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J.E.N. 122-DF/l 38
Syrio". Programa para el cálculo deinversa de una matriz
por
Luis García de Viedma Alonso
Madrid, 1963
Toda correspondencia en relación coneste trabajo debe dirigirse al Servicio deDocumentación Biblioteca y Publicaciones,Junta de Energía. Nuclear, Ciudad Univers_i_taria, Madrid-3, ESPAÑA
Las solicitudes de ejemplares debendirigirse a este mismo Servicio.
Í N D I C E
Pág.
1. - Introducción. 1
2. - Solución Matemática - 1
3. - Procedimiento de cálculo 4
4. - Datos de entrada 7
5. - Formato de salida 7
6. - Especificaciones para el uso del "SYRIO" 7
7. - Paradas 8
8. - Comprobación del Programa 8
9. - Bibliografía 9
10. - Matriz Directa 10
11. - Matriz Inversa 11
12. - Diagrama Bloque 19
"SYRIO". PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA INVERSA
DE UNA MATRIZ
Por
GARCÍA DE VIEDMA ALONSO, L *
1. - Introducción
El programa "SYRIO" invierte una matriz cuadrada no singular de ordenno superior a 40.
El procedimiento empleado parte de la formula de inversión deSherman y Morrison, y siguiendo una linea paralela a la de Herbert S. Wilfpara matrices especiales, consistente en descomponer la matriz dada ensuma de una matriz dé inversa conocida y otras de rango unidad, generalizael procedimiento para cualquier clase de matrices cuadradas no singulares.La limitación de orden no es inherente al programa en si",, que podría trabajarperfectamente para matrices de cualquier orden, sino impuesta por limita-ción de memoria de la máquina para la que fue creado.
2. - Solución Matemática
Sea B una matriz cuadrada no singular cuya inversa se pretende calcular.Supongamos B descompuesta de la forma B = D-i- y p,: <j" (I) siendo D
una matriz de inversa conocida y \x , y • vectores columnas.
Siguiendo a Wilf 1 y llamando
-1
i= i
División de Fi'sica Teórica y Calculo de Reactores
se define el algoritmo
= D - i
vi +, -1 _ :
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c
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i
- 1
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D- i
= B -1
que nos determina la inversa de la matriz deseada en función de la descompo-sición inicial elegida.
Si a los segundos m.iembros de este algoritmo les aplicamos la fórmulade inversión de She riñan y .Morrison
{ " 1
= A'(A"1 \k) (
v A x|i
nos resultan las relaciones más sencillas
1 + ví
= C(2) -^(2)
= C(k) -p.k)( v í
1-- v, ' P-k
que nos señalan un procedimiento de iteración bastante simple para resolvernuestro problema.
Resuelto teóricamente el problema cuando encontremos las matrices p. .,V y D que cumplan la condición (1), la dificultad quedará planteada en definirun.criterio para la formación de estas matrices que minimice el trabajo.
Evidentemente cada matriz posiblemente admitirá una descomposiciónparticular inmejorable para el cálculo de su inversa, pero ante la dificultadencontrada en hallar una clasificación de las matrices respecto algunas inva-riantes que nos permitan definir su descomposición óptima, hemos optado porseguir la descomposición dada por Wilf 1 que aunque presenta dificultadesimportantes, que señalaremos, parece ser bastante precisa para todos loscasos, aunque el tiempo de cálculo puede en circunstancias especiales aumentar notablemente.
Supongamos B una matriz cuadrada de orden N que descompondremos enla forma B = A -f- I siendo I la matriz unidad.
Consideremos la sucesión de matrices cuya ley de formación de loselementos sea
a<"> a(n)
nn
es triviali v i a l , f l j , ver que = 0 para todo i^ j < n para cada n=l y 2 . . . N;
- T =es decir aforma siguiente:
= 0 . Llegamos por tanto a una descomposición de B de la
N
Z i n n J
donde0 si
1 si i = j
Esta descomposición coincide con (1) siendo
«ijA>V
11
Ahora bien esta descomposición, adoptada por Wilf, necesita que la su-cesión de matrices (3) pueda ser definida, es decir pueda asegurarse ann •£ 0para n= 1, 2, N. Wilf afirma [l] ser e ste procedimiento de cálculocorrecto con la hipótesis b^ ^ 1 es decir a^ f- 0 mas evidentemente esto nosignifica que el resto de los a(n) utilizados en (3) estén obligados a no serlo.La razón es trivial : el ann utilizado en la matriz p + 1 de la sucesión (3) vienedefinido de la forma
(p) = (P"1) _ aP +l'P aP>P*lap -f 1, p + 1 ~ % T * > P + 1
a p .P
es decir es el valor del primer menor complementario de segundo orden de lamatriz p, que evidentemente puede ser nulo, imposibilitando por tanto el calejo,lo de la matriz p -j- 1 de la sucesión (2). Esta limitación es de una importanciacapital ya que nunca podría, determinarse "a priori" si la matriz con la que fueramos a trabajar se presentaría favorable al programa o sí* por el contrariobien en valores iniciales o por cálculo intermedio presentaría algún a \ ' = 0y sería imposible por tanto la continuación del cálculo.
Como hemos citado anteriormente (3) la descomposición de B que nos re-suelve el problema es
£ aín) aWb.. = s . . + y m nJ
n=l (n)nn
siendo indiferente el orden en que tomemos los sumandos en la sumatoria. En é_to es en lo que se apoya el programa "SYRIO" para resolver la dificultad antesexpuesta.
3. - Procedimiento de cálculo
Dada una matriz no singular B tomemos
y calculemos la matriz
inaij aij TT i , j > n n= 1 Navn /
nn
los vectore sN
r ( n ) a<n>C i k a knk=n
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•V- ~ ¿ L a n k C kjJ k=n
y
y
e l
la
numero
\ =
matriz
Nzj = n
V + a Hn n
Es ta descomposición de la mat r i z B equivale a la (1) con
11
luegoN
( U )J=n
N
(Vi) j C k jj=n
es decirN NÍ
j = n . J=n
W . ann
N (n)/ 1 \ i'j kj ajn "r ann ~ ann
[• • < nn
es decir sigue la linea teórica dada anteriormente, luego
c ( N v l ) = B - i
Ahora bien dijimos que esto sólo era permisible cuando ann d 0. Veamoscomo actúa "SYRIO" en caso contrario.
Si a = 0 en la iteración p, es decir a.pV/ = 0, la iteración p -r 1 noserá permisible en este esquema teórico. Efectúa la iteración p + 2 , supo-niendo a , •, , d 0 extendida a (i,j = p, p -.- 1 N) .
P "•" L p -i- 1Es dec i r calcula una nueva mat r iz A de la forma
(P) (p)( P - Í - 2 ) (p) a i , P r i a
P -:-i,j , >1J Íj a i P - l -'-1 ~
los vectores columna
N / x
h = Z- Cxk
N i \
Z _(P) r(p)ank Ck j
k=p
N , ^y /- = ^ _ y. a , + a y calcula la C correspondiente a esta iteración.
J=PTerminada ésta, la fila y columna p -í- 1 se han anulado, pero en cambio lafila y columna p han variado ya que actuó sobre ellas; es posible por tantoque ahora a.pP f 0. Si a si" fuera, hace la iteración p d~ 1 que antes le fuenegada y prosigue el cálculo normalmente. Si a.pp siguiera siendo nulo reitera-ría el mismo procedimiento con a A ? t ^ a- r; si al hacer el cálcu.lo en cualquiera de estos elementos diagonales, a.pp se hiciera no nulo, prose-guiría el cálculo normalmente; si no fuera asi', es decir, si después de haber
calculado con todos los elementos diagonales siguientes el a siguiera sien-do nulo, "SYRIO" prevé esta circunstancia y la soluciona con una nueva en-trada de la matriz inicial que multiplicada por un cierto factor posibilita queen el cálculo con la nueva matriz no aparezca esta anomalía. La pérdida detiempo que esto ocasiona es justificable pensando en la poca posibilidad deque esto suceda, (una de las veces en que sucedería es cuando la fila o la co-lumna p fueran nulas), y en la cortedad de memoria de la máquina que obligaa destruir la matriz inicial. Cuando este proceso se efectué en numero prudertcial de veces, sería lógico suponer que la matriz fuera singular.
Al añadir esta posibilidad "SYRIO" actúa en todos casos incluso en losque bj_j_ ^ 1. La matriz que acompaña este trabajo, que presenta toda ladiagonal principal de unos y otras filas totalmente nulas excepto el elementodiagonal, fue resuelta multiplicándola en segunda entrada por un factor 2.
4. - Datos de entrada
Las cantidades a especificar como datos de entrada son :
13 Numero de filas.
2 2 La matriz problema.
Estos últimos datos se perforarán por filas y siguiendo las instruccio-ne s de la RLO 1.
5. - Formato de salida
La matriz inversa que acompaña este trabajo es una reproducción exac-ta de la forma de imprimir los resultados que emplea "SYRIO". Los resul-tados vienen dados por columnas indicando el número que la encabeza deque columna se trata. La primera columna de la izquierda indica el númerode fila de todos los elementos que están a su derecha. Todos estos números,excepto los indicadores de fila o columna vienen dados de acuerdo con elsiguiente criterio
a.bcdefgh - AB = a.bcdefgh. 10~AB
6. - Especificaciones para el uso del "SYRIO"
Deberá perforarse una ficha de acuerdo con la clave siguiente:
En la palabra _0_ se escribirá una señal, a elección del usuario que sir-va para identificar el problema.
En la palabra _1 llevará la fecha de utilización del programa o en su de-fecto cualquier otra clave, que el usuario necesite.
En la palabra 2_, y en sus dos últimos dígitos ei número de filas de la matriz en cuestión.
Esta ficha asi* perforada, seguida del paquete correspondiente a la matrizque se desea invertir, será colocada entre las fichas rojas y verdes del"SYRIO". Colocando al final del paquete así formado un número de fichas enblanco suficiente, donde la máquina perforará los resultados.
A continuación se procederá normalmente.
7. - Paradas
67 0000 4789. Aparecerá durante el cálculo. Indica que en la matriz encuestión existe un elemento diagonal permanentemente nulo. Deberá procede_rse de la forma siguiente :
12 Tómese el paquete de datos, colocado anteriormente entre las fichasrojas y verdes del "SYRIO".
22 Pónganse dos fichas en blanco delante.32 Púlsese tres veces FEED ONE CARD.42 Púlsese RUN.
8. - Comprobación, del Programa
Dado que es muy dificil establecer un criterio fijo sobre el error con queeste programa actúa, quizá fuera conveniente para aquellos casos en que deseesaber el orden de la aproximación obtenida, hallar la inversa de la matriz in-versa para poder comparar con la matriz dada. Para ello, basta anteponer alas fichas rojas del programa unas fichas con las instrucciones siguientes :
BlBlBlBOBOBOBOBlBOTT
4799479147924793479447954796479747984799
022560308532300782
0000060022004027000Y040000 0T00014701
47914792479347944795479647974798
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si no se desea sacar la matriz inversa, por haber sido esta obtenida anterior-m e nt e.
51 no fuera así*, deberá colocarse este paquete en la máquina, una vezhaya- procedido esta a la perforación de la matriz inversa, de la forma si-guiente.
12 Dos fichas en blanco.2 2 Paquete de fichas añadido32 Paquete de fichas rojas del "SYRIO"42 Fichas en blanco52 Levantar NO PUNCH
Procediendose a continuación de la forma normalmente empleada.
9. - Bibliografía
1. Herbert S. Wilf. Mathematical Methods for Digital Computers. pp 73-77
2. A.S. Householder. Principies of Numerical Analysis pp. 79-83.
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Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."SYRIO" A program for the calculation of theinverse of a mat r ix .GARCÍA DE VIEDMA ALONSO, L . (1963) 9 p p . 2 r e í s . .
"SYRIO" is a code for the inversión of a noli-singular square matrix whoseorder is not higher than 40 for the UN IVAC-UCT'(SS-90).
The treatment stands from the inversión formula of shernian and florrison,and following the Herbert S. Wilf's method for special matrices, generalizethe procedure to any kind.of non-singular square matrices. The limitation oflile matrix order is not inherent of the program itself but imposed by thestorage capacity of the computer for v/hich i t was coded.
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Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."SYRIO" A program for the calculation of theinverse of a mat r ix .GARCÍA DE VIEDMA ALONSO, L . (1963) 9 pp . 2 r e f s .
"SYRIO" is a code for the inversión of a non~singular square matrix whoseorder is not higher than 40 for the 111VAC-UCT (SS-90).
The treatment stands from the inversión formula of sherman and Morrison,and following the Herbert S. Wilf's method for special matrices, general izethe procedure to any kind of non-singular square matrices. The limitation ofthe matrix order is not inherent of the program itself but imposed by thestorage capacity of the computer for which i t was coded.
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Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."SYRIO" A program for the calculation of theinverse of a mat r ix .GARCÍA DE VIEDMA ALONSO; L . (1963) 9 p p . 2 r e f s .
"SYRIO" is a code for the inversión of a non-singular square matrix whoseorder is not higher than 40 for the UN!VAC-UCT (SS-90).
The treatment stands from the inversión formula of sherman and Horrison,and following the Herbert S. Wilf's method for special matrices, generalizethe procedure to any kind of non-singular square matrices.. The limitation ofthe matrix order is not inherent .of the program itself but imposed by thestorage capacity of the computer for which i t was coded.
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Junta de Energía Nuclear, División de Físics Teórica, Madrid."SYRIO" A program for the calculation of theinverse of a mat r ix .GARCÍA DE VIEDHA ALONSO, L . (1963) 9 p p . 2 r e f s .
"SYRIO" is a code for the inversión of a non-singular square matrix whosearder is not higher than 40 for the UN I VAC-UCT (SS-90).
The treatment stands from the inversión formula of sherman and Morrison,and follo.wing the Herbert S. Wilf's method for special matrices, generalizethe procedure to any kind of non-singular square matrices. The limitation of;the matrix order is not inherent of the program itself but imposed by thestorage capacity of the computer for which i t was coded.
