OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITSIMOS. En el clculo directo
de lmites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras
que
tienden a cero (infinitsimos).
Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado
o que no pueda saberse de
forma inmediata y haya que realizar cierto nmero de operaciones
para ello
(INDETERMINACIN). Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:
OPERACIN RESULTADO OBSERVACIONES
+
+ k
k - -
- Indeterminada Tener en cuenta los grados.
Si es preciso Conjugado
0
Depende del signo de k
Indeterminada
Tener en cuenta los grados
(- ) -
k (con k0) Depende del signo de k
0 Indeterminada
Operamos hasta convertirla en una del tipo
0
0
k
0 (con k 0)
Habr que hacer lmites laterales para saber
si es + -
0
k (con k 0) 0
0
0
Indeterminada
a (con a > 0)
si a > 1 = a
Si a = 1 1 Indeterminada Del tipo del nmero e 2,718. Se pueden
hacer con la frmula o tomando
logaritmos
si 0 < a < 1 = 0 a
00 Indeterminada Se pueden hacer tomando logaritmos
0 Indeterminada Se pueden hacer tomando logaritmos
GRADOS DE INFINITOS. Resulta muy til para comparar unos
infinitos con otros y despreciar los que son de menor grado
Si suponemos que ( x ; a>1 , n>0 ) y ordenados de mayor a
menor:
INFINITSIMOS EQUIVALENTES.
Expresiones que tienden a cero infinitsimos se pueden sustituir
por otras ms sencillas que permitan simplificar el clculo y
resolucin de indeterminaciones.
Para Para
u u3
6+
tan u +
u3
3+
+
3
6+
35
40+
1 2
2 1
2
2+
4
24
1 + 1 + +
2
2+
ln 1
1 + ln
Como curiosidad estas equivalencias se obtienen mediante del
Desarrollo en Serie de Taylor que
vers en cursos universitarios y que sirve para aproximar una
funcin continua y derivable en un en
un entorno del punto x=a por un polinomio. La aproximacin ser
tanto mejor cuanto ms cerca
estemos del punto x=a.
+1
1! +
1
2! ( )2 +
1
3! ( )3 + . .
Si te apetece puedes comprobarlo desarrollando: y= sen x y=ex ,
por ejemplo, en el punto a=0.
REGLA DE LHPITAL.
Es una regla que permite utilizar las derivadas para calcular
algunos lmites que estn expresados en
forma de cociente y bajo determinadas condiciones.
Si lim
x a f x = 0 y
limx a
g x = 0 o tambin
Si lim
x a f x = y
limx a
g x =
Se tiene que:
=
()
()
Es decir, se puede utilizar en indeterminaciones de los
tipos:
sta regla es vlida cuando a es un nmero real, pero tambin cuando
es +
