sea

lg rrn - nE(lg X 1) c.s.

n 1/p

1 1 ~ = 1 + - - + + . . . q

X , X , X , - I

, 0

1

X . X . _ 1...X1

145

de manera que

lg n, - nE(lg XI) = S, - nE(lg Xl) + lgn*

Si E[lgXll p < oo, en virtud del teorema de Marcinkiewicz y Zyg- mund (cf. Chow-Teicher (1978) teorema 5.2.2) se cumple:

n- x/P(S, - nE(lg X1)) --* 0 c.s.

mientras que, si E(lg Xx) > 0, n - ~/~' lg H* --. 0 en probabilidad, puesto que lg FI* converge en ley de acuerdo con el lema anterior.

Por otra parte, para cualquier n,n* tiene la misma distribuci6n 1 1 1

que 1 + + - + ... + y 6sta filtima variable crece X , XxX2 XxX2...X,

c.s. hacia Y* < c~ puesto que E(lg XI) > 0. De acuerdo con el lema 1, si E(X-{ ~o) < ~ es E(X{') < 1 Vr < rl

y, por tanto, seg6n el teorema 2, E(Y* ' )< ~ Vr < r~; ahora bien, como(lg X) ~ < kx 'Vx > 1Vr, s > 0 , se t i eneE[ ( lg Y*)'] < kE(Y*') < ~ , Vs > 0, de forma que

O3

P{lgY* >enl:~] < ~ Ve > 0 Vs > 0 1

Como

{ ( 1 1 / } - - ~ g.111/s P{lgn* > e n t/'} = P l g 1 + X 1 +' '" + X I ] . X .

P{lg Y* > en v~}

~<

oo

ser/t ~ P{lg n* > ~n 1/~} < cc Ve, s > O, es decir, 1

lg__n* c.s. 0 Vs > 0 /I I :s

Teorema 6. Si E ( l g X , ) > 0, E(( lgX,) 2) < ~ y E(x-fro)< ~ para algfin ro > 0, con probabil idad uno,

lg n, - nE(lg X x)

(2nV(lg X 1) lg lg n) 112 tiene limite superior 1 y limite inferior - 1

146

Demostraci6n: De acuerdo con la ley del logar i tmo i terado

S. - nE(lg X 1) oscila entre - 1 y 1 c.s. y

(2n V(lg X I ) l g lg n) I/2

lg n*

(2n lg lg n) 1/2 C.$, --* 0 segfin el razonamiento del t eorema anterior.

Teorema 7. Si E( lgXI) > 0 y E((lgXx) 2) < co,

lg n. -- nE(lg X 1) ~ N(0, 1) (n V(Ig X1)) 1/2

Demostraci6n" En virtud del teorema central del limite

S, lgrc* e nE(tg X I) d NtO, V(Ig " y , 0 711/2 ?/1/2

El caso E(lg X~) = 0, presenta dificultades cons iderablemente ma- yores que serian interesantes de analizar, asi c o m o algunas extensio- nes y generalizaciones del p rob lema global aqui planteado.

4. Tasas de convergencias para re. en el caso E(log X l) >/ 0

Los teoremas que siguen afinan el resultado del teorema 5.

Teorema 8. Si E(logX1) > 0 y E(tlogXll p) < ~ siendo 1 ~ < p < 2 y E(IXll -~~ < ~ para algfln ro > 0, se verifica

oo 1

Z -" P{ l l~ - n E ( l ~ > < n=lF/

para cada e > 0.

Demostraci6n: Con la notaci6n del teorema 5 se tiene

P{llog r~. - nE(log X~)I > en ~/p} ~ P IS. - nE(log X~)[ > ~ n ~/p +

+ P{l log 7z*t > _e nt/, ~ 2 j

147

1 1 Ahorarc* tienela mismadistr ibuci6n que 1 + - - + ... + XI XIX2"-X. 'que por los teoremas 1, 2 y el lema 1, crece casi seguro a una variable Y tal que E(Yr) < ~ , 0 < r < ro. Por tanto,

P{llogrt*[ > 2nl/P) = P{n* > exP(2nt/V))

<~ P{Y> exp (2n~/P)}

~< exp ( - ~ e rnt/P)E(yr )

Asi pues, ~ n P ] l o g n * l > ~ n 1/p < ~ , para cada e > 0 . n- -1

Porot rapar te , de l t eoremaldeBaumyKatz (1965) , ses igue ~ 1 P{IS. n = l /1

-nE(logX1)l > ~ n lip < oo, para cada e > 0, obteni6ndose asi el

resultado.

Teorema 9. Si E(log X~) > 0, E(llog XI[') < ~ , siendo t > 1 y E(X-;ro) < oo para algfin t o > 0 y 1 / 2 < s / t , s > 1, se cumple"

n~-2p{llog ~. - nE(logX~)l > en ~:'} < oo n = l

para cada e > 0.

Demostraci6n. Es an:~loga. Con la notaci6n del teorema anterior se tiene

P{llog~, - nE(logXl)] > en ~/'} <~ P IS. - nElogX~[ > ~n ~:' +

+P{llog~*~[>2n~/' }

148

ahora razonando como antes

luego

para cada e > 0.

n----1

Por otra parte del teorema 3 de Katz y Baum [1], se sigue

n ' - 2 P S,, - n E ( l o g X ~ ) [ > ~ n *!t < c~

para cada e > O, de aqui se tiene el resultado.

5. Ejemplos

Una familia interesante de distribuciones limite del esquema que venimos considerando, se obtiene cuando Ias variables se distribuyen con funci6n de densidad f ( x ) = n x n - 1, x~(O, 1). Si l lamamos ~p(t) a la funci6n caracteristica de Y = 1 + X 1 + X I X 2 + ... resulta

f, ~o(t) = e i' n x ~- l q ) ( t x )dx 0

donde, haciendo t x = y, resulta

q~(t) = t - % i t f l ny~ - l q)(y)dy

puesto que ~o(y) es continua, q~ serfi derivable y

nt n - ~q~(t) + t"~o'(t) = it%o(t) + nt ~ - le"q~(t)

149

ecuaci6n diferencial lineal cuya soluci6n con tp(0) = 1 es

{ fle Xi t tp(t) = exp (n + 1)it + $2 nsds

si hacemos s = tu, resulta

{ fl } ~o(t) = exp (n + 1)it + u2 nltdlt

que es la forma can6nica de Ko lmogorov de una ley infinitamente divisible de representantes can6nicos

y = n + l

0 x < O , K(x) = . nx2/2 0 ~ x < 1

n/2 x ~ 1

REFERENCIAS

BAUM, L. E., y KATZ, M. (1965): ~<Convergence rates in the law of large numbers,, Trans. Amer. Math. Soc., 120, pp. 108-123.

CHOW, Y. S., y TEICHER, H. (1978): Probability Theory, Springer-Verlag.

FREEDMAN, D. (1971): Brownian Motion and Diffusion, Holden Day.

LOEVE, M. (1963): Probability Theory, Van Nostrand.

RUDIN, W. (1970): Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.

SPITZER, F. (1956): <cA combinatorial lemma and its applications to Pro- bability Theory>>, Trans. Amer. Math. Soc., 82, pp. 323-339.

STOUT, W. F. (1974): Almost Sure Convergence, Academic Press.

150