Universidad Autónoma del Carmen.

Facultad de Ingeniería y Tecnología.

DES-DAIT.

Cálculo Integral.

Tarea 1: Investigación – Superficies de segundo grado.

Ecuaciones, trazas, simetría y esquemas de superficies de segundo

grado.

Ejemplos de la vida real.

Profesora: Olena Benavides.

Alumno: Juan José Rodríguez Díaz.

Ciudad del Carmen, Campeche; a 20 de Abril del 2015.

Superficies de segundo grado:

Investigar 7 superficies de segundo grado: Sus ecuaciones, trazas, simetría y esquemas.

1. Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja): a) Ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= 1

b) Trazas:

En plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, se obtiene una elipse:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtiene una hipérbola:

𝑥2

𝑎2−

𝑧2

𝑐2= 1

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= 1

c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑦1)2

𝑏2−

(𝑧 − 𝑧1)2

𝑐2= 1

d) Esquema:

2. Hiperboloide elíptico (o de dos hojas): a) Ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= −1

b) Trazas:

En plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtienen elipses (o un punto o nada si

𝑧 = 0): 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2=

𝑘2

𝑐2− 1

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑥2

𝑎2−

𝑧2

𝑐2= −1

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtiene una hipérbola:

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= −1

c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑦1)2

𝑏2−

(𝑧 − 𝑧1)2

𝑐2= −1

d) Esquema:

3. Elipsoide: a) Ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2+

𝑧2

𝑐2= 1

b) Trazas:

En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, obtenemos una elipse:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una elipse:

𝑥2

𝑎2+

𝑧2

𝑐2= 1

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una elipse: 𝑦2

𝑏2+

𝑧2

𝑐2= 1

c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑦1)2

𝑏2+

(𝑧 − 𝑧1)2

𝑐2= 1

d) Esquema:

𝑥

4. Cono: a) Ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= 0

b) Trazas:

En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtienen elipses (salvo en el caso

𝑧 = 0 donde obtenemos un único punto): 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2=

𝑘2

𝑐2

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 𝑘, se obtiene una hipérbola: 𝑥2

𝑎2−

𝑧2

𝑐2= −

𝑘2

𝑏2

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 𝑘, se obtiene una hipérbola:

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= −

𝑘2

𝑎2

Si 𝑘 = 0, para el plano 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧, pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan o un único punto.

c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑦1)2

𝑏2−

(𝑧 − 𝑧1)2

𝑐2= 0

d) Esquema:

5. Esfera: a) Ecuación canónica:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

b) Trazas:

En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, obtenemos una circunferencia:

𝑥2 + 𝑦2 = 1

En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una circunferencia:

𝑥2 + 𝑧2 = 1

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una circunferencia: 𝑦2 + 𝑧2 = 1

c) Simetría:

(𝑥 − 𝑥1)2 + (𝑦 − 𝑦1)2 + (𝑧 − 𝑧1)2 = 1

d) Esquema:

6. Paraboloide elíptico: a) Ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2=

𝑧

𝑐

b) Trazas:

En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, obtenemos una elipse (si 𝑎 = 𝑏 se obtiene un círculo):

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2=

𝑘

𝑐

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una parábola:

𝑥2 =𝑎2𝑧

𝑐

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una parábola:

𝑦2 =𝑏2𝑧

𝑐

c) Simetría:

d) Esquema:

7. Paraboloide hiperbólico:

a) Ecuación canónica:

𝑦2

𝑏2−

𝑥2

𝑎2=

𝑧

𝑐

b) Trazas:

En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtiene una hipérbola:

𝑦2

𝑏2−

𝑥2

𝑎2=

𝑘

𝑐

Si 𝑧 = 0 en el plano 𝑥𝑦, se obtienen dos rectas.

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtienen parábolas:

𝑥2

𝑎2= −

𝑧

𝑐

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtienen parábolas:

𝑦2

𝑏2=

𝑧

𝑐

c) Simetría:

d) Esquema:

Ejemplos de superficies de segundo grado en la vida real:

1. Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja):

a) Torres de refrigeración de plantas de energía o centrales nucleares:

b) Torre de Port Kobe, Japón (1963):

2. Elipsoide:

a) Dirigible:

b) Balón de rugby:

3. Paraboloide elíptico:

a) Antenas parabólicas o satelitales:

b) Copas para vino:

Referencias:

(2010). “Cónicas y cuádricas”. Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Superior de

Ingenieros-Universidad de Sevilla. [En línea]. Recuperado el 13 de abril del 2015.

Disponible: http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1285246626_1262616935.pdf

Mora F., Walter y Figueroa M. Geovanni. “Superficies cuadráticas”. [En línea]. Recuperado

el 13 de abril del 2015. Disponible: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-

linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/

“Cuádricas”. [En línea]. Recuperado el 14 de abril del 2015. Disponible:

http://innovacioneducativa.upm.es/sandbox/pensamiento/chip_geometrico/cuadricas.pdf

“Superficies de segundo orden”. Monografías matemáticas. [En línea]. Recuperado el 14

de abril del 2015. Disponible:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

“Cilindros y superficies cuadráticas”. [En línea]. Recuperado el 15 de abril del 2015.

Disponible:

http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/ma/ma09001/anexos/explica4.htm

(2011). Lebedeva, Olga, Benavides, Olena y Sánchez Lara, Rafael. “Superficies

cuadráticas”. Cálculo Integral, Universidad Autónoma del Carmen-Facultad de Ingeniería.

[Diapositivas]. Recuperado el 15 de abril del 2015.