Takahashi - Pitagoras

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97 IDEAS Y VALORES N 131 AGOSTODE 2006 BOGOT, COLOMBIAPGINAS 97-111 - ISSN 0120-0062

EL HECHIZO DE PITGORAS

EL DISCRETO ENCANTO DE LAGEOMETRA

ALONSO TAKAHASHIUNIVERSIDAD NACIONALDE [email protected]

Resumen: El artculo seala la fascinacin ejercida por la matemtica

sobre algunos pensadores, antiguos y modernos, y sugiere una posibleexplicacin basada en la utilidad de la matemtica, la certeza de susafirmaciones y la elegancia de sus procedimientos.

Palabras clave: Pitgoras, Platn, matemtica.

Abstract: The paper points out the fascination exerted by Mathematics onsome thinkers, ancient and modern, and it poses a possible explanationbased on the usefulness of Mathematics, the certainty of its statements,and the elegance of its procedures.

Keywords: Pythagoras, Plato, Mathematics.

En 1629 Thomas Hobbes tuvo una revelacin. Ese ao el filsofoy pensador poltico ingls estaba de visita en Pars y un cronis-

ta, amigo suyo, registr el episodio para la posteridad:

Alcanz los 40 aos sin haber prestado atencin a la geometray, cuando por fin lo hizo, fue por casualidad. Estando en la

biblioteca de un caballero, vio, sobre una mesa, Los Elementos deEuclides, abierto en la Proposicin 47 del libro I. Ley elenunciado y exclam Vlgame Dios!, esto es imposible. As

que ley la demostracin, la cual lo remita a otra proposicin,la cual tambin ley. Et sic deinceps hasta quedar convencido,por va demostrativa, de esa verdad. Fue as como se enamorde la geometra (Bronowski, Aubrey: 69).

Este suceso cambi el rumbo de su vida intelectual, llevndolo aconsagrarse a la filosofa y a las ciencias. Como no hay adepto msfantico que el converso, su entusiasmo lo llev a poner las matemti-cas como requisito para todo estudio superior. No entiende teologaquien no entiende filosofa y no entiende filosofa quien no sabe

matemticas, deca; afirmaciones que los mismos matemticos consi-deraban salidas de tono. En todo caso, y aunque no fue un matemticoprofesional, ayud a consolidar la contribucin de la matemtica a larevolucin cientfica que estaba comenzando.


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En el ensayo titulado El hbito de la verdad, Jacob Bronowski serefiere a la conversin de Hobbes como uno de los grandes momen-tos de la ciencia moderna. El relato supone que todos saben cul es la

Proposicin 47 del Libro I de Los Elementos, quien lo ignore diceperder la fuerza explosiva que de este relato dimana (Bronowski:69). La Proposicin 47 es el Teorema de Pitgoras, un enunciado que,adems de cierto, es til y elegante, y tambin extrao. No es algo queha pasado desapercibido y que despus se torna evidente; tampoco esalgo que uno pueda llegar a sospechar examinando tringulos. Es,por el contrario, algo que no podemos creer a menos que nos lodemuestren. Y aunque las demostraciones se cuentan por centenares,y varias deslumbran por su nitidez y contundencia, nadie ha explica-do de manera convincente cmo pudo alguien llegar a sospechar queen cualquier tringulo rectngulo el cuadrado del lado mayor es iguala la suma de los cuadrados de los otros dos. Richard J. Trudeau, en sulibro The Noneuclidean Revolution, lo dice con palabras difciles demejorar:

Para m, el Teorema de Pitgoras es muy sorprendente. Aunqueen este mundo moldeado por el hombre abundan los ngulosrectos, yo los percibo ms bien como fenmenos naturales afi-nes al trueno o a la Osa Mayor. De pie en un prado, formo unngulo recto con el suelo. Si estoy mirando al Este, debo giraren ngulo recto para quedar mirando al Sur. Una fruta que caedel rbol sigue una trayectoria en ngulo recto con respecto alhorizonte. Pero, por otra parte, c2 = a2 + b2 no evoca ningunaclase de vivencia. Los nmeros no son parte de la naturaleza; y,si lo fueran, es improbable que me tope con tres de ellos queestn as relacionados. Debido a que la ecuacin es abstracta yprecisa, es extraa. No puedo imaginar que una cosa como esatenga algo que ver con los ngulos rectos cotidianos. Por eso,cuando el velo de familiaridad se levanta, como a veces ocurre,veo el Teorema de Pitgoras en su forma prstina, y quedo

mudo de asombro. (Trudeau: 97)

Sin embargo, por asombrosa que sea la relacin pitagrica, no pare-ce suficiente para explicar el efecto instantneo y desmesurado quetuvo sobre Hobbes. Presentimos algo ms. Decir que se enamor de lamatemtica no es suficiente. Quisiramos saber cul es su encanto ytambin quisiramos saber cmo empez todo.

Para captar el sentido y el alcance de estas dos preguntas, es buenosaber que no estamos ante un episodio aislado, por pintoresco y cle-bre que sea. Esa no fue la primera vez, ni sera la ltima, en que unamente curiosa e inquisitiva fuera seducida por la matemtica.

Bertrand Russell, el filsofo ms conocido del siglo XX, cuenta en suautobiografa: A los once aos empec a estudiar a Euclides con mi


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hermano como tutor. Fue ste uno de los acontecimientos ms gran-des de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor. No haba ima-ginado que existiese algo tan placentero en el mundo. Desde ese

momento y hasta los 38 aos, las matemticas fueron mi inters pri-mordial y mi mayor fuente de felicidad (Russell 1975: 30). Ms tarde,en su libro Misticismo y Lgica, exalta las matemticas como unafortaleza frente al escepticismo: su edificio de verdades dice seyergue inconmovible e inexpugnable ante todas las armas del cinismodubitativo (Russell 1961: 80).

Albert Einstein y Werner Heisenberg, cuyos nombres estn ligadosa las dos teoras que, al expulsar los absolutos y admitir la incertidum-bre, transformaron la concepcin del mundo fsico despus deNewton, tambin cayeron bajo el hechizo de la matemtica.

Einstein recordaba dos experiencias maravillosas de su niez. Ensus notas autobiogrficas habla del asombro y la sensacin de miste-rio que tuvo a los cinco aos cuando su pap le mostr una brjula, yagrega:

A los doce aos experiment una segunda maravilla, de unanaturaleza totalmente diferente, en un librito de Geometraeuclidiana que cay en mis manos, al principio del ao escolar.All haba aserciones, como, por ejemplo, que las tres alturas deun tringulo se encuentran en un punto, las cuales aunque enmodo alguno evidentes podan sin embargo ser probadas contal certidumbre que cualquier duda pareca estar fuera de lugar.Esta claridad y certeza me causaron una impresin indescripti-

ble. (Einstein 1988)

Recuerda tambin que, antes de esta experiencia, un to le habl delteorema de Pitgoras y que, con mucho esfuerzo, logr demostrarlo, yaade esta reflexin: es por dems maravilloso que el hombre sea deltodo capaz de alcanzar tal grado de certeza y diafanidad en el pensa-

miento puro como por primera vez los griegos nos mostraron que esposible lograr en geometra (Einstein 1988). Aos despus, quizsrememorando su propia carrera cientfica, dira: si Euclides no lograencender su entusiasmo juvenil, entonces usted no naci para ser unpensador cientfico.

En su evolucin intelectual Einstein sigui el orden de sus asom-bros infantiles: empez siendo un fsico extraordinario que no cono-ca mucha matemtica, para ms tarde llegar a ser, ms que un fsico,un devoto de la matemtica. Sin duda era el matemtico el que habla-ba cuando, en una conferencia sobre los mtodos de la fsica terica,

afirm:


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La experiencia justifica hasta ahora nuestra creencia en que lanaturaleza es la realizacin de las ms simples ideas matemti-cas que puedan concebirse. Estoy convencido de que, por mediode puras construcciones matemticas, podemos descubrir losconceptos y las leyes que los conectan unos con otros, propor-cionando as la clave para entender los fenmenos naturales. Laexperiencia puede sugerir los conceptos matemticos apropia-dos, pero stos ciertamente no pueden deducirse de ella. Laexperiencia sigue siendo, por supuesto, el nico criterio para lautilidad de una construccin matemtica, pero el principiocreativo reside en las matemticas. En cierto sentido, por lotanto, sostengo que el pensamiento puro puede aprehender larealidad, como soaron los antiguos. (Einstein 1954: 274)

Recordando sus tiempos de estudiante en el liceo, Heisenberg deca:

Los programas de la escuela incluan entonces los elementos deGeometra. La materia me pareci al principio bastante rida;tringulos y cuadrilteros conmueven la fantasa menos que lasflores o las poesas. Pero un da unas palabras de Wolff, nues-tro excelente profesor de matemticas, nos dieron a entenderque sobre esas figuras era posible enunciar proposiciones devalidez general, y que ciertos resultados pueden ser, no slocomprobados e intuidos sobre un dibujo, sino tambin de-

mostrados matemticamente. (Ibd.)

A Heisenberg le impresionaba sobre todo el hecho de que la Mate-mtica se acomoda de algn modo a los objetos de nuestra experien-cia, idea que, segn la escuela me ense, fue ya concebida por losgriegos, por Pitgoras y Euclides (Heisenberg: 47).

Estos ejemplos pueden multiplicarse: a travs de los siglos la geome-tra de Euclides ha despertado la admiracin y el asombro en diversasclases de pensadores. Incluso Kant, tan cauteloso en sus apreciaciones,recurri a la matemtica como prueba reina de su sinttico a priori y, enlos Prolegmenos, para quejarse del lamentable estado de la filosofaantes de su llegada, escribi: En metafsica no tenemos un libro comoel que s tenemos en matemticas. Si usted quiere saber qu es la mate-mtica, basta que lea Los Elementos de Euclides.. Pero qu son LosElementos?

Los Elementos y su autor

Los Elementos es el libro de texto de ms xito jams escrito. Despus dela Biblia, es el libro ms difundido, y uno de los ms influyentes en elmundo occidental. Pero, por supuesto, la geometra no naci con Los


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Elementos. La obra recoge resultados matemticos desarrollados du-rante dos o ms siglos. Pero no es un mero compendio de recetas osaberes geomtricos prcticos para uso de arquitectos y agrimensores.

Esto ya lo tenan los egipcios y los babilonios. Con los griegos hay unsalto cualitativo que se traduce en un cambio radical. Lo nuevo no esten el contenido, lo nuevo es la forma: la manera de organizar, disponery presentar los resultados. Los Elementos es una obra cuya redaccinrequiri ms conocimientos y ms pericia que la construccin delPartenn, y que lo sobrevivir. Se trata del cuidadoso ensamble demultitud de componentes, donde cada parte est en el sitio que lecorresponde de acuerdo con un orden lgico estricto. Cada teorema sededuce de resultados anteriores, cada definicin se formula en trmi-nos de nociones previas, y todo el edificio descansa en unos pocosenunciados y conceptos que se consideran autoevidentes y bien conoci-dos. Esa es la forma que an conserva la matemtica en nuestros das.

Por mucho tiempo Euclides fue sinnimo de geometra, y geometrasignificaba matemticas. Pero si alguien nos pregunta quin fueEuclides, slo podemos contestar que Euclides es el autor de Los Ele-mentos, pues con l se cumple el ideal de Flaubert del autor que desapa-rece detrs de su obra.

Del hombre Euclides hay que suponer que vivi en Alejandra alre-dedor del ao 300 a.C. Fuera de eso slo se conocen dos ancdotas

posiblemente apcrifas (interesantes como aforismos, pero no comodatos biogrficos) y una o dos referencias de autores muy posteriores.Pero cmo empez todo? Se sabe que hubo intentos anteriores a

Euclides de sistematizar la geometra, y podramos vernos tentados abuscar el autor de los primeros elementos. Pero esto slo cambiara unnombre por otro, por Teudio, Hipcrates o Len, de quienes se sabean menos que de Euclides (Waerden: 90). Puede ser menos estrilpreguntar dnde pudo el autor de los Elementos adquirir la maestranecesaria para realizar su obra. Parece que hay una sola respuestaposible: en la Academia.

Platn y su Academia

La Academia de Atenas era el centro de estudios de mejor nivel en supoca. Considerada por muchos como la primera universidad, erams bien lo que hoy llamaramos un instituto de estudios avanzados.El ingreso a la Academia tena un requisito, consignado en esta adver-

tencia escrita sobre su entrada:

(Que no entre quien no sepa geometra)


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Esto puede ser una fbula, pero aun as es significativo: nos dice queentre la gente ilustrada de la poca era fama que all la matemticaocupaba un lugar privilegiado. El hecho es que la Academia tuvo una

marcada preferencia por las matemticas. No slo acogi a los mejo-res matemticos, sino que la filosofa que all se forj, bajo la direccinde su fundador, es de clara estirpe matemtica.

A diferencia del casi desconocido autor de Los Elementos, el funda-dor de la Academia no habra podido ser ms famoso; y, a diferenciade su maestro Scrates, quien nada escribi, Platn fue un escritormagistral y prolfico cuyas obras son clsicos de la literatura y la filo-sofa.

El entusiasmo de Platn por las matemticas dej su impronta entodo su pensamiento y en toda la filosofa occidental, aun si no acep-tamos que sta sea slo una coleccin de notas a la filosofa de Platn,como dijera Whitehead, para escndalo de los filsofos.

La presencia de la matemtica en los dilogos de Platn es notoria:en el Timeo, la estructura del universo se basa en los poliedros regula-res (que por eso se llamaron slidos platnicos), los cuales a su vez seanalizan en trminos de dos tringulos rectngulos fundamentalescon lados inconmensurables, inseparables como los quarks. En elMenn, el dilogo sobre la excelencia (aret), asistimos a la clase dematemticas ms clebre de todos los tiempos. En ella Scrates, es

decir, Platn, aprovecha el problema de la duplicacin del cuadrado,un caso especial del teorema de Pitgoras, para sostener que el cono-cimiento es reminiscencia (anamnesis) y, de paso, ilustrar la pedago-ga interactiva mediante preguntas y respuestas (mayutica), todoello basado en la transmigracin de las almas (metempsicosis). En elTeeteto, as como en las Leyes, se discute el tema de las magnitudesinconmensurables. En la Repblica se propone el currculo ideal paralos ciudadanos ideales de la polis ideal, el cual, por supuesto, estbasado en las cuatro mathemata: aritmtica, geometra, astronoma ymsica (armona o teora musical).

Pero donde la influencia de las matemticas, aunque menos explci-ta, es ms profunda y significativa, es en la teora ms identificada conel nombre de Platn: la teora de las Formas (tambin llamadas Ideas),discutida en varios de sus dilogos, en especial en la Repblica y en elParmnides (Platn).

Las formas y el mundo inteligible

Digamos de una vez que se trata de una teora desatinada einsostenible, y que el mismo Platn, ya viejo, la puso en entredicho,en lo que Russell considera como uno de los casos ms notables de


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autocrtica de un filsofo. La teora supone un dualismo quecontrapone realidad y apariencia. Para la caricatura que estoy apunto de perpetrar podemos partir de la geometra. Todos han odo

decir que la geometra es el arte de razonar bien con figuras mal hechas.Creo que este aforismo puede ayudar a entender la teora de las formas;an ms, es probable que ste haya sido el origen de dicha teora.

En una clase de geometra dibujamos tringulos y crculos. Perosabemos que nuestras definiciones y teoremas no se refieren a esasfiguras chuecas e imperfectas. Como tampoco se refieren a objetos fsi-cos triangulares o circulares, aunque despus los resultados obtenidospuedan aplicarse a ellos. Nuestras figuras son slo ilustraciones auxi-liares, tiles como medio para hablar y razonar acerca de las formasmismas, es decir, la triangularidad y la circularidad. Hablamos de estasformas como figuras en las cuales los puntos carecen de dimensiones,las lneas slo tienen longitud y las superficies no tienen espesor, ydecimos que estas figuras perfectas son nuestros verdaderos objetos deconocimiento y constituyen la realidad que estudia el matemtico. Elcrculo platnico, o Crculo (con mayscula), es la figura que tienetodas las propiedades del crculo y ninguna otra; y as con las otrasfiguras.

El paso siguiente es la generalizacin: al lado del crculo ideal tene-mos la mesa ideal o la Mesa, es decir, la forma o idea de mesa; lo que

tienen en comn todas las mesas, lo que les confiere un aire de familia.Y as mismo tenemos el Tigre y el Tringulo, la Blancura y el Coraje, laRosa y la Justicia, y todo lo dems. Anotemos de pasada que cuandohablamos del ciudadano ideal o de la mujer ideal estamos aludiendo,quizs sin saberlo, a la teora de Platn.

Todo esto es bastante raro. Pero falta la jugada final, la que ponetodo patas arriba: en lugar de considerar que estas ideas son merasabstracciones obtenidas a partir de los correspondientes objetos reales,Platn dijo que, por el contrario, esas ideas, perfectas e indestructibles,tienen existencia plena y autnoma fuera de nuestras mentes, y son lonico real, mientras que los objetos materiales ordinarios son merosreflejos deficientes que se deterioran y perecen. Y as, el mundo quenosotros tomamos por real es una ilusin, copia imperfecta y delezna-ble del mundo eterno de las formas, slo un poco ms persistente quelas sombras y los sueos. Esto es descabellado. Y sin embargo, comodijo Einstein: Parece que la mente humana tiene primero que cons-truir formas, independientemente, antes de que podamos hallarlas enlas cosas.


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La trinidad platnica

Para ilustrar su concepcin jerrquica del universo, Platn us laalegora conocida como la lnea dividida. En ella los niveles de reali-dad y de conocimiento se representan por medio de una lnea verticaldividida, primero, en dos partes. La parte inferior corresponde almundo sensible (objeto de la mera opinin, doxa) y la superior al mun-do inteligible de las formas (objeto de autntico conocimiento, episte-me). Cada una de estas partes se divide a su vez en dos, de modo que lalnea original queda dividida en cuatro segmentos o niveles. El nivelinferior, es decir, el primer segmento de abajo hacia arriba, representa

los reflejos y las sombras; encima de l est el segundo segmento quecorresponde a las cosas materiales ordinarias. Estos dos segmentosconstituyen la mitad inferior de la lnea original que, como ya dijimos,corresponde al mundo sensible. El tercer nivel (primero del mundointeligible), corresponde a los objetos matemticos (accesibles a travsdel mtodo axiomtico deductivo). En el cuarto nivel, estn las formassuperiores a cuyo conocimiento slo se llega a travs de la dialcticaplatnica.

Dominando el ltimo nivel, y por lo tanto todo el resto, est la tradade lo Cierto, lo Bello y lo Bueno, formas stas que, en un ltimo esfuer-

zo de abstraccin mstica, se funden en el Bien Supremo, tambin lla-mado el Uno. En este contexto hay que entender la palabra buenono slo en su sentido moral absoluto, sino como bueno en algo o paraalgo, como al hablar de un buen vino, un buen atleta o una buenateora. Se refiere a lo que cumple ciertos requisitos de excelencia ycalidad, y tambin a lo til, lo que sirve para algn fin, lo aplicable.Como advierte Werner Jaeger en su Paideia: la palabra bueno engriego (, agathos) no tiene solamente el sentido tico estricto quehoy se le da, sino que es el adjetivo correspondiente al sustantivo aret,

designando, por tanto, toda clase de virtud o excelencia (Jaeger: 534).Algo parecido ocurre con las palabras griegas que se traducen comoverdad y belleza.

Las concepciones platnicas, examinadas con rigor, parecensurrealistas, y pueden ser confutadas y hasta ridiculizadas con faci-lidad. Pero, despojadas de sus pretensiones metafsicas, pueden serapreciadas como metforas de profundas y poderosas intuicionesque forman el tejido de la civilizacin intelectual que nos legaron losgriegos. La trinidad platnica, en particular, est formada por los tresvalores fundamentales que deben ser cultivados por igual si se quiere

aspirar a la aret(excelencia) humana y que, quizs, son uno solo.Aqu recordamos una vez ms a Einstein cuando dice: Los idealesque han iluminado mi camino y que, una y otra vez, me han dado


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coraje para enfrentar la vida con alegra, han sido el Bien, la Verdad yla Belleza.

Segn Platn, para acceder a la dialctica y al conocimiento de las

formas superiores, la preparacin ms adecuada es la matemtica;ntese que hoy sostenemos esto mismo cuando decimos que la mate-mtica es buena para ejercitar la mente. De acuerdo con ello, en el plande estudios expuesto en la Repblica, un lugar prominente lo ocupanlas cuatro mathemata. Andando el tiempo las mathemata, con el nombrede quadrivium (las cuatro vas) fueron adoptadas por las nacientesuniversidades medievales, donde, junto con el trivium (lgica, retrica ygramtica), constituyeron las llamadas siete artes liberales. De allpasaron a nuestros planes de estudios actuales de modo que, comoobservara Russell en su Historia de la Filosofa Occidental, si pregunta-mos por qu todos los nios se ven hoy forzados a estudiar matem-tica en la escuela, la respuesta la encontraremos en el Libro VII de laRepblica (Russell 1973: 142). Desde entonces la matemtica ha ex-tendido y profundizado su influjo, de tal manera que hoy, en la entra-da de casi todas nuestras escuelas y universidades, podra ponersealguna versin actualizada de la advertencia de Platn.

Pero, aunque Platn lleg a conocer bien las matemticas de su tiem-po, no fue lo que hoy llamamos un matemtico profesional. Adems,hay razones para pensar que slo en su madurez se despert su admi-

racin y su entusiasmo por las matemticas: en las Leyes hay unpasaje donde el Ateniense, quien se supone no es otro que Platn, ledice a su interlocutor (Clinias, el cretense), hablando de matemticas:Yo mismo, tarde en la vida y con asombro, supe de nuestro estado deignorancia en estos temas. Y, ms adelante, con un celo que creemosreconocer, fustiga a sus conciudadanos dicindoles que ignorar esoshechos rebaja a los hombres al nivel de las bestias. stas, dice, soncosas tan necesarias, que saberlas no es nada meritorio, pero ignorar-las debera ser motivo de vergenza.

Parece que su primer contacto con la matemtica avanzada tuvolugar en su primera visita al sur de Italia, hacia el final de sus aosperdidos (399-388 a.C), cuando tena alrededor de 40 aos. Fue enton-ces cuando, quizs por intermedio de Eudoxo o de Teodoro, Platnconoci a Arquitas de Tarento, matemtico brillante y uno de los perso-najes ms interesantes de la historia.

Arquitas y la secta del Uno

Si bien sus posturas intelectuales son dismiles, hay cierto paralelis-mo entre Platn y Hobbes. Dos mil aos antes de Hobbes y varias dca-das antes de que naciera Euclides, Platn tambin tuvo una revelacin.


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Era el ao 388 a.C y estaba de visita en la Magna Grecia, al sur de Italia,pero no hubo un cronista que relatara el episodio para la posteridad.Algunos piensan que el motivo de su asombro fueron los poliedros

regulares, pero hay mejores razones para pensar que fueron los incon-mensurables. En efecto, la existencia de segmentos inconmensurablespudo interpretarse entonces como una seria deficiencia de la aritmticafrente a la geometra, como fundamento de toda la ciencia. Eso debidejarlo estupefacto. Al ao siguiente fundara la Academia, conminan-do a todos a estudiar geometra si queran entender el universo.

La conversin de Platn marc un momento estelar para la civiliza-cin. Tambin aqu, para no perder la fuerza explosiva del aconteci-miento, hay que saber qu son los inconmensurables. Dos segmentosson inconmensurables cuando no tienen una medida comn, esto es,cuando no pueden medirse con una misma unidad de medida. Enforma ms explcita: cuando no existe un tercer segmento que cabe unnmero exacto de veces en cada uno de ellos. La existencia de segmen-tos inconmensurables choca con la intuicin desprevenida. En efecto,la experiencia parece decirnos que, dados dos segmentos cualesquie-ra, uno siempre puede medirlos con exactitud: basta que adopte unaunidad suficientemente fina (el centmetro, el milmetro, la micra).El asombro al hallar que esto no es siempre as lo expres ya Aristtelescuando escribi: Porque para todos debe ser motivo de gran pasmo

que pueda existir una cosa que no pueda ser medida ni an con lamedida ms pequea posible (Met. 983a); en otra parte de su obraAristteles alude al ejemplo ms conocido de segmentos inconmensu-rables, a saber, el lado y la diagonal de un cuadrado (Prior Anal. 41a).

Como el teorema de Pitgoras, este hecho es extrao y uno se preguntacmo pudo alguien llegar siquiera a sospechar algo as. Adems, ste esun hecho que no es visualizable y que no puede ser comprobado conmediciones aproximadas, como s sucede con el teorema de Pitgoras.Pero hay algo ms desconcertante an: una vez formulada la conjetura,hay que demostrarla. Pero cmo demuestra uno la inexistencia dealgo? Cmo se demuestra que ningn segmento puede caber un nme-ro exacto de veces en el lado y en la diagonal de un cuadrado? Vemosentonces que, por desconcertantes que sean el hecho y su descubrimien-to, la manera de establecer su verdad lo es ms an.

Pues bien, los griegos encontraron la manera de hacerlo. Hablamosde esa forma indirecta de razonar llamada reduccin al absurdo. Tanfino y potente es este mtodo, basado en la consistencia lgica, quealgunos historiadores han visto aqu el origen del concepto de de-mostracin y de su uso sistemtico para esclarecer la verdad en ma-

temticas.Pero cmo empez todo? La Academia tuvo un antecedente. Ms

de un siglo antes existi, en la Magna Grecia, una comunidad mstica


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dedicada al estudio y contemplacin de los nmeros engendradospor el Uno, los cuales eran considerados como los componentes fun-damentales del Todo, es decir, del universo. Sus maestros ms promi-

nentes se llamaron mathematikoi y entre ellos se cuenta al descubridorde los inconmensurables. Pues bien, uno de los ltimos miembros deesta secta, y uno de los ms prominentes, fue Arquitas de Tarento.

Hemos seguido un rastro que nos ha llevado del teorema de Pitgorasy la geometra de Euclides, pasando por la Academia y Platn, hastallegar a Arquitas y la secta que descubri los inconmensurables. Aqupodramos decir que hemos vuelto al principio de nuestra narracin,pues el fundador de esta secta no fue otro que Pitgoras.

Pitgoras es un personaje con un pie en la historia y otro en el mito.De l se cuentan tantas maravillas, que unos dicen que todo es meraleyenda, mientras otros piensan que no todo puede ser imaginario,que slo un personaje real y extraordinario pudo suscitar tanta admi-racin y reverencia (Guthrie). Lo que est ms all de la duda razona-ble es que, como dice Russell, casi todas las ideas de Platn son deorigen pitagrico. Pitagrica es la primaca de la forma sobre la mate-ria, pitagricas eran las mathemata y la idea de que la matemtica es elsubstrato del universo; pitagricas la anamnesis y la metempsicosis;pitagricas son palabras como teorema y matemtica, armona, cos-mos y filosofa. Y pitagrica es tambin la ms antigua definicin de la

belleza como la unidad en la diversidad, la armona de las partesentre s y con el todo.Sabemos que todo precursor tiene precursores y que todo principio

es provisional. Pero retroceder ms atrs de Pitgoras sera entrar en eltiempo de los dioses, de Prometeo y de las Musas, cuando el alfabeto erajoven y la prosa no exista. Nunca sabremos cmo empez todo, peroahora sabemos que el rastro del hechizo conduce hasta Pitgoras.

Pasemos entonces a la segunda cuestin: la naturaleza del hechizode Pitgoras. Cul es el secreto de ese discreto encanto que puedecautivar a jvenes y viejos, y extender su influjo a toda una civilizacin?Veremos que, como a menudo sucede, es una mezcla de amor e inters

Aunque los protagonistas que hemos convocado son personajesnada ordinarios, es posible que sus experiencias no sean extraordina-rias. Que, dadas unas condiciones propicias, pueden ser experienciasms bien corrientes. Imaginemos una persona con mente abierta einquisitiva, que se hace preguntas y busca respuestas. Pronto se dacuenta de lo parcial y mudable que es la opinin humana, y de lovariadas y contrapuestas que pueden ser las explicaciones que sobrelas mismas cosas sostienen personas distintas y hasta la misma per-

sona en distintas circunstancias. Sabe que hasta nuestros propiossentidos nos decepcionan. No le son extraos los muchos y enormesabsurdos que se han tenido y se tienen por verdades absolutas; y no


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slo por la gente comn, sino por personas eminentes, por cientficos,intelectuales y filsofos. As las cosas, no es imposible que haya llega-do a desesperar de hallar algo cierto en este mundo. Pero un da la

curiosidad o el azar lo ponen en contacto con la matemtica, y entoncesve algo que no ha visto jams. Es posible que una afirmacin inslita,quizs increble, llame su atencin. Pero lo que en realidad cautiva suinters es que la afirmacin viene acompaada por una prueba. Unaprueba que no apela a la experiencia, ni a los sentidos, ni a la autoridad,ni a la tradicin, ni a la ley, ni a la fe; ni siquiera al llamado sentidocomn. Slo apela a algo que, ahora comprende, ha llevado siempreconsigo, su razn. Y su razn, sin ayuda ni presin de nadie, le diceque la afirmacin es irrebatible. Entonces siente que, por primera vezen su vida, ha encontrado la certeza sobre la tierra. Y el corazn le daun vuelco.

Tambin es posible que, despus de haber avanzado con esfuerzopor los corredores y escaleras de un edificio conceptual como el de lageometra, un da se detenga y eche una ojeada a la estructura en suconjunto, y perciba por vez primera la armona entre el todo y suspartes, la sencillez y la extrema economa de su arquitectura, y enton-ces comprenda que est frente a esa cualidad cuyo mbito habitual esel mundo del arte y que los matemticos prefieren llamar elegancia.

Pero aun si la solidez y armona del edificio matemtico no le impre-

sionan, puede sentir curiosidad ante la extraordinaria utilidad de lamatemtica, ante la eficacia de sus resultados y procedimientos en loscampos ms diversos. Y cuando sepa de casos en los cuales esa apli-cabilidad es inexplicable, la curiosidad se transformar en asombro.Ese asombro al cual alude Eugene Wigner cuando habla de la irrazo-nable efectividad de las matemticas (Wigner).

En resumen, la matemtica tiene tres facetas que pueden cautivar lainteligencia y encantar la imaginacin: la elegancia de sus procedi-mientos, la certeza de sus afirmaciones y la utilidad de sus aplicacio-nes. Por eso, cuando el velo de familiaridad se levanta, como a vecesocurre, permite vislumbrar, tal vez por un instante, el Bien, la Verdady la Belleza.

Eplogo

Terminar la exposicin en este punto podra dejar una impresinengaosa. La realidad es siempre compleja, todo lo que brilla tiene su

lado opaco y las cualidades conviven con defectos. Como muestra,valgan estos comentarios:1. Tan cierto como que dos y dos son cuatro es una expresin que

refleja la confianza en la verdad matemtica. Son escasas las cosas


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sobre las cuales podemos tener menos dudas. Sin embargo, la verdadmatemtica ha sufrido dos conmociones que, al final, la privaron parasiempre de su posicin como paradigma de la verdad absoluta.

La primera fue la llamada Revolucin no-euclidiana que, en el pri-mer tercio del siglo XIX, derroc a la geometra euclidiana de su largoreinado como la autntica ciencia del espacio, y puso en evidenciaque, considerados como aserciones acerca del mundo fsico, losteoremas matemticos pueden no ser ciertos o, como dijo Einstein,mientras ms ciertos son, menos dicen acerca de la realidad.

El significado y la verdad pueden transmitirse, mas no establecerse.Por eso Russell dijo que la matemtica puede definirse como la cien-cia en la cual nunca sabemos de qu hablamos, ni si lo que decimos esverdad (Russell 1961: 84); una descripcin que no por paradjicadeja de ser exacta.

Perdido su anclaje en la realidad, la verdad matemtica slo podaaspirar a ser entendida como consistencia, es decir, no contradiccinentre los supuestos en los cuales se basan las demostraciones. Envista de ello los matemticos se propusieron demostrar que la mate-mtica es consistente. Pero entonces vino Gdel y, en 1930, demostrque, si lo es, entonces es imposible demostrarlo (Nagel 1979).

Despus de haber tenido que conformarse con la consistencia enlugar de la certeza, la matemtica tuvo que renunciar tambin a la

consistencia. Hay que registrar en su favor que tan drsticos ajustessalieron de su propio seno, pues fueron matemticos quienes los lle-varon a cabo.

2. Los matemticos han hablado siempre de la belleza presente en suciencia. Y no nos referimos a diseos grficos que exhiben simetrasms o menos complejas. Dirac deca: es ms importante la belleza ennuestras ecuaciones que su ajuste al experimento. Para Russell: lasmatemticas poseen no slo verdad sino suprema belleza una bellezafra y austera, como la de una escultura, y para Henri Poincar el rasgodistintivo del pensamiento matemtico no es la lgica sino la esttica.Sin embargo, para un gran nmero de personas, la matemtica es sloun lejano y desapacible recuerdo de sus tiempos de estudiantes. Unamateria rida y tcnica, ajena a la imaginacin y al sentido esttico.Para ellos parece imposible que all pueda haber jams algo quepudiera llamarse bello.

En contraste con la verdad, que parece ms objetiva, la belleza, quesin duda es ms subjetiva, ha resultado ser ms persistente. Pero enmatemticas la belleza puede ser difcil de apreciar.

La apreciacin de cualquier arte depende en buena parte del apren-

dizaje. En nuestro caso casi todo debe ser aprendido. El teorema no slodebe ser bello, primero debe ser cierto. Pero percibir la verdad de unaproposicin matemtica supone no slo comprender su significado,


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ALONSOTAKAHASHI

sino seguir y entender su demostracin, todo lo cual puede exigir unapreparacin extensa y difcil. Es por esto que, de los atributos de lasmatemticas, el ms recndito es sin duda la belleza.

3. Que la matemtica es buena para muchas cosas, no tiene discu-sin. La utilidad de la matemtica ha sido la principal causa de sudifusin y aceptacin, no slo en la ciencia y la tecnologa, sino en lasociedad en general. Sus xitos han sido tan notorios, que el pblicoha llegado a profesar por ella un respeto reverencial que se parecemucho a la supersticin. Quizs por ello Norbert Wiener deca queuno de los principales deberes del matemtico, como asesor decientficos de campos menos precisos, es disuadirlos de esperardemasiado de la matemtica (Wiener: 285).

A la ignorancia se une el engao cuando el afn matematizadorllega al exceso. Hace varios aos Jacob Schwartz, en un artculo con elsugerente ttulo The Pernicious Influence of Mathematics on Scien-ce, sealaba que la matemtica se presta para vestir, tanto a la cienciacomo al disparate, con el mismo uniforme hecho de frmulas y teore-mas, y aada: Por desgracia, un disparate en uniforme es muchoms persuasivo que un disparate vestido de civil (Nagel 1962: 358).

Los infundios con pasaporte matemtico tampoco son raros en lasciencias sociales y humanas; el affaire Sokal puso en evidencia muchosembustes de autores bien conocidos que usan trminos y frmulas ma-

temticas para decir sandeces con aires de profundidad (Sokal).Estas glosas no quieren dejar una sensacin de frustracin o desen-gao. Confiamos en que, a pesar de las vicisitudes, el edificio de lamatemtica prevalecer, y preferimos pensar que Aristteles noerraba cuando escribi: aquellos que afirman que las cienciasmatemticas nada dicen sobre el bien y la belleza estn en un error(Met. 1078a). Y que tal vez Baudelaire no estaba tan equivocado alpensar que todo lo que es noble y bello es el resultado de la razn ydel clculo. Sabemos que la matemtica es una actividad humana,falible como las otras; que ni la perfeccin ni la eternidad son bienesde este mundo. Pero los ideales, inaccesibles por naturaleza, puedeniluminar nuestra efmera existencia.

Parece que las tareas que valen la pena son interminables y, entreellas, ninguna tan ardua y prometedora como la bsqueda permanen-te del bien, la verdad y la belleza.

Para ngel Zapata


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ELHECHIZODEPITGORAS

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Bibliografa

Aristteles. (1996). Metaphysics. Britannica Great Books.

(1996). Prior Analytics. Britannica Great Books.

Aubrey, J. (1957). A Brief Life of Thomas Hobbes, 1588-1679. En: Oliver L.

Dick (ed.),Aubreys Brief Lives. Nonpareil Books.

Bronowski, J. (1968). Ciencia y valores humanos. Lumen.

Einstein, A. (1988). Autobiographical Notes. En: Paul A. Schlipp (ed.).

Albert Einstein: Philosopher-Scientist, The Library of Living Philosophers VII.

Open Court.

(1954). Ideas and Opinions. Wing Books.Guthrie, K. S. (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Phane Press.

Heisenberg, W. (1993). La imagen de la Naturaleza en la fsica actual. Planeta.

Jaeger, W. (1992). Paideia. Bogot: Fondo de Cultura Econmica.

Nagel, E. y James R. N. (1979). El Teorema de Gdel. Madrid: Tecnos.

Nagel, E. et al. (eds.). (1962). Logic, Methodology, and Philosophy of Science.

Stanford U. Press.

Platn. (1979). Dilogos. Mxico: Porra.

Russell, B. (1975). The Autobiography of Bertrand Russell. Unwin.

(1973). Historia de la filosofa occidental. Madrid: Aguilar.

(1961). Misticismo y lgica. Barcelona: Paids.

Sokal, A. y Jean B. (1998). Fashionable Nonsense. Postmodern intellectuals abuse

of science. Picador.

Trudeau, R. J. (1987). The non-Euclidean revolution. Birkhuser.

Wiener, N. (1964). I Am a Mathematician. M.I.T. Press.

Waerden, B. L. (1954). Van der, Science Awakening. Noordhoff.

Wigner, E. P. (1970). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in

the Natural Sciences. En: Symmetries and Reflections. M.I.T. Press.

Artculo recibido: junio 1 de 2006; aceptado: junio 29 de 2006.

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