Tablas Controlador Pid Lazo Abierto

8/15/2019 Tablas Controlador Pid Lazo Abierto

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A L G O R I T M O D E C O N T R O L P I D

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ALGORITMO DE CONTROL PID

Un esquema de control usando el algoritmo de control PID se ilustra en la figura 1.

P

I

D

PERTURBACIÓN

ELEMENTO

FINAL DE CONTROL

SENSORTRANSMISOR

PLANTA

MECANISMO DE CONTROL

( ) R s ( )Y s

( ) B s

( ) L

P s

+ +

+

−

DECISION

MEDICION

ACCION

Figura 1: Esquema de control usando un algoritmo de control PID

( )( ) ( ) ( )

C C P I D

de t u t u K e t K e t dt K

dt = + + +∫ (0.1)

De acuerdo con (0.1) la función de transferencia del controlador es:

( )( )

( )C I

C P D

U s K G s K K S

E s S = = + + (0.2)

1 ( )( ) ( ) ( )

C C D

I

de t u t u K e t e t dt T

T dt

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (0.3)

De acuerdo con (0.3) la función de transferencia del controlador es:

1( ) 1

C D

I

G s K T S T S

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (0.4)

A (0.4) se le conoce como PID ideal.

Una expresión muy usada, similar a (0.4), que ayuda a mejorar el modo derivativo en los controladores PID es:

1( ) 1

1 D

C

I D

T S G s K

T S T S

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

α +⎣ ⎦ (0.5)

El valor de α (0.05< α < 0.2) es un valor practico y se elige el mejor por ensayo y error.


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REPRESENTACIONES ALTERNATIVAS DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

DEL CONTROL PID

Algunos fabricantes de controladores PID describen la función de transferencia del controlador como:

11( ) 1

1 D

C

I D

T S G s K

T S T S

⎛ ⎞⎛ ⎞′ +′= +⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′α +⎝ ⎠⎝ ⎠

(0.6)

A (0.6) se le conoce como PID real.

Las notaciones primas se usan para indicar que los parámetros de entonación no son los mismos que los de las ecuacionesanteriores.

El controlador dado en (0.6) siempre podrá ser representado por (0.4) usando las ecuaciones (0.7) a (0.9):

1 D

I

T K K

T

⎛ ⎞′′= +⎜ ⎟′⎝ ⎠

(0.7)

I I DT T T ′ ′= + (0.8)

D I

D

D I

T T T

T T

′ ′=

′ ′+ (0.9)

Un controlador que tiene la forma de (0.6) que corresponde a (0.4) será válido si T I>4TD:

0.5 0.25 D

I

T K K

T

⎛ ⎞′ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.10)

0.5 0.25 D I I

I

T T T

T

⎛ ⎞′ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.11)

0.5 0.25

D

D

D

I

T T

T

T

′ =⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(0.12)

OBSERVACIÓN 1:

Debe mantenerse siempre presente que las formulas de la tabla 1 y tabla 2 son empíricas y que las mismas responden muybien a cambios en las perturbaciones.

La tabla 3 expresa otra manera de hallar las constantes ´ ´ ´, , I D

K T T de la expresión (0.6), y representa una metodología de

entonación del controlador en sus tres formas básicas de configuración. La forma de hallar los parámetros de esta la tablaestá basada en el modelo de la función de transferencia de Primer Orden Más Tiempo Muerto.


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Tabla 1: Entonación del algoritmo de control PID usando parámetros de la función de transferencia de primer ordenmás tiempo muerto.

Tipo de controlador Ganancia ProporcionalK ′

Tiempo Integral I

T ′ Tiempo Derivativa DT ′

Proporcional P1

01 −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

τ

t

K

- -

Proporcional + Integral PI1

09.0 −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

τ

t

K

3.33 t0 -

Proporcional + Integral + DerivativoPID

1

02.1 −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

τ

t

K 2.0 t0 (1/2) t0

Debe mantenerse siempre presente que las formulas de la Tabla 1 son empíricas, y que ellas aplican muy bien solo a

rangos limitados de razones de tiempo muerto y constante de tiempo alrededor de 0.1 < 0t

τ < 0.5

AJUSTE DEL ERROR DE INTEGRACIÓN MÍNIMA PARA EL CONTROL PID

Las expresiones que se presentan fueron desarrolladas por los profesores P. W. Murril, C. L. Smith, A.M. López y A. A.

Rovira de la Universidad del estado de LOUISIANA en USA y se conocen como "AJUSTE DEL ERROR DEINTEGRACIÓN MÍNIMA"

Como la integral del error no puede ser minimizada directamente porque un error negativo muy grande puedeconvertirse en un mínimo, entonces para prevenir valores negativos en el desempeño de la función se proponen lossiguientes planteamientos de la integral del error:

Integral del valor absoluto del error IAE:

0

( ) IAE e t dt ∞

= ∫ (0.13)

Integral del cuadrado del error ISE:

2

0

( ) ISE e t dt ∞

= ∫ (0.14)

Integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo ITAE:

0

( ) ITAE t e t dt ∞

= ∫ (0.15)


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Tabla 2: Formulas de entonación desarrolladas por López, Murrill y Smith en 1976 para cambios en las perturbaciones.

CRITERIO DE CONTROL

Tipo de controlador Constantes ISE IAE ITAEControlador tipo P a 1.411 0.902 0.490

0( )

b

C C

t aG s K

K

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟τ⎝ ⎠

b -0.917 -0.985 -1.084

Controlador tipo PI a1 1.305 0.984 0.859

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

S T K sG

I

C C

11)(

b1 -0.959 -0.986 -0.977

1

01

b

C

t

K

aK ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

a2 0.492 0.608 0.674

20

2

b

I

t

aT ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

τ

τ

b2 0.739 0.707 0.680

Controlador tipo PID a1 1.495 1.435 1.357

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++= S T

S T K G

D

I

C S C

11)(

b1 -0.945 -0.921 -0.947

1

01

b

C

t

K

aK ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

a2 1.101 0.878 0.842

2

0

2

b

I

t

aT ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =

τ

τ

b2 0.771 0.749 0.738

3

03

b

D

t aT ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

τ

a3 0.560 0.482 0.381

b3 1.006 1.137 0.995


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Tabla 3: Formulas de entonación desarrolladas por Rovira A.A. en 1981 para cambios en la referencia.

CRITERIO DE CONTROL

Tipo de controlador Constantes IAE ITAEControlador tipo PI a1 0.758 0.586

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

S T K G

I

C S C

11)(

b1 -0.861 -0.916

1

01

b

C

t

K

aK ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

a2 1.020 1.030

( )τ τ

/022 t baT

I

+=

b2 -0.323 -0.165

Controlador tipo PID a1 1.086 0.965

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++= S T

S T K G

D

I

C S C 11)(

b1 -0.869 -0.855

1

01

b

C

t

K

aK ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

a2 0.740 0.796

( )τ τ

/022 t baT

I

+=

b2 -0.130 -0.147

3

03

b

D

t aT ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

τ

τ

a3 0.348 0.308

b3 0.914 0.929


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ENTONACIÓN DE CONTROLADORES PID MEDIANTE EL CONTROL DEL MODELO

INTERNO (IMC = Internal Model Control)

Tabla 4: Relaciones de entonación para el controlador PID basado en el modelo interno.

TIPO DE PROCESOCONTROLADO

RPARÁMETROS DE ENTONACIÓN

Procesos Instantáneos

( )G s K = S K sG

PC

1)( =

IC

P

K K

τ

1=

Procesos de 1er orden

1)(

+=

S

K sG

τ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

S T K sG

I

PC

11)(

PIC

P

K K

τ

τ =

τ =

I T

Procesos de 2º orden

( )( )11)(

21 ++=

S S

K sG

τ τ ; 21 τ τ >

( )11

1)( +′⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′+′= S T

S T K sG

D

I

C

PID C K

K τ

τ 1=′

1τ =′ I T 2τ =′ DT

Procesos Integrativos

S

K sG =)(

PC K sG =)(

PC

P

K K

τ

1=

Procesos de 1er

orden más tiempo muerto

1)(

0

+=

−

S

KesG

S t

τ K

S sG

C

1)(

+=′

τ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

′+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′+′=

′S S T

S T K sG

D

I

C

τ 1

111)(

PID: Estas formulas

también aplican

para PI ( )0=′ DT .Se recomienda usar

PID cuando

40

τ >t

)( 0 C t K K

τ

τ

+

=′

τ =′

I T

2

0t T

D =′

)(2 0

0

t

t

C

C

+=′

τ

τ τ

En la tabla 4 se observa que la ganancia del controlador es función de un único parámetro de entonación,C

τ . Estasituación tiene una ventaja y una desventaja. La ventaja consiste en que esto le permite al ingeniero de control conseguiruna respuesta específica mediante el ajuste de un simple parámetro. La desventaja estriba en el hecho de que la tabla 6 no

nos da una manera de calcular este parámetro. Las siguientes ideas son dadas para remediar esta situación.

FORMA DE ESTIMAR EL PARÁMETRO

C τ CUANDO SE DESEA TENER UN MÍNIMO

IAE.

a.) Para entradas de perturbación:

Se hace 0C

τ = , lo cual aproximadamente minimiza el IAE. Debe usarse un controlador PI (TD=0) cuando

0.1


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b.) Para cambios en la referencia, las siguientes formulas resultan en aproximadamente un IAE mínimo cuando0.1

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