Superficie de Respuesta

Las metodologías de superficie de respuesta son usadas para analizar una respuesta de interés que se ve afectada por ciertas variables y para la cual se necesita llegar a un valor óptimo.

Supongamos que un ingeniero industrial está interesado en encontrar las condiciones que maximizan la producción de una línea. Las variables (o factores) que influyen en el proceso son el tiempo y la temperatura del vapor de agua. El ingeniero considera que se puede aumentar la producción y desea encontrar los niveles de los factores a los cuales se obtiene un porcentaje óptimo de producción:

Producción=f(Tiempo,Temperatura)+ϵ

Método de Máxima Pendiente de Ascenso (Steepest Ascent)

Este método consiste en moverse de manera secuencial hacia la respuesta óptima y permite identificar los factores que conducen a ella. Las respuestas óptimas por lo general se encuentran en un lugar cóncavo (∩) o convexo (∪).

Se deben seguir estos pasos para aplicar esta metodología:

1. Se debe diseñar un experimento que utilice un modelo de primer orden como por ejemplo un modelo factorial 2k y en lo posible agregar puntos centrales para detectar una posible curvatura.

2. Si no existe curvatura, un modelo de primer orden es suficiente, y en base a éste, su busca el paso que conduzca a la mejora.

Si existe curvatura se debe hacer un modelo de orden superior, aunque se recomienda hacer un modelo central compuesto.

3. Una vez que se tiene el modelo a seguir se debe determinar el paso de máxima pendiente de ascenso o descenso, dependiendo de si se desea maximizar o minimizar la respuesta.

4. En el paso determinado se deben conducir experimentos para observar el cambio en la variable respuesta.

Ejemplo. Retomemos el caso del ingeniero, él decide, en base a su experiencia, que la región de exploración deberá ser alrededor de 35 minutos y 155°F. Como se mencionó anteriormente, se iniciará el análisis de la superficie de respuesta con un modelo de primer orden, en este caso, un diseño factorial 2k:

Obtiene los siguientes datos mediante experimentación:

Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta

ξ1 (Tiempo) ξ2 (Temperatura) X1 X2 Y (Rendimiento)

30 150 -1 -1 39.3

30 160 -1 1 40.0

40 150 1 -1 40.9

40 160 1 1 41.5

35 155 0 0 40.3

35 155 0 0 40.5

35 155 0 0 40.7

35 155 0 0 40.2

35 155 0 0 40.6

Obsérvese que se han obtenido réplicas del punto central con el objetivo de estimar el error experimental y permitir la verificación de la adecuación del modelo de primer orden. Al analizar estos datos en el MINITAB se obtienen los siguientes resultados:

Ajuste factorial: Rendimiento vs. Tiempo, Temperatu ra Efectos y coeficientes estimados para Rendimiento ( unidades codificadas) Coef. Término Efecto Coef de EE T P Constante 40.4250 0.1037 389.8 9 0.000 Tiempo 1.5500 0.7750 0.1037 7.4 7 0.002 Temperatura 0.6500 0.3250 0.1037 3.1 3 0.035 Tiempo*Temperatura -0.0500 -0.0250 0.1037 -0.2 4 0.821 Ct Pt 0.0350 0.1391 0.2 5 0.814 S = 0.207364 PRESS = * R-cuad. = 94.27% R-cuad.(pred.) = *% R-cuad.(aj ustado) = 88.54%

Análisis de varianza para Rendimiento (unidades cod ificadas) Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F Efectos principales 2 2.82500 2 .82500 1.41250 32.85 2-Interacciones de (No.) factores 1 0.00250 0 .00250 0.00250 0.06 Curvatura 1 0.00272 0 .00272 0.00272 0.06 Error residual 4 0.17200 0 .17200 0.04300 Error puro 4 0.17200 0 .17200 0.04300 Total 8 3.00222 Fuente P Efectos principales 0.003 2-Interacciones de (No.) factores 0.821 Curvatura 0.814 Error residual Error puro Total

Se observa que la interacción entre las variables y la curvatura no son significativas con un nivel de α=0.05. La misma conclusión obtenemos observando la tabla ANOVA donde el p-valor de la prueba de curvatura y de interacciones es mayor a α=0.05. De esta manera el modelo de primer orden

���������� = 40.44 + 0.775&' + 0.325&*+ε

es suficiente para hallar la trayectoria de máximo ascenso. Una regla práctica para hallar el máximo ascenso (o máximo descenso) es seleccionar la variable que tiene el coeficiente de regresión con mayor valor absoluto; en el caso del ejemplo sería &' con el coeficiente +,' =0.775. De acuerdo a nuestro modelo, para aumentar la respuesta (rendimiento) debemos aumentar la variable &' (y si deseamos disminuir la respuesta, disminuimos &' ). El tamaño de paso en que aumentaremos la variable elegida será ∆&'=1 y el de las otras variables será

∆&. =+,.

+,/

Por lo tanto, en este caso particular la variable &' aumentará en ∆&'=1 y la variable &* en ∆&* = +,* +,' = 0.325/0.775⁄ = 0.42.

Variables Codificadas Variables Naturales Respuesta

X1 X2 ξ1 (Tiempo) ξ2 (Temperatura) Y (Rendimiento)

0 0 35 155 - 1 0.42 40 157 41 2 0.84 45 159 42.9 3 1.26 50 161 47.1 4 1.68 55 163 49.7 5 2.10 60 165 53.8 6 2.52 65 167 59.9 7 2.94 70 169 65.0 8 3.36 75 171 70.4 9 3.78 80 173 77.6 10 4.20 85 175 80.3 11 4.62 90 179 76.2 12 5.04 95 181 75.1

Los nuevos rendimientos fueron obtenidos por el ingeniero experimentando con los tiempos y temperaturas de la trayectoria de máximo ascenso. Se observa que el máximo se alcanzó con un tiempo de 85 minutos y una temperatura de 175°F. Como se mencionó anteriormente el proceso es secuencial, “iniciaremos” nuevamente en el punto (85,175) y utilizaremos un diseño factorial 2k:

Se obtienen los siguientes rendimientos bajo experimentación:

Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta

ξ1 (Tiempo) ξ2 (Temperatura) X1 X2 Y (Rendimiento)

80 170 -1 -1 76.5

80 180 -1 1 77.0

90 170 1 -1 78.0

90 180 1 1 79.5

85 175 0 0 79.9

85 175 0 0 80.3

85 175 0 0 80.0

85 175 0 0 79.7

85 175 0 0 79.8

Al analizar estos datos en el MINITAB se obtienen los siguientes resultados: Ajuste factorial: Rendimiento vs. Tiempo, Temperatu ra Efectos y coeficientes estimados para Rendimiento ( unidades codificadas) Coef. Término Efecto Coef de EE T P Constante 77.7500 0.1151 675.45 0.000 Tiempo 2.0000 1.0000 0.1151 8.69 0.001 Temperatura 1.0000 0.5000 0.1151 4.34 0.012 Tiempo*Temperatura 0.5000 0.2500 0.1151 2.17 0.096 Ct Pt 2.1900 0.1544 14.18 0.000 S = 0.230217 PRESS = * R-cuad. = 98.68% R-cuad.(pred.) = *% R-cuad.(aj ustado) = 97.37% Análisis de varianza para Rendimiento (unidades cod ificadas) Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F Efectos principales 2 5.0000 5.0000 2.5000 47.17 2-Interacciones de (No.) factores 1 0.2500 0.2500 0.2500 4.72 Curvatura 1 10.6580 1 0.6580 10.6580 201.09 Error residual 4 0.2120 0.2120 0.0530 Error puro 4 0.2120 0.2120 0.0530 Total 8 16.1200

Fuente P Efectos principales 0.002 2-Interacciones de (No.) factores 0.096 Curvatura 0.000 Error residual Error puro Total

Aunque la interacción entre las variables no es significativa, la curvatura sí lo es (α=0.05), por lo cual un modelo de primer orden no es adecuado y se debe ajustar un modelo de orden superior (por lo general uno de segundo orden basta). Análisis de Superficie de Respuesta de Segundo Orden Cuando el experimentador se encuentra relativamente cerca del óptimo, por lo general se requiere un modelo que incorpore la curvatura para aproximar la respuesta, se recomienda un diseño central compuesto, que es un diseño factorial que incorpora, además de puntos centrales, puntos axiales:

Nuevamente, el ingeniero obtiene los rendimientos de los nuevos puntos bajo experimentación:

Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta

ξ1 (Tiempo) ξ2 (Temperatura) X1 X2 Y (Rendimiento)

80 170 -1 -1 76.5

80 180 -1 1 77.0

90 170 1 -1 78.0

90 180 1 1 79.5

85 175 0 0 79.9

85 175 0 0 80.3

85 175 0 0 80.0

85 175 0 0 79.7

85 175 0 0 79.8

92.07 175 1.414 0 78.4

77.93 175 -1.414 0 75.6

85 182.07 0 1.414 78.5

85 167.93 0 -1.414 77.0

Para ingresar estos datos a MINITAB, primero debemos crear el diseño central compuesto:

Ahora seleccionamos la opción “Central Compuesto” y el número de factores del experimento (en nuestro caso 2):

En “Diseños...” elegiremos la primera opción con las opciones predeterminadas, aceptamos y se creará el diseño al cual tendremos que agregar la respuesta en cada caso. Analizando el diseño se obtienen los siguientes resultados:

Regresión de superficie de respuesta: Rendimiento v s. Tiempo, Temperatura El análisis se realizó utilizando unidades codifica das. Coeficientes de regresión estimados de Rendimiento Término Coef SE Coef T P Constante 79.9400 0.11896 671.997 0.000 Tiempo 0.9950 0.09405 10.580 0.000 Temperatura 0.5152 0.09405 5.478 0.001 Tiempo*Tiempo -1.3762 0.10085 -13.646 0.000 Temperatura*Temperatura -1.0013 0.10085 -9.928 0.000 Tiempo*Temperatura 0.2500 0.13300 1.880 0.102 S = 0.266000 PRESS = 2.34577 R-cuad. = 98.28% R-cuad.(pred.) = 91.84% R-cuad.( ajustado) = 97.05% Análisis de varianza de Rendimiento Fuente GL SC Sec. SC Ajust. MC Ajust . F P Regresión 5 28.2478 28.2478 5.6495 6 79.85 0.000 Lineal 2 10.0430 10.0430 5.0214 8 70.97 0.000 cuadrado 2 17.9548 17.9548 8.9774 1 126.88 0.000 interacción 1 0.2500 0.2500 0.2500 0 3.53 0.102 Error residual 7 0.4953 0.4953 0.0707 6 Falta de ajuste 3 0.2833 0.2833 0.0944 3 1.78 0.290 Error puro 4 0.2120 0.2120 0.0530 0 Total 12 28.7431

Se puede ver cómo los componentes cuadráticos de los factores resultan ser significativos, de manera que un modelo lineal no hubiese podido describir adecuadamente lo que sucede a la respuesta al variar los niveles de los factores. Además de esto se observa un componente adicional en el ANOVA: “Falta de ajuste”. Este componente muestra no ser significativo, sin embargo, si lo hubiese sido, implicaría entonces que es necesario aplicar un modelo de mayor orden para describir lo que sucede a la respuesta al variar los niveles de los factores. Al no ser significativa la interacción la eliminamos del modelo, obteniendo: Regresión de superficie de respuesta: Rendimiento v s. Tiempo, Temperatura El análisis se realizó utilizando unidades codifica das. Coeficientes de regresión estimados de Rendimiento Término Coef SE Coef T P Constante 79.9400 0.1365 585.640 0.000 Tiempo 0.9950 0.1079 9.220 0.000 Temperatura 0.5152 0.1079 4.774 0.001 Tiempo*Tiempo -1.3762 0.1157 -11.893 0.000 Temperatura*Temperatura -1.0013 0.1157 -8.652 0.000 S = 0.305224 PRESS = 2.34112 R-cuad. = 97.41% R-cuad.(pred.) = 91.86% R-cuad.( ajustado) = 96.11%

Análisis de varianza de Rendimiento Fuente GL SC Sec. SC Ajust. MC Ajust . F P Regresión 4 27.9978 27.9978 6.9994 5 75.13 0.000 Lineal 2 10.0430 10.0430 5.0214 8 53.90 0.000 cuadrado 2 17.9548 17.9548 8.9774 1 96.36 0.000 Error residual 8 0.7453 0.7453 0.0931 6 Falta de ajuste 4 0.5333 0.5333 0.1333 2 2.52 0.197 Error puro 4 0.2120 0.2120 0.0530 0 Total 12 28.7431

Entonces el modelo (en las variables codificadas) es:

���������� = 79.94 + 0.995&' + 0.5152&* − 1.3762&'* − 1.0013&*

* + 7

Este modelo puede optimizarse utilizando herramientas de cálculo, estadísticas o incluso gráficas; en MINITAB para graficar la superficie de respuesta en las opciones de DOE -> Superficie de Respuesta, elegimos “Gráficas de contorno/superficie”:

Seleccionamos ambas gráficas y en el menú “Configuración...” marcamos la opción “unidades codificadas”, aceptamos y obtenemos:

Así gráficamente obtenemos la zona con mejores rendimientos, pero MINITAB también cuenta con una herramienta de optimización: en el mismo menú de “Superficie de respuesta” seleccionamos la opción “Optimizador de respuesta...”. Ahí seleccionamos la variable de respuesta, que en nuestro ejemplo es “Rendimiento”, en “Configuración...” le ponemos los parámetros: queremos maximizar, como límite

inferior podemos poner nuestro rendimiento inicial 39.3, como objetivo un rendimiento alto, por ejemplo, 100. El resultado proporcionado por MINITAB es: Punto de inicio Tiempo = 0 Temperatura = 0 Solución global Tiempo = 0.357125 Temperatura = 0.249510 Respuestas pronosticadas Rendimiento = 80.1860 , conveniencia = 0.2 54424 Conveniencia compuesta = 0.254424

Entonces, el máximo se alcanza para un nivel de &' = 0.357125 y &* = 0.249510, que en términos de variables naturales es:

8���9 = 0.357125 ∗ 5 + 85 =86.785625 minutos 8��9�<=�><= = 0.249510 ∗ 5 + 175 =176.24755 °F