INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL                                                ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA 

                       UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”                                  

“APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA WAVELET EN EL ANÁLISIS DE CALIDAD DE LA ENERGÍA”

    

T E S I S  

  QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO ELECTRICISTA

PRESENTA:

RODRIGO DAVID REYES DE LUNA

ASESORES:

M. EN C. MIGUEL JIMÉNEZ GUZMÁN

ING. GUILLERMO BASILIO RODRÍGUEZ

MÉXICO, D.F. 2009

I

DEDICATORIA A MIS PADRES POR HABERME DADO LA VIDA, Y SIEMPRE GUIARME POR EL CAMINO CORRECTO. A MIS HERMANOS QUE ME APOYAN EN TODO MOMENTO.

II

AGRADECIMIENTOS Agradezco muy especialmente

III

RESUMEN En esta tesis se presenta la aplicación de la transformada Wavelet en el análisis de la calidad de la energía. Esta herramienta matemática se emplea para la detección y localización de diversas perturbaciones de la calidad de energía en sistemas eléctricos. En este trabajo se describen sus propiedades, características, ventajas y desventajas con respecto a la transformada de Fourier. A diferencia de otras propuestas para la detección de perturbaciones que se realizan directamente en el dominio del tiempo, la detección mediante la transformada wavelet se enfoca en la escala dominio-tiempo. Este enfoque es aplicado en la detección y localización de una amplia gama de disturbios de calidad de la energía, tales como las fluctuaciones rápidas de tensión, las variaciones de tensión de corta y larga duración y la distorsión armónica.

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ABSTRACT In this thesis is presented the Wavelet transform application in the power quality analysis. This mathematic tool gives an approach to detect and localize various electric power quality disturbances in electric systems. In this work is presented its properties, features, advantages and disadvantages over the Fourier transform. Unlike other approaches where the detection is performed directly in the time domain, detection using wavelet transform analysis approach is carried out in the time-scale domain. This approach is robust in detecting and localizing a wide range of power disturbances such as fast voltage fluctuations, short and long duration voltage variations, and harmonic distortion.

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ÍNDICE GENERAL Dedicatoria………………………………………...………………………….……….……I Agradecimientos……………………………………………………..…….………..…….II Resumen…………………………………………………………..………..……….…….III Abstract……………………………………………………………...…………..…….…..IV Índice General……………………………………………………………………..….…...V Índice de Figuras ……………………………………………………………….…..….VIII Capitulo 1. Introducción…………………………....……………………………………1

1.1 Introducción……………………………………………………………………1 1.2 Antecedentes……………………………………..………….…………………2 1.3 Objetivo…………………………………………………………………………3 1.4 Justificación…………………………………………………….………………4 1.5 Organización de la tesis………………………………...………..……………5

Capitulo 2. Términos y Definiciones de Calidad de la Energía…………………….6

2.1 Introducción…………………………………………………………….…..….6 2.2 Clasificación General de los Disturbios de Calidad de la Energía………..6 2.3 Evento o disturbio…………………………………………………….……….9

2.3.1 Transitorios…………………………………………………...…….11 2.3.1.1 Impulso Transitorio…………………………………..….11 2.3.1.2 Transitorio Oscilatorio………………………………..….12

2.3.2 Variaciones de Voltaje de Larga Duración…………………...….15 2.3.3 Sobre Voltaje………………………………………………….…….15 2.3.4 Caídas de Voltaje…………………………………………….…….15 2.3.5 Interrupciones Sostenidas……………………………………...….16 2.3.6 Variaciones de Voltaje de Corta Duración……………………….16 2.3.7 Interrupción…………………………………………………..…….17 2.3.8 Depresión de voltaje (sag, dip) ………………………...………….18 2.3.9 Swells…………….………………………………………………….20 2.3.10 Desbalance de voltaje…………………………………………….21 2.3.11 Distorsión de la forma de onda………………………………….22 2.3.12 Dc offset (desplazamiento de cd) ………………….…………….23 2.3.13 Armónicas……………………………………...........…………….23 2.3.14 Interarmónicas…………………………………....……………….25 2.3.15 Notching………………………………………………..………….25 2.3.16 Ruido (noise) ………………………………………...…………….26 2.3.17 Fluctuaciones de voltaje (parpadeo ó flickers) ………..……….26 2.3.18 Variaciones de frecuencia del sistema…………….…………….27 2.3.19 Curva ITI (CBEMA) ………………………………………..…….29

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Capitulo 3. Tratamiento de Señales…………………………………………...………33 3.1 Introducción………………………………………………………………..…33 3.2 Tipos de señales…………………………………………………..………..…34

3.2.1 Señales Estacionarias y no estacionarias…………...……….……34 3.2.2 Señales Continuas y Discretas………………………...………..…34 3.2.3 Señales Analógicas y Digitales……………………………………36 3.2.4 Señales Reales y Complejas………………………………….….…36 3.2.5 Señales Determinísticas y Aleatorias……………………………..36 3.2.6 Señales Pares e Impares…………………………………….….…..37 3.2.7 Señales Periódicas y No Periódicas…………………..……...……37

3.3 Análisis de señales…………………………………………………..…..……37 3.4 Transformada de Fourier………………………………………........………42

3.4.1 La transformada discreta de Fourier………………………..……43 3.4.2 La transformada de rápida Fourier ………………………………47

3.4 Otras trasformadas matemáticas………………………………..……..……60 3.4.1 Transformada de Fourier…………………………………..………61 3.4.2 Transformada Hartley……………………………………….…..…62 3.4.3 Transformada de Laplace………………………………..…...……63 3.4.4 Transformada Z……………………………………………….……63 3.4.5 Transformada Hilbert………………………………………...……63 3.4.6 Transformada de Gabor………………………………...........……64 3.4.7 Transformada de Hankel…………………………….……….……65 3.4.8 Transformada Wavelet…………………………………………..…65

Capitulo 4. La transformada Wavelet…………………………………….………...…67

4.1 Introducción………………………………………………………….……….67 4.1.1 Traslación……………………………………………….…...………69 4.1.2 Escala……………………………………………………………...…69 4.1.3 Conjugación traslación-escala………………………….…..…..…70

4.2 Transformada Wavelet Continua……………………………...……..…..…72 4.3 Transformada Wavelet Discreta……………………………………….....…75 4.4 Ejemplo de aplicación de la transformada Wavelet continúa…………....76

Capitulo 5. Aplicación de la transformada wavelet a la calidad de la energía en

sistemas eléctricos…......................……………………...........................84 5.1 Introducción……………………………….………………………………….84 5.2 Transformada wavelet aplicado a la calidad de la energía……………....85 5.3 Localización y detección de perturbaciones de calidad de la energía…………………………...……………………………..…...……..………87 5.4 Elección de la wavelet madre…………….…………………………………89 5.5 Resultados……………………………………………………......……………90

5.5.1 Disturbios en la forma de onda en bordes máximos………....…90 5.5.2 Depresión del voltaje (Sag).………………..……… ……...………92

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5.5.3 Distorsión armónica………………………...…………...…………93 Capitulo 6. Conclusiones…………………………………………………..…...………96 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………..………..98 Apéndice A. Códigos de MATLAB……......................................................................101

VIII

INDICE DE FIGURAS Figura 2.1.- Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un disturbio provocado

por una falla de fase a tierra Figura 2.2.- Corriente de rayo que genera un impulso transitorio Figura 2.3.- Transitorio oscilatorio de corriente causado por el switcheo de un

banco de capacitores. Figura 2.4.- Transitorio oscilatorio de frecuencia baja causado por la energización

de un banco de capacitores Figura 2.5.- Transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por ferroresonancia

de un transformador desbalanceado Figura 2.6.- Interrupción momentánea debido a una falla y liberación de la misma. Figura 2.7.- Sag de voltaje causado por una falla de una fase con tierra (SLG) Figura 2.8.- Sag de voltaje temporal causado por el arranque de un motor Figura 2.9.- Swell de voltaje instantáneo causado por la falla de fase a tierra

(SLG) Figura 2.10.- El comportamiento de desbalance sobre un alimentador residencial Figura 2.11.- Forma de onda de la corriente y contenido armónico para un

controlador de velocidad Figura 2.12.- Ejemplo de notches de voltaje causado por un convertidor trifásico Figura 2.13.- Ejemplo de un flicker de voltaje causado por la operación de un horno

de arco eléctrico. Figura 2.14.- Power frequency trend and statistical distribution at 13-kV

substation bus. (Courtesy of Dranetz-BMI/Electrotek Concepts.) Figure 2.15.- A portion of the CBEMA curve commonly used as a design target for

equipment and a format for reporting power quality variation data. Figura 2.16.- Curva ITI Figura 3.1.- Ejemplo de una señal de tensión de 60Hz. Figura 3.2.- Ejemplo de una señal continúa. Figura 3.3.- Ejemplo de una señal discreta. Figura 3.4.-Obtención de una señal discreta al muestrear una señal continua. Figura 3.5.- Dos señales de 3 y 10 Hz. respectivamente. Figura 3.6.- Señal de 50 Hz. y su transformada de Fourier. Figura 3.7.- Señal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Figura 3.8.- Señal no estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Figura 3.9.-Grafica que muestra los valores discretos de la función muestreada. Figura 3.10.- Contenido armónico de la figura 3.9. Figura 3.11.- Valores discretos en un periodo de corriente de una PC. Figura 3.12.- Contenido armónico de la figura 3.11. Figura 3.13.- Contenido armónico de la señal de corriente utilizando la TDF.

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Figura 3.14.- Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz. Figura 3.15.- STFT de la señal de la figura 3.14. Figura 3.16.-Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia de la transformada

enventanada de fourier, en el primer caso se utiliza una mejor resolución en el tiempo a costa de tener poca resolución en la frecuencia. En el segundo caso, la resolución en la frecuencia se incrementa, a costa de perder resolución en el tiempo.

Figura 3.17.-Representación de la función gaussianna para distintas anchuras. Figura 3.18.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=1800. Figura 3.19.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=18. Figura 3.20.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=1.8. Figura 3.21.- Ejemplo de descomposición donde muestra que los dos primeros

filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los de mayor nivel aproximan la señal.

Figura 3.22.- Interpretación grafica de la resolución en tiempo y en la frecuencia. a) Transformada wavelet continua b) Transformada wavelet discreta

Figura 4.1.- Estas son algunas wavelets madre más utilizadas en la práctica, definidas según un eje de tiempo continuo.

Figura 4.2.- Ejemplo de una señal coseno para distintas escalas. Figura 4.3.- Las dos operaciones básicas de escalado y traslación definen el

enrejado del plano tiempo-escala. En caso de tener buena resolución temporal, la wavelet madre, representada en el eje inferior, se estrecha, con lo que se pierde resolución en frecuencia. Si la wavelet madre se ensancha, se pierde resolución en tiempo se gana en frecuencia, la anchura y desplazándola por el eje temporal, se calcularía el valor correspondiente a cada celda.

Figura 4.4.- Funciones wavelet madre más utilizadas en el dominio temporal. Figura 4.5.- Dominio en frecuencia de la DFT y de la DWT respectivamente. Figura 4.6.- Forma del calculo para s=.0001 de la función Wavelet y distintos

valores de ד. Figura 4.7.- Forma del calculo para s=.002 de la función Wavelet y distintos valores

de ד. Figura 4.8.- Forma del calculo para s=.004 de la función Wavelet y distintos valores

de ד. Figura 4.9.- Transformada wavelet continua de la señal de la figura 3.14. Figura 4.10.- TWC aplicada a señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y

100 Hz. Figura 5.1.- Porcentaje de publicaciones que emplean la transformada wavelet

agrupadas en diferentes áreas en los sistemas eléctricos de potencia. Figura 5.2.- Señal con borde máximo aplanado. Figura 5.3.- a) señal analizada mediante wavelet, Daub4 y b) señal analizada

mediante wavelet, Daub10.

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Figura 5.4.- Señal con depresión de voltaje por 4 ciclos. Figura 5.5.- a) señal de analizada mediante wavelet con Daub4 y b) señal analizada

con Daub10. Figura 5.6.- Señal con distorsión armónica. Figura 5.7.- Wavelet de la señal de la figura 4.6, a) analizada mediante Daub4 y b)

analizada mediante Daub10

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CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN 1.1 INTRODUCCION El uso masivo de cargas no lineales y el creciente uso de cargas pulsantes no síncronas con la frecuencia fundamental de la red ha estado cambiando la composición del espectro armónico de corrientes y tensiones en redes eléctricas, dando origen a una presencia cada vez mayor de componentes armónicos variables en el tiempo y de componentes no síncronos con la frecuencia fundamental. En esta situación, el desarrollo de métodos de medida que puedan superar las limitaciones que el análisis de Fourier presenta, es fundamental para poder caracterizar correctamente el espectro de frecuencia de las señales de tensión y corriente en las redes eléctricas. Muchos fenómenos físicos pueden describirse mediante una señal en el dominio de tiempo; es decir una de las variables es el tiempo y la otra la amplitud. Cuando se dibuja esta señal se obtiene una función tiempo-amplitud; sin embargo, la información que se puede obtener directamente de esta representación no siempre es la mas apropiada, puesto que la información que caracteriza la señal, en muchos casos, puede observarse mas claramente en el domino de la frecuencia, es decir, mediante un espectro de frecuencias que muestre las frecuencias existentes en la señal. Por lo tanto, para una mejor representación de la señal se hace necesario disponer de su representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Si bien los estándares internacionales de medida de armónicos establecen la utilización del análisis de Fourier para el estudio de las formas de onda de la tensión y la corriente, no excluyen la posibilidad de utilizar otras herramientas de procesado de señales para el análisis armónico, citando expresamente el estándar IEC 61000-4-7 la posibilidad de emplear las wavelets para esta función.

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1.2 ANTECEDENTES Las wavelets han tenido una historia científica inusual, marcada por muchos descubrimientos y redescubrimientos independientes. En1807 Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemático francés afirma que cualquier función periódica, u onda, se puede expresar como una suma infinita de ondas sinusoidales y cosenoidales de distintas frecuencias. Como había serias dudas sobre la exactitud de sus argumentos, su artículo no se publicó hasta 15 años después. A finales del siglo, las series de Fourier están omnipresentes en la ciencia. Son una herramienta ideal para analizar varios tipos de señales. Sin embargo, no son igual de eficaces para el estudio de fenómenos transitorios, tales como ráfagas breves de sonido o de luz. Fue Alfred Haar, en 1910 quien utiliza el término wavelet, finalmente en 1984, Grossman y Morlet establecen la forma teórica tal como ahora la conocemos. En 1988, Stephane Mallat desarrolla varios algoritmos que actualmente son aplicados. Ahora se denomina transformada Wavelet al instrumento matemático que permite describir una variable en el tiempo como una variación en las frecuencias, tal como la transformada de Fourier, pero con algunas diferencias que permiten su aplicación en el análisis de señales, como las series de tiempo no estacionarias. La transformada wavelet es un procedimiento matemático, que representa a una función en partes pequeñas, localizadas; para descomponer en señales con componentes vibratorios.

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1.3 OBJETIVO El objetivo de este trabajo es implementar la transformada wavelet para la localización y detección de perturbaciones de la calidad de la energía en los sistemas eléctricos.

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1.4 JUSTIFICACIÓN El análisis de Fourier es el método fundamental para la medida de armónicos e interarmónicos en señales eléctricas y es el principio de análisis que establece la International Electrotechnical Commission (IEC) para los instrumentos de medición. Con el objetivo de superar las limitaciones que lo hacen poco efectivo en determinadas condiciones se han propuesto otras técnicas de análisis como la Transformada Wavelet. En este trabajo se explora esta alternativa para el análisis de señales en el campo de la calidad de energía eléctrica. Se utiliza la metodología de análisis de señales para la medición de perturbaciones en señales basado en la Transformada Wavelet. El método propuesto utiliza un árbol de descomposición wavelet, que en sus distintos niveles suministra la medida de perturbación en la señal, además de información de sus variaciones en el dominio temporal. Se analizan diferentes casos del método en medida de armónicos, tanto en condiciones estacionarias como en el caso de pérdida de sincronía por variación de la frecuencia fundamental, presencia de componentes no síncronas con la frecuencia de la red o presencia de componentes de amplitud variable.

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1.5 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS La presente tesis está organizada en cinco capítulos donde se exponen los resultados de la labor de investigación desarrollada. De forma descriptiva este es el contenido de cada uno de ellos: Capitulo 2 En este capitulo se introducen y se describen las perturbaciones en la calidad de la energía. Capítulo 3 En este capitulo se introduce el tratamiento de señales, tipos de señales y la comparativa entre el análisis de Fourier y Wavelet, también se presenta otro tipo de transformadas. Capítulo 4 En este capitulo se analiza la transformada wavelet como herramienta matemática, sus propiedades y características. Capítulo 5 En este capitulo se aplica el análisis wavelet a los sistemas eléctricos de potencia para la detección y localización de perturbaciones tales como distorsión armónica, depresión del voltaje y aplanamiento en bordes máximos del voltaje en la red eléctrica. Capitulo 6 En el último capítulo se exponen las conclusiones obtenidas en la realización de la investigación y se presentan futuras líneas de trabajo.

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CAPITULO 2. TÉRMINOS Y DEFINICIONES DE CALIDAD DE LA ENERGÍA [19] 2.1 INTRODUCCION El termino “calidad de la energía” se aplica a una amplia variedad de fenómenos electromagnéticos en un sistema eléctrico de potencia. El incremento en la aplicación de equipo de electrónica de potencia y generación distribuida ha aumentado el interés en la calidad de la energía en años recientes y este ha estado acompañado por el desarrollo de una terminología especial para describir el fenómeno. Desafortunadamente esta terminología no ha sido consistente a través de los diferentes segmentos de la industria. Esto ha causado una gran confusión para fabricantes y usuarios finales que se han esforzado por entender por que el equipo eléctrico no trabaja como se esperaba. Así mismo es complicado para el vendedor de equipo diferenciar entre una gran cantidad de soluciones propuestas. Han sido usadas muchas palabras ambiguas que han multiplicado o confundido los significados. Por ejemplo, surge es usado para describir una gran variedad de disturbios que causan fallas en los equipos. Un surge suppressor puede suprimir algunos de estos disturbios pero no tendrá ningún efecto sobre otros. Parecido sucede con los términos glitch y blink que no tienen un significado técnico se han eliminado del vocabulario. Vendedores sin escrúpulos toman ventaja del desconocimiento de los usuarios, vendiendo aparatos a sobre precios con poca utilidad para mejorar la calidad de la energía. Esto se puede corregir teniendo un mejor entendimiento del vocabulario de calidad de la energía e insistiendo en manuales técnicos de cómo trabajan los dispositivos. A continuación se presenta una terminología consistente que puede ser usada para describir los disturbios de calidad de la energía. También se explican algunas de las terminologías inapropiadas comúnmente usadas en calidad de la energía. 2.2 CLASIFICACIÓN GENERAL DE LOS DISTURBIOS DE CALIDAD DE LA ENERGÍA La terminología presentada aquí refleja los esfuerzos internacionales para estandarizar las definiciones de calidad de la energía. El IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) Standards Coordinating Committee 22, IEEE SCC22 (Comité de Coordinación de Estándares 22) ha liderado el principal esfuerzo en E.U.A. para coordinar los estándares de calidad de la energía. Ellos tienen la responsabilidad a través de muchas sociedades pertenecientes principalmente al IEEE, específicamente la Sociedad de Aplicaciones Industriales y la Sociedad de Ingeniería de Potencia (Industry Applications Society y Power Engineering Society, respectivamente). El IEEE

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SCC22 se coordina con los esfuerzos internacionales a través de alianzas con la Comisión Internacional Electrotécnica IEC (International Electrotechnical Comission) y el Consejo Internacional de Grandes Sistemas Eléctricos CIGRE (International Council on Large Electric Systems). El IEC clasifica los fenómenos electromagnéticos en los grupos como se muestra en la Tabla 2.1. Tabla 2.1. Principales fenómenos causados por disturbios electromagnéticos

Fenómenos de Baja Frecuencia Conducidos • Armónicas e Interarmónicas • Señales en Sistemas (Portadora en la Línea de Potencia) • Fluctuaciones de Voltaje • Interrupciones y Dips de Voltaje • Desbanlace de Voltaje • Variaciones de Frecuencia • Voltajes Inducidos de Baja Frecuencia • CD en Redes de CA

Fenómenos de Baja Frecuencia Radiados • Campos Magnéticos • Campos Eléctricos

Fenómenos de Alta Frecuencia Conducidos • Ondas Continuas de Voltajes o Corrientes Inducidas • Transitorios Unidireccionales • Transitorios Oscilatorios

Fenómenos de Alta Frecuencia Radiados • Campos Magnéticos • Campos Eléctricos • Campos Electromagnéticos • Ondas Continuas • Transitorios

Fenómeno de Descarga Electrostática (ESD) Pulso Nuclear Electromagnético (NEMP)

La industria eléctrica de E.U.A se ha esforzado por desarrollar algunas practicas recomendables para el monitoreo de la calidad de la energía eléctrica y ha adicionado algunos términos a la terminología del IEC. Sag es usado como sinónimo del término dip de IEC. La categoría de variaciones de voltaje de corta duración es usada para referirse a dips de voltaje e interrupciones de corta duración. El termino swell es introducido como un inverso a sag (dip). La categoría de variación de larga duración ha sido adicionada para concordar con los límites del American National Standards

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Institute (ANSI) C84.1. la categoría de noise ha sido adicionada para aplicarse a un ancho de banda de fenómenos conducidos. La categoría de distorsión de la forma de onda (waveform distortion) es usada como una categoría que contiene varios disturbios para el IEC armonicas, interarmonicas, y cd en redes de ca, así como un fenómeno adicional al estándar IEEE Standard 519-1992, Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems, llamado notching. La Tabla 2.2, muestra la clasificación de los fenómenos electromagnéticos usados por la comunidad de calidad de la energía. Los fenómenos listados en la tabla pueden ser descritos más ampliamente que los atributos listados. Para los fenómenos en estado estable, se pueden usar los siguientes atributos:

• Amplitud • Frecuencia • Espectro • Modulación • Impedancia de la Fuente • Profundidad de la Muesca • Área de la Muesca

Para fenómenos que no son de estado estable, se pueden requerir otros atributos:

• Índice de rizo • Amplitud • Duración • Espectro • Frecuencia • Índice de ocurrencia • Energía potencial • Impedancia de la Fuente

La Tabla 2.2 proporciona información con respecto al contenido típico espectral, la duración, y la magnitud apropiada para cada categoría de fenómeno electromagnético. Las categorías de la tabla, cuando se utilizan con los atributos mencionados previamente, proporcionan un medio de describir claramente un disturbio electromagnético. Las categorías y sus descripciones son importantes para poder clasificar resultados de medición y describir los fenómenos electromagnéticos que pueden causar problemas de la calidad de la energía.

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Tabla 2.1. IEEE 1159 Categorías y características de fenómenos electromagnéticos en sistemas de potencia. Categoría Contenido Típico

Espectral Duración Típica Magnitud Típica

del Voltaje 1.0 Transitorios Impulsos Nanosegundos 5 ns de elevación < 50 ns Microsegundos 1 µs de elevación 50 ns – 1 ms Milisegundos 0.1 ms de elevación > 1 ms Oscilatorios Baja frecuencia < 5 kHz 0.3 – 50 ms 0 – 4 pu Media frecuencia 5 – 500 kHz 20 µs 0 – 8 pu Alta frecuencia 0.5 – 5 MHz 5 µs 0 – 4 pu 2.0 Variaciones de corta duración Instantáneas Sag 0.5 – 30 ciclos 0.1 – 0.9 pu Swell 0.5 – 30 ciclos 1.1 – 1.8 pu Momentáneas Interrupción 0.5 ciclos – 3 seg < 1.0 pu Sag 30 ciclos – 3seg 0.1 – 0.9 pu Swell 30 ciclos – 3seg 1.1 – 1.4 pu Temporal Interrupción 3 seg – 1 min < 1.0 pu Sag 3 seg – 1 min 0.1 – 0.9 pu Swell 3 seg – 1 min 1.1 – 1.2 pu 3.0 Variaciones de larga duración Interrupción sostenida > 1 min 0.0 pu Bajo voltaje > 1 min 0.8 – 0.9 pu Sobrevoltaje > 1 min 1.1 – 1.2 pu 4.0 Desbalance de voltaje Estado estable 0.5 – 2 % 5.0 Distorsión de forma de onda Componente de directa Estado estable 0 – 0.1 % Contenido armónico 0 –100th H Estado estable 0 – 20 % Interarmónicas 0 – 6 kHz Estado estable 0 – 2 % Muescas en el voltaje Estado estable Ruido Banda amplia Estado estable 0 – 1 % 6.0 Fluctuaciones de voltaje < 25 kHz Intermitente 0.1 – 7 % 7.0 Variaciones en la frecuencia < 10 seg Los términos usados para describir los disturbios frecuentemente tienen diferente significado para diferentes usuarios. Pero muchos atributos de calidad de la energía son comúnmente reconocidos. A continuación se da una breve descripción de los disturbios más comunes. 2.3 EVENTO O DISTURBIO Los eventos son fenómenos que solamente suceden una vez en un cierto instante. Una interrupción del suministro de voltaje es el mejor ejemplo conocido. Esto puede en teoría ser visto como una extrema variación de magnitud de voltaje, y puede ser incluida en una función de probabilidad de distribución de la magnitud de voltaje.

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Pero esto no pudiera dar demasiada información útil. La mayoría de los eventos están comúnmente asociados con los siguientes parámetros: Magnitud: La magnitud es la desviación de voltaje de la onda normal sinusoidal. Duración: La duración es el tiempo que dura el disturbio, la cual puede estar dividida en:

• El tiempo promedio de la caída de voltaje. • El tiempo en que el voltaje ha recuperado el 10% de la magnitud del

sobrevoltaje transitorio. • La razón de la integral Vt definida debajo de la curva y la magnitud del

sobrevoltaje transitorio. Integral Vt : La integral Vt es definida como

( )∫=

T

dttvVt0

(1)

Figura 2.1. Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un disturbio provocado por una falla de fase a tierra

Los disturbios se pueden clasificar como:

• Fenómeno de alta frecuencia (transitorios) • Fenómeno de baja frecuencia. (dips, interrupciones, y swell)

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2.3.1 TRANSITORIOS El término transitorio ha sido usado por mucho tiempo en el análisis de variaciones del sistema eléctrico para denotar un evento indeseado que momentáneamente es natural. La noción de un transitorio oscilatorio amortiguado debido a una red RLC, es probablemente lo que muchos Ingenieros piensan cuando escuchan la palabra transitorio. Otra definición común de transitorio es “la parte del cambio en una variable que desaparece durante la transición de una condición de operación de estado estable a otra”. Desafortunadamente, esta definición pudiera ser usada para describir cualquier cosa poco común que suceda en el sistema eléctrico. Otro término comúnmente usado para describir un transitorio es surge. Un ingeniero electricista puede pensar que un surge es el transitorio resultante de una descarga atmosférica para el cual un surge arrester es utilizado para protección. Los usuarios frecuentemente usan la palabra indiscriminadamente para describir cualquier fenómeno inusual que puede ser observado en el suministro de energía en el rango de los sags, swells o interrupciones. Debido a que hay muchas potenciales ambigüedades con estas palabras en el campo de la calidad de la energía. En general, los transitorios pueden ser clasificados dentro de dos categorías de impulsos y oscilatorios. Estos términos reflejan la forma de onda de un transitorio de corriente o de voltaje. A continuación se describen estas dos categorías con más detalle. 2.3.1.1 IMPULSO TRANSITORIO Un impulso transitorio es un cambio súbito en la condición de estado estable del voltaje, corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia del sistema, que es unidireccional en polaridad (principalmente positivos o negativos). Un impulso transitorio normalmente es caracterizado por su pendiente y su decaimiento en el tiempo, el cual puede también ser revelado por su contenido espectral. Por ejemplo, un impulso transitorio de 2000 (V) nominalmente se eleva desde cero a su valor pico de 2000 V en y después decae a su valor medio del pico en . La causa más común del impulso transitorio es la descarga atmosférica. La Figura 2.2 ilustra una corriente típica del impulso transitorio causado por una descarga atmosférica. Debido a las altas frecuencias involucradas, la forma del impulso transitorio puede cambiar rápidamente por los componentes del sistema eléctrico y puede tener característica significativamente diferente visto desde diferentes puntos del sistema eléctrico. Generalmente no se conducen lejos de la fuente de donde entraron al sistema eléctrico, aunque pueden, en algunos casos ser conducidos una cierta distancia a lo largo de las líneas. Los impulsos transitorios pueden excitar la

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frecuencia natural de los circuitos del sistema eléctrico y producir transitorios oscilatorios.

Figura 2.2. Corriente de rayo que genera un impulso transitorio 2.3.1.2 TRANSITORIO OSCILATORIO Un transitorio oscilatorio es un cambio súbito en la condición de estado estable del voltaje, corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia del sistema, que incluye valores de polaridad positiva y negativa. Un transitorio oscilatorio consiste de un voltaje o corriente cuyos valores instantáneos cambian de polaridad rápidamente. Es descrito por su contenido espectral (frecuencia predominante), duración y magnitud. El contenido espectral se define en subclases alta, media, y baja frecuencia como se indica en la Tabla 2.2. Los rangos de frecuencia para estas clasificaciones son escogidas para coincidir con tipos comunes de fenómenos transitorios oscilatorios en sistemas eléctricos. Un transitorio oscilatorio con una componente de frecuencia fundamental mayor a 500 kHz y una duración típica medida en milisegundos (o algunos ciclos de la frecuencia fundamental), son considerados transitorios oscilatorios de alta frecuencia. Estos transitorios son con frecuencia el resultado de una respuesta local del sistema a un impulso transitorio.

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Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental entre 5 y 500 kHz, con duración medida en las decenas de microsegundos (o algunos ciclos de la frecuencia fundamental) es denominado transitorio de frecuencia media. En la energización de un banco de capacitores resulta un transitorio oscilatorio de corriente en las decenas de kilohertz como se ilustra en la Figura 2.3 En el switcheo de cables resultan transitorios oscilatorios de voltaje en el mismo rango de frecuencia. Transitorios de frecuencia media también pueden ser el resultado de la respuesta del sistema a un impulso transitorio.

Figura 2.3. Transitorio oscilatorio de corriente causado por el switcheo de un banco de capacitores.

Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental menor a 5 kHz, y una duración de 0.3 a 50 ms, es considerado un transitorio de baja frecuencia. Esta categoría de fenómenos es frecuentemente encontrada en los sistemas de subtransmisión y distribución y es causado por bastantes tipos de eventos. El más frecuente es la energización de bancos de capacitores, los cuales típicamente resultan en un transitorio oscilatorio de voltaje con una frecuencia fundamental de entre 300 y 900 Hz. La magnitud del pico puede acercarse a 2.0 pu, pero típicamente son de 1.3 a 1.5 pu con una duración de entre 0.5 y 3 dependiendo del amortiguamiento del sistema. En la Figura 2.4 se ilustra un transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por la energización de un banco de capacitores.

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Figura 2.4. Transitorio oscilatorio de frecuencia baja causado por la energización de un banco de capacitores

Figura 2.5.Transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por ferroresonancia de un transformador desbalanceado

Los transitorios oscilatorios con frecuencias fundamentales menores a 300 Hz también pueden ser encontrados en los sistemas de distribución. Esto generalmente

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es asociado con la ferroresonancia y energización de transformadores como se ilustra en la Figura 2.5. Transitorios concernientes a capacitores en serie también pueden caer en esta categoría. Estos ocurren cuando el sistema responde por resonancia con componentes de baja frecuencia con la corriente inrush del transformador (segunda y tercera armónica) o cuando condiciones iníciales resultan en ferroresonancia. También es posible clasificar transitorios (y otros disturbios) de acuerdo a su modo. Básicamente, un transitorio en un sistema trifásico con un conductor neutro separado puede ser de modo común o modo normal, dependiendo de si aparece entre la línea o el neutro y tierra, o entre la línea y el neutro. 2.3.2 VARIACIONES DE VOLTAJE DE LARGA DURACIÓN Las variaciones de larga duración abarcan desviaciones rms (root-mean-square) a frecuencia fundamental por tiempos mayores de 1 minuto. El estándar ANSI C84.1 -Electric Power Systems and Equipment - Voltage Ratings (60 Hz), especifica las tolerancias del voltaje de estado estable esperadas en un sistema eléctrico. Una variación de voltaje es considerada como de larga duración cuando los límites establecidos por la ANSI son mayores de 1 minuto. Las variaciones de larga duración pueden ser sobre voltajes o bajos voltajes (overvoltage ó undervoltage). Los sobre voltajes y bajos voltajes generalmente no son el resultado de fallas del sistema, pero son causados por variaciones de carga en el sistema, y operaciones de conmutación en el sistema. Tales variaciones son típicamente desplegadas como graficas de voltaje rms contra tiempo. 2.3.3 SOBRE VOLTAJE Un sobre voltaje es un incremento en el voltaje rms de c.a. de más del 110 porciento del valor nominal con una duración de más de 1 minuto. Los sobre voltajes usualmente son el resultado de la conmutación de cargas (p.e. conmutación de grandes cargas, o la energización de un banco de capacitores). El sobre voltaje resulta debido a que el sistema es demasiado débil para la regulación de voltaje deseada o los controles de voltaje son inadecuados. La posición incorrecta de los taps en transformadores también puede resultar en sobre voltajes en el sistema. 2.3.4 CAÍDAS DE VOLTAJE Un bajo voltaje es un decremento en el voltaje rms de menos del 90 porciento del valor nominal con una duración mayor a 1 minuto. Loa bajos voltajes son el resultado de eventos de conmutación que son lo contrario de los eventos que causan sobre voltajes. La conexión de una carga, o la desconexión de un banco de capacitores, pueden causar un bajo voltaje hasta que el equipo de regulación de voltaje en el

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sistema pueda regresar dentro de tolerancias. Circuitos sobrecargados pueden también resultar en bajos voltajes. El término brownout a menudo es usado para describir periodos sostenidos de bajos voltajes, iniciados como una estrategia especifica de despacho para reducir la demanda de potencia. Por lo que no hay una definición formal para brownout y no es tan claro como el termino bajo voltaje cuando se trata de caracterizar un disturbio, el termino brownout sw debe evitar. 2.3.5 INTERRUPCIONES SOSTENIDAS Cuando el suministro de voltaje es cero por un periodo de tiempo mayor a 1 minuto, la variación de voltaje de larga duración es considerada como una interrupción sostenida. Las interrupciones de voltajes mayores de un 1 minuto son a menudo permanentes y requieren intervención humana para reparar y restaurar el sistema. El término interrupción sostenida se utiliza para especificar fenómenos en el sistema eléctrico y en general, no tiene relación con el uso del término outage. Las compañías de suministro usan outage o interrupción para describir fenómenos de naturaleza similar para informes con propósito de confiabilidad. Sin embargo, esto causa algunas confusiones y los usuarios son quienes piensan de un outage como cualquier interrupción del sistema que pone fuera de servicio al proceso. Estas pueden ser tan pequeñas como de medio ciclo. Outage, como esta definido en el estándar IEEE 100, no se refiere a un fenómeno específico, más bien al estado de un componente en el sistema donde este ha fallado o funciona como se esperaba. También, el uso del termino interrupción en el contexto del monitoreo de la calidad de la energía no tiene relación con confiabilidad u otras estadísticas de continuidad del servicio. Este término se ha definido para ser más específico a lo relacionado con ausencia de voltaje en periodos largos. 2.3.6 VARIACIONES DE VOLTAJE DE CORTA DURACIÓN Esta categoría abarca la categoría IEC de dips de voltaj e interrupciones cortas. Cada tipo de variación puede ser designada como instantánea, momentánea, ó temporal, dependiendo de su duración como se definió en la Tabla 2.2. Las variaciones de voltaje de corta duración son causadas por condiciones de falla, la energización de grandes cargas que requieren una alta corriente de arranque, o pérdidas intermitentes de conexiones de los conductores. Dependiendo de la localización de la falla y de las condiciones del sistema, la falla puede causar temporalmente bajo voltaje (sag), alto voltaje (swell), o la pérdida completa de voltaje (interrupción). La condición de falla puede estar cerca a o remota desde el punto de interés. En ambos casos, el impacto en la duración del voltaje durante la condición actual de la falla es de una variación de corta duración hasta que los dispositivos de protección operen para liberar la falla.

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2.3.7 INTERRUPCIÓN Una interrupción ocurre cuando el suministro de voltaje o la corriente de carga decrece a menos de 0.1 p.u. por un periodo de tiempo que no exceda 1 minuto. Las interrupciones pueden ser el resultado de fallas en el sistema eléctrico, fallas en el equipo, ó fallas en el funcionamiento del control. Las interrupciones son medidas por su duración desde que la magnitud de voltaje sea menor que 10% del nominal. La duración de una interrupción debido a una falla en el sistema eléctrico es determinada por el tiempo de operación de los sistemas de protección de la empresa eléctrica. Re-cierres instantáneos generalmente limitaran la interrupción causada por una falla no permanente menor a 30 ciclos. Retardos de re-cierre de los dispositivos de protección pueden causar una interrupción momentánea o temporal. La duración de una interrupción debida a un mal funcionamiento del equipo o perdida de conexión puede ser irregular. Algunas interrupciones pueden ser precedidas por un voltaje sag cuando estas interrupciones son debidas a fallas en la fuente del sistema. El voltaje sag ocurre entre el tiempo de inicio de la falla y la operación del dispositivo de protección. La Figura 2.6 muestra una interrupción momentánea precedida por un voltaje sag en una fase del 20% durante tres ciclos y después caen a cero en 1.8 seg. Hasta que el cierra el restaurador (recloser).

Figura 2.6. Interrupción momentánea debido a una falla y liberación de la misma.

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2.3.8 DEPRESIÓN DE VOLTAJE (SAG, DIP) Un sag es un decremento entre 0.1 y 0.9 p.u. del voltaje o corriente rms a frecuencia fundamental para una duración desde 0.5 ciclos hasta 1 minuto. El término sag se ha usado por bastantes años para describir un decremento de voltaje de corta duración. Aunque el término no ha sido formalmente definido, este ha sido ampliamente aceptado y usado por compañías suministradoras, fabricantes, y usuarios. La definición del IEC para este fenómeno es dip. Los dos términos son considerados intercambiables, pero el término sag ha sido el sinónimo preferido en la comunidad de calidad de la energía en América y dip en Europa. La terminología usada para describir la magnitud de un sag de voltaje es a menudo muy confusa, por los intervalos de tiempo que se dan y por el valor rms del valor del voltaje. Un “sag de 20%” puede referirse a un sag el cual resulta en un voltaje de 0.8 o 0.2 pu. Cuando no se especifica otra cosa, un sag de 20% es considerado un evento durante el cual el voltaje rms decrese en 20% o 0.8 pu. El nivel de voltaje nominal o base se debe especificar. Un sag de voltaje es usualmente asociado con fallas del sistema pero también puede ser causado por la energización de grandes cargas o por el arranque de grandes motores. La Figura 2.7 muestra un sag de voltaje típico que puede ser asociado con una falla de fase a tierra (SLG single-line-to-ground) sobre algún otro alimentador de la misma subestación. Un sag del 80% tienen una duración de casi 3 ciclos, tiempo regido por el tiempo de apertura de interruptores que liberan la falla. Una falla típica es corregida en los rangos de tiempo de 3 hasta 30 ciclos, dependiendo de la magnitud de la corriente y de los equipos de protección. La Figura 2.8. Ilustra el efecto del arranque de un motor grande. Un motor de inducción que requiere de 6 a 10 veces su corriente de carga nominal durante el arranque. Si la magnitud de la corriente es grande en relación a la capacidad de corriente de falla en el sistema en ese punto, el sag de voltaje resultante puede ser significante. En este caso, los sags de voltaje inmediatamente serán del 80% y después gradualmente regresaran a su condición nominal en aproximadamente 3 seg. Note la diferencia en tiempo entre estos sags y los debidos a fallas en el sistema. Hasta ahora, la duración de eventos sag no ha sido claramente definida. La duración típica esta definida en algunas publicaciones en un rango de 2 ms (cerca de un decimo de ciclo) a un par de minutos. Los bajos voltajes que duran menos de medio ciclo no pueden ser caracterizados efectivamente por un cambio en el valor rms del valor a frecuencia fundamental. Sin embargo, estos eventos son considerados transitorios.

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Los bajos voltajes que duran más de 1 minuto pueden típicamente ser controlados por equipo de regulación de voltaje y pueden ser asociados con causas distintas a fallas en el sistema. De esta forma, estos son clasificados como variaciones de larga duración. La duración de los sags esta subdividida en tres categorías – instantánea, momentánea, y temporal – lo cual coincide con las tres categorías de interrupciones y swells. Estas duraciones corresponden a los tiempos de operación de los dispositivos típicos de protección.

Figura 2.7. Sag de voltaje causado por una falla de una fase con tierra (SLG)

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Figura 2.8. Sag de voltaje temporal causado por el arranque de un motor

2.3.9 SWELLS Un swell es definido como un incremento de entre 1.1 y 1.8 p.u. en el voltaje o corriente rms con una duración de 0.5 ciclos hasta 1 minuto. Como los sags, los swells son usualmente asociados con las condiciones de falla en el sistema, pero estos no son tan comunes como los sags de voltaje. Una forma que un swell puede ocurrir es de la elevación de voltaje temporal en las fases no falladas durante una falla entre fases o falla de fase a tierra. La figura 2.9 ilustra un voltaje swell ocasionado por la falla de fase a tierra (SLG). Los swell también pueden ser ocasionados por la desconexión de grandes cargas o por la energización de bancos de capacitores grande.

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Figura 2.9. Swell de voltaje instantáneo causado por la falla de fase a tierra (SLG)

El swell es caracterizado por la su magnitud (valor rms) y su duración. La severidad de un voltaje swell durante una condición de falla está en función de la localización de la falla, de la impedancia del sitema, y del sistema de tierra. En un sistema subterráneo con una impedancia de secuencia cero infinita, los voltajes de línea a tierra en las fases subterráneas será 1.73 p.u. durante una condición de falla de línea a tierra SLG. Cerca de la subestación en un sistema subterráneo habrá poca o ninguna elevación de voltaje en las fases no falladas debido a que el transformador de la subestación esta usualmente conectado en delta-estrella proporcionando un camino de baja impedancia de secuencia cero para la corriente de falla. Las fallas en diferentes puntos en alimentadores de 4 hilos multiaterrizados tendrán varios grados de swell’s de voltaje en las fases no falladas. Un swell de 15%, como el que se muestra en la figura 2.9 es común en alimentadores en empresas eléctricas americanas. El término sobre voltaje momentáneo es usado como un sinónimo del termino swell.

2.3.10 DESBALANCE DE VOLTAJE

El desbalance de voltaje (también llamado desequilibrio de voltaje) es algunas veces definido como la máxima desviación de el promedio de los 3 voltajes o corrientes trifásicos dividido por el promedio de los 3 voltajes o corrientes trifásicos, expresados en por ciento. El desbalance esta más rigurosamente definido en los estándares usando componentes simétricas. La razón de la componente de secuencia negativa o cero a la componente a la secuencia positiva puede ser usado para especificar el por

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ciento de desbalance. Estandares más recientes especifican que el método de secuencia negativa sea usado. La figura 2.10 muestra un ejemplo de estas dos proporciones para una tendencia de una semana de desbalance en un alimentador residencial.

Figura 2.10. El comportamiento de desbalance sobre un alimentador residencial

La principal fuente de desbalance de voltaje de menos del 2% son cargas monofásicas en un circuito trifásico. El desbalance de voltaje también puede ser el resultado de la operación de fusibles en una fase de un banco de capacitores trifásico. Muchos desbalances de voltaje (mayores al 5%) pueden resultar de condiciones de faseo monofásico.

2.3.11 DISTORSIÓN DE LA FORMA DE ONDA La distorsión de la forma de onda esta definida como una desviación del estado estable de una forma de onda senoidal ideal a frecuencia fundamental principalmente caracterizada por el contenido espectral de la desviación.

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Hay 5 tipos de formas principales de distorsión. • Dc offset (desplazamiento de cd) • Armónicas • Interarmónicas • Notching (muescas) • Noise (ruido)

2.3.12 DC OFFSET (DESPLAZAMIENTO DE CD) La presencia de un voltaje o corriente de cd en un sistema de potencia de ca es denominado dc offset. Esto puede ocurrir como el resultado de un disturbio geomagnético o debido a la simetría de los convertidores de electrónica de potencia. Los dispositivos para incrementar la vida útil de las luminarias, por ejemplo, un sistema de rectificación de media onda con diodos, puede reducir el valor rms del voltaje suministrado a lámparas incandescentes por rectificación de media onda. La corriente directa en redes de corriente alterna, puede tener un efecto dañino afectando los devanados del transformador para que se saturen en una operación normal. Esto causa calentamiento adicional y pérdida de vida útil del transformador. La corriente directa también puede causar la erosión electrolítica de los electrodos de tierra y otros conectores.

2.3.13 ARMÓNICAS Las armónicas son voltajes o corrientes senoidales que tiene frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental del sistema eléctrico (50 ó 60 Hz). Formas de onda periódicamente distorsionadas pueden ser descompuestas en una suma de la frecuencia fundamental y las armónicas. La distorsión armónica originada en las características no lineales de dispositivos y cargas en el sistema de potencia. Los niveles de distorsión armónica son descritos por el espectro armónico completo con magnitudes y ángulos de fase de cada componente armónico individual. También es común usar una sola cantidad, The Total Harmonic Distorsion (THD), como una medida del valor efectivo. Los niveles de distorsión de corriente pueden ser caracterizados por un valor THD, como se describió previamente, pero esto puede ser con frecuencia engañoso. Por ejemplo muchos ASD mostrarán altos valores de THD para una corriente de entrada cuando estos estén operando a cargas muy ligeras. Esto no es necesariamente un problema significante debido a que la magnitud de la corriente armónica es baja aun cuando su distorsión relativa es alta.

%100

1

24

23

22 ×

+++=

VVVV

THDK

(2)

24

Estas corrientes y/o voltajes armónicos son generados por elementos no lineales de la red como son saturación de transformadores, hornos de arco eléctrico, y dispositivos electrónicos como rectificadores, controladores de velocidad, lámparas ahorradoras, sistemas de cómputo, entre otros. La Figura 2.11 muestra la forma de onda y su contenido armónico para una corriente típica de un controlador de velocidad.

Figura 2.11. Forma de onda de la corriente y contenido armónico para un

controlador de velocidad

Para el respaldo de esta preocupación existen estándares tales como el IEEE 519 que define más índices de distorsión así como la recomendación para el control de la propagación de las armónicas en redes eléctricas.

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En el alumbrado la mayoría de las balastras electromagnéticas están siendo reemplazadas por balastras de estado sólido, las cuales generan un 30% mas de armónicas en los circuitos de alumbrado. Como ejemplo se tiene que las armónicas de alumbrado, equipo electrónico y de oficina provocan una sobrecarga del neutro debido a la 3a armónica principalmente.

En la industria, además del alumbrado y el equipo de oficina, las armónicas son producidas por los variadores de velocidad. Los variadores han sido creados para controlar la energía de los motores y requieren que la corriente alterna sea convertida a corriente directa por medio de rectificadores, que contribuyen con la generación de armónicas. Los rectificadores de 6 y 12 pulsos contribuyen con la 5ª y 11ª armónica, las cuales son de secuencia negativa y producen un par negativo en los motores de inducción expuestos a estas armónicas. En general, los problemas con la distorsión armónica comienzan a presentarse cuando las cargas no lineales (computadoras, variadores de velocidad, equipo electrónico) se aproximan al 30% de la capacidad del transformador. 2.3.14 INTERARMÓNICAS Las interarmónicas son señales de voltajes o corrientes que tienen componentes de frecuencia mayores a las del sistema, pero que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental (50 o 60 Hz). Ellas pueden aparecer como frecuencias discretas o como una banda amplia en el espectrum. Las interarmónicas pueden ser encontradas en las redes de todos los niveles de voltajes. La principal fuente de distorsión de forma de onda de interarmónicas son los convertidores estáticos de frecuencia, ciclo convertidores, motores de inducción, y hornos de arco. Los efectos de las ínterarmónicas son muy poco conocidos.

2.3.15 NOTCHING

El notching es un periodo de disturbio del voltaje causado por la operación normal de convertidores electrónicos cuando la corriente es conmutada desde una fase a otra (período de conmutación). Como los notching pueden ser tratados como un efecto en estado estable, esto puede ser caracterizado a través de su contenido armónico. Sin embargo, esto es generalmente tratado como un caso especial. Las componentes de frecuencia asociadas con los notching pueden ser realmente elevadas y no ser prontamente caracterizadas por los equipos de medición convencionales. La Figura 2.12 muestra un ejemplo de notches de voltaje de un convertidor trifásico.

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Figura 2.12. Ejemplo de notches de voltaje causado por un convertidor trifásico 2.3.16 RUIDO (NOISE) El ruido es definido como una señal eléctrica no deseada con contenido espectral de ancho de banda menor de 200 KHz sobrepuesto al voltaje o corriente de fase del sistema eléctrico, o sobre los conductores del neutro, también este ruido se presenta en los sistemas de comunicaciones.

El ruido en los sistemas eléctricos puede ser causado por dispositivos electrónicos, circuitos de control, equipo de arco eléctrico, cargas con rectificadores de estado sólido, y apertura y/o cierre de los suministros de energía. Básicamente, el ruido consiste de cualquier distorsión no deseada de la señal eléctrica, esto no puede ser clasificada como distorsión armónica o transitorio. El disturbio del ruido puede ser provocado por los dispositivos electrónicos tal como microcomputadoras y controles programables. El problema puede ser mitigado usando filtros, aislando los transformadores y un buen sistema de tierras.

2.3.17 FLUCTUACIONES DE VOLTAJE (PARPADEO Ó FLICKERS) Las fluctuaciones de voltaje son variaciones sistemáticas del voltaje o series de cambios de voltaje, la magnitud permisibles de estas fluctuaciones no debe de excederse de los rangos de voltajes especificados por el ANSI C84.1-1982 de 0.9 hasta 1.1 pu.

Las cargas grandes presentan variaciones rápidas en la magnitud de la corriente, pueden causar estas variaciones de voltaje que son a menudo referidos como flicker (parpadeo). El término flicker es derivado del impacto de la fluctuación de voltaje sobre lámparas tal que su impacto es percibido por el ojo humano como un

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parpadeo. Para ser técnicamente más correcto, fluctuaciones de voltaje es un fenómeno electromagnético mientras que un flicker es un resultado no deseado de la fluctuación de voltaje en algunas cargas. Sin embargo, los dos términos son a menudo asociados en los estándares.

Un ejemplo de una forma de onda de voltaje que produce flicker es mostrada en la Figura 2.13. Esto es causado por un horno de arco eléctrico, es uno de las causas más comunes de fluctuaciones de voltaje sobre los sistemas de transmisión y de distribución.

Figura 2.13. Ejemplo de un flicker de voltaje causado por la operación de un horno de arco eléctrico.

La señal del flicker es definida por la magnitud rms expresada como un porcentaje de la componente a frecuencia fundamental. El flicker es medido con respecto a la sensibilidad del ojo humano. Típicamente, las magnitudes son tan bajas como 0.5 por ciento que pueden ser perceptibles en las lámparas dentro del rango de frecuencias de 6 hasta 8 Hz. 2.3.18 VARIACIONES DE FRECUENCIA DEL SISTEMA Las variaciones de frecuencia del sistema son definidas como la desviación de la frecuencia fundamental del sistema que es especificada como valor nominal (50 ó 60 Hz).

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La frecuencia del sistema es directamente relacionada para la velocidad de rotación de los generadores que suministran la energía al sistema. Estas son variaciones en la frecuencia producidas por el desbalance dinámico entre cargas y cambios de generación. Existen cambios en la frecuencia que son aceptados dentro de ciertos limites para la operación normal en estado estable, estos cambios de frecuencia pueden ser provocados por un gran bloque de carga que ha sido desconectada, o una fuente grande de generación que se desconectó.

En las modernas interconexiones de sistemas eléctricos son raras las variaciones de frecuencia, debido a que cuentan con sofisticado equipo de control de generación.

Figura 2.14. Power frequency trend and statistical distribution at 13-kV substation bus. (Courtesy of Dranetz-BMI/Electrotek Concepts.)

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2.3.19 CURVA ITI (CBEMA) La curva ITI (CBEMA) fue publicada por el Technical Committee 3 (TC) del Information Technology Industry Council (ITI, anteriormente conocida como el Computer & Business Equipment Manufacturer Association, CBEMA). La curva ITI (CBEMA) describe la envolvente del voltaje de alimentación el cual puede ser típicamente tolerado por la curva ITI (CBEMA) describe la envolvente del voltaje de alimentación el cual puede ser típicamente tolerado por mayoría de los equipos de información (Information Technology Equipment, ITE). Esta curva es una adecuación de la curva CBEMA publicada en 1980, la cual se muestra en la Figura 2.15. Esta curva ITI, es aplicada para voltajes nominales de 120 V obtenidos de sistemas de 120V, 208 Y/120V, y 120/240V a 60Hz. Para todas las consideraciones, el término de voltaje se aplica a condiciones de 120 V rms, 60 Hz.

Figure 2.15 A portion of the CBEMA curve commonly used as a design target for

equipment and a format for reporting power quality variation data.

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Figura 2.16. Curva ITI

Ocho tipos de eventos pueden ser descritos en esta curva ITI, como se describen a continuación: Tolerancia en estado estable. El rango de tolerancia en estado estable está descrito en valores rms del voltaje. El rango permisible es de ± 10% del voltaje nominal. Este rango de voltaje puede estar presente por un periodo indefinido, como función de la carga nominal y pérdidas del sistema de distribución. Voltajes Swell. Esta región describe la región permisible de swell en base al valor rms el cual está marcado hasta un 120% del voltaje nominal con duración de hasta 0.5 segundos. Este transitorio puede ocurrir cuando grandes cargas son desconectadas del voltaje de alimentación, o cuando la carga es alimentada de otro sistema que no sea el de la compañía eléctrica. Oscilaciones de baja frecuencia. Esta región está descrita por el decaimiento del transitorio (del voltaje) ocasionado principalmente por la conexión de bancos de capacitores usados para la corrección del factor de potencia. La frecuencia de este transitorio está en el rango de 200 Hz a 5 KHz, dependiendo de la frecuencia de resonancia del sistema de distribución. La magnitud del transitorio es expresada en %

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del valor pico de la frecuencia fundamental de 60 Hz del voltaje (no del valor rms). El transitorio se asume que decae completamente al final de medio ciclo después de ocurrir el disturbio. El transitorio se asume que ocurre cerca del pico de la forma de onda del voltaje. La amplitud del transitorio varía de 140% para 200 Hz a 200% para 5KHz, con un incremento lineal en la amplitud con respecto a la frecuencia. Oscilaciones de alta frecuencia. Está región está descrita por transitorios típicamente provocados por descargas atmosféricas. Formas de onda de este tipo de transitorios son generalmente tratados en el estándar ANSI/IEEE C62, 41-1991. La región descrita por estos transitorios en la curva ITI trata con amplitud y duración (energía), en lugar de amplitud en valores rms. Esto intenta proveer un transitorio mínimo de 80 Joules inmunes para el equipo. Sags de voltajes. Dos valores rms de voltajes sags son descritos. Generalmente, estos transitorios resultan al ser conectadas grandes cargas a la red eléctrica, así mismo por fallas en varios puntos del sistema, ya sea de distribución o de transmisión. El primero, sags de voltaje de 80% del valor nominal (máxima desviación de 20%) considerados típicamente con un duración de hasta 10 segundos, y sags de 70% del valor nominal (máxima desviación de 30%) considerados con una duración de hasta 0.5 segundos. Interrupciones (Dropout). Una interrupción de voltaje incluye varios sags de voltaje y completa interrupción del voltaje, seguido de una inminente restauración del voltaje. La interrupción puede sostenerse hasta 20 milisegundos. Este transitorio típicamente resulta del recierre de interruptores al tratar de eliminar una falla en el sistema eléctrico. Región de no daño. En está región se incluyen eventos como sags e interrupciones que son mas severas que las antes ya mencionadas, son voltajes cuyo limite está por debajo del limite mínimo de tolerancia en estado estable (90%). En esta región, no se espera que los equipos (ITE) funcionen, pero tampoco son dañados. Región prohibida. Esta región incluye cualquier disturbio que exceda la envolvente superior de la curva ITI. Si el equipo (ITE) está expuesto a estos disturbios, puede resultar en un daño al mismo.

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La Tabla 2.3 muestra los estándares de calidad de la energía relacionados a distintos tópicos de estudio y/o análisis. Tabla 2.3. Estándares de calidad de la energía por tópico

Tópico Estándares Grounding IEEE Std 446, IEEE Std 141, IEEE Std 142, IEEE Std 1100,

ANSI/NFPA 70 Powering ANSI C84.1, IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE Std 1100, IEEE

Std 1250 Surge protection IEEE C62 series, IEEE Std 141, IEEE Std 142, NFPA 78, UL 1449Harmonics IEEE Std C57.110, IEEE Std 519, IEEE P519a, IEEE Std 929, IEEE

Std 1001 Disturbances ANSI C62.41, IEEE Std 1100, IEEE Std 1159a, IEEE Std 1250 Life/fire safety FIPS PUB94, ANSI/NFPA 70, NFPA 75, UL 1478, UL 1950 Mitigation equipment

IEEE Std 446, IEEE Std 1035, IEEE Std 1100, IEEE Std 1250, NEMA-UPS

Telecommunications Equipment

FIPS PUB94, IEEE Std 487, IEEE Std 1100

Noise control FIPS PUB94, IEEE Std 518, IEEE Std 1050 Utility interface IEEE Std 446, IEEE Std 929, IEEE Std 1001, IEEE Std 1035 Monitoring IEEE Std 1100, IEEE Std 1159 Load immunity IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE Std 1100, IEEE Std 1159a, IEEE

P1346 System reliability IEEE Std 493

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CAPITULO 3. TRATAMIENTO DE SEÑALES [12] 3.1 INTRODUCCIÓN Una señal es una función de una o más variables físicas que contiene información acerca del comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno. Ejemplos de señales: • Los voltajes y corrientes en circuitos eléctricos • Nuestra voz • Las imágenes En la figura 3.1 se muestra una señal de voltaje con frecuencia de 60Hz. y una magnitud de 127V, donde la ordenada es el eje del tiempo y la absisa es la magnitud del voltaje. Esta señal de voltaje es la que se maneja en las zonas habitacionales de México.

Figura 3.1.- Ejemplo de una señal de tensión de 60 Hz.

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3.2 TIPOS DE SEÑALES La primera división natural de todas las señales es en las categorías estacionarias y no estacionarias. 3.2.1 SEÑALES ESTACIONARIAS Y NO ESTACIONARIAS Las señales estacionarias son constantes en sus parámetros estadísticos sobre el tiempo. Si se observa una señal estacionaria, durante unos momentos y después espera un tiempo y vuelve a observar, esencialmente se vería igual, esto es, su nivel general seria casi lo mismo y su distribución de amplitud y su desviación estándar serian casi lo mismo. Las señales no estacionarias son aquellas en las que varía su frecuencia en el tiempo, esto es, que la frecuencia no es constante durante el periodo de tiempo analizado. Para esto, su análisis debe de ser con una herramienta matemática donde la frecuencia no sea constante para todo instante ‘’t’’. 3.2.2 SEÑALES CONTINUAS Y DISCRETAS Una señal x(t) es una señal continua si está definida para todo el tiempo t. Una señal discreta es una secuencia de números, denotada comúnmente como x[n], donde n es un número entero. En el siguiente ejemplo se muestra una señal continua, esta señal no muestra cambios en la frecuencia, se mantiene definida para cualquier instante en el tiempo t.

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Figura 3.2.- Ejemplo de una señal continúa. En la figura 3.3 se muestra una señal discreta donde sus valores están posicionados únicamente sobre números enteros en el eje del tiempo.

Figura 3.3.- Ejemplo de una señal discreta. Una señal discreta se puede obtener al muestrear una señal continua. En la siguiente figura se muestra una señal discreta al muestrear la señal continua.

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Figura 3.4.- Obtención de una señal discreta al muestrear una señal continua. 3.2.3 SEÑALES ANALÓGICAS Y DIGITALES Si una señal continua x(t) puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo, entonces esa señal recibe el nombre de señal analógica. Si una señal discreta x[n] puede tomar únicamente un número finito de valores distintos, recibe el nombre de señal digital. 3.2.4 SEÑALES REALES Y COMPLEJAS Una señal x(t) es real si sus valores son números reales, y una señal x(t) es compleja si sus valores son números complejos, es decir: x(t) = x1(t) + jx2(t). 3.2.5 SEÑALES DETERMINÍSTICAS Y ALEATORIAS Las señales determinísticas son aquellas cuyos valores están completamente especificados en cualquier tiempo dado y por lo tanto, pueden modelarse como funciones del tiempo t. Las señales aleatorias son aquellas que toman valores aleatorios (al azar) en cualquier tiempo dado y deben ser caracterizadas estadísticamente.

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3.2.6 SEÑALES PARES E IMPARES Una señal es par si se cumple que x(-t) = x(t) para todo t. Es impar si x(-t) = -x(t) para todo t. 3.2.7 SEÑALES PERIÓDICAS Y NO PERIÓDICAS Una señal continua es periódica con periodo T si existe un valor positivo T tal que x(t + T) = x(t) para todo t. Cualquier señal que no sea periódica se llama no periódica o aperiódica. El valor más pequeño de T que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental. El recíproco del periodo fundamental es la frecuencia fundamental “F”, se mide en Hertz (ciclos por segundo) y describe qué tan seguido la señal periódica se repite.

T

F 1= (3)

La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, se define como (4):

Tπ2

=Ω (4)

Una señal discreta x[n] es periódica si satisface la condición (5):

x[n] = x[n + N] (5) para todos los enteros n. Donde N es un número entero. El valor más pequeño de N que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental. La frecuencia angular fundamental, medida en radianes, se define por (6).

Nπω 2

= (6)

3.3 ANÁLISIS DE SEÑALES Muchos de los fenómenos pueden describirse mediante una señal en el dominio del tiempo; es decir, una de las variables es el tiempo (variable independiente) y la otra es la magnitud (variable dependiente). Cuando se dibuja esta señal se obtiene una función tiempo-amplitud, sin embargo la información que se puede obtener de esta representación no siempre es la mas

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apropiada, puesto que la información que caracteriza a la señal, en muchos casos, puede observarse mas claramente en el demonio de la frecuencia, es decir mediante un espectro de frecuencias que muestre las frecuencias existentes en la señal. Por lo tanto, para una mejor representación de la señal se hace necesario disponer de su representación en el dominio del tiempo y la frecuencia. En las siguientes figuras se muestran 2 señales en el dominio del tiempo, para encontrar el contenido de frecuencia de cada una de estas señales se puede hacer uso de la transformada de Fourier, esta transformada parte de una representación en el dominio del tiempo de la señal y obtiene la representación en frecuencias de la misma, es decir, si se representa esto gráficamente en un eje se mostraría la frecuencia y en el otro la amplitud. La figura 3.5 muestra 2 señales que tienen una sola componente de frecuencia, 3Hz y 10Hz respectivamente, ambas con magnitud unitaria.

Señal de 3Hz.

Tiempo en milisegundos

Señal de 10Hz

Tiempo en milisegundos

Figura 3.5.- Dos señales de 3 y 10 Hz. respectivamente.

39

En la figura 3.6 se muestra una señal con frecuencia desconocida a la que se le aplica la transformada de fourier, donde se aprecia que en todo el espectro de frecuencias solamente existe una componente de 50Hz.

Figura 3.6.- Señal de 50 Hz. y su transformada de Fourier.

Nótese que en la figura 3.6 c) se muestra la primer mitad de la figura 3.6 b) puesto que espectro de frecuencias de una señal es simétrico y por lo tanto la segunda mitad es redundante, por otra parte la transformada de fourier entrega la información en frecuencia de la señal, pero no indica el instante de tiempo en el que aparece, esta información no es necesaria cuando la señal es estacionaria, pero es de vital importancia para señales no estacionarias. El concepto de señal estacionaria es muy importante en el análisis de señales, las señales cuyo contenido de frecuencia no cambia en el tiempo se denominan señales estacionarias, por lo cual no se necesita saber en que instante de tiempo existen esas

Frecuencia

Frecuencia

Tiempo

40

componentes de frecuencia, ya que todas las componentes de frecuencia están presentes en todo instante de tiempo. Por ejemplo:

f(t)=cos (62.83t) + cos (157.08t) + cos (314.16t) + cos (628.32t) (7)

es una señal estacionaria cuyas frecuencias son 10, 25, 50 y 100Hz están presentes en cualquier instante. En la figura 3.7 se muestran la señal en el dominio del tiempo y su respectivo espectro en frecuencias.

Figura 3.7.- Señal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Por otra parte la siguiente figura muestra una señal no estacionaria con cuatro componentes de frecuencia distintas para 4 intervalos de tiempo diferentes. En el intervalo de 0 a 300 ms contiene una señal sinusoidal de 100Hz, de 300 a 600 ms

Señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Espectro de frecuencias de señal con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Tiempo

Frecuencia

41

contiene una señal sinusoidal de 50Hz, de 600 a 800 ms contiene una señal sinusoidal de 25Hz y de 800 a 1000 ms contiene una señal sinusoidal de 10Hz. Si se realiza la transformada de fourier se observa que se obtienen 4 picos correspondientes a las frecuencias presentes en la señal, 10, 25, 50 y 100Hz, tal y como se había obtenido en el análisis de la señal estacionaria.

Figura 3.8.- Señal no estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Si se comparan los espectros de las señales en el dominio del tiempo de la señal estacionaria y la no estacionaria puede observarse que ambos muestran 4 componentes espectrales para las mismas frecuencias: 10, 25, 50 y 100Hz aparte del rizado y de la diferencia de amplitud los dos espectros son casi iguales, aunque las señales en el dominio del tiempo son completamente diferentes. Ambas señales contienen las mismas componentes de frecuencia, pero la figura de la señal

42

estacionaria contiene estas frecuencias para todo el tiempo y la figura de la señal estacionaria presenta estas frecuencias en diferentes intervalos de tiempo. Esta es la razón por la cual la transformada de Fourier no es una técnica adecuada para señales no estacionarias cuando se desea obtener una correspondencia tiempo-frecuencia. 3.4 TRANSFORMADA DE FOURIER [10] Aunque en el análisis de señales la transformada de Fourier TF es una de las más empleadas, no es la única, hay muchas otras transformadas que se emplean, cada una con su área de aplicación, con sus respectivas ventajas y desventajas. La Transformada rápida de Fourier expresa una función periódica como una suma de exponenciales complejas periódicas tal como muestran en las siguientes ecuaciones donde (8): La transformada de fourier de la señal en el dominio del tiempo x(t). De la ecuación (8) se observa que la señal es multiplicada por un termino senoidal de frecuencia “f” entonces el producto de la señal y el termino senoidal es relativamente grande, esto indica que la señal x(t) tiene una fuerte componente de frecuencia “f”. Sin embargo si la señal no tiene componente de frecuencia “f” el producto tiende a cero. Es importante destacar que la información proporcionada por la integral corresponde a todos los instantes de tiempo, ya que el intervalo de integración va desde menos infinito hasta el infinito, esto significa que no importa el instante de tiempo en el que aparece la componente de frecuencia “f” porque no afectara el resultado de la integración. Por lo tanto la TF es capaz de entregar información de la existencia o no de ciertas componentes de frecuencia. Esto explica que los resultados obtenidos en el análisis de señales no estacionarias no es conveniente con la TF, por lo tanto se deben emplear otras técnicas.

(9)

(8) 2X(f)= ( ) ftx t e dtπ

∞−

−∞

⋅∫

2x(t)= ( ) ftX f e dtπ∞

−∞

⋅∫

43

3.4.1 TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER[10] La transformada discreta de Fourier (TDF) es obtenida de la transformada de Fourier de una función muestreada (discreta) en un intervalo de tiempo [ ]T,0 . La TDF de una función discreta [ ]nf esta dada por [ ]kF ,

[ ] [ ] 1,...,3,2,1,01 1

0

/2 −== ∑−

=

− NkenfN

kFN

n

Njkn π

y la transformada inversa por

[ ] [ ] 1,...,3,2,1,01

0

/2 −==∑−

=

NnekFnfN

k

Njkn π

donde N es el numero de muestras. Se debe de hacer notar que [ ]kF es la contraparte de nF , y [ ]nf la contraparte de

)(tf . Ejemplo: La función continua 2.0)94.853cos()32.120cos(3)( 00 +−++= tttf ωω es muestreada sobre un ciclo completo. El número de muestras es N=8 y una ventana con T=20 ms, esto es, una frecuencia fundamental de 50 Hz. La siguiente tabla muestra los puntos discretos así como su transformada discreta de Fourier. n [ ]mst [ ]nf [ ]kF Magnitud y ángulo Coeficiente 0 0 -1.2437 0.2 0.2 F0

1 2.5 -2.0468 -0.7572+j1.2948 1.5∠120.32 F-1 2 5.0 -3.3871 0.0 0.0 F-2 3 7.5 0.1951 0.0354-j0.4987 0.5∠-85.94 F-3 4 10.0 1.6437 0.0 0.0 5 12.5 2.4468 0.0354+j0.4987 0.5∠85.94 F3 6 15.0 3.7871 0.0 0.0 F2 7 17.5 0.2049 -0.7572-j1.2948 1.5∠-120.32 F1 La comparación entre los resultados obtenidos con la TDF y la función f(t), muestran que efectivamente solo existen el termino de cd, la primera y tercera armónica, cuyos valores son de 0.2, 3∠120.32 y 1∠-85.94, respectivamente.

(10)

(11)

44

Figura 3.9.- Grafica que muestra los valores discretos de la función muestreada. El resultado del contenido armónico de dicha corriente se muestra en forma de barras en la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5

3Contenido Armónico de f(n)

orden de la Armónica

Mag

nitud

Figura 3.10.- Contenido armónico de la figura 3.9. Ejemplo: Los siguientes puntos muestran los valores discretos de una señal de corriente proveniente de un equipo de cómputo.

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 3.11.-Valores discretos en un periodo de corriente de una PC.

La siguiente tabla muestra los valores discretos, así como el resultado de aplicar la TDF. n t[ms] f[n] F[k] Magnitud y Ángulo Coeficiente. 0 0 0 -0.0197 0.0197 ∠180.0000 F0

1 0.625 -0.227 -0.0868 + 0.5060i 1.0267 ∠ 99.7334 F-1

2 1.25 -0.312 0.0091 + 0.0291i 0.0610 ∠ 72.7415 F-2

3 1.875 -0.337 0.0653 - 0.3547i 0.7214 ∠ -79.5643 F-3

4 2.5 -0.374 -0.0034 + 0.0113i 0.0235 ∠ 106.6654 F-4

5 3.125 -0.431 -0.0286 + 0.2982i 0.5991 ∠ 95.4848 F-5

6 3.75 -0.5 -0.0006 - 0.0079i 0.0159 ∠ -94.4919 F-6

7 4.315 -2.417 0.0386 - 0.2037i 0.4147 ∠ -79.2614 F-7

8 5 -2.787 0.0085 + 0.0210i 0.0452 ∠ 68.0075 F-8

9 5.625 -1.937 -0.0221 + 0.1075i 0.2195 ∠101.6334 F-9

10 6.25 -0.037 0.0025 - 0.0110i 0.0226 ∠ -77.2677 F-10

11 6.875 0.063 0.0234 - 0.0241i 0.0672 ∠ -45.9014 F-11

12 7.5 0.063 0.0067 + 0.0101i 0.0243 ∠ 56.1987 F-12

13 8.125 0.063 -0.0117 - 0.0373i 0.0782 ∠ -107.3612 F-13

14 8.75 0.063 0.0012 - 0.0036i 0.0075 ∠ -71.3080 F-14

15 9.375 0.063 0.0061 + 0.0719i 0.1443 ∠ 85.1494 F-15

16 10 0.063 0.0033 - 0.0000i .0033 ∠ 0 F-16 17 10.625 0.063 0.0061 - 0.0719i 0.1443 ∠ 85.1494 F-17 18 11.25 0.163 0.0012 + 0.0036i 0.0075 ∠ -71.3080 F-18 19 11.815 0.243 -0.0117 + 0.0373i 0.0782 ∠ -107.3612 F-19 20 12.5 0.243 0.0067 - 0.0101i 0.0243 ∠ 56.1987 F-20

46

21 13.125 0.243 0.0234 + 0.0241i 0.0672 ∠ -45.9014 F-21 22 13.75 0.313 0.0025 + 0.0110i 0.0226 ∠ -77.2677 F-22 23 14.375 2.49 -0.0221 - 0.1075i 0.2195 ∠101.6334 F-23 24 15 2.753 0.0085 - 0.0210i 0.0452 ∠ 68.0075 F-24 25 15.625 1.663 0.0386 + 0.2037i 0.4147 ∠ -79.2614 F-25 26 16.25 0.043 -0.0006 + 0.0079i 0.0159 ∠ -94.4919 F-26 27 16.875 0.043 -0.0286 - 0.2982i 0.5991 ∠ 95.4848 F-27 28 17.5 0.043 -0.0034 - 0.0113i 0.0235 ∠ 106.6654 F-28 29 18.125 0.043 0.0653 + 0.3547i 0.7214 ∠ -79.5643 F-29 30 18.75 0 0.0091 - 0.0291i 0.0610 ∠ 72.7415 F-30 31 19.375 0 -0.0868 - 0.5060i 1.0267 ∠ 99.7334 F-31 El resultado del contenido armónico de dicha corriente se muestra en forma de barras en la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Contenido Armónico de f(n)

orden de la Armónica

Mag

nitu

d

Figura 3.12.- Contenido armónico de la figura 3.11.

47

Figura 3.13.- Contenido armónico de la señal de corriente utilizando la TDF. Por tanto, la función que representa a esta corriente esta dada por: ( ) 0.0197 1.0267 cos( 99.73 ) 0.7214cos cos(3 79.564 )

0.5991cos(5 95.484 ) 0.4147 cos(7 79.261 )0.2195cos(9 101.6334 )

i t t tt tt

ω ω

ω ω

ω

= − + + + +

+ + + +

+ +

o o

o o

o

3.4.2 LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER [11] La transformada rápida de Fourier resuelve el problema del análisis de señales no estacionarias mediante la transformada de Fourier enventanada, básicamente consiste en dividir la señal en diferentes partes donde se puede asumir que la señal es estacionaria. Para este propósito la señal es multiplicada por una función ventana, cuya anchura debe de ser igual a parte de la señal que se puede considerar como estacionaria. Esta función ventana inicialmente esta localizada al inicio de la señal, es decir t=0. Si se asume que la anchura de la ventana es “T” segundos, entonces esta función se solapara con la señal para los primeros “T/2” segundos la función ventana y la señal son entonces multiplicadas, de esta forma solamente los primeros “T/2” segundos de la señal están siendo escogidos. Una vez hecho esto la nueva señal es el producto de la función ventana y la señal original a la que se le aplica la TF. El resultado obtenido de esta transformación es la transformada de fourier para los primeros “T/2” segundos de la señal original, si esta parte de la señal es estacionaria quiere decir que los resultados obtenidos mostraran la representación en frecuencia exacta de los primeros “T/2” segundos.

48

El próximo paso será desplazar esta ventana a una nueva localización hasta que toda la señal sea recorrida. Lo anterior se resume en la ecuación (12):

donde: x(t): señal original w* : función ventana conjugada En cada instante t’ y frecuencia f se calcula un nuevo coeficiente de la transformada de Fourier. Otra forma de comprender como trabaja este análisis de Fourier es a partir de un ejemplo, para ello se muestra la figura 3.14

Figura 3.14.- Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz. Esta señal no estacionaria se puede analizar mediante el la transformada rápida de Fourier y ser representada en tres dimensiones (tiempo, frecuencia y amplitud) sabiendo que la grafica es simétrica con respecto al punto medio del eje de la frecuencia.

Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Tiempo

(12)

49

Lo importante es que existen cuatro picos que corresponden a las cuatro componentes de frecuencia de la señal original y además están localizados en diferentes intervalos de tiempo, por lo que se cuanta con una representación tiempo-frecuencia de la señal, sino que también su localización en el tiempo, como se muestra en la figura 3.15.

Figura 3.15.- STFT de la señal de la figura 3.14. Con lo anterior parecería que el problema de la representación tiempo-frecuencia de una señal esta resuelto, sin embargo, existe un problema que se remonta al principio de incertidumbre de Heisenberg, que en este caso se traduce que no es posible conocer la representación exacta tiempo-frecuencia de una señal, sino tan solo los intervalos de tiempo en los cuales existen determinadas bandas de frecuencia, por lo tanto, aparece un problema de resolución. En la transformad de Fourier no existe ese problema de resolución en el dominio de la frecuencia, se sabe exactamente las frecuencias que existen, de manera similar no existe problema de resolución en el dominio del tiempo, ya que se conoce el valor de la señal para cada instante de tiempo. Lo que proporciona la perfecta resolución en

50

frecuencia en la TF es el hecho de que la ventana empleada es la función exponencial, la cual existe para todo instante de tiempo. En la transformada de Fourier enventanada (STFT), la ventana es de longitud finita, es decir, solo se aplica a una parte de la señal, causando una disminución de la resolución en frecuencia, con lo cual solo es posible conocer una banda de frecuencias y no un valor exacto de frecuencias. En consecuencia, existe un compromiso entre buena resolución en el tiempo o buena resolución en frecuencia. Para obtener la estacionalidad se elije una ventana lo suficientemente estrecha en la cual la señal sea estacionaria. Cuanto mas estrecha sea la ventana se obtendrá mejor resolución en el tiempo y por lo tanto una mejor representación de la estacionalidad y peor resolución en frecuencia. Por lo tanto el problema consiste en la selección de una ventana para el análisis, dependiendo de la aplicación. Si las componentes frecuenciales están bien separadas unas de otras en la señal original, se puede sacrificar resolución en la frecuencia y tratar de mejorar la resolución en el tiempo. Por ejemplo en la siguiente figura se muestran dos posibilidades, dependiendo de la resolución deseada en el tiempo y frecuencia. Resumiendo: Ventana estrecha.- Buena resolución en el tiempo y pobre resolución el dominio de la

frecuencia. Ventana ancha.- Buena resolución en el dominio de la frecuencia y pobre resolución

el dominio del tiempo.

51

Figura 3.16.- Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia de la transformada enventanada de fourier, en el primer caso se utiliza una mejor resolución en el tiempo a costa de tener poca resolución en la frecuencia. En el segundo caso, la resolución en

la frecuencia se incrementa, a costa de perder resolución en el tiempo. A fin de comprender como trabaja la transformada enventanada de Fourier se procesa la señal (13) considerando una ventana gaussiana de diferentes anchuras.

Donde “a” representa la anchura de la ventana. En las figuras 3.17 se muestran 4 funciones ventana tipo gaussianas de diferentes anchuras.

(13)

52

Figura 3.17.- Representación de la función gaussianna para distintas anchuras. Aplicando a la función de la figura 1 la función mas estrecha (a=1800) para el calculo de la transformada rápida de Fourier, se observa en la siguiente figura una alta resolución en el tiempo y una pobre resolución en el dominio de la frecuencia. En dicha figura se comprueba que los cuatro picos que existen están bien separados los unos de los otros en el dominio del tiempo. Además en el dominio de la frecuencia, cada pico cubre un rango de frecuencias, en lugar de un único valor de frecuencia.

53

Figura 3.18.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=1800. En el caso de hacerse mas ancha la ventana, por ejemplo para a=18, el resultado se muestra en la siguiente figura:

54

Figura 3.19.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=18. En la figura 3.19 se comprueba que los cuatro picos, correspondientes a carda frecuencia presente en la señal, no están tan bien separados en el dominio del tiempo como sucedía en el caso anterior, sin embargo, la resolución en el dominio de la frecuencia ha mejorado. El caso correspondiente para la anchura de ventana gaussiana mayor se muestra en la siguiente figura, donde el resultado muestra una resolución en el dominio temporal muy mala, sin embargo, cada pico cubre un rango de frecuencias muy estrecho.

55

Figura 3.20.- STFT de la función de la figura 3.14 con función gaussiana de a=1.8. Estos ejemplos muestran el problema implícito de resolución que existe en la transformada rápida de fourier. Cuando se desea aplicar esta transformada se debe decidir la clase y características de la ventana a emplear. Ventanas estrechas proporcionan pobre resolución en el dominio de la frecuencia pero buena en el dominio del tiempo. Ventanas anchas, por el contrario, aportan buena resolución en el dominio de la frecuencia y mala en el dominio del tiempo, pero con el riesgo de que se viole el principio de estacionariedad. El problema, por lo tanto, radica en una elección adecuada de la función ventana, que es única para todo el análisis, la elección no será fácil y dependerá de la señal a analizar, si las componentes en frecuencia de la señal están bien separadas entre si,

56

entonces se podría sacrificar algo de resolución en frecuencia y preferir una buen resolución temporal, ya que las componentes espectrales ya están bien separadas. Pero si la señal no presenta estas características la elección de una buena ventana se complica. Por lo tanto, se debe encontrar una transformada que dando información tiempo-frecuencia de la señal solucione el problema de la resolución implícito en la transformada rápida de Fourier. La transformada Wavelet (TW) resuelve este problema. De manera muy general, la Transformada Wavelet de una función f(t) es la descomposición de f(t) en un conjunto de funciones Wf(s,t) que forman una base y son llamadas las “Wavelets”. La Transformada Wavelet se define como (14): Las Wavelets son generadas a partir de la traslación y cambio de escala de una misma función wavelet Ψs,т(t), llamada la “Wavelet madre”, y se define como (15): donde s es el factor de escala, y t es el factor de traslación. Las wavelets ys,t (t) generadas de la misma función wavelet madre y(t) tienen diferente escala s y ubicación t, pero tienen todas la misma forma. Se utilizan siempre factores de escala s > 0. Las Wavelets son dilatadas cuando la escala s > 1, y son contraídas cuando s < 1. Así, cambiando el valor de s se cubren rangos diferentes de frecuencias. Valores grandes del parámetro s corresponden a frecuencias de menor rango, o una escala grande de ys,t(t). Valores pequeños de s corresponden a frecuencias de menor rango o una escala muy pequeña de ys,t(t). Esta técnica se desarrollo como una alternativa para superar los problemas de resolución de la transformada enventanda de Fourier, haciendo posible una buena representación de una señal tanto en tiempo como en frecuencia de forma simultánea, con lo que se puede determinar el intervalo de tiempo en el cual aparecen determinadas componentes espectrales. Básicamente, lo que hace la transformada Wavelet es filtrar una señal en el dominio del tiempo mediante filtros paso bajo y paso alto que eliminan ciertas componentes

(14)

(15)

,( , ) ( ) ( )f sW s f t t dtττ ψ= ∫

,1( )s

ttssττψ ψ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

57

de alta o baja frecuencia de la señal, el procedimiento se repite para las señales resultantes del proceso de filtrado anterior. Por ejemplo, supóngase que se tiene una señal con frecuencia de hasta 1000 Hz, en la primera etapa de filtrado la señal es dividida en dos partes haciéndola pasar a través de un filtro paso-bajo y un filtro paso-alto con lo cual se obtienen dos versiones diferentes de la misma señal: una que corresponde a las frecuencias entre 0 y 500 Hz (paso bajo) y otra que corresponde a las frecuencias entre 500 y 1000 Hz (paso alto). Posteriormente, se toma cualquiera de las dos versiones o ambas y se hace nuevamente la misma división. Esta operación se denomina descomposición. De esta forma y suponiendo que se ha tomado la parte de la señal correspondiente al filtro paso bajo se tendrán tres conjuntos de datos, cada uno de los cuales corresponde a la misma señal pero a distintas frecuencias: 0-250 Hz, 250-500Hz y 500-1000Hz. A continuaron se volverá a tomar la señal correspondiente a la parte del filtrado de paso bajo haciéndola pasar nuevamente por los filtros paso bajo y paso alto, de esta forma ya se tendrían 4 conjuntos de señales correspondientes a las frecuencias 0-125 Hz, 125-250Hz, 250-500 Hz y 500-1000 Hz. El proceso continúa hasta que la señal se ha descompuesto en un cierto número de niveles predefinidos. Finalmente se cuenta con un grupo de señales que representan la misma señal, pero correspondientes a diferentes bandas de frecuencia. Para cada una de estas bandas se conocen sus respectivas señales si se juntan todas y se presentan en una grafica tridimensional se tendría tiempo en un eje, frecuencia en el segundo y amplitud en el tercero. Un ejemplo de descomposición se muestra en la figura 3.21, donde los dos primeros filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los de mayor nivel aproximan la señal.

58

Figura 3.21.- Ejemplo de descomposición donde muestra que los dos primeros filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los de mayor nivel aproximan

la señal.

59

En este ejemplo se muestra una señal con contenidos de frecuencia de hasta 1000Hz. en diferentes tiempos. Mediante la transformada Wavelet se descompone esta señal hasta encontrar en que tiempos ocurrieron los cambios de frecuencia. Se descompone por pasos, las diferentes frecuencias se separan para analizarlas y llevar acabo su respectivo análisis, donde los dos primeros filtrados contienen ruido. De esta forma es posible establecer que frecuencias existen para un tiempo dado. Sin embargo, el “principio de incertidumbre“ de Heisenberg establece que no puede conocerse la información de tiempo y frecuencia de una señal en un cierto punto del plano tiempo-frecuencia, en otras palabras no se puede determinar exactamente que frecuencias existen en un instante dado, por lo que solo es posible conocer que bandas de frecuencias existen en un determinado intervalo de tiempo. Este es un problema de resolución y ha sido la razón principal por la cual existe la tendencia a reemplazar la transformada enventanda de Fourier por la transformada Wavelet, puesto que la transformada enventanada de Fourier trabaja con una resolución fija para todos los tiempos, la transformada Wavelet trabaja con una resolución variable. Resumiendo, existen dos diferencias principales entre la transformada Wavelet y la transformada enventanada de Fourier: - La transformada enventanada de Fourier no es calculada - La anchura de la ventana se cambia conforme la transformada se calcula para cada componente espectral. Con la TW las altas frecuencias tienen mejor resolución en el tiempo mientras que las bajas tienen mejor resolución en el dominio de la frecuencia. Esto significa que una determinada componente de alta frecuencia puede localizarse mejor en el tiempo que una componente de baja frecuencia. Por el contrario, una componente de baja frecuencia puede localizarse mejor en frecuencia comparado con una componente de alta frecuencia. En la figura 3.22 puede observarse que las altas frecuencias (fila superior) la cantidad de puntos es mayor para un mismo intervalo de tiempo (∆T): es decir, las altas frecuencias tienen una mejor resolución en el tiempo. Sin embargo a bajas frecuencias para el mismo intervalo de tiempo existen menos puntos que caracterizan la señal, por lo tanto las frecuencias bajas no tienen buena resolución en el tiempo.

60

Figura 3.22.- Interpretación grafica de la resolución en tiempo y en la frecuencia.

a) Transformada wavelet continua b) Transformada wavelet discreta

En el caso de una señal discretizada en el tiempo, la resolución en el tiempo de la señal puede interpretarse de manera similar a lo comentado en el caso a), pero ahora la información en frecuencia tiene diferentes resoluciones en cada escalón de descomposición tal como puede interpretarse en la figura anterior caso b). Así se observa que para un ∆f dado la resolución en el tiempo es mejor para las bajas frecuencias que para las altas frecuencias, puesto que la separación entre cada escalón de descomposición aumenta a medida que se incrementa la frecuencia. 3.4 OTRAS TRANSFORMADAS MATEMÁTICAS [15] Una transformada integral es una transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

(16) 2

1

( ( )) ( , ) ( ) ( )t

t

T f t K u t f t dt F u= =∫

61

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde menos el infinito hasta el infinito.

Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.

Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K − 1(u,t) , que da una transformada inversa:

Para el tratamiento de señales es útil transformar las ecuaciones que describen una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, realizar el análisis y por ultimo transformar la ecuación el dominio del tiempo. Esto facilita los cálculos en muchos tipos de tratamiento de señales. Las transformadas se pueden definir como: Una transformada es la modificación de la descripción matemática de una variable física a fin de facilitar los cálculos. 3.4.1 TRANSFORMADA DE FOURIER [10] La transformada de Fourier de una función esta definida como (18)

( ) ( ) jtF t f t e dt∞

−

−∞

= ∫

y f(t) es llamada la inversa de de la transformada de Fourier de F(t), que esta definida como (19)

1( ) ( )2

jtf t F t e dt∞

−∞

= ∫

Las ecuaciones (18) y (19) son regularmente llamadas como el par de transformadas de Fourier, y son usadas para trazar funciones en el intervalo de menos infinito hasta el infinito en el dominio del tiempo o la frecuencia en una función continua en el dominio inverso. La llave apropiada para la transformada de Fourier esta en la habilidad de examinar una función o forma de onda desde la perspectiva de los dos, dominio de tiempo y frecuencia. Una función dada puede tener 2 modos equivalentes de representaciones: una es en el dominio del tiempo y es llamada f(t), y la otra es en el dominio de la frecuencia y es llamada F(t ) . La ecuación (18) transforma la función del tiempo en el espectro de frecuencia, y (19) sintetiza el espectro de la frecuencia para recuperar la función del tiempo.

(17)

(19)

(18)

2

1

1( ) ( , ) ( ( ))u

u

f t K u t T f t du−= ∫

62

3.4.2 TRANSFORMADA HARTLEY [13] La transformada unitaria discreta llamada transformada de Hartley es como un sustituto de la transformada de Fourier. El nombre deriva de la versión continua introducida por Hartley en 1942. Se trata de una transformada unitaria que emplea funciones bases sinusoidales, al igual que la transformada de Fourier. La Transformada Hartley utiliza conjuntamente funciones base tipo seno y tipo coseno, pero sus coeficientes son números reales, en contraste con la transformada de Fourier, cuyos coeficientes son, en general, números complejos. La transformada de Hartley se define mediante la siguiente ecuación (20):

1( ) ( ) ( )2

H v f x cas vx dxπ

∞

−∞

= ∫

Donde:

( ) cos( ) sin( )cas vx vx vx= +

( ) 2 sin4

cas vx vx π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2 sin4

cas vx vx π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Podemos apreciar la similitud entre las transformadas de Fourier y la de Hartley. Además, la HRT posee propiedades de la transformada discreta de Fourier equivalentes, aunque no idénticas matemáticamente. La elección entre las transformadas de Fourier y la de Hartley para una aplicación dada se basa normalmente en la eficiencia computacional. En algunas estructuras, la HRT puede calcularse más eficientemente, mientras que en otros entornos de cálculo, la transformada de Fourier puede ser computacionalmente superior.

(23)

(22)

(21)

(20)

63

3.4.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE [15] La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por (24):

0

( ) ( )stF s e f t dt∞

−= ∫

siempre y cuando la integral esté definida.

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómiales, mucho más fáciles de resolver.

3.4.4 TRANSFORMADA Z [16] La Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales. La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son la Transformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformadas de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continúo. La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. La TZ de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define como (25):

( ) [ ]( ) n

n

X z Z x n x n z∞

−

=−∞

= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑

3.4.5 TRANSFORMADA HILBERT [14] La transformada de Hilbert, de una función real, s(t) se obtiene mediante la convolución de las señales s(t) y 1 / (πt) obteniendo ˆ( )s t . Por lo tanto, la transformada de Hilbert ˆ( )s t se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada s(t) y respuesta al impulso 1 / (πt).

(25)

(24)

64

Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es (26):

{ } 1 ( )ˆ( ) ( ) ( * )( ) ss t H s t h s t dtτ τ

π τ

∞

−∞

= = =−∫

donde

1( )h ttπ

=

3.4.6 TRANSFORMADA DE GABOR [14] Una clase de representaciones tiempo - frecuencia ampliamente difundida en al ámbito del procesamiento de señales se basa en el empleo de ventanas temporales, esto es de funciones suaves y bien localizadas en un intervalo. La ventana g(t) enmarca una porción de la señal y permite aplicar localmente la Transformada de Fourier. De este modo, se releva la información en frecuencia localizada temporalmente en el dominio efectivo de la ventana. Desplazando temporalmente la ventana se cubre el dominio de la señal obteniéndose la completa información tiempo - frecuencia de (28):

ˆ ( , ) ( ) ( ) i tgs w s t g t e dtωτ τ

∞−

−∞

= −∫

Asumiendo que la ventana real g(t) esta bien localizada en un intervalo centrado en t = 0, de longitud Δt y que su transformada g(ω) esta también localizada en una banda centrada en ω = 0, de ancho Δω, las ventanas desplazadas y moduladas g(t-T )eiωt son funciones elementales bien localizadas en el dominio conjunto tiempo - frecuencia. Cada función elemental se localiza en el rectángulo centrado en el punto (T,ω) de dimensión Δt Δω.

1 ˆ( ) ( , )

2i t

gs t s e d dωτ ω ω τπ

∞

−∞

= ∫

Por tanto el conjunto de valores {sg(T,ω)} nos da un completo mapa en el dominio tiempo-frecuencia que despliega la información de la señal. Más aun, esta puede recuperarse con la formula de inversión: La misma sintetiza la señal como la superposición integral de las funciones elementales g(t-T )eiωt. El mapeo sobre domino tiempo-frecuencia, bajo las condiciones referidas, se conoce como la transformada de Gabor y representa una atractiva

(27)

(26)

(29)

(28)

65

generalización de la transformada de Fourier. Esta transformada se puede reformular considerando ahora el par de ventanas moduladas reales g(t-T) cos(ωt) y g(t-T) sin(ωt). Estos pares de ventanas moduladas actúan como filtros pasabanda, con definición de fase. De tal modo la Transformada de Gabor puede entenderse como un tratamiento localizado de la señal mediante filtros - pasabanda deslizantes, de ancho de banda constante. 3.4.7 TRANSFORMADA DE HANKEL [17] Una transformada Hankel es la transformada T aplicada sobre la función f(t) de la forma (30) :

2

1

( ( )) ( , ) ( ) ( )t

t

T f t K u t f t dt F u= =∫

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde ∞ hasta -∞ .

Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K − 1(u,t) , que da una transformada inversa (31):

2

1

1( ) ( , ) ( ( ))u

u

f t K u t T f t du−= ∫

3.4.8 TRANSFORMADA WAVELET [9] La transformada wavelet representa una señal en términos de versiones trasladadas y dilatadas de una onda finita denominada wavelet madre.

La teoría de wavelets está relacionada con muy variados campos. Todas las transformaciones wavelet pueden ser consideradas formas de representación en tiempo-frecuencia y, por tanto, están relacionadas con el análisis armónico. Las transformadas de wavelets son un caso particular de filtro de respuesta finita al impulso. Las wavelets, continuas o discretas, como cualquier función, responden al principio de incertidumbre de Hilbert, el cual establece que producto de las dispersiones obtenidas en el espacio directo y en el de las frecuencias no puede ser más pequeña que una cierta constante geométrica.

(30)

(31)

66

La transformada Wavelet (TW) se define como (32) y (33):

*

,( , ) ( ) ( )sC s f t t dtττ ψ∞

−∞

= ∫

donde:

,1( )s

ttss

ττψ ψ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(32)

(33)

67

CAPITULO 4. TRANSFORMADA WAVELET 4.1 INTRODUCCION [9] La transformada Wavelet continua (CWT) fue desarrollada como una técnica alternativa a la STFT como una manera de superar el problema de resolución. El análisis Wavelet se realiza de manera similar al análisis STFT, en el sentido que la señal es multiplicada por una función (función wavelet) de manera similar a la ventana en la STFT, y la transformada se calcula separadamente para distintos segmentos d la señal en el dominio del tiempo. Sin embargo existen dos diferencias principales entre la STFT y la CWT: a) No se evalúa la transformada de Fourier de la señales ventana y por lo tanto aparecerá un único pico que corresponda a un senoide. b) El ancho de la ventana varía a medida que se evalúa la transformada para cada componente del espectro, esto es probablemente la característica más significativa de la TW. La transformada Wavelet continua se define como (34):

Como se observa en (34), la señal transformada es una función de dos variables, ד y s, los parámetros de traslación y escala respectivamente Ψ(t) es la función de transformación que se le denomina “wavelet madre”, este nombre deriva de dos importantes propiedades del análisis wavelet: El termino wavelet significa “onda pequeña“. La pequeñez se refiere al hecho que esta función (ventana) es de longitud finita (compactamente soportada) y el termino onda se refiere a la condición que esta función es de naturaleza oscilatoria.

(35)

(34)

68

El termino madre da a entender que las funciones con diferentes regiones de actuación que se usan en el proceso de transformación provienen de una función principal o wavelet madre. Es decir, la wavelet madre es un prototipo para generar las otras funciones ventanas. En la siguiente tabla se muestran las transformaciones básicas mas utilizadas en el análisis wavelet y en la siguiente figura se muestran algunas wavelets madres clásicas. Transformaciones básicas aplicadas al calculo de la WT. La transformación finalmente aplicada corresponde a la combinación de las dos primeras, traslación y cambio de escala.

Figura 4.1.- Estas son algunas wavelets madre más utilizadas en la práctica, definidas

según un eje de tiempo continuo.

69

4.1.1 TRASLACIÓN [2] El termino traslación se usa con el mismo sentido que fue usado en la STFT y esta relacionado con la localización de la ventana medida que esta se desplaza a través de la señal. Obviamente, este término corresponde a la información del tiempo en el dominio transformado. Sin embargo, no se tiene un parámetro que sea la frecuencia como se tenía antes en el caso de la STFT. En el caso de la transformada wavelet se tiene un parámetro de “escala” el que se define como (36):

4.1.2 ESCALA [1] En el análisis wavelet el parámetro escala es análogo con el parámetro escala utilizado en los mapas. Tal como en este último caso las altas escalas corresponden a una visión global no detallada, y las bajas escalas corresponden a una vista detallada. De igual manera, en términos de frecuencia, las bajas frecuencias (altas escalas) corresponden a una información global de la señal que comúnmente abarca toda la señal, mientras que las altas frecuencias (escalas bajas) corresponden a una información detallada de una característica oculta en la señal que comúnmente dura un tiempo relativamente pequeño. Con el siguiente ejemplo en la figura 4.2 se muestran señales coseno con distintas escalas.

(36)

70

Figura 4.2.- Ejemplo de una señal coseno para distintas escalas. 4.1.3 CONJUGACIÓN TRASLACIÓN-ESCALA [2] En señales que corresponden a fenómenos o aplicaciones reales las escalas bajas (altas frecuencias) no tiene una larga duración en la señal, sino que aparecen de tiempo en tiempo como picos. Sin embargo las altas escalas (bajas frecuencias) comúnmente duran todo el tiempo de duración de la señal. El escalamiento como operación matemática produce una dilatación o una compresión de una señal; las altas escalas corresponden a señales dilatadas y las

71

escalas pequeñas corresponden a señales comprimidas. Todas las señales mostradas en la figura nacen de la misma señal coseno, es decir son versiones comprimidas o dilatadas de la misma función. En la figura anterior para s=.05 se tiene la menor escala y para s=1 la mayor. En términos de funciones matemáticas, si f(t) es una función dada f(st) corresponderá a una versión contraída (comprimida) de f(t) si s>1 y a una versión expandida (dilatada) de f(t) si s<1. Sin embargo, en la definición de la transformada Wavelet, el termino de escalamiento aparece en el denominador y por lo tanto la situación es opuesta a la descrita en el párrafo anterior, es decir escalas s>1 dilatan la señal mientras que escalas s<1 comprimen la señal. La relación entre la escala y la frecuencia consiste en que las escalas menores corresponden a altas frecuencias y las escalas mayores a bajas frecuencias. Debido a que la WT incluye información relacionada con el tiempo y la frecuencia, la representación grafica de esta transformada se realiza en un plano denominado plano tiempo-escala, representado en la siguiente figura. Cada celda en esta figura representa un valor de la WT en dicho plano. Es de destacar el hecho que estas celdas tienen un área no nula. Lo cual indica que no es posible conocer el valor de un punto particular. Sin tener en cuanta las dimensiones de las celdas, sus áreas, tanto en la STFT como en la WT, son las mismas, y están determinadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg. En concreto, el área de cada celda se fija mediante la función de enventanado temporal en la STFT o por la Wavelet madre en la CWT (Transformada Wavelet continua), con lo que diferentes ventanas o funciones madre dan lugar a diferentes áreas. Sin embargo, todas las áreas tienen una cota inferior dada por π/4. Es importante indicar como se representan las divisiones en el análisis de la STFT, para ello debe recordarse que en la STFT la resolución en el tiempo y en la frecuencia quedan determinadas por el ancho de la función ventana, la que se selecciona una sola vez durante todo el análisis, por lo que la resolución tanto en el tiempo como en la frecuencia permanecen constantes, en otras palabras la representación de las particiones en la siguiente figura en el plano tiempo-frecuencia para el caso de la STFT se haría mediante divisiones cuadradas. Independientemente de las dimensiones de cada división, las superficies de estas tanto para el caso de la STFT como para el caso de la WT son iguales y están determinadas por el principio de Heisenberg. Es decir, el área de cada división es fija para cada función ventana STFT o para cada Wavelet madre, aun cuando diferentes ventanas o wavelets madre pueden representar diferentes área; el area de estas

72

divisiones no se pueden reducir todo lo que se desee debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, pero para una wavelet madre dada el tamaño de las divisiones de puede variar manteniendo constante la superficie, de hecho esto es exactamente lo que hace la transformada wavelet.

Figura 4.3.- Las dos operaciones básicas de escalado y traslación definen el enrejado

del plano tiempo-escala. En caso de tener buena resolución temporal, la wavelet madre, representada en el eje inferior, se estrecha, con lo que se pierde resolución en frecuencia. Si la wavelet madre se ensancha, se pierde resolución en tiempo se gana

en frecuencia. Así, variando la anchura y desplazándola por el eje temporal, se calcularía el valor correspondiente a cada celda.

4.2 TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA [18] El análisis wavelet utiliza un tipo de función matemática prototipo denominada wavelet madre y denotada g(t). Estas funciones se caracterizan por ser oscilantes con una rápida caída a cero. De un modo más estricto diremos que una función para poder ser función wavelet madre debe de satisfacer os condiciones: • Ser finita en el tiempo.

• Tener valor medio nulo. Estas restricciones no son muy severas y hay un número infinito de funciones que las cumplen.

73

Diferentes autores han propuesto funciones con formas adecuadas para optimizar el análisis de la señal en aplicaciones particulares. En general, las wavelets con cambios suaves, como la wavelet Symmlet, presentan una mejor resolución en la frecuencia que las wavelet con escalones bruscos como la wavelet Haar. Como es de esperar su comportamiento en la resolución temporal es el contrario. En la siguiente figura se muestra la forma en el dominio temporal de algunas de las funciones wavelet madre más empleadas. Matemáticamente la Transformada Wavelet Continua, CWT, de una función f(t) tiene la forma (37):

Donde a es el factor de escala o dilatación y b es el factor de traslación, siendo ambas variables continuas. Con esta transformación la función unidimensional en el dominio del tiempo f(t), entra en un espacio bidimensional mediante las variables a y b.

(37)

74

Figura 4.4.- Funciones wavelet madre más utilizadas en el dominio temporal. Cada particularización de la wavelet madre para un par (a,b), es decir g(a,b,t) se denomina wavelet hija. Una función wavelet hija es una versión dilatada y trasladada de la función wavelet madre. Según los valores de b la función se traslada sobre el eje temporal hasta una determinada zona de la forma de onda. Un valor bajo de a genera una wavelet hija comprimida en el dominio del tiempo y permite representar detalles de variaciones rápidas de f(t), es decir variaciones de alta frecuencia que se representaran en bandas de frecuencia anchas. Es decir, a una alta resolución temporal, un intervalo de tiempo pequeño, le corresponde una resolución de frecuencia baja. Recíprocamente, un valor alto de a genera una wavelet hija expandida en el dominio del tiempo y representa detalles de variaciones lentas de f(t), es decir variaciones de baja frecuencia que se representaran en bandas de frecuencia

75

estrechas. Así, a una resolución temporal baja, una porción de tiempo amplia, le corresponde una resolución de frecuencia alta. Wavelet Continua se puede analizar pequeños intervalos de tiempo donde se produzcan eventos propios de componentes de alta frecuencia y también largos intervalos de tiempo para conocer el contenido armónico de baja frecuencia, que son las de magnitud más importante. En consecuencia, tenemos así una herramienta útil para localizar impulsos y oscilaciones especialmente en presencia de una componente fundamental junto con armónicos de bajo orden. 4.3 TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA [1] De modo análogo a como ocurre en el análisis de Fourier, la Transformada Wavelet Continua tiene su versión discreta para su implementación digital en la Transformada Wavelet Discreta, DWT, con la forma (38):

Donde g(t) es la wavelet madre, k es una variable entera que indica el número de muestra en la señal de entrada y los factores de escalado a y de traslación b se convierten en funciones discretas del parámetro entero m en la forma a = a0m y b = nb0a0m. De este modo se origina una familia de funciones denominadas wavelets hijas; cada una de ellas es la wavelet madre con un determinado escalado y traslación. El factor de escala a da lugar a un escalado geométrico, es decir, 1, 1/a0, 1/a02, .... Este escalado geométrico de a genera una cobertura logarítmica del espectro en contraste con las cobertura uniforme que genera el análisis de Fourier. Como resultado final, el conjunto de todas las bandas del árbol de descomposición fracciona el espectro de la señal original con bandas de anchura en progresión logarítmica.

Figura 4.5.- Dominio en frecuencia de la DFT y de la DWT respectivamente.

(38)

76

Análogamente a como ocurre con la Transformada Wavelet Continua, según tome valores b la función se traslada sobre el eje temporal hasta una determinada zona de la forma de onda. Según los valores de b la wavelet madre dilata o contrae su escala buscando su parecido con una zona de la forma de onda. Con los valores adecuados de a y b se modifica la wavelet madre, g(t), para que reproduzca la forma de la función observada f(t). Repitiendo esto sucesivas veces con diferentes zonas de la forma de onda muestreada obtenemos una descomposición de f(t) en función de g(t) dada por el conjunto de pares (a,b). Así, un determinado par de coeficientes (a,b) indica cuanto se parece esa wavelet madre en concreto, g(a,b), y la función f(t). De este modo, el conjunto de coeficientes wavelet asociados a una señal particular son la representación wavelet de la función original f(t) con respecto a la wavelet madre g(t). 4.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA WAVELET CONTINÚA [2] En esta sección se explicara la ecuación que define la transformada Wavelet continua CWT, donde f(t) es la señal que se analizara. La wavelet madre se elije entre un conjunto de funciones que se utilizan para este propósito (Morlet, sombrero Mexicano, Daubechies, etc) y tal como se ha comentado anteriormente cumple el papel de prototipo para todas las ventanas que participan en el proceso, puesto que todas estas ventanas son las versiones dilatadas (o comprimidas) y desplazadas de la Wavelet madre. Una vez que se ha elegido la wavelet madre el proceso del calculo comienza con s=1 y la transformada wavelet continua se evalúa para todos los valores de s, menores y mayores que 1. Sin embargo, dependiendo de la señal comúnmente no es necesario el cálculo completo de la transformada (todas las escalas), puesto que para la mayoría de los casos prácticos de las señales tienen una banda limitada, por este motivo la evaluación de la transformada para un intervalo limitado de escalas es muchas veces suficiente. Por razones de conveniencia, el proceso comienza a partir de la escala s=1 y continua con valores crecientes de s, es decir el análisis parte desde las altas frecuencias hacia las bajas frecuencias. El primer valor de s corresponderá a la wavelet mas comprimida y a medida que el valor de s se va incrementando la wavelet comenzara a dilatarse. La Wavelet se localiza al comienzo de la señal en el punto que corresponde a tiempo igual a 0. La función wavelet con escala s=1 se multiplica por la señal y se integra en todo el tiempo. El resultado de esta integración se multiplica luego por un valor constante 1/√s; el fin de esta multiplicación es que la señal transformada tenga la

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misma magnitud en cada escala, por ello que este producto actúa como normalización en magnitud. El resultado final de este proceso es el valor de la transformación, es decir, el valor de la transformada wavelet continua en el instante t=0 y para la escala s=1. En otras palabras, es el valor que corresponde para τ =0 y s=1 en el plano tiempo escala. Posteriormente, la Wavelet con escala s=1 es desplazada (τ ) hacia la derecha hasta la localización t=τ y el proceso se repite a fin de obtener el valor de la transformada para t=τ y s=1 en el plano de la frecuencia. El procedimiento anterior se repite hasta que la Wavelet alcanza el fin de la señal, por lo tanto en esta etapa se habrá completado una fila de puntos en el plano tiempo-escala correspondiente a la escala s=1. A continuación, se incrementa el valor de la escala s, como se esta evaluando una transformada continua tanto τ como s deben incrementarse continuamente; sin embargo, si la transformada se evalúa mediante una computadora entonces ambos parámetros se incrementan por un paso lo suficientemente pequeño, que corresponderá al muestreo del plano tiempo-frecuencia. El proceso descrito anteriormente se repite para cada valor de s, con lo que se obtienen para cada s dado las correspondientes filas el plano escala-tiempo. Cuando el proceso se completa para todos los valores deseados de s la CWT de la señal ha sido finalmente obtenida. En las siguientes figuras se muestra este proceso paso a paso. En la siguiente figura se ve la forma del calculo para s=.0001 de la función Wavelet y distintos valores de τ .

78

Figura 4.6.- Forma del calculo para s=.0001 de la función Wavelet y distintos valores

de τ .

79

Figura 4.7.- Forma del calculo para s=.002 de la función Wavelet y distintos valores de

τ .

80

Figura 4.8.- Forma del calculo para s=.004 de la función Wavelet y distintos valores de

τ . En las figuras 4.7 y 4.8 se muestra el mismo proceso para las escalas s=.002 y s=.004, respectivamente. Observe como cambia el ancho de la ventana a medida que incrementa la escala (disminución de la frecuencia), al igual que al aumentar el ancho

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de la ventana, la transformada comienza a coger las componentes de bajas frecuencias. Como resultado, para cada escala y cada intervalo de tiempo se determina un punto del plano tiempo-escala. Los cálculos realizados con una escala dan origen a las filas del tiempo plano tiempo-escala y los cálculos realizados con diferentes escalas originan las columnas del plano tiempo-escala. A continuación se presenta un ejemplo de cómo se podrá observar el resultado final de la aplicación de la transformada Wavelet a una señal no estacionaria como la que se muestra en la figura 3.14.

Figura 3.14.- Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz.

En la siguiente figura se muestra el resultado de la transformada Wavelet continua de esta señal. Observe que los ejes están escalados y trasladados, no aparece el tiempo ni la frecuencia, pero la traslación esta estrechamente ligada al tiempo, ya que esto indica donde esta localizada la Wavelet madre. La traslación de la Wavelet madre puede considerarse como el tiempo que transcurre desde t=0. La escala se interpreta como el inverso de la frecuencia, es decir, todas las propiedades de la transformada Wavelet respecto a la resolución en frecuencia aparecerán de manera inversa en las figuras la WT de una señalen el dominio del tiempo.

Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Tiempo

82

Figura 4.9.- Transformada wavelet continua de la señal de la figura 3.14. Además en la figura 4.9 puede observarse que las escalas menores corresponden a frecuencias mayores, en otras palabras la frecuencia disminuye a medida que la escala aumenta, por lo tanto, las partes del grafico con escalas cercanas a cero corresponderán a las altas frecuencias en el análisis y aquellas partes con escalas mayores corresponderán a frecuencias menores. Nótese que la primer componente de la señal que tenia una frecuencia de 100 Hz. (la mayor frecuencia) aparece en las escalas menores y en una traslación entre 0 y 300, luego aparece la componente de 10 Hz. que aparece al final del eje de traslación y con altas escalas, es decir bajas frecuencias tal como se esperaba. Ahora es posible interpretar estas propiedades de resolución a diferencia de la FFT la que tiene una resolución constante para cualquier tiempo en frecuencia, la WT para las altas frecuencias tiene una buena resolución en el tiempo y una baja resolución en frecuencia, sin embargo para las bajas frecuencias sucede lo contrario, es decir la WT tiene una mala resolución en el tiempo y una baja resolución en frecuencia.

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La figura 4.10 muestra la misma WT, pero vista desde otro ángulo para ilustrar mejor las propiedades de resolución de escala, lo que corresponde a bajas resoluciones de frecuencia. Similarmente, las altas escalas tienen una resolución de frecuencia escalada, lo que contribuye a mejorar la resolución en frecuencias de las componentes de frecuencias mas bajas.

Figura 4.10.- TWC aplicada a señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz.

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CAPITULO 5. APLICACION DE LA TRANSFORMADA WAVELET A LA CALIDAD DE LA ENERGIA EN SISTEMAS LECTRICOS

5.1 INTRODUCCION [3]

En este capítulo se presentan algunas aplicaciones de la transformada Wavelet en la calidad de la energía en los sistemas eléctricos.

La aparición de la transformada Wavelet (WT) como herramienta matemática en la ingeniería eléctrica ha sido bastante reciente, aunque las ideas esenciales en las que se basa han sido objeto de análisis durante bastante tiempo antes de que se plasmaran de forma analítica. Se trata de una transformación lineal, al igual que la transformada de Fourier (FT), sin embargo a diferencia de la anterior, como ya se había mencionado proporciona la localización en el dominio del tiempo de las diferentes componentes en frecuencia presentes en una señal dada. La transformada de Fourier enventanada (STFT) consigue parcialmente la identificación frecuencia-tiempo, pero la anchura fija de la función ventana que emplea supone una limitación. En el caso de la WT, las funciones de análisis llamadas wavelets, realizan la correlación tiempo-frecuencia de tal forma que las wavelets de alta frecuencia serán más estrechas y las de baja frecuencia serán más anchas. El empleo de esta herramienta se ha utilizado en varios trabajos que cubren áreas diversas, y sobre todo en los últimos diez años se han logrado beneficios en la aplicación de esta transformada a los sistemas eléctricos de potencia, sobre todo, entre otras cosas, debido al interés en el análisis y procesado de señales tensión-corriente para realizar una identificación de fenómenos transitorios en tiempo real de forma rápida y exacta.

El objetivo de este trabajo es proporcionar una visión descriptiva de una de las aplicaciones de la transformada Wavelet en los sistemas eléctricos de potencia a aquellos que deseen introducirse por primera vez en este tema. Para lo cual, las principales publicaciones existentes en este campo han sido analizadas y clasificadas al área de la calidad del la energía. La calidad de energía eléctrica en general se refiere a mantener sinusoidal la forma de onda en voltajes, magnitudes y frecuencias. Por el otro lado, perturbaciones en la calidad de la energía eléctrica puede pensarse como cualquier distorsión, desviación o salida de la forma sinusoidal en la magnitud del voltaje nominal y frecuencia.

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Desde que los sistemas de distribución son un sistema interconectado entre el servidor y los consumidores, cualquier perturbación generada del lado del servidor se puede propagar al lado del consumidor. Mas aun, desde que las líneas de los consumidores están interconectadas entre si y debido a el uso de varias cargas, es posible que por un consumidor que genere disturbios en la red, afecte la calidad de la energía en los demás consumidores. El actualmente la técnica para poder detectar perturbaciones en la calidad de la energía en el mercado actual esta basado en la comparación punto a punto de ciclos adyacentes. En este enfoque, la onda entrante es muestreada cerca de 5KHz. Cada punto de la muestra del ciclo presente es comparada con el correspondiente punto de muestra de del ciclo anterior. Es dicho que una perturbación ocurre si la comparación muestra una diferencia que excede un cierto límite. Este enfoque falla para detectar perturbaciones que aparecen periódicamente así como “fat-top”. Otro enfoque para detectar perturbaciones esta basado en redes neuronales. Esta propuesta parece apropiada en detectar un tipo particular de perturbación; sin embargo, debido a su naturaleza intrínseca, es requerida una específica arquitectura de red neuronal para detectar particulares tipos de perturbaciones. Así, esta red neuronal en general, no será apropiada para detectar otros tipos de perturbaciones. En el área de la calidad del servicio, se han desarrollado varios estudios para la detección y localización de perturbaciones empleando la transformada Wavelet como herramienta útil para el análisis de interferencias, impulsos, interrupciones, armónicos, parpadeo, etc. de señales no estacionarias causantes del deterioro del servicio.

De forma diferente donde la detección es trabajada directamente en el dominio del tiempo, esta detección que utiliza la transformada wavelet su enfoque se lleva a cabo en dominio de la escala-tiempo. En lo que se refiere a la detección de perturbaciones, una o dos escalas de descomposición de la señal es adecuada para discriminar perturbaciones de su origen. Esta propuesta es robusta en detectar y localizar un amplio rango de perturbaciones así como rápidas fluctuaciones de voltaje, largas y cortas variaciones de voltaje y distorsión armónica.

5.2 TRANSFORMADA WAVELET APLICADA A LA CALIDAD DE LA ENERGÍA [4]

Las wavelets se aplicaron por primera vez a los sistemas de potencia eléctricos de potencia en 1994. A partir de este año el número de publicaciones en esta área han mostrado una tendencia creciente de tal manera que el estudio se ha ido expandiendo en diversas areas de la ingeniería eléctrica.

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La mayor parte de los trabajos publicados se centran en el análisis de métodos de identificación y clasificación de las señales medidas, sin embargo, hasta ahora pocos estudios emplean la transformada wavelet como técnica de análisis de fenómenos transitorios para la solución de tensiones e intensidades que se propagan a lo largo del sistema.

Las aplicaciones más relevantes de la transformada Wavelet a los sistemas eléctricos de potencia se han centrado en las siguientes áreas de estudio:

• Calidad de la energía • Protección de sistemas eléctricos de potencia • Transitorios en sistemas eléctricos de potencia • Descargas parciales • Estimación de la demanda • Medida de potencia La figura 5.1 muestra el porcentaje de publicaciones que existen en cada una de las áreas indicadas anteriormente, donde se observan las publicaciones que emplean la transformada Wavelet grupadas en diferentes áreas de los sistemas eléctricos de potencia.

Figura 5.1.- Porcentaje de publicaciones que emplean la transformada wavelet agrupadas en diferentes áreas de los sistemas eléctricos de potencia.

En la siguiente sección se presenta una descripción de la aplicación de las wavelets al área de calidad de la energía en los sistemas eléctricos de potencia.

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5.3 LOCALIZACIÓN Y DETECCIÓN DE PERTURBACIONES DE CALIDAD DE LA ENERGIA [5] Como se menciono previamente muchos de los métodos actuales para le detección de disturbios en la calidad de la energía, tienen sus propias limitaciones y son utilizados directamente en el dominio del tiempo. En este trabajo se presenta un nuevo enfoque para la detección de disturbios y localización basada en la transformada wavelet donde la detección es llevada a cabo en el dominio tiempo-escala. Como será mostrado en la siguiente sección, esta propuesta es muy poderosa en detección de un amplio rango en los disturbios de la calidad de la energía, así como fluctuaciones rápidas de voltaje, largas y cortas variaciones de voltaje y distorsión armónica. También puede detectar disturbios que aparecen periódicamente. El método de detección es claramente simple. Una forma de onda distorsionada dada, es transformada en el dominio de tiempo-escala mediante la descomposición multiresolucion de la señal. Normalmente una o dos escalas de descomposición de la señal es adecuada para discriminar disturbios de origen, porque la descomposición de señales a bajas escalas tienen una alta localización en el tiempo. En otras palabras, descomposición a altas escalas no son buenas porque esta da una pobre resolución en el tiempo. Asumiendo que hemos escogido un especifico tipo de wavelet madre con un filtro L de coeficientes, h(n) y g(n), que forman una familia de funciones escala Φ(t) y wavelet Ψ(t), respectivamente, entonces tenemos:

( ) 2 ( ) (2 )n

t h n t nφ φ= −∑

( ) 2 ( ) (2 )n

t g n t nψ φ= −∑

El proceso de detección y localización es entonces justo una serie de convolucion proceso de regresión para cada escala correspondiente. En la escala uno, la señal eléctrica c0=(n), con n puntos de muestreo, es descompuesta en otras dos señales c1(n) y d1(n), aplicando la técnica MRA, c1(n) y d1(n) son definidas como (41) y (42):

(40)

(39)

88

1 0( ) ( 2 ) ( )k

c n h k n c k= −∑

1 0( ) ( 2 ) ( )k

d n g k n c k= −∑

Como es mencionado anteriormente, de la transformada wavelet, la señal c1(n) es una suave versión de la señal original c0(n), mientras d1(n) es la versión dilatada de la señal original que es representada mediante los coeficientes de la transformada wavelet (WTCs) en la escala uno. Estos coeficientes dan la información detectada. En casos de perturbaciones en la calidad de la energía, cuando quiera que estas perturbaciones ocurran en la forma de onda dada, los coeficientes de de la transformada wavelet son exclusivamente mas grandes que los demás. Como se mostrara mas adelante, la transformada wavelet es sensible a señales con irregularidades, pero esta “protegida” a un comportamiento constante de la señal. Basado en esta propiedad. Esta claro que la transformada wavelet es una herramienta apropiada para detectar y localizar disturbios en la calidad de la energía. De este sencillo proceso, se deduce que el entendimiento físico de la detección y localización descrita en las ecuaciones anteriores están dadas por (43) (44) y (45):

1 1,1( ) ( ) ( ) ( )

22ntc n f t t dt f t n dtφ φ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

1 1,1( ) ( ) ( ) ( )

22ntd n f t t dt f t n dtψ ψ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

donde:

0 0 0,( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n

f t c n t n c n tφ φ= − =∑ ∑

f(t) en la ecuación (45) puede ser pensada como “una señal sin valor” generada por una combinación lineal de c0(n) con la función escala a escala cero. Así, cualquier perturbaciones c0(n) aparecerá en f(t) también. Sustituyendo (39) y (40) en (43) y (44) respectivamente, tenemos:

(42)

(41)

(45)

(44)

(43)

89

1( ) ( ) ( ) ( 2 )k

c n f t h k t n k dtφ= − −∑∫

1( ) ( ) ( ) ( 2 )k

d n f t g k t n k dtφ= − −∑∫

De la ecuación (46) donde c1(n) es simplemente la suave versión de la señal original c0, donde h(n) respuesta en frecuencia baja. Mientras que de (47), esta claro que d1(n) contiene solo componentes de alta frecuencia de la señal f(t) porque g(n) tiene un filtro de paso de banda de respuesta. Esto explica porque la transformada wavelet es sensible a señales con grandes irregularidades pero “protegida” a comportamientos constantes. En la practica, la construcción de f(t) no es necesaria, pero es valiosa para entender como es el proceso de detección y localización de la perturbación. Sin embargo, señales c1(n) y d1(n) actualmente son obtenidas directamente de de (41) y (42). Esto hace el proceso de detección y localización muy simple. El proceso de detección para escala 2 empieza de la señal c1(n) donde esta señal puede ser pensada como una señal “nueva” de c0(n). El proceso antes mencionado es entonces repetido. Entonces la escala y las funciones wavelets se van ensanchando y ensanchando mientras la escala se incrementa, la localización del tiempo se pierde. Esto sugiere que descomposiciones a altas escalas no es necesario. En cuanto a la detección de perturbaciones en la calidad de la energía concierne, la segunda descomposición de la señal original c0(n) es normalmente adecuada para detectar y localizar disturbios. 5.4 ELECCIÓN DE LA WAVELET MADRE [6] La elección de la wavelet madre juega un papel muy importante en la detección y localización de varios tipos de disturbios. La transformada de Daubechies trabaja bien con 4, 6, 8 y 10 coeficientes filtros en la mayoría de detección de casos. Sin embargo para algunos disturbios, así como las dilataciones y depresiones de voltaje (en menos de 5%), la transformada de Daubechies para el 4to filtro (Daub4) no puede detectar dichos disturbios. Entonces, la elección de la wavelet madre es importante. En la detección de disturbios de la calidad de la energía, generalmente, uno puede clasificar disturbios en 2 categorías, transitorios rápidos y lentos, en el caso de transitorios rápidos, las formas de onda son marcadas con bordes afilados, cambios rápidos y abruptos, y con muy poca duración de tiempo. En este caso Daub4 y Daub6 debido a su compactación, es particularmente bueno en detectar y localizar dichos disturbios.

(46)

(47)

90

En el caso de un transitorio lento, las formas de onda son marcadas con un lento cambio o suave amplitud de cambio. En este caso, Daub4 y Daub6 pueden ser incapaces de detectar dichos disturbios, porque el intervalo tiempo en la integral (6) evaluada al punto n es muy corta. Sin embargo, si Daub8 y Daub10 son usadas, la integral del intervalo de tiempo es suficiente mente larga y, así, la wavelet puede conocer los cambios. 5.5 RESULTADOS El método de detección propuesta anteriormente, es ahora aplicado a varios tipos de disturbios. La forma de onda senoidal de 60 Hz. y la unidad de amplitud con una frecuencia de muestreo de 2.56 kHz. Las wavelets Daub4 y Daub10 son utilizadas para mostrar que en ciertos casos, Daub10 detecta y localiza mejor que Daub4 o viceversa. Con solo haber descompuesto la señal a escala uno, nos brinda la mejor localización en el tiempo. A continuación, la localización y detección del disturbio de la forma de onda del plano superior (disturbios transitorios rápidos y cortos), la depresión del voltaje y la distorsión armónica es presentada. 5.5.1 DISTURBIOS EN LA FORMA DE ONDA EN BORDES MÁXIMOS [8] Las perturbaciones son identificadas por tipo de señal achatada por un periodo de tiempo muy corto cerca del pico, como se muestra en la figura 5.2:

Figura 5.2.- Señal con borde máximo aplanado. La forma achatada puede ser casi horizontal o en algunos casos, tener una inclinación positiva. Este disturbio es

causado normalmente por una carga electrónica que señala la máxima corriente de un transformador de distribución en el pico de la forma de onda.

La detección y localización utilizando Daub4 y Daub10 en escala uno son mostrados respectivamente en la figura 5.3:

91

Figura 5.3.- a) señal analizada mediante wavelet, Daub4 y b) señal analizada mediante wavelet, Daub10.

En los dos casos, los picos indican el tiempo de los disturbios. Sin embargo, la detección utilizando Daub10 tiene superiores efectos cerca de los picos. Esto es debido al hecho que la wavelet Daub10 no esta tan compactada como la Daub4, y el intervalo de tiempo de la integral es muy larga para este propósito. El actual estado de la técnica usa la comparación punto a punto descrita anteriormente para detectar este tipo de de perturbaciones. Porque aparecen perturbaciones en la misma localización en cada ciclo, esta técnica no puede detectar puntos máximos así como ningún disturbio que aparezca periódicamente. Sin

92

embargo, el enfoque de la transformada wavelet puede detectar este tipo de disturbios fácilmente. 5.5.2 DEPRESIÓN DEL VOLTAJE (SAG) [7] La depresión del voltaje esta denotada por un repentino decaimiento en la amplitud del voltaje de su valor nominal durante varios ciclos. Una depresión de voltaje con un decaimiento de 30% o más es considerada severa. La figura 5.4 muestra una depresión de 5% durante 4 ciclos.

Figura 5.4.- Señal con depresión de voltaje por 4 ciclos. La detección y localización de estos disturbios utilizando Daub4 y Daub10 en escala uno son mostradas en la figura 5.5:

93

Figura 5.5.- a) señal de analizada mediante wavelet con Daub4 y b) señal analizada con Daub10.

Daub4 detecta la perturbación. Nótese las pequeñas marcas en los círculos que indican los cambios. Para cualquier finalidad practica Daub4 falla para detectársete simple perturbación. Sin embargo, estas perturbaciones son bien conocidas mediante la Daub10. Ahora, las perturbaciones acontecidas son obvias. En este caso, Daub10 trabaja mucho mejor que Daub4 porque la perturbación es mucho mas lenta en Daub4 que es la wavelet mas compacta, entonces no tiene mucho tiempo para detectar el lento cambio. 5.5.3 DISTORSIÓN ARMÓNICA [7] Cuando una perfecta forma de onda con frecuenta de 60Hz. es contaminada con armónicos, la forma de onda resultante es llamada distorsionada armónicamente.

94

Una forma fácil de medir la desviación de una original onda senoide se utiliza la definición de distorsión total armónica (THD), que esta dada por (48):

2

2

1

iVT H D

V

∞

=∑

Donde V1 es la magnitud de la frecuencia fundamental f0, y Vi es la magnitud de las frecuencias armónicas if0, i es un mejor entero positivo que uno. Un senoide perfecto tiene un THD del 0%, mientras más distorsionada esta la onda, será mayor la distorsión armónica. Dado que la función de base de la transformada wavelet no está definida en términos de frecuencia, no es adecuada para cuantificar el contenido armónico. Sin embargo, la transformada wavelet juega un papel muy importante en la detección y localización de eventos armónicos presentes. La siguiente figura muestra una señal senoidal que parece perfecta. Sin embargo de 67.2 mseg a 133.6 mseg que son aproximadamente 4 ciclos, la señal es contaminada con la adición de armónicos de orden impar bajo el orden de 25º frecuencia de la fundamental.

Figura 5.6.- Señal con distorsión armónica.

El contenido armónico de la figura 5.6 es el siguiente: 5º, 7 º, 11 º, 13 º, 17 º, 19 º, 23 º, y 25 º con 9.03, 5.02, 3.01, 1.23, 0.89, 0.78, 3.12 y 1.9 por ciento de la frecuencia fundamental respectivamente.

(48)

95

Utilizando la ecuación para conocer la distorsión armónica, tenemos que la distorsión es del 11.49%. Las siguientes figuras muestran la detección y localización de los eventos armónicos utilizando Daub4 y Daub10 con escala uno, respectivamente.

Figura 5.7.- Wavelet de la señal de la figura 4.6, a) analizada mediante Daub4 y b) analizada mediante Daub10

Estos resultados indican que la transformada wavelet puede localizar el acontecimiento del evento armónico, aunque no puede conocer el contenido armónico. La razón es debido al hecho de la señal original es filtrada por h(n), un filtro de paso bajo, y g(n) un filtro de banda de paso. Dado que g(n) tiene una respuesta de filtro de banda de paso, entonces esta puede conocer i localizar la presencia de armónicos. Comparando los resultados obtenidos utilizados con Dub4 y Dub10, queda claro que Dub10 provee una mejor localización. Este esta relacionado con le frecuencia de respuesta de wavelet Daub4 y Daub10.

96

CAPITULO 6. CONCLUSIONES Actualmente, se están llevando a cabo investigaciones para la detección y localización de todas las perturbaciones posibles en la calidad de la energía para mejorar el servicio eléctrico, pues esto implica grandes pérdidas de dinero en generación, transmisión, distribución, consumo. También quedan afectados todos los dispositivos que son sensibles a estas perturbaciones que afectan la continuidad del servicio como en el área de protecciones eléctricas. En el presente trabajo se comprobó que la propuesta basada en la transformada wavelet es muy poderosa en la detección y localización de los distintos tipos de perturbaciones en la calidad de la energía. Los resultados presentados demuestran que no son solamente las perturbaciones comunes las que pueden ser detectadas y localizadas. Muchas otras perturbaciones tales como la interrupción momentánea, impulsos y diversos tipos de faltas en la forma de onda, SAG, y los aumentos repentinos pueden ser detectados y bien localizados utilizando los métodos propuestos. Puesto que la transformada Wavelet Trabaja en la escala-tiempo se puede conocer el momento en el que ocurre la perturbación en estados no estacionarios de la señal, dando así la principal ventaja sobre el análisis de Fourier. Como resultado del análisis de la documentación analizada de la aplicación de las wavelets a los sistemas eléctricos de potencia se puede concluir lo siguiente:

• El uso del análisis Wavelet empleado a la localización y detección de perturbaciones en la calidad de la energía los sistemas eléctricos fueron fue muy eficiente y confiable.

• El análisis Wavelet es una herramienta de gran utilidad en el tratamiento de

señales en escala-tiempo, por sus características diferentes a la transformada de Fourier en ciertos casos, como el caso de señales no estacionarias.

• Se concluyo también que con la transformada Wavelet no sólo se pueden

detectar las perturbaciones, sino también a clasificar los diversos tipos de disturbios automáticamente para la mitigación de estos.

97

• Los desarrollos teóricos necesarios para adentrarse y mejorar en este campo se encaminara hacia la elección adecuada de la transformada wavelet para cada aplicación específica.

• El estándar IEC 61000-4-7 deja abierta la posibilidad de utilizar otros principios

de análisis de perturbaciones en señales eléctricas indicando el análisis wavelet como uno de los posibles. Esta tesis ha desarrollado esa vía alterna proponiendo un método que aporta resultados satisfactorios. La mejora de estos resultados en el futuro estará ligada al perfeccionamiento de las características en frecuencia de los filtros de descomposición wavelet.

98

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101

APÉNDICE A. CÓDIGOS EN MATLAB En este apéndice se presentan los códigos de los ejemplos mencionados anteriormente en la tesis. El software utilizado fue Matlab versión 7.4.0287 (R2007a), en varios casos, para ejecutar los códigos es necesario disponer del toolbox de Wavelet Matlab 7. Figura 3.5.-Código de una señal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Este código representa una señal con 3 diferentes frecuencias en estado estacionario y su espectro en frecuencia. %Representación de señales sinusoidales de diferente frecuencia: 3 Hz, 10Hz y 50 Hz clear all close all npuntos=256; %numero de puntos de la señal t=0:1l/npuntos:1l; tiempo=l000*t; w=2*pi; %señal de 3 hz y3=cos(w*3*t) ; %señal de 10 Hz Yl0=cos(w*l0*t); %señal de 50 Hz Y50=cos(w*50*t); figure (1 ) subplot (3,,1) ; plot(tiempo,y3) xlabel('Tiempo [ms] '); axis([0.1000.-1.1); title('Señal de 3 Hz'. 'fontweight', 'bold'); grid on subplot(3,1,2); plot(tiempo,y10) xlabel('Tiempo [ms] '); axis([0.1000.-1.1): title('Señal de la Hz'. 'fontweight'. 'bold'); grid on subplot(3,1,3) ; plot(tiempo,y50) xlabel('Tiempo [ms] '):

102

axis([0,1000,-1.1); title('Señal de 50 Hz', 'fontweight', 'bold'); grid on Figura 3.6.- Señal de 50 Hz. y su transformada de Fourier. Este código representa una señal continua con frecuencia de 50 Hz. y su espectro en frecuencia. %Transformada Fourier o contenido en frecuencia de la señal de 50 Hz ft50=fft (y50) ; figure (2) subplot(2,1,1) plot(abs(ft20)) xlabel('Frecuencia [Hz) '); title('Espectrco de frecuencias de la señal de 50 Hz'. 'fontweight'. 'bold'); axis([0,npuntos.0.600]); grid on subplot(2,1,2) plot(abs(ft50) ) xlabel('Frecuencia [Hz] '); axis([O.npuntos/2,0,600]); grid on Figura 3.7.- Señal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Aquí se representa una señal con contenidos de frecuencia de 10, 25, 50 y 100 Hz y se representa mediante la transformada de Fourier. %Estudio de una señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz %y su respectivo espectro de frecuencia clear all close all npuntos=512; t=0:l/npuntos:l; w=2*pi¡ tiempo=1000*t; x=cos(w*10*t)+cos(w*2S*t}+cos(w*SO*t)+cos(w*100*t) ; figure (3) plot(tiempo,x) xlabel('Tiempo [ms] ') ; title('Señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 Y 100 Hz'}; grid on

103

ft=fft (x) ; figure (4) subplot(2,l,l) plot (abs (ft)) xlabel('Frecuencia [Hz] '); title('Espectro de frecuencias de la señal de 10,25,50 y 100 Hz estacionaria', 'fontweight', 'bold'); axis([0,npuntos,0,600); grid on subplot(2,l,2) plot (abs (ft) ) xlabel ( 'Frecuencia [Hz]') ; axis([O.npuntos/8.0,600]); grid on Figura 3.8.- Señal no estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia. Aquí se representa una señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz. y su espectro en fourier. %Estudio de una señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 %Hz y su respectivo espectro de frecuencia clear all close all npuntos=1024; w=2*pi; t=0:1/npuntos:1; tl=t(1:npuntos*0.3); t2=t(npuntos*0.3:npuntos*0.6); t3at(npuntos*0.6:npuntos*0.8); t4=t(npuntos*0.8:npuntos)¡ tiempo=1000*t; xl=sin(w*100*tl) ; x2=sin(w*20*t2); x3=sin(w*25*t3); x4=sin(w*10*t4); x=[xl x2 x3 x4] ; figure (5 ) plot(tiempo,x) xlabel('Tiempo [ms] '); title('Señal estacionaria no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 Y 100 Hz'); grid on ft=fft(x)¡ figure (6) subplot(2,1,1) plot (abs (ft) ) xlabel('Frecuencia [Hz]'); title('Espectro de frecuencias de la señal de 10,25,50 y 100 Hz no estacionaria', 'fontweight', 'bold'); axis([0,npuntos,0,200]); grid en subplot(2,1,2) plot(abs(ft)) xlabel('Frecuencia [Hz] ');

104

axis([0,npuntos/3,0,200]); grid on Figura 3.15.- STFT de una señal no estacionaria con contenidos de 10, 25, 50 y 100 Hz. Aquí se grafica la frecuencia, magnitud y tiempote una señal no estacionaria con la transformada de Fourier enventanada. %STFT de una señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz %Se emplea una ventana del tipo gaussiana con differentes valores de amplitud a % %Subrrutinas empleadas: %Nota: el parámetro a se introduce en la sub~utina Makewindow, %que es parte de la subrutina WindowFT close all; clear all; npuntos:512; t=0:1/npuntos:1; w=2*pi; tiempo=1000*t; x=cos(w*10*t)~cos(w*25*t)+cos(w*50*t)+cos(w*100*t); specgm = WindowFT(x,npuntos/2,32, 'Gaussian'); z=abs(specgm); mesh(z); Figura 3.17.- Representación de la función gaussianna para distintas anchuras. Aquí solamente se representan funciones gaussianas a anchuras “a” diferentes. %Representación de la función gaussiana para distintas anchuras “a” close all clear all npuntos=1024; t=0:1/npuntos:1; a = 1800; fgauss=exp(-a*(t-0.5).^2/2); tiempo=t*1000; subplot(2,2,1); plot(tiempo,fgauss) title('a = 1800'); a = 180; fgauss=exp(-a*(t-0.5).^2/2); tiempo=t*1000; subplot (2,2,2) ; plot(tiempo,fgauss) title('a = 180'), a = lB; fgauss=exp(-a*(t-0.5).^2/2); tiempo=t*1000; subplot(2,2,3); plot (tiempo, fgauss) title('a = 18');

105

a = 1.8; fgauss=exp(-a*(t-0.5).^2/2); tiempo=t*1000; subplot(2,2,4); plot (tiempo, fgau9s) title('a = 1.8'); Figuras 3.18, 3.19, 3.20.- STFT de la señal de la una señal no estacionaria con contenidos de 10, 25, 50 y 100 Hz. Aquí se grafica la frecuencia, magnitud y tiempo de una señal no estacionaria con la transformada de Fourier enventanada. %STFT de una señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz %Se emplea una ventana del tipo gaussiana con differentes valores de amplitud a % %Subrrutinas empleadas: %Nota: el parámetro a se introduce en la sub~utina Makewindow, %que es parte de la subrutina WindowFT close all; clear all; w=2*pi; npuntos=512; t=l/npuntos:l; tl=t(1:npuntos*0.3);¡ t2=t(npuntos*0.3:npuntos*0.6); t3-t(npuntos*0.6:npuntos*0.8) ; t4=t(npuntos*0.8:npuntos); tiempo=1000*t;¡ xl=ain(w*100*tl); x2=sin(w*50*t2); x3=sin(w*25*t3); x4-sin(w*10*t4); x=[xl x2 x3 x4); specgm = WindowFT (x, npuntos/4, 25, 'Gaussian'); z=abs (specgm); mesh (z); Figura 3.21.- Ejemplo de descomposición usando la DWT de una señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100Hz.En este ejemplo se ha utilizado la Wavelet Daubechie 8, con nivel de descomposición 5. %Ejemplo de descomposición usando la Transformada Wavelet Discreta (DWT) de una señal %no estacionaria con contenido de 10,25,50 y 100 Hz clear all close all npuntos=1024; w=2*pi; t=0:1/npuntos:1; t1=t(1:npuntos*0.3); t2=t(npuntos*0.3:npuntos*0.6) ;

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t3=t(npuntos*0.6:npuntos*0.8) ; t4=t{npuntos*0.8:npuntos); tiempo=1000*t; x1=sin{w*100*tl) ; x2=sin(w*20*t2); x3=sin(w*25*t3) ; x4=sin{w*10*t4) ; x=[x1 x2 x3 x4] ; x=x(1:1024) ; senal=x' ; longitud=length(senal) ; tipo= ' db8' ; nivel=5; di= [ ]; [c,1] = wavedec(senal,nivel,tipo); for i=1:nivel cd=wrcoef{'d',c,l,tipo,i); di= [di; cd'] ; end k=O; for i=nivel:-1:1

k=k+1; d (k, : ) =di (i, : ) ;

end a=wrcoef('a',c,1,tipo,nivel) ; figura=[senal'¡a'¡d] ; for i=1:nivel+2 subplot{nivel+2,l,i) plot(figura(i,:» axis([0,1000,-1,1]); zoom end Figura 4.1.- Algunas wavelets madres más empleadas en la práctica. Aquí se representan la Wavelets madres mas utilizadas, definidas según un eje de tiempo continuo. %Algunas wavelets madres más empleadas % %Nota: Se emplean subrutinas de generación de esas funciones del toolbox wavelets de %matlab 6 clear all close all d=dbwavf('db8'); s=symwavf('sym6'); c=coifwavf('coif3'); x=[0 250]; y=[-0.045 -0.045]; subplot(2,2,l) line (x, y) x=[250 250]; y=[-0.045 0.045]; line(x.y) x=[250 550]; y= [0. 045 0.045 ] ; line(x,y) axis([0.600.-0.05.0.05]); title('Harr 4'); subplot(2.2,2)

107

plot (d) title('Daubechies 8'); stibplot(2,2.3) plot (e) title('Coiflet 3'); subplot(2.2.4) plot (s) title('Symmlet 6'); Figura 4.2.- Ejemplo de una función coseno para distintas escalas. Aquí se representan la función coseno, donde se aprecia como afecta directamente la frecuencia de la función para diferentes escalas. %Ejemplo de una función coseno para distintas escalas Npuntos=1024; t=0:1/npuntos:1; tiempo=t*1000; w=2*pi; x=cos(w*5*t); % Frecuencia de 5 Hz subplot(2,2,1) plot(tiempo,x); xlabel('Tiempo [ms] '); title('s = 0.2 (f = 5)'); x=cos(w*10*t);% Frecuencia de 10 Hz subplot(2,2,2) plot(tiempo,x); xlabel('Tiempo [mS] '}; title('s = 0.1 (f = 10) '); x=cos(w*l*t);% Frecuencia de 1 Hz subplot(2,2,3) plot(tiempo,x); xlabel('Tiempo [ms] '); title('s = 1 (f = 1)'); x=cos(w*20*t);% Frecuencia de 20 Hz subplot(2,2,4) plot(tiempo,x); xlabel('Tiempo [ms] t); tltle('s = 0.05 (f = 20) '); Figuras 4.6, 4.7, 4.8- Forma del calculo para distintos valores “s” de la función Wavelet y distintos valores de ד. Este es un ejemplo de la forma de cálculo de la CWT y se utiliza la función wavelet gaussiana, donde están los parámetros de traslación y escala, o ancho de la wavelet madre. %Ejemplo de la forma de cálculo de la Transformada Wavelet Continua (CWT) %Se utiliza la función wavelet gaussiana %El parámetro to indica el término de traslación %El parámetro s indica la escala, o ancho de la wavelet madre clase all clear all

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npuntos=10000; t=0:1/npuntos:1; to=0.2S; s=10000; a=exp(-s* (t-to).^2/2); tiempo=t*1000; subplot(2,2,1) plot(tiempo,a, 'r') fill(tiempo,a, 'r'); title('s = 250 to = 250'); hold on x=-8*pi:12*pi/1000:8*pi; senal~60*cos(x) .^5.*sin(x). ^7./(sin(x) . ^5+x+eps); plot (senal) axis([0,1100,-0.5,1] ) grid on xlabel('Tiempo [ms] '); to=0.45; a=exp(-s* (t-ta). "'2/2); subplot(2,2,2) plot(tiempa,a, 'r') fill (tiempo, a, 'r') ; title('s = 250 to = 450'); hold on x=-8*pi:12*pi/1000:B*pi; senal=60*cos(x) . ^5.*sin(x) .^7./(sin(x) . ^5+x+eps); plot(senal) axis([0,1100,-0.5,1]) grid on xlabel('Tiempo [ms] '); to=0.65; a=exp(-s* (t-to). "'2/2); subplot(2,2,3) plot(tiempo,a, 'r') fill(tiempo,a, 'r'); title('s = 250 to = 650'); hold on x=-8*pi:12*pi/1000:8*pi; senal=60*cos(x) . ^5.*sin(x) . ^7./(sin(x) . ^5+x+eps); plot(senal) ax i s ( [0, 1100, - 0.5,1] ) grid on xlabel('Tiempo [ms] '); to=0.75; a;exp(-s*(t-t0).A2/2); subplot(2,2,4) plot(tiempo,a, 'r') fill(tiempe,a, 'r'); title('s = 250 te = 750')/ hold on x=-B*pi:12*pi/l000:B*pi; senal=60*cos(x) .AS.*sin(x).A7./(sin(x) .AS+x+eps); plot(senal) axis([O,1100,-O.5,l}) grid on xlabel('Tiempo [ms] ');

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Figura 4.9.- Representación tridimensional de los coeficientes calculados aplicando la CWT de una señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100Hz. %Representación tridimensional de los coeficientes calculados aplicando la Transformada %Wavelet continua (CWT) de una señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 Y 100 Hz clear all close all npuntos=1024; w=2*pi; t=0:1/npuntos:1; tl=t(1:npuntos*0.3); t2=t(npuntos*0.3:npuntos*0.6); t3=t(npuntos*0.6:npuntos*0.8); t4=t (npuntos*0. 8:npuntos) ; tiempo=1000*t; xl=sin(w*100*tl); x2=sin(w*50*t2); x3=sin(w*25*t3) ; x4=sin(w*10*t4) ; x=[x1 x2 x3 x4] ; figure (1) plot(tiempo,x) coefs=cwt(x,1:32, 'sym6'); figure (2) mesh(cqefs) Figura 4.10.- Representación tridimensional de los coeficientes calculados aplicando la CWT de una señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100Hz. %Representación tridimensional de los coeficientes calculados aplicando la Transformada %Wavelet continua (CWT) de una señal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 Y 100 Hz clear all close all npuntos=512; t=0:1/npuntos:1; w=2*pi; tiempo=1000*t ; x=cos(w*10*t)+cos(w*25*t)+cos(w*50*t)+cos(w*100*t) ; figure (1) plot(tiempo,x) coefs=cwt(x,1:32, ISI~6'); figure (2) mesh (abs (coefs) )