Upload
analopez0014724
View
70
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TABLA DE DERIVACION
y=k y’=0 y=x y’=1 y=xn y’=nxn-1
y=k*f(x) y’=k*f’(x) y=f(x)+g(x) y’=f’(x)+g’(x) y=f(x)*g(x) y’=f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x) y=f(x)/g(x) y’=f’(x)g(x)-g’(x)f(x)/g2(x)
y=Sen x y’=Cos x y=Cos x y’= -Sen x y=tag x y’=1/Cos2 x y’=1+tag2*x y=Sec x y’=Sec x*tag x
y=Cosec x y’= -Cosec x*Cotag x y=Cotag x y’=-1/Sen2 x y’=-1-Cotg2 x
y=logax y’=1/x * loga e y=loga f(x) y’=1/f(x) * loga e * f’(x)
y=ln x y’= 1/x y=ln f(x) y’= 1/f(x) * f’(x)
y=ax y’=ax * ln a y=af(x) y’=af’(x) * ln a * f’(x) y=ex y’=ex
y=efx) y’=ef(x) * f’(x) y=arc Sen x y’=1/1-x2 ½
y=arc Sen f(x) y’=1/1-f2(x)1/2(x) * f’(x) y=arcCos x y’= - 1/1-x2 ½
y=arc Cos f(x) y’= -1/1-f2(x)1/2(x) * f’(x) y=arc tag x y’=1/1+x2
y=arc tag f(x) y’=1/1+f2(x) y=arc Cotag x y’= -1/1+x2
y=arc Cotag f(x) y’=1/1+f2(x) * f’(x) y=[f(x)]n y’=n[f(x)]n-1f’(x)
y=f(x) 1/n y’=1/n * [f(x)n-1]1/n f’(x)
A-PDF MERGER DEMO
CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
∫ ++
=−≠+
Cpxdxxpp
p
11
1 ∫ += Ctgxdx
x2cos1
dxx
x C= +∫ ln −= +∫
12sen
cotxdx gx C
e dx e Cx x= +∫ dxx
x Ccosh
tgh2 = +∫
a a dxaa
Cxx
> =∫0,ln
+ dxx
x C1 2−
= +∫ arcsen
adxx a
x Ca> =∫0,ln
log + −
−= +∫
dxx
x C1 2
arccos
sen cosxdx x C= − +∫ dxx
x C1 2+
= +∫ arctg
cos senxdx x C= +∫ dxx
x C2 1+
= +∫ arg senh
senh coshxdx x= +∫ Cdxx
x C2 1−
= +∫ arg cosh
cosh senhxdx x C= +∫ dxx
x C1 2−
= +∫ arg tgh
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si , entonces u u x= ( ) ( )( )′∫ u x f u x dx( ) es inmediata siempre que lo sea
. Por ejemplo, ( )f x dx∫′
=∫uudx u Cln| |+ , o bien, ′
+= +∫
uudx u C
1 2 arctg
Cxdxxx
+=∫ 2)(lnln 2
Cedxe
e x
x
x
+=−∫ arcsen
1 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
Queremos realizar la integral ∫ dxxf )( donde f no tiene una
primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,
para el cambio, )(tgx = dttgdx )(′=
∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf )())(()(
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.
Sean y v)(xuu = )(xv= entonces
. Integrando en ambos lados de la igualdad
obtenemos
vu ′+vuuv ′=′)(
∫∫ ′+ dxvu′= vdxuuv .
Por tanto,
∫ ∫ ′−=′ vdxuuvdxvu
Ejemplos:
xe dxu x du dxdv e dx v e
xe e dx xe e C e x Cxx x
x x x x x∫ ∫== → =
= → =
= − = − + = − +( )1
lnln
ln ln (ln )xdxu x du
dxx
dv dx v xx x dx x x x C x x C∫ ∫=
= → =
= → =
= − = − + = − +1
3. - Integración de funciones trigonométricas:
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:
sen coscos( ) cos sen
2 2
2 2
12x xx x+ =
= − Resultan:
sen ( cos( ))
cos ( cos( ))
2
2
12
1 2
12
1 2
x x
x x
= −
= +
x
sen( ) sen cos2 2x x= x
sen cosx
x2
22
1
= − cos cos
xx
22
21
= + tg
coscos
x xx2
11
=
−+
sen( ) sen cos cos sencos( ) cos cos sen sen
sen cos sen( ) sen( )cos cos cos( ) cos( )sen sen cos( ) cos( )
x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x
+
y
= ++ = −
= + + −= + + −= − + + −
222
Ejemplos:
i) sen ( cos( )) cos( ) sen( )2 12
1 212
12
212
12
2xdx x dx dx x dx x x C∫ ∫= − = − = −
+∫ ∫
ii) sen( ) cos( ) (sen( ) sen( )) ( cos( )) ( cos( ))4 212
6 212
16
612
2x x dx x x dx x x C= + = − + −
+∫∫
iii) cos sen sen (sen ) senx xdx x x dx x C3 3 414
= ′ = +∫∫
iv) sen cos sen cos sen ( cos ) cos (cos )
( cos cos )cos (cos ) cos cos cos
5 2 4 2 2 2 2
2 4 2 3 5 7
1
1 213
25
17
x xdx x x xdx x x x dx
x x x x dx x x x C
∫ ∫ ∫
∫
= = − − ′ =
− + ′ = − + +
v) sen cos ( cos( ))( cos( )) ( cos ( ))
cos( ) sen( ) sen( )
2 2 214
1 2 1 214
1 2
14
18
1 414
18
132
414
132
4
x xdx x x dx x dx
dx x dx x x x x x
∫ ∫∫
∫ ∫
= − + = −
= − + = − − = − + C
=
vi) dxx x
x xx x
dxdxx
dxx
x xsen cos
sen cossen cos cos sen
tg cot2 2
2 2
2 2 2 2=+
= + = −∫ ∫∫∫ C+
dx
5. - Integración de funciones hiperbólicas:
Son integrales del tipo y se resuelven de alguna de
las siguientes formas:
R x x(senh , cosh )∫
1) Teniendo en cuenta la definición: senh ; coshxe e
xe ex x x
=−
=+− −
2 2
x
xx
2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh senhsenh( ) senh coshcosh( ) senh cosh
2 2
2 2
12 22
x xx xx x
− ==
= +
de donde se deduce: senh (cosh( ) ); cosh (cosh( ) )2 212
2 112
2 1x x x x= − = +
Ejemplo: cosh (cosh( ) ) ,
cosh ( ) ( )
2
2 2 2
12
2 1
14
14
2
xdx x dx
xdx e e dx e e dxx x x x
∫ ∫
∫ ∫ ∫
= +
= + = + +− −2
6. - Integración de funciones irracionales:
1) Integrales del tipo R xax bcx d
ax bcx d
dxpq
pqk
k, , ...,++
++
∫
1
1
donde a b y c d R, , , ∈pq
pqk
k
1
1, ..., son funciones irreducibles.
Consideramos el cambio: t ax bcx d
n =++
donde n m c m q qk= . . .( , ..., )1
Ejemplos:
i) xx x
dxx
x xdx
6
23
16
12
23+
=+
∫ ∫ como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t x6 =
ii) 21
21
12x
xdx
xx
dx+
=+
∫ ∫ cambio t x
x2 2=
1+
2) Integrales del tipo:
R x a x dx( , )2 2−∫ R x a x dx( , )2 2+∫ R x x a dx( , )2 2−∫
cambio: x a= sen t cambio: x a t= senh cambio: x a t= cosh
dx a tdt= cos dx a tdt= cosh queda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica.
dx a tdt= senh
Ejemplos:
( )sencos
cossen
sensen
cot cot(arcsen( )) arcsen( )
a Ix
xdx
x tdx tdt
ttdt
ttdt
t t Cx x
C
=−
===
= =
−=
− − + = − − +
∫∫ ∫4 2
21
2 2
2
2
2
2
2
2
( )coshsenh
cosh (cosh( ) )
( senh( ) ) senh( arccos ) arccos
b Ixx
dxx tdx tdt
tdt t dt
t t C hx hx C
=−
===
= = +
+ + = + +
∫∫ ∫2
22
112
2 1
12
12
214
212
=