Tabla 3. Relación en cuanto a objetivos entre el

131131

entre el currículum oFicial e impartido: qué es lo que se enseña en el aula

Tabla 3. Relación en cuanto a objetivos entre el Currículum Oficial e Impartido para los semestres ii, iV y Vi

Objetivo propuesto en el programa oficial

Habilidades que se pudieran desarrollar

de acuerdo al objetivo planteado

en el CO

Habilidades que se pudieran desarrollar de acuerdo con los que aparece en las notas de clase CI

Sem

estr

e II

Uni

dad

I

Desarrollar habilidades para resolver problemas

que se modelan con sistemas de ecuaciones li-

neales, a través de actividades de identificación,

interpretación gráfica y la resolución por méto-

dos analíticos de sistemas de ecuaciones linea-

les con dos variables. Con lo anterior, podrá in-

terpretar los fenómenos de su entorno.

Recordar

Reconocer-Identificar

Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Representar

Formular

Seleccionar

Interpretar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Aplicar

Verificar

Uni

dad

II

Al finalizar la unidad, el estudiante resolverá

problemas del contexto mediante la construc-

ción de modelos y la aplicación de métodos alge-

braicos relativos a ecuaciones de segundo grado,

para desarrollar su capacidad de adaptar los mo-

delos matemáticos a la vida cotidiana.

Recordar

Reconocer-Identifi-car

Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Representar

Formular

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Aplicar

Verificar

17 X 23 Hacia donde reorientar.indd 131 10/07/2012 04:51:27 p.m.

¿Hacia dónde reorientar el currículum de matemáticas del BacHillerato?

132

Uni

dad

III

Al finalizar la unidad, el estudiante desarrollará

habilidades matemáticas de abstracción de dife-

rentes fenómenos de cambio tomados del con-

texto de su entorno, mediante diferentes repre-

sentaciones matemáticas, para explicarse las

relaciones existentes entre variables que origi-

nan los fenómenos del cambio.

Recordar


Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Representar

Formular

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Aplicar

Verificar

Analizar

Evaluar

Generalizar

Conectar

justificar

Uni

dad

I

• Resolverá problemas teóricos o prácticos que

involucran la ecuación de la recta y su repre-

sentación gráfica, y viceversa, interpretando

situaciones del contexto.

• Analizará la ecuación de la recta y su gráfica,

mediante la variación de los parámetros, para

aplicarlos en la toma de decisiones.

Recordar


Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Representar

Formular

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Aplicar

Verificar

Analizar

Resolución de proble-mas no habituales


133133

entre el currículum oFicial e impartido: qué es lo que se enseña en el aulaS

emes

tre

IV

Uni

dad

II Resolverá problemas a través de la ecuación de

la circunferencia y su representación gráfica,

interpretando situaciones del entorno.

Recordar


Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Saber

Representar

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Interpretar

Aplicar

Analizar

Conectar

Resolver problemas no habituales.

Conectar

Uni

dad

III

Resolverá problemas a través de la ecuación de

la parábola y su representación gráfica, inter-

pretando situaciones del contexto.

Recordar


Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Analizar

Conectar


Continúa...



134

Uni

dad

IV

Resolverá problemas que se modelan con la

ecuación de la elipse, al establecer relaciones

entre los parámetros y sus propiedades, así

como al usar la representación grafica, para

interpretar situaciones del contexto.

- Aplicará el método analítico para obtener la

ecuación de la elipse a través del reconocimiento

de la forma, la estructura y la relación entre los

parámetros al resolver problemas.

Recordar


Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Analizar

Conectar


Uni

dad

V

Resolverá problemas que se modelan con la

ecuación de la hipérbola, al establecer relaciones

entre los parámetros y sus propiedades, así

como al usar la representación grafica, para

interpretar situaciones del contexto.

Recordar


Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Analizar

Conectar


...continuación


135135


Uni

dad

VI

Realizará cortes al cuerpo de un cono circular

recto con instrumentos adecuados y en ciertas

condiciones de corte, obteniendo así las líneas

cónicas que representará algebraicamente a

través de ecuaciones de segundo grado en dos

variables y que le sirven para identificar la gráfi-

ca y género de cada una de las cónicas.

Recordar


Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Analizar

Conectar


Sem

estr

eVI

Uni

dad

I

• El estudiante interpretará geométricamente los

conceptos de diferencial, integral definida e

integral indefinida.

• El estudiante realizará el cálculo de diferenciales

elementales.

Recordar


Calcular

Recordar

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Clasificar

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Continúa...



136

Uni

dad

II

• Establecerá la relación derivada- integral, a

partir de la transformación que resulta del

teorema fundamental del Cálculo.

• Establecerá las propiedades de la integral

definida y hará cálculos de áreas de figuras y

funciones elementales.

• Resolverá problemas de aplicación, selec-

cionados de otras disciplinas y situaciones

extramatemáticas.

• Manejará un número limitado de fórmulas de

integración con destreza, exactitud y coherencia.

• Resolverá ejercicios intramatemáticos en los

que se apliquen los métodos especiales de

integración (por partes y sustitución).

Recordar


Calcular

Recordar

Reconocer

Calcular

Saber

Clasificar

Representar

Formular

Distinguir

Saber

Clasificar

Seleccionar

Interpretar

Representar

Aplicar

Verificar-comprobar

Seleccionar

Aplicar

Analizar

Evaluar

Generalizar

Conectar

Justificar

Fuente: elaboración propia.

La tabla anterior presenta la relación para los objetivos que se proponen en los programas oficiales de cada uno de los semestres, se hace por unidad temática y se consideran las habilidades de cada uno de los niveles de demanda cognitiva propuestos por Mullis y colaboradores (2002), la primera columna nos muestra el objetivo planteado, la segunda nos muestra las habilidades que se pudieran desarrollar de acuerdo al objetivo planteado y la tercera columna nos muestra las habilidades que se pudieran desarrollar en los estudiantes, de acuerdo con las actividades que aparecen en las notas de clase.

Respecto a la pregunta de investigación

Con los resultados obtenidos expuestos en el apartado anterior podemos validar nuestra hipótesis y responder a la pregunta de investigación —¿Qué relación existe entre el Currículum Oficial y el Impartido, en cuanto a contenidos y objetivos?

...continuación


137137


Primeramente, se puede afirmar que efectivamente existen diferencias entre lo que se observa en el Currículum Oficial y lo que enseñan los profesores a sus estudiantes.

Podemos afirmar además, que algunos de los factores que inciden en el escaso aprendizaje logrado en matemáticas no están únicamente en el plano cognitivo, se deja ver en esta investigación que hay factores vinculados con lo que del Currículum Oficial llega a las aulas, no se puede pretender desarrollar y evaluar habilidades que no hayan sido propiciadas a través de actividades diseñadas con esta misma intención, en las notas de clase de los tres semestres analizados se deja ver que el contenido propuesto en los Programas de Estudio no es agotado en su totalidad, y que con las actividades que propone el profesor no se pudieran desarrollar en los estudiantes las habilidades demandadas en los objetivos propuestos, por ello, se concluye que la relación que hay entre el Currículum Oficial e Impartido es deficiente.

Lo anterior da pauta a la realización de investigaciones que se refieran específi-camente a la formación y actualización de profesores, y con ello tratar de dar respuestas a preguntas como: ¿qué es lo que demanda las reformas del currículum en términos de la educación de los profesores?, ¿cómo acreditar la vigencia y acreditación de los profesores?, sin dejar de lado el cúmulo de factores que inciden en el complejo proceso enseñanza-aprendizaje.

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139

Evaluación del Currículum Matemático Escolar Aprendido. El caso del Nivel Medio Superior

de la uag

Antonio Zavaleta Bautista, Crisólogo Dolores FloresUniversidad Autónoma de Guerrero

Resumen

En el presente artículo se reportan los resultados de una investigación cuyo objetivo es evaluar el Currículum Matemático Escolar Aprendido por estudiantes del Bachillerato de una institución del sur de México. La

evaluación consiste en comparar lo que se prevé en los planes y programas de ma-temáticas vs lo que los estudiantes al finalizar los cursos aprendieron. Para ello se elaboró y aplicó un cuestionario, diseñado sobre la base de la exploración de cuatro dominios cognitivos: conocimiento de hechos y de procedimientos, utilización de conceptos, resolución de problemas habituales y razonamiento. Los resultados obtenidos indican la existencia de una asimetría marcada entre el Currículum Oficial y el Currículum Aprendido.

Palabras clave: Evaluación, Currículum Oficial, Currículum Aprendido, Cuestionario, Dominios cognitivos.

Abstract

This article reports the results of an investigation aimed at assessing the school mathematics Curriculum for high school students learned an institution in southern Mexico. The evaluation is to compare what is anticipated in the plans and math programs versus what students learned at the end of courses. For it was developed and applied a questionnaire designed on the basis of the exploration of four cognitive



140

domains: knowing facts and procedures, using concepts, solving routine problems and reasoning. The results indicate the existence of a marked asymmetry between the Official Curriculum and Currículum Learned.

Keywords: Assessment, Official Curriculum , Learned Currículum , Questionnai-re, Cognitive domain.

Antecedentes, Problema y Objetivo

Antecedentes

La evaluación de los sistemas educativos se ha convertido en los últimos diez años en una prioridad política de los gobiernos y sociedades de varios países del mundo. Ha sido prioritaria en virtud de que se ha transformado en un instrumento de reorientación de las políticas educativas, en un mecanismo de transparencia y en un medio de plantear soluciones a la calidad y a la equidad, sobre la base de diagnósticos rigurosos y de datos confiables.

Desde mediados del siglo pasado Benjamín Bloom (1913-1999), ha sido uno de los científicos que más ha influido en las concepciones y prácticas evaluativas (Bloom y colaboradores 1971 y 1981). Bloom creó la taxonomía cognitiva que lleva su nombre, esta taxonomía se basa en la idea de que las operaciones cognitivas pueden clasificarse en seis niveles de complejidad creciente. Cada nivel depende de la capacidad del alumno para desempeñarse en el nivel o los niveles precedentes, éstos son: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación. En la tabla 1 se resumen el significado de cada nivel.

Tabla 1. La taxonomía de Bloom

Nivel DefiniciónMuestra de

verbos

Conocimiento

El alumno recordará o reconocerá informaciones, ideas,

y principios de la misma forma (aproximada) en que

fueron aprendidos.

Escriba, liste, rotule, nomine,

diga, defina.

ComprensiónEl alumno traduce, comprende o interpreta información

con base en el conocimiento previo.

Explique, resuma, parafrasee,

describa, ilustre.

Aplicación

El alumno selecciona, transfiere, y usa datos y

principios para completar un problema o tarea con un

mínimo de supervisión.

Use, compute, resuelva,

demuestre, aplique construya.


141141

evaluación del currículum matemático escolar aprendido

Análisis

El alumno distingue, clasifica, y relaciona presupues-

tos, hipótesis, evidencias o estructuras de una

declaración o cuestión.

Analice, categorice, compare,

contraste, separe.

Síntesis

El alumno crea, integra y combina ideas en un

producto, plan o propuestas nuevas para él.

Cree, planee, elabore

hipótesis, invente,

desenvuelva.

EvaluaciónEl alumno aprecia, evalúa o critica con base en

padrones y criterios específicos.

Juzgue, recomiende, critique,

justifique.

Fuente: Bloom (1971). Handbook on formative and summative evaluation of student learning.

En las evaluaciones actuales aún se nota la influencia de esta teoría. Según Mullis y colaboradores (2002) Bloom desempeñó un papel fundamental en la creación de la Asociación Internacional de Evaluación del Rendimiento Escolar (iea), fundada en 1959 con el objeto de realizar estudios comparativos de investigación sobre políticas, prácticas y resultados educativos. Uno de los programas internacionales de evaluación actuales es timss que depende del iea.

Hoy día existen evaluaciones internacionales y nacionales, que enfocan la atención principalmente en evaluar el rendimiento de los estudiantes en: Ciencias, Matemáticas y Lectura. Dentro de las evaluaciones internacionales que tienen incidencia en México se conocen: timss y pisa, dentro de las nacionales se conocen las de enlace y Ceneval.

La evaluación de timss (Tercer Estudio Internacional sobre Matemáticas y Ciencias) fue realizado en 1995, repetidos en 1999, y el 2003 (con el nuevo nombre de Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias), también conocido como timss Tendencias. El objetivo de éste ha sido conocer el nivel de rendimiento de los alumnos de nueve años de edad (que cursan el 4° grado de primaria), 13 años (que cursan el 1° o 2° de secundaria) y los que están en último grado de secundaria (Backhoff, 2003; Solano, 2003), para comparar los resultados entre países y tratar de explicar las diferencias observadas en función de características de los sistemas educativos. Este proyecto evalúa tres aspectos fundamentales: el rendimiento de los estudiantes en matemáticas y ciencias en relación con el aprendizaje de la naturaleza, el alcance del aprendizaje de los estudiantes y el contexto en el que se da este aprendizaje.

timss utiliza de manera amplia el currículum; el modelo curricular de este estudio considera tres niveles de este currículum: 1. El currículum pretendido, 2. El currículum aplicado y 3. El currículum obtenido. El primero se refiere al que se planifica para la enseñanza por la sociedad y el sistema educativo nacional, el segundo es el que se



142

enseña en el aula y el tercero es el que los estudiantes consiguen aprender; a partir de este modelo, se diseñan las pruebas de rendimiento de ciencias y en particular de matemáticas. El marco teórico de evaluación referido al área de matemáticas está estructurado por dos dimensiones: Dimensión de contenidos y Dimensión cognitiva. La primera se refiere al contenido temático que evalúa, estos son: Números, Álgebra, Medición, Geometría, Datos. La segunda dimensión se refiere a los conocimientos y habilidades, ésta define los comportamientos esperados de los estudiantes al ocupar-se del contenido de matemáticas, estos dominios cognitivos son: conocimiento de he-chos y de procedimientos, utilización de conceptos, resolución de problemas habi-tuales y razonamiento.

Por otra parte desde el año 2000 se aplican las evaluaciones de pisa (Programme for International Student Assessment), cuyo principal objetivo es el de indagar sobre el grado de formación o preparación de los alumnos de 15 años de edad en tres grandes áreas de conocimiento y competencia: lectura, matemáticas y ciencias. No intenta averiguar el grado de aprovechamiento escolar en esas materias, tal como están definidas en los currículos de los distintos países, sino que busca evaluar hasta qué punto los jóvenes pueden usar las habilidades y conocimientos adquiridos para enfrentarse a los retos de la vida adulta.

Como puede apreciarse las diferencias entre timss y pisa son sustanciales. El primero se interesa por el rendimiento escolar, de acuerdo con lo establecido por el currículum y pisa se interesa más por el uso de los conocimientos en situaciones de la práctica cotidiana. pisa evalúa el resultado de los sistemas educativos relativo a la formación de los alumnos necesaria para la vida adulta. En lo relativo al área de matemáticas fue realizado en el año 2003, esta evaluación está organizada por dos dominios: el de contenido y el de capacidades. El de contenido matemático es aquel del que hay que valerse para resolver los problemas y que se organiza de acuerdo con ciertas ideas clave. El de las capacidades se refiere a las que deben activarse para establecer un nexo entre el mundo real donde se generan los problemas y las matemáticas, para que de esa forma se puedan resolver los problemas. Los contenidos que evalúa son: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones e incertidumbre (Rico, 2006). Las capacidades están divididas en tres grupos: el de reproducción, el de conexiones y el de reflexión. Las capacidades del grupo de reproducción se refieren a la de conocimientos que ya han sido practicados; el de conexiones, se cimientan sobre las bases de las capacidades del grupo de reproducción, pero abordan problemas no rutinarios; y las del grupo de reflexión, requieren que el alumno reflexione sobre los procesos que se necesitan o emplean en la solución de un problema.

En cuanto a las evaluaciones nacionales que se aplican al nms, principalmente son dos: enlace cuyas siglas significan Evaluación Nacional de Logro Académico


143143


en Centros Escolares (enlace, 2008) y las que aplica el Ceneval (Centro Nacional para la Evaluación de la Educación Superior A. C.). enlace es una prueba del Sistema Educativo Nacional que se aplica a planteles públicos y privados del país. Se aplica en la Educación Básica (de tercero a sexto de primaria) y jóvenes de tercero de secundaria, y en la Educación Mediaa jóvenes que cursan el último grado de Bachillerato, este último es el centro de nuestro interés. enlace Educación Media, al igual que pisa, tiene como objetivo determinar en qué medida los jóvenes son capaces de aplicar a situaciones del mundo real conocimientos y habilidades básicas adquiridas a lo largo de la trayectoria escolar que les permitan hacer un uso apropiado de la lengua (comprensión lectora) y las matemáticas (habilidad matemática).

La habilidad matemática es concebida como la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzando razonamientos bien fundados, utilizando y participando en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. Esta habilidad matemática es evaluada a través de los procesos de: reproducción, conexión y reflexión en los contenidos relativos a: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones y matemáticas básicas.

Por otro lado, el Ceneval aplica dos tipos de exámenes: los nacionales de ingreso (exani), que evalúan las habilidades y competencias fundamentales, así como los conocimientos indispensables que debe tener quien aspira a continuar sus estudios de Educación Media Superior y Superior. Y los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (egel), que evalúan los conocimientos y la información indispensable que debe mostrar un recién egresado de los estudios de licenciatura. En particular nos interesa el exani ii (Examen General de Ingreso a la Educación Superior) que es el que evalúa los conocimientos y habilidades que debieran desarrollar los estudiantes en el nms.

En este sentido exani ii evalúa habilidades intelectuales y conocimientos discipli-nares, en cuanto a matemáticas se refiere la evaluación considera el razonamiento matemático y los conocimientos disciplinares específicos. El primero incluye algoritmos y propiedades, clasificación, deducción e identificación y comparación. El segundo incluye: Aritmética (porcentajes, fracciones y resolución de problemas); Álgebra (desigualdades, exponentes, factorización y ecuaciones); Geometría (clasificación de ángulos y figuras, áreas y volúmenes); Trigonometría (definicio-nes, fórmulas y problemas); Geometría Analítica (coordenadas, problemas y ecua-ciones de la recta y las cónicas); Cálculo (números reales y funciones); Estadís-tica (generalidades y medidas); Probabilidad (problemas). Respecto a la dimensión cognitiva el Ceneval, utiliza la teoría taxonómica de Bloom, ésta consta de seis niveles cognitivos: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación.



144

Los resultados de las evaluaciones internacionales indican que la calidad de la educación mexicana es baja. Los resultados de la prueba pisa (ocde, 2006) aportan evidencias de la magnitud del problema. Afirman que en matemáticas, México sigue en el último lugar entre los países de la ocde y en el lugar 49 de 57 países, señala que más del 50% de los estudiantes tienen conocimientos notoriamente insuficientes en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Estos resultados muestran la escasa asimilación del contenido matemático que se propone el Currículum Oficial y, sobre todo, su escasa utilización en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Esto puede ser un indicativo de que la escuela mexicana no está preparando a los estudiantes para la vida.

Problema y objetivo de la investigación

Desde hace aproximadamente tres lustros, los sistemas educativos están siendo objeto de muchas presiones políticas para evaluar su rendimiento. Como resultado de ello, han aumentado los sistemas nacionales e internacionales de evaluación, los estudios transnacionales y las comparaciones entre países, que se utilizan como una medida relativa de la calidad global de la educación. Así, durante la última década se han puesto en marcha varios proyectos internacionales para evaluar los resultados del aprendizaje escolar en ciencias, entre otras materias, siendo los dos más importantes timss y pisa (Acevedo, 2005).

La evaluación se ha convertido en un proceso permanente, sin embargo, los subsis-temas de educación en el estado de Guerrero no cuentan con procesos regionales de evaluación. La Universidad Autónoma de Guerrero (uag), no tiene sistemas de evaluación curricular sistemáticos ni mucho menos institucionalizados, no tiene sistemas de evaluación curricular sistemáticos para el nms, en especial los de matemáticas. Este es un problema lacerante para la educación en general y para la Educación Matemática en particular en el Estado de Guerrero. Por eso en este trabajo se hace frente a este problema y mediante esta investigación se pretende contribuir a su solución. Por tanto su objetivo general consiste en evaluar el currículum matemático escolar aprendido del nms de la uag Cuando se dice currículum matemá-tico escolar se hace referencia a la matemática que de acuerdo con los Planes y Programas de Estudio debe enseñarse, en particular en las escuelas preparatorias de lauagEs claro que entre lo que se planifica y lo que se aprende existen diversos y variados procesos que aquí no se tocan, por ejemplo los métodos y técnicas de ense-ñanza utilizados por los profesores, los medios y auxiliares didácticos que se utilizan o los instrumentos o procesos de evaluación. Estos procesos son de gran interés ya


145145


que pueden dar una visión más integral acerca de la enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nms de la uag Sin embargo, por ahora sólo interesa contestar una pregunta central, ¿qué aprendizajes logran los estudiantes respecto de lo que se prevé en los Planes y Programas de Estudio?

Marco teórico

Currículum

Para explicar los resultados derivados de la evaluación, este trabajo se fundamenta en dos elementos teóricos principales: la concepción de currículum propiamente dicha y la referente a la evaluación de éste.

En este trabajo se entiende por currículum a los documentos de la planeación de la educación los cuales contienen al conjunto de objetivos, contenidos, criterios metodológicos y de evaluación que los alumnos deben alcanzar en un determinado nivel educativo. Debe responder a las preguntas: ¿qué enseñar?, ¿cómo enseñar?, ¿cuándo enseñar? y ¿qué, cómo y cuándo evaluar?

Generalmente sólo se le llama currículum a lo planeado para la enseñanza, sin embargo los teóricos reconocen que no existe sólo uno. Por ejemplo para Alsina (2000) existen cuatro tipos a saber: el oficial, el potencial, el impartido y el aprendido. El oficial es el conjunto de documentos que oficializan las autoridades educativas o asociaciones de un lugar. El potencial lo constituyen las publicaciones docentes, libros de texto, materiales, etcétera. El impartido, es el que efectivamente el profesorado desarrolla en clase a lo largo del curso y el aprendido, se refiere al que efectivamente queda adquirido por los alumnos. Este último es el centro de nuestra atención en esta investigación.

Partimos de la premisa de que existen diferencias sustanciales entre lo que se planifica para ser aprendido (Currículum Oficial) y lo que efectivamente queda asimilado por parte de los estudiantes (Currículum Aprendido). La elaboración de una especie de medición entre lo planeado y lo logrado es el centro de atención de este trabajo. No es de interés de esta investigación la evaluación de todos los conocimientos planeados según los Planes y Programas de Estudio, sino de un tipo particular del conocimiento, el referente al contenido matemático. De ahí la frase principal de nuestro trabajo: evaluación del currículum matemático escolar aprendido.

El objetivo de investigación perseguido, es diferente del que se propone por ejemplo en los estudios pisa, mientras éste se ocupa de evaluar principalmente la utilidad de los conocimientos matemáticos en la solución de problemas de la



146

cotidianidad, en esta obra interesa evaluar lo que en el currículum se planifica. Y en este último la aplicación del conocimiento matemático es sólo un tipo de conocimiento evaluado, esto significa que nuestra evaluación va más allá de evaluar sólo el conocimiento útil en la vida cotidiana.

Evaluación del currículum

La evaluación realizada atiende dos dimensiones, una de contenidos y la otra cognitiva. La primera se refiere al tipo de saberes a evaluar y la segunda a los conocimientos asimilados por los estudiantes categorizados en niveles cognitivos.

Dimensión de contenidos

Esta dimensión se refiere a los contenidos evaluados a través de los objetivos planteados en cada curso y corresponden a los del Plan de Estudio de 1995 del nms de la uag, específicamente a los cursos de primero, tercero y quinto semestre. El primer semestre corresponde a Matemáticas I (Aritmética y Álgebra), el tercero a Matemáticas III (Geometría y Trigonometría) y el quinto a Matemáticas V (Cálculo Diferencial).

Los contenidos que fueron evaluados están organizados en torno de: la Aritmética y el Álgebra para el primer semestre, la Geometría y Trigonometría para el tercero y el Cálculo Diferencial para el quinto. Los contenidos representativos están descritos en la tabla 2.

Tabla 2. Contenidos evaluados

Primer semestre (Aritmética y Álgebra)

Tercer semestre (Geometría y Trigonometría)

Quinto semestre (Cálculo Diferencial)

Números racionales y operaciones. Perímetros y áreas de polígonos regulares. Funciones y gráficas.

Expresiones algebraicas. Volúmenes. Límite y continuidad.

Operaciones algebraicas. Ángulos y triángulos. La Derivada.

Factorización y simplificación de fracciones.

Razones y funciones trigonométricas. Aplicaciones de la Derivada.

Fuente: Zavaleta (2008). Evaluación del currículum matemático escolar aprendido.


147147


Dimensión cognitiva

Los elementos teóricos asociados a la dimensión cognitiva que se usan en esta investigación fueron adoptados de Mullis y colaboradores (2002). Esta dimensión está organizada por cuatro dominios cognitivos. Éstos definen los comporta-Éstos definen los comporta- definen los comporta-mientos esperados de los estudiantes al ocuparse del contenido de matemáticas, cada dominio cognitivo engloba un conjunto de habilidades y destrezas. Estos son: conocimiento de hechos y de procedimientos, utilización de conceptos resolución de problemas habituales y razonamiento.

Conocimiento de hechos y de procedimientos

Los hechos engloban al conocimiento factual que constituye el lenguaje básico de las matemáticas, así como las propiedades y los hechos matemáticos esenciales que forman el fundamento del pensamiento matemático. Los procedimientos forman un puente entre el conocimiento más básico y el uso de las matemáticas para resolver problemas habituales especialmente aquellos con que se encuentran las personas en su vida cotidiana. Contiene cuatro habilidades: recordar, reconocer/identificar, calcular y usar herramientas.

Recordar. Se refiere a recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; conven-ciones matemáticas. Reconocer/Identificar, está referido a reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, por ejemplo: identificar áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométri-cas simples orientadas de modo diferente. Calcular, se refiere a conocer procedi-mientos algorítmicos para la suma, resta, multiplicación, división o una combina-ción de estas operaciones; por ejemplo: conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado, simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones alge-braicas y numéricas; reunir términos semejantes. Usar herramientas está referido al uso de las matemáticas y los instrumentos de medición.

Utilización de conceptos

El conocimiento de conceptos permite a los estudiantes hacer conexiones entre elementos de conocimiento que, en el mejor de los casos sólo serían retenidos como



148

hechos aislados. Les permite extenderse más allá de sus conocimientos existentes, juzgar la validez de enunciados y métodos matemáticos y crear representaciones matemáticas. Este dominio cognitivo, consta de cinco habilidades: saber, clasificar, representar, formular y distinguir.

La habilidad saber está referida a: saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras. Clasificar se refiere a: clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos. Representar se refiere a: representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada. Formular se refiere a: formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas. Distinguir se refiere a distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada.

Resolución de problemas habituales

La resolución de problemas es un objetivo y a menudo un medio central en la enseñanza de las matemáticas; por tanto, esto y las destrezas de apoyo (seleccionar, representar, interpretar, aplicar, verificar o comprobar) tienen un papel destacado en el dominio de la resolución de problemas habituales.

La habilidad seleccionar está referida a: seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los estudiantes. Por ejemplo: seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas. Representar: generar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común. Interpretar: Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas. Aplicar: Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los estudiantes en clase. Verificar o Comprobar: Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.


149149


Razonamiento

El razonamiento matemático implica la capacidad de pensamiento lógico y sistemático. Incluye el razonamiento intuitivo e inductivo basado en patrones y regularidades que se pueden utilizar para llegar a soluciones de problemas no habituales. El razonamiento incluye las siguientes habilidades o destrezas: formular hipótesis, conjeturar o predecir, analizar, evaluar, generalizar, conectar, sintetizar o integrar, resolver problemas no habituales y justificar o demostrar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir se refiere a: hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo. Analizar está referida a: determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada. Evaluar, esta habilidad se refiere a: discutir críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera. Generalizar se refiere a extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables. Conectar está referida a: conectar conocimientos nuevos con existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados. Sintetizar o integrar se refiere a: combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior. Resolver problemas no habituales demanda la resolución de problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos. Justificar o Demostrar se refiere a: proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

En síntesis, la evaluación realizada está fundamentada sobre la base de los contenidos matemáticos a evaluar y los conocimientos logrados por los estudiantes acerca de esos contenidos y que en este trabajo se denomina dimensión cognitiva. Los contenidos se refieren a los estandarizados para el nms: Aritmética y Álgebra, Geometría y Trigonometría, Cálculo Diferencial. Los conocimientos se manifiestan



150

mediante el cual los estudiantes son capa-ces de hacer, es decir mediante sus habili-dades y destrezas. En términos globales los rasgos de la dimensión cognitiva en que se fundamenta este trabajo son: el conocimiento de hechos y de procedi-mientos, la utilización de conceptos, la resolución de problemas habituales y el razonamiento.

Metodología

La ruta metodológica que se siguió en este trabajo, comprendió tres fases: 1. Diseño, 2. Aplicación y 3. Análisis de los resultados.

1. Diseño de la evaluación: para el diseño de la evaluación se hizo un análisis del Currículum Ofi-cial, en particular se analizaron los Planes y Programas de Estu-dio de nms de la uag de 1995, so-bre la base de este análisis y del marco teórico se elaboraron las preguntas. Estas preguntas pasa-ron por cuatro procesos de vali-dación. El instrumento definitivo estuvo constituido por tres cues-tionarios (uno para la evaluación del primer semestre, otro para el segundo y el último para el tercer semestre).1

1 El Nivel Medio Superior en la uag, está estructurado por seis periodos lectivos semestrales, en nuestro trabajo evaluamos los semestres i, iii y v.

Gráfica 1. Evaluación global del 1er. semestre

60%

40%

20%

0%

52.3%47%

0.7%

Bajo Medio Óptimo

Fuente: Zavaleta (2008). Evaluación del currí-culum matemático escolar aprendido.

Gráfica 2. Evaluación global del 3er. semestre

100%

50%

0%

40.4%58.2%

1.4%

Bajo Medio Óptimo


Gráfica 3. Evaluación global del 5o semestre

60%

40%

20%

0%

50%49%

2%

Bajo Medio Óptimo



151151


2. Aplicación de la evaluación: para la aplicación de la evaluación seleccionamos una muestra aleatoria, ésta estuvo integrada por 2 496 alumnos de las Unidades Académicas de las siete regiones del estado de Guerrero. La aplicación del instrumento de evaluación se realizó de manera simultánea en un periodo de cuatro días a las Unidades Académicas seleccionadas por la muestra.

3. Análisis de los resultados: para el análisis, nos dimos a la tarea de concentrar toda la información y calificar los cuestionarios. Para esto digitalizamos todas las hojas de respuestas, las cuales fueron calificadas con un programa hecho en una hoja de cálculo; para el análisis y procesamiento de los datos estos fueron llevadas al paquete estadístico jmp, en el cual se hizo todo el análisis estadístico.

Resultados

Como ya mencionamos, evaluamos el currículum matemático escolar de los semestres i, iii y v, por tanto los resultados acerca de las evaluaciones las estructuramos por semestre.

Primer semestre. Sólo 0.7% (uno de cada 143) de los estudiantes alcanzaron cabalmente los objetivos planteados. Casi la mitad del total (47%) mostraron haber logrado un nivel de alcance medio, es decir que alcanzaron entre 30 y 60% de los objetivos propuesto en el Plan y Programa de Estudio, y más de la mitad (para ser precisos 52.3%) mostraron un bajo alcance de los objetivos, es decir sólo alcanzaron menos del 30% de los objetivos propuestos. Esto se ilustra en la gráfica 1.

Tercer semestre. Sólo 1.4% de los estudiantes alcanzaron los objetivos plantea-dos en el Plan y Programa de Estudio. Más de la mitad (el 58.2%) mostraron ha-ber alcanzado un nivel medio y 40.4%, poco menos de la mitad, mostraron un nivel de alcance bajo de los objetivos de este semestre. Esto se resume en la gráfica 2.

Quinto semestre, evaluación global. Sólo dos de cada 100 estudiantes son los que lograron alcanzar los objetivos planteados en el Plan y Programa de Estudio correspondientes a este semestre (Cálculo Diferencial), el resto no logró alcanzar todos los objetivos del curso, casi la mitad del total 49% mostraron haber alcanzado un nivel medio y la mitad mostraron un alcance bajo de los objetivos planteados en el Plan y Programas de Estudio correspondiente al quinto semestre.

Respecto de la parte cognitiva, la mayoría de los estudiantes mostró tener conocimiento de hechos y de procedimientos. Sólo 18% mostró habilidades para la utilización de conceptos. Sólo 5% mostró habilidades para la resolución de problemas habituales. En parte suponemos que esto se debe, a que en lo planeado en el Currículum Oficial que se revisó, la mayoría de los objetivos están orientados sólo al desarrollo



152

de las habilidades más elementales, muy pocos están referido a la resolución de problemas y no encontramos ninguno que esté orientado al desarrollo del nivel más alto: razonamiento.

Conclusiones

El objetivo de este trabajo se centró en evaluar el currículum matemático escolar aprendido del Nivel Medio Superior de la Universidad Autónoma de Guerrero. Como ya se mencionó, se evaluó el currículum matemático escolar de los semestres: i, iii y v. Por tanto las conclusiones son atribuibles a las matemáticas que se impar-ten en esos semestres.

En el primer semestre se pretende que los estudiantes puedan realizar las operaciones básicas con números racionales y manipular expresiones e incluso usarlas para modelar ciertos problemas. Como se mencionó los contenidos están referidos a la aritmética y álgebra y están orientados, de acuerdo con lo declarado en el Plan y Programas de Estudio, al desarrollo de las habilidades cognitivas más elementales: conocimiento de hechos y de procedimientos. Solamente un objetivo está referido a la resolución de problemas habituales y no se encontró ninguno que estuviera orientado al nivel cognitivo denominado razonamiento. Recuérdese que la taxonomía utilizada comprende cuatro dominios cognitivos básicos que se pueden ubicar en igual número de niveles: conocimiento de hechos y de procedimientos, utilización de conceptos, resolución de problemas habituales y razonamiento. Los niveles relativos a la utilización de conceptos, la resolución de problemas habituales y el razonamiento, no son parte consustancial de los objetivos declarados en el Plan y Programa de Estudio del primer semestre. Puede concluirse que en el Plan y Programa de Estudio sólo se propone alcanzar el nivel cognitivo más elemental y éste a su vez privilegia el conocimiento de hechos específicos y la realización de algoritmos.

¿Pero qué es lo que terminan aprendiendo los estudiantes después de haber cursado Matemáticas I? Los resultados que arrojó esta investigación indican que la mayoría de los estudiantes sólo recuerdan los significados de las cuatros operaciones básicas, identifican fracciones equivalentes y alrededor de la mitad pueden realizar las operaciones básicas con racionales, identifican términos semejantes y realizan sumas de polinomios. Todas las demás habilidades no fueron desarrolladas por los estudiantes, vale la pena mencionar estas habilidades: operaciones con racionales, traducir al lenguaje algebraico enunciados verbales y resolver problemas que implican estas traducciones, multiplicar y dividir polinomios, factorizar y utilizar productos


153153


notables y simplificar fracciones algebraicas. La tabla 3 que se presenta a continuación resume estos resultados.

Tabla 3. Resultados del primer semestre

Objetivo ContenidoDominio cognitivo

Habilidad evaluadaAlcance

Habilidad 1 Habilidad 2 Habilidad 3

Un1Obj1 Números

racionales

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Recordar

significados

de

operaciones

básicas

Óptimo

Identificar

fracciones

equivalentes

Óptimo

Calcular

mediante

operaciones

básicas

Medio

Global

Un1Obj1

Óptimo

Un1Obj2 Números

racionales en

forma

decimal

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Cálculo del

cociente de

números en

notación

decimal

Medio

Global

Un1Obj2

Medio

Un1Obj3 Números

racionales

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Identificar la

propiedad de

cerradura en

los racionales

Bajo

Global

Un1Obj3

Bajo

Un1Obj4 Números

racionales e

irracionales

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Identificar la

representa-

ción exacta de

un irracional

Bajo

Operación

con

irracionales

Bajo

Continúa...



154

Global

Un1Obj4

Bajo

Un2Obj1 Términos

semejantes

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Identificar

términos

semejantes

Bajo

Cálculo de

suma y resta

de polinomios

Medio

Global

Un2Obj1

Medio

Un2Obj2 Lenguaje

algebraico

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Identificar la

expresión

algebraica

que traduce

una situación

Bajo

Global

Un2Obj2

Bajo

Un2Obj3 Expresiones

algebraicas,

lenguaje

algebraico

Resolución de

problemas

habituales

Seleccionar el

modelo

algebraico

que resuelve

un problema

Bajo

Representar

con un

modelo

algebraico la

solución de

problemas

Bajo

Global

Un2Obj3

Bajo

Un3Obj1 Polinomios Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Recordar el

algoritmo

de la

multiplicación

de polinomios

Bajo

Dividir un

polinomio

entre un

binomio

Bajo

Global

Un3Obj1

Bajo

...continuación


155155


Un3Obj2 Factorización,

Productos y

cocientes

notables

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Recordar el

resultado de

productos

notables

Medio

Calcular

cocientes

algebraicos

utilizando

cocientes

notables

Bajo

Global

Un3Obj2

Bajo


Productos

notables

Conocimiento

de hechos y

procedimientos

Factorización

de polinomios

asociado a

productos

notables

Bajo

Global

Un4Obj1

Bajo

Un4Obj2 Factorización

de

polinomios

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos

Factorización

de polinomios

Bajo

Global

Un4Obj2

Bajo


Evaluación

Fracciones

algebraicas

Resolución de

problemas

habituales

Identificar

fracciones

algebraicas

equivalente

Bajo

Simplifi-

cación de

fracciones

algebraicas

Bajo

Global

Un4Obj3

Bajo


En el tercer semestre se plantea el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras planas y cuerpos regulares, el conocimiento de las propiedades básicas de la geometría clásica y la resolución de problemas, con el uso de las propiedades trigonométricas. Los contenidos están referidos a la geometría métrica, la clásica y triángulos. Los objetivos evaluados del Plan y Programas de Estudio sólo proponen



156

desarrollar el nivel cognitivo más elemental (conocimiento de hechos y de procedi-mientos) de los cuatro ya mencionados.

De acuerdo con los resultados de esta investigación lo que realmente aprenden la mayoría de los estudiantes al cursar Matemáticas III, es el reconocimiento del isomorfismo de cálculo por mediciones mecánicas y cálculo analítico. Alrededor de la mitad de los estudiantes fueron capaces de calcular áreas y volúmenes de figuras planas y cuerpos regulares, y la resolución de triángulos rectángulos. Las demás habilidades consideradas no fueron desarrolladas, en la tabla 4 se muestran estos resultados.

Tabla 4. Resultados del tercer semestre

Objetivo Contenido Dominio cognitivo

Habilidad evaluada Alcance


Un1Obj1 Perímetro, Área, Volumen


Reconocer el isomorfismo de cálculo por mediciones mecánicas y cálculo analítico

Óptimo

Global Un1Obj1

Óptimo

Un1Obj2 ÁreaVolumen


Calcular áreas y volúmenes de figuras pla-nas y cuerpos regulares

Medio

Global Un1Obj2

Medio

Un1Obj3 Relaciones de: área y volumenPoliedros regulares


Calcular áreas y volúmenes de cuerpos regulares

Medio

Global Un1Obj3

Medio

Un2Obj1 Punto, línea, plano


Identificar un axioma euclidiano

Bajo

Global Un2Obj1

Bajo


157157


Un2Obj3 Triángulos Conocimiento de hechos y de procedimientos

Identificar condiciones de semejanza, congruencia y desigualdad triangular

Bajo

Global Un2Obj3

Bajo

Un2Obj4 Paralelismo Conocimiento de hechos y de procedimientos

Reconocer propiedades de paralelas

Bajo

Global Un2Obj4

Bajo

Un3Obj1 Triángulo rectángulo,Relaciones trigonométricas


Recordar propiedades de semejanza de triángulos, razones y funciones trigonométri- cas

Bajo

Resolución de triángulos rectángulos

Medio

Global Un3Obj1

Medio

Un3Obj2 Triángulos oblicuángulos,Relaciones trigonométricas


Recordar la ley de senos y cosenos

Medio

Resolución de triángulos no rectángulos y de problemas que involucran las relaciones trigonomé-tricas

Bajo

Global Un3Obj2

Bajo

Continúa...



158

Un3Obj3 Funciones trigonométricas, identidades trigonométricasPlano complejo


Recordar coordenadas en el plano complejo y la representación de un número complejo en este plano

Bajo

Calcular el producto de números complejos en su forma polar

Bajo

Global Un3Obj3

Bajo


El curso de quinto semestre está enfocado al estudio del Cálculo Diferencial, principalmente al estudio de las funciones, límite y continuidad, la derivada y sus aplicaciones. Los dominios cognitivos que los objetivos proponen desarrollar, son: el conocimiento de hechos y procedimientos, la utilización de conceptos y la resolución de problemas habituales. El mayor peso está conferido al primer nivel de demanda cognitiva, ninguno se plantea el desarrollo del nivel más elevado: el de razonamiento.

Los resultados de la investigación indican que la mayoría de los estudiantes no desarrollan las habilidades propuestos en el Plan y Programas de Estudio, sólo alrede-dor de la mitad desarrollaron las habilidades: conocimiento de las propiedades bási-cas de las funciones, sus representaciones y clasificación y el cálculo de la derivada de una función polinomial, las demás habilidades muy pocos estudiantes las desarro-llaron. Esto se muestra en la tabla siguiente 5.

...continuación


159159


Tabla 5. Resultados del quinto semestre

Objetivo ContenidoDominio cognitivo

Habilidad evaluada Alcance


Un1Obj3 Funciones,

Gráfica de

funciones

Utilización de

conceptos.

Saber la

definición de

función

Bajo

Conocer las

propiedades

de las

funciones, sus

representaciones

y clasificación

Medio

Global

Un1Obj1

Medio

Un2Obj1 Límite,

Cálculo de

límites,

Continuidad

de una

función

Conocimiento

de hechos

y de

procedimientos.

Identificar

intuitivamente

el límite de

una función

Bajo

Calcular el

límite de

funciones

elementales

Bajo

Global

Un2Obj1

Bajo

Un3Obj1 Definición e

Interpreta-

ciones de la

derivada

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos.

Identificar la

definición y

las interpreta-

ciones de la

derivada de

una función

Bajo

Global

Un3Obj1

Bajo

Un3Obj2 Diferencia-

bilidad

Conocimiento

de hechos y de

procedimientos.

Reconocer

condiciones

de diferencia-

bilidad de una

función en un

intervalo

Bajo

Global

Un3Obj2

Bajo

Continúa...



160

Un3Obj3 Fórmulas de

derivación

Utilización de

conceptos

Saber el

procedimiento

correcto para

obtener una

fórmula de

derivadas

Bajo

Calcular la

derivada de

una función

polinomial

Medio

Global

Un3Obj3

Bajo

Un3Obj4 Aplicaciones

de la

derivada

Resolución de

problemas

habituales

Aplicar la

derivada para

hallar

máximos y

mínimos así

como para la

solución de un

problema

Bajo

Global

Un3Obj4

Bajo


Referencias

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...continuación


161161


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Zavaleta, A. (2008), Evaluación del currículum matemático escolar aprendido. Te-sis de maestría no publicada, México, Centro de Investigación en Matemática Educativa (cimate), Universidad Autónoma de Guerrero.



163

Parte III

¿Hacia dónde reorientar el Currículum de Matemáticas?



165

¿Hacia dónde reorientar el Currículum de Matemáticas del Bachillerato?

Crisólogo Dolores FloresUniversidad Autónoma de Guerrero

Resumen

En este artículo se da una respuesta acerca de la pregunta central de la obra: ¿hacia dónde reorientar el currículum matemático del Bachillerato? Se parte del análisis de las motivaciones de los cambios curriculares, se plantea la

dirección hacia dónde debieran orientarse los cambios curriculares, para culminar en algunas propuestas concretas de cambios curriculares en la Educación Matemática de este nivel. Estas propuestas de reorientación consideran la integración del currículum del Bachillerato al currículum de la Educación Básica, la reestructu-ración del currículum en líneas directrices que incluyan la tendiente a desarrollar el pensamiento variacional y el pensamiento lógico deductivo.

Palabras clave: Reorientación, Cambios Curriculares, Currículum del Bachillerato, Líneas Directrices, Desarrollo de pensamiento.

Abstract

This article gives an answer about the question: Where to reorient the mathematics Curriculum of the preuniversity level? It starts with the analysis of the motivations of curricular changes, it proposes the direction in which curricular changes should be directed, and also, it exposes some concrete proposals for curricular changes in Mathematics Education at this school level. The proposals consider the integration the preuniversity Curriculum in the Mexican basic education Curriculum , the restructuring of Curriculum guidelines that include develop the variational thinking and develop deductive logical thinking.



166

Keywords: Reorientation, Curricular changes, Preuniversity level Curriculum, Guidelines, Development of thinking.

Introducción

A primera vista la pregunta que da título a la presente obra parece tener una respuesta inmediata, sin embargo esto no es así, sobre todo si se asume a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática (y de cualquier otra disciplina) como un proceso integral. Sus principales componentes son: el saber, el profesor y los estudiantes, sus interrelaciones entre ellos y el contexto en el que se da tal proceso. El saber que queda asentado en el currículum propiamente dicho; los profesores quienes se encargan de propiciar que ese currículum sea aprendido, los destinatarios principales del currículum que son los estudiantes, quienes se supone son los que deben transfor-marlo en conocimiento, habilidades y valores. Por ello en primer lugar habría que analizar si los cambios curriculares son necesarios, en segundo hacia dónde orientarlos (como bien lo indica el título), en tercero cómo materializar y valorar los alcances y logros de los cambios curriculares. Estos puntos son abordados en este escrito privilegiando los dos primeros, ya que en torno a ellos se circunscribe la pregunta central de esta obra.

El currículum y la necesidad de los cambios

El currículum, es asumido como el conjunto de objetivos, contenidos, criterios metodológicos y de evaluación que los alumnos deben alcanzar en un determinado nivel educativo. Todos estos elementos están presentes en los Planes y Programas de Estudio. Sin embargo el currículum hoy día tiene connotaciones más amplias. Según Alsina (2000) el currículum puede ser: oficial, potencial, impartido y aprendido. El Currículum Oficial, también llamado planeado, es el conjunto de documentos que oficializan las autoridades educativas o asociaciones de un lugar, se encuentra en los Planes y Programas de Estudio, guías metodológicas dirigidas al profesor, etc., en él se encuentran los objetivos que el sistema educativo vigente aspira alcanzar mediante la aplicación de esos planes. El potencial lo constituyen las publicaciones docentes, libros de texto, materiales didácticos, etc., en él se desarrolla el planeado desde el punto de vista teórico y práctico. El impartido es el que el profesorado desarrolla en clase a lo largo del curso (podríamos decir que es el enseñado) y el aprendido se refiere al que efectivamente queda adquirido por los alumnos. No nos interesa en este documento abordar cuestiones generales acerca del currículum, nos interesa


167167


sólo el relativo a la matemática del Bachillerato, sin embargo es necesario contextualizar cómo ha venido evolucionando la Educación Matemática y las motivaciones de sus cambios, sucesos directamente vinculados al matemático escolar.

Los cambios continuos en el mundo han propiciado, con el paso de los años, cambios en las formas de hacer y entender la Educación Matemática. La necesidad de los cambios curriculares ha tenido varias motivaciones las más recurrentes son la mejora del aprendizaje y el desarrollo tecnológico. El escenario mundial creado después de la Segunda Guerra Mundial estaba caracterizado por una competencia constante entre las potencias hegemónicas, de este modo en el marco de la Guerra Fría, el lanzamiento del Sputnik por la Unión Soviética en 1957 tuvo gran impacto en Estados Unidos y sus aliados, al grado de provocar temor al rezago científico, estas reacciones llegaron a la educación y se inició una reforma en los planes y programas de la enseñanza de la matemática. Esta reforma estuvo fuertemente influida por la escuela francesa bourbaquista y se concretó con la introducción de la Matemática Moderna (aspectos esenciales pueden encontrarse en Piaget, Choquet, y colaboradores, 1983), en la década de los sesenta estos cambios se empiezan a operar principalmente en Francia, llegan a Estados Unidos y dada la influencia que tienen estos países, éstos llegan y se aplican en México. Sus manifestaciones más importantes consistieron en la incorporación de las estructuras matemáticas abstractas, se pretendió profun-dizar en el rigor lógico en vez de los aspectos operativos y manipulativos a través de nociones primarias de la teoría de conjuntos, la geometría elemental y la intuición sufrieron un gran detrimento. Los resultados fueron desastrosos, Kline (1990) hace una incisiva refutación de esta nueva matemática concluyendo que fue un fracaso, así lo corroboraron muchas investigaciones en el campo de la Matemática Educativa de esa época.

Este descalabro dio lugar a amplias discusiones en los años setenta y ochenta en la comunidad de educadores e investigadores de la Matemática Educativa y las miradas se dirigieron hacia la dilucidación de la actividad matemática según indica De Guzmán (1993), de ahí se centró la atención en el carácter cuasi empírico de la actividad matemática, la historicidad de la inmersión matemática y la inculturación. Por ello en la década de los ochenta toma fuerza la tendencia a reconsiderar la intuición, la manipulación del espacio y de los símbolos; sobre la base del construc-tivismo piagetiano, se considera la historia y la génesis del conocimiento matemático como elemento fundamental en la Educación Matemática. Los procesos del pensamiento matemático fueron (y todavía siguen siendo) el centro de la Educación Matemática, la resolución de problemas como objeto de investigación y como elemento esencial en dicha disciplina permeó el currículum matemático escolar en la década de los ochenta y noventa.



168

En particular en el año de 1982, los principales subsistemas de Educación Media Superior en México, sobre la base de los Acuerdos 71 y 77, homogenizan las dos grandes modalidades de Bachillerato Tecnológico existentes en ese entonces, la del Instituto Politécnico Nacional y la de la Subsecretaría de Investigación y Educación Tecnológica (Cosnet, 1988). Se define el Bachillerato como una fase de educación esencialmente formativa, con una estructura curricular formada por un tronco común, un área propedéutica y otra de asignaturas optativas para atender los intereses de los alumnos y los objetivos de la institución, para el caso del Bachillerato Tecnológico este bloque corresponde a la formación tecnológica que capacita al estudiante para el desempeño de una actividad productiva (Cosnet, 2004). Tradicionalmente el contenido matemático del Bachillerato estaba estructurado siguiendo el desarrollo histórico de la disciplina: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica, desde 1982 se incorpora la Probabilidad y Estadística para fortalecer las aplicaciones de la matemática.

La función de la matemática conservaba la influencia de la matemática moderna, dada la naturaleza tecnológica del Bachillerato, esto se percibe en el siguiente párrafo:

Es dentro de este marco de necesidades que el Sistema Educativo de Nivel Medio Superior despliega sus esfuerzos, buscando definir la función de las matemáticas en la currícula del Bachillerato esta búsqueda está abocada a encontrar el punto de congruencia entre el orden lógico que subyace en la estructura y construcción de esta disciplina y los esquemas de operación en que este orden es enseñado, de modo que el funcionamiento del Programa de Estudio no deforme la base constructiva de la matemática como disciplina científica (Cosnet, 1984: 69).

El enfoque propuesto estaba también influido por la tendencia de la enseñanza de la matemática a través de problemas, en este sentido se sugería partir de problemas de la realidad inmediata del alumno, para que a partir de la necesidad de resolverlos pudieran generarse modelos a través de símbolos.

Con base en diversos diagnósticos, los Planes y Programas de Estudio de 1982 fueron cuestionados, en Cosnet (2004) se afirmaba que los programas presentaban una excesiva carga de contenidos, que ponían más énfasis en la memorización que en la comprensión y uso de los mismos, se reconocían discrepancias entre los reque-rimientos del ámbito laboral y la estructura de los contenidos de las especialidades. Esto aunado a los insatisfactorios porcentajes de deserción, reprobación y eficiencia terminal, los retos que planteaban los nuevos escenarios socioeconómicos y culturales, en particular la sociedad del conocimiento. Todo esto propicia que se planteara en 2004 un nuevo Modelo de Educación Media Superior Tecnológica con un plan único


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estructurado de tres núcleos de formación: Básico, Propedéutico y Profesional. El Básico, que en esencia es el Tronco Común del plan anterior, está constituido por cuatro campos de estudio: Matemáticas; Ciencias Naturales; Comunicación; Historia, Sociedad y Tecnología. El Propedéutico pone énfasis en la profundización de los conocimientos que favorezcan el manejo pluridisciplinario (existencia de relaciones complementarias entre disciplinas más o menos afines) e interdisciplinario (interacción de dos o más disciplinas), de tal modo que se logre una mejor incorporación a los estudios superiores. Este núcleo se organiza en tres áreas: Físico-Matemáticas, Químico-Biológicas y Económicas-Administrativas. Las tres áreas contienen asignaturas comunes de matemáticas a saber: Taller de Matemática Aplicada (Cálculo Diferencial e Integral), Probabilidad I y Estadística II. El núcleo de formación profesional se divide en especialidades para cubrir las demandas sociales de la educación tecnológica, la dinámica productiva y de empleo que caracterizan a las diferentes regiones del país.

Recién en 2008, bajo los auspicios de la Subsecretaría de Educación Media Superior de la sep se plantea nuevamente otra reforma al Bachillerato mexicano, la Reforma Integral de la Educación Media Superior en México, conocida como riems por sus siglas (sep-sems, 2008). Son varias las razones que se aducen han motivado tal reforma, razones que se reconocen como retos: la mejora de la calidad, la cobertura, la equidad, responder a las exigencias del mundo actual y la atención a las características propias de la población adolescente. La mejora de la calidad incluye diversos aspectos como el reducir la deserción escolar, mejorar el desempeño académico mediante una formación sólida en cuanto a conocimientos, habilidades y valores.

De acuerdo con los datos de la Dirección General de Planeación y Programación de la sep en el ciclo escolar 2008-2009 se tenía a nivel nacional en el Nivel Medio Superior (nms) un promedio de 60.1% de eficiencia terminal y una deserción del 15.7%, en secundaria era de 80.9 y 6.8%, y en Primaria de 93.8 y 1.1%, respectiva-mente. Puede apreciarse que en el nms se obtiene el más alto índice de deserción y el más bajo índice de eficiencia terminal si se comparan con los obtenidos en secundaria y primaria. Navarro (2001) reporta las causas de abandono escolar de los jóvenes entre 15 y 19 años que en el año 2000 no asistían a la escuela y que en algún momento de su trayectoria escolar abandonaron sus estudios, de ellos 37.4% los abandonó porque no quiso o no le gustó estudiar y 35.2%, por causas económicas, 5.8%, porque se casó o unió; 5.4%, por haber terminado sus estudios. Es notorio que los estudiantes que abandonan sus estudios lo hagan porque no les gusta o no quisieron estudiar, quizá la escuela no satisfizo sus expectativas de desarrollo personal o no encuentran en ella un medio para mejor acomodo en el sistema productivo. No puede soslayarse la causa económica, las clases con menores ingresos están siendo



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severamente castigadas y el abandono escolar es una de sus consecuencias. Nuestra experiencia indica que las matemáticas son también causa de fracaso escolar, los altos índices de reprobación que se obtienen en esta asignatura y en ciencias, contribuyen a tal abandono, además de compartir este causal Corbalán (2000) señala otras razones que están asociados a este fenómeno, entre ellas las relaciones afectivas de los estudiantes con esta materia, pues una parte importante de los estudiantes la consideran como la más difícil y la más aburrida.

Para la mejora de la calidad se pretende lograr una formación sólida en cuanto a conocimientos, habilidades y destrezas que requerirán los estudiantes en su vida adulta así como una formación cívica y ética. De acuerdo con los datos proporcionados por el Instituto Nacional para la Evaluación (inee, 2010) en el examen pisa 2009, en cuanto al desempeño en matemáticas, México se ubicó en el lugar 51 de 65 países participantes con una media de 419. A 77 puntos por debajo de la media de los países de la ocde, a 181 puntos del máximo ocupado por Shanghai, China y 88 puntos por encima de Kirguistán, país que obtuvo el menor desempeño. Los resultados indican que México tiene a sólo 5% de sus estudiantes en los niveles altos, 44% en los niveles intermedios (niveles 2 y 3), y 51% en los niveles inferiores (nivel 1 y debajo del nivel 1). Esto significa que la mayoría de los estudiantes mexicanos sólo pueden realizar actividades de reproducción y poco menos de la mitad actividades de conexión, un porcentaje insignificante puede realizar actividades de reflexión matemática. Cabe señalar que el examen pisa no evalúa precisamente al currículum matemático escolar, sin embargo sus resultados indican que la mayoría de nuestros estudiantes no están alcanzando los mínimos desempeños en esta asignatura.

En la riems se plantea también como uno de los principales retos las exigencias del mundo actual. Estos giran en torno al cada vez más amplio universo de información a disposición, los cambios de convivencia social y participación política, medios de comunicación y las características cada vez más demandantes del mercado de trabajo. Las características propias de los adolescentes que cursan estudios de Bachillerato que son considerados en la reforma se refieren a que los estudiantes en esa etapa de su vida toman decisiones importantes, como continuar o dejar los estudios, su primer trabajo, su salida por primera vez de la casa de sus padres, sus primeras experiencias sexuales o reproductivas, etcétera.

El contexto y la dirección de los cambios curriculares posibles

Como se puede apreciar, las motivaciones de los cambios curriculares están asociadas, a su vez, a los cambios sociales y tecnológicos que la sociedad ha experimentado.


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El desarrollo científico técnico en estos últimos 60 años ha sido notoriamente vertiginoso. Por tanto el currículum escolar en general y el matemático en particular no pueden quedarse estáticos so pena de quedarse obsoletos con rapidez. La Educación Matemática tiene que responder a las necesidades de los tiempos presentes y futuros. No puede ser ajena a la globalización, hoy día y en el futuro inmediato, los mercados productivos se mueven en ámbitos mundiales y han trascendido las tutelas nacionales. ¿Qué matemáticas enseñar para que los estudiantes se pueden desenvolver en este mundo cada vez más globalizado? Los contenidos matemáticos que se enseñan en el Bachillerato mexicano prácticamente son los mismos que los que se han venido enseñando desde la década de los sesenta, cuando la globalización todavía no era un factor influyente en la educación. ¿Es esa la matemática que se debería seguir enseñando? Nosotros consideramos que no, ya que las necesidades y circunstancias actuales no son las mismas que las que prevalecían en aquella época.

Hoy día vivimos la era de la sociedad de la información o del conocimiento, se encuentra disponible una gran cantidad de información que crece y se difunde con cada vez mayor rapidez a través de las nuevas tecnologías. Las nuevas tecnologías de la información y la comunicación han invadido a la sociedad actual y también al ambiente escolar. Por eso la Educación Matemática debe incidir en la formación del individuo para que comprenda cómo la ciencia, la tecnología y la sociedad se influyen mutuamente y para que sea capaz de emplear los conocimientos en la toma de deci-siones en su vida diaria. No se puede enseñar matemáticas sólo para la memorización de datos y fórmulas, en internet se encuentra una variada y abundante información de la cual se puede disponer, por tanto hace falta privilegiar el desarrollo de los métodos y formas de pensamiento matemático (como el pensamiento lógico deductivo, el pensamiento creativo, el pensamiento numérico, el pensamiento variacional, etc.) más que el aprendizaje de una mayor cantidad de contenidos. No es posible seguir enseñando matemáticas ignorando las ventajas que brindan las nuevas tecnologías de la información y la comunicación y por tanto prescindiendo de su uso, basta con asomarse de manera aleatoria a una clase de matemáticas del Bachillerato para percatarse de que la utilización de la tecnología es todavía muy escasa.

Las computadoras, las calculadoras, internet, las videoconferencias, el software específico para la Educación Matemática como: Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad, Derive, Mathematica, Excel, Geogebra, etc., pueden ayudar a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Sobre todo para simular fenómenos, para modelar situaciones problemáticas, para la búsqueda y formulación de relaciones matemáticas, para simplificar cálculos y estimaciones, para utilizar la geometría dinámica y desarrollar el pensamiento visual, etcétera. Aunque como lo advierte Juárez “no es suficiente el uso de la tecnología para mejorar el rendimiento en matemáticas ni el



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gusto por las mismas” (Juárez, 2010: 117). En principio no se puede evitar el uso de la tecnología en la escuela y en la sociedad en su conjunto, el problema es cómo utilizarla para que el impacto en el aprendizaje y por ende en el rendimiento de los estudiantes mejore. Este es todavía un reto para quienes nos dedicamos a estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

El mejoramiento de la calidad educativa en matemáticas es una tarea imposter-gable. Todas las evaluaciones son coincidentes: los estudiantes mexicanos no están alcanzando los conocimientos ni desarrollando las habilidades y capacidades matemáticas deseables. No están pues alcanzando los aprendizajes deseados. Incluso las matemáticas pueden ser una de las causas del abandono escolar, índice que se acentúa más, justamente en el Bachillerato. El aprendizaje depende de varios factores, tales como el saber a enseñar (concretado en el currículum), el profesor, el estudiante y de las interrelaciones que se dan entre ellos. Las posibilidades reales para la mejora del aprendizaje requieren de la incidencia integral en todos esos factores.

Un buen currículum matemático escolar puede ser aquel que sea: pertinente, factible de ser alcanzado, asequible para los actores principales, vinculado al nivel educativo precedente y subsecuente, que incorpore los avances científicos logrados en Matemática Educativa, que posibilite la formación que requieren los estudiantes para el futuro (no sólo para el presente), que aporte una formación cultural y de valores. Sin embargo, la aplicación del currículum, o más bien el que se enseña en el aula, no se corresponde con el que se prevé en los Planes y Programas de Estudio, así lo concluye Valenzuela (2011), incluso nuestra experiencia indica, al igual que Giménez, Goñi, Guerrero y Velázquez (2000), que el currículum sigue siendo un gran desconocido entre los profesionales que se dedican a su enseñanza. Es necesario por tanto la capacitación de los profesores en el uso y la aplicación del currículum y todo lo que eso implica. El análisis e interiorización de los objetivos, el desarrollo de habilidades y capacidades profesionales en el uso de los métodos y medios de enseñanza, así como de los tipos y procesos de evaluación previstos. Hoy día se insiste mucho en el desarrollo de competencias en toda la educación y por supuesto en matemáticas, en la pasada reforma se insistía en el desarrollo de la habilidad para resolver problemas. Pero las evaluaciones nacionales e internacionales indican que los estudiantes del Nivel Básico y Medio Superior no alcanzan a desarrollar esta importante habilidad. De hecho en México las reformas no se han realizado considerando las evaluaciones acerca del currículum matemático escolar, incluso no existen estudios acerca de este particular. Reformas van, reformas vienen, y los resultados siguen siendo desastrosos, pues no se sabe con objetividad los alcances y limitaciones de las reformas precedentes y sin embargo se echan andar las reformas subsecuentes.


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Un estudio realizado en el Bachillerato guerrerense por Dolores y Zavaleta (2010), cuyo objetivo es justamente la evaluación del currículum matemático esco-lar, revela que menos de un tercio de los estudiantes alcanzan los objetivos previstos en los planes y programas de matemáticas. Es muy probable que esto mismo esté ocurriendo en el resto del país, esto puede obedecer (entre otras cosas) a la escasa capacitación y actualización en el dominio del currículum. Si no media un proceso de actualización y capacitación continua de profesores que contemple su planeación, ejecución y evaluación, realizado con calidad y dirigido por expertos, dentro de poco estaremos hablando de que los estudiantes no alcanzaron a desarrollar las competencias matemáticas previstas.

¿Hacia dónde reorientar el currículum matemático escolar?

Para dar una respuesta a esta pregunta es necesario, en primer término, contestarse una pregunta fundamental: ¿para qué se enseña matemáticas en el Bachillerato? Cam-pistrous y Rizo (1993) opinan que se enseña matemáticas porque es necesaria para la vida, porque es necesaria para la ciencia y la técnica, porque desarrolla el pensamien-to lógico y porque es parte inalienable de la cultura. Por su parte en los Estándares Curriculares y de Evaluación de la nctm en Estados Unidos se plantean nuevos objeti-vos sociales de la Educación Matemática, sobre la base de que la escuela es producto de era industrial y de que el sistema educativo no satisface las necesidades económicas actuales, de ahí que los nuevos objetivos sociales de la educación exigen: “1) Trabaja-dores con educación matemática, 2) Aprendizaje continuo, 3) Oportunidad para todo el mundo, y 4) Un electorado bien informado” (nctm, 1991: 3-4). De estos objetivos plantean que, el sistema escolar debe estar organizado de manera que proporcione a todos los ciudadanos recursos para la vida.

El Bachillerato mexicano caracterizado en el Artículo 37 de la Ley General de Educación, señala que el tipo Medio Superior comprende el nivel Bachillerato, se ofrece después de la Educación MediaBásica, se cursa en dos o tres años y es de carácter propedéutico para la realización de estudios superiores. La cursan jóvenes de entre 15 y 18 años, sus propósitos educativos tiene dos opciones: una de carácter propedéutico y otra de carácter bivalente. La primera proporciona una cultura general a fin de que sus egresados se incorporen a las instituciones de Educación Superior o al sector productivo (Bachilleratos generales, Bachilleratos de las univer-(Bachilleratos generales, Bachilleratos de las univer-sidades autónomas, Bachilleratos militares, entre otros). La segunda está integrada por un componente de formación profesional y otro de carácter propedéutico, encausa a los estudiantes hacia la licenciatura y proporciona una formación tecnológica



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orientada a la obtención de un título de técnico profesional (Bachilleratos tecnoló-gicos, Bachillerato del ipn, etc.). Sin embargo en la riems (2010) se propone un Bachillerato con un Marco Curricular Común, que se estructura de tres tipos de competencias: genéricas, disciplinares y profesionales, de estas dos últimas las hay, básicas y extendidas. Las genéricas y las disciplinares básicas representan la continuidad con la Educación Básica al preparar a los jóvenes para afrontar su vida personal en relación con el medio social y físico que los rodea; las disciplinares extendidas capacitan a los jóvenes para cumplir requisitos demandados por la Educación Superior en ciertas ramas del saber; y las profesionales, básicas y exten-didas, preparan a los jóvenes para desempeñarse en su vida laboral con mayores probabilidades de éxito.

Ya que el Bachillerato es el eslabón entre la Educación Básica y la Educación Superior se le confieren tres funciones: formativa, propedéutica y de preparación para el trabajo. Formativa porque proporciona una formación integral que comprende la cultura, las herramientas de carácter instrumental y de valores. Propedéutica porque prepara al estudiante para la continuación en estudios superiores a través de los conocimientos de las diferentes disciplinas. De preparación para el trabajo porque ofrece una formación que permite al estudiante iniciarse en diversos aspectos del ámbito laboral, y en su caso, su integración al sector productivo. Para cumplir con estas funciones la matemática que se requiere, según sep-Cosnet (2004) en la Reforma Curricular del Bachillerato Tecnológico, para la Formación Básica corresponden: Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo. A la Propedéutica corresponde: la Probabilidad y Estadística y la Matemática Aplicada. Por otra parte se señala que el propósito del programa de matemáticas, es que el estudiante, a partir de la apropiación de los contenidos fundamentales de la matemática, desarrolle habilidades de pensamiento, comunicación y descubrimiento que le permitan usarlos en la resolución de problemas cotidianos y ser partícipe del desarrollo sustentable de su entorno. Asimismo proporcionar los elementos de la materia requeridos por otras áreas del conocimiento.

La función de eslabón entre la Educación Media Básica y la Superior puede ver-se disminuida si no existe una verdadera continuidad entre sus planes y programas. La Reforma Integral de la Educación Básica (rieB) 2011 (sep, 2011) para el Nivel Básico ahora plantea estándares curriculares al estilo pisa y nctm, los cuales expre-san lo que los alumnos deben saber y ser capaces de hacer en los cuatro periodos escolares: al concluir el preescolar; al finalizar el tercer grado de primaria; al térmi-no del sexto grado de primaria y al concluir la educación secundaria. Se organizan en: 1) Sentido numérico y pensamiento algebraico. 2) Forma, espacio y medida. 3) Manejo de la información. 4) Actitud hacia el estudio de las matemáticas. Sin em-


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bargo en el Bachillerato se plantea el contenido, no en términos de estándares curriculares sino de contenidos clásicos: Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo, Probabilidad y Estadística y finalmente, Matemática Aplicada (Cosnet, 2004).

Hay una especie de discontinuidad entre el currículum precedente y el consecuente. Un currículum unificado entre el Nivel Básico y Medio Superior pudiera darse si los ejes temáticos y los estándares (guardadas las proporciones entre los niveles correspondientes) se prolongaran hasta el Bachillerato, sin embargo quedarían algunos vacíos al descubierto. Por ejemplo, no aparece el eje: procesos de cambio, que requiere ser desarrollado desde el Nivel Básico hasta el Medio Superior. Esta organización curricular estaría determinada por el desarrollo del pensamiento matemático, y en este sentido el pensamiento y lenguaje variacional como tal, no están presentes en el currículum. No es lo mismo estudiar: Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, como conocimientos aislados, para en el mejor de los casos aplicar las ecuaciones de las cónicas, la derivada y la integral, a la resolución de problemas; que generar estos conocimientos como una línea directriz de conocimiento a partir del estudio y tratamiento de situaciones y problemas de la variación que propiciaron su aparición y desarrollo. Para ello se necesita desarrollar un nuevo tipo de pensamiento matemático en los estudiantes que permita comprender, modelar, predecir y calcular los aspectos esenciales del movimiento, la variación y el cambio. Para ello se requiere de procesos de pensamiento matemático distintos de los que se desarrolla con la Aritmética, Geometría Euclidiana y el Álgebra, no en vano a esta parte de la matemática se le reconoce como matemática de las constantes, para diferenciarlo de la matemática de las variables que es el contenido esencial del pensamiento variacional.

Por otro lado, el desarrollo del pensamiento lógico deductivo y de razonamiento matemático queda oculto o supeditado al contenido matemático ya que no aparecen en la currícula actual el desarrollo de este tipo de pensamiento, a pesar de que en los propósitos se plantea algo al respecto en Cosnet (2004). Es necesario dedicar un espacio exclusivo para el desarrollo de este tipo de pensamiento que incluya el razonamiento inductivo, deductivo, el trabajo con proposiciones y cuantificadores, tablas de verdad, proposiciones equivalentes y análisis de argumentos. Los procesos lógicos del pensamiento son necesarios porque cumplen varias funciones, por ejemplo; ayudan a la relación transversal con las demás asignaturas, ya que no son procesos exclusivos de la matemática; cumplen la función formativa porque contribuyen a la formación intelectual del estudiante; son procesos que cumplen una función propedéutica ya que preparan a los estudiantes para sus estudios universitarios; dotan a los estudiantes de estrategias de pensamiento para la resolución de problemas



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y el uso de argumentos. Esta es una carencia del actual Plan de Estudios del Bachillerato. Existe además otra justificación asociada a la evaluación del desempeño de los estudiantes, la mayor parte de estas evaluaciones exploran el desarrollo de esta forma de pensamiento, a través del planteo de problemas y situaciones que se pueden resolver utilizando el razonamiento. Es altamente probable que nuestros estudiantes mexicanos no logren resultados mejores porque no fueron capacitados exprofeso para desarrollar este tipo de habilidades y capacidades.

A pesar de las reformas, desde la década de los sesenta, los contenidos del Bachillerato han sido prácticamente los mismos, a excepción de la introducción de la Estadística y la Probabilidad operada en 1982 para el Bachillerato tecnológico y que los demás subsistemas han seguido invariablemente. Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral, con modificaciones mínimas, son los contenidos casi invariantes. Se han propuesto cambios de enfoque, en la década de los sesenta y setenta se daba prioridad al contenido matemático tal como se había desarrollado incorporando aspectos relevantes de la matemática moderna, en la década de los ochenta se priorizaba la resolución de problemas, en la última década se ocupó el uso y aplicación de la mate-mática a través del desarrollo de competencias. Pero los contenidos, insisto, han quedado casi intactos. Así como están planteadas las reformas, se hacen evidentes las inconsistencias entre los objetivos y los contenidos. Cambian los objetivos y enfoques, pero los contenidos permanecen inalterados. La matemática debería desarrollar formas y métodos de pensamiento, y para eso se requiere priorizar estas formas de pensamiento en vez de más y más contenido. Saber matemática no consiste sólo en “almacenar” cada vez más información, se trata más bien de desarrollar formas de pensamiento matemático, eso implica centrar la atención en las ideas potentes tal como lo señala Burril (2000):

Definir un currículo creando una relación de temas que deben aprender los estudiantes lleva a una lista excesivamente larga de ideas fragmentadas donde se han perdido las conexiones, aplicaciones y el sentido. Un enfoque podría ser, presentar la matemática destacando las ideas potentes que atraviesan los contenidos (Burril, 2000: 10).

Por ello el currículum (particularmente el contenido) debiera organizarse sobre la base de esta premisa, en torno de líneas directrices que atraviesen la Educación Básica y lleguen hasta el Bachillerato. Estas líneas bien podrían ser: pensamiento numérico, pensamiento geométrico, pensamiento algebraico, pensamiento variacional, pensamiento probabilístico, pensamiento lógico deductivo.

Lo anterior enfatiza lo longitudinal del currículum, pero hace falta lo transversal del mismo. Experiencias y observaciones nuestras recogidas en Bachillerato indican


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que entre las creencias que se forjan los estudiantes está que las matemáticas poco o nada tienen que ver con el resto de las asignaturas, creencia que incluso es compartida por profesores de otras asignaturas y de los de matemáticas. Creencias como la anterior se deben a razones cognoscitivas pero también a razones curriculares. La matemática es considerada una asignatura básica, pero también cumple la función propedéutica en el Bachillerato y seguramente contribuye al desarrollo de habilidades y capacidades laborales en el mismo nivel. La transversalidad puede lograrse si se prevé en el currículum a través de mapas curriculares de relación intermateria donde sean explícitas esas relaciones con las demás asignaturas, pero también si se realizan acciones concretas en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Una de ellas deviene del significado de la matemática ligado a la realidad o con la vida cotidiana, con las aplicaciones y su uso en la resolución de problemas propios de otras disciplinas, etcétera. Otras se refieren al uso y aplicación de conocimientos, habilidades y formas de pensamiento matemático en otras asignaturas. La relación directa del pensamiento lógico deductivo para la redacción y comunicación de las ideas hace explicita la relación entre la matemática y la enseñanza de la lectura y redacción. La inducción y la deducción son formas de razonamiento necesarias en todas las demás asignaturas, en la vida cotidiana e incluso en la vida profesional. El pensamiento variacional es indispensable para entender los procesos de variación en fenómenos modelables en Física, Química, Biología e incluso en las Ciencias Sociales. El pensamiento numérico y algebraico son básicos en toda la educación, hacen falta los sistemas numéricos y el lenguaje algebraico, para cuantificar, realizar procedimientos y modelar situaciones que se tratan en las demás asignaturas.

Hoy día las Tecnologías de la Información y la Comunicación han penetrado y lo seguirán haciendo en la sociedad, la producción y a la misma tecnología. En este sentido el procesamiento de la información requiere de la Matemática Discreta ya que la matemática del continuo está cubierta por aquellos conocimientos algebraicos, geométricos, trigonométricos y de cálculo. El currículum del nms carece de este tipo de contenidos, por ello ésta puede ser una línea de contenidos que no necesariamente podrá constituir un curso por separado, sino que podría integrarse a lo largo del currículum del Bachillerato. Los estudiantes de este nivel deberían ser capaces de resolver situaciones problemáticas o problemas por medio de la utilización de estructuras de la Matemática Discreta tales como: grafos, matrices, sucesiones, relaciones de recurrencia. Así como poder elaborar y utilizar algoritmos y resolver problemas de combinatoria. Incluso se pudiese integrar un nuevo eje temático en el Bachillerato que desarrolle el pensamiento lógico deductivo en donde podrían tener cabida los elementos básicos de la Matemática Discreta.



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Reflexiones finales

Normalmente los cambios que se realizan en la actividad humana tienen la intención de mejorar, eso mismo se espera de los cambios curriculares. Haciendo una visión retrospectiva de las reformas del Bachillerato, la última reforma que aún no concluye, fue iniciada en 2008. La riems, tiene el propósito (entre otras cosas) de lograr un currículum común para todos los subsistemas de este nivel educativo. La reforma precedente fue operada en varios subsistemas de los cuales el más representativo es la del Bachillerato tecnológico y tuvo lugar en 2004, la anterior a ésta data de 1982. Sin embargo hay evidencias de que en el Bachillerato mexicano las reformas no han contribuido a tal mejora. En este documento se exhiben argumentos que sostienen esta afirmación.

Lo hemos señalado en el interior de este artículo para la mejora de la Educación Matemática el problema tiene que abordarse integralmente. No basta con sólo cambiar y adaptar el currículum a los tiempos actuales, es necesario involucrar a todos los actores del proceso educativo para que las posibilidades de éxito se incrementen. Tradicionalmente las reformas vienen desde altas autoridades de la sep, involucran a académicos, algunos profesores, científicos y otros sectores sociales, sin embargo ignoran a grupos de especialistas en Matemática Educativa (disciplina que se ha desarrollado y consolidado en México) como el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa que tiene su origen y sede en México; la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas, los Centros de Investigación y Posgrado en Matemática Educativa de las entidades federativas, por citar algunos. El National Council of Teachers of Mathematics (nctm) de Estados Unidos fue capaz de proponer los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática, estándares propuestos desde 1989 y que rigen la Educación Matemática en ese país, sin embargo las organizaciones académicas nacionales (como tales) dedicadas a estudiar esos procesos son ignoradas.

Sí los cambios curriculares son realizados involucrando a los profesores, es decir desde adentro, como lo señala Ávila (2007), conservando lo mejor de las prácticas instaladas, y buscando equilibrios “mejorantes” entre las reformas, los profesores y el aprendizaje de los estudiantes, entonces la mejora tiene más posibilidades. Las buenas prácticas han sido desdeñadas en las reformas, creyendo que lo nuevo siempre es mejor que lo anterior, o que la experiencia de los profesores no es importante. Las buenas prácticas, entendidas en el sentido de Planas y Alsina (2009), como aquellas que consiguen que se logren los objetivos del aprendizaje planificados, si son consideradas en el currículum pueden también contribuir al éxito de las reformas.


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Otro de los elementos a considerar para que las reformas puedan alcanzar cierto éxito es la profesionalización del quehacer docente de la matemática, en especial en el Bachillerato. Existen datos que indican que la mayoría de los profesores de matemáticas del Bachillerato mexicano no fueron preparados exprofeso, son: ingenieros, contadores, matemáticos, actuarios, licenciados en informática, etcétera. Por lo que tienen una formación endeble en Didáctica y Docencia. Aunque hay quienes comparten la idea de que para ser buen profesor de matemáticas basta con saber matemáticas. Esta es una posición que tiene lugar porque aún no se comparte que la enseñanza de la matemática debiera ser un campo profesional, con su propio objeto de la profesión, sus propios métodos, sus propios marcos teóricos y de actuación profesional. Existe una disciplina en México que es la Matemática Educativa la cual da cobijo a este campo profesional. El profesional de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, el Matemático Educativo, debiera tener una buena formación matemática, una didáctica y una docente adecuada, que le posibilite orientar la actividad cognoscitiva de los estudiantes de manera que efectivamente produzca aprendizaje. Sin embargo la profesionalización de esta actividad es todavía una asignatura pendiente y que sin duda está incidiendo en la aplicación de las reformas curriculares.

Los cambios curriculares, como ya lo he señalado, también requieren de procesos de capacitación y actualización permanentes y continuos. Los países con logros exitosos en Educación Matemática tienen un sistema de esta naturaleza. Los intentos habidos en México son fugaces y dependen de la voluntad política de los gobiernos en turno, ya que estos procesos no han alcanzado a institucionalizarse. En parte, creo que a esto se deben también los fracasos de las reformas curriculares. Incluso existen datos que nos hacen pensar acerca de lo contraproducente que pueden ser las reformas si no se consideran en serio a los profesores, incorporándolos a la planeación, incorporando sus buenas prácticas y sobre todo para que dominen en teoría y en la práctica, lo sustancial de esas reformas. En un estudio hecho a 60 profesores de Bachillerato López y Tinajero (2009) advierten que la escasa eficiencia en la planeación e instrumentación y la falta de conocimiento de los docentes sobre esas reformas, ha sido percibida por los profesores como una imposición y no ha representado una mejora sustancial en su práctica cotidiana.

Aparte de los profesores las reformas deben involucrar a los padres de familia y a la sociedad en su conjunto para que sean vigilantes y coadyuvantes de la aplicación de esas reformas. Normalmente las reformas involucran a los actores que tienen mayor influencia dentro de la escuela, pero omiten los actores extraescolares. El proceso educativo no empieza ni termina en las aulas escolares, de hecho, esta ha sido también una de las causas del fracaso de las reformas. Incorporar a estos sectores



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requiere de procesos de difusión, divulgación y transparencia que informen a la sociedad acerca de esas reformas, no en plan publicitario ni como una justificación política, sino en un plan de divulgación que informe y eduque acerca de lo sustancial de las reformas, que además permita a la sociedad pedir cuentas a los actores principales acerca de esos procesos. La conformación de Consejos Sociales para la Mejora de la Calidad de la Educación pudiera contribuir a que las reformas alcancen las metas deseadas.

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El Currículum en el Nivel Medio Superior y desarrollo de competencias matemáticas

Santiago Ramiro Velázquez, René Santos LozanoUniversidad Autónoma de Guerrero, Secretaría de Educación Guerrero

Resumen

En este artículo hacemos una explicación del Currículum de Matemáticas enfocado al desarrollo de competencias en el Nivel Medio Superior (nms), proponemos que dicho currículum se vertebre con los tres ejes: Sentido

numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. De tal forma que los seis cursos que se ofrecen en el nms estén articulados y encaminados a formar personas capaces de conformar sociedades del conocimiento. Documentamos que una forma de lograrlo es que los alumnos desarrollen competencias matemáticas, que les aseguren un desempeño exitoso en las diversas prácticas que realicen.

Palabras clave: Desarrollo de competencias, Currículum, Articulación en ejes, Bachillerato, Desempeño.

Abstract

In this paper it makes an explanation of the Mathematic Curriculum focuses on the competence development in the preuniversity schools, it proposes that Curriculum will be structured with the three axes: Numerical sense and algebraic thinking, Shape, space and measure, and Information management. So that the six courses offered in the preuniversity level are coordinated and aimed to train people capable of forming knowledge societies. We document that a way is that students develop mathematical skills, which assures successful performance in the various practices they perform.



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Keywords: Competence development, Currículum, Articulation into axis, Preuniversity level, Performance development, Currículum , Vertebration into axes.

Introducción

En este trabajo se hace un estudio del currículum matemático escolar en el Nivel Medio Superior, enfocado a responder a las necesidades matemáticas de los estudiantes de este nivel para integrarse a la sociedad del conocimiento. Se trata de argumentar qué competencia matemática deben lograr los estudiantes para ser ciudadanos informados, críticos y comprometidos con los más altos valores sociales (ocde, 2006).

De acuerdo con el diccionario enciclopédico Grijalbo, currículum significa Plan de Estudios o serie de estudios y prácticas de complemento y ampliación de estudios. Alsina (2000) considera que el currículum escolar está compuesto por un conjunto de documentos emitidos por las autoridades educativas o las instituciones, donde se establecen los programas de las asignaturas. Por su parte el National Council of Teachers of Mathematics (nctm, 1991) considera al currículum de matemáticas como un plan operativo donde se explican las matemáticas que necesitan conocer los alumnos, las maneras en que pueden alcanzar los objetivos curriculares y las actuaciones de los profesores encaminadas a lograr lo planteado.

Por nuestra parte sostenemos que el currículum matemático escolar comprende los programas de los diferentes cursos de matemáticas que establece el Plan de Estudio, para un determinado nivel educativo o profesión. Nos centramos en el Nivel Medio Superior (nms) que comprende alumnos de 16 a 18 años de edad. Consideramos que las matemáticas, además de asegurar el logro de la competencia matemática de los alumnos al terminar este nivel educativo, deben conformar un punto de encuentro en el que impere el interés por compartir experiencias y saberes matemáticos. Sobre esta base los referidos programas habrán de explicar los enfoques de esta asignatura y proponer los contenidos, objetivos, orientaciones didácticas y maneras de evaluar el aprendizaje de los alumnos. Otro aspecto que debe contener el currículum consiste en el perfil académico de los profesores que inclu-ye la autogestión de un plan permanente de actualización y certificación.

Afirmamos que el enfoque por competencias de los programas de matemáticas de educación secundaria (sep, 2006) y su estructura con los tres ejes: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información, debería continuar en el siguiente nivel educativo, el Medio Superior. Si bien en el Plan de Estudio vigente en el referido nivel se declara su enfoque por competencias, al hacer un breve análisis de los programas correspondientes se constata que prevalece


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el currículum en el nivel medio superior y desarrollo de competencias matemáticas

su estructura por temas. Al no vertebrar los seis cursos de matemáticas que se ofrecen en este nivel, de manera que profesores y alumnos visualicen esta asignatura con forma y concierto e inmersa en la diversas prácticas sociales, estas posiciones nos remiten a conjeturar que esta manera dispersa de estudiar las matemáticas, da lugar a un desempeño poco exitoso de los alumnos en su vida laboral y social. Así lo confirman los resultados de la evaluación 2009 de pisa (Program for International Student Assesment), en la que de los 2 700 alumnos del estado de Guerrero que participaron en esta evaluación, alrededor del 70% están en el nivel uno, catalogado como de insuficiencia. Mientras en el Distrito Federal 68% está por encima del referido nivel uno.

También debe considerarse que un currículum enfocado al desarrollo de competencias ha de considerar las condiciones de formación de los profesores y sus necesidades permanentes de actualización. En el entendido de que uno de sus compromisos consiste en acompañar a los alumnos en un proceso de integración a una sociedad del conocimiento, en la que algunos miembros de esa sociedad ya poseen la competencia matemática requerida. En palabras de Rico:

Es tarea del profesor ayudar a sus alumnos a introducirse en una comunidad de conocimientos y capacidades que otros ya poseen. Su trabajo es una actividad social que lleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del currículum de matemáticas (Rico 1998: 4).

En este sentido sostenemos que el currículum de matemáticas en este nivel educativo, enfocado al desarrollo de competencias puede asegurar a los alumnos ese tránsito hacia las sociedades del conocimiento. Por otra parte afirmamos que las condiciones de surgimiento, difusión y uso social del conocimiento constituyen un principio didáctico fundamental, para desarrollar competencias matemáticas y que los conocimientos adquieren el estatus de saber en las prácticas en las que se generan. Lo que implica que en la actividad matemática escolar los alumnos realicen un conjunto de prácticas generadoras de saberes, en las que impere la interacción discursiva entre estudiantes y profesores, en la que los primeros conforman su propio discurso matemático (Velázquez y Nolasco, 2009).

El objetivo de este trabajo consiste en hacer una explicación del currículum de matemáticas en el Nivel Medio Superior, enfocado al desarrollo de competencias matemáticas. Para lograrlo se realiza un breve análisis de los programas vigentes de matemáticas en este nivel, un estudio documental de las tendencias del currículum y una encuesta a expertos sobre asuntos curriculares, esta última actividad está en proceso por lo que no se reporta en este escrito.



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Antecedentes

Coll (2007) sostiene que una manera de comprender y desarrollar el currículum es planteándose cuatro preguntas básicas, ¿qué enseñar?, es decir qué dimensiones del desarrollo de los alumnos se pretenden activar a través de la escuela. En este sentido Rico (1998) considera que hay cuatro dimensiones principales, estas son: social, ética-formativa, cognitiva y cultural-conceptual. Además se incluyen los contenidos que se quieren construir y las experiencias formativas que se ofrecen a los alumnos. En nuestro caso proponemos la construcción de saberes conceptuales, procedi-mentales y actitudinales integrados y en movimiento. Dando lugar al desarrollo de competencias matemáticas en correspondencia con las competencias para la vida (sep, 2006). Estas competencias son para el aprendizaje permanente, para el manejo de situaciones, para la comunicación, para la convivencia y la vida en sociedad.

La segunda pregunta, ¿cuándo enseñar?, en referencia a la organización temporal del conocimiento y a las experiencias formativas que se ofrecen y exigen a los alumnos. En este sentido en la educación secundaria esta organización se hace por bloques, en tanto que en el nms se ofrece por semestres. En educación secundaria se exige a los alumnos desarrollar competencias matemáticas en correspondencia con competencias para la vida. Por su parte en el Nivel Medio Superior particularmente de la Universidad Autónoma de Guerrero (uag, 2010), se proponen aprendizajes conceptuales, procedimentales y actitudinales conformados en competencias de saber, saber hacer y saber ser.

La tercer cuestión, ¿cómo enseñar?, en referencia a las maneras de cómo está concebido el proceso formativo de los alumnos y las orientación didácticas en las que se basa el trabajo entre alumnos y profesores, encaminado al logro de los propósitos planteados. En educación secundaria se propone la planeación, gestión y evaluación por competencias, haciendo énfasis en el trabajo colaborativo y autónomo de los alumnos. De manera análoga en el nms de la Universidad Autónoma de Guerrero, se consideran ocho competencias que debe tener el profesor, en términos del dominio de los conocimientos disciplinares y de conocer a profundidad cómo se planean, gestionan y evalúan aprendizajes matemáticos.

El último de los planteamientos, ¿qué, cómo y cuándo evaluar?, que orientan y contienen un proceso de comprobación y constatación de que se están logrando las expectativas y los propósitos planteados en el currículum. En los dos niveles educativos que se vienen señalando en este apartado, se propone una diversidad de procedimientos e instrumentos de evaluación como escalas, listas de cotejo, rúbricas y prácticas.


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Ruiz (2001) considera al currículum como proceso, producto y práctica social y educativa. En el primer caso se refiere al estudio que se realiza sobre el contexto social, económico, cultural y educativo donde se inserta el currículum. El segundo consiste en un documento escrito que contiene los fines, el perfil de egreso, los contenidos, las tareas escolares y un sistema de evaluación. El currículum como práctica social y educativa se refiere al modelo curricular, su aplicación y evaluación. En nuestro caso sostenemos el diseño de un modelo curricular encaminado a formar alumnos competentes en las diversas esferas de la vida, capaces de prepararse permanentemente de manera autónoma.

Gascón (2001) sostiene que en el desarrollo curricular algunas decisiones y actuaciones docentes están determinadas por modelos epistemológicos desarrollados a lo largo de la historia de las matemáticas. Sobre esta base se espera que las situaciones didácticas diseñadas o seleccionadas por los profesores como oportunidades de aprendizaje, consideren técnicas, estrategias y métodos reflejados a lo largo del desarrollo de las matemáticas y de la Matemática Educativa.

Grant, Hiebert y Wearne (1998) sostienen que de los trabajos realizados por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos, destacan los estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática, los profesionales del profesor de matemáticas y los de evaluación para la escuela de matemáticas. Ya que las explicaciones expresadas en estos documentos, conducen a reencaminar la enseñanza, el aprendizaje, el currículum y la evaluación. Además en el primer documento se afirma que las matemáticas se deben considerar como solución de problemas, como razonamiento, como comunicación y conexiones matemáticas. Consideramos que estas posiciones reflejan un enfoque curricular hacia el desarrollo de competencias matemáticas.

Alsina (2000) hace un resumen de los diferentes trabajos sobre el currículum donde señala que diversos investigadores coinciden en identificar cuatro tipos, el Currículum Oficial dado por el conjunto de documentos que oficializan las auto-ridades educativas o asociaciones de un lugar determinado. En este documento se fijan o proponen los programas de las asignaturas, contenidos mínimos y objetivos que deben lograrse. El Currículum Potencial está integrado por publicaciones docentes, libros de texto y diversos materiales de orientación didáctica. El Currículum Impartido es el que efectivamente el profesor desarrolla en la clase a lo largo del curso. Finalmente el currículum aprendido, está compuesto por los aprendizajes y la formación logrado por los alumnos.

En todo diseño y desarrollo curricular se pueden considera estos tipos de currí-culum, de manera que lo aprendido por el alumno y sus logros en cuanto a formación como persona sean los que en los documentos se especifican, como los esperados.



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Programas de estudio estructurados por ejes

La estructura y organización de los programas de estudio en los tres ejes señalados en líneas anteriores sentido numérico y pensamiento algebraico (snypa), forma, espacio y medida ( feym), y manejo de la información (mi) hace que miremos a las matemáticas como un conjunto de conocimientos organizados sobre la base de las necesidades matemáticas de la sociedad. Estos ejes se conciben fuertemente entrelazados y pueden recorrer un ciclo completo, en este caso la Educación Media Superior. La estructura por ejes tiene potencialidades para que los profesores comprendan los programas, los consideren como una base de orientación y los instrumenten con los alumnos, en las distintas prácticas sociales en las que están inmersos los conocimientos que abordan.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

De acuerdo con el Diccionario Enciclopédico Grijalbo (1995) lo numérico se refiere a una actividad que se realiza con números, en tanto que el pensamiento algebraico hace referencia a un proceso de evolución desde un pensamiento primitivo y empírico hacia un pensamiento simbólico. Este eje hace énfasis en aspectos conceptuales, procedimentales, actitudinales y de construcción de significados propios del aritmética y el álgebra. De manera que los Programas de Estudio reflejen un resumen de estos objetos y procesos en términos de significados y usos de los números, significados y usos de las operaciones y significados y usos de las literales. Destaca además el desarrollo de habilidades de cálculo aritmético y algebraico, el estudio de funciones, modelos, patrones y fórmulas.

No obstante el tratamiento didáctico que se propone en los referidos programas, por lo general, se limita a señalar algunos ejemplos que los profesores pueden utilizar en el trabajo con sus alumnos. Si bien se insiste en el desarrollo de competencias matemáticas, poco se dice de cómo planear, gestionar y evaluar dicho desarrollo. Se esperaba que propusieran cómo desarrollar acciones mentales (Sociedad Matemática Mexicana, 2008) básicas para formar el sentido numérico y el pensamiento algebraico, como hacer y deshacer, construir reglas para representar funciones y abstraer desde los cálculos. Hacer y deshacer es una acción que significa doble implicación o bien ir de los datos hacia la respuesta o viceversa, componer y descomponer.

Construir reglas para representar funciones es fundamental para modelar o representar diversas situaciones, reconocer patrones, fórmulas y regularidades y consiste en visualizar la situación planteada y responder a la exigencia planteando diversas acciones, como las siguientes: visualizo detenidamente la situación, ¿hay


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alguna similitud con situaciones ya resueltas?, ¿cuáles son las variables involucradas?, ¿corresponde a algún tipo de movimiento que conozco?, rectilíneo uniforme, de caída libre, uniformemente acelerado, etc., ¿contiene la recursividad?, ¿tiene que ver con plus-valía o devaluación?, ¿puedo representarla a través de un modelo tabular o gráfico?

Abstraer desde los cálculos es una acción mental necesaria para el desarrollo del pensamiento algebraico, que se manifiesta cuando se identifican las regularidades inmersas en un cálculo determinado, de manera que se pueda visualizar ese cálculo con cierta independencia de los números particulares que lo conforman.

Forma, espacio y medida

Forma, espacio y medida se concibe como un medio universal donde se sitúan todos los cuerpos físicos. Lugar geométrico de todas las posibles posiciones donde se puede formar la imagen de un objeto mediante un sistema óptico, en este sentido se relacionan las figuras —dibujos, representaciones— con las imágenes que la persona concibe mentalmente. Un caso particular es el espacio métrico de cuatro dimensiones largo, ancho, alto y tiempo. En esta dirección forma, espacio y medida da cuenta del espacio físico tridimensional en el que habitamos.

En la figura 1, por ejemplo vemos una figura geométrica y una estatua, en tanto que la imagen en el primer caso puede ser un polígono, un cuadrilátero o un rombo. En el segundo caso puede ser la de un Quijote con un libro abierto y un corazón que encierran un significado socio histórico cultural, —esta escultura es el símbolo del Premio ABC Maestros de los que Aprendemos, que otorga la Organización Civil Independiente Mexicanos Primero.

Figura 1. Las figuras son las representaciones que vemos

Fuente: Tomado de Mexicanos Primero (2011).



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Compartimos la tesis de que el estudio de los apartados de este eje favorecen principalmente, el desarrollo de la competencia de argumentar (sep, 2006). ¿Cómo argumentar sin tener un desarrollo conceptual?, para argumentar es imprescindible que emerjan articulaciones conceptuales para luego clasificar, jerarquizar, describir, visualizar y abstraer. Estas son acciones fundamentales para argumentar y una manera de producir articulaciones conceptuales consiste en que los alumnos experimenten con una gran variedad de figuras, que a su vez construyan recortando y doblando papel, con plastilina, con palillos, con bloques, etcétera. De esta experimentación los alumnos pueden descubrir, por ejemplo, que dada la longitud de los lados de un cuadrilátero se puede construir más de uno. Es decir; trazar un cuadrilátero con sus cuatro lados iguales. En este caso podemos trazar al menos dos, un cuadrado y un rombo que no sea cuadrado. En tanto que si se trata de un triángulo, con tres longitudes se puede trazar sólo uno o ninguno.

Manejo de la información

En este eje destacan las gráficas y tablas para organizar información de distintas situaciones, de manera que estos medios además de ser útiles para este fin, representan objetos matemáticos. En este sentido nos referimos a la lectura y comunicación del contenido expresado en tablas y gráficas que representan funciones, datos estadísti-cos, datos deterministas y datos aleatorios. Las actividades enmarcadas en el refe-rido eje tienen potencialidades para que los alumnos desarrollen la visualización, esta habilidad matemática consiste en representar, analizar y comunicar informa-ción a través de diversos registros semióticos (Duval, 1998).

Como se puede ver en este ámbito está considerada la modelación de diferentes situaciones o fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas científicas, a fin de que los alumnos reconozcan modelos adecuados para determi-nadas situaciones y puedan transitar coordinadamente de las situaciones al modelo y viceversa.

El currículum y el desarrollo de competencias matemáticas

Sostenemos que las competencias matemáticas consisten en una integración de saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales, de modo que una persona es competente cuando hace evolucionar sus saberes al plantear y resolver problemas y tareas matemáticas que lo sitúan como matemático. Es decir, que transforma sus


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conocimientos en saberes en las prácticas donde dichos conocimientos tienen presencia. El desarrollo de competencias (ocde, 2006) se enmarca en la propuesta de formar ciudadanos de pensamiento, crítico y de gestión del conocimiento. Integrada con los más altos valores de la humanidad, como responsabilidad, solidaridad e interés por la sabiduría, criterios que se corresponden con las características del pensamiento matemático. Así lo constata la obra matemática de pensadores como Descartes, que en su discurso del método explica que no basta con tener ingenio, sino que además hay que construir un método para conducir rectamente al espíritu. De igual modo Galileo a través de sus experimentos en la Torre de Pisa y en planos inclinados, fue uno de los primeros en afirmar que todos los objetos caen con aceleración uniforme sin importar su masa, hasta concretar el modelo de la caída libre de los cuerpos con la expresión d=½ gt2, donde d es la distancia recorrida en términos del tiempo t y g es la aceleración gravitacional. Por su parte los escribas babilónicos de la primera dinastía —hace cuatro mil años— plasmaron en una pequeña tabla de arcilla la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado, como una idea de la inconmen-surabilidad y tal vez una de las manifestaciones más antiguas del pensamiento científico.

Por su parte pisa define a la competencia matemática de una manera amplia y profunda, como “La capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemá-ticos en diversas situaciones” (ocde, 2006: 74). Las acciones de plantear, formular, resolver e interpretar problemas matemáticos son integrantes de una competencia matemática, en tanto que las diversas situaciones corresponden a los contextos donde el hombre se desempeña. En la didáctica contemporánea de las matemáticas a estos contextos se les denomina prácticas sociales, entonces para que los alumnos desarrollen competencias matemáticas, hay que actuar en estas prácticas, porque es en ellas donde el conocimiento adquiere el estatus de saber. pisa se refiere a las situaciones como compras, viajes, actividades domésticas, científicas, productivas, de convivencia, por nuestra parte las ubicamos como prácticas de modelación (matematización), predicción, construcción, diseño, etcétera.

Las posiciones didácticas concebidas en los programas de estudio de matemáticas (sep, 2006), coinciden con las de pisa al ubicar a los alumnos competentes como reflexivos, informados e inteligentes lo que significa que son capaces de extraer la información de diversas situaciones, expresarla en distintos registros de representa-ción como lo explica Duval, procesar esa información y comunicarla con propiedad, utilizando los medios propios de una sociedad del conocimiento. En los referidos programas de estudio se propone el desarrollo de cuatro competencias matemáticas: Plantear y resolver problemas, Argumentar, Comunicar y Manejar técnicas.



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Consideramos que es una propuesta abarcadora y aplicable al Nivel Medio Superior, ya que los contenidos programáticos propuestos para este nivel, propios de Aritmética, Álgebra, Geometría y Cálculo pueden encaminarse a desarrollar las competencias matemáticas referidas.

El currículum en el Nivel Medio Superior y desarrollo de competencias matemáticas

Partimos de la premisa de que uno de los propósitos del nms es que los alumnos pasen de un pensamiento matemático básico a un matemático avanzado, una posibilidad de lograrlo es considerando las matemáticas vertebradas con los tres ejes ya referidos, Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En estos ejes estarán inmersos los distintos contenidos matemáticos enmarcados en el Plan de Estudios, encaminados hacia el desarrollo de las competencias de plantear y resolver problemas, argumentar, comunicar y manejar técnicas en correspondencia de las competencias para la vida.

A manera de conclusión

Consideramos que el currículum vertebrado en los tres ejes descritos en líneas anteriores y, enfocado al desarrollo de competencias puede asegurar a los alumnos la formación de la competencia matemática que los ubique como integrantes de una sociedad del conocimiento. Es decir un ciudadano informado, crítico y comprometido con los más altos valores de la sociedad. Puesto que el profesor es pieza clave en este logro se requiere que además de dominar la competencia matemática referida, sea capaz de guiar a los alumnos hacia los grupos que ostentan el carácter de sociedades del conocimiento. Finalmente sostenemos que la integración de un currículum sobre la base de los tres ejes referidos, las competencias matemáticas, las competencias para la vida y la acción de profesores miembros de una sociedad del conocimiento, conforma un modelo que encamina a los alumnos hacia esta sociedad.

Referencias

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¿Hacia dónde reorientar el Currículum Matemático del Bachillerato? Realidades y retos

Ramón Reyes CarretoUniversidad Autónoma de Guerrero

Resumen

Con la intención de contestar la pregunta: ¿hacia dónde reorientar el currícu-lum matemático del Bachillerato?, en este trabajo se contextualiza el tema en el plano mundial a través de la visión de la unesco, se identifican las

tendencias internacionales de reforma del Bachillerato, se analiza la actual reforma nacional que implementa el Sistema Nacional de Bachillerato, y con ello se plantean algunos de los principales retos que enfrenta la Reforma Nacional. En este marco se plantean algunas reflexiones y propuestas en torno hacia dónde y cómo debe reorientarse dicho currículum, aprovechando las condiciones generadas por la Re-forma, los recursos disponibles, y la disposición y programas de gobierno.

Palabras clave: Currículum matemático, Reorientación, Bachillerato, Reforma, Retos.

Abstract

In order to answer the question: Where to redirect the high school mathematics Curriculum?, in this paper contextualizes the global issue through the vision of unesco, identifies international trends in preuniversity level reform, it s discuss the current national reform that implements the National System of Preuniversity Level, and thereby pose some major challenges facing the National Reform. In this context raises some reflections and proposals on where and how to reorient the Curriculum , using the conditions generated by the Reform, the resources available, and the provision and government programs.



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Keywords: Mathematics Curriculum , Redirecting, Preuniversity Level, Reforms, Challenges.

Antecedentes

La Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura unesco en ambas declaraciones mundiales, 1998 y 2009, considera a la Educación Superior como un bien público y enfatiza que el financiamiento es responsabilidad básica de los gobiernos. Entre lo más sobresaliente de la declaración mundial de 2009 sobresale la continuidad de políticas para asegurar el acceso, la equidad y la calidad de la Educación Superior.

Se hace énfasis en que la Educación Superior (es) debe convertirse en líder social en la creación de conocimientos para abordar grandes retos mundiales tales como la seguridad alimentaria, el cambio climático, la gestión del agua, el diálogo inter-cultural, las energías renovables y la salud pública. Señala que la enseñanza debe centrarse en la interdisciplina, el pensamiento crítico y la ciudadanía activa para contribuir al desarrollo sostenible, la paz, el bienestar, en principios éticos y los valores de la democracia. Enfatiza también en la obligada capacitación del personal docente para utilizar nuevos enfoques de enseñanza, en el uso de aprendizajes abierto y a distancia, y desde luego, en el uso de las Tecnologías de Información y la Comunicación (tic).

Bobadilla (1998) en el apartado sobre el examen de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde) sobre la política de Educación Superior mexicana, proporciona una visión sintética de los resultados de los examinadores, aun cuando la misión de la ocde, a diferencia del carácter negociador como el de la Organización de las Naciones Unidas (onu) o financiador como el Fondo Monetario Internacional (Fmi), consiste en ser vehículo de comunicación, intercambio de experiencias, foro de consulta y coordinación y, sólo en casos o temas especiales, espacio para la formalización de acuerdos de cumplimiento obligatorio. La evaluación del mencionado organismo señala interesantes resultados, aquí cito algunos de ellos: a) los estudiantes efectivos de Educación Media Superior (ems) que optan por las formaciones tecnológicas y profesionales (41% del total) son una proporción menor a la que se observa en otros países de la ocde (Francia, por ejemplo alcanza 54%, Alemania 80%, Italia 71% y Suecia 74%), en relación con el escaso interés sobre la formación profesional sugieren que esos diplomas no tienen una valoración social significativa; b) sobre las trayectorias de los estudiantes, los examinadores observan la inexistencia de un examen o criterio nacional para el acceso a las formaciones


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¿Hacia dónde reorientar el currículum matemático del BacHillerato? realidades y retos

medias y superior y distinguen una fuente de inequidad en el acceso, lo cual les permite afirmar que es necesaria la revisión de los procedimientos de ingreso, convirtiéndolo en selectivo en términos de un examen y de los resultados en el Nivel Medio Superior.

Ello permitiría controlar —con equidad— los flujos de ingreso y por ende, ele-var la proporción de éxito en este nivel; c) es un sistema heterogéneo y complicado, existe una diferenciación débil, pues además que existe un número excesivo de ramas en ambos subsistemas, ellas son rígidas y sin salidas intermedias, y concluyen enfáticos: la Educación Media Superior busca preparar para la Educación Superior y las formaciones que no están diseñadas para ello están desvalorizadas en tanto que la licenciatura es la única puerta de salida del Nivel Superior.

La evaluación también señala que cuando se ingresa al Bachillerato se inicia una trayectoria cuya única perspectiva de éxito se tiene luego de ocho años, de los cuales, pasados tres, la orientación es definitiva. Por lo anterior y por las generaciones que en el futuro inmediato tocarán a la puerta del sistema de es, los examinadores hablan de un sistema bajo presión que obviamente será impactado primero en la ems. Uno así resulta explosivo, dicen los examinadores, dadas las frustraciones de quienes no son admitidos donde desearían, de quienes siendo admitidos no pueden finalizar sus estudios y entre quienes habiendo estudios menos prestigiados ven cerrarse las puertas de la Educación Superior debido a una selección que no consideran justa pues no se aplica a todos. Por otro lado, recomiendan reforzar el papel del Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior (Ceneval) en las tareas de evaluación al ingreso y a la salida del Nivel Superior. En ese marco, la evaluación del rendimiento se concibe a lo largo del proceso de formación, como una actividad colectiva por los profesores del mismo nivel. Si esa evaluación es confiable puede ser un argumen-to válido para eliminar el requerimiento de la tesis en el proceso de titulación (ocde, 1994).

Tendencias del Bachillerato

Tendencias internacionales. Las reformas del Bachillerato a nivel mundial ocurren en el marco de las vertiginosas transformaciones económicas, sociales, políticas y culturales, así como los grandes avances del conocimiento que han modificado las condiciones de vida en el mundo e incluso alteran las bases tradicionales de convivencia social.

En Europa, a través de la Unión Europea, en la ems las tendencias educativas hacen énfasis en las competencias básicas como mecanismo para enfrentar la nueva



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realidad económica que representa la sociedad del conocimiento; los países miembros de la comunidad económica europea construyen un espacio educativo común que permita la diversidad de las culturas; la tendencia es la búsqueda de competencias comunes para los estudiantes. En la reforma de la ems en Estados Unidos, Gowin (2005), considera diversos modelos de reforma: “la competencia”, en la que el estudiante tiene la misma oportunidad de éxito en la obtención del aprendizaje; “la clínica”, entendida como proceso para remediar las deficiencias de los estudiantes; y “el banquete”, en el que el objetivo de la reforma aparece como la creación de las escuelas que promueven y alimentan las capacidades y los intereses de los estudiantes. Aunque destaca que los aspectos que más afectan la reforma son la desigualdad, la segregación racial, la diversidad lingüística, étnica y cultural. En Latinoamérica, la ems tiene una duración de tres años, la tendencia en los objetivos generales del Bachillerato consiste en que son centrados en la formación integral de los estudiantes, enfatizan la preparación para la Educación Superior y para el trabajo, y están orientados a la formación de bachilleres en humanidades, ciencias y artes. En general, en todos los países la reforma pretende mejorar la calidad de la ems, se promueve el respeto de la diversidad y se trata de facilitar el tránsito y movilidad de estudiantes mediante asignaturas y/o competencias comunes en los planes de estudio.

Tendencias nacionales

El tema de una reforma para la Educación Media Superior en México se inició desde el sexenio del presidente Zedillo (1994-2000). Entre las razones para la reforma destacaba que las instituciones de Educación Media Superior y Superior, en sus distintas modalidades, constituían el acervo estratégico para el desarrollo nacional; también se enfatizaba que la calidad del Bachillerato era determinante para lograr la excelencia en la Educación Superior del país. Desde entonces, la reforma del Bachillerato y de la ems en México ha pasado por diversas experiencias fomentada por los diversos subsistemas.

Las reformas más recientes se han realizado en el Bachillerato tecnológico, que también cubrió a los Centros de Estudios Científicos y Tecnológicos (cecyt) por el sistema tecnológico federal, en el que se propuso un modelo centrado en el aprendizaje sustentado en el constructivismo, que incluía tres componentes: formación básica, formación profesional y formación propedéutica. En el Bachillerato propedéutico se han dado reformas en varias orientaciones, una fomentada por la Dirección General del Bachillerato de la sep, otra por universidades públicas tales como la unam, que incluye el Colegio de Ciencias y Humanidades y la Escuela Nacional Preparatoria, y


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la Universidad de Guadalajara; en estas reformas destacan los enfoques de enseñanza centrados en el aprendizaje fomentado por la unam, y el enfoque de enseñanza por competencias auspiciado por la Universidad de Guadalajara. El Bachillerato bivalente del Instituto Politécnico Nacional, que enfatiza la formación técnica. Por otro lado, en el Bachillerato técnico profesional auspiciado por el Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (Conalep), la reforma se centró en la flexibilidad a través de salidas laterales, pertinencia y calidad; además de la enseñanza por competencias.

Aun cuando todas estas reformas se desarrollaron de manera independiente por los distintos subsistemas, resulta posible encontrar puntos en común que señalamos en Reyes, Trujillo, Moctezuma y Mejía (2009), entre ellos destacan: tratan de atender problemas similares; se enfatiza en la innovación de la enseñanza, aunque algunos por la centrada en los aprendizajes y la otra por competencias; y se promueve la flexibilidad curricular. Y desde luego, la principal justificación y el mejoramiento de la calidad académica.

El Sistema Nacional de Bachillerato y las competencias disciplinares

El sistema educativo mexicano se compone de tres niveles: Educación Básica, que incluye preescolar, primaria y secundaria; Educación Media Superior, y Educación Superior. La planeación de los diferentes niveles está a cargo de la Secretaría de Educación Pública (sep). En el caso de la ems, ésta se distingue por su heterogeneidad institucional; la formación que cada modalidad imparte a los alumnos se diferencia por los propósitos educativos que persigue, por la estructura curricular que responde a diferentes enfoques y necesidades educativas, y por la organización y gestión escolares que propone.

Ante la gran diversidad y complejidad de los diversos subsistemas de ems, la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (anuies) y la Secretaría de Educación Pública (sep) inician en 2006 la reforma estructural de la ems en México. Esta reforma se concentra en el Bachillerato y se resume en los Acuerdos presidenciales 442, 444, 445, 447, 449, 480 y 488 por medio de los cuales se implanta el Sistema Nacional de Bachillerato (snB), en el cual se plan-tean a su vez: las competencias del Marco Curricular Común (mcc), las opciones educativas, las competencias docentes, las competencias de directores de planteles, del ingreso de planteles al snB y el acuerdo que modifica otros acuerdos previos de la ems, respectivamente.



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El mcc del snB pretende dotar de identidad al Bachillerato y tiene como base las competencias genéricas, las disciplinares y las profesionales. A través de tales competencias se establece el currículo nacional del Bachillerato. Las competencias genéricas son 11 dividas en las siguientes categorías: se autodetermina y cuida de sí, se expresa y comunica, piensa critica y reflexivamente, aprende de forma autónoma, trabaja en forma colaborativa y, participa con responsabilidad en la sociedad. Estas competencias son comunes en todos los egresados de la ems. Se señalan como competencias transversales, por ser relevantes a todas las disciplinas y espacios curriculares de la ems, y transferibles, por reforzar la capacidad de los estudiantes de adquirir otras competencias.

Por su parte, las competencias disciplinares expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que los estudiantes se desarrollen de manera eficaz en diferentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares se dividen en básicas y extendidas. Las básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del Plan y Programas de Estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de Bachillera-to; dan sustento a la formación de los estudiantes en las competencias genéricas y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, contenidos y estructuras curri-culares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias experimentales, Ciencias sociales y Comunicación.

Problemática

Como se desprende del apartado anterior, el currículo básico del Bachillerato nacional implícitamente está definido a través de la reforma al establecer el perfil de egreso común, el mcc con competencias genéricas, disciplinares y profesionales, y con ello —también implícita e indirectamente— se establece el currículo matemático del Bachillerato. Sin embargo, existen serios problemas para que la reforma logre éxito en sus propósitos. Entre los principales problemas sobresalen los siguientes: es un sistema bastante heterogéneo y complejo; falta de coordinación interinstitucional de las instituciones que lo ofertan; deficientes resultados nacionales en el logro académico de sus egresados; falta de congruencia entre los propósitos de la reforma nacional y las pruebas masivas de evaluación a estudiantes egresados; carencia de formación por competencias del personal docente y la falta de perfil adecuado para impartir los cursos asignados; necesidad de ampliar la cobertura y mejorar la calidad; riesgo a reducir el periodo de estudios y los contenidos del currículo de matemáticas;


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incoherencias entre las competencias disciplinares del snB y la evaluación del logro académico en matemáticas y, los problemas que implican adoptar las recomen-daciones de organismos internacionales como la ocde y la unesco.

Realidades y retos

Sistema heterogéneo y complejo

Según la sep, sems (2008) el Bachillerato en México se compone de varios subsistemas. En cuanto al tipo de control de las escuelas, la Ley General de Educación otorga facultades al gobierno federal y a los gobiernos de los estados. Éstos tienen atribu-ciones para organizar y operar servicios de ems. Las universidades públicas y las particulares con reconocimiento de validez oficial de estudios también tienen participación en este nivel. Las opciones asociadas a las universidades públicas se identifican como de control autónomo.

De ese modo, de acuerdo con el tipo de institución los Bachilleratos se clasifican en centralizados (Bachillerato tecnológico), descentralizados de la federación (cetis y Conalep), descentralizados de los estados (cecytes y coBacH), desconcentradas (Ba-chilleratos bivalentes del ipn) y autónomas (Bachillerato general y bivalente de universidades públicas afiliadas a la Red Nacional del Nivel Medio Superior Uni-versitario). Se trata de una forma de control y organización bastante heterogénea, que se hace más compleja por los diferentes modelos de educación, perfiles de egreso, propósitos y Planes y Programas de Estudio e incluso por sus diversos procedimientos de selección e ingreso de estudiantes y contratación de profesores. De este modo, un proceso de reforma que abarca todos estos subsistemas enfrenta serios retos que requieren de un proceso de mediano y largo plazo; pero sobre todo requiere abordar esta complejidad mediante la concertación y coordinación de las instituciones participantes, así como del apoyo efectivo del gobierno federal, sobre todo cuando se trata de responder económicamente a los consecuencias de los cambios curriculares realizados.

Falta de concertación y acuerdo nacional

Aun cuando la reforma del Bachillerato es ya un acuerdo de estado, la universidad pública más importante de México, la unam ha expresado pública y reiteradamente su no ingreso a la reforma auspiciado por la sep y, por tanto, su no aceptación a



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ingresar al snB. Actualmente, el Bachillerato de la unam ofertado por el Colegio de Ciencias y Humanidades (ccH) y la Escuela Nacional Preparatoria (enp), implementan su propio modelo educativo, es un Bachillerato básicamente propedéutico, centrado en el enfoque de los aprendizajes, con un perfil de egresado amplio y diverso; en el ccH se oferta también la formación para el trabajo en los dos últimos semestres, más un periodo de actividades prácticas que se realizan en empresas. Por el contrario, la Universidad de Guadalajara —otra universidad pública también importante— implementa desde 2007 la reforma de su sistema de Bachillerato, basado en el enfoque por competencias y similar al mcc del snB; oferta Bachillerato general y técnico, sin embargo ha enfrentado problemas serios para su desarrollo, entre los que destaca la capacitación de los docentes. La notoria falta de concertación nacional de la reforma implica no sólo serios riesgos para lograr su éxito, sino que se ha dejado perder la oportunidad de impulsar y desarrollar una reforma que trascienda más allá del perfil de egreso y del mcc, esto es, perder la oportunidad de una reforma que realmente llegue a las aulas, que impacte en los aprendizajes y en el rendimiento de los estudiantes de Bachillerato.

Formación y capacitación docente por competencias

Uno de los problemas y retos de mayor importancia e impacto en la reforma nacional del Bachillerato lo constituye la formación y capacitación del personal docente. Este reto la sep, lo está enfrentando a través del Diplomado en Competencias Docentes del Programa de Formación Docente de Educación Media Superior (Profordems), cuyo objetivo es “contribuir al alcance del perfil docente de la Educación Media Superior; constituido por una serie de competencias que el docente debe desarrollar, para promover en los jóvenes de Nivel Medio Superior los valores, habilidades y competencias que les demanda la sociedad actual” (sep, 2011). Se trata de un verdadero reto, no sólo por la cantidad de docentes a capacitar, que según la Dirección de Planeación y Evaluación de la sep, son alrededor de 5 348 docentes de los diversos subsistemas dedicados a atender a los estudiantes del Bachillerato nacional; sino también por las limitaciones en los alcances del mencionado programa. Éste se ha limitado —hasta ahora— en tres módulos, a saber: el modulo I tiene como objetivo que el docente integre a su práctica los elementos de la reforma nacional de la ems; el módulo ii se centra en el desarrollo de las competencias docentes en ems y, el módulo iii trabaja principalmente las competencias sobre gestión institucional de los docentes y directores. Esto es, no aborda la necesaria capacitación disciplinar ni


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otras competencias para el docente como el desarrollo de conocimientos y habilidades para la investigación y la interdisciplina.

Dicho programa requiere reorientar no sólo la capacitación para entender y aplicar las competencias de acuerdo al perfil del egresado, sino que también requiere —principalmente— cubrir entre otros aspectos: capacitación y actualización disciplinar, sobre todo en matemáticas a los docentes que las imparten, debido a que en su mayoría no tienen la formación profesional en matemáticas y por tanto carecen de conocimientos y habilidades suficientes; competencias para que el docente influya en la formación de un estudiante crítico y ciudadano activo y responsable; entender y desarrollar la evaluación de los aprendizajes por competencias y en consecuencia, la evaluación del logro académico de los estudiantes. Por cuanto a la capacitación del docente que imparte matemáticas en el Bachillerato resulta indispensable que el multimencionado programa retome las recomendaciones establecidas en la declaración mundial de la unesco relativas a desarrollar compe-tencias para que el docente aplique actividades encaminadas a resolver problemas reales del entorno de la escuela y del estudiante. Es decir, a utilizar las matemáticas para aplicaciones útiles de la vida real del estudiante y para que éste realmente comprenda la importancia de las matemáticas.

En el marco de la reforma nacional, el currículo del Bachillerato requiere también reorientarse fuertemente hacia el desarrollo de competencias del estudiante sobre la investigación, para facilitar al estudiante la indagación, la creatividad y el pensamiento creativo. Esta orientación junto con la de fomentar el desarrollo interdisciplinario a través de docentes asegura no sólo el cumplimiento del perfil de egreso, sino aún más amplio y también el de los ejes transversales que suelen ser característicos y propios de los subsistemas de Bachillerato.

Finalmente, la reforma nacional requiere de una necesaria coordinación interins-titucional entre todos los subsistemas para lograr el desarrollo homogéneo de competencias genéricas y disciplinares establecidas por el snB; el seguimiento y permanente evaluación de los Programas de Estudio, así como la elaboración y aplicación de métodos y materiales educativos innovadores, para que junto con el uso de nuevas tecnologías sirvan de guía a los docentes capacitados y actualizados para cumplir los propósitos de la reforma.

Cobertura y calidad

El Programa Sectorial de Educación 2007-2012 (pse) del gobierno federal en México (sep, 2008), respecto al mejoramiento de la calidad académica en el objetivo 1 plantea:



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“Elevar la calidad de la educación para que los estudiantes mejoren su nivel de logro educativo, cuenten con medios para tener acceso a un mayor bienestar y contribuyan al desarrollo nacional”. Entre las metas para la ems se propone capacitar al 100% los profesores de las instituciones que dependen del gobierno federal. Respecto a la cobertura educativa el objetivo 2 del pse señala “ampliar las oportunidades educativas para reducir desigualdades entre grupos sociales, cerrar brechas e impulsar la equidad”. Respecto a las metas establecidas se propone incrementar la matrícula escolarizada de 58.6 a 68%; y el apoyo económico mediante el incremento del número de becas de 40 060 a 250 mil. Entre los retos y problemas que enfrenta el pes, aún cuando señala diversas estrategias y líneas de acción en cada uno de los objetivos, están: no expresa cómo ni cuándo se hace o deba hacer la evaluación sobre el logro de las metas planteadas y, si lo hacen son las propias autoridades educativas quienes lo llevan a cabo y no la evaluación externa que sí aplican a las instituciones de Educación Superior a través de los Comités Interinstitucionales para la Evaluación de la Educación Superior (ciees) y el Consejo para la Acreditación de la Educación Superior (Copaes).

Sobre la base de esta premisa que todas las instituciones que ofertan Bachillerato están de acuerdo en lograr los objetivos de ampliar la cobertura y mejorar la calidad, el principal reto que enfrenta la reforma nacional tiene varias aristas. Por una parte, para mejorar la calidad utilizando la estrategia de la evaluación se necesita concertar un proceso de evaluación externa que a diferencia de las que se practican por los ciees y Copaes, se realice la evaluación de planteles y programas educativos no sólo a través de indicadores clásicos sino también el mismo proceso educativo para conocer hasta qué grado se alcanzan tanto los propósitos del Plan de Estudio respectivo como las competencias genéricas y disciplinares propias de la reforma nacional. Desde luego, el proceso también requiere de la evaluación sistemática —al menos cada año— del logro académico de los alumnos, y de la permanente evaluación del cumplimiento de los programas de estudio y del desempeño de los profesores. Una tarea nada sencilla. Por lo que se refiere a la cobertura, uno de los principales retos, sobre todo para el sistema escolarizado —que es predominante en el Bachillerato nacional— se refiere al importante incremento al gasto en la educación, puesto que se trata de incrementar la infraestructura y el personal académico que los atienda.

Riesgo de reducción del periodo de estudios

Aun cuando el periodo de duración de los estudios de Bachillerato no está considerado en la reforma para implantar el snB, existe una tendencia nacional a reducir de tres a


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dos años dichos estudios. En muchas instituciones —públicas y privadas— que ofertan Bachillerato se sostiene la idea de reducir el periodo de estudios y con ello reducir también los costos de inversión y de gasto educativo; independientemente de la justificación económica y que se esté de acuerdo o no, la reducción del periodo implicaría un efecto directo en el perfil del egresado y sobre todo en una necesaria reducción de las competencias disciplinares.

La reducción del periodo de estudios del Bachillerato puede considerarse como una tendencia actual en México. Como ejemplo de esta afirmación basta conocer que en un importante número de instituciones privadas se oferta el Bachillerato en dos años e incluso —bajo atractivas promociones de mercadotecnia— se asegura a los aspirantes concluir el Bachillerato hasta en un año, y desde luego, cuentan con autorización de la sep o de las instituciones públicas que validan sus estudios. Ahora bien, bajo el pretexto de la reforma nacional que justifica el perfil de egreso común y las competencias disciplinares básicas, y ante la falta de control así como la concertación de las instituciones existe mayor riesgo de incrementar la tendencia de reducir el periodo de estudios de tres años a dos menos.

Sobre la relación entre la reducción del periodo de estudios y la reducción del gasto de inversión pública, vale la pena mencionar que la experiencia de las reformas en los últimos años ha dejado en claro que las políticas educativas que impulsan las reformas estructurales han sido orientadas a la reducción del gasto educativo (Carnoy y De Moura, 1997; Díaz Barriga e Inclán, 2001).

El currículo matemático del Bachillerato

Los dos grandes núcleos del currículo de Bachillerato en México son matemáticas y español. El problema central en matemáticas es que el núcleo está razonado en el currículo como un conjunto de asignaturas y de temas que el alumno requiere en su formación y no como una guía elemental y necesaria para ayudar al estudiante en el razonamiento analítico. Pensado de este modo, el método de enseñanza debe ser fundamentado con principios de investigación; es decir, donde el estudiante explore conceptos y métodos para resolver problemas, sobre todo problemas reales relacionados con el entorno y la vida cotidiana del estudiante. En el marco de la reforma nacional del Bachillerato, el currículo matemático tendrá cambios necesarios derivados de las competencias genéricas y disciplinares del mcc que incluye el snB, pero además las modificaciones realizadas en los diversos subsistemas a través de los Planes y Programas de Estudio.



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En este apartado se revisa el currículo matemático del Bachillerato, usando los mapas curriculares de los diversos tipos de escuela y subsistemas para identificar las tendencias; así como se analizan los resultados de las evaluaciones de logro académico en Habilidad Matemática —producto del examen enlace a nivel nacional y por entidad federativa— con el objeto de identificar las debilidades y relacionarlas con las competencias disciplinares del mcc para conocer las posibles congruencias e incongruencias. Finalmente, se realiza una breve reflexión cuya idea es coadyuvar a reorientar el currículo matemático aprovechando las condiciones derivadas de la reforma nacional.

Tendencia a reducir los contenidos del currículo de matemáticas

En México, hasta antes de los decretos presidenciales por los que se implanta el snB se pueden distinguir dos grandes tendencias del currículo matemático en el Bachillerato. Por una parte están los planteles que dependen de la Dirección General de Bachillerato (dgB) de la sep que en su mayoría contienen en su mapa curricular cuatro asignaturas de matemáticas impartidas durante los dos primeros años, entre las que destacan: Álgebra, Trigonometría y Geometría, Geometría Analítica y Probabilidad y Estadística; para el quinto y sexto semestres consideran las optativas de Cálculo I y II. Esto es, hasta 2008, los subsistemas de Bachillerato dependientes de la dgB incluyen seis asignaturas de matemáticas. Por otra parte, los subsistemas de Bachilleratos dependientes de universidades públicas que conforman la Red Nacional del Nivel Medio Superior Universitario, que agrupa a 20 universidades del país, todas ellas incluyen en su mapa curricular cuatro asignaturas obligatorias de matemáticas, y en su mayoría incluyen el Cálculo Diferencial y Cálculo Integral como asignaturas optativas en el quinto y sexto semestre, respectivamente. El mismo Instituto Politécnico Nacional, en su Bachillerato bivalente que otorga un certificado de Bachillerato más un título de técnico profesional, incluye seis asignaturas obligatorias de matemáticas según unam (2006). En suma, en prácticamente todos los subsistemas del Bachillerato se han considerado como unos conocimientos necesarios o com-petencias de matemáticas en cada semestre de la duración del periodo del Bachillerato y, seis semestres para el de estudios.

Con motivo de la reforma e implantación del snB, las instituciones que ofertan Bachillerato están en proceso de reforma curricular. Las que están en proceso de adaptación al snB debaten cómo lograr el perfil de egreso y las competencias disciplinares básicas y extendidas, acorde a sus propias condiciones y características. Esto obedece en buena medida a que el mcc del snB establece de manera general las


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competencias disciplinares básicas y extendidas, pero no cuántas ni cuáles son o deben ser las asignaturas obligatorias en cada campo o área disciplinar, mucho menos incluye los contenidos temáticos. El vacío anterior puede analizarse desde dos perspectivas. La primera, que afortunadamente posibilitan a las instituciones establecer sus propias adaptaciones e incorporar características que les permitan identidad propia y hacer énfasis en lo que les caracteriza o por la que pretende caracterizarse, y desde luego, adaptar la reforma a su propio modelo educativo. La segunda, que se posibilita gran diversidad a las instituciones para justificar cambios radicales al currículo, incluida la reducción de asignaturas y/o contenidos de matemáticas, bajo el pretexto de sólo cumplir las competencias disciplinares básicas y/o la oportunidad para reducir el periodo de estudios del Bachillerato.

De ese modo, la reforma nacional del Bachillerato deja ciertos vacíos e impreci-siones, lo cual permite, facilita y apoya la tendencia en las instituciones de reducir el periodo de estudios, el número de asignaturas y desde luego, los mismos contenidos temáticos y con ello, el acceso a la Educación Superior de jóvenes con serias deficien-cias en matemáticas y, por consecuencia resultados pésimos en logro o rendimiento académico en las pruebas masivas nacionales, empeorando los deficientes resultados actuales. A manera de ejemplo, la Universidad de Guadalajara en su reforma curricular del Bachillerato por competencias de 2007 (udg, sems, 2008) sólo considera temáticas de introducción al Cálculo Diferencial, en lugar de una creciente explicación de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

Deficientes resultados en el logro académico de sus egresados

Los puntajes obtenidos por los estudiantes en los exámenes internacionales y la heterogeneidad institucional que presenta el sistema de ems son argumentos centrales del discurso gubernamental para impulsar la reforma en el Nivel Medio Superior para mejorar su calidad educativa. Los estudios realizados muestran que existen dos problemas principales que demandan solución: mala calidad, tomando como referencia la eficiencia terminal, la deserción temprana, y los puntajes en las pruebas de evaluación de los aprendizajes; y falta de equidad, si se equipara con el acceso y la calidad, esto es, la distancia que separa a las diferentes modalidades del nivel y entre los resultados del aprendizaje de los grupos con distinto capital social (Tinajero, López y Pérez, 2007).

Por otra parte, el gobierno federal a través de la sep aplicando la política de evaluación, reconoce en sep (2008) grandes deficiencias en rendimiento o logro académico de los estudiantes de Bachillerato, por ello entre sus metas para la



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Educación Media Superior 200-2012 está el incrementar de 392 a 435 el puntaje de calificación en el examen pisa; incrementar el porcentaje de alumnos con logro académico de al menos “Elemental” en la prueba enlace; y aumentar de 58.3 a 65.7% la eficiencia terminal. Respecto a los resultados por entidad federativa del logro o rendimiento académico de los estudiantes de ems, mostrados en la tabla 1 y publicados por la sep relacionados con la prueba enlace, particularmente a los niveles de dominio de Habilidad Matemática en 2008 y 2009, muestran un bajo rendimiento de los alumnos, predominando con 46.5 y 46.1% la categoría Insuficiente, respecti-vamente; mientras que para la categoría Elemental fueron 37.8%, en 2008 y 35.1% en 2009. Esto es, el rendimiento académico en Habilidad Matemática de los alumnos de ems el 84.3% en 2008 y 81.2% en 2009, están en la categoría de Insuficiente y Elemental, lo cual significa serios rezagos en los aprendizajes de matemáticas en dichos alumnos.

Tabla 1. Resultados nacionales. Habilidad Matemática. enlace 2008 y 2009

Nivel de dominioNúm. de alumnos evaluados

% de alumnos del último grado en cada nivel de dominio

2008 2009 2008 2009

Insuficiente 361 275 370 752 46.5 46.1

Elemental 293 704 282 571 37.8 35.1

Bueno 94 678 112 198 12.2 13.9

Excelente 26 627 38 834 3.4 4.8

Total 776 284 804 355 100.0 100.0

Fuente: Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares. Unidad de Planeación y evaluación de políticas Educativas, sep.

Competencias disciplinares del snb y el logro académico en matemáticas

Las competencias disciplinares básicas de matemáticas —de acuerdo con lo establecido en el mcc del snB y el acuerdo 444 (Diario Oficial de la Federación, 2008)— buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Al respecto se señala: Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Tales competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante


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la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias disciplinares de matemáticas son:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos mate-máticos y científicos.

Partiendo de las premisas básicas que uno de los parámetros y/o indicadores para evaluar el rendimiento o logro académico de los estudiantes al egresar del Bachillerato en México seguirá siendo la prueba enlace, y que los resultados nacionales de dichos exámenes son bastante deficientes en prácticamente todas las entidades del país, resulta necesario buscar las estrategias adecuadas para posibilitar el cubrir al menos dos propósitos adicionales a la reforma del Bachillerato: uno, relacionado a revisar y mejorar los métodos de enseñanza-aprendizaje para posibilitar mayor adherencia a conocimientos, habilidades y destrezas matemáticas en los alumnos y con ello incrementar los niveles de dominio de la matemática para asegurar el incremento en los porcentajes en las categorías de Elemental, Bueno y Excelente en el examen enlace. Y dos, buscar las estrategias y mecanismos para hacer congruentes los niveles de conocimiento, dominio y temáticas que aborda el examen enlace con las competencias disciplinares y temáticas que se abordan en las instituciones de Bachillerato; entre tales estrategias convendría establecer tres evaluaciones periódicas, una al finalizar cada año o ciclo escolar para valorar el logro en cada etapa curricu-lar y en cada una de las competencias disciplinares. De esa manera, las institucio-



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nes al conocer los resultados de la evaluación podrían implementar estrategias pre-ventivas y remediales y actuar en consecuencia para cumplir no sólo los objetivos del Plan de Estudio, sino también conocimientos y habilidades matemáticas están-dares y comparables anualmente con las demás instituciones de Bachillerato.

Para que la reforma nacional del Bachillerato logre impacto directo en el mejora-miento de la calidad de los egresados e incremente los indicadores del rendimiento académico en matemáticas, es imperativo iniciar el debate y la concertación nacional para establecer principios y estándares nacionales básicos para el currículo de matemáticas, que además de homogeneizar conocimientos y habilidades en los estudiantes, sirva de guía a los profesores en su esfuerzo para mejorar las competencias disciplinares básicas del estudiante.


El reto de asumir el nuevo paradigma del enfoque por competencias en el marco de la reforma nacional para establecer el snB, la comunidad de cada institución puede y debe hacer la reforma de manera crítica y reflexiva, en el marco del modelo educativo que asume cada institución, buscando al mismo tiempo un vínculo y coordinación con los tipos de escuelas según el subsistema al que pertenezca, para que la reforma se convierta en oportunidad para reorientar su currículo y que éste le dé identidad propia. Asimismo, la reforma puede ser útil para planificar el crecimiento y expansión de la matrícula escolar no sólo para el crecimiento de la infraestructura escolar sino tam-bién para buscar, experimentar e implementar el uso de tecnologías educativas mo-dernas tales como la educación abierta y a distancia y coadyuvar a cubrir la deman-da social y cumplir las metas de cobertura del pse. La evaluación —como estrategia nacional para garantizar la calidad académica en el Bachillerato— debe ser diferen-te sustancialmente a como se hace en la Educación Superior. Requiere reorien-tarse hacia la evaluación sistemática y anual del logro académico de los estudian-tes, pero también incluir el desempeño y competencias de los profesores, la evaluación del cumplimiento de los propósitos del Plan y Programas de Estudio y la evaluación de los planteles y sobre la gestión de los directivos.

En la pretensión de convertir la reforma del Bachillerato en oportunidad para reorientación del currículum matemático, se deben aprovechar los recursos disponibles, la disposición gubernamental y el Profordems para incluir al menos tres aspectos centrales: la capacitación y/o actualización disciplinar de los profesores encargados de impartir asignaturas de matemáticas; la elaboración y aplicación de materiales didácticos innovadores y útiles para profesores y estudiantes acordes a cada subsistema; y la evaluación de las competencias y desempeño de los profesores.


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La capacitación y/o actualización disciplinar a los profesores es crucial para incrementar los indicadores del logro académico de los estudiantes y por consecuencia la calidad de los egresados. En particular, la capacitación, a diferencia de cómo se concibe por las autoridades educativas en el Profordems, debe ser primordialmente disciplinar, orientarse a desarrollar conocimientos y habilidades disciplinares y sobre las temáticas del currículo matemático, cuestión indispensable a nivel nacional para cumplir las competencias disciplinares, dicha capacitación también requiere una visión integradora, que incluya la orientación hacia la interdisciplina para relacionar a la matemática —y sus aplicaciones— con los demás campos disciplinares del currículum, y sobre todo, que incluya el desarrollo de capacidades y habilidades en los docentes para el planteamiento y la resolución de problemas, y la aplicación de estos problemas a la vida cotidiana y del entorno del estudiante, para que el estudiante valore la importancia de las matemáticas y que éstas le sirvan para acrecentar las posibilidades reales de acceso a la Educación Superior y/o que le sirvan en el mercado de trabajo donde se desempeñen. Es crucial que la capacitación a profesores incluya principios y métodos que contribuyan a practicar la filosofía de que el estudiante debe explorar conceptos y métodos para resolver problemas. Esto es, a fomentar el pensamiento lógico, crítico, creativo y racional.

Generalmente, los procesos de reforma omiten la necesaria elaboración y uso de material didáctico que sirvan de guía al profesor y que sean de estudio y consulta del estudiante. La reorientación del currículo matemático en el Bachillerato necesita asegurar las prioridades en las temáticas, los tiempos dedicados y la secuencia, pero además, incorporar los diversos métodos para resolver problemas simples y complejos. Por ello es importante buscar la implementación de un programa nacional que fomente, realice y aplique los materiales didácticos para las asignaturas, donde además se establezcan las competencias disciplinares correspondientes.

Una vez implementada la capacitación disciplinar y la utilización de materiales didácticos, se propicia el ambiente y condiciones necesarias para valorar las funciones y resultados de los profesores mediante la evaluación del desempeño docente. Se trata de un proceso a mediano y a largo plazo, paulatino y sinuoso pero necesario, que requiere entre otros aspectos, sensibilizar el papel y el compromiso de los docentes, particularmente sobre los conocimientos y habilidades adquiridos en matemáticas que coadyuve a incrementar el logro académico de los estudiantes, y por tanto las posibilidades de continuar sus estudios en la Educación Superior debido a que prácticamente todas las instituciones incluyen en su procedimiento de selección e ingreso, los resultados obtenidos en matemáticas.



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Lectomatemática: lenguaje cotidiano vs lenguaje matemático

Ricardo Ulloa AzpeitiaUniversidad de Guadalajara

Resumen

En este escrito se describen y discuten aspectos sobre el aprendizaje de las matemáticas, observados en trabajos de investigación, así como de las expe-riencias docentes del autor. Se plantea como reflexión esencial la orientación

que debería tener el currículum matemático escolar del nivel Bachillerato. Además, se discute un problema que parece influyente para el aprendizaje de las matemáticas del nivel, esto es, el dominio pobre del español, que dificulta la comprensión del lenguaje especializado de las matemáticas y la traducción al simbólico, así como la interpretación y construcción de gráficas (lectomatemática).

Palabras clave: Currículum Matemático, Reorientación, Interpretación y construcción de gráficas, Dificultades, Cambio entre registros de representación.

Abstract

In this paper are describe and argued aspects related to the learning of Mathematics in preuniversity level. It is posed as an essential reflection, the orientation that would have to have the Curriculum for the mathematics in preuniversity level. Also, it comments are provided about the problem that seems to be influential for the lear-ning of the mathematics that is: the poor dominion of the Spanish language, what hampers the understanding of the specialized language of mathematics, and the translation to the symbolic language, in addition to the interpretation and building of graphics, that is what is called Lectomatemática.



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Keywords: Mathematic Curriculum , Reorient, Interpretation and construction of graphs, Difficulties, Changes between registers of representation.

Antecedentes

No existe discusión al respecto de la importancia y trascendencia de las matemáticas en la vida cotidiana. Tampoco sobre el peso específico que tienen en la formación de los estudiantes de Bachillerato, sin embargo, no hay una visión generalizada al respecto de cuáles son las finalidades que se persiguen con su enseñanza. Esto se aprecia en la presencia de diversos contenidos, enfoques y metodologías descritos en los diferentes Planes y Programas de Estudio vigentes a nivel nacional.

Se distingue en la historia que la enseñanza de las matemáticas ha sido acompañada, en la mayoría de los currículos, de la alfabetización básica, junto al aprendizaje de la lengua. Lo que fue necesario para el desarrollo de la sociedad industrial (Callejo y Goñi, 2010). Sin embargo, los nuevos escenarios que se enfrentan ante la globalidad y el cúmulo de situaciones que ponen en riesgo la subsistencia de la sociedad actual, implican revisar tanto para qué enseñar matemáticas, como qué matemáticas.

El análisis de los Planes y Programas de Estudio de preparatoria han tenido poca variación en cuanto a contenidos en los dos siglos pasados, excepto la modificación incluida en los años setenta, cuando los profesores, incluido quien esto escribe, fueron empujados a incluir la matemática moderna, con sólo dos semanas de capa-citación. Eso representó enseñar material que nunca se había encontrado en la propia formación.

Si antes los profesores trataban de repetir las mejores cosas que aprendieron de sus maestros, con el cambio de contenidos se anuló tal posibilidad. Lo anterior propició que una gran cantidad de docentes continuaran incluyendo en sus clases los mismos contenidos que siempre habían impartido en su carrera magisterial, según se podía constatar en los comentarios vertidos en las reuniones de academia, así como cuando se iniciaba un curso y se interrogaba a los estudiantes sobre lo trabajado en el anterior.

Además, la modificación fue condimentada con la adopción del enfoque conduc-tista y el empleo de la tecnología educativa. Sus efectos fueron muy diversos, pero igual se pudo constatar, según las vivencias de este autor, que los profesores siguieron enseñando como siempre lo habían hecho. Claro que todos debieron elaborar programas con detalle sobre objetivos, generales, específicos, particulares, etc., pero la esencia de su trabajo no fue estrictamente afectado.


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lectomatemática: lenguaje cotidiano vs lenguaje matemático

Cuando apareció la calculadora de bolsillo por ejemplo, se generó la polémica que aún subsiste sobre dejar a los alumnos usarlas o no, situación semejante a la actual, respecto de permitir el uso de las computadoras. En cierta institución de renombre, se indicaba a los alumnos de nuevo ingreso la obligación de contar con una laptop; podían usarla para todo tipo de tareas, excepto en los exámenes; la solución era elaborar diferentes tipos de evaluación, pero en muchas escuelas prevalece la cultura de que sólo se puede calificar con exámenes.

En la década de los ochenta, el movimiento de “retorno a las bases” influyó para cambiar contenidos matemáticos de los Planes y Programas de Estudio; la influencia de los autores de la tendencia de la didáctica crítica pesó para que muchos programas dejarán de usar el paradigma conductista y se observó la presencia de aspectos cognoscitivistas, notoriamente la idea de emplear mapas conceptuales. Todo lo que pareciera conductista fue criticado y modificado.

Más notablemente, a finales de los ochenta y en los noventa, las ideas del paradigma constructivista permearon los Planes de Estudio, si bien, se observaron bastantes variaciones debidas a las diferentes interpretaciones de tal enfoque, dado que no existe una sola tendencia. Posiblemente el constructivismo social es el que más frecuentemente se ubica en los documentos oficiales. En esa época también fueron influyentes los estándares generados por el National Council of Teachers of Mathematics.

Sin embargo, al circular por los pasillos de los salones de clases y observar las prácticas de los profesores de matemáticas, aún se observa que predomina la clase conferencia. Los programas pueden indicar ciertos enfoques, pero los docentes imparten sus cátedras como pueden o quieren. Los mecanismos de supervisión son escasos; en algunas instituciones se observa la aplicación de exámenes departa-mentales, que más que buscar beneficios académicos, se emplean para evaluar y presionar a los profesores a cubrir los contenidos especificados en la planeación.

De la información obtenida de encuestas aplicadas a diferentes grupos de profesores de diferentes locaciones del país, al inicio de cursos de capacitación impartidos por el autor, se percibe que no existe una clara conciencia de la posesión, de la existencia ni de lo que implica el marco teórico que sustenta su práctica profesional. Se distingue la lógica de la matemática como la estructura sobre la que se definen los procesos de instrucción, mas no se visualiza cómo ocurre o cómo se propicia el proceso de aprendizaje.

De igual forma, se ha observado que el uso de las tecnologías en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas es escaso en términos relativos. Se observa el empleo de sistemas para procesar operaciones algebraicas (cas por sus siglas en inglés), algunos programas para graficar, especialmente los que son gratuitos,



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sistemas de geometría dinámica, de uso más frecuente en los últimos años por la aparición de Geogebra sin costo, cuyo empleo se denota en las presentaciones de trabajos en foros académicos.

Un elemento que empezó a presentarse con la masificación del uso de internet, es el empleo de opciones que originalmente fueron construidas para el trabajo en modalidad a distancia y de manera muy reciente, el empleo de las redes sociales, cuyo efecto aún está por determinarse. Para concluir el relato, en este siglo se ha observado que la recomendación de la sep de transformar los Planes y Programas de Estudio hacia el enfoque dirigido a la formación de competencias, está cada vez más presente en los documentos oficiales.

Parece importante tener en cuenta que cuando se dan los procesos de reforma, es cuando puede aprovecharse para transformar la práctica docente, pues los cambios administrativos provocan una cierta ansiedad que los sensibiliza para hacer modifi-caciones en su accionar, ante la incertidumbre respecto a su estatus laboral. Si no se explota el momento y los profesores perciben que no hay presión, entonces vuelven a la misma rutina, pues es más fácil seguir haciendo lo mismo, que tener que estu-diar y prepararse para hacer las cosas de manera distinta.

Problemática abordada

Se tienen noticias de que existen muchas opciones diferentes de Planes de Estu-dio de Nivel Medio Superior, oficialmente aprobadas. Una consecuencia de tal situa-ción es el obstáculo que representa para la movilidad estudiantil, caso aún más com-plicado para estudiantes provenientes de instituciones del extranjero, con certificados parciales, situación frecuente para hijos de emigrados a Estados Unidos que regresan a México.

La problemática generada por la versatilidad en los Planes y Programas de Estudio, implica que los estudiantes enfrenten trabas administrativas para ingresar al Nivel Superior, como las académicas, cuando son admitidos en una institución diferente a aquella en donde cursaron la preparatoria. Cabe mencionar que la multiplicación de opciones de estudio de Nivel Superior, ha contribuido a disminuir un tanto la imposibilidad de ser admitido a otra institución nacional, ubicada en entidades federativas diferentes a aquella donde se estudió.

En diversas instituciones del país se han efectuado reformas a sus Planes de Estu-dio de Bachillerato, con variados resultados. Igual que en todos los niveles, se obser-va una tendencia a abrazar el enfoque dirigido a la formación de competencias, cu-yas características han causado una cierta ansiedad entre la comunidad magisterial, por resultarles confuso el alcance del concepto mismo de competencia.


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No obstante que existe una amplia bibliografía actualizada para informarse al respecto del enfoque de competencias (Argudín, 2005; Callejas, 2005; Garduño y Guerra, 2008; Perrenoud, 2007; Tobón, 2006; Villa y Poblete, 2008; Zavala y Arnau, 2007), parece notoria la poca información que tiene el grueso de la comunidad magisterial al respecto.

En otro orden de cosas, es común escuchar que a la gente y particularmente a los estudiantes de Bachillerato, no les gustan las matemáticas. El origen de esta situación tiene diferentes raíces, una es la misma tradición, pues cuando un chico escucha decir a alguno de sus padres que detestan la materia o que eran muy malos para aprenderla, automáticamente le proporcionan una excusa o mueven algún resorte inconsciente en su mente, para no ser proficientes en su aprendizaje.

Otra fuente de descontento es la incomprensión del lenguaje que se emplea en matemáticas, semejante al caso de no dominar un idioma, cuando se viaja a otro país y la gente no entiende lo que se les pregunta, la incomunicación es desesperante, por más que se desea traducir al propio lenguaje, resulta imposible al no existir esquemas que lo permitan, lo que suele atribuirse a las deficiencias en la educación previa.

De manera similar, a despecho de que un estudiante haya memorizado todos los contenidos de un tema para presentar un examen, si no entiende lo que se le solicita, puede responder cosas maravillosas, mas no las que se esperan de él, lo que se refleja en su calificación y puede ser catalogado como deficiente. Puede ser que entienda el significado de todas las palabras de la expresión recibida, pero al integrarlas para que tengan sentido en el lenguaje especializado de las matemáticas, pierdan el sentido correcto.

Es una constante observar que quienes obtienen malas calificaciones en mate-máticas, tienden a evitarlas, así como carreras en las que tengan que estudiarlas. También es una referencia común que las matemáticas suelen funcionar como un filtro que provoca que muchos estudiantes abandonen los estudios al no lograr acreditar las materias que implican su dominio.

En muchas ocasiones, el problema se presenta por incluir palabras que presentan polisemia, de las que adoptan el sentido que puede parecer más cercano a su cotidia-nidad, pero no el correcto (figura 1).

La posterior traducción al lenguaje simbólico matemático representa otro obstáculo epistemológico difícil o ya imposible de saltar, lo mismo que interpretar o representar gráficamente (figura 2).

Lo anterior acarrea que no se logren construir los modelos matemáticos que facilitan la solución de los problemas cotidianos y dan sentido al aprendizaje de la materia. Claro que puede observarse que algunos estudiantes logran emplearlos de manera mecánica, pero su creatividad para aplicarlos en otros contextos es muy



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reducida, lo que crea un serio problema de transferencia, pues constituye la herramienta indispensable para desempeñarse en otras materias.

Figura 1. Un problema de lenguaje

Fuente: Tomado del Periódico Mural de Guadalajara.

Figura 2. Procesos de construcción en el aprendizaje de las matemáticas


Es indiscutible la importancia que tiene para los estudiantes el conocer e inter-pretar los modelos matemáticos que están implícitos en economía, salud, ecología, etc., para analizarlos desde el tamiz de valores como justicia, equidad, solidaridad.


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En tal sentido, se ha acuñado el término Lectomatemáticas para denotar el estudio de los obstáculos que origina la traducción del lenguaje materno al especializado de las matemáticas, el paso al simbólico y viceversa, así como de los procesos de modelaje matemático.

Otra situación que se requiere superar es que se distingue una escasa cultura de trabajo en equipo, por lo que es indispensable disponer condiciones para que los profesores se atrevan a experimentar cosas diferentes, especialmente con la media-ción de la tecnología, pues resulta claro que si algo cambiará en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, tendrá que ser con apoyo de la tecnología.

Problema de lenguaje

Existen estudios que muestran la presencia de obstáculos para los estudiantes, relacionados con la estructura del lenguaje, atribuibles a las raíces etimológicas de las palabras del lenguaje especializado de las matemáticas, por ejemplo, para lectores de habla inglesa, cuadrilátero tiene un significado más oscuro que para alguien que hable una lengua romance como el español (Han y Ginsburg, 2001). Se calcula que esta situación no es exclusiva de un lenguaje y quizá sea generalizada, aunque el tipo de idioma puede tener influencia en la magnitud del obstáculo.

En la búsqueda de opciones para propiciar mejores resultados de aprendizaje, se ha diagnosticado la calidad de interpretación de conceptos matemáticos por parte de estudiantes de Bachillerato de diferentes poblaciones del país, instituciones públicas y privadas, la que ha resultado pobre o bien, meramente superficial, especialmente con los alumnos de bajo rendimiento, pues se distingue que pueden repetir las definiciones, pero no explicar su significado ni el sentido de emplearlos en diferen-tes ámbitos, particularmente cuando se presentan en el contexto de problemas expre-sados en palabras.

Como resultado de estudios realizados en el contexto de las actividades de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas (mem) de la Universidad de Guadalajara (Márquez, 1998; Ulloa, 2006; Martínez, 2005; Camelo, 2005; Lomelí, 2005; Montalvo, 2006; Torfer, 2009; Tavares, 2010), se han identificado elementos lingüísticos que representan obstáculos de aprendizaje, no cabalmente distinguidos por los profesores, que en consecuencia, no toman providencias para evitarlos. Desafortunadamente eso ocurre en todos los niveles, aún con ciertos alumnos del posgrado, que por lo general, son profesores en ejercicio.

Por ejemplo, en la parte clínica de tales investigaciones se ubicaron bastantes términos, tales como factor, elemento, razón, proporción, ecuación, variable, etc.,



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para los que proponen interpretaciones diversas desde su lenguaje cotidiano. El trascendente concepto de ecuación representa para la mayoría de estudiantes, una operación, un procedimiento, un problema que debe resolverse.

Otro aspecto que se ha ubicado como determinante de obstáculos de aprendizaje y en particular de lectocomprensión, es el empleo de términos que presentan polisemia, lo que dificulta a los estudiantes entender el sentido pertinente al ámbito de las matemáticas. Por ejemplo, la idea de función, en el estudio clínico sugiere que es una presentación, como un show o la exhibición de un circo.

Otro ejemplo de polisemia es la palabra razón, que tiene múltiples interpretaciones, diferentes al sentido matemático y que cotidianamente causan obstáculos a los alumnos. La interpretan como “una justificación” o “explicación”, de ahí la dificultad de entender a qué se refiere la “razón de dos números” o entender qué son funciones racionales.

Incluso las interpretaciones disímbolas se propician por los sentidos que tiene un mismo concepto en diferentes ramas de la materia, como el concepto de hipótesis, que se define en estadística y en el ámbito de la investigación, como una proposición que se pretende comprobar empíricamente, en cambio, en geometría es aquello que se da como dato para una demostración.

Es posible que el descuido o abandono total del estudio de las etimologías haya propiciado que los términos matemáticos aparezcan a los estudiantes como palabras meramente arbitrarias que no acarrean un significado inherente. Etimologías era una materia incluida en los planes de Bachillerato, que ahora no es común encontrar.

Desde esa perspectiva, se experimentó como alternativa didáctica proporcionar entrenamiento a estudiantes de Bachillerato para mejorar su lectocomprensión del idioma y en particular, del especializado de las matemáticas, para lo cual se instru-mentó una secuencia de aprendizaje con la que se impulsó el empleo de diccionarios en línea, aunque también hicieron uso de herramientas de internet.

Si bien los resultados de aprendizaje de los sujetos del grupo experimental fueron mejores que los del grupo de control, no se registró diferencia estadísticamente significativa, posiblemente debido a la presencia de imponderables en el trabajo que obstaculizaron el experimento, tales como los horarios restringidos para experimentar, a la hora de salida cuando los alumnos ya tenían hambre, que fue trabajo adicional, etc., pero el seguimiento hecho a los primeros parece mostrar bondades, lo que sugiere continuar esa línea de trabajo.

La insistencia se justifica, parafraseando el trabajo de Duval (1995), en razón de que parece lógico suponer que los estudiantes que se vuelven capaces de comprender y traducir entre diferentes representaciones de un problema o de algún concepto, y logran reconocer las implicaciones de una a otra representación, se apropian de


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herramientas que tienen un carácter flexible para aplicarlas a otros problemas y potencialmente a otros contextos, lo que permitiría incidir sobre el serio problema de la transferencia de conocimientos.

Sin embargo, el problema no se restringe al empleo del lenguaje por parte de los alumnos, también se realizaron observaciones con profesores. Por razones obvias, el número de sujetos entrevistados fue pequeño. Originalmente no se tenía planeado incidir sobre el efecto que produce el empleo del lenguaje por parte de los profesores, pero ha resultado patente su influencia en la propia construcción de significados por parte de los alumnos.

De las observaciones realizadas durante entrevistas clínicas con docentes, se puede concluir que el lenguaje que emplean, en buena parte no es comprendido por los estudiantes. Eso induce a ampliar el trabajo y abrir una línea para estudiar de manera particular el uso del lenguaje por parte de los profesores de matemáticas, lo que podría constituir una fuente importante que contribuye a generar problemas de aprendizaje.

Análisis, discusión y propuesta

Análisis

El análisis de las raíces de las palabras puede representar el equivalente a la descom-posición genética de un concepto introducida por Dubinsky (citado en Roa-Fuentes y Oktaç, 2010), para referirse a la descripción de sus diferentes aspectos y relaciones con otros conceptos, en términos de esquemas, sustentado en las construcciones mentales que hacen los estudiantes.

La alternativa a los mencionados procesos de análisis etimológico y descomposi-ción genética, desde la visión derivada de las observaciones realizadas a lo largo de los estudios mencionados, es propiciar situaciones en las que realicen una negociación de significados de los conceptos matemáticos estratégicos, es decir, provocar el proceso personal de sémiosis por parte de los estudiantes para superar los obstáculos que enfrentan en el modelaje de problemas expresados en palabras, pues finalmente son los que deben resolver en su vida cotidiana.

En ocasiones, lo obvio es a veces lo más descuidado y el uso del lenguaje cotidiano, tanto por docentes, como por alumnos, genera muchas más complicaciones de las que perciben o alcanzan a distinguir. Si un alumno no entiende lo que se le pide, es posible que responda cosas grandes y maravillosas, pero no lo que es necesario para que avance en el aprendizaje o desarrolle las competencias deseadas. Pero también,



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parafraseando a Bachelart (1948) “Los profesores de matemáticas no entienden que no se entienda”.

El profesor puede hablar en un idioma que refleja su experiencia y formación previa, que seguramente tiene diferencias con el que emplean sus alumnos, quienes deberán invertir cierta energía en decodificar lo que escuchan o leen. Tal inversión de energía los coloca en posición de desventaja respecto a aquellos alumnos que “hablan” el mismo “idioma” que el docente. (Desde luego que éste no es el único factor que influye en el aprendizaje, pero es crucial por el efecto de conexión que se requiere entre el profesor y el alumno).

Ante tal problema de comunicación, es difícil que los estudiantes de matemáticas desarrollen lo que solicita su profesor, situación que se exacerba cuando se asignan a los estudiantes problemas desprovistos de contexto. Quizá el ambiente escolar no sea el mejor para la construcción de significados matemáticos, pero surge la cues-tión de cómo explicar que algunos estudiantes si tengan éxito.

A despecho de múltiples intentos y de experimentar variadas propuestas didácticas, el aprendizaje de las matemáticas continúa como un problema vigente, probable-mente en cualquier país.

La reflexión sobre las diferentes observaciones realizadas en los estudios mencionados, impele a considerar que el nivel de dominio del lenguaje materno en el proceso de traducción al lenguaje especializado de las matemáticas y viceversa, así como al simbólico y gráfico, es esencial para los resultados de aprendizaje de la materia. Esta importancia puede observarse aún en obras clásicas (Vigotsky, 2005; Bachelart, 1948) así como reiterados en trabajos realizados en el contexto regional, referidos antes.

Tiene una gran relevancia desarrollar competencias matemáticas para la formación de individuos valiosos para la sociedad, a causa de la presencia de elementos de pensamiento crítico que les permitan comprender la sociedad donde se desenvuelven.

Discusión

Dadas las tendencias observadas en el país, se puede suponer que predominará el enfoque dirigido a la formación de competencias y es muy probable que se concrete la idea de contar con un Plan Nacional de Bachillerato que homogenice los contenidos, como sugieren algunas versiones, aunque incluya opciones de flexibilidad para atender las circunstancias particulares de cada región.

Sin duda alguna, será difícil que solamente con opciones de enseñanza tradicional, cambie la situación de bajo rendimiento que se observa en el entorno nacional, la


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incorporación de la tecnología debería ser la palanca que eche a andar el engranaje de los talentos que ciertamente existen en el medio, pero que no logran aflorar por las pobres circunstancias que privan en la actualidad.

Se distingue el proceso de enseñanza como distinto al de aprendizaje, no obstante vinculados. Aunque se trata de una cuestión que podría ser más bien semántica, se postula que lo que hace cualquier profesor es proporcionar instrucción y sólo cuando ésta se traduce en aprendizaje, es que se da la enseñanza, de otra forma sólo hay instrucción. También debe remarcarse que cualquier reforma curricular que no sea acompañada de una capacitación docente está condenada al fracaso.

Es muy probable que el principal daño que se originó en el ámbito del aprendizaje de las matemáticas con la adopción de contenidos de matemática moderna, haya sido el abandono del estudio de la geometría, pues se privó a los estudiantes de la herramienta más intuitiva con que pueden contar, según Vladimir Boltiansky (1991), en matemáticas todo es geometría. El famoso grito de Dieudonné, al principio de los sesenta ¡Abajo Euclides! repercutió en que desaparecieran casi por completo, los contenidos de geometría en el Nivel Medio Superior.

Este espacio sería reducido para hablar de las implicaciones de esa rama, baste recordar que las raíces de las matemáticas están ligadas al nacimiento de la geometría de los antiguos griegos. Hasta cierto punto ha existido una irresponsabilidad de las autoridades educativas al decretar reformas que no fueron acompañadas de adecuada capacitación a los docentes ni seguidas de una evaluación para determinar sus efectos y decidir su permanencia o modificación.

En otras latitudes, tal reforma modernista ya estaba siendo desechada y en las pláticas con colegas de la materia se escuchó que la mayoría continuó enseñando los temas que siempre habían incluido. El hecho de que también se modificaran los planes anuales para trabajar por semestres, también provocó descontrol entre los profesores. En esa época, la cultura de evaluación y autoevaluación era escasa o no existente, quizá se hubiese evitado alargar el fracaso educativo y muchas frustra-ciones, si se hubiesen previsto mecanismos para sopesar los resultados que se obtenían.

Respecto al lenguaje, se han estudiado las dificultades en el proceso de traducción en diferentes niveles educativos y áreas de la matemática: Álgebra, Geometría Eucli-diana, Probabilidad y Estadística, y Cálculo Diferencial. Es seguro que existen otros factores que afectan el aprendizaje de la materia, pero es evidente que si no se supera el problema de la traducción, los resultados seguirán pobres, pues si los estudiantes no entienden lo que se les pide, no podrán obtener los niveles deseados de aprendizaje.

Entre los elementos que han sido comprobados en los diferentes sitios que se ha investigado y que la literatura corrobora, se cuenta la importancia del contexto. Las



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ideas que giran alrededor de la línea denominada aprendizaje situado, parecen tener bastante importancia para explicar las dificultades que se observan en los procesos de traducción entre el lenguaje materno y el lenguaje matemático, así como un sustento teórico para encontrar alternativas que permitan mejorar la situación.

Se insiste en la necesidad de incorporar opciones tecnológicas en la enseñanza de las matemáticas. El pretexto de que no existen condiciones para que los profesores diseñen los materiales se solventa con la integración de Bancos de Objetos Para Aprendizaje (opa), dispuestos para el uso de cualquier profesor.

Los opa son elementos de un nuevo tipo de instrucción basada en la computadora sustentada en el paradigma de la ciencia computacional orientada a objetos. Esta orientación a objetos valora grandemente la creación de componentes (llamados objetos) que pueden ser reusados en múltiples contextos (el símil del LOGO). Esta es la idea fundamental detrás de su uso: los diseñadores instruccionales pueden emplear pequeños componentes (en relación con el tamaño de todo un curso) que pueden ser reempleados un número de veces en diferentes contextos de aprendizaje.

Adicionalmente, los opa generalmente son considerados como entidades digitales distribuibles vía internet, lo que significa que cualquier número de personas podrían tener acceso simultáneo a ellos (en oposición a los medios instruccionales, proyector, cañón, videos, etc., que se tienen en un sólo lugar en un cierto momento).

Más aún, quienes incorporan los objetos para aprendizaje pueden colaborar o beneficiarse de nuevas versiones. Éstas constituyen diferencias significativas respecto a los recursos instruccionales que existían previamente.

En apoyo a la idea de trozos pequeños, reusables, de medios para la enseñanza Reigeluth y Nelson (1997) sugieren que cuando los profesores tienen accesos a tales materiales, a menudo los separan en sus partes constitutivas y luego los rearman de manera que apoyen sus metas particulares de instrucción. Ésta es una razón por la cual componentes reutilizables, por ejemplo los opa, pueden proporcionar beneficios ins-truccionales: sí los instructores reciben recursos como componentes individuales, el paso inicial de descomposición puede ser omitido, incrementando potencialmente la velocidad y eficiencia del desarrollo instruccional.

Propuesta

Desde la concepción de aprendizaje detrás de la propuesta, se considera que la apropiación e internalización del conocimiento por parte del estudiante, ocurre cuando, mediante actividades derivadas de situaciones adecuadas, puede interactuar sobre los objetos de conocimiento previstos.


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Así, la tendencia en la enseñanza de las matemáticas de Bachillerato debería incorporar como elementos esenciales los siguientes, sin que el orden implique una importancia:

i) El empleo de las nuevas tecnologías, su presencia en todas las actividades sociales entraña la necesidad de que en las aulas donde se desarrollen los cursos de la materia, presenciales o virtuales, se emplee como apoyo para facilitar el aprendizaje.

ii) Guías de estudio, como mecanismo para sistematizar el trabajo docente, de manera persistente y no sólo mientras se tiene el recuerdo de alguna actividad de capacitación.

iii) Liderazgos académicos, propiciados por condiciones institucionales que abran el camino hacia opciones de calidad académica.

iv) Enfoque didáctico común para sistematizar el trabajo docente.v) Empleo adecuado del lenguaje.vi) Desarrollo de competencias matemáticas.vii) Trabajo de academia, que dé pauta al trabajo colaborativo.

Uso de nuevas tecnologías. Es insoslayable atender la necesidad de llevar las nuevas tecnologías al aula, es inconcebible que en la vida cotidiana se empleen más elementos que los que se encuentran en clases. Existen opciones económicas y de alternativas producidas por la comunidad de Matemática Educativa, que podrían incorporarse sin gastos excesivos. En cualquier evento académico suelen presentarse opciones, muchas de ellas probadas como eficientes mediante trabajo de investigación experimental, pero que no trascienden al pequeño círculo del productor.

Entre las opciones tecnológicas debería estimularse la construcción de ambientes de aprendizaje con las características de opa, que constituyan alternativas atractivas para los estudiantes. Se recalca atractivas, pues en la literatura suele indicarse que las situaciones de aprendizaje deben ser cercanas a la realidad de los estudiantes, pero si dicha realidad es desagradable, más bien puede propiciar rechazo hacia la materia, algo que con demasiada frecuencia se observa de antemano en muchos alumnos.

Guías de estudio. Entendidas como manuales que estructuran los esfuerzos de estudio e intentan mejorar el aprendizaje a ser derivado de los materiales de estudio, sugiriendo a los estudiantes una secuencia dosificada para trabajarlos (Duchastel, 1983; Ulloa, Pantoja, Nesterova y Radillo, 2007).

Se plantea que la guía de estudio constituye un marco de referencia para el curso y puede ser considerada como la descripción de un sistema de enseñanza. Puede



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agregarse que representa para el profesor, una herramienta para la administración del curso y el desarrollo de contenidos. Por otro lado, constituye una opción para el diseño de ambientes de aprendizaje interactivos, particularmente cuando se diseñan en hiperlenguajes que favorecen la interacción.

La construcción de guías de estudio es útil no sólo para uso del alumno, sino también, para los que participan en el diseño, administración y seguimiento del curso. También suelen encontrarse en la literatura educativa referencias al respecto de lo deseable de desarrollar en el alumno una capacidad autogestiva (Palincsar y Brown, 1986), tanto en la modalidad escolarizada, como en las opciones abierta y a distancia.

Liderazgos. En tal sentido debe fomentarse la presencia de liderazgos académicos, es decir, aquellos que se atrevan a hacer cosas distintas deberían ser estimulados desde las instancias oficiales, mediante programas que reconozcan sus logros, aun cuando no se retribuyan económicamente, aunque ese sería un escenario deseable. Si bien, idealmente la producción de calidad debería emerger de la academia, la historia muestra que usualmente debe aparecer un líder que arrastre a los demás.

Esa es una situación que desafortunadamente no ha sucedido en el país, existe gente de talento con ideas importantes, que no obstante su producción, no son conocidas por la comunidad magisterial, mucho menos sus logros académicos, pues prevalece la cultura de que destaquen los políticos y el número de revistas científicas sobre Matemática Educativa es muy pequeño. Seguramente el poco tiempo que disponen los intelectuales valiosos, les impide participar como autoridades que podrían influir en modificar el triste escenario que se distingue en la educación. Tales atrevimientos necesariamente deberán estar sustentados en el empleo de las tecnologías.

Enfoque didáctico. Algo sencillo, aunque con la dificultad de poner de acuerdo a todos, es definir un enfoque didáctico común para cualquier institución, preferente-mente a nivel nacional, a fin de acostumbrar a los estudiantes a una metodología de trabajo, que también forzaría a los profesores a enseñar de manera sistemática, de manera que se propicien sinergias al interactuar, pues se distingue que suelen desempeñarse de manera un tanto azarosa. En muchas instituciones educativas ya se ha adoptado el enfoque de Aprendizaje Basado en Problemas, por lo que parece una opción preferible.

Desarrollo de competencias matemáticas. Una competencia puede implicar una o varias habilidades, más los diferentes saberes, actitudes y valores que se relacionan en una situación real. Se señala habilidad en el sentido de enfrentar y resolver situaciones problemáticas novedosas que implican emplear de manera racional, las capacidades y conocimientos ya presentes en la estructura cognitiva, que no se hace de modo automático; se ubica habilidad al nivel de estrategia.


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La idea de capacidad se define como destreza, como aquello que puede usarse en forma mecánica, sin necesidad de mucha reflexión. Pero se considera que ejercitar repetidamente una habilidad ante situaciones semejantes, puede transformar la habilidad en una capacidad. Lo anterior se explica de manera semejante a lo que menciona Dubinsky en su modelo apoe, con el encapsulamiento. El siguiente diagrama explica la idea sobre cómo se construyen habilidades (figura 3).

Figura 3. Construcción de habilidades

Capacidades:

Procesos mentales, relativamente

automáticos, que intervienen en la organización y

reorganización de conceptos y/o

objetos materiales.

Situaciones o experiencias de

aprendizaje apropiadas Conocimientos

Pertinentes

Habilidades:

Empleo de información

técnica y práctica, específica al

planteo y solución de problemas

nuevos.

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Empleo adecuado del lenguaje. Otra conclusión derivada de los estudios mencionados, es que se requiere propiciar una cierta negociación de los significados matemáticos de los términos empleados, semejante a la que se presenta cuando se aprende el lenguaje materno y hasta cierto punto, como la humanidad construyó el lenguaje matemático, pues la traducción del lenguaje materno al especializado de la matemática, no es automático ni sencillo, requiere de un proceso de maduración de los conceptos, a fin de ser incorporados a la herramienta lingüística cotidiana del estudiante, para que pueda emplearlas, primero como parte de una habilidad, después como una capacidad.1

Esa necesidad de negociación implica la disposición de un ambiente de aprendizaje que propicie la presencia de situaciones en las que se involucren los conceptos matemáticos, de manera semejante a como ocurre el aprendizaje de la lengua materna.

1 Se considera una estrategia como sinónimo de habilidad; una capacidad como sinónimo de destreza. Las estrategias de aprendizaje son actividades físicas (conductas, operaciones) y/o mentales (pensamientos, proceso cognoscitivos) que se llevan a cabo con un propósito cognoscitivo determinado, como sería el mejorar el aprendizaje, resolver un problema o facilitar la asimilación de la información.

Habilidades:Empleo de información técnica y práctica, específica al planteo y solución de problemas nuevos.

+ +



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De cierta forma, con ese enfoque se pretende propiciar la construcción de diferentes representaciones de los conceptos esenciales, en el sentido que propone Duval (2004 y 2006).

Por otro lado, si se considera que las matemáticas son un lenguaje (Pimm, 1987; Rojas, 2004;) en el que las ideas deben expresarse con absoluta precisión, entonces pueden emplearse técnicas y teorías de enseñanza que se han utilizado para aprender un segundo idioma.

Trabajo de academia. Es distinguible que la actividad que se realiza en las academias de matemáticas no genera productos que incidan generosamente sobre la calidad de los aprendizajes y resulta contradictorio que en los enfoques didácticos que predominan en el mundo, existe una presencia constante de trabajo cooperativo y colaborativo y los profesores, encargados de propiciar el desarrollo de las habilidades sociales que detonan ese tipo de interacción, por su parte no sean capaces de organizarse y obtener elementos para apoyarse mutuamente para su labor docente.

Comentarios finales

El tema que ha aglutinado la participación de los renombrados académicos que han aportado a la elaboración de este libro, es muy interesante, complejo y apasionante. Nadie puede decir que tiene la seguridad de que sus propuestas son poseedoras del maná del que abrevarán los estudiantes para lograr mejores resultados de aprendizaje, pero seguramente la pasión que genera el pugnar por cambiar el estado de cosas actual en la enseñanza de las matemáticas en el Bachillerato, constituye un impulso que se refleja en la pasión con que han sido escritas estas líneas.

Por la misma complejidad, fueron abarcados muchos aspectos, seguramente todos influyentes, quizá demasiados para un capítulo, pero resulta difícil dejar de lado cosas que se perciben importantes. Las expresiones vertidas en este capítulo obligan a reflexionar sobre la relativa inmovilidad de las matemáticas en términos de qué tipo de contenidos son pertinentes para el desarrollo de la sociedad actual y cuáles deberían enseñarse para prepararla y enseñarla en el futuro

Se enfatiza que de todos los factores que influyen en el aprendizaje de las mate-máticas, el más inmediato y preponderante implica superar los obstáculos para emplear adecuadamente el lenguaje materno en los procesos de traducción al lenguaje especializado de las matemáticas, así como al simbólico y gráfico. La evidencia parece apuntar en la conveniencia de emplear apoyos tecnológicos para negociar la construcción de significados. El reto es ubicar o diseñar problemas interesantes para los estudiantes.


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El empleo de la tecnología tendrá cada vez una mayor presencia en la enseñanza y el aprendizaje de la materia; habrá instrumentos cada vez más accesibles y amigables que permitirán obviar las tareas que ahora resultan tediosas para los estudiantes y la enseñanza deberá enfocarse hacia la comprensión conceptual y el desarrollo de herramientas para entender su entorno, resolver sus problemas cotidianos, así como el uso que se hace de ellas en otras ciencias.

En eso reside la principal finalidad de las matemáticas del Bachillerato, instru-mental para la vida, no como predomina hoy día, para aprender más matemáticas. La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (1997) sugiere tres: funcional, formativa e instrumental, esta última con tres variantes: para la vida, como herramienta para la comprensión de otras ciencias y para seguir estudiando más matemáticas.

En términos de la finalidad de las matemáticas y la idea misma de competencia, además de los saberes que involucra, implica desarrollar actitudes y valores, tales como amabilidad, empatía, el respeto al medio ambiente, la civilidad con todas las implicaciones que tiene para la convivencia, etcétera.

Respecto al empleo de calculadoras o computadoras en los cursos, se propone que debe permitirse emplear todo aquello que los estudiantes podrán usar en su vida cotidiana o profesional. De otra forma se frena su crecimiento intelectual, se les fuerza a detenerse. Con la prohibición, se tiende a que el entorno se acople a las circunstancias escolares y no al revés, como debería ocurrir.

La experiencia de los años setenta con la matemática moderna y los enfoques hacia el rigor, para que los estudiantes pensaran como matemáticos, permiten concluir que la lógica de la enseñanza y sobre todo, la del aprendizaje, si es que tiene alguna, no es la lógica matemática.

En años recientes se cometió el error de modificar el currículum del nivel Preescolar y del Medio Básico, pero se omitió a la primaria. Seguramente modificar el Bachillerato no tendrá mucho sentido si no se modifica también el Nivel Superior.

Si se está de acuerdo en que probablemente prevalecerá el enfoque hacia desarrollar competencias, en las que existe una fuerte influencia de visión empresarial, enton-ces conviene recordar que los empleados deben actualizarse para tener desempeño acorde a las necesidades de la institución, si es que quieren conservar sus puestos de trabajo.

Esto tendrá impacto sobre los profesores, pues generalmente se observa una resistencia a cualquier cambio, por lo que las autoridades responsables deberán diseñar una capacitación paulatina, a mediano y a largo plazo, ya que las que se hicieron rápida y furiosamente, no tuvieron éxito.



232

El mayor reto es motivar y convencer a la comunidad magisterial de adoptar una diferente visión sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

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El Colegio de Ciencias y Humanidades y la enseñanza de la matemática

Ángel Homero Flores SamaniegoColegio de Ciencias y Humanidades, unam

Resumen

El Colegio de Ciencias y Humanidades (ccH) es uno de los subsistemas de Ba-chillerato de la unam. Creado en 1971, se ha conformado como uno de los Bachilleratos vanguardistas de México. Su Plan de Estudio y sus programas

han sido adoptados por muchas preparatorias incorporadas a la unam y de otras instituciones educativas en todo el país. En este artículo, se hace un breve recuento histórico del Colegio y de los cambios que han sufrido sus programas de matemáti-cas. Se concluye con una reflexión crítica del programa y su instrumentación y una propuesta sobre cómo reorientarlo para que tenga una continuidad con el currículo de la Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

Palabras clave: Cambios curriculares, Reorientación, Currículum Matemático, Bachillerato unam, Continuidad con nivel básico.

Abstract

The Colegio de Ciencias y Humanidades is one of the preuniversity subsystems of unam. It was created in 1971 and now is considered as a leader preuniversity from Mexico. Their Programs and Curricula have been adopted by many preuniversity schools incorporated into the unam as well as others schools in the whole country. In this paper is given a brief historical recollection of the Colegio’s development and about the changes that its curricula had experienced since it was created. It is finishes



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with a critical reflection of the mathematics Curriculum and its implementation, and a proposal on how it could be changed in order to improve it and to have conti-nuity from the Basic Education Curriculum from sep.

Keywords: Curricular changes, Reorient, Mathematics Curriculum ,Preuniversity level unam, Continuity with basic education.

Introducción

El Nivel Medio Superior o Bachillerato se concibe como un sistema de cultura general que permite al estudiante seguir con estudios superiores o tener un desempeño adecuado en el campo laboral. En general, se busca la formación de estudiantes a través del desarrollo de competencias (sep, 2011). Del estudio de los documentos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (riems, sep 2011), que busca tener un marco curricular común en el Subsistema de Bachillerato de la sep, se desprende que la enseñanza en el Bachillerato debe tener una clara intención de formación de estudiantes críticos y reflexivos con una independencia intelectual que les permita tomar decisiones de manera informada; estudiantes que puedan entender el desarrollo tecnológico y utilizar las herramientas tecnológicas para resolver problemas de la vida diaria.

Estos planteamientos caen de lleno en el concepto de Cultura Básica, definida en el Colegio de Ciencias y Humanidades (ccH) de la unam como el “conjunto de principios que generan un conocimiento que fomentará en los estudiantes más y mejores conocimientos y actitudes” (Colegio de Ciencias y Humanidades, 1996: 36).

En el ccH el fomento de la Cultura Básica en los estudiantes descansa en los siguientes principios educativos:

• Aprender a aprender. Adquisición de autonomía en la construcción de un conocimiento básico que permita un desarrollo intelectual.

• Aprender a hacer. Adquisición de las habilidades que fomenten la capacidad de aprender de la práctica.

• Aprender a ser. Adquisición de valores éticos, democráticos y estéticos.• Interdisciplinaridad. Concientización de las relaciones entre los diferentes

campos del conocimiento.• Actitud crítica. Adquisición de una actitud de búsqueda de la verdad y de la

habilidad de juzgar la validez del conocimiento que el individuo obtendrá de dicha búsqueda (Colegio de Ciencias y Humanidades, 1996: 39).


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el colegio de ciencias y Humanidades y la enseñanza de la matemática

Estos principios son una actualización de los planteados originalmente en los documentos de creación del Colegio en 1971: Aprender a Aprender; Aprender a Hacer y Aprender a Ser. Mismos que fueron adoptados por la unesco en 1993 en su propuesta por una educación para la vida (Delors y colaboradores, 1998).

En el presente artículo se dará una breve semblanza del desarrollo del Currículo de Matemáticas del ccH; se hará un análisis de los programas actuales; y a manera de conclusión, se tendrá una reflexión del autor acerca de su desarrollo futuro.

Dos lenguajes y dos métodos: 1971

El 1 de febrero de 1971, salió publicada en la Gaceta unam una nota que anunciaba la creación del Colegio de Ciencias y Humanidades, por aprobación unánime del Consejo Universitario. En dicha nota se dice que el ccH venía a resolver tres problemas hasta ese entonces no resueltos:

• Unir a distintas facultades y escuelas que originalmente estuvieron separadas.• Vincular la Escuela Nacional Preparatoria a las facultades y escuelas superiores

así como a los institutos de investigación.• Crear un órgano permanente de innovación de la Universidad, capaz de realizar

funciones distintas sin tener que cambiar toda la estructura universitaria, adaptando el sistema a los cambios y requerimientos de la propia Universidad y del país (Gaceta unam, 1 de febrero de 1971: 1).

En el nivel Bachillerato, el ccH iba a permitir el óptimo uso de los recursos educativos, la formación sistemática de nuevos cuadros docentes y un tipo de educación que podría ser preparatorio, terminal [en el sentido de las escuelas técnicas] y profesional “a un nivel que no requiere aún la licenciatura, y que está exigiendo el desarrollo del país” (Gaceta unam, 1 de febrero de 1971: 1).

En un inicio, el ccH se pensó como un aparato educativo que vincularía el Bachillerato con la licenciatura y el posgrado, por ello se tenían dos Unidades Académicas: una del Ciclo de Bachillerato y otra de los Ciclos Profesional y de Posgrado.

El proyecto nunca llegó a concretarse de la manera en que estaba pensado originalmente y en la actualidad, la Unidad Académica de los Ciclos de Profesional y Posgrado ha desaparecido y sólo subsiste el Bachillerato como entidad única; además de esto, el colegio dejó de serlo para convertirse en Escuela Nacional, con el mismo estatus de la Escuela Nacional Preparatoria. De hecho, el nuevo nombre



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debió ser Escuela Nacional de Ciencias y Humanidades, pero por razones poco claras, se dejó el nombre de Escuela Nacional del Colegio de Ciencias y Humanidades.

En lo que respecta al Bachillerato, la propuesta educativa pretendía atender la demanda de los miles de estudiantes de la zona metropolitana que terminaban la secundaria y no tenían acceso al siguiente ciclo: se habla de una matrícula de 199 mil estudiantes en las licenciaturas de la unam, contra los 10 millones calculados como matrícula potencial (Gaceta unam). Esta fue una de las razones por las que sólo se planteaban cuatro horas de clase en aulas y cuatro turnos de enseñanza. Las otras razones fueron de índole más académica. El proyecto pretendía fomentar en los estudiantes tres habilidades: aprender a aprender, aprender a ser y aprender a hacer. Estas habilidades están plasmadas como los tres principios educativos del ccH. Tales principios se fomentarían a través del estudio de dos métodos de investigación: el Científico y el de Análisis Histórico-Social; y del aprendizaje de dos lenguajes: el Español y la Matemática.

Para el logro de lo anterior, el estudiante debía tener contacto más directo con los centros de producción de conocimiento como las facultades y los institutos científicos de la unam y con los centros de trabajo donde podría hacer investigación documental y de campo. Al aula sólo llevaría los resultados de sus investigaciones.

En esa misma nota del 1 de febrero se puede leer lo siguiente:

[…] pues se buscará que al final de su formación [el estudiante] sepa aprender, sepa informarse y estudiar sobre materias que aún ignora, recurriendo para ello a los libros, enciclopedias, periódicos, revistas, cursos extraordinarios que siga fuera de programa, sin pretender que la Unidad [del Bachillerato] le dé una cultura enciclopédica, sino los métodos y técnicas necesarios y el hábito de aplicarlos a problemas concretos y de adquirir nuevos conocimientos (Gaceta unam, 1 de febrero de 1971: 4).

Para finales de la década de 1970, la Unidad del Ciclo de Bachillerato contaba con los cinco planteles actuales: Azcapotzalco, Vallejo, Naucalpan, Oriente y Sur. Los planteles están situados en lo que en aquella época eran las zonas marginadas del área metropolitana del Valle de México; en el norte la zona industrial, en el oriente una zona todavía considerada como rural y en el sur la zona de los asenta-mientos irregulares de las faldas del Ajusco y los pedregales.

Los programas institucionales de todas las materias, aprobados en 1979, tenían la siguiente estructura: Una presentación que incluía los objetivos generales y su relación con el Plan de Estudios; posteriormente se indicaba el nombre de cada unidad temática, los aprendizajes a alcanzar, la temática disciplinaria específica, las horas en que se podía estudiar, un apartado de sugerencias didácticas y, como cierre,


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la propuesta de bibliografía, conformada por las obras más comúnmente utilizadas en el colegio para su enseñanza (ccH, 2009).

Y en el Artículo 3 de las reglas y criterios de aplicación del Plan de Estudio del Colegio, se dice: “Permanentemente el Colegio revisará y, en su caso, actualizará el Plan de Estudio. Los programas deberán ser publicados anualmente” (Gaceta unam, 1 de febrero de 1971: 4).

La Matemática como lenguaje

Así pues, en el Bachillerato del ccH se consideraba, en un inicio, a la matemática como un lenguaje al igual que el español y, por tanto, su aprendizaje debía ser similar. Siguiendo la tendencia de la época, el currículum de matemáticas seguía los linea-mientos de la Matemática Moderna, teniendo como ejes conductores la teoría de conjuntos y la lógica.

El programa estaba organizado en seis semestres. En los primeros cuatro semestres se veían los fundamentos de la matemática básica: Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica y fundamentos del Cálculo; en los dos restantes se tenían las materias de Cálculo I y II, Estadística I y II, Lógica I y II y Cibernética y Computación I y II (Gaceta unam, 1 de febrero de 1971).

Ahora bien, la matemática como lenguaje implicaba que el estudiante debía tener una buena ortografía que se traducía en la escritura correcta de los términos matemáticos y se debía regir por la lógica matemática que venía a ser la sintaxis. Adquiriendo, así, un carácter completamente algorítmico.

A diferencia de las otras materias como Biología o Taller de Redacción en las que el profesor tenía ciertas guías metodológicas en la investigación científica y documental, en matemática no se dieron alternativas metodológicas para su enseñanza. Mientras las demás materias se estudiaban a través de prácticas de campo, de laboratorio o de investigaciones documentales en bibliotecas y hemerotecas y exposiciones en clase, la matemática se siguió enseñando mediante exposiciones magistrales bastante formales, al estilo de las Facultades de Ciencias o de Matemáticas de Nivel Superior.

Aunado a esto, con el devenir del tiempo, cada plantel empezó a hacer sus propios cambios en el programa de matemáticas y, a finales de 1980, se podía decir que incluso cada profesor de matemáticas tenía un programa diferente.

La materia de Lógica, en muchos de los casos, se convirtió no en una materia de lógica matemática, sino de lógica dialéctica, en un afán de introducir las teorías marxistas en el currículo.



240

Plan de Estudio actualizado: 1996

Los programas institucionales aprobados en 1979 siguieron vigentes sin cambio durante cerca de 25 años, contraviniendo el Artículo 3 de las reglas de aplicación del Plan de Estudios (citado lineas anteriores).

A todas luces, a principios de 1990, el Currículum Oficial era obsoleto, sin contar la dispersión de temas que se daba con las adecuaciones que cada plantel, cada turno y cada profesor hacia del programa. Por ejemplo, en la materia de Cibernética y Computación se daban algunas bases de electrónica y lógica simbólica, y se veían lenguajes de programación como Pascal y Fortran IV que para ese entonces ya habían sido desplazados por programas más estructurados y operativos.

La matemática moderna había dejado de ser el paradigma de la enseñanza de la disciplina y, por consiguiente, la lógica matemática y la teoría de conjuntos ya no eran la espina vertebral de la currícula de matemáticas en muchos países y en otras instituciones mexicanas. Desde hacía varios años empezaban a encontrar tierra fértil en la enseñanza de la matemática teorías del conocimiento basadas en el constructivismo como las de Piaget y Vigostsky (difundidas, en gran medida, por los trabajos del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav y por la Maestría en Educación Matemática del propio ccH).

Fue en esta época que, por instrucciones de Rectoría, el coordinador del Colegio de Ciencias y Humanidades inició el proceso de revisión del Plan de Estudio y la currícula del Colegio. Se formaron comisiones por área y por grupos de materias para hacer la revisión y las propuestas de cambio curricular. La principal intención fue incorporar los cambios que se estaban dando en cuanto a la tecnología de la comunicación y a la computación; y con respecto a las teorías del conocimiento. Otro de los objetivos fue unificar de nuevo los programas.

En 1996 se aprobó el Plan de Estudio Actualizado (pea) y los nuevos programas en el ccH. Con el pea se resaltaron dos aspectos fundamentales:

• Reafirmar la vigencia del Modelo Educativo del ccH (planteado en 1971) en el cual el estudiante y su aprendizaje son el centro de todo el proceso educativo.

• Definir al Colegio como un Bachillerato de Cultura Básica, definida como el conjunto de conocimientos y actitudes que permiten al individuo obtener nuevos conocimientos.

A los principios educativos del Colegio se agregó la interdisciplinaridad y una actitud crítica, más de acuerdo con las sugerencias de la unesco (Delors, 1993) en su propuesta de Educación para la Vida.


241241


Asimismo, se abandona el planteamiento de dos lenguajes y dos métodos, consi-derando ahora que el análisis documental y la investigación científica forman parte de un sólo método de indagación científica. Con esto se busca darle al currículum un equilibrio entre las disciplinas humanistas y las naturales, considerándolas a todas como disciplinas científicas.

En cuanto a los programas de estudio, se aumentaron las horas de clase en las materias básicas (de 17 a 29 horas semanales) y el número de materias, acercando el currículum al de otras instituciones como el de la Escuela Nacional Preparatoria. En consecuencia, se redujeron los turnos de cuatro a dos (véase ccH, 2009).

En el ámbito de la matemática, como se mencionó, ya no se habla de la matemática como un lenguaje, ahora se le plantea como una ciencia y una herramienta: una ciencia viva que está en constante desarrollo y, por tanto, es susceptible de cambios; y una herramienta que permite y facilita el entendimiento de situaciones reales y la resolución de problemas. Y es la Resolución de Problemas el enfoque con el cual se propone abordar los contenidos y los aprendizajes matemáticos.

Se habla ahora de considerar a la matemática como una unidad, un cuerpo de conocimiento único y no separado en ramas independientes. Por tanto, para los primeros cuatro semestres, se propone un programa en donde se vean los contenidos de Álgebra, Geometría, Estadística Descriptiva y Precálculo, interconectados entre sí. Y el aglutinador de todo el proceso sería la resolución de problemas.

Debido a que los principales cambios en los programas se dieron en las materias de los primeros cuatro semestres, el análisis que sigue se hará con respecto a éstos.

Después de un largo proceso de consultas a profesores del colegio, a expertos en Educación Matemática y de discusiones entre los integrantes de la Comisión de Revisión de Matemática de los cuatro primeros semestres, ésta presentó a la consideración de la comunidad del Colegio, y a los diferentes órganos colegiados de las facultades para su aprobación una propuesta de programa que de entrada parecía innovador.

En el documento correspondiente, la comisión de revisión planteaba lo siguiente:

Los cursos de Matemáticas I a IV están configurados dentro de una concepción orgánica que los vincula estrechamente, entre sí y con el conjunto de asignaturas del Área y del Plan de Estudios, a fin de relacionar distintos saberes —matemáticos y no matemáti-cos— y posibilitar que el bachiller acceda a un conocimiento integral, tanto teórico como funcional de esta disciplina (ccH, 1996).

A grandes rasgos, en el programa se ponía como objetivo para los dos últimos semestres el entendimiento del Cálculo (al cual se referían como la Matemática del



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Cambio) y el manejo de información para la toma de decisiones (Estadística); para el logro de esto, el estudiante, en los cuatro primeros semestres, debía adquirir los elementos necesarios. Por tanto, los cursos de Matemáticas I a IV privilegiaban el estudio de funciones, algunos temas de Estadística Descriptiva y Combinatoria, Geometría Analítica y Geometría Euclidiana (en ésta incluimos la Trigonometría) sin que hubiera una clara limitación entre los temas. Todo esto estaría en un contexto de Resolución de Problemas.

La propuesta careció de la comprensión de quienes debían aprobarla (Facultades y Consejo Técnico del ccH) y de quienes debían ponerla en práctica (profesores). Y cada Facultad hizo sugerencias que iban más de acuerdo con sus necesidades académicas que con el Modelo Educativo del Colegio. Por ejemplo, la Facultad de Ingeniería proponía que el programa debía atender más la algoritmia y las aplicaciones de la matemática en ámbitos como la mecánica; mientras que la Facultad de Ciencias sugería privilegiar el razonamiento deductivo y el carácter axiomático de la disciplina.

Finalmente, a los programas de Matemáticas I a IV se les quitaron algunos temas y se añadieron otros en un afán de darle gusto a quienes debían dar su visto bueno. Y lo que a la postre se aprobó fue una especie de criatura de Frankestein hecha de parches, que no tuvo la aceptación del grueso de los profesores y que, en consecuencia, no fue llevada de manera cabal a las aulas.

Durante los años en que se trabajó con estos programas, poco a poco se fue haciendo evidente que no eran aplicados y que los profesores impartían la materia como lo venían haciendo desde siempre.

Por lo menos en el Área de Matemáticas, la revisión del Plan de Estudio y la implantación de los nuevos programas no tuvo el efecto que se esperaba, por el contrario, aumentó la reprobación de los estudiantes y el descontento entre los profesores, en particular de los de carrera.

Primer ajuste de los programas: 2004

En 2001 se inició el proceso de revisión y ajuste de los Programas de Estudio. En esta ocasión se acordó organizar el currículum en torno a lo que se denomina Apren-dizajes Relevantes. Éstos se definen como “las acciones que se llevan a cabo con los temas de las asignaturas; es decir, lo que los estudiantes logran y hacen con los con-tenidos: entender, relacionar, distinguir, describir, aplicar, etcétera” (ccH, 2009).

En consecuencia, los programas aprobados en 2004 por el Consejo Técnico del Colegio (como en este caso no se trató de un cambio de Plan de Estudio, no hubo necesidad de someter los programas a la consideración de los Consejos Académicos


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de las Facultades), se presentaron en una tabla por unidad en la que se tienen los aprendizajes relevantes en la primera columna, en la segunda se tiene las estrategias de enseñanza y en la tercera la temática (véase tabla 1).

Tabla 1. Estructura del programa vigente

Unidad II

Variación directamente proporcional y funciones lineales

Propósitos:

A partir de la revisión de aspectos de la aritmética y de la noción de proporcionalidad, iniciar el manejo de la representación algebraica en el estudio de la variación, la idea de relación funcional. La graficación de funciones lineales, su registro tabular y su relación con los parámetros de: y = ax + b.

Tiempo: 20 horas.

Aprendizaje Estrategias Temática

En la presentación de diversas situaciones que involucran cambio, el alumno:

• Describe verbalmente en qué consiste el cambio y cuáles son los aspectos involucrados en él. Identifica cuál es la variable cuyos valores dependen de los que tome la otra

Ante una serie de datos, una tabla o situación verbal, en donde exista variación proporcional, el alumno:

• Obtiene los valores que se indiquen de y o de x, auxiliándose del reconocimiento de patrones o de la regla de tres.

• Obtiene o identifica, según el caso, la constante de proporcionalidad.

• Es importante rescatar algunos elementos aritméticos como múltiplo, fracciones equivalentes, razones, regla de tres, etc., para iniciar el manejo de la proporcionalidad directa.

• Cuando la constante de proporcionalidad es negativa (k<0), es frecuente que el alumno diga que no existe proporcionalidad directa porque al “aumentar” una, la otra “disminuye”.

Es necesario aclararles que el hecho no radica en eso, haciéndoles ver por ejemplo como al duplicarse, triplicarse, etc., la variable independiente, la otra a su vez se duplica, triplica, etcétera. O bien cómo al disminuir a la mitad, tercera parte, cuarta parte, etc., a una de ellas, con la otra sucede lo mismo.

Variación Proporcional Directa

Situaciones que involucran cambio. Introducción a la noción de variación.

Identificación de las variables dependiente e independiente en situaciones concretas.

Variación proporcional entre dos cantidades. Uso de tablas y gráficas. Análisis del cociente y/x para varias parejas de valores. Constante de Proporcionalidad.

Problemas de variación directa.

Fuente: ccH (2004). Programas de Estudio Matemáticas I a IV.



244

Con respecto al programa de Matemática, se retoma la resolución de problemas como estrategia principal de aprendizaje, pero se regresa al esquema de 1979 al dividir la matemática en ramas.

Los programas de Matemáticas I a IV

Se considera que los programas de los primeros cuatro semestres son, en realidad, un sólo programa dividido, para su instrumentación, en cuatro partes que se aplicarán semestralmente en cursos de 80 horas cada semestre. Los cursos están divididos en tres sesiones semanales, de las cuales dos son de dos horas. Las sesiones de una hora se dejan para los viernes.

En la presentación de los programas se dice lo siguiente: en los cuatro primeros semestres del Plan de Estudio del Colegio de Ciencias y Humanidades, se incluyen los cursos obligatorios del área de Matemáticas que los estudiantes deberán acreditar y que abarcan los conocimientos básicos de cinco importantes ejes de desarrollo temático: Álgebra, Geometría Euclidiana, Trigonometría, Geometría Analítica y Funciones. A través de estos cuatro cursos, se brinda al alumno un panorama de los principales aspectos del conocimiento y del quehacer matemático que le permitirán acceder posteriormente a conocimientos más especializados, tanto en el ámbito de estos mismos ejes temáticos como en el de otros, entre los que están incluidos el Cálculo Diferencial e Integral y la Probabilidad y Estadística (ccH, 2004).

Los ejes de desarrollo temático que se mencionan son, en realidad, las ramas de la matemática que se estudian en cada semestre.

Como se puede apreciar en la tabla 2, la estructura es muy parecida a la de los programas de 1979, exceptuando la terminología, el discurso actualizado y la eliminación de los temas de Teoría de Conjuntos.

Tabla 2. Unidades y tiempos por unidad

Secuencia de unidades por semestre

1er Semestre 2° Semestre 3er Semestre 4° Semestre

Matemáticas I Matemáticas II Matemáticas III Matemáticas IV

Números y Operaciones

Básicas.

15 horas

Funciones Cuadráticas y

Aplicaciones.

15 horas

Solución de Sistemas de

Ecuaciones.

15 horas

Funciones Polinomiales.

20 horas


245245


Variación Directamente

Proporcional y Funciones

Lineales.

20 horas

Construcciones y

Elementos Geométricos

Básicos.

15 horas

Sistemas de Coordenadas

y Lugares Geométricos.

15 horas

Funciones Racionales y

con Radicales.

20 horas

Ecuaciones Lineales.

15 horas

Congruencia y

Semejanza.

15 horas

La Recta y su Ecuación

Cartesiana.

15 horas

Funciones

Trigonométricas.

20 horas

Sistemas de Ecuaciones

Lineales.

15 horas

Perímetros, Áreas y

Volúmenes.

15 horas

La Elipse, la

Circunferencia y sus

Ecuaciones Cartesianas.

20 horas

Funciones Exponenciales

y Logarítmicas.

20 horas

Ecuaciones Cuadráticas.

15 horas

Elementos de

Trigonometría.

20 horas

La Parábola y su

Ecuación Cartesiana.

15 horas

Fuente: ccH (1979), Programas.

La mayoría de los profesores, sobre todo de carrera, se sintieron más cómodos con esta nueva estructura y aceptaron el programa sin que se encuentre realmente una reflexión crítica sobre lo que implicaba, las contradicciones en sus planteamientos e incluso, los errores matemáticos y conceptuales que contiene. Irónicamente, el cambio en el programa de matemática, significó la ausencia de cambios en la forma de abordar los contenidos y en los contenidos mismos.

Consideración crítica del Programa de 2004

En la sección anterior se dijo que en este programa se podían detectar contradicciones, como ejemplo veamos una.

En la página 4 se dice (énfasis del autor):

Además, en concordancia con los principios educativos del Colegio, más que privilegiar la memorización de un cúmulo de contenidos matemáticos (subdivididos en muchas ocasiones en múltiples casos y fórmulas especiales) y la repetición de definiciones o la práctica irreflexiva de algoritmos, interesa poner énfasis en el significado de conceptos y procedimientos, en el manejo de estrategias, en la integración de conocimientos, en el tránsito de un registro a otro y en el desarrollo de habilidades matemáticas; entre estas últimas están: generalización (percibir relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante de lo irrelevante y lo común de lo diferente); formalizar (operar con estructuras más que con el contexto de una situación, operar con numerales y símbolos, combinando



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reglas y estrategias); reversibilidad de pensamiento (invertir una secuencia de operaciones o un proceso de pensamiento); flexibilidad de pensamiento (disponibilidad para abandonar estereotipos o procedimientos en los que se ha tenido éxito para utilizar otros nuevos); visualización espacial (percibir esquemas geométricos contenidos en otros más complejos, o bien adelantar mentalmente el tipo de figura resultante al aplicar algún movimiento o transformación a una figura dada) (ccH, 1996: 4).

Contraviniendo este planteamiento se tienen los aprendizajes propuestos para las diferentes unidades. Veamos los propuestas para la Unidad 1 de Matemáticas I (esta unidad tiene asignadas 15 horas para su estudio).

Tabla 3. Propuestas para la Unidad 1 de Matemáticas I

En relación a la resolución de problemas, el alumno:

En cuanto al manejo de los números, el alumno:

Se inicia en el manejo de algunas estrategias de resolución de problemas, como son: utilizar diagramas, ejemplificar con casos especiales, explorar valores extremos, trabajar “hacia atrás”, reducir el problema a otro más simple.

Utiliza la recta numérica y las propiedades de los números para calcular expresiones aritméticas.

Utiliza algunas estrategias personales para resolver problemas de cálculo mental.

Establece el significado de las operaciones aritméticas fundamentales, utilizando distintas representaciones: material concreto, diagramas, gráficos y explicaciones verbales.

Distingue en problemas numéricos, la información relevante de la irrelevante; así como los elementos conocidos de los que se desean investigar.

Utiliza los algoritmos tradicionales de suma, resta, multiplicación y división con números enteros y racionales.

Expresa en forma verbal la solución de problemas con números enteros y racionales, los términos en los que ésta se plantea y explica el proceso de cálculo utilizado para resolverlos.

Representa a los números racionales de diversas formas: fracción común, porcentajes, decimales y viceversa.

Decide sobre las operaciones adecuadas —y su secuencia de ejecución— en la resolución de problemas numéricos.

Reconoce que las fracciones equivalentes tienen la misma expresión decimal.

Formula conjeturas sobre situaciones y problemas numéricos, mismos que comprueba mediante el uso de ejemplos y contraejemplos, método de ensayo y error, etcétera.

Compara números enteros y racionales mediante la ordenación y la representación gráfica.

Utiliza las formas de representación de un porcentaje —decimal y racional— para realizar cálculos.

Encuentra un número racional entre otros dos números racionales dados.


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Utiliza diversas estrategias para contar, estimar o calcular cantidades, teniendo en cuenta la precisión requerida y el error máximo permitido.

Utiliza fracciones o decimales según convenga, para simplificar cálculos. Elige el corte o redondeo adecuado en el caso de manejar decimales.

Utiliza la jerarquía y propiedades de las operaciones, las reglas de uso de los paréntesis y leyes de los signos para el cálculo de expresiones aritméticas con más de una operación.

Fuente: ccH (2004), Programas de estudio Matemáticas I a IV.

Después de analizar los aprendizajes propuestos para esta unidad, queda claro que 15 horas no son suficientes, a menos que se adopte la exposición magistral ante el grupo y se recurra a tareas en casa para cubrir lo que se pide, olvidándose, entonces, de los principios del Colegio.

Esto se aplica igualmente a todas las Unidades del programa. En cuanto a los errores matemáticos o a las imprecisiones se tienen varias, pero sólo se abordará una de ellas.

En la página 25, con respecto a ecuaciones lineales se tiene el siguiente aprendizaje:

Relaciona a las formas ax+b=0 y ax+b=c de la ecuación lineal como casos particulares de la Función Lineal y=ax+b, correspondientes respectivamente, a los valores específicos de y=0 y y=c. Es decir, identificará a la ecuación lineal como un caso particular de una Función Lineal.

La última oración de la cita se puede interpretar de varias formas:

a) Se está considerando que la función lineal es una relación entre incógnitas y no entre variables. Por eso expresiones como ax+b=0 pueden ser una función lineal.

b) Una función lineal (y por ende toda función) se reduce a una regla de correspondencia, es decir a una ecuación en dos incógnitas elevadas a la primera potencia; y en este sentido sí damos el valor de una de las incógnitas se obtiene una ecuación lineal (función lineal) en una incógnita.

En cualquiera de los dos casos, se tiene una concepción errónea del concepto de función.



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Otra de las fallas del currículo es la falta de estrategias de evaluación. En los programas de 2004 no se menciona nada acerca de ella y por su parte, en los programas de matemáticas del Plan de Estudio Actualizado del ccH (1996), con respecto a las sugerencias de evaluación ordinaria se propone la conveniencia de otorgar un seguimiento continuo al desarrollo del proceso educativo, a fin de identificar los avances y las dificultades de los estudiantes en la consecución de los objetivos; la evaluación conlleva un constante análisis crítico del trabajo realizado por el estudiante y por el profesor, a fin de ubicar las causas y la naturaleza de las dificulta-des que se presentan y proceder a desarrollar, oportunamente, estrategias de trabajo para su superación.

Al leer entre líneas uno se daría cuenta de que se piensa en la evaluación como una manera de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Pero al ver la lista de instrumentos de evaluación se pensaría que no se tiene claro qué es este tipo de instrumento. Entre otros se mencionan los siguientes: exámenes de diagnóstico, parciales, acumulativos, globales y de contraste; instrumentos de autoevaluación para los estudiantes, ejercicios de consolidación, tareas de reforzamiento, prácticas guiadas, trabajos de investigación de resultados, trabajos de búsqueda de información, reporte de visitas a museos, exposición del estudiante ante el grupo, construcción de modelos, participación en discusiones por equipo y grupal, etcétera.

Y se da preferencia a las tareas extraula y a los exámenes; con respecto a estos últimos dice:

b) Realización de exámenes de tipo acumulativo, ya sea en la forma de globales (semise-mestrales o finales) o exámenes parciales que deberán explícitamente incluir una por-ción de lo anteriormente visto, en un rango que posibilite simultáneamente explorar con amplitud los nuevos conocimientos; para propiciar que el estudiante retome contenidos ya estudiados. Para habituar al estudiante a este tipo de requerimiento es útil realizar periódicamente algunos repasos acumulativos, ya sea en clase o fuera de ella (mediante el diseño de actividades apropiadas), lo que redundará en grandes beneficios de aprendizaje (ccH, 1996: 9).

Ante esto, surge la pregunta, si atendemos las sugerencias de evaluación ¿cuándo se llevarán a cabo las actividades de enseñanza que propicien los aprendizajes relevantes propuestos?

Lo mencionado hasta aquí es sólo una muestra del tipo de contradicciones y errores que se encuentran en el programa de matemáticas de los cuatro primeros semestres del ccH.

Sin embargo, el estructurar el currículum alrededor del concepto de aprendizaje es interesante y podría llevar a la creación de un currículum flexible que se fuera


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adaptando de manera casi automática a los cambios tecnológicos y de paradigmas educativos.

Esto podría lograrse si se define de manera más puntual el concepto de aprendiza-je relevante y se toma en cuenta que los aprendizajes no son un tema puntual del currículum como se infiere de los programas del ccH, sino algo que se debe lograr a lo largo de todo el ciclo de Bachillerato y, quizá, más allá de éste. Esto podría enriquecerse, además, si se retoman la Resolución de Problemas, la Modelación Matemática y las Prácticas Argumentativas como reales ejes metodológicos de la enseñanza de la matemática.

Desarrollo futuro

Al momento de redactar el presente artículo, se tiene en puerta una nueva revisión de los programas del ccH. En general es difícil vislumbrar hacia dónde se reorientaría el currículum o si habrá cambios de orientación.

Por lo pronto se habla de reestructurar los principios educativos. Ahora se tendría un principio general Aprender a Aprender que implica otros tres:

• Aprender a saber. El estudiante adquiere conocimientos no sólo informativos sino formativos que le confieren autonomía en la adquisición de conocimientos mayores y más profundos.

• Aprender a hacer. El estudiante adquiere destrezas y habilidades en la aplicación del conocimiento adquirido.

• Aprender a ser. El estudiante desarrolla actitudes, principios y valores humanos positivos que le permiten una coexistencia pacífica y armónica con sus semejantes, dentro y fuera de la escuela.

Que en realidad no cambia radicalmente la filosofía de enseñanza del Colegio. En cuanto al currículum de matemáticas es posible aventurar un posible escenario, pero más a manera de propuesta que de una tendencia real. En primer término habría que aterrizar el concepto de Cultura Básica en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

Como se aprecia en la figura 1 se puede pensar en un individuo con una Cultura Básica en Matemáticas como aquel que posee actitudes críticas y reflexivas, y que utiliza su pensamiento matemático para resolver problemas con la ayuda de las herramientas tecnológicas que tiene al alcance.

El pensamiento matemático, la resolución de problemas (incluidas las actividades de modelación matemática) y el uso de tecnología se consideran dentro de las



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competencias que se proponen en las reformas de los Niveles Básicos y Medio Supe-rior de la Secretaría de Educación Pública.

Como complemento de esta Cultura Básica en Matemática se tendría el fomento de Cualidades Personales que integrarían una actitud positiva ante el conocimiento y su aprendizaje, y el desarrollo de habilidades de convivencia armónica como la tolerancia y el respeto, que permitirían a los estudiantes trabajar de manera cooperativa (Flores, 2010).

Figura 1. Cultura Básica en Matemática

Objetivos del BachilleratoTener una Formar

Enseñanza centrada en elestudiante y sus aprendizajes

Ciudadanos críticos yreflexivos

Desde la enseñanza-aprendizaje de la matemáticaesto se logra mediante el desarrollo de

Cultura Básica en MatemáticaPensamiento Matemático

Habilidades deResolución de Problemas Capacidad en el

uso de la tecnología

Fuente: Flores (2010).

En segundo término, habría que determinar puntualmente el perfil de egreso y los conocimientos suficientes o fundamentales para que el egresado del Colegio pueda tener un desempeño satisfactorio en niveles escolares superiores y una inclusión exitosa en la sociedad.

En tercero, a partir de esos conocimientos se determinarían los aprendizajes relevantes que debe tener el estudiante durante su paso por el Colegio. Tales aprendizajes se abordarían en los diferentes semestres con diferentes enfoques y profundidad, y tomando en cuenta la temática pertinente. La forma de propiciarlos estaría normada por los ejes metodológicos que surgen de los elementos de la Cultura Básica: el


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fomento de prácticas argumentativas; la modelación matemática y la resolución de problemas; y el uso de tecnología. Todo esto en un Medio Ambiente de Enseñanza-Aprendizaje donde exista tolerancia, respeto y cooperación (Flores, 2007, 2010).

Por último, todo el proceso estaría embebido en un contexto de evaluación continua que tendría el propósito de retroalimentarlo con miras a su mejora (Flores y Gómez, 2009).

Visto de esta manera, el currículo del ccH estaría en plena concordancia con el currículum de la Educación Básica. Véase, por ejemplo, el Acuerdo por el que se establece la Articulación de la Educación Básica (publicado en agosto de 2011 en el Diario Oficial de la Federación).1

En este documento se especifican los Principios Pedagógicos que sustentan la Educación Básica, a saber:

• Centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje.• Planificar para potenciar el aprendizaje.• Generar ambientes de aprendizaje.• Trabajar en colaboración para construir el aprendizaje.• Poner énfasis en el desarrollo de competencias, el logro de los Estándares

Curriculares y los aprendizajes esperados.• Usar materiales educativos para favorecer el aprendizaje.• Evaluar para aprender.• Favorecer la inclusión para atender a la diversidad.• Incorporar temas de relevancia social.• Renovar el pacto entre el estudiante, el docente, la familia y la escuela.• Reorientar el liderazgo, la tutoría y la asesoría académica en la escuela.

Varios de estos principios forman parte del quehacer docente del Colegio, como es el caso de las tutorías y las asesorías, el centrar el proceso en el estudiante y sus aprendizajes, la generación de ambientes de aprendizajes y la incorporación de temas de relevancia social, entre otros.

Y con respecto a la Educación Matemática, en el campo de formación: Pensa-miento Matemático se dice:

El campo Pensamiento Matemático articula y organiza el tránsito de la aritmética y la geometría y de la interpretación de información y procesos de medición, al lenguaje algebraico; del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información a los recursos que se utilizan para presentarla.

1 La publicación del Diario Oficial no tiene paginación por lo que en las citas se dará sólo la sección.


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El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos puedan utilizarlo de manera flexible para solucionar problemas [...] La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización.El énfasis de este campo se plantea con base en la solución de problemas, en la formulación de argumentos para explicar sus resultados y en el diseño de estrategias y sus procesos para la toma de decisiones. En síntesis, se trata de pasar de la aplicación mecánica de un algoritmo a la representación algebraica (Acuerdo por el que se establece la Articulación de la Educación Básica, 2011, Diario Oficial de la Federación).

Lo cual concuerda plenamente con lo que se plantea en el currículum de matemá-ticas vigente en el Colegio.


La reseña histórica y las consideraciones hechas en este capítulo se hicieron desde el punto de vista, no de un estudioso del Colegio de Ciencias y Humanidades, sino desde la perspectiva de un profesor de matemáticas con un historial de 26 años en el Colegio que lo vive cotidianamente. Desde esta perspectiva, queda claro que hay mucho por trabajar en cuanto a la mejora del currículum de matemáticas del ccH. Mejora que no es imposible y que está al alcance de la mano.

Sin embargo, independientemente de qué tan bien esté diseñado un currículo (de cualquier institución educativa) y qué tan bien fundamentado esté, no dará sus frutos si los profesores encargados de hacerlo operativo y de aplicarlo no lo entienden ni lo adoptan como propio. Por ello todo cambio curricular debe venir del consenso de los profesores, los padres de familia y los administradores y no de imposiciones verticales y, muchas veces, arbitrarias.

Referencias

Gaceta unam 1 de febrero de 1971, México D.F.ccH (1979), Programas. (Documento de trabajo), México: unam

(1996), Plan de Estudios Actualizado, México: unam. (2004), Programas de Estudio: Matemáticas I a IV. México: unam,

recuperado el 15 de mayo de 2012 de http://www.cch.unam.mx/sites/default/files/plan_estudio/mapa_mateiaiv.pdf


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(2009), El proyecto curricular del Colegio. Continuidades y cam-bios en el Plan y los Programas de Estudios, México: unam.

Delors, J. y colaboradores (1998), Learning: the treasure within; report to unesco of the International Commission on Education for the Twenty-first Century.

Flores, H. (2007), “Aprender Matemática, haciendo matemática: modelo de enseñan-za centrado en el estudiante”, Acta scientiae, 9 (1), 28-40.

(2010), Learning Mathematics, Doing Mathematics: a learner cen-tered teaching model, Educaçao Matemática e Pesquisa, 12(1), 75-87.

Flores, H. y Gómez, A. (2009), “Aprender Matemática, Haciendo Matemática: la evaluación en el aula”, Educación Matemática, 21(2), 117-142.

sep (2011), Reforma Integral de la Educación Media Superior, recuperado el 15 de mayo de 2012 de http://www.reforma-iems.sems.gob.mx/



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Acerca de los autores

Eddie de Jesús Aparicio Landa. Licenciado en Matemáticas por la Universidad Veracruzana y maestro en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, Cinvestav-ipn, México.

Su área de trabajo consiste en estudios sobre la construcción social del conoci-miento matemático y procesos de formación docente en matemáticas. Ha publicado en revistas especializadas en el área de la Matemática Educativa a nivel nacional e internacional. Es miembro del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, Clame, A.C., y Miembro directivo de la Red de Centros de Investigación en Mate-mática Educativa, A.C. Desde el 2007 cuenta con el reconocimiento de Profesor con Perfil Deseable Promep de la Secretaría de Educación Pública. En la actualidad se desempeña como profesor e investigador de tiempo completo en la Facultad de Ma-temáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán.

Correo electrónico: [email protected]

Alejandro del Castillo Escobedo. Licenciado en Matemáticas por la Facultad de Cien-cias de la Universidad Autónoma de Nuevo León; maestro en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa por el Cinvestav-ipn y en Ciencias Computacionales por el Ins-tituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica. Es candidato a doctor en Matemática Educativa por el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada.

Ha escrito y publicado diferentes artículos relacionados con el uso de tecnologías digitales en la enseñanza de la matemática. Participa activamente en congresos de Matemática Educativa a nivel nacional e internacional. Actualmente es profesor del Instituto Tecnológico de Ciudad Madero y del Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios, número 164.

Correo electronico: [email protected]



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Crisólogo Dolores Flores. Licenciado en Matemática Educativa y maestro en Cien-cias en la misma especialidad por la Universidad Autónoma de Guerrero, el grado de Doctor le fue otorgado por el Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona” de La Habana, Cuba.

Trabaja en las líneas de investigación relativas a: pensamiento y lenguaje varia-cional; al currÍculum matemático escolar y a la evaluación. Ha publicado más de 45 artículos en revistas con arbitraje; ha publicado cuatro libros; ha sido profesor de matemáticas en secundaria, bachillerato, licenciatura y posgrado. Participa activa-mente en la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (Relme) y la Escue-la de Invierno en Matemática Educativa (eime). Ha dirigido 50 tesis, desde nivel li-cenciatura hasta doctorado. Es miembro regular de la Academia Mexicana de Ciencias e Investigador Nacional Nivel I del Sistema Nacional de Investigadores (sni) desde 1996. Actualmente es coordinador del Posgrado de Matemática Educati-va de la Universidad Autónoma de Guerrero y profesor Titular “C” de la Facultad de Matemáticas de dicha universidad.


Ángel Homero Flores Samaniego. Doctor en Matemática Educativa por el Cinvestav, ipn. Es responsable Académico del Proyecto de Investigación Educativa Aprender Ma-temática, Haciendo Matemática: Investigación en el Aula. Ha impartido cursos para profesores sobre metodologías de enseñanza y uso de Geometría Dinámica en diversas instituciones del país y en el extranjero. Participa en congresos nacionales e internacio-nales en Asia, Europa y Latinoamérica. Ha publicado artículos en revistas arbitradas nacionales e internacionales. Como profesor de posgrado ha impartido clases en la Universidad Autónoma de Querétaro; la Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla y la Universidad Pedagógica Veracruzana. Actualmente es profesor de tiempo completo en el Colegio de Ciencias y Humanidades (ccH) de la unam en el área de Matemáticas, institución en la que coordina el Seminario de Evaluación Alternativa en Matemática.


Gerardo Ibáñez Dolores. Licenciado en Matemáticas, área Matemáticas Básicas. Obtuvo el grado de maestro en Ciencias en el área Matemática Educativa, por el Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate) de la Universidad Autó-noma de Guerrero.

Ha participado en congresos regionales y nacionales como el congreso de la So-ciedad Matemática Mexicana y la Escuela de Invierno en Matemática Educativa.


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acerca de los autores

Actualmente es profesor del Colegio de Bachilleres plantel Oxtotitlan, en el estado de Guerrero.


Pedro Ortega Cuenca. Maestro en Ciencias. Ha sido profesor de Matemática de Bachillerato en el Instituto Politécnico Nacional por más de treinta años y profesor de los cursos de matemática del Centro de Investigación y Docencia Económica.

Participó activamente en tres rediseños curriculares en el área de matemáticas de 1988 a 2005. Coordinó el Programa de Profesionalización Docente en Matemáticas en el Nivel Medio Superior del ipn de 1998 a 2005. Es coautor del Modelo de Inno-vación Educativa para el Instituto Politécnico Nacional, y de 2007 a 2011 participó en el diseño, instrumentación y evaluación de espacios de formación de una cultura de la innovación en el Instituto Politécnico Nacional. Forma parte de la Red de In-vestigación e Innovación en Matemática Educativa y Educación Estadística, riieeme que coordina el Seminario Repensar las Matemáticas que se encuentra actualmente en su séptimo ciclo.


Ramón Reyes Carreto. Obtuvo el grado de doctor en Ciencias por el Colegio de Posgraduados, en México.

Desarrolla las líneas de investigación: Modelos de ecuaciones estructurales, Mo-delos bayesianos y Factores asociados al logro académico de estudiantes. Actual-mente desarrolla los trabajos de investigación: “Factores que afectan los resultados del logro académico de estudiantes de Educación Media Superior en Guerrero. Un modelo para explicar su impacto” y “Modelo de regresión múltiple multivariada para identificar variables que afectan el desempeño académico de estudiantes”. Par-ticipa como ponente en congresos como, la Semana Internacional de Probabilidad y Estadística, organizada por la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, el Congreso Nacional de Estadística de la Asociación Mexicana de Estadística. Y el Latin American Congress on Bayesian Statistics. Se desempeña en la actualidad como profesor e investigador, Titular “C” en la Unidad Académica de Matemáticas, de la Universidad Autónoma de Guerrero.


René Santos Lozano. Licenciado en Matemáticas con Especialidad en Matemática Edu-cativa y maestro en la misma especialidad por la Universidad Autónoma de Guerrero.

Desarrolla la línea de investigación sobre solución de problemas. Ha participado como ponente en congresos como la reunión Hpm icme y el Congreso Nacional de la



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Sociedad Matemática Mexicana. Actualmente desarrolla el trabajo de investigación denominado “Problemas rutinarios y no rutinarios en Educación Secundaria”. Se desempeña en la actualidad como docente en Nivel Medio Superior, en el estado de Guerrero.


Ana María Soto Hernández. Ingeniera Industrial en Química por el Instituto Tec-nológico de Celaya. Obtuvo el grado de maestra en Matemática Educativa por el Cinvestav, ipn. Es Candidata al Doctorado en Educación Internacional con especiali-dad en Sistemas de Educación a Distancia por la Universidad Autónoma de Tamau-lipas. Es experta en Indicadores y Estadísticas Educativas por la Universidad Nacio-nal de Educación a Distancia de España.

Desarrolla la línea de investigación: Gestión del conocimiento, evaluación de la educación, internacionalización de la Educación Superior, Educación Matemática. Ha publicado artículos en extenso, libros, revistas y memorias de congreso. Ha par-ticipado activamente como ponente en congresos en México, Cuba y España. Ac-tualmente se desempeña como docente e investigadora del Instituto Tecnológico de Ciudad Madero, Tamaulipas.


Liliana Suárez Téllez. Maestra y doctora en Ciencias en Matemática Educativa por el Cinvestav-ipn, realizó su posdoctorado en la Universidad de Victoria en British Columbia, Canadá.

Coordinó el proyecto “Formación de una Cultura de la Innovación del cFie-ipn 2007-2011” y es coautora del Modelo de Innovación Educativa para el Instituto Po-litécnico Nacional. Ha publicado artículos en revistas internacionales. Ha dirigido tesis de maestría con especialidad en Matemática Educativa y Tecnología Educativa. Participa en congresos como eime, relme y el Congreso Internacional de Innovación Educativa. Cuenta con invitaciones a estancias académicas y conferencias interna-cionales: del Instituto de Matemáticas de la Universidad Católica de Chile; de la Universidad Pedagógica de Colombia; de la Facultad Regional de Bahía Blanca de la Universidad Tecnológica Nacional de Argentina; de la Ohio State University y del Gimnasio Moderno-Colombia. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores.

Correo electrónico: [email protected]é Luis Torres Guerrero. Licenciado en Física y Matemáticas, por la Escuela Superior de Física y Matemáticas; obtuvo el grado de maestro en Ciencias, especia-lidad Matemática Educativa, por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), del ipn.


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Ha participado en la elaboración de programas de matemáticas del nms del ipn; así como en investigaciones educativas sobre resolución de problemas y el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (tic) y la innovación educativa. Ha participado en varios congresos nacionales e internacionales sobre Matemática Educativa e Innovación Educativa. Es integrante de la Red de Investigación e In-novación en Educación Estadística y Matemática Educativa (riieeme). Actualmen-te es profesor de Matemáticas en el Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos Número 7 “Cuauhtémoc” del Instituto Politécnico Nacional.


Ricardo Ulloa Azpeitia. Ingeniero Químico con estudios de Maestría en Matemática Educativa y en Tecnología Instruccional, por el Cinvestav, ipn, y la Universidad de Houston en Clear Lake, respectivamente. El grado de Doctor en Matemática Educati-va, le fue otorgado por la Universidad Autónoma del Estado de Morelos-Cinvestav.

Las líneas de investigación que desarrolla, son las referentes al Desarrollo y apli-cación de tecnologías educativas para el aprendizaje y la enseñanza de las matemá-ticas; la Formación de profesores de matemáticas y problemas de aprendizaje y los Procesos de sistematización, evaluación y diseño curricular. Ha participado en con-gresos como la smm, eime, relme. Es Profesor Investigador Titular “C”, y coordina-dor de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías de la Universidad de Guadalajara.


Carlos Valenzuela García. Licenciado en matemáticas con opción terminal en Ma-temática Aplicada por la Universidad Autónoma de Zacatecas. Obtuvo el grado de Maestría en Ciencias: área Matemática Educativa, por el Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate) de la Universidad Autónoma de Guerrero.

Ha participado como ponente en congresos regionales, nacionales e internacio-nales, como ciaem, relme y smm. Ha publicado un artículo de investigación en el volumen 79 de la revista Números. Actualmente labora como jefe de vinculación educativa y social en el Consejo Zacatecano de Ciencia, Tecnología e Innovación (cozcyt) y es profesor de la Universidad de Veracruz campus Zacatecas.

Correo electrónico: [email protected]ía del Socorro Valero Cázarez. Maestra en Educación con especialidad en Matemáticas, por la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores; el grado de Doctora en Matemática Educativa le fue otorgado por el



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Centro de Investigación en Ciencia Avanzada y Tecnología Aplicada (Citaca) del Instituto Politécnico Nacional.

Se ha destacado como consultora en Tecnología Educativa por la Texas Instru-ments Latinoamérica. Es miembro del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa desde 2003, de la Asociación Mexicana de Investigadores, del Uso de la Tecnología en Educación Matemática (amiutem) y miembro fundador de México Educa, A. C. Ha destacado activamente con participaciones en eime y relme. En la actualidad, es profesora de tiempo completo titular “C” en el cBtis 164 de Ciudad Madero, Tamaulipas, en donde también es Jefa del Laboratorio de Matemáticas. Es profesora invitada del curso Funciones, Calculadoras Gráficas y Software Matemá-tico del Programa de Maestría en Docencia de las Matemáticas de la Universidad de Cuenca, Ecuador.

Correo electronico: [email protected], [email protected]

Santiago Ramiro Velázquez. Maestro en Ciencias, área Matemática Educativa por la Universidad Autónoma de Guerrero y doctor en Matemática Educativa por el Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona” de La Habana, Cuba.

La línea de investigación que trabaja es: Competencias matemáticas y formación de profesores, cuya producción principal se puede ver en el desarrollo de diversos proyectos de investigación como el denominado “Programa de capacitación y actua-lización para profesores de matemáticas del nivel medio superior en Guerrero, GUE-2002-C01-4725-FOMIX CONACYT-GRO. Ha participado como ponente en diver-sos congresos nacionales e internacionales como SMM y RELME. Coautor del libro El proceso de estudiar matemáticas en el nivel medio superior. Una experiencia de capacitación de profesores. Actualmente es Jefe de Enseñanza de Matemáticas en Educación Secundaria y Docente-Investigador invitado de la Unidad Académica de Matemáticas de la uag Universidad Autónoma de Guerrero. Correo electrónico: [email protected]

Antonio Zavaleta Bautista. Licenciado en Matemáticas área Matemática Educati-va; maestro en Ciencias en la misma especialidad por la uag. Actualmente es estu-diante de Doctorado en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa en esa misma Institución.

Trabaja en varias líneas de generación y aplicación del conocimiento: Evaluación del Currículum Matemático Escolar; Didácticas de la Matemática y Tecnología en la Educación Matemática. Ha participado como ponente en diversos congresos nacio-nales e internacionales en el área de Matemática Educativa. Es autor de artículos en


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memorias y actas de congresos, coautor del libro: Entre lo planeado y alcanzado en Matemáticas. El caso del Bachillerato del Estado de Guerrero. Actualmente es pro-fesor de tiempo completo asociado “C” de la Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero.


María Esther De Luna Rodríguez. Maestra en Ciencias con especialidad en Mate-mática Educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, Cinvestav-ipn.

Ha sido Responsable académico del Diplomado de Formación Continua Focali-zada denominado “Teoría y Tecnologías en la Enseñanza de las Matemáticas de Secundaria”, apoyado por el Instituto Tecnológico de Ciudad Madero y la fundación México Educa, A. C. Ha destacado activamente con participaciones en diversos congresos de la disciplina Matemática Educativa.

Actualmente imparte cursos de matemáticas en el Instituto Tecnológico de Ciu-dad Madero.

Correo elect ronico: [email protected]


Martinez

Resaltado

Martinez

Nota adhesiva

mal escrito


¿Hacia dónde reorientar el Currículum de Matemáticas del Bachillerato?

se terminó de imprimir en septiembre de 2012.El tiraje consta de 1000 ejemplares.



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Tabla 3. Relación en cuanto a objetivos entre el