T5°-I

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑO

TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

ANGULO TRIGONOMÉTRICOEs aquel que se genera por la rotación de un rayo (en un

mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

Consideramos un ángulo positivo cuando la rotación sea contraria al movimiento de las manecillas del reloj, cuando la rotación sea en el mismo sentido de movimiento el ángulo se considera negativo.

Donde: 0: Vértice de los ángulos generados.

: Ángulo trigonométrico positivo.

: Ángulo trigonométrico negativo.

OBSERVACIÓN CUANDO UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE LE INVIERTE SU

SENTIDO SU SIGNO CAMBIA. PARA SUMAR ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS EN UN GRÁFICO

ESTOS DEBEN TENER EL MISMO SENTIDO.

MEDICIÓN DE UN ÁNGULOCuando medimos un ángulo, tratamos de asignarle un número

que indique la magnitud de este.Se debe tener presente para un ángulo positivo, que cuando

sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.Angulo de una Vuelta

Es aquel generado, cuando el lado inicial y el lado final coinciden por primera vez luego de cierta rotación.

Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que: ángulo de una vuelta: 1v.

Trigonometría 1


La forma más lógica para medir un ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones, así podemos obtener de manera natural los ángulos y sus asignaciones numéricas, como se muestra en la figura.

Sin embargo, estos no son los números que la mayoría de nosotros estamos acostumbrados a utilizar, cuando medimos los ángulos.

Medida en Grados SexagesimalesEl sistema más utilizado en las aplicaciones de ingeniería,

topografía, navegación, es el sistema sexagesimal.En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel

ángulo cuya medida es 360º (1º; grado sexagesimal)Ejemplo:

Dibujemos un ángulo de de una vuelta y calculemos su medida.

La medida en grados de este

Trigonometría 2


ángulo es ; como

se observa en el gráfico.

Debido a esto podemos concluir

. .

Tenemos también:

. 1v=360º . . 1º = 60’ . . 1’ = 60” .

Donde:1’: Minuto sexagesimal1”: Segundo sexagesimal

Medida en Grados CentesimalesDebido a que este sistema no es muy utilizado y carece de

aplicaciones prácticas, solo nos limitaremos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal).También tenemos:

. 1v=400g . . 1g = 100m . . 1m = 100s .

Donde:1m: Minuto centesimal1s: Segundo centesimal

Conforme avancemos en nuestro estudio de la trigonometría veremos que aunque la medida en grados sexagesimales ofrece algunas ventajas, el sistema más utilizado en matemáticas superiores es el sistema circular o radial (internacional) en el cual la medida se expresa en radianes.

Medida en RadianesConsideremos un ángulo y

dibujemos una circunferencia de radio r y

Trigonometría 3

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑOel vértice del ángulo en su centro “0”; sea además l la longitud del arco de la circunferencia que se genera.Entonces se define:

. La medida en radianes de un ∢ como: .

Ejemplos:De la definición:

=

El número 2 no tiene unidades, así un ángulo de 2 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es dos veces la longitud del radio (l = 2r).

Ahora si consideramos l = r, entonces según la definición tenemos:

=

Es decir, podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple:

360º 400g 2rad

Simplificando...180º 200g rad .

Además si a 180º 200g le simplificamos...9º 10g .

Relación entre los Números que Representan la Medida de un Ángulo

Trigonometría 4


Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo como se muestra en la figura.

Siendo:S: Número de grados sexagesimales del

ángulo C:Número de grados centesimales del

ángulo .R: Número de radianes del ángulo .

Se cumple:

. .

También:

. .

. .

. .

OBSERVACIÓN

Relación de Minutos:

. .M: # MINUTOS SEXAGESIMALES

m: # MINUTOS CENTESIMALES

Relación de Segundos:

. .a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES

b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

Trigonometría 5


ISAAC NEWTON (1642 – 1727)

El físico y matemático inglés Isaac Newton fue uno de los científicos más importantes de todos los tiempos. Sus teorías revolucionaron el pensamiento científico e influyeron en la astronomía práctica y teórica. Su libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos más importantes en la historia de la ciencia moderna.Newton descubrió la gravedad y las tres leyes de movimiento todavía utilizadas hoy en día. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en los colores del espectro y su investigación de la luz le condujo a diseñar un telescopio reflector. Fue también uno de los pioneros de una nueva rama de las matemáticas llamada cálculo.

Trigonometría 6


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Convertir:108º a centesimales y radianes1000g a radianes y sexagesimales45º a centesimales y radianes150g a sexagesimales y radianes

a sexagesimales y

centesimales

rad a sexagesimales y

centesimales

2. Si: (7x + 17)º.

Hallar “x”

Rpta.

3. Si: = aºb’.

Calcular: E = b – a

Rpta.

4. Si: 120º .

Hallar

P

Rpta.

Si: 9º 27’ m. Calcular: a + b

Rpta.

5. Reducir

Rpta.

6. Reducir

Rpta.

7. Simplificar:

Rpta.

Trigonometría 7


8. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos

Rpta.

9. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

Rpta.

10. Hallar “” de la figura

Rpta.

11. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.

Rpta.

12. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica:

Calcular la medida radial de dicho ángulo

Rpta.

13. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir:

Rpta.

14. Reducir la Expresión

Rpta.PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Calcular:

Trigonometría 8


A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 1/3

2. Sumar

A) 166º B) 158º C) 176ºD) 186º E) 196º

3. Hallar “P”

A) 6 B) 2 C) 16D) 36 E) 7

4. Convertir 8000m a sexagesimales.

A) 45º B) 55º C) 68ºD) 72º E) 75º

5. Simplificar:

A) 10 B) 20 C) 30

D) 40 E) 50

6. Calcular

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

7. Hallar “x”

A) B) C)

D) E)

8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes

A) /20B) 3/20C) 9/20D) 22/45E) /3

Trigonometría 9


9. Siendo xºy'.

Hallar

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

A) B)

C) D)

E)

Trigonometría 10


“TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”

MÓNICA BUONFIGLIO

CLAVES

1. C

2. C

3. A

4. D

5. A

6. A

7. A

8. C

9. B

10. C

TEMA: SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

Trigonometría 11


De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l)Es aquella en unidades de longitud de un arco de

circunferencia, se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco

Ángulo Central

l rad.r 1 rad.

De donde se obtiene . l = . r .

Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo centralr : radio de la circunferencia

Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular la longitud de

arco (l), siendo 0: centro.Solución:l = . r = 30º

Convirtiendo =30ºen rad

l = . 18

l = 3 cm

Trigonometría 12


ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto

del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

Deducción.–

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular

Ángulo Central

r2 2 rad.S rad.

Resolviendo se obtiene: también:

Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:

= 60º .

rad

S = 6 cm2

NUMERO DE VUELTAS (nv)El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al

desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).

Trigonometría 13


En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).(perímetro de la rueda).

Ejemplo:¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

Solución:r = 2cmlC = 80 . 100cm nV =

nV = 2000 vueltas


1. En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 10% y su radio se disminuye en 10%, se determina un nuevo sector circular cuya

longitud de arco, en cm, es:

Rpta. 99.

2. Un péndulo oscila describiendo un ángulo

Trigonometría 14


cuya medida es 28º y un arco de longitud de 66cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)

Rpta. 1,35

3. En un sector circular, el quíntuplo de la longitud de su radio es igual al cuádruplo de su longitud del arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:

Rpta. 1,25rad

4. Se tiene un sector circular de 6cm de radio y 12cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 2cm sin que el ángulo varíe ¿Cuál será la nueva longitud de arco?

Rpta. 16 cm

5. En un sector circular se conoce que su radio mide(x + 1)cm, su longitud de arco 9(x – 1)cm, y la medida de su ángulo central correspondiente (x2

– 1)rad. Hallar el valor de “x”

Rpta. 2

6. Determinar la longitud de una circunferencia, sabiendo que en ella un ángulo central que mide 20g determina una longitud de arco igual a u.

Rpta. 20u

7. Las medidas de dos ángulos en el centro de una circunferencia son complementarias y las longitudes de los arcos que subtienden suman 4m, luego la longitud de radio de la circunferencia es:

Rpta. 8m.

8. Calcular el perímetro de la región sombreada.

Trigonometría 15


Rpta. R

9. En el gráfico mostrado a continuación, calcule la longitud total de la trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 8m)

Rpta. 8m.

10. En la figura, el perímetro del sector circular A0B es igual al del trapecio circular ABCD. Encontrar “

Rpta. 2/3rad

11. Hallar a partir del

gráfico

W =

Rpta. 5/4

12. Calcular el área del

círculo sombreado

Trigonometría 16


Rpta. 2m2

13. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior?

Rpta. 8u2

14. El ángulo central de un sector circular mide 36º y

su radio es “R”, si se disminuye en 11º el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe?

Rpta. R/5

15. Hallar de la figura:

Rpta. 2

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 20% y su radio se disminuye en 30%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es:

A) 0,2B) 83C) 0,16

D) 1,82E) 84

2. Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 36º y un arco de longitud de 88cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)

Trigonometría 17


A) 0,14B) 0,4C) 1,4D) 1,41E) 14

3. En un sector circular, el héptuplo de la longitud de su radio es igual al doble de su longitud de arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:

A) 3radB) 3,5radC) 1,5radD) 0,3radE) 2,5rad

4. Se tiene un sector circular de 7 cm de radio y 21 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 3 cm sin que el ángulo varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco?

A) 30cmB) 40cmC) 50cmD) 20cmE) 10cm

5. En el gráfico mostrado a continuación, calcule la longitud total de la trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 6m)

A) 7mB) 6mC) 8mD) 12mE) 10m

6. Calcular el área del círculo sombreado

A) 1m2B) 2m2C) 3m2

D) 4m2E) 5m2

7. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior?

A)B) 20u2C) 5u2

D) 10u2E) 12u2

Trigonometría 18


8. El ángulo central de un sector circular mide 20g y su radio es “R”, si se disminuye en 15g el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe?

A) RB) R/5C) 3RD) 4RE) R/2

9. Hallar de la figura:

A) 3/4B) 1/3C) 1/4D) 4/3E) 4

10. Hallar

A) 1B) 6C) 8D) 9E) 10

“EL MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”

BACH

CLAVES

Trigonometría 19


1. E

2. C

3. B

4. A

5. A

6. C

7. B

8. A

9. D

10. C

Trigonometría 20


¿SABÍAS QUÉ...

MARSUPIALES

CANGUROLas crías de canguro pasan unos 10 meses

en la bolsa de su madre.

Los marsupiales difieren de otros mamíferos en que dan a luz crías inmaduras que viajan en la bolsa de su madre, donde se amamantan. De esta forma, se mantienen calientes y protegidos mientras se desarrollan. Algunos no tienen una bolsa propiamente dicha y las crías se agarran al pelaje de sus madres. Los marsupiales sólo se encuentran en Australia y en América. Los canguros y los koalas son marsupiales australianos, mientras que las zarigüeyas viven en América. Existen alrededor de 250 especies de marsupiales en el mundo, que van desde pequeños animales del tamaño de las musarañas hasta carnívoros del tamaño de un lobo.

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS AGUDOS

Trigonometría 21


TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus

ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

En la figura mostrada:

c : hipotenusaa b : catetos : son ángulos agudos

Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º

. + = 90º .

Teorema de Pitágoras

. a2 + b2 = c2 .

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c > a b .RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

Trigonometría 22


Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:

Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

ResoluciónAplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

Trigonometría 23


(8)2 + (15)2 = x2

289 = x2

x = 17

Luego

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

De los triángulos anteriores se obtiene:

ÁnguloR.T.

30º 37º 45º 53º 60º

sen

cos

Trigonometría 24


tg 1

ctg 1

sec 2

csc 2

OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que:

Luego:

Trigonometría 25


Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:

Ejemplo:

Si

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.

Trigonometría 26


En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:

;

;

;

Debido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:sen40º = cos50º sec20º = csc70ºtg80º = ctg10º ctg3º = tg87ºcos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio:si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle

ResoluciónPor lo anterior se tiene:(40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º

= 20º

Trigonometría 27


OBSERVACIÓN:RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.


1. Del gráfico hallar “tg . tg”

Rpta.

2. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus ángulos

agudos es , si el menor

de sus lados es 20m. determine el mayor de los lados

Rpta. 52m

3. Del gráfico calcular “tg” si:

Trigonometría 28


Rpta.

4. Del gráfico calcular:

Rpta. 4

5. Del gráfico calcular “tg”

Rpta.

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, si . Calcular:

Rpta. 87. Si ABCD es un

cuadrado. Calcular:

Rpta. 5

8. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50m. Hallar el perímetro de dicho triángulo

Rpta. 112m

9. En un triángulo rectángulo ABC recto en

Trigonometría 29


C, se cumple: tgA + tgB = 3

Rpta.

10. Calcular:

E=sen25º.sec65º+tg40º.tg50º

Rpta. 2

11. Calcular x:Si: tg(3x – 10º) . tg70º = 1

Rpta. 10º

12. Calcular:

Rpta. 1

13. Calcular “x” si:

Tg(3x–15º)=tg10º.tg20º.tg30º ......tg70º.tg80º

Rpta. 20º

14. Calcular “x”E = (2sen20º + 3cos70º) . (5csc20º . 3sec70º)

Rpta. 10

15. Calcular “x” e “y” si:tg(x + 10º) . ctg(30º + y) = 1

sen(x + 5º) = cos(y + 5º)

Rpta. 50º y 30º

16. Calcular “E”

Rpta. 10

“ALCANZARÁS BUENA REPUTACIÓN ESFORZÁNDOTE POR SER LO QUE DESEAS”

SÓCRATES

Trigonometría 30



1. De la figura, calcular:

sen + cos

A) 1B) 2C)

D) 4E) 5

2. De la figura, calcular:

tg

A) 1B) 2C)

D) 4E) 5

3. Si “” es un ángulo agudo y sec = 13/12. calcular:

P = csc – ctg

A) 1/5B) 1/4C) 1/3D) 1/2E) 2/3

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), AB = 3 y

BC = 7. Si se prolonga

hasta el punto D y tgD = 1/4, calcular la longitud de

.

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C)si:secA + ctgB = 7; hallarE = cscB - tgA

A) 1/7B) C)

D) E)

6. En un triángulo rectángulo ABC. TgA = 2,4, determine el perímetro del triángulo si además el lado mayor mide 39 cm.

Trigonometría 31


A) 30cmB) 60cmC) 90cmD) 120cmE) 150cm

7. Calcular de la figura:Q = sec – tg

A) 1/10B) 1/20C) 1/30D) 1/40E) 1/50

8. De la figura, calcular el valor de: csc + 2csc

A) 3B) 4C)D) 6E) 7

9. Indicar la diferencia de

las raíces de la ecuación

xsec60º = x.sen30º + 3

A) 2,5B) 3,5C) 4

D) 4,5E) 3

10. De la figura, hallar tg

A) 1/4B) C)

D) E) 1/8

11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C, se sabe que:

Calcular: E = tgA + tgB

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 9

CLAVES

Trigonometría 32


1. A

2. B

3. A

4. C

5. A

6. C

7. A

8. C

9. B

10. B

11. D

12. E

Trigonometría 33

42


¿SABÍAS QUÉ...

MAMÍFEROS ACUÁTICOS

GRANDES NADADORESLos delfines y las ballenas nadan moviendo la cola arriba y abajo y no hacia los lados como lo hacen

los peces.

Los delfines, las ballenas, las focas y las morsas son mamíferos, pero se han adaptado a la vida acuática. Su cuerpo tiene forma hidrodinámica, las extremidades anteriores presentan forma de aleta y la cola es plana. Las ballenas y las focas poseen una capa de grasa bajo la piel para protegerse del frío. Los delfines y las ballenas nunca salen del agua, incluso se aparean y dan a luz en ella. Cuando nacen las crías, sus padres las empujan hasta la superficie para que respiren por primera vez. Las focas y las morsas se aparean y dan a luz en tierra.

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Trigonometría 34


Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo

agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:

(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x =

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg = = 26º30’ (aproximadamente)

como: + = 90º = 63º30’Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un

ángulo agudoincógnitas x, y

Trigonometría 35


Cálculo de x:

= cos x = a cos

Cálculo de y:

= sen y = a sen

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloincógnitas x, y

Cálculo de x:

= ctg x = a ctg

Cálculo de y:

= csc y = a csc

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

CONCLUSIÓN:

Trigonometría 36


C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:

Aplicaciones

Trigonometría 37

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑO1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su

tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución

Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que

usamos la relación tg =

Reemplazando:

b = 200tg20º el ancho del río es (200 tg20º) m

2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)ResoluciónGraficando, tenemos por condición al problema

Trigonometría 38


Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:

= sen22º

h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)El área de cualquier región triangular está dado por el semi

producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:

Del gráfico:

Demostración:Por geometría S, se calcula así

(h: altura relativa del lado b

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que:h = a sen

Luego:

; (ba = ab) ab sen

Trigonometría 39

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑOEjemplo:

Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º

Resolución

Graficando tenemos

Nos piden: S

De la figura: (5cm) (6cm) sen 37º

(5cm) (6cm)

S = 9 cm2

OBSERVACIÓN:A) EN TRIGONOMETRÍA, LOS

OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS OPERACIONES

(ABSURDO) ;

B) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:

I) 5 SEC – 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II)

Trigonometría 40


= 3 COS + 2

C) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SENNX = (SENX)N; LA PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN Y ESTO ES INCORRECTO

EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES


1. Calcular “x” en:

Trigonometría 41


Rpta.

2. Calcular “tg” en:

Rpta.


Rpta.

4. Calcular “ctg ”:

Rpta.

5. Calcular “ctg”

Rpta.

6. Hallar “x”

Trigonometría 42


Rpta.

7. Calcular: sensec

Rpta.

8. Hallar: tg

Rpta.9. Hallar x en términos

de m, y

Rpta.

10. Hallar “x” en términos de H, y

Rpta.

11. Hallar AB en términos de R y

Rpta.

12. De la figura, hallar: tg

Trigonometría 43


Rpta.

13. Calcular: cos

Rpta.

14. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide “” y su cateto opuesto mide “a

Rpta.

15. Calcular:

Rpta.

16. Calcular: tg si ABCD es un cuadrado

Rpta.

17. Hallar el área de la

región sombreada

Rpta.

Trigonometría 44


18. Hallar “h”, si: sen =

Rpta.

Trigonometría 45




A) 8B) 9C) 10

D) 14E) 20

2. Calcular tg en la

figura si ABCD es un

cuadrado.

A) 2B) 1/2C) 3/4

D) 5/3E) 1/4


A) B) C)

D) E)

4. Calcular “tg”

A) 2B) 1/2C) 1/3

D) 1/5E) 2/3

5. Calcular “tg” del

gráfico

Trigonometría 46


A) 1/2B) 2/3C) 3/4

D) 4/5E) 5/6

6. De la figura calcular

“x” en términos de “”,

“” y “d”

A) d

(ctg +ctg)

B) d

ctg.ctg

C) D)

E) (ctg – ctg) . d

7. Hallar “x” en términos de “d” y “” siendo

y

A) d sen . cosB) d sen2 .

cos2C) 2d sen2 .

cosD) d sen .

cos2E) 2d cos2 .

sen

8. Del gráfico mostrado. Hallar en términos de “”, “” y “d”

A) d sen senB) d cos cosC) d tg tgD) d sen cos

Trigonometría 47


E) d cos sen

9. Hallar si la región sombrada es un cuadrado de lado “n”

A) n (1 + sec + cos)

B) n (1 + sec + csc)

C) n (1 + tg + ctg)

D) n (1 + tg + sec)

E) n (1 + ctg + csc)

10. De la figura, hallar “x” en términos de “m” y “”

A) m sen + tgB) m sen cosC) 2m senD) 2m cosE) m tg

CLAVES

1. C

2. E

3. A

4. B

5. B

6. E

7. D

8. A

9. C

10. D

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

Trigonometría 48


INTRODUCCIÓNDebido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición

de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados

por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira

cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

Trigonometría 49


: Ángulo de observación

Ángulos de DepresiónEs aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de

mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

ÁNGULOS HORIZONTALES

Trigonometría 50


Son aquellos ángulos que se encuentran sobre un mismo plano (plano horizontal). Normalmente estos ángulos se ven en la navegación y la aviación. Éstos ángulos los constituyen los llamados puntos cardinales (este, oste, norte y sur).

DirecciónLa dirección es la inclinación o ángulo que forma una línea con

respecto a otra tomada como referencia. Así:

Respecto a “M”“P” se encuentra en la dirección EºS“Q” se encuentra en la dirección OºN

Debemos tener en cuenta que cuando se toma como referencia la línea norte siguiendo en sentido horario, a esa dirección se le denomina rumbo.La Rosa Marina o Rosa Náutica

Es un indicador de las direcciones, funciona a base del campo magnético de la tierra, éste instrumento lo utilizan los navegantes y aviadores, y está constituido por 32 direcciones

Trigonometría 51


Trigonometría 52



1. Un observador se encuentra a 40m. de la base de un edificio, se acerca hacia el edificio en línea recta hasta un punto que se encuentra a 10m. del mismo. Si en su posición inicial observó a un punto del edificio con un ángulo de elevación de 37º y en la segunda observación lo hizo al mismo punto con ””

¿Cuánto vale ?

Rpta.

2. Desde un acantilado se observan dos bolicheras en línea recta con ángulos de depresiones y ( < ) respectivamente, si ese instante la separación de las bolicheras es 120m ¿Qué altura a nivel del mar tiene el observador?

Rpta.

3. La antena de una radio emisora se encuentra

sobre un morro, si su base es vista desde un punto sobre el plano horizontal con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura de la antena es la tercera parte la del morro. ¿Cuánto medirá el ángulo de observación correspondiente a la antena desde el mismo punto de observación?

Rpta.

4. Dos edificios de diferentes alturas se encuentran uno al frente del otro. Desde la parte superior e inferior del edificio de menor altura se observan con ángulos de elevaciones y un punto del extremo superior del otro edificio respectivamente ¿En qué relación se encuentran sus alturas (menor/mayor)?

Rpta.

5. Un barco navega a

20km/h hacia el Este,

en un instante desde el

barco es visto un faro

Trigonometría 53


en el rumo N53ºE, al

cabo de dos horas, es

visto el faro desde el

barco en la dirección

O37ºN ¿Cuál es la

distancia del faro a la

1ra y 2da observación?

Rpta .

6. Un navío parte de un

puerto en la dirección

NE. Luego de una hora

de camino desvía y, se

dirige en la dirección

S15ºE. ¿En qué

dirección respecto al

puerto se encontrará el

navío, de tal manera

que desde éste

equidiste al puerto y al

punto de desvío?

Rpta .

7. Una persona sube una cuesta y cuando llega al punto máximo, ve que la altura de ésta es la mitad, del camino recorrido, hallar el ángulo que hace la horizontal con la cuesta

Rpta .

8. Desde la base de un edificio Juan ve un halcón con un ángulo de elevación de 37º a una distancia de 12 pies y desde la parte superior del mismo edificio se ve la misma ave con un ángulo de depresión de 53º. Calcular la altura del edificio.

Rpta .

9. Calcular la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior aumenta desde 30º hasta 60º cuando el observador avanza 80m. hacia el árbol

Rpta .

10. De un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. Encontrar la altura de la torre.

Rpta.

11. En un ángulo de elevación de un edificio de 22º30’, nos acercamos a una distancia “m” y el

Trigonometría 54


nuevo ángulo es 45º. Hallar ”m” si la altura del edificio es 10m.

Rpta.

12. Cierto día Luis ve a Luisa en la parte más alta de un edificio de 16m. de altura con un ángulo de elevación de 53º. Si él se acerca al edificio y ella baja 10m. para luego ver Luis con un ángulo de elevación de 37º a Luisa. Calcular la relación de velocidades de Luis y Luisa, si todo es al mismo tiempo.

Rpta.13. Emilio desde el suelo

apunta hacia una paloma con un ángulo de elevación de 45º separados por una distancia de 14,142m. si mientras Emilio se pone de pie, la paloma se aleja 14m. por la horizontal. Calcular la altura de Emilio, si el nuevo ángulo con que ve a la paloma es de 16º.

Rpta .

14. Un marciano se encuentra colocado sobre el edificio de 9u de altura. Una persona impresionada observa con un ángulo de elevación de 53º a la parte superior del marciano; luego se aleja 2u, luego observa con un ángulo de elevación de 37º a lo alto del edificio. Calcular la altura del marciano.Rpta .

15. Un avión se encuentra a una altura de 150m de un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión “”. Luego de recorrer 150m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación de 26º30’, calcular a que la altura se encuentra el avión en dicha observación.

Rpta.

Trigonometría 55


MEDICINA VETERINARIA

Facultad de Medicina Veterinaria

Descripción Ocupacional:El médico veterinario estudia y aplica procedimientos científicos y tecnológicos para la preservación y proyección de la salud animal, la crianza, producción, reproducción y mejoramiento genético de los animales. Examina, diagnostica y prescribe tratamiento médico y/o quirúrgico. Maneja los componentes en los sistemas de producción animal protegiendo el medio ambiente. Preserva la salud pública protegiendo la salud ambiental, mediante el control de las zoonosis, el saneamiento ambiental y la evaluación de la calidad de los alimentos y otros productos y subproductos de origen animal. Administra programas de salud animal y desarrollo pecuario.

Trigonometría 56



1. Desde lo alto de un faro de 45m. de alto los ángulos de depresión de 2 delfines que se hallan en el mar y en una misma dirección del observador miden 45º y 37º. Hallar la distancia entre los delfines

A) 13B) 15C) 17D) 19E) 20

2. Una persona observa un objeto que está en caída con un ángulo de elevación de 60º luego de un momento lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 30º, si en la primera observación se encontraba a 60m de altura. En la segunda observación estará a la altura de:

A) 10mB) 20mC) 30mD) 40mE) 50m

3. Un niño escala una

montaña que tiene un

ángulo de elevación de

37º, cuando llega a la

cumbre a escalado

150m. hallar la altura

de la montaña.

A) 100mB) 90mC) 80mD) 70mE) 60m

4. Desde la parte más

alta de un edificio se

observa con un ángulo

de depresión de 64º la

parte más alta de un

poste de 5m de altura.

Calcular a que distancia

se encuentra el poste

del edificio (altura del

edificio 45 m)

Nota: considerar:

sen64º = 80/89

A) 19,5mB) 20mC) 25mD) 30mE) 39m

5. Desde la cúspide de

un monumento de 30m.

de altura los ángulos de

depresión de dos

Trigonometría 57


piedras, que están

sobre el terreno en la

misma dirección

respecto del

monumento, son de 45º

y 37º ¿Qué distancia los

separa?

A) 30B) 20C) 50

D) 10E) 40

6. Desde lo alto de un

edificio de 24m. de

altura se divisa una

torre con un ángulo de

elevación de 30º y la

base de la torre con un

ángulo de depresión de

60º. Encontrar la altura

de la torre.

A) 32mB) 18mC) 40m

D) 16mE) 12m

7. Un barco navega directamente hacia el Norte, en un momento observa dos botes anclados y alineaos en la dirección Este, luego

de recorrer 36 m observa los mismos botes en las direcciones, 60º al Sur del Este y 60º al Este del Sur. Hallar la distancia que separa a los botes.

A) 40B) 50C) 72D) 37E) 28

8. Dos barcos A y B parten simultáneamente en las direcciones E10ºS y E20ºN respectivamente, si antes de partir A es visto desde B en la distancia O70ºN. Determinar la distancia que recorre el barco A para encontrarse con B. si inicialmente estaban separados 10 millas.

A) 20B) 10C) 30D) 40E) 50

9. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación ; cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercer parte la medida del ángulo se ha duplicado. Hallar .

Trigonometría 58


A) 15ºB) 30ºC) 45º

Trigonometría 59


D) 53ºE) 60º

10. Desde un punto de tierra se divisa lo alto de una torre de 24m de altura con un ángulo de elevación de 37º. ¿Qué

distancia habría que acercase para que el ángulo de elevación tenga como tangente 2?

A) 10mB) 12mC) 20mD) 18mE) 16m

CLAVES

1. B

2. B

3. B

4. E

5. D

6. B

7. C

8. A

9. B

10. CTEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE

CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.)

ANGULO EN POSICIÓN NORMALUn ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si su

vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.

Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.

Ejemplos:

Trigonometría 60


I II III

90º a ningún cuadrante no está en posición normal

ÁNGULO CUADRANTALUn ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando

su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.

Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.

1. PropiedadSi es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:

Si I 0 < <90º

Si II 90º < <180º

Si III 180º < <

Trigonometría 61


270ºSi IV

270º < <360º

Ejemplos:1. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?

ResoluciónSi III 180º < < 270º

60º < < 90º

120º < < 270º

Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.

2. Si II ¿A qué cuadrante pertenece ?

Resolución

Si II 90º < < 180º

45º < < 90º

115º < < 160º

Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces

pertenece al:

.II Cuadrante.

ÁNGULO COTERMINALES

Trigonometría 62


Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o

COFINALES si tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así

sea en sentido contrario).

Ejemplos:

SON COTERMINALES NO SON COTERMINALES

410º y 50º SON COTERMINALES –240º 30º NO SON COTERMINALES

1. PropiedadLa diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas.Si son coterminales tal que > entonces se cumple:

. – = k(360º). K Z+

Ejemplos:1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2

vueltas)

Trigonometría 63

70


2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)

3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no

tiene vueltas exactas)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:

OBSERVACIONES:1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR

CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR.

2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:

CATETO OPUESTO = ORDENADACATETO ADYACENTE = ABSCISARADIO VECTOR = HIPOTENUSA

Trigonometría 64


SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE1. Primer Cuadrante

En el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.

2. Segundo CuadranteEn el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIO vector (r) son positivas.Las demás razones trigonométricas son negativas.

3. Tercer CuadranteEn el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la ordenada (y) son negativas.Las demás razones trigonométricas son negativas.

4. Cuarto CuadranteEn el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector (r) son positivos.Las demás razones trigonométricas son negativas.

5. Regla PrácticaSon Positivos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Trigonometría 65


Como ejemplo modelo vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.

Del gráfico observamos que x = 0 r = y, por tanto:

sen 90º = = = . 1 .

cos 90º = = = . 0 .

tg 90º = = = . No defnido (N.D.)

.

ctg 90º = = = . 0 .

sec 90º = = = . No

defnido (N.D.) .

csc 90º = = = . 1 .

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:

Trigonometría 66


∢R.T.

0º 90º 180º 270º 360º

Sen 0 1 0 –1 0Cos 1 0 –1 0 1Tg 0 ND 0 ND 0Ctg ND 0 ND 0 NDSec 1 ND –1 ND 1Csc ND 1 ND –1 ND

Trigonometría 67



1. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo en posición normal, calcular: 5cos + 6tg

Rpta.

2. Calcular: csc + cos

Rpta.

3. Si sen>0 cos<0, hallar el signo de la expresión: (tg+ctg) sen

Rpta.

4. Si sen < 0, halla el signo de la

expresión:

Rpta.

5. Si: IIIC además tg

= 1,5; calcular (sen –

cos)

Rpta.

6. Si IIC, además:

sec = tg245º – sec260º,

calcular: 3 sen + tg

Rpta.

7. Calcular:

2sen90º + 3cos180º +

4tg360º + 5ctg270º

Rpta.

8. Reducir:

Rpta.

9. Del la figura hallar:

Trigonometría 68


Rpta.

10. De la figura,

Hallar “sen”, sabiendo

que tg + tg = –6

Rpta.

11. Del gráfico, calcular:2tg + 3tg

Rpta.

12. De la figura hallar: a – 8ctg

Rpta.

13. Si:tg>0 sen = tg230 – tg245ºCalcular: cos

Rpta.

14. Si: 8tg+1 = 4, además: cos>0, calcular sen

Rpta.

Trigonometría 69

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑO15. Si:

,

calcular: , sabiendo que IIIC

Rpta.

16. Si: sen(5+10º)=cos(2 + 10º), Calcular:cos . cos2......,cos10.

Rpta.

17. Reducir:

Rpta.

18. Si: 2tg+2 = 3ctg+3

Además: IIQ IVQCalcular: . cos . cos

Rpta.

19. Si ABCD es un cuadrado, hallar tg

Rpta.

20. Si tg = 1 +

. Además

IIIC, calcular:

Rpta.

Trigonometría 70



1. En el esquema

mostrado, calcular

“sec”

A)B) C)

D) E)

2. El punto (3; –4)

pertenece al lado final

del ángulo en posición

normal; calcule:

M = 5 cos + 6 tg

A) –3B) –4C) –5

D) –10E) –11

3. Del gráfico

mostrado, calcule el

valor de:

E = 4tg + 3

A) –3B) –1C) –5

D) 9E) –6

4. Siendo “” un ángulo

en posición normal del

segundo cuadrante, donde

tg = –3/2; calcule el valor

del

A) 1B) 2C) 3

D) 4E) 5

Trigonometría 71

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” QUINTO AÑO5. Si se tiene que cos >

0 y además: 8tg+1 = 4; calcule el valor de “sen ”

A) B) C)

D) E)

6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del tercer cuadrante, para lo cual se tiene que ctg = 2,4, calcule el valor de:

E = tg – sec

A) 0B) 1C) 1,5D) 2,5E) 1,25

7. Del gráfico mostrado calcule el valor de:M = csc + cos

A) 1B) 2C)D) 4E) 5

8. A partir del gráfico, hallar:cos – cos

A) 1B) 0C) –1D) 2E) ½

9. Indicar el signo de la expresión:

A) +B) –C) + ó –D) – y +E) F.D.

10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica ””, calcular:R = sen . ctg

A) B)

C) D)

E)

CLAVES

Trigonometría 72


1. B

2. C

3. E

4. D

5. A

6. C

7. B

8. B

9. A

10. A

Trigonometría 73

80


ÍNDICE

PÁG.

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR 7

SECTOR CIRCULAR 18

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 28

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 42

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES 56

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE

CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) 67

Trigonometría 74

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T5°-I