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8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
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ECUEACIONES DIFERENCIALES
Un problema de valor inicial para una ecuacin diferencial lineal de orden n es
:
Sujeta a:
Donde son constantes arbitrarias
Buscamos una solucin en el intervalo I que contiene el punto (x) En el caso deuna ecuacin lineal de segundo orden una solucin de:
la solucin seria
Es una funcin de finida en I cuyo grafico es pasar por ( y tal que la
pendiente de la curva en el punto es un numero
DEPENDENCIA LIENEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que un conjunto de funciones es linealmente
dependiente en un intervalo I si existen constantes no todas
nulas tales que se cumple
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Para toda equis en el intervalo
Un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si lasconstantes para las cuales son
Para toda (x) en el intervalo son
TEOREMA
Supongamos
Tienes al menos n-1 derivadas
0
Si se cumple lo anterior entonces las funciones son linealmente independientes enel intervalo
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El determinante que aparece en este se designa
Y recibe el nombre de wrosnskiano de las funciones
Si tienen por lo menos n-1 derivadas son linealmente
dependientes en el intervalo I entonces el wronskiano de las funciones es ceropara toda x en el intervalo ejemplo:
Determina si las funciones son lineales independientes :
, .
=
0 en las funciones lineales
Determina si las funciones
solucin:
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0
Son
Verifica si son LI o ID
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1.-
0
Resolver
son
linealmente independientes
Una ecuacin diferencial lineal de la forma
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Recibe el nombre de ecuacin diferencial homognea
TeoremaSean soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de
orden n en un intervalo I entonces el conjunto de soluciones es linealmente
independiente si solo si para toda x en el intervalo
Se llama conjunto fundamental de soluciones en I a cualquier conjunto
de n soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial linealhomognea de orden n en I
Sean un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin lineal
homognea, entonces se define como solucin general a la siguiente ecuacin
La ecuacin diferencial de segundo orden tiene dos soluciones
verifica que tipo de solucin tiene y forma su solucin general
Solucin general
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Actividad:
Con la informacin que se te dio del tema realizar una metodologa y realizar un
ejerciciol.
8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
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Ecuaciones Lineales Homogneas con coeficientes constantes
Si consideramos el caso especial de una ecuacin lineal homognea de segundoorden.
a +b +cy=o
Donde a, b y c son coeficientes.
Podemos ensayar la solucin y= , su primera y segunda sern:
=
=
Quedando la ecuacin diferencial
a +b +c = 0
Como no es cero para ningn valor de x en el intervalo - entonces
se selecciona un valor de m que satisfaga a la ecuacin a la ecuacin.
a +b +c 0
Que recibe el nombre de ecuacin auxiliar de la ecuacin diferencial y queproviene de la expresin
a +b +c = 0
(a +b +c)=0
CASO 1
Cuando las races son reales y diferenciales
8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
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a +b +c 0
Las soluciones son:
= =
Satisfacen la ecuacin diferencial y por el principio de superposicin tenemos que
y= +
CASO 2
Cuando las races son reales e iguales = en este caso la solucin general
es:
y= +
Donde =
CASO 3
Si las races son complejas conjugadas.
Con complejas conjugadas
= =
Donde son iguales
Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos.
y= + .
Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con laformula de Euler para llegar a la formula general de este caso.
y=
Ejemplo
=0
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=0
=0
=0 =0
=-2 =-1
Caso 1
y= +
y= +
=0
=0
=0
=0
=0 =0
= =1
Caso 1
y= +
y= +
=0
=0
=0
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Actividad:
Resolver los siguientes ejercicios
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Ecuaciones lineales no Homogneas
Una ecuacin (lineal) diferencial de la forma *+An-1 + A1 D-1 A*y =g(x)
donde A sonconstantes Y=Yc +Yp donde Yc se denomina funcincomplementaria y se puede hallar la ecuacin diferencial asociada mediante ella
La ecuacin diferencial particular (Yp) se puede obtener siguiendo diversosmtodos uno de los cuales es de coeficientes indeterminados
Segundo miembro Yp
20 A
Polinomio de 3er orden
Ejemplo
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(m+2) (m+1)
m=-2 m=-1
caso I
Yc=
Yp= Ax + B Yp= A Yp =0
0+3A+2(Ax+B)=8x +4
3A+2Ax+2B=8x+4 2Ax=8x
A=4
3A+2B=4 3(4)+2B=4 2B= 4 -12 B=-8/2B=4
Yp=Ax+B
Yp=4x-4
Y=
(m+2) (m+1) m=-2 m=-1
Caso I
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Yp=
Yp=
Yp=
Yp=
Termino cuadrado Termino lineal
Termino lineal
2(2)+3(-6)+2 =0
Yp=
YP=
Y=
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( =12
Caso I
Yc=
Yp=A Yp=0 Yp=0
0-4A=12
A=3
Y=
( ) (
Caso I
Yc=
Yp= Yp= Yp=
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A=2
Sustituimos en Yp
Yp=2
Y=
(
( 0
m=0
Del caso I
Yc=
Yc=
Yp=
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Caso I
-9
Sustituir en Yp
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Actividad:
Escribir como tu realizaras el procedimiento y da un ejemplo.
Si consideramos el caso especial de una ecuacin lineal homognea de segundoorden.
a +b +cy=o
Donde a, b y c son coeficientes.
Podemos ensayar la solucin y= , su primera y segunda sern:
=
=
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Quedando la ecuacin diferencial
a +b +c = 0
Como no es cero para ningn valor de x en el intervalo - entonces
se selecciona un valor de m que satisfaga a la ecuacin a la ecuacin.
a +b +c 0
Que recibe el nombre de ecuacin auxiliar de la ecuacin diferencial y queproviene de la expresin
a +b +c = 0
(a +b +c)=0
CASO 1
Cuando las races son reales y diferenciales
a +b +c 0
Las soluciones son:
= =
Satisfacen la ecuacin diferencial y por el principio de superposicin tenemos que
y= +
CASO 2
Cuando las races son reales e iguales = en este caso la solucin general
es:
y= +
Donde =
CASO 3
Si las races son complejas conjugadas.
Con complejas conjugadas
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= =
Donde son iguales
Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos.
y= + .
Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con laformula de Euler para llegar a la formula general de este caso.
y=
Resolver
=0
=0
=0
=0 =0
=-2 =-1
Caso 1
y= +
y= +
=0
=0
=0
=0
=0 =0
= =1
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Caso 1
y= +
y= +
=0
=0
=0
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Caso 2
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Caso 3
Caso 1
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Actividad:
Sacar tu propia secuela y tu metodologa con un ejemplo.
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TABLA DE ANULADORES CONSTANTES
Xn Dn+1
ex D-a
Xn enx (D-a)n+1
senbxn,cosbx D2+b2
Xn senbx,c Xn osbx (D2+b2)n+1
ex senbx,excosbx (D-a)2 + b2
Xn
ex
senbxXn ex cosbx
[(D-a)2
+ b2
]n+1
EJEMPLO
YII + 3YI + 2Y=4X2
D2+3D +2)Y=0
Se pasa a anular y luego se lleva ala forma homogenea
(m2+3m+2)y=0
(m+2)(m+1)=0
m+2=0 m+1=0
m1=-2 m2=-1
m1 = m2
caso 1
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Yc=C1em1x+C2 em2x
Yc=C1e-2x+C2 e-x
Se pone la ec. Homogenea con D3
D3
m3=0
m4=0
m5=0
m3= m4= m5
caso II
Yp=C3em3x+C4 eXm4x + C5eXm5x
Yp= C3e0 +C4XeO +C5X2e0
Yp= C3 + C4X + C5X2
Yp= C5X2+ C4X + C3
Se deriva yp
YIp=2 C5X + C4
YIIp=2 C5
sustituir en la ec . original
2 C5+3(2 C5X + C4)+2(C5X2+ C4X + C3)=4X2
2 C5+6 C5X +3 C4+2C5X2+ 2C4X + 2C3=4X2
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2C5X2 =4X2 6 C5X +2C4X=0 2 C5+3 C4+2C3=0
C5=4X2 6(2)X+2C4X=0 2(2)+3(-6) + 2C3 =0
2X2 12X+2C4X=0 4-18+ 2C3=0
2C4X=-12X -14+2C3=0
C5=2 C4=-12X 2C3=14
2X C3=14
C4=-6 2
C3=7
Yp= 2X2-6X +7
Yc= C1e-2x+C2 e-x+2X2-6X +7
xeyyy
322'3" =+
D-a a=3
D-3
xeyDDD 32 2)23(3 =+
0232 =+ mm
(m-1) (m-2)=0
m-1=0 m-2=0
11 =m 22 =m
Caso 1 21mm
xmxm
c eCeCy21
21 +=
xx
c eCeCy2
21 +=
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D-3
m-3=0
33 =m
Caso 1
x
p eCy3
1=
x
p eCy3
13' =
x
p eCy3
19'' =
Sustituir en la ecuacin original
xxxx
eeCeCeC
33
1
3
1
3
1 2)(2)3(39 =+xxxx
eeCeCeC33
1
3
1
3
1 2299 =+
xx eeC 331 22 =
x
x
e
eC
3
3
12
2=
11 =C
xp ey 31=
pc yyy +=
xxx eeCeCy 3221 1++=
28'''' xyy =+
1+nD n=2
3D
2233 8)( xyDDD =+
223 8)1( xyDDD =+
0)1(5 =+mm
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05 =m
0)1( =+m
02 =m 11 =m
03 =m
04 =m
05 =m
06 =m
11 =m Caso 1
xm
c eCy1
1=
xc eCy = 1
65432 mmmmm ====
Caso 2
xmxmxmxmxm
p exCexCexCxeCeCy65432 4
6
3
5
2
432 ++++=
xxxxx
peXCeXCeXCXeCeCy 046
03
5
02
4
0
3
0
2 ++++=
4
6
3
5
2
432
XCXCXCXCCyp
++++=
3
6
2
543 432' XCXCXCCy p +++=
2
654 1262'' XCXCCy p ++=
XCCy p 65 246''' +=
Sustituir en la ecuacin original
22
65465 81262246 xXCXCCXCC =++++
22
6 812 xxC =
2
2
612
8
x
xC =
3
26 =C
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0624 56 =+ xCxC
06)3
2(24 5 =+ xCx
06)3
48( 5 =+ xCx
xxC 166 5 =
x
xC
6
165
=
3
85
=C
026 45 =+ CC
023
484 =+
C
2
164 =C
84 =C
432
323
2
3
88 XXXXCCyp +++=
432
3213
2
3
88 XXXXCCeCy x ++++=
EJERCICIO
CASO ESPECIAL
YII-3Y+2Y=2ex
(D-1)(D2-3D+2)=0
(m-1)( m2-3m+2)=0
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(m-1)(m+1)(m-2)=0
m-1=0 m-1=0 m-2=0
m1=1 m-1=1 m2=2
CASO II caso I
Yp=C1ex+C2 eXx + C3eX2x
YIp= C1ex+C2(XeXex )+2 C3eX2x
YIp= C1ex+ C2XeX+c2ex +2 C3e2x
YIIp= C1ex+ C2(XeX+ex)+ c2ex+4C3e2x
YIIp= C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x
C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3 (C1ex+ C2XeX+c2ex +2 C3e2x)+2(C1ex+C2 eXx +C3eX2x)=2ex
C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3C1ex+3 C2XeX + 3c2ex +6 C3e2x+2C1ex+2C2eXx + 2C3eX2x=2ex
C1ex+ C2eX+ C2ex-3C1ex+3 C2eX + 3c2ex-2C2 ex=2ex
C2ex=2ex
C2=2ex =-2
ex
C2XeX-3C2XeX+2C2 eXx =0
3C2XeX-3C2XeX=0
Y= C1ex-2C2 Xex + C3eX2x
VARIACION DEL PARAMETRO
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)()( xfyxpdx
dy=+ donde:
+=
dxxppdxdxxp
eCxfeey
)(
1
)(
)(
Lo anterior tiene la forma pc yyy += donde
=dxxp
c eCy)(
1es una solucin de 0)( =+ yxp
dx
dy
dxxfeeydxxpdxxp
p )()()(
=
Veremos que para cada ecuacin de segundo orden el mtodo de variacin depara metros tiene la ventaja de que siempre conducir a la obtencin de una
solucin particular py , suponiendo que la ecuacin homognea asociada puede
resolverse. Asi tenemos que:
w
xfy
yy
yy
yxf
y
U)(
''
')(
0
' 2
21
21
2
2
1
==
w
xfy
yy
yy
xfy
y
U)(
''
)('
0
' 1
21
21
1
1
2 ==
SECUELA DE CLCULO
2211)1 yCyCYC +=
=
21
21
'')2
yy
yyw
8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
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3) llevar la ecuacin a la forma: )(''' xfQyPyy =++
4) determinar f(x)
5) encontrar 1'U y 2'U
2211)6 yUyUYp +=
YpYcY +=)7
EJEMPLO
xexyyy
2)1(4'4'' +=+
0)44(2 =+ mm
02 =m 02 =m
21 =m 22 =m
Caso 2 21 mm =
xmxm
c xeCeCy21
21 +=
xx
c xeCeCy2
2
2
1 +=
xey 22 =
=
21
21
'' yy
yyw
+=
xxx
xx
exee
xeew
222
22
22
xxxxx xeeexeew 22222 2)2( +=
xxx xeexew 444 22 +=
x
ew4
=
Ubicamos f(x)
xexxf 2)1()( +=
xx exexf 22)( +=
xey 21 =
8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
34/37
w
xfyU
)(' 21
=
x
xxx
e
exexeU
4
222
1
)('
+=
x
xx
e
xeexU
4
442
1'
=
x
x
e
xxeU
4
24
1
)('
=
xxU = 21'
w
xfyU
)(' 12 =
x
xxx
e
exeeU
4
222
2
)('
+=
x
xx
e
exeU
4
44
2
)'
+=
x
x
e
xeU
4
4
2
)1('
+=
1'2 += xU
Integrando
=+= xdxdxxdxxU2
1 )1('
23
23
1
xxU =
+=+= dxxdxdxxU )1('2
21'' yUU
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35/37
xx
U +=2
2
2
2211 yUyUy p +=
xxp xexxexxy
2
2
2
23
223
++
=
pc yyy +=
xxxx xexx
exx
xeCeCy 22
223
2
2
2
1223
++
++=
EJERCICIO
4YII+36Y=CSC3X
Se divide entre 4
4YII+36Y=1 (x3X)
4 4 4 4
YII+36Y=1 (x3X)
4
m2+4=0
m2=-4
m= -4
m= -4 -1
m= 9i
m1
=3ixim +=
1
xim +=2
Caso II
0= 3=
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SOLUCION
3=
)2(cos,(1 xsenixceycm
+=
)32(5cos,(0 xsenixceyc x ++=
)3(3cos, xsenixcyc +=
xy 3cos1 = xseny 32 =
21
21
xx
yyw = = xxsen
xsenx
3cos333
33cos
W =cos 3x(3cos3x)-(-3cos3x)(sen3x)
W=3cos23x+3sen
2
W=3
Ubicamos f(x)
F(x)=csc3x
w
xfyU
)(21' =
3
3csc31' xxsenU
=
xxsenU 3csc3
3
11' =
)(12'
xfyU = 33cos3cos
2' xx
U = xxU 3csc3cos3
12' =
U
xdxxsenduU 3csc33
11
'
= = dxxsenxsen 3
13
3
1= x3
1
xdxxduU 3csc3cos3
12'
=
=dx
xsenx
31
3cos3
1
dx
xsen
x
33cos
3
1
cotcos
=sen =
xdx3cot3
1
dxdv
xv
3
3
=
=
8/14/2019 tabajo de matematicas[2]
37/37
xdx3cot3)31(
3
1= xnsen 39
1
xnsenU 39
12'
=
2211 yuyuyp +=
nsenxxnyp 9
13cos
3
1 +=
xnsenxxxyp 3)3(cos9
13cos
3
1+
=
ypycyp +=
Actividad:
Realizar metodologa