162

Captulo 5

Esfuerzos

El esfuerzo es una medida de la intensidad de una fuerza, ya sea al interior o enla frontera de un cuerpo sujeto a cargas.

5.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Vector deesfuerzo

Un sistema de fuerzas aplicados a un cuerpo es equivalente a una fuerza y unmomento. Esta fuerza y momento resultante se llaman fuerzas o cargas (loads) actuandosobre un cuerpo.

Las cargas aplicadas a un cuerpo pueden ser mecnicas, trmicas, electromagnti-cas, qumicas o de alguna otra naturaleza y pueden estar acopladas, como por ejemplo,termomecnicamente, electroqumicamente, electromecnica, etc.

Las fuerzas estn divididas en tres categoras:

1. Fuerzas o cargas de cuerpo, que consisten de fuerzas de cuerpo y momentos de cuerpo.

2. Fuerzas o cargas superficiales, consistentes en fuerzas superficiales y momentos super-ficiales.

3. Cargas concentradas, consistentes de fuerzas concentradas y momentos concentrados.

Las cargas de cuerpo o volumen se llaman as porque actan en cada punto delvolumen total del cuerpo. Las cargas de cuerpo generan propiedades de campo en cadapunto de una regin o campo debido a una fuente. Como ejemplos de este tipo de cargastenemos a la fuerzas gravitacional, inercial y electromagntica. Por otra parte, los momentosde cuerpo se manifiestan como momentos de fuerzas de cuerpo y estn asociados con efectosrotatorios. Ejemplo de este tipo de momentos se tienen a los dipolos magnticos y elctricos.

Las cargas de cuerpo surgen de efectos externos al cuerpo y son llamados cargasde cuerpo externa. Las cargas de cuerpo son medidas usualmente por unidad de masa delcuerpo sobre el cual actan.

163

Las cargas superficiales son llamadas as porque requieren de una superficie paraactuar, y tambin se conocen como cargas de contacto. Las cargas actuando sobre la super-ficie de frontera de un cuerpo o las cargas actuando sobre las superficie de frontera comnentre las partes internas de un cuerpo deformable son fuerzas superficiales.

Ejemplos son la tensin superficial, la presin hidrosttica sobre un cuerpo sumergi-do es una fuerza superficial externa, evaporacin, condensacin y adhesin sobre una su-perficie fluida.

El sistema de fuerzas superficiales es equivalente a una fuerza superficial y a unmomento superficial. Los vectores de esfuerzo y de momento dependen de la posicin delpunto sobre el cual actan y de la orientacin de la superficie. La orientacin de unasuperficie en un medio continuo es especificada en cada uno de sus puntos por medio de unvector normal unitario exterior. La fuerza superficial por unidad de rea es llamada vectorde esfuerzo o de traccin superficial. El vector de esfuerzo sobre la superficie con vectornormal n se denota por

t(n) (5.1)

y el momento superficial por unidad de rea es llamado vector de momento o vector delmomento del esfuerzo, denotado en este caso porm(n). Las cargas de superficie son medidaspor unidad de rea de la superficie sobre la cual actan.

En el interior de un cuerpo, existe una infinidad de posibilidades para hacer su-perficies en cada punto, por lo que se tiene el estado de esfuerzo en cada punto x.

Cargas internas se refieren a la accin mutua y reaccin de los pares de partculasen el interior de un cuerpo y a la carga ejercida sobre una parte del cuerpo por el resto delcuerpo como una consecuencia de la respuesta interna del cuerpo a la carga ejercida. Estetipo de cargas corresponden al tipo de cargas superficiales.

Las cargas concentradas se aplican solo a unos cuantos puntos del cuerpo. Ejem-plos de estas son las cargas puntuales sobre vigas. explosiones, fracturas frgiles. Se utilizanfunciones delta de Dirac.

Fuerzas resultantes y pares actuando sobre un cuerpo

Sea V el volumen de la regin de un cuerpo y la superficie de la frontera en suestado deformado. Sea f la fuerza de cuerpo por unidad de masa, t(n) el vector de esfuerzo,y m(n) el vector de esfuerzos de par, y p el vector de posicin. La fuerza resultante Factuando sobre el cuerpo est dada por

F =Zt(n) +

Z f +

X=1F (5.2)

Sean l, m(n) y m el par de cuerpo (o momento de cuerpo) por unidad de masa,el vector de par de esfuerzo, y los pares de cuerpo concentrados en las posiciones , el

164

momento resultanteM alrededor del origen O actuando sobre el cuerpo es dado por

M =Z

m(n) + p t(n)

+ Z (l+ p f) (5.3)

+X=1

(m + pF) (5.4)

Simplificando el anlisis considerando que las cargas concentradas y que los mo-mentos superficiales y de cuerpo son nulos, las ecuaciones de balance de fuerza y de momentonos quedan como

F =Zt(n) +

Z f (5.5)

M =Zp t(n) +

Zp f (5.6)

5.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy

Tambin se le conoce como hiptesis de los esfuerzos de Cauchy, que considerala respuesta de un cuerpo deformable a una carga aplicada. La respuesta se entiende entrminos de la carga de una parte del cuerpo ejercida por el resto del cuerpo transmitidaa travs de su frontera comn. La carga de superficie resultante consiste de una traccinsuperficial t(n). Los esfuerzos que actan hacia afuera del cuerpo tienen signo positivo, ylos esfuerzos que actan hacia adentro tienen signo negativo. Es decir, que la tensin esconsiderada positiva mientras que la compresin se considera negativa.

Consideremos un elemento tetradrico arbitrario denotado por con tres de suscaras coincidentes con las superficies coordenadas en el punto de un sistema de coordenadascurvilneo. Sean n y t(n) el vector unitario normal y el vector de esfuerzo actuando encualquier punto de la cuarta superficie. Los otros vectores de esfuerzos de las otras carassern denotados por t con sus signos apropiados.

Aplicando el balance de momentum lineal al elemento tetradrico, sustituyendocada una de las integrales por su valor promedio, utilizando el teorema del valor medio paralas integrales, que denotaremos como (). Entonces se tiene

( v) = t(n) t

+ f El lado izquierdo puede ser simplificado como

( v) =

v + v

()

pero () = 0

165

por el principio de conservacin de masa. Entonces,

( v) =

v

y entonces

v = t(n) t + f

Dividiendo la ecuacin anterior por

v = t(n) t

+ f

y aproximando como cero el lmite de la dimensin lineal cuando el tetraedro seva encogiendo al punto , el cual es el lmite del punto . Entonces tenemos

t(n) = t = t

= t en donde

= o a = n Tenemos el siguiente teorema.

Teorema

La traccin superficial en un punto x actuando sobre una superficie dada estcompletamente determinada por los vectores de esfuerzo actuando sobre las tres superficiesde las coordenadas que mutuamente se intersectan en x de un sistema de coordenadasadmisible. Adems, la traccin superficial en x es una funcin lineal del vector unitarionormal a la superficie dada.

Los vectores de esfuerzo t son independientes de n, por definicin. Asumiendoque t(n) es una funcin continua de n, si se cambia el signo de n, se tiene que t(n) tambincambia de signo, esto es,

t(n) = t(n)Esto significa que las tracciones superficiales actuando en lados opuestos de la misma su-perficie en un punto dado son iguales en magnitud pero de signo opuesto.

5.3. El tensor de esfuerzo

El vector de esfuerzo actuando sobre un punto en un material sobre el lado po-sitivo de la superficie coordenada = constante es denotado por t. El componente deltensor de esfuerzo a lo largo de la direccin positiva del sistema coordenado de la curva es denotado por . Esto es,

t g =

166

Entonces,t = g

yt = g

El vector de esfuerzos est compuesto por los componentes . El tensor de esfuerzos est definido como el componente del vector de esfuerzo t actuando sobre el lado positivode la superficie coordenada constante .

Por la definicin del tensor de segundo orden

= g T gT = gg = gg

Entonces, podemos escribir

t(n) = t = g = g = n T

Los componentes del tensor de esfuerzos normales son los que son normales a lasuperficie sobre la que actan. Los componentes con ndices mixtos son tangentes al planosobre el que actan y se llaman componentes de esfuerzo cortante.

5.3.1. Invariantes

Los invariantes del tensor de esfuerzos son

= TrT = (5.7) = 1

2!

h(TrT)2 Tr T2i (5.8)

= 13

hTrT3+ 3 1 2 (TrT)3

i= detT (5.9)

5.4. Esfuerzos principales

Consideremos los valores principales y sus correspondientes direcciones principalesdel tensor de esfuerzos T, los cuales estn dados por

T n = ndonde el vector unitario n es el vector principal (o eigenvector) del tensor de esfuerzoscorrespondiente al valor principal . Entonces, podemos escribir

= 0 (5.10)

este sistema lineal slo tendr soluciones no triviales para n cuando

det

= 0 (5.11)

167

p

Txx

Tyy

Tzz

Txy

Txz Tyz

168

la cual es la ecuacin caracterstica para el tensor de esfuerzos. Utilizando el teoremade CayleyHamilton, la ecuacin caracterstica del tensor de esfuerzos en trminos de susinvariantes queda como

3 2 + = 0 (5.12)Como el tensor es simtrico, la ecuacin caracterstica tiene tres races reales 1, 2 y 3.Se tiene un eigenvector asociado a cada uno de los valores principales, los cuales se calculansustituyendo en la ecuacin 5.10 cada uno de los eigenvalores y resolviendo para n.

Los vectores principales n se llaman tambin ejes principales del tensor de es-fuerzos. Como el tensor de esfuerzos es simtrico, se puede diagonalizar con los valoresen la diagonal principal dados por que son llamados esfuerzos principales. Entonceslos componentes del esfuerzo referidos a los ejes principales del tensor de esfuerzos comoejes coordenados dan los esfuerzos principales. Los eigenvectores de un tensor simtricoconstituyen otra base que siempre es ortogonal.

Los planos formados por los ejes principales tomados de dos al mismo tiempo sonllamados planos principales.

Tenemos los siguientes estados de esfuerzo:

1. Si dos de los tres esfuerzos principales son iguales a cero, el estado de esfuerzos se diceque es de tensin simple o tensin uniaxial.

2. Cuando slo uno de los esfuerzos principales es igual a cero, el estado de esfuerzos sedice que es de esfuerzos planos o esfuerzos biaxiales.

3. Si ninguno de los esfuerzos principales es nulo, entonces el estado de esfuerzos se diceque es triaxial.

4. Si uno de los esfuerzos cortantes es diferente de cero mientras que todos los demscomponentes son nulos, entonces el estado de esfuerzos se dice que es cortante simple.

Si se define el siguiente tensor formado por los componentes de los eigenvectoresunitarios

Q =

n1n2n3

(5.13)

se obtiene un tensor ortogonal que tiene la propiedad

Q Q = 1 (5.14)el cual representa una rotacin de forma que

Q T Q =

1 0 00 2 00 0 3

= T (5.15)

169

el cual es el tensor de esfuerzos diagonalizado. En este tensor diagonalizado, los nuevos ejeslos constituyen los ejes principales. Si se calculan los eigenvalores de un tensor ortogonal,se obtienen valores de la siguiente forma

{1 cos sin } =n1

o (5.16)

donde = 1 En este caso, es el ngulo de rotacin del tensor de esfuerzos alrededordel eje definido por el eigenvector asociado al eigenvalor unitario del tensor ortogonal.

5.5. Esfuerzos cortantes mximos

Dado un vector de esfuerzos t(n) relativo a un plano con normal n, se puede descom-poner en sus componentes normal y tangencial a dicho plano, de forma que el componentenormal es

= (n T) n t(n) n (5.17)y se tiene que el componente tangencial

2 = t(n) t(n) 2 (5.18)o de forma equivalente

= (1 nn) t(n) (5.19)Considerando los valores principales del tensor de esfuerzos en un sistema ortogonal, , yordenndolos de tal forma que 1 2 3 el vector de esfuerzos con respecto al tensorde esfuerzos diagonalizado queda como

t(n) = 1 (1)e1 + 2 (2)e2 + 3 (3)e3 (5.20)t(n) t(n) = 21

(1)

2+ 22

(2)

2+ 23

(3)

2 (5.21) = t(n) n = 1

(1)

2+ 2

(2)

2+ 3

(3)

2(5.22)

en donde el vector unitario n est expresado en trminos de sus componentes fsicos.Sustituyendo en la ecuacin 5.18 se obtiene

2 = 21(1)

2+ 22

(2)

2+ 23

(3)

21(1)

2+ 2

(2)

2+ 3

(3)

22(5.23)

y como n es un vector unitario, se tiene que (1) (1)+(2) (2)+(3) (3) = 1 de tal formaque

(3)2= 1

(1)

2 (2)2 (5.24)

170

y entonces

2 = 21(1)

2+ 22

(2)

2+ 23

1

(1)

2 (2)21(1)

2+ 2

(2)

2+ 3

1

(1)

2 (2)22 (5.25)y reacomodando

2 =21 23 (1)2 + 22 23 (2)2 + 23

(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2+ 3

2(5.26)

Los valores mximos de 2 se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones generado apartir de las derivadas de 2 con respecto a (1) y (2) igualadas a cero

2(1) = 2

21 23 (1) 4(1 3)(1)(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2+ 3

(5.27)

2(1) = 2

(1) (1 3) [ (1 + 3)

2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2+ 3

(5.28)

entonces

2(1) (1 3) [(1 3)2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2= 0 (5.29)

Para obtener las races de (1) de la ecuacin anterior se tiene que(1) = 0 (5.30)

y adems que

(1 3) 2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2= 0 (5.31)

de la cual se obtiene

(1) = s1

2 (2 3)(1 3)

(2)2 (5.32)

171

Para (2) se tiene2(2) = 2

22 23 (2) 4(2 3)(2)(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2+ 3

(5.33)

2(2) = 2 (2 3)

(2) [(2 + 3)

2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2+ 3

(5.34)

2 (2 3) (2) [(2 3)2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2= 0 (5.35)

Para obtener las races de (1) de la ecuacin anterior se tiene que(2) = 0 (5.36)

y adems que

(2 3) 2(1 3)

(1)

2+ (2 3)

(2)

2= 0 (5.37)

de donde se obtiene

(2) = s1

2 (1 3)(2 3)

(1)2Para el caso en donde se calcula (3) se llega a las siguientes ecuaciones

(3) = 0 (5.38)

(3) = s1

2 (1 2)(3 2)

(1)2 (5.39)(3) =

s1

2 (2 1)(3 1)

(2)2 (5.40)Los vectores normales a los planos en donde se encuentran los valores del esfuerzo

cortante mximo son los siguientes

(1) = 0 (2) = r1

2 (3) =

r1

2: =

1

2(2 3)

(5.41)

172

(1) = r1

2 (2) = 0 (3) =

r1

2: =

1

2(1 3)

(5.42)

(1) = r1

2 (2) =

r1

2 (3) = 0 : =

1

2(1 2)

(5.43)

max =1

2(1 3)

(5.44)

5.6. Estados de esfuerzos esfricos y deviatorios

La media aritmtica de los esfuerzos normales es

= 13TrT =

1

3

1 1 + 2 2 + 3 3 (5.45)se llama esfuerzo normal medio. El estado de esfuerzos que tiene todos los esfuerzos princi-pales iguales (por la tanto, igual a ) se llama estado de esfuerzos esfrico. El tensor deesfuerzos esfrico a menudo es denominado tensor de esfuerzos hidrosttico, y el esfuerzonormal medio es denotado como

Todo estado de esfuerzos puede ser descompuesto en una parte esfrica y en unaparte S llamada esfuerzo deviatrico de la forma

T = S+ 1 (5.46)Los invariantes del tensor deviatorio son

= TrS =Tr (T 1) = = 0 (5.47) = 1

2

2 Tr S2 = 12TrS2= 1

2 (5.48)

= 13

TrS3+ 3 3 = 1

3TrS3=1

3 (5.49)

La ecuacin caracterstica queda como

3 + = 0 (5.50)Los invariantes en trminos de los eigenvalores de S quedan de la siguiente forma

= 1 + 2 + 3 = 0 (5.51) = 1

2

1 2 + 2 2 + 3 2 = 1 2 + 2 3 + 3 1 (5.52) = 1 2 3 (5.53)

Los eigenvalores del tensor de esfuerzos T estn determinados por la ecuacin

(T 1) n = 0 (5.54)

173

y sustituyendo T en trminos del tensor deviatorio se obtiene que

(S+ 1 1) n = (S+ ( )1) n = 0 (5.55)de lo cual se puede apreciar que los eigenvectores de T tambin son eigenvectores de S. Encuanto a los eigenvalores de S, se tiene que

= (5.56)Los esfuerzos cortantes mximos que se obtuvieron en trminos de los esfuerzos

principales tambin se pueden representar en trminos de los eigenvalores del tensor devia-torio,

= 12|2 3| = 1

2|2 3| (5.57)

= 12|1 3| = 1

2|1 3| (5.58)

= 12|1 2| = 1

2|1 2| (5.59)

El componente esfrico del tensor de esfuerzos est relacionado con los cambios devolumen que puede sufrir un cuerpo por compresin o tensin aplicada de forma uniformeen todas direcciones, mientras que la parte deviatoria incluye los componentes cortantes deltensor. En el caso de los materiales slidos, los cambios de volumen asociados al componenteesfrico del tensor de esfuerzos son despreciables, mientras que los componentes del esfuerzocortante del tensor deviatorio son los relevantes, ya que la resistencia a la cedencia de unmaterial slido est relacionada con el esfuerzo cortante mximo que puede soportar.

5.7. Esfuerzos cortantes octadricos

Si se considera el tensor de esfuerzos evaluado en un punto representado conrespecto a los ejes principales, tomndolos ahora como la base {e1 e2 e3}, y se representaun plano que se encuentra posicionado de tal manera que tiene el mismo ngulo con respectoa cada uno de los ejes principales, de forma que su vector normal es

n =e1 + e2 + e3

3 (5.60)

El vector de esfuerzo o traccin superficial sobre ese plano expresndolo en trminos de losejes pricipales (es decir, utilizando el tensor de esfuerzos diagonalizado) es

t(n) = n T =1 e1 + 2 e2 + 3 e3

3 (5.61)

El componente normal del esfuerzo es

= t(n) n = 1 + 2 + 33 =1

3TrT = (5.62)

174

y el cuadrado del esfuerzo cortante sobre ese plano se denomina esfuerzo cortante octadrico,el cual es

2 = t(n) t(n) 2 = 131 2 + 2 2 + 3 2 1

9(1 + 2 + 3)2

=1

3

1 2 + 2 2 + 3 2 19

1 2 + 2 2 + 3 2 + 21 2 + 22 3 + 23 1=2

9

1 2 + 2 2 + 3 2 1 2 2 3 3 1 (5.63)que se puede representar tambin como

= 13

q(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2

=1

3

q(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2 (5.64)

o en trminos de los eigenvalores e invariantes del tensor deviatorio

=s

1 2 + 2 2 + 3 23

=

r23 (5.65)

Esta representacin de los esfuerzos es de utilidad para los criterios de cedencia delos materiales slidos, pricipalmente materiales metlicos, ya que junto con los cirterios decedencia de Tresca o de von Mises, se puede predecir el inicio del comportamiento plstico,lo cual es til en cuestiones de diseo o en procesos de manufactura.

5.7.1. Ejemplo.

El tensor de esfuerzos en la deformacin generada en un medio continuo contenidoentre dos placas circulares paralelas es

T = (e e + e e)

en donde , y son constantes, dim [] = 1 1, dim [] = 1 y dim [] = ,por lo que dim [T] = dim [] dim [] dim [] = 1 2 que son unidades de fuerzasobre rea.

Calcula el torque requerido, los esfuerzos principales, las direcciones principales,los esfuerzos cortantes mximos,

Para calcular el torque requerido, primero calculamos el vector de esfuerzos quese ejerce sobre el medio por la placa superior. En ese caso, el vector normal es n = e, yentonces

t(n) = n T = e

175

Ahora necesitamos calcular la integral sobre la superficie

m =

Zp t(n) =

Z

e e

= Z =0

Z 2=0

3

e =

4

2 eEsfuerzos principales. Expresando el tensor en trminos de los componentes fsicos,

se tiene que

T =

0 1 0

1 0 0

0 0 0

y

det (T 1) = ()2

2!= 0

por lo que los esfuerzos principales son

12 = y 3 = 0El eigenvector asociado a 3 = 0 es igual a e Para los otros dos vectores

(T 12 1) n =

"12

#= 0

en donde obtenemos un sistema de ecuaciones linealmente dependiente, por lo que resolve-mos una de ellas

2 = 1con la restriccin de que el vector es unitario, por lo que las direcciones principales quedancomo

n1 =12e +

12e

n2 = 12e +

12e

n3 = e Los esfuerzos cortantes mximos y sus planos son

=1

2(2 3)

= 2 n =

1

2e +

1

2e +

12e

=1

2(1 3)

= 2 n =

1

2e +

1

2e +

12e

=1

2(1 2)

= n = e