1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Sector: Matemática. Nivel: NM – 4 Prof.: Ximena Gallegos H.

Prueba coef. 1: Funciones y Procesos Infinitos 2015

Nombre: _____________________________________ Fecha: _____ Puntaje ideal: 100 puntos Puntaje Logrado: ________ Nota: ________ Contenido: Sumatorias Aprendizaje Esperado: Resolver problemas de diversa índole

utilizando propiedades de las sumatorias.

I) Deducir una fórmula para calcular la siguiente sumatoria: 5% c / u→ 55%( ) 1) “La suma de los n primeros números naturales pares” .

2) Deduce una fórmula para −1( )k

⋅kk=1

n

∑

II) Demostrar por inducción matemática:

3) 13 + 23 +33 + 43 + ................. =

n n +1( )2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2

4) −1( )k+1

⋅k2

k=1

n

∑ =−1( )n+1

⋅n n +1( )2

5)

k! ⋅ k2 +1( )k=1

n

∑ = n +1( )! ⋅n

6)

log k +1k

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

k

k=1

n

∑ = logn +1( )n

n!

7) 6n+1 + 4 es divisible por 5.

8) n2 + 2 ; es divisible por 2, cuando n es par.

III) Resolver usando propiedad telescópica.

9) Demostrar que

kk +1( )!k=1

n

∑ = 1− 1n +1( )!

10) Conociendo las fórmulas de las sumatorias de la forma

i k

k=0

n

∑ ; k≤ 2 , , demuestra que

( ) 2

3

1

12

n

i

n ni

=

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

Optativo: Deducir una fórmula para:

2 i ⋅ i+1( )3i=0

n

∏

2

Parte -2. Nombre: __________________________________

IV) Expresa como sumatoria las siguientes sumas. 3% c / u→12%( ) 11) 1⋅3 + 2 ⋅4 +3 ⋅5 + .......= 12) 3−9 + 27−81+ 243 + ...... = 13)

0 1 2 3 41 2 6 24 120

.......+ + + + + =

14) 2 +8 + 24 + 64 +160 + .......+10.240 =

V) Desarrolla usando propiedades conocidas. 4% c / u→ 20%( )

15)

k5

=k=20

50

∑

16)

2k−1( )2=

k=1

20

∑

3

17)

k k +1( ) k−1( ) =k=1

100

∑

18)

i2j=1

10

∑i=1

20

∑ j3 =

19)

1k +1+ kk=1

99

∑ =

20) Desarrollar usando propiedad telescópica.

2 j−2 j−1( )j=8

10

∑

4

VI) Si x1 = 1 ; x2 =−1 ; x3 = 3 ; x4 = 5 y x =

xii=1

4

∑4

; (Promedio)

Determina: 4% c / u→ 8%( )

21)

xi − x( )2

i=1

4

∑ =

22)

xi +1( )i=1

4

∑ ! =

VII) Calcular: 4% c / u→ 20%( )

23) Calcular el valor numérico de

2kk=1

n

∑ , si se sabe que

n ⋅kk=1

20

∑ = 2100

5

24) Determina el valor de n, para que se cumpla la igualdad

2k−n2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

k=1

n

∑ = 8

25) Desarrollar

i− j( )k−1

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥k=1

2

∏j=1

3

∑i=1

4

∑ =

6

26) Se define

an =

log2

n +1n

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ ; si 1≤n<16

2 n−5( ) ; si 16≤n< 30

4 ⋅2 3n−2

8 n−1; si 30≤n≤50

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

; n natural

Determinar

ann=1

50

∑ =