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PROBABILIDAD

ACT. 10 TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2

ARMANDO CÁRDENASCC 13.167.414

SONIA YADIRA BENITEZ MONTEROC.C. 28.559.945

Grupo 240

OSCAR MAURICIO MORA ARROYOTutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD2011

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se realiza la aplicación de las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad, para realizar el cálculo y análisis correspondientes se han tomado ejercicios expuestos por el tutor, es una manera de poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta unidad.Tal como veremos, en las aplicaciones prácticas es importante poder describir los rasgos principales de una distribución, es decir, caracterizar los resultados de los ejercicios aleatorios mediante unos parámetros. Llegamos así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria introduciendo los conceptos de esperanza y varianza matemática, relacionándolos con los conceptos de media y varianza de una variable estadística.A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para la comprensión de esta unidad 2 del modulo de probabilidad, nosotros los estudiantes, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo largo de nuestra vida así como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma muy general este documento nos presenta el desarrollo de 10 ejercicios propuestos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes para solucionar cada uno de ellos.

OBJETIVO

Desarrollar un taller de ejercicios PROPUESTOS POR EL GRUPO, que comprendan los contenidos de los capítulos 4, 5 y 6 de la Unidad 2 y que permitan profundizar en los temas allí tratados.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicar variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad a los ejercicios propuestos.

Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar la fórmula adecuada.

Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos.

Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.

Ejercicio Nº 1. Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función deque la función f (x)= probabilidad de X. Determine además P (1≤ x≤3 ) .Tema: Variables aleatorias.

Propuesto por: Armando Cárdenas.

Referencia: MORALES ROBAYO, Adriana. Modulo Probabilidad. Bogotá: Universidad Nacional Abierta y a Distancia, 2010. p. 73

Desarrollo:

f (x) debe sumar 1, por tanto:

k1+ k2+ k3+ k4=1 se saca factor común de k

k (1+12 + 13+ 14 )=1

k (2512 )=1k=1225

Luego

f ( x )= 1225 x

Para hallar P (1≤ x≤3 ), se tiene

P (1≤ x≤3 )=f (1 )+f (2 )+ f (3 )= 1225∗(1 )

+ 1225∗(2 )

+ 1225∗(3 )

=1225

+ 1250

+ 1275

=2225

=0,88

Ejercicio Nº 2. Compruebe que la siguiente función es función de distribución acumulada de la variable aleatoria discreta X y calcule la función de probabilidad y las probabilidades pedidas.

F ( x )={ 0x<−0,10,25−0,1≤0,30,750,3≤ x<0,5

10,5≤x

a. P (X ≤0,5 ) d. P (X<0 )

b. P (X ≤0,4 ) e. P (0≤ X<0,1 )

c. P (0,4≤ X ≤0,6 ) f. P (−0,1<X<0,1 )

Tema: Variables aleatorias.



Desarrollo:

Se puede verificar en la función cumple con dos los dos requisitos f ( x )≥0 y

∑ f ( x )=1 se puede observar que es una función de distribución acumulada.

a. P (X ≤0,5 )=F (0,5 )=1

b. P (X ≤0,4 )=F (0,4 )=0,75

c. P (0,4≤ X ≤0,6 )=F (0,6 )−F (0,4 )=1−0,75=0,25

d. P (X<0 )=F (0 )=0,25

e. P (0≤ X<0,1 )=F (0,1 )−F (0 )=0,25−0,25=0

f. P (−0,1<X<0,1 )=F (0,1 )−F (−0,1 )=0,25−0,25=0

Ejercicio Nº 3. Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el día viernes. En una encuesta a 8 alumnos de la universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que a) por lo menos siete asistan a clase el día viernes. b) por lo menos dos no asistan a clase.

Tema: Distribución Binomial.



Desarrollo:

Podemos identificar que es distribución binomial:

p=0.6

q=1−p=1−0.6=0.4

n=8

x≥7

f ( x , p ,n )=∑i=0

x

(ni )∗pi∗qn−i

a) P ( x≥7 )=∑i=7

8

f (i ,0.6 ,8 )=1−¿P ( x≤6 )=1−∑i=0

6

(8i )∗0.6i∗0.48−i ¿

P ( x≥7 )=1−[(80)∗0.60∗0.48+(81)∗0.61∗0.47+(82)∗0.62∗0.46+(83)∗0.63∗0.45+(84)∗0.64∗0.44+(85)∗0.65∗0.43+(86)∗0.66∗0.42]P ( x≥7 )=1−[0.0006553+0.007864+0.0412876+0.123863+0.232243+0.278691+0.20901881 ]=1−0.8936227

P ( x≥7 )=0.106377=10.64%

b)P ( x≥2 )=1−0.106377=0.893623=89.36%

Ejercicio Nº 4. El número promedio de urgencias que llega a un hospital en una hora es de 12. a) Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 2 urgencias. b) Cuál es el numero de urgencias esperado por minuto?

Tema: Distribución de Poisson.



Desarrollo:

a) urgencias por minuto=λ=1260

=0.2

P (X ≤x )=F ( x , λ )=∑i=0

xe−λ∗λx

x !

P ( x≥2 )=1−∑i=0

1e−λ∗λi

i !

P ( x≥2 )=1−[ e−0.2∗0.200 !+ e

−0.2∗0.21

1 ! ]=1−[0.81873+0.16374 ]=1−0.98247=0.01753=1.75%

b) λ=1260

=0.2

Ejercicio Nº 5 .Un jefe de almacén sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tenía conocimiento de lo anterior vendió en el día 4 bicicletas, ¿cuál es la probabilidad de que vendiera dos de las que requerían ajuste?

Tema: Distribución binomial.



Desarrollo:

p= 625

=0.24

q=1−p=1−0.24=0.76

P ( x=2 )=F (2,0.24,0 .76 )=(42)∗0.242∗0.762=6∗0.0576∗0.5776=0.2=20%P ( x=2 )=20%

Ejercicio Nº 6. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05. Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?

Tema: Distribución Poisson.



Desarrollo:

p=0.05

n=20

λ=np=20∗0.05=1

x=2

P (X=x )=e− λ∗λx

x !

P (X=2 )= e−1∗12

2!=0.183939

P (X=2 )=18.39%

Ejercicio Nº 7. Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribución Normal con media 4.2 y desviación estándar 1.3. a) Calcular el número de alumnos con nota entre 5 y 7. b) Número de alumnos con nota entre 4 y 6.

Tema: Distribución Normal.



Desarrollo:

μ=4.2

σ=1.3

a) Z1=X−μσ

=5−4.21.3

=0.81.3

=0.61538≈0.62

P ( x≥5 )=P (Z≥0.62 )

El valor de Z equivalente a la nota 5 es 0.62

Z2=X−μσ

=7−4.21.3

=2.81.3

=2.1538≈2.15

El valor de Z equivalente a la nota 7 es 2.15 P ( x≤7 )=P (Z≤2.15 )

P (0.62<Z<2.15 )=P (Z ≤2.15 )−P (Z ≥0.62 )=0.984222−0.732371=0.251851≈0.25

Para calcular el número de alumnos con nota entre 5 y 7, tenemos que

0.25∗36=9

Rta. 9 alumnos tendrán notas entre 5 y 7, que equivalen al 25%

b) Z1=X−μσ

=4−4.21.3

=−0.21.3

=−0.1538≈−0.15

P ( x≥4 )=P (Z ≥−0.15 )=1−P (Z≥0.15 )=1−0.559618=0.440382

El valor de Z equivalente a la nota 4 es -0.15

Z2=X−μσ

=6−4.21.3

=1.81.3

=1.3848≈1.39

P ( x≤6 )=P (Z≤1.39 )=0.917739

El valor de Z equivalente a la nota 6 es 1.39

P (0.15<Z<1.39 )=−P (Z ≥0.62 )=0.917739−0.440382=0.4773≈0.47

Para calcular el número de alumnos con nota entre 4 y 6, tenemos que

0.47∗36=17

Rta. 17 alumnos tendrán notas entre 4 y 6, que equivalen al 47%

Ejercicio Nº 8. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 g y desviación típica 20 g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular:

a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 kg.

b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que esté entre 160 y 200 kg.




Desarrollo:

μ=180

σ=20

a) Z1=X−μσ

=150−18020

=−3020

=−1.5

P ( x<150 )=P (Z ≤−1.5 )=1−P (Z ≥1.5 )=1−0.933193=0.0668

El valor de Z equivalente a 150gr de naranjas, es -1.5

Para calcular los Kgs de naranjas que pesen menos de 180gr, tenemos que

0.0668∗10000=668

Rta. 668 Kg de naranjas se esperan que pesen menos de 180gr, y equivalen al 6.68%.

b) Z1=X−μσ

=160−18020

=−2020

=−1

P ( x≥160 )=P (Z≥1 )=1−P (Z≥1 )=1−0.841345=0.158655=0.16

El valor de Z equivalente a 160gr de naranjas es -1.

Z2=X−μσ

=200−18020

=2020

=1

P ( x≤200 )=P (Z≤1 )=0.841345≈0.84

El valor de Z equivalente a 200gr de naranjas es 1

P (−1<Z<1 )=0.841345−0.158655=0.68269≈0.6827

Para calcular los Kgs de naranjas entre 160gr y 200gr, tenemos que

0.6827∗10000=6827

Rta. 6829 Kg de naranjas se espera que pesen entre 160gr y 200gr, y equivalen al 68.27%

Ejercicio Nº 9. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 34 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores hallar:

a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años?

b) ¿Cuántos de 55 años o más?




Desarrollo:

μ=34

σ=6

a) Z=X−μσ

=35−346

=16=0.1666≈0.16

P ( x≤35 )=P (Z≤0.16 )=0.563559≈0.56

El valor de Z equivalente a la edad de 35 años, es 0.16

Para calcular el número de profesores cuya edad es menor o igual a 35 años, tenemos que

0.16∗400=64

Rta. Se espera que el número de profesores cuya edad es menor o igual a 35 años, sea 64, que representan el 16%.

b) Z=X−μσ

=55−346

=216

=3.5

P ( x≥55 )=P (Z≥3.5 )=1−P (Z<3.5 )=1−0.9997=0.0003

El valor de Z equivalente a la edad de 55 años, es 3.5

Para calcular el número de profesores cuya edad es mayor a 55 años, tenemos que

0.0003∗400=0.12

Rta. Se puede observar que el número de profesores cuya edad superan los 55 años es muy bajo.

Ejercicio Nº 10. En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media?




Desarrollo:

μ=100

σ=9

a) Z1=X−μσ

=80−1009

=−209

=−2.222

P ( x≥80 )=P (Z≥−2.22 )=1−P (Z<2.22 )=1−0.98679=0.01321

El valor de Z equivalente a 80gr de panecillos es -2.22

Z2=X−μσ

=100−1009

=09=0

P ( x≤100 )=P (Z≤0 )=0.500

El valor de Z equivalente a 100gr de panecillos es 0

P (−2.22<Z<0 )=0.500−0.01321−0=0.4868

Rta. La probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso esté entre 80 y 100 gr, es 48.68%.

CONCLUSIONES

Calcular la probabilidad es posible, utilizando un diagrama de árbol, o tablas y gráficas.

Aprendimos la aplicación y manejo de las distribuciones de probabilidad más comunes, la binomial, la de poisson y finalmente la distribución normal.

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-30-est.htm

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m4_estadisticas.php

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distribino.htm

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm

http://www.monografias.com/trabajos17/soluciones-probabilidad/soluciones-probabilidad.shtml

http://www.vitutor.com/pro/3/b_a.html

Módulo de Probabilidad, Adriana Morales Robayo, Unad Bogotá 2007.

Documents

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