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ANÁLISIS DIDÁCTICO EN TORNO A LA PROPORCIONALIDAD EN LOS DISTINTOS NIVELES DE ENSEÑANZA DEL SISTEMA EDUCATIVO

Ramón Ruiz, Lorena Espinoza, Grecia Gálvez, Joaquim Barbe, Raimundo Olfos

Universidad de Santiago de Chile – Grupo Klein ramon.ruiz@usach.cl, lespinoz@lauca.usach.cl

Reporte de Investigación – Enseñanza Básica y Media

1. Introducción

Nos situamos en la problemática general de describir y caracterizar la enseñanza y el aprendizaje de la Proporcionalidad en los distintos niveles del currículo escolar chileno en que este conocimiento matemático es estudiado. Utilizamos como marco teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Yves Chevallard (1999) que se enmarca en el Enfoque Epistemológico en Didáctica de las Matemáticas, iniciado por Guy Brousseau (1986). La metodología utilizada es de tipo cualitativo, basada en el estudio clínico de los sistemas didácticos. El propósito fundamental de este trabajo de investigación es comprender y explicar las diferencias y similitudes que existen entre los procesos didácticos desarrollados en torno a la Proporcionalidad en la Enseñanza Básica y Media, vale decir en los niveles Séptimo y Octavo Año Básico y Primer Año de Enseñanza Media. Tenemos interés, además, en comprender la tarea del profesor, en particular los instrumentos que utiliza para conducir y gestionar estos procesos didácticos. Para ello partimos por realizar un estudio histórico-epistemológico de la proporcionalidad con el propósito de determinar una organización matemática de referencia que permita analizar posteriormente tanto la organización matemática a enseñar como la organización matemática efectivamente enseñada. El presente trabajo tiene como propósito mostrar el tipo de análisis y describir los instrumentos utilizados para realizar esta parte de la investigación, así como presentar los principales resultados obtenidos en relación a la organización matemática de referencia y a las organizaciones matemáticas propuesta en los planes y programas de estudio. 1.1 Objetivos del Estudio � Analizar, describir y contrastar las organizaciones matemáticas oficiales en torno a la

Proporcionalidad que aparecen en Séptimo y Octavo Año de Enseñanza Básica y Primer Año de Enseñanza Media.

� Caracterizar la enseñanza y el aprendizaje de la Proporcionalidad en ambos niveles

educativos. Esto nos permitirá formular algunas hipótesis que serán verificadas empíricamente en las aulas.

� Analizar y describir las organizaciones matemáticas efectivamente construidas en torno

a la Proporcionalidad destacando la gestión que el profesor realiza de estas en ambos niveles de enseñanza.

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� Contrastación de hipótesis respecto a los fenómenos didácticos identificados en cada nivel de enseñanza, de acuerdo a cuestionarios aplicados a los alumnos.

� Caracterizar el modelo docente de los profesores observados, es decir, su sistema de

creencias, sus concepciones acerca de las organizaciones matemáticas y organizaciones didácticas en torno a la Proporcionalidad.

� Síntesis de resultados.

1.2 Hipótesis del Trabajo H1: Existe una escasa articulación, a nivel curricular, entre las propuestas de enseñanza

en torno a la Proporcionalidad entre los niveles de educación básica y media. H2: Él análisis de los procesos didácticos vividos en aula detectará diferencias entre los

niveles de enseñanza básica y media, en las unidades en que se estudia la Proporcionalidad.

2. Elementos Teóricos y Metodología de la Investigación La investigación que estamos realizando se enmarca en la corriente del que se ha denominado Enfoque Epistemológico en Didáctica de las Matemáticas, iniciado por Guy Brousseau en la década de los 70. Este enfoque se construye a partir de la Teoría de Situaciones de Guy Brousseau, que actúa como núcleo generador del paradigma, y de los aportes de Yves Chevallard (Transposición didáctica; Teoría Antropológica de lo didáctico), Michèlle Artigue (Reproductibilidad de situaciones), Régine Douady (Teoría Herramienta-Objeto), y de otros autores. La vía desde la cual abordamos nuestro problema de investigación utiliza con mayor énfasis la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante TAD) de Yves Chevallard (1999). Esta teoría adopta un punto de vista institucional de la problemática didáctica, situándola dentro del marco más general de las prácticas humanas. Plantea que para abordar científicamente los fenómenos relativos a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se deben tomar en cuenta simultáneamente los fenómenos de transposición didáctica y los fenómenos relativos a la producción, utilización y difusión de las matemáticas. La noción de Organización o Praxeología matemática es la herramienta que se utiliza para analizar el conocimiento matemático. Una organización matemática (en adelante OM), está compuesta por cuatro categorías de elementos: tipos de tareas, técnicas matemáticas, elementos tecnológicos y elementos teóricos. Esta primera modelización hace referencia a una constitución estática o estructural de la actividad matemática. Las OM se construyen a través de procesos de creación y recreación de los conocimientos matemáticos. Así, los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas aparecen como medios para lograr dichas creaciones; ambos procesos están incluidos dentro de un proyecto común que esta teoría denomina estudio de las matemáticas. La herramienta que se utiliza para modelizar dicho estudio es la Teoría de los momentos didácticos. Esta

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segunda modelización hace referencia al aspecto dinámico o funcional de la actividad matemática, que puede ser descrita a través de seis momentos didácticos distintos. El término “momento” está tomado en el sentido de aspecto o dimensión, y no en el sentido literal de la palabra. Los momentos se distribuyen de forma dispersa a lo largo del proceso de estudio, pueden aparecer más de una vez en dicho proceso, e incluso pueden coexistir entre ellos. Los momentos son: momento del primer encuentro, exploratorio, del trabajo de la técnica, tecnológico-teórico, de la institucionalización, y de la evaluación.

2.1 Organización Matemática de Referencia Para realizar el análisis de la OM a enseñar es necesario fijar un punto de vista epistemológico, una posición desde donde observar el sistema didáctico, lo que llamamos organización matemática de referencia (Bosch, Espinoza, Gascón, 2003). En este trabajo tomamos como referencia la modelización matemática realizada en términos de la TAD en torno a la Proporcionalidad realizada por Bosch (1994) y extendida por García (2005) en que se lleva a cabo una primera descripción de un proceso de modelización de sistemas proporcionales, a partir del análisis de un conjunto de textos clásicos. Hemos caracterizado en tres estados la evolución de los sistemas proporcionales, en la que es posible distinguir tres fases; inicial, de transición y final. Todas responden al problema en que aparecen dos magnitudes relacionadas, del que se conoce a lo menos dos cantidades relacionadas entre si, y respecto al que se desea calcular una o varias cantidades nuevas. La realización de este tipo de tarea supone la modelización del sistema a partir de un conjunto de ostensivos. Usaremos estos para resumir la evolución de cada organización presente en el siguiente esquema para el caso de los sistemas proporcionales directos e inversos:

OM Clásica OM Modelización

Algebraica

OM Modelización

Funcional

i) Si a vale c, 1 vale a

c

Si a vale c, 1 vale c

a

ii) xcba :::: cxba ::::

iii) x

c

b

a= ,

a

cbx

⋅=

x

c

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a= ,

b

cax

⋅=

i) ...`

`==

b

a

b

a= k

=⋅=⋅ ``baba …= k

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y=

kyx =⋅ .

i) f función real tal que

xkxf ⋅=)( , x

kxf =)(

ii) ...),...,( 11

ne

n

e

n xxkxxf ⋅=

con =ie 1±

Figura 1. Modelizaciones de OM en torno a la Proporcionalidad

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2.2 Metodología utilizada para el análisis de la Dimensión Curricular Analizamos el contenido matemático oficial en torno a la Proporcionalidad, en Séptimo y Octavo Año Básico y Primer Año de Enseñaza Media identificando en cada OM los cuatro tipos de elementos que la componen; tareas, técnicas, tecnologías y teorías. Esta distinción corresponde a los roles desempeñados por dichos elementos dentro de la OM. Representaremos estos elementos mediante mapas de organizaciones matemáticas, instrumento que nos permitirá describir la relación e interacción entre ellos. Finalizaremos este análisis estableciendo el grado de coherencia, completitud y articulación de la OM en cuestión, teniendo en consideración la OM de referencia. 3. Resultados Obtenidos del Análisis Curricular Utilizando la metodología descrita se caracterizaron las OM de Séptimo, Octavo y Primer Año de Enseñanza Media en base a los Planes y Programas de Estudio oficiales para cada nivel. A continuación mostramos la descripción de los tipos de tareas y el Mapa de la OM a enseñar obtenidos para séptimo básico, elementos que nos permiten poner de manifiesto distintos componentes del proceso de transposición didáctica que se realiza en este nivel de enseñanza. 3.1 Tareas y Mapas de las OM en torno a la Proporcionalidad.

� Ilustración del tipo de análisis para Séptimo Año Básico. Tareas de la OM en torno a la Proporcionalidad

T1: Expresar una relación entre dos valores por medio de una razón. T2: Interpretar información cuantitativa en que se expresa una razón entre valores de igual

o distinto dominio de magnitud. T3: Determinar el tipo de relación, proporcional o no proporcional, que existe entre dos

variables. T4: Resolver problemas que involucran dos variables directamente proporcionales en que

el valor correspondiente a la unidad se encuentra dado. T5: Resolver problemas que involucran dos variables inversamente proporcionales dado o

no el valor unitario. T6: Crear dibujos u objetos aplicando la sección áurea.

Mapa de la OM en torno a la Proporcionalidad

Los mapas de tareas surgen al momento de relacionar las técnicas estudiadas en la OM determinada. Cada tarea se relaciona con las demás según compartan ciertas técnicas para su resolución. Este hecho se pone de manifiesto por la intersección de los rectángulos. En tanto, la dimensión de estos depende de la importancia del tipo de tareas asociadas. Las líneas punteadas asociadas a determinadas tareas representan la tecnología didáctica que las sustenta.

T1

T2

T3

T4

T5

T6θ

Figura 2. Mapa de la OM a enseñar en torno a la Proporcionalidad en

Séptimo Año Básico.

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La lectura que podemos hacer de este Mapa es la siguiente:

- Las tareas de mayor importancia en la unidad son T4 y T5, estas son las referidas a la resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa respectivamente.

- T1 y T2 son las tareas asociadas a la interpretación de información por medio de razones cuyas técnicas aparecen poco conectadas a la resolución de problemas de proporcionalidad directa, T4.

- T6, asociada a un trabajo de carácter geométrico, aparece aislada de las técnicas generadas a lo largo del estudio de la OM.

- La tecnología didáctica asociada a estos tipos de tareas es muy escasa. 3.2 Caracterización del Estudio de la Proporcionalidad en el Currículo Escolar Los Planes y Programas de Séptimo, Octavo y Primer Año Medio proponen el estudio de la proporcionalidad enfatizando que el trabajo a realizar gire en torno a determinar el tipo de relación que se puede establecer entre dos variables, siendo la proporcionalidad, directa e inversa, dos de ellas. A su vez, el desarrollo de las unidades propone la Resolución de Problemas que involucran dos variables que se relacionen de manera directamente proporcional, inversamente proporcional y de manera no proporcional, siendo los distintos dispositivos utilizados para su estudio los que varían dependiendo del nivel de enseñanza. La OM reconstruida en torno a la Proporcionalidad en Séptimo Año Básico se centra en tareas matemáticas que consisten en la elaboración de una tabla de valores a fin de sintetizar información y caracterizar cuantitativamente distintos tipos de relaciones para establecer su comportamiento, ya sea proporcional o no. Para ello se utiliza como recurso técnico las razones internas a cada magnitud. El mismo recurso es utilizado para determinar que dos variables no son proporcionales. En la mayoría de los problemas el valor unitario esta dado. La tecnología didáctica gira en torno al discurso; si la primera magnitud aumenta al doble la segunda también aumenta al doble (directa) o disminuye a la mitad (inversa). Esta se enmarca bajo una teoría construida culturalmente y aceptada por un convenio social de supuestos proporcionales. A su vez, este discurso permitirá la generación de nuevos estados que emergerán en el siguiente nivel de enseñanza. La OM reconstruida en Octavo Año Básico incorpora un nuevo objeto ostensivo, el gráfico, correspondiente a situaciones de proporcionalidad directa e inversa y no proporcionales, donde gran parte de las tareas consisten en la construcción e interpretación de este nuevo objeto asumiendo para ello, según postulamos ha sido la intención del programa, rutinizadas aquellas tareas de Séptimo Básico, que serán recogidas como técnicas para este trabajo, como lo es la elaboración de tablas de valores y el cálculo de valores desconocidos en una relación de dos variables. Sin embargo, las tablas de valores en Séptimo Básico fueron construidas a partir de la descripción de distintas situaciones y no a partir de un gráfico. En tanto, otra tarea importante es la caracterización de las relaciones proporcionales por medio de las constantes que se obtienen a través de las razones externas para la proporcionalidad directa, productos constantes para la proporcionalidad inversa y no observando ninguna regularidad de las anteriores para relaciones no proporcionales. Cuocientes y productos constantes desempeñan el papel tecnológico que sirve para caracterizar la relación de proporcionalidad y justificar las técnicas introducidas. Esta

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tecnología se enmarca dentro de la modelización algebraica, pero su tratamiento es llevado a cabo por medio de la modelización clásica (teoría de las magnitudes variables) con el uso de razones externas. Finalmente, la OM reconstruida en Primer Año Medio considera, en un comienzo, actividades relacionadas con la lectura e interpretación de distintos tipos de gráficos, tareas que evidencian una desconexión entre las demás tareas de la OM y la superposición de un trabajo matemático que podría o no estar incluido en ésta OM. En esencia, los elementos praxeológicos utilizados para la Resolución de los Problemas de Proporcionalidad son similares a los usados en Octavo Año Básico. Sólo es posible encontrar, como nuevo, el uso de la expresión algebraica para caracterizar cada relación proporcional que aparece por el estudio del álgebra que se ha iniciado en este nivel y que se enmarca dentro de la modelización algebraica cuyo tratamiento es como modelo ecuacional. Sin embargo, esta utilización es bastante arbitraria puesto que no responde a una necesidad evidente y tampoco se estudian las ganancias que se producen al utilizar este tipo de modelización. Podemos decir que hay un tratamiento trivializado del álgebra que lo reduce a un instrumento de traducción de lenguaje. 3.3 Fenómenos Didácticos detectados. A partir del análisis de la actividad matemática que hemos realizado se han detectado ciertos fenómenos didácticos que están referidos a aquellas situaciones que evidencian ciertas regularidades o invariantes destacadas a lo largo de la reconstrucción de la OM y que han actuado directamente sobre la actividad matemática específica.

Fenómenos Didácticos

:c1ϕϕϕϕ Conviven elementos que componen dos universos matemáticos distintos de manera

desarticulada.

:c2ϕϕϕϕ La modelización algebraica no es aprovechada como elemento que articula el trabajo matemático entre la organización clásica y la funcional.

:c3ϕϕϕϕ Los dispositivos para caracterizar las relaciones de proporcionalidad directa e inversa

aparecen de manera gradual en los distintos niveles de enseñanza de manera poco articulada y no relevando la funcionalidad de cada uno de ellos.

:c4ϕϕϕϕ Predominio a lo largo de los Programas de Estudio del discurso “al multiplicar el valor de una magnitud por un número dado, el correspondiente valor de la otra magnitud también queda multiplicado por el mismo número”.

:c5ϕϕϕϕ El estudio de la proporcionalidad inversa aparece bastante disminuido en relación a la

proporcionalidad directa.

:c6ϕϕϕϕ El estudio en Octavo Año Básico denota la mayor densidad de tareas. Sin embargo,

algunos problemas evidencian gran desconexión con las técnicas desarrolladas en ésta OM (problemas geométricos y los de reparto proporcional) .

:c7ϕϕϕϕ En Primer Año Medio los elementos tecnológicos disminuyen drásticamente respectos a los niveles precedentes.

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5. Síntesis de los Resultados Preliminares El análisis curricular en torno a la proporcionalidad ha puesto de manifiesto una OM que evidencia rasgos de progreso en ostensivos, pero desarticulados entre ellos. Así, en el caso de Séptimo a Octavo Básico, la evolución de la OM viene dada por la incorporación del registro gráfico y la caracterización de los fenómenos de proporcionalidad por medio del producto o cuociente constante, en que este último no es aprovechado como elemento articulador. En tanto, de Octavo Básico a Primer Año Medio nos encontramos con un estancamiento de la OM, puesto que se abordan los mismos tipos de tareas que en Octavo Básico. Otro hecho que destaca es lo disminuido que aparecen las tareas relativas a la proporcionalidad inversa en comparación a las de proporcionalidad directa, las que incluso en Octavo Básico se amplían, incluyendo problemas de repartos y problemas geométricos poco articulados con las técnicas hasta el momento construidas. Referencias Bibliográficas Barbé, J.; Bosch, M.; Espinoza, L.; Gascón, J. (2005), Didactic Restrictions on the

teacher’s practice: the case of limits of functions in Spanish high school, Educational Studies in Mathematics, Vol.59, pp. 235-268.

Bolea, P., (2003), El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas escolares, Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza.

Bosch, M.; Espinoza, L.; Gascón, J. (2003), El profesor como director de procesos de estudio. Análisis de praxeologías didácticas docentes espontáneas, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 23, nº1, pp. 79-136.

Bosch, M., (1994), La dimensión ostensiva en la actividad matemática: el caso de la proporcionalidad, Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona.

Brousseau, G. (1986), Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, 7(2), Grenoble : La Pensée Sauvage).

Brousseau, G. Et al. (1994), Concours externe de Recrutement des Professeurs d’Ecole. Annales 1993. Publicaciones del LADIST, Université de Bourdeaux.

Chevallard, Y. (1985), La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, Buenos Aires, Aique. (La traducción es de 1997).

Chevallard, Y., Bosch,M., Gascón, J. (1997), Estudiar Matemáticas: El eslabón perdido

entre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona: ICE-Horsori. Chevallard, Y. (1999), L’analyse des practiques enseignantes en théorie anthropologique

du didactique, Recherches en Didactiques des Mathématiques, 19/2, 221-265. Espinoza, L. (1998), Organizaciones matemáticas y didácticas en torno al objeto “límite de

función”. Del pensamiento del profesor a la gestión de los momentos del estudio, Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona.

García, F., (2005), La modelización como herramienta de articulación de la matemática escolar. De la proporcionalidad a las relaciones funcionales, Tesis doctoral, Departamento de Didáctica de las Ciencias, Universidad de Jaén.