Supervisión y Control de Procesos Bloque Temático II

Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 1

Supervisión y Control de Procesos

Bloque Temático II:Control por ComputadorTema 6: Introducción al Control por Computador

Índice:► Control por Computador vs Control Analógico► Muestreo de Señales► Conversión A/D► Conversión D/A► Ecuaciones en diferencias


Control por Computador

• Objetivo : Implementación del control en un computador o sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP).

• La implementación de un controlador de forma digital requiere:– Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo � control

discreto– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital

(conversor A/D).– Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para

actuar sobre el proceso (conversor D/A)


Control por Computador

• Objetivo : Implementación del control en un computador o sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP).

• La implementación de un controlador de forma digital requiere:– Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo � control

discreto– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital

(conversor A/D).– Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para

actuar sobre el proceso (conversor D/A)


Control analógicoControl analógico

Ventajas• Ancho de banda elevado.• Resolución alta.• No se requiere conversión A/D.• Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos.• El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o condensadores variables es sencillo y rápido.

Desventajas• Dependencia de la temperatura: El rendimiento del control depende de características tanto pasivas comoactivas que varían con la temperatura.• Envejecimiento de los componentes: se requieremantenimiento periódico.• El control se implementa mediante elementoshardware. Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones requieren modificaciones hardware.• Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID, redes de adelanto-retraso).• Sensible al ruido.• No tiene capacidad de comunicaciones.• No tiene capacidad de almacenamiento

Control digitalControl digital

Ventajas• El control es programado: Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones se hacen por software.• Menos afectado por las condiciones ambientales.• Permite implementar algoritmos avanzados de control• Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no lineal.• Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se reemplazan por estimadores u observadores.• Posibilidad de funcionalidades añadidas comomonitorización, diagnóstico, protecciones, etc.• Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones. Redes de control.• Capacidad de almacenamiento.

Desventajas• Se requiere conversión de datos.• Los métodos de análisis y diseño son más complejos.• El muestreo y la resolución puede afectar al rechazo de perturbaciones.• El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La estabilidad se puede ver comprometida.• El error de digitalización puede reducir la precisión del control.

Control Analógivo Vs Control Digital



Ventajas• Ancho de banda elevado.• Resolución alta.• No se requiere conversión A/D.• Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos.• El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o condensadores variables es sencillo y rápido.

Desventajas• Dependencia de la temperatura: El rendimiento del control depende de características tanto pasivas comoactivas que varían con la temperatura.• Envejecimiento de los componentes: se requieremantenimiento periódico.• El control se implementa mediante elementoshardware. Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones requieren modificaciones hardware.• Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID, redes de adelanto-retraso).• Sensible al ruido.• No tiene capacidad de comunicaciones.• No tiene capacidad de almacenamiento.


Ventajas• El control es programado: Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones se hacen por software.• Menos afectado por las condiciones ambientales.• Permite implementar algoritmos avanzados de control.• Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no lineal.• Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se reemplazan por estimadores u observadores.• Posibilidad de funcionalidades añadidas comomonitorización, diagnóstico, protecciones, etc.• Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones. Redes de control.• Capacidad de almacenamiento.

Desventajas• Se requiere conversión de datos.• Los métodos de análisis y diseño son más complejos.• El muestreo y la resolución puede afectar al rechazode perturbaciones.• El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La estabilidad se puede ver comprometida.• El error de digitalización puede reducir la precisión del control.

Control Analógivo Vs Control Digital


Control por Computador. Elementos

-

+

reguladorregulador

PID(z)

errorreferencia

G(s)salida

A/D

D/A

sistemasistema

� Conversor A/D: Convierten la información analógica del procesoy(t) aportada por los sensores al formato digital (secuencias de números yk ) para poder ser procesadas mediante un algoritmo de control.

� Regulador digital: Ejecuta un algoritmo de control que calcula a partir del error cometido ek = rk − yk

en cada instante una acción de control uk.

• Conversor D/A: convierte la señaldigital en valores analógicos. Generan la señal de control continua ur(t) a partir de la secuencia digital uk.

sensor

-

+

sistemasistemareguladorregulador

PID(s)

erroraccióncontrol

referencia

G(s)

salida

sensor



accióncontrol


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (s)

(V)

Muestreo de señales: Definición

– Muestreo de señales: Operación en la cual se obtiene una secuencia de valores a partir de una señal analógica → “medida de datos cada cierto tiempo”

– Bloqueo: mantenimiento del valor hasta toma de nueva medida

Señal continua Señal muestreada

Señal bloqueada

Periodo de muestreo

Tm


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Muestreo de señales: Aliasing

– Cuando la frecuencia de muestreo es insuficiente pueden surgir problemas de aliasing

– El problema viene porque la evolución de la señal entre muestra y muestra se pierde

– Selección del periodo de muestreo (Tm):• Según la señal: El muestreo tiene que cumplir el criterio de Nyquist:

Periodo de muestreo

Tm

Tm <2T

T: periodo de la señal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (s)

(V)

Tm = 0.1T Tm = 0.05T


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (I)

• El cine es un ejemplo de un sistema de muestreo funcionando a fm = 24Hz.

• El ejemplo se desarrolla suponiendo la filmación de una rueda girando a diferentes velocidades


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (II)

• Caso 1 . Rueda girando a 1Hz: No hay aliasing. Se puede ver la frecuencia y el sentido de giro de la rueda perfectamente.


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (III)

• Caso 2 . Rueda girando a 6Hz: No hay aliasing. Aunque se pierde precisión aún se puede ver la frecuencia y el sentido de giro de la rueda.


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (IV)

• Caso 3 . Rueda girando a 12Hz: A partir de este punto se pierde la noción del sentido de giro. No sabemos hacia dónde gira la rueda, hemos perdido esa información


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (V)

• Caso 4 . Rueda girando a 23Hz: Hay aliasing. La rueda gira tan rápido que le da tiempo casi a completar una vuelta antes de ser fotografiada de nuevo. Para el espectador gira en sentido contrario y despacio (gira exactamente a -1 Hz).


Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (VI)

• Caso 5 . Rueda girando a 25Hz: Hay aliasing. La rueda gira 1 Hz más rápido que la frecuencia de muestreo y le da tiempo a completar 1 + 1/24 vueltas antes de ser fotografiada de nuevo. Para el espectador gira a +1 Hz


Conversión A/D (I)

– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital (conversor A/D).

– Idea intuitiva : Convierte una señal continua (analógica) en una señal discreta (digital). En otras palabras, considerando una señal en tensión a la entrada:

voltios �� número– Un conversor AD puede caracterizarse de forma básica según los siguientes

criterios:• Entrada: atendiendo a la variable de entrada podemos identificar:

– Rango de tensión: valores admitidos de la señal de entrada (0—24), (0—10), (0—5)

– Bipolar/unipolar: la señal de entrada puede admitir sólo valores positivos (unipolar) o tanto positivos como negativos (bipolar). De todas maneras, es fácil mediante electrónica colocada a la entrada el situar una señal dentro del rango deseado.


Conversión A/D (II)

• Salida: La salida un conversor AD es un número. Por lo tanto, los posibles valores a la salida vendrán determinados por el valor máximo que es posible almacenar en dicho número. Esta definición se realiza mediante el número de bits del conversor:

Sistemas audio167772152^2424

SoundBlaster655352^1616

PIC / Tarjetas AD40952^1212

PIC10232^1010

osciloscopio2552^88

EjemploValor máximovalores admitidosBits


Conversión A/D (III)

• Tiempo de conversión : El proceso mediante el cual una tensión se convierte en un valor digital implica un tiempo. El tiempo que el conversor emplee en este proceso determinará la máxima velocidad de conversión, y con ello la máxima frecuencia de muestreo que se puede emplear utilizando dicho conversor.

Vout=Vmin+Vmax-Vmin

2n-1 Din

Dout=2n-1

Vmax-Vmin (Vin -Vmin)

Dada una tensión de entrada obtener el valor digital

Dado un valor digital obtener el valor a su entrada:

Transformaciones


Conversión A/D (IV)

• Ejemplos:

0 2 4 6 8 100

2 0̂

2 1̂

2 2̂-1

(voltios)

(dig

ital)

A/D

0 2 4 6 8 100

2 0̂

2 1̂

2 2̂

2 3̂

2 4̂-1

(voltios)

(dig

ital)

A/D


Conversión A/D (V)

• Realización: Conversor A/D por aproximaciones sucesivas

reloj registro despla.

comparador

(final de conversión)

(tensión ref)

(tensión entrada)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

Vref/2

Vref*d/2^n

Vref/4

Vref/8

Vref/16

0

Expresión general


Conversión A/D (VI): Ejemplo conversor A/D 4 bits

1 0 0 0 Vref/2

+ Vref/16

1 1 0 0 Vref/2 + Vref/4

1 1 1 0 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8

Vin = Vref/2 + Vref/4 + Vref/8

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

1 1 1 1 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8Paso 4:

1 1 1 1 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8Paso 5: EOC

¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1”



¿Vin > Vcomp? NO → si no hay más bits,fin de conversión

Vcomp

+ Vref/16

Observar que hay un error igual a +LSB


Conversión A/D (VII): Ejemplo conversor A/D 4 bits

1 0 0 0 Vref/2

+ Vref/16

1 1 0 0 Vref/2 + Vref/4

1 0 1 0 Vref/2 + Vref/8

Vin = Vref/2+ Vref/8

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

1 0 0 1 Vref/2Paso 4:

1 0 0 1 Vref/2 + Vref/16Paso 5: EOC


¿Vin > Vcomp? NO → desplaza a drcha.

¿Vin > Vcomp? NO → desplaza drcha.

¿Vin > Vcomp? SI → si no hay más bits,fin de conversión

Vcomp

Observar que hay un error igual a -LSB


Conversión D/A (I)

• Una vez generada la secuencia de control {uk}, es necesario obtener una señal de control continua u(t) para aplicar a la planta (que es continua). A este proceso se le llama reconstrucción .

{uk} → u(t)• Existen varios procedimientos. El más sencillo y habitual es el bloqueador de orden cero (zero order hold):

∞

ur (t) ∑= u(kTm) [1(t − kTm) − 1(t − (k + 1)Tm)]0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (s)

(V)

donde 1(t − a) denota al escalón unitario iniciado en el instante t =a


Conversión D/A (II)

• El bloqueador de orden 0 tiene dos problemas importantes:– Error de reconstrucción al asumir que la señal no varía a lo largo del

periodo.– Retardo puro aproximado de Tm/2. Esto es debido a que se

reconstruye la señal del periodo siguiente a partir de la muestra en el instante actual.

– Armónicos de alta frecuencia. Los escalones que forman la señal reconstruida tienen un contenido en altas frecuencias (saltos abruptos) que se introducen en el lazo de control.


Conversión D/A. Realización

– Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para actuar sobre el proceso (conversor D/A)

Red de resistencias R-2R


Modulación por Ancho de Pulso (Pulse Width Modulation-P WM)

0

2

4

0

2

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

0

vmax

0

vmax

t1

v1

T·v1 = t1·vmaxT·v1 = t1·vmax

Señal continua y

muestreada

Señal continua y

muestreada

Salida conversor

D/A

Salida conversor

D/A

Salida PWM y Filtro paso

bajo

Salida PWM y Filtro paso

bajo

vDA

vPWM vPWM ≈vDAFILTRO PASO BAJO

R

C

+

−

vPWM≈vDA

La modulación por ancho de pulso es un método de conversión de una señal discreta en una señal continua.

Conversor digital-analógico: • Tiempo constante• Varía (modula) la tensión

Modulador por ancho de pulso (PWM) �

• Tensión constante• Varía (modula) el tiempo

n bits

V


Concepto de secuencia

• Una secuencia es una serie infinita de números

• El resultado del muestreo es una secuencia

• Un sistema discreto toma una secuencia discreta de entrada y produce otra secuencia discreta de salida

{xk } = {· · · , x−1 , x0 , x1 , x2 , · · ·}

x(t) → xk = x(kTm ) → {xk }

Sistemadiscreto

{uk} {yk}

{yk } = G({xk })


Concepto de ecuación en diferencias

• Una ecuación en diferencias viene dada por el siguiente algoritmo

• Una ecuación en diferencias es un sistema discreto, ya que dada una secuencia de entrada, {uk}, permite calcular una secuencia de salida {yk}

yk + a1 yk−1 + · · · an yk−n = b0 uk + b1 uk−1 + · · · + bm uk−m

{uk} → [ecuación en diferencias] →{yk}


Ejemplos de ecuación en diferencias

• Se dispone de un sensor de velocidad (dinamo tacométrica) conectada a un motor de c.c. Dicho sensor se ha conectado a un conversor A/D del dsPIC. Se pide:– Ecuación en diferencias de un filtro de media de los últimos 10

valores. Este filtro se utilizará para eliminar el ruido en el sensor.– Ecuación en diferencias para obtener la aceleración a partir de la

velocidad filtrada.

– Ecuación en diferencias para obtener la posición a partir de la velocidad filtrada.

Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010

Discretización del controlador (I)

– Idea: Encontrar una ecuación recursiva para las muestras del algoritmo de control que permita aproximar la respuesta del dispositivo analógico.

– Partiendo del diseño del control analógico � se reemplaza por uno digital que acepte muestras de la señal de entrada al control e(kTm) provenientes de un muestreador , y utilizando valores presentes y pasados de la señal de entrada y de la señal de salida u(kTm) se calcula la siguiente acción de control u(kTm +Tm)


Discretización del controlador (II)

– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (I)

u = Kp e + Ki e(τ)dτ + de/dt

t0

t

D(s) = Kp + Ki/s + Kds

u = up + ui +ud

Aplicando superposición se estudian las acciones de control por separado

1) Acción proporcional

up(kTm+Tm) = kp e(kTm+Tm)

2) Acción integral

ui(kTm+Tm) = ki e(τ)dτ = ki e(τ)dτ + ki e(τ)dτ

0

kTm+Tm

0

kTm

ui(kTm)

Tm

e(t)e(kTm+Tm)

e(kTm)

t

(e(kTm+Tm) + e(kTm))Tm2

Integraltrapezoidal

kTm

kTm+Tm



– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (II)

3) Acción diferencial

ud(kTm+Tm) = kd de(kTm+Tm)

(ud(kTm+Tm) + ud(kTm)) = kd ( e(kTm+Tm) - e(kTm))Tm2

dtPor dualidad con la acción integral

0

kTm+Tm

ud(kTm+Tm) = kd e(kTm+Tm)



– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (III)

Transformada z :Se define de forma análoga a la transformada s. De tal manera que definimos el operador z como un operador de desplazamiento:

Z(U(kTm)) = U(z) Z(U(kTm+Tm)) = zU(z)

Sustituyendo en las acciones:

zui(z) = ui(z) + ki Tm(ze(z)+e(z))2

ui(z) = ki Tm z +1 e(z)2 z-1

ud(z) = kd 2 z -1 e(z)Tmz+1u(z) = (kp + ki Tm z +1

2 z-1+ kd 2 z -1 ) e(z)

Tmz+1

Control PID discretizado por Tustin


Problema: Diseño discreto PI (I)

• Discretizar un regulador PI, de la forma:

• Utilizando la transformación de Tusitn. Dejar la expresión en función de Kp, Ki y Tm

• Comprobar el resultado para los valores Ki=6, Kp=1.4, Tm=0.07 con el comando de matlab c2d

kps

(s+ki)PI(s) =


Problema: Diseño discreto PI (II)

• Comparar los resultados para el siguiente esquema de Simulink:

referenciavelocidad

s+5

5

Tau 6

s+9

9

Tau 5

s+5

5

Tau 4

s+9

9

Tau 3

s+5

5

Tau 2

s+9

9

Tau 1

1.4

1

Slider Kd1

1.4

1

Slider Kd

1.4

1

Slider Kc

Output

1.21z-0.79

z-1

DiscreteTransfer Fcn1

num(z)

z-1

DiscreteTransfer Fcn

s+6

s

Controladorvelocidad

Control

Tm = 0.035

Tm = 0.07

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