SUMAS DE RIEMANN

Hallar el rea de la regin bordeada por las grficas de f x=x2, x=0, x=2 y el eje x mediante elclculo del lmite de las sumas de Riemann:

SOLUCION:

Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:

xi=ai x=0i2n=2 i

n La ensima suma de Riemann es

i=1n

f xi x=i=1n

f 2 in 2

n=i=1

n2 i

n

2

2n=i=1

n 8n3

i2= 8n3i=1

ni2= 8

n3[nn12n1

6]

el rea de la regin es el lmite de las sumas de Riemann:

limni=1n

f xi x=limn [4n12n1

3n2]=8

3

Hallar el rea de la regin bordeada por las grficas de f x=x122, x=1, x=2 y el eje xmediante la bsqueda del lmite de las sumas de Riemann.

SOLUCION:

Se divide [-1,2]: ;

La ensima suma de Riemann es

i=1n

f xi x=i=1n

f 13 in 3n=i=1

n[13 i

n1

2

2] 3n

=

=

=

x=20n

= 2n

xi=ai x=13 in x=

21n

=3n

i=1n[ 3 i

n2

2

2] 3n=i=1

n 9 i

2

n212 i

n42 3

n

i=1n27 i

2

n336

n2i18

n=27

n3i=1

ni236

n2i=1

ni18

n i=1n

1

27n3[nn12n1

6]36

n2[nn1

2]18

nn=9n1 n1

2n218 n1

n18i=1

nf x i x

el rea de la suma de Riemann:

limni=1n

f xi x=limn [9n12n1

2n218 n1

n18] = 9 -18 + 18 =9

Hallar el rea de la regin bordeada por las grficas de f x=2x23 , x=2, x=0 y el eje xmediante el clculo del lmite de las sumas de Riemann.

SOLUCION

Se divide [-2,0]: x= 2n; xi=2

2 in la nesima suma de Riemann es:

i=1n

f xi x=i=1n

222 in2

3

2n=i=1

n 32 i3

n4=32

n4i=1

ni3=32

n4[n2n12

4]=8 n1

2

n2se halla el lmite :

limni=1n

f xi x=limn 8n12

n2=8

Evaluar limni=1n xi

22 xi x , donde xo=1 , x1=1 x , ... , xn=3 mediante el anlisisde la integral apropiada.

SOLUCION

Esta suma de Riemann se debe cambiar a una integral: x se convierte en dx, xi se convierte en xy el intervalo de integracin es [1,3].

Evaluar limni=1n xi1xicos xi , donde x0=0,...,xn=

6 .

SOLUCION

Se reconoce que xi1xi= x y se obtiene

limni=1nxi

22 xi x=13 x22 xdx= x

3

3x2

1

3

= 33

3321

3

312=2

3

limni=1n xi1xicos x=limni=1

n x cos x =0

6 cos x dx=sen x0

6=sen

6sen 0