Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín - Escuela de MatemáticasCálculo Diferencial - Taller 2 - Semestre 01-2015

INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejerciciosdel taller, repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase.Realice este taller individualmente o en grupos. Si tiene algunapregunta, asista a las asesorías con monitores o profesores.

Clasificación de problemas: N básico, � medio, F reto.

1.N Para cada uno de los siguientes tipos de funciones, escribasu forma general (si la hay), un ejemplo particular, y unaaplicación a la vida real:

a) Función lineal.

b) Función potencia.

c) Polinomio.

d) Función racional.

e) Función trigonométrica.

2.N Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verda-dero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciadocorrecto o muestre un ejemplo donde el enunciado dadono se cumpla.

a) Todas la funciones potencia pasan por (1, 1).

b) f(x) = xn es una función par si y sólo si n es par.

c) Toda función lineal es un polinomio.

d) Todo polinomio es una función racional.

e) Si un polinomio tiene al menos una raíz real, enton-ces se puede factorizar.

f) El rango de todo polinomio es igual a R.g) Dados cualquier tres puntos en el plano, existe al

menos un polinomio que pasa por ellos.

h) Todo polinomio de grado impar tiene al menos unaraíz real.

i) El período de la función f(t) = sen(4πt) es 1/2.

j) La función g(x) = cos(x) + sen(2x) es periódica.

k) sen |x| = | senx| para −2π < x < 2π.

l) La función sen(x2) es periódica con periodo 2π.

3.N Halle fórmulas para funciones que satisfagan las siguientescondiciones:

a) Una función que sea par e impar a la vez.

b) Una parábola que se abra hacía abajo y tenga suvértice en (2, 5).

c) Un polinomio de grado cuatro que intercepte al ejehorizontal en π, −1 y 5.

d) Una función con rango [3, 5] y periodo igual a 4.

e) Una función potencia que pase por (2, 410000 ).

4.N Halle el dominio y el rango de las siguientes funciones

f(t) =√t1/3 − 2, g(r) = |3 sen(r) + 1|

5.N Para cada una de las siguientes funciones, dibuje en elmismo plano las gráficas correspondientes a los valoresn = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

f(x) = nx, g(x) = xn, h(x) = x1/n.

6.� La gráfica de la de-recha muestra unaparábola y una lí-nea recta. Expre-se cada una de lascoordenadas c y dcomo función de b.

H1,1LH0,bL

Hc,dL

7.N Halle las fórmulas de los polinomios de grado dos corres-pondientes a las gráficas mostradas.

Out[87]= H5,2L

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

H0,1L-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

Halle las fórmulas de funciones potencia correspondientesa las gráficas mostradas:

Out[92]=

H16,2L

5 10 15 200.0

0.5

1.0

1.5

2.0

H3,729L1 2 3 4

500

1000

1500

2000

2500

8.N La curva punteada es la gráfica de y(x). Identifique entrelas otras curvas, cada una de las siguientes ecuaciones:

−y(x− 1)− 1, 2y(x), y(x− 3) + 2,2y(−3x)− 5, 2y(x/2 + 4), −2y(3x+ 18).

yHxL

ab

cd

e

f

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7

-5

-3

-1

1

3

5

9.N En cada uno de los dos casos siguientes, escriba las fun-ciones g1, g2, g3 y g4 en términos de la función f usandola transformación elemental adecuada:

a)

0

s

-1 21 3

g

0

s

-1 21

0

s

-1 21 3 0

s

-1 21

2

1

-1

1

1 1

g4

g3

g1

0

s

-1 21 3

1

-1

f

2

2

-1

-2

-2

-2 -2

-1

b)

0

s

-1 21 3

g

0

s

-1 21

0

s

-1 21 3 0

s

-1 21

11

g4

g3

-1

22

-1

-2

2

1

-1

1

g1

0

s

-1 21 3

1

-1

f

2

-1

-2

-2

2

-2

10.N Las gráficas de las funciones f, g, h, j, k, l se muestran enla figura. Determine cuáles de los siguientes enunciadosson verdaderos:

g(x) = f(2x), h(x) = f(x− 2), j(x) = 12f(x),

k(x) = 12f(2x), l(x) = f( 12x).

11.� La función f , cuya gráfica se muestra en la figura, tienefórmula f(x) =

√4− (x− 2)2. Halle una fórmula para la

función h mostrada.

2 4 6 8

2

4

x

f

h

12.� Dibuje a mano la gráfica de la función f mediante trans-formaciones elementales de la función g. En cada paso,trace la gráfica correspondiente e indique la fórmula de lafunción que está graficando.

a) f(x) = 2 cos(x− π4 ), g(x) = cosx.

b) f(x) = 2−√3x+ 1, g(x) =

√x.

c) f(x) = tan(π2 (x− 1)), g(x) = tanx.

d) f(x) = |2x− x2|, g(x) = x2.

e) f(x) = 2|x− 1|3 + 1, g(x) = x3.

f) f(x) = 12x

2 − x+ 6.

13.� La figura siguiente muestra datos reales de la variaciónen la altura h de la superficie del agua, en metros, enla bahía de Tumaco. La gráfica corresponde a 48 horasa partir del 15 de Febrero del 2013 a la media noche.

06:00 12:00 18:00 Feb 16 00:002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

ocea

nhe

ight

Hmet

ersL

Los datos durante el 15 de Febrero se pueden resumiraproximadamente en la siguiente tabla

Marea baja 1:10 AM 2.2 mMarea alta 7:10 AM 5.1 mMarea baja 1:10 PM 2.2 mMarea alta 7:10 PM 5.1 m

Halle un modelo matemático que describa a h como fun-ción del tiempo. Ayuda: tome como t = 0 las 6 am, iniciecon la función cos t y transfórmela para obtener el períodoy la amplitud adecuadas. Luego traslade verticalmente ala altura requerida. Finalmente haga una traslación hori-zontal.

14.� Suponga que una carretera tiene la forma mostrada en lafigura: y = m(x) donde y es la altura en metros, y x ladistancia horizontal en Km. Suponga que un auto viajaa una velocidad horizontal constante de 40 Km/h y co-mienza a subir la montaña a las 3 AM. Exprese la alturaa la que se encuentra el auto como función del tiempo ten horas a partir de la media noche. Use transformacioneselementales sobre la figura dada para hallar la gráfica dedicha función.

020 80

2000

x

y

m

40 60

15.� El resultado de un proceso de calentamiento-enfriamientoes la función F (t) que muestra en la figura. T denota latemperatura en grados centígrados, y t el tiempo en mi-nutos. Suponga que queremos cambiarle las unidades alas variables y graficar ahora la temperatura T̃ en gradosFahrenheit como función del tiempo t̃ en segundos. Dibu-je la nueva gráfica. Si T̃ = G(t̃), ¿cómo se puede obtenerG a partir de transformaciones elementales de F?

00.5 1

120

t

T

F

30

Respuestas

1.2. a)V, b)V, c)V, d)V, e)V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) V, k) F, l)F3. a) f(x) = 0, b) f(x) = −(x − 2)2 + 5, c) f(x) = (x − π)(x +

1)(x− 5)x, d) f(x) = sen(π2x) + 4, e) f(t) = tlog2(4/1000)

4. Dom(f) = [8,∞), Ran(f) = [0,∞); Dom(g) = R, Ran(g) =[0, 4].

5.6. c(b) = −b, d(b) = b2.7. a) 1

2(x− 3)2, b) f(x) = − 1

2x2 + 1

2x+ 1, c) 4

√x, d) x6.

8. c, a, b, d, e, f9. a) g1(s) = −4f(s), g2(s) = −4f(2s), g3 = −4f(2s) + 1,

g4 = | − 4f(2s) + 1|, b) g1(s) = f(2s), g2(s) = 12f(2s),

g3(s) =12f(2(s+ 1)), g4(s) = − 1

2f(2(s+ 1)).

10. V,F,V,V,F11. h(x) = 5

2f( 4

5(x− 3))

12.13. M(t) = 1,45 cos( 2π

720(t − 70)) + 3,65, t en minutos desde las

6:00 am.14. h(t) = m(40(t− 3))15. T̃ = G(t̃) = 9

5F ( 1

60t̃) + 32.