TAKS TEXAS Aplicaciones de desigualdades

OPENER T/KDesigualdades

3A Desigualdades simples 3-1 Cmo representar y escribir

desigualdades

3-2 Cmo resolver desigualdades mediante la suma o la resta

3-3 Cmo resolver desigualdades mediante la multiplicacin o la divisin

3B Desigualdades de varios pasos y compuestas

3-4 Cmo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasos

3-5 Cmo resolver desigualdades con variables a ambos lados

Laboratorio Tablas de verdad y enunciados compuestos

3-6 Cmo resolver desigualdades compuestas

Extensin Cmo resolver desigualdades de valor absoluto

Vista del rodeo Texas Stampedeque tiene lugar en Dallas

164 Captulo 3

CLAVE: MA7 ChProj

VocabularioElige el trmino de la izquierda que corresponde a cada definicin de la derecha.

1. ecuacin

2. evaluar

3. operaciones inversas

4. trminos semejantes

5. solucin de una ecuacin

A. expresin matemtica que contiene operaciones, nmeros y/o variables

B. enunciado matemtico que establece que dos expresiones son equivalentes

C. valor de una variable que hace que un enunciado sea verdadero

D. trminos que contienen la misma variable elevada a la misma potencia

E. hallar el valor de una expresin

F. operaciones que se cancelan entre s

Evaluar expresionesEvala cada expresin para a = 2 y b = 6.

6. b - a 7. ab 8. b a 9. a + b

Comparar y ordenar nmeros realesCompara. Escribe =.

10. 10 21 11. 5.27 5.23 12. 20% 0.2 13. 1_3

2_5

Combinar trminos semejantesSimplifica cada expresin combinando los trminos semejantes.

14. 6x + x 15. -8a + 3a

16. 9x2 - 15x2 17. 2.1x + 4.3x

Propiedad distributivaSimplifica cada expresin.

18. 2 (x + 3) 19. (3 - d)5

20. 4 (r - 1) 21. 3 (4 + m)

Resolver ecuaciones de un pasoResuelve.

22. s - 3 = 8 23. -7x = 21 24. y + 11 = 2 25. h_2

= 6

26. t + 2 = -2 27. 6x = 42 28. r - 8 = -13 29. y_3

= -12

Desigualdades 165

166 Captulo 3

Vocabulario/Key Vocabulary

desigualdad inequality

desigualdad compuesta compound inequality

interseccin intersection

solucin de una desigualdad

solution of an inequality

unin union

Conexiones de vocabulario

Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los trminos de vocabulario del captulo. Puedes consultar el captulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.

1. El prefijo des- significa no. Una igualdadestablece que dos cosas son iguales. Usa estos significados para escribir tu propia definicin de desigualdad.

2. La palabra compuesta significa que tiene dos o ms partes. Qu crees que es una desigualdad compuesta?

3. La interseccin de dos carreteras es el lugar en el que se superponen. Qu crees que es la interseccin de dos grficas?

4. La palabra unin comienza con la raz uni-.Haz una lista de otras palabras que comienzan con uni-. Qu tienen en comn todas estas palabras?

lgebra I TEKS Lecc.3-1

Lecc.3-2

Lecc.3-3

Lecc.3-4

Lecc.3-5

3-6Labdelg

Lecc.3-6 Ext.

A.1.C Bases de las funciones* describir relaciones funcionales que existen en situaciones dadas y escribir ecuaciones o desigualdades para responder a preguntas que surgen de esas situaciones

A.1.D Bases de las funciones* representar las relaciones entre cantidades usando modelos concretos, tablas, grficas, diagramas, descripciones con palabras, ecuaciones y desigualdades

A.3.A Bases de las funciones* usar smbolos para representar incgnitas y variables

A.4.B Bases de las funciones* usar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para simplificar expresiones algebraicas

A.7.B Bases de las funciones* investigar mtodos para resolver desigualdades y ecuaciones lineales usando modelos concretos, grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver ecuaciones y desigualdades

A.7.C Funciones lineales* interpretar y determinar si las soluciones de las ecuaciones lineales y desigualdades son razonables

* Los conocimientos y destrezas estn descritos en detalle en las pginas TX28 a TX35.

Estrategia de estudio: Usa tus notas con eficacia Tomar notas te ayuda a ordenar, organizar y procesar la informacin de tu libro de texto y de las clases. Adems de tomar notas, debes usarlas con eficacia antes y despus de las clases.

Intntalo

1. Observa la prxima leccin en tu libro de texto. Escribe preguntas que tengas sobre el material de la leccin. Deja espacio entre las preguntas para que puedas contestarlas durante la prxima clase.

2. Observa las notas que tomaste durante la clase anterior. Anota tres maneras de mejorar tus destrezas para tomar notas.

10/05 Leccin 2-7 Aplicaciones de las proporciones

Cmo s si las figuras son semejantes?

Figuras semejantes: tienen la misma forma, pero

quizs no tienen el mismo tamao

Lados y ngulos correspondientes: tienen la misma

posicin relativa.

Figuras semejantes: si los lados corresp. son

proporcionales y los ngulos corresp. son iguales.

Usar el smbolo para mostrar que las figuras

son semej..

ABC DEF

Paso 3: Despus de la clase Completa los espacios

en blanco que dejaste durante la clase.

Resalta o encierra en crculos las ideas ms importantes, como el vocabulario, las frmulas o los procedimientos.

Usa tus notas para ponerte a prueba.

AB_DE

= BC_EF= AC_DF

mA mDmB mEmC mF

B

A C

E

FD

Paso 2: Durante la clase Escribe las ideas

principales.

Si te pierdes de algo, deja un espacio en blanco y contina tomando notas. Completa los espacios vacos despus.

Usa diagramas y abreviaturas. Asegrate de que vas a comprender las abreviaturas cuando leas las notas.

Paso 1: Antes de la clase Repasa tus notas de la

ltima clase.

Luego echa un vistazo a la prxima leccin y escribe todas las preguntas que tengas.

Desigualdades 167

168 Captulo 3 Desigualdades

3-1 Cmo representar y escribir desigualdades

Objetivos

Identificar soluciones de desigualdades en con una variable

Escribir y representar grficamente desigualdades en una variable

Vocabulariodesigualdadsolucin de una desigualdad

Las soluciones de la desigualdad del Ejemplo 1 se pueden escribir en la notacinpor comprensin,como {x | x < 6},que se lee como el conjunto de todos los nmeros reales xtales que x es menor que 6.

Los atletas de un equipo de canotaje de la categora peso liviano deben pesar 165 libras o menos. Los pesos aceptables de estos atletas se pueden describir mediante una desigualdad.

Una desigualdad es un enunciado que establece que dos cantidades no son iguales. Las cantidades se comparan mediante uno de los siguientes signos:

A B A B A B A B

A es menor que B.

A es mayor que B.

A es menor que o

igual a B.

A es mayor que o

igual a B.

A no es igual a B.

La solucin de una desigualdad es cualquier valor que hace que la desigualdad sea verdadera.

1E J E M P L O Identificar soluciones de desigualdadesDescribe las soluciones de 3 + x < 9 con palabras.

Pon a prueba los valores de x que son positivos, negativos y 0.

x -2.75 0 5.99 6 6.01 6.1

3 + x 0.25 3 8.99 9 9.01 9.1

3 + x lessQ 9 0.25 lessQ 9 3 lessQ 9 8.99 lessQ 9 9 lessQ 9 9.01 lessQ 9 9.1 lessQ 9

Es solucin? S S S No No No

Cuando el valor de x es un nmero menor que 6, el valor de 3 + x es menor que 9.

Cuando el valor de x es 6, el valor de 3 + x es igual a 9.

Cuando el valor de x es un nmero mayor que 6, el valor de 3 + x es mayor que 9.

Las soluciones de 3 + x < 9 son nmeros menores que 6.

1. Describe las soluciones de 2p > 8 con palabras.

Quin lo usa?Los miembros de un equipo de canotaje pueden usar desigualdades para asegurarse de que entran dentro de un rango de pesos. (Ver Ejemplo 4)

TEKS A.7.B Funciones lineales:: investigar mtodos para resolver desigualdades... lineales usandogrficas Ver tambin A.3.A.

Una desigualdad como 3 + x < 9 tiene { n{ ndemasiadas soluciones como para hacer

una lista. Puedes usar una grfica en una recta numrica para mostrar todas las soluciones.

Las soluciones estn sombreadas y la flecha indica que las soluciones continan ms all de las que se muestran en la grfica. Para mostrar que un extremo es una solucin, dibuja un crculo lleno en el nmero. Para mostrar que un extremo no es una solucin, dibuja un crculo vaco.

CON PALABRAS EN LGEBRA CON GRFICAS

Todos los nmeros reales menores que 5

x < 5 { x {

Todos los nmeros reales mayores que -1

x > -1 { x {

Todos los nmeros reales menores que o iguales a 1__2

x 1_2

Todos los nmeros reales mayores que o iguales a 0

x 0 { x {

Representar desigualdades

2E J E M P L O Representar grficamente desigualdadesRepresenta grficamente cada desigualdad.

A b 2.5 2b. 2 2 - 4 w 2c. m -3

3-1 Cmo representar y escribir desigualdades 169

Para saber en qu direccin tengo que sombrear una grfica, escribo las desigualdades con la variable a la izquierda del smbolo de desigualdad. S que el smbolo tiene que apuntar al mismo nmero despus de que vuelvo a escribir la desigualdad.

Por ejemplo, escribo 4 < y como y > 4.

Ahora el smbolo de desigualdad { n n { apunta hacia la direccin en la que debo

dibujar la flecha sombreada en mi grfica.

Victor SolomosEscuela Superior Palmer

Representar grficamente desigualdades

3E J E M P L O Escribir una desigualdad a partir de una grficaEscribe la desigualdad que se muestra en cada grfica.

A { x

{x

{x

Usa cualquier variable. La flecha apunta hacia la derecha, por lo tanto, usa > .

El crculo vaco en 4.5 significa que 4.5 no es una solucin. Por lo tanto, usa >.

h > 4.5

B { x{x

Usa cualquier variable. La flecha apunta hacia la izquierda, por lo tanto, usa < .

El crculo lleno en -3 significa que -3 es una solucin. Por lo tanto, usa .

m -3

3. Escribe la desigualdad { x

x

{xque se muestra en la grfica.

4E J E M P L O Aplicacin a los deportesLos miembros de un equipo de canotaje de la categora peso liviano no pueden pesar ms de 165 libras cada uno. Define una variable y escribe una desigualdad para los pesos aceptables de los miembros del equipo. Representa grficamente las soluciones.

Sea p los pesos permitidos.

Los atletas pueden pesar no ms de 165 libras.

p 165

p 165 x

x

n

Termina la grfica en 0, porque el peso de una persona debe ser un nmero positivo.

4. Los empleados de una tienda ganan al menos $8.25 por hora. Define una variable y escribe una desigualdad para la cantidad que los empleados pueden ganar por hora. Representa grficamente las soluciones.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Compara las soluciones de x > 2 y x 2.

2. ORGANZATE Copia y

0 1-1-2-3-4-5

Desigualdad Grfica

x > 1completa el organizador grfico. Dibuja una grfica en la primera fila y escribe la desigualdad correcta en la segunda.

No ms de significa menor que o igual a.

Al menos significa mayor que o igual a.

EjerciciosEjercicios


PRCTICA GUIADA 1. Vocabulario En qu se parece la solucin de una desigualdad a la solucin de

una ecuacin?

VER E JEMPLO 1pg. 168

Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

2. g - 5 6 3. -2 < h + 1 4. 20 > 5t 5. 5 - x 2


Representa grficamente cada desigualdad.

6. x < -5 7. c 3 1_2

8. (4 - 2) 3 > m 9. p 17 + 8

VER E JEMPLO 3 pg. 170

Escribe la desigualdad que se muestra en cada grfica.

10. {{x

11. {xn

n

12. { x

xx

{ 13.

{

n

14. { x {

15. { n { n


Define una variable y escribe una desigualdad para cada situacin. Representa grficamente las soluciones.

16. Debe haber al menos 20 miembros del club presentes para celebrar una reunin.

17. Un entrenador recomienda a un atleta que mantenga su ritmo cardaco por debajo de las 140 pulsaciones por minuto.

PRCTICA Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Para los Ver Ejercicios Ejemplo

1821 1 2225 2 2631 3 3233 4

Prctica independiente Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

18. -2t > -8 19. 0 > w - 2 20. 3k > 9 21. 1_2

b 6


22. 7 < x 23. t - 1_2

24. d > 4 (5 - 8) 25. t 3 2 - 2 2


26. { x {

27. {n

{

28. {{ x

x 29.

x{{x

30. { xx {

31. { n

{ n


32. La velocidad mxima permitida en la calle Main es 25 millas por hora.

33. No se tomar en cuenta a los postulantes con menos de 5 aos de experiencia.

3-1CLAVE: MA7 3-1

CLAVE: MA7 Parent*(Disponible slo en ingls)

TAKS Grado 8, Obj. 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 10

TEKS TAKSPrctica de destrezas pg. S8Prctica de aplicacin pg. S30

Mar Mediterrneo

Al Aziziyah

EgiptoArgelia

Europa

Libia


Escribe cada desigualdad con palabras.

34. x > 7 35. h < -5 36. d 23 37. r -2

Escribe cada desigualdad con la variable a la izquierda. Representa grficamente las soluciones.

38. 19 < g 39. 17 p 40. 10 < e 41. 0 < f


42. La temperatura ms alta registrada en la Tierra fue 135.9 Fen Al Aziziyah, Libia, el 13 de septiembre de 1922.

43. Se cerrarn las empresas con ganancias menores que $10,000 por ao.

44. Debes medir al menos 46 pulgadas para subir al juego La aventura de Indiana Jones del Parque de Aventuras de Disney, en California.

45. Debido a una enfermedad, un caminante slo puede caminar en reas con una altitud de no ms de 5000 pies sobre el nivel del mar.

Escribe una situacin del mundo real que se pueda describir con cada desigualdad.

46. x 0 47. x < 10 48. x 12 49. x > 8.5

Relaciona cada desigualdad con su grfica.

50. x 5 A. { x n

51. x < 5 B. { x n

52. x > 5 C. { x n

53. x 5 D. { x n

54. /////ANLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes representaron grficamente la desigualdad 4 > b. Qu grfica es incorrecta? Explica el error.

{ x { x

! "

55. Este problema te ayudar a resolver la Preparacin de varios pasos para TAKS de la pgina 186.

a. Mirna gan $125 como niera durante las vacaciones de primavera. Necesita ahorrar $90 para el viaje del Club de alemn. Quiere hacer compras con el resto del dinero. Escribe una desigualdad para mostrar cunto puede gastar.

b. Representa grficamente la desigualdad que escribiste en la parte a.

c. Mirna gasta $15 en una pulsera. Escribe una desigualdad en la que muestres cunto dinero le queda para gastar.

En el Parque Nacional Big Bend hay ms de 150 millas de senderos para excursionismo y excursionismo con mochila. Los senderos ms populares estn en las montaas Chisos, donde se encuentra el Emory Peak de 7825 pies, que es el punto ms alto del parque.

Excursionismo

45.

56. Razonamiento crtico Representa grficamente todos los enteros positivos que sean solucin de la desigualdad x < 5.

57. Escrbelo Explica cmo escribir una desigualdad que se representa con una grfica. Qu caractersticas buscas en la grfica?

58. Escrbelo En esta leccin aprendiste que la frase no ms de significa menor que o igual a y que la frase al menos significa mayor que o igual a.

a. Qu significa la frase como mximo?

b. Qu significa la frase no menos de?

59. Qu opcin NO es una solucin de la desigualdad 5 - 2x -3?

0 2 4 5

60. Qu opcin NO es una solucin de la desigualdad 3 - x < 2?

1 2 3 4

61. Qu grfica representa las soluciones de -2 1 - t?

x{{x { xx {

x{{x { xx {

DESAFO Y EXTENSINHalla valores de x y de y que hagan que cada desigualdad sea verdadera.

62. x + y x + y 63. x2 < xy 64. x - y y - x

Completa cada enunciado. Escribe < >.

65. Si a > b, entonces b a. 66. Si x > y e y > z, entonces x z.

67. Identifica un valor de x que haga que el enunciado 0.35 < x < 1.27 sea verdadero.

68. Es 5__6 una solucin de x < 1? Cuntas soluciones de x < 1 estn entre 0 y 1?

69. Escrbelo Explica cmo representar grficamente todas las soluciones de x 5.

REPASO EN ESPIRALSuma o resta. (Leccin 1-2)

70. -7 + 5 71. 6 - (-4) 72. 8 - 13 73. 12 + (-5)

Simplifica cada expresin. (Leccin 1-7)

74. x + 3x 75. x + (x + 1) + (x + 2) 76. 5 + (x + 3) + 5 + 2(x + 3)

77. En la clase de Sally hay el doble de chicas que de chicos. Escribe una regla para la cantidad de chicas que hay en la clase de Sally. Halla la cantidad de chicas si hay 8 chicos. (Leccin 1-8)

78. Un videoclub cobra una cuota de socio de $12 ms $2.00 por cada alquiler de video. Escribe una regla para el costo de alquilar x videos. Halla el costo de alquilar 3, 7 y 15 videos. (Leccin 1-8)

Resuelve cada ecuacin. Comprueba tu respuesta. (Leccin 2-4)

79. 2b - 6 = b + 3 80. -3 (2 - x) = 5x + 2 81. 2 (y + 1) = 2y + 1

3-2 Cmo resolver desigualdades mediante la suma o la resta

ObjetivosResolver desigualdades de un paso mediante la suma

Resolver desigualdades de un paso mediante la resta

Quin lo usa?Puedes usar desigualdades para determinar cuntas fotos ms puedes tomar. (Ver Ejemplo 2)

Tenea tiene un telfono celular que tambin toma fotografas. Luego de tomar algunas fotos, Tenea puede usar una desigualdad de un paso para determinar cuntas ms puede tomar.

Resolver desigualdades de un paso es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso. Para resolver una desigualdad, debes despejar la variable usando las propiedades de desigualdad y las operaciones inversas.

Suma y resta

CON PALABRAS CON NMEROS EN LGEBRA

Suma

Puedes sumar el mismo nmero a ambos lados de la desigualdad y el enunciado seguir siendo verdadero.

3 < 8

3 + 2 < 8 + 2

5 < 10

a < b

a + c < b + c

Resta

Puedes restar el mismo nmero de ambos lados de la desigualdad y el enunciado seguir siendo verdadero.

9 < 12

9 - 5 < 12 - 5

4 < 7

a , y .

Propiedades de la desigualdad

1E J E M P L O Usar la suma y la resta para resolver desigualdadesResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A x + 9 < 15x + 9 < 15 Como se suma 9 a x, resta 9 de ambos lados para

cancelar la suma.

- 9

- 9

x + 0 < 6 x < 6 { n {n

B d - 3 > -6d - 3 > -6 Como se resta 3 de d, suma 3 a ambos lados para

cancelar la resta.

+ 3

+ 3

d + 0 > -3 { x{x d > -3

Usa una operacin inversa para cancelar la operacin en una desigualdad. Si la desigualdad contiene una suma, usa la resta para cancelarla.

TEKS A.7.B Funciones lineales: investigar mtodos para resolver desigualdades lineales usando grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver desigualdades.

Ver tambin A.1.C, A.1.D, A.3.A, A.7.C

3- 2 Cmo resolver desigualdades mediante la suma o la resta 175

Resuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

C 0.7 n - 0.4 0.7 n - 0.4 Como se resta 0.4 de n, suma 0.4 a ambos lados para

cancelar la resta.

+ 0.4

+ 0.4 1.1 n - 0

x{x {

n 1.1


1a. s + 1 10 1b. 2 1_2

> -3 + t 1c. q - 3.5 < 7.5

Como puede haber una cantidad infinita de soluciones de una desigualdad, no es posible comprobar todas las soluciones. Puedes comprobar el extremo y la direccin del smbolo de desigualdad. Las soluciones de x + 9 < 15 estn dadas por x < 6.

Paso 1 Comprueba el extremo.

Sustituye x por 6 en la ecuacin relacionada, x + 9 = 15. El extremo debe ser una solucin de la ecuacin.

x + 9 = 15

6 + 9 15

15 15

Paso 2 Comprueba el smbolo de desigualdad.

Sustituye x por un nmero menor que 6 en la desigualdad original. El nmero que elijas debe ser una solucin de la desigualdad.

x + 9 < 15

4 + 9 < 15

13 < 15

2E J E M P L O Aplicacin a la resolucin de problemas

RESOLUCIN

DE PROBLEMAS

La memoria de la cmara del telfono celular de Tenea le permite tomar hasta 20 fotografas. Tenea ya ha tomado 16. Escribe, resuelve y representa grficamente una desigualdad para mostrarcuntas fotografas ms puede tomar.

1 Comprende el problema

La respuesta ser una desigualdad y una grfica en las que se mostrarn todas las cantidades de fotografas que Tenea puede tomar.

Haz una lista con la informacin importante: Tenea puede tomar hasta, o como

mximo, 20 fotografas. Tenea ya ha tomado 16 fotografas.

2 Haz un plan

Escribe una desigualdad.Sea f la cantidad de fotografas que Tenea todava puede tomar.

La cantidad tomada

msla cantidad que queda

es como mximo

20fotografas.

16 + f

20


3 Resuelve

16 + p 20 Como se suma 16 a p, resta 16 de ambos lados para cancelar la suma.

-16

- 16

p 4

No sera razonable que Tenea tomara un nmero negativo o fraccionario de fotografas, por lo tanto, representa grficamente los enteros no negativos menores que o iguales a 4.Tenea podra tomar 0, 1, 2, 3

{ x 4 fotografas ms.

4 Repasa

Comprueba Comprueba el extremo, 4. Comprueba un nmero menor que 4.

16 + p = 20

16 + 4 20

20 20

16 + p 20

16 + 2 20

18 20

Si se tomaran 0, 1, 2, 3 4 fotografas ms, stas no superaran las 20.

2. La dosis diaria recomendada (DDR) de hierro para una mujer dentro del grupo de edades de Sarah (14 a 18 aos) es 15 mg por da. Sarah ha consumido 11 mg de hierro en el da. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar cuntos miligramos ms puede consumir Sarah.

3E J E M P L O Aplicacin a los deportesJosh puede levantar una pesa de 220 libras. Quiere levantar al menos 250 libras. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuntas libras ms tiene que levantar Josh para alcanzar su meta. Comprueba tu respuesta.

Sea l la cantidad de libras adicionales que Josh debe levantar.

220 libras ms las libras adicionales es al menos 250 libras.

220 + l 250

220 + l 250 Como se suma 220 a l, resta 220 de ambos lados para cancelar la suma.

- 220 - 220

l 30

Comprueba Comprueba el extremo, 30. Comprueba un nmero mayor que 30.

220 + l = 250

220 + 30 250

250 250

220 + l 250

220 + 40 250

260 250

Josh debe levantar al menos 30 libras ms para alcanzar su meta.

3. Y si...? Josh quiere batir el rcord de la escuela, que es 282 libras. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuntas libras ms necesita levantar Josh para batir el rcord de la escuela. Comprueba tu respuesta.

PRCTICA GUIADA VER E JEMPLO 1

pg. 174


1. 12 -11


5. Salud Para que sea segura para un adulto, la temperatura mxima del agua en un spa debe ser 104 F. La temperatura del agua en el spa de Bill es 102 F. Se aumenta la temperatura en t F. Escribe, resuelve y representa grficamente una desigualdad para mostrar los valores de t para los que la temperatura del agua es segura.


6. Economa para el consumidor Un restaurante local lleva la comida a domicilio si el valor de la compra es al menos $25.00. El total de una parte de tu pedido es $17.95. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cunto ms debes gastar para que el restaurante te lleve el pedido.



710 1 11 2 12 3

Prctica independiente Resuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

7. a - 3 2 8. 2.5 > q - 0.8 9. -45 + x < -30 10. r + 1_4

3_4

11. Ingeniera La carga mxima que soporta un elevador es 2000 libras. El peso total de los pasajeros del elevador es 1400 libras. Un repartidor que pesa 243 libras ingresa al elevador con una caja de peso p. Escribe, resuelve y representa grficamente una desigualdad para mostrar los valores de p que no harn que se sobrepase el lmite de peso del elevador.

12. Transporte El tanque de gasolina del automvil de Mindy puede contener como mximo 15 galones de gasolina. Mindy ya ha cargado 7 galones en el tanque y cargar g galones ms. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar todos los valores de gque Mindy puede agregarle al tanque.

Representa cada enunciado con una desigualdad. Resulvela y representa grficamente las soluciones.

13. Diez menos que un nmero x es mayor que 32.

14. 6 sumado a un nmero n es menor que o igual a 4.

15. 13 restado de un nmero r es como mximo 15.

3-2

RAZONAR Y COMENTAR1. Muestra cmo comprobar tu solucin del Ejemplo 1B.

2. Explica en qu se parecen las propiedades de desigualdad de la suma y de la resta a las propiedades de igualdad de la suma y de la resta.

3. ORGANZATE Copia y completa el organizador grfico. Propiedades de desigualdad

RestaSuma

En cada recuadro, escribe una desigualdad que requiera que uses la propiedad especificada para resolverla. Luego resuelve y representa grficamente la desigualdad.

EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 3-2

CLAVE: MA7 Parent

*(Disponible slo en ingls)

TAKS Grado 8, Obj. 1, 4, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 4, 8, 10

A veces, las lentes de contacto de efectos especiales forman parte del vestuario para una pelcula. Todas las lentes de contacto se deben usar bajo la supervisin de un oftalmlogo.

Salud


16. x + 4 2 17. -12 + q > 39 18. x + 3_5

< 7 19. -4.8 p + 4

20. -12 x - 12 21. 4 < 206 + c 22. y - 1_3

> 2_3

23. x + 1.4 1.4

24. Usa la desigualdad s + 12 20 para completar los nmeros que faltan.

a. s b. s + 30 c. s - 8

25. Salud Ciertas lentes de contacto se pueden usar hasta 30 das seguidos. Alex ya las ha usado 21 das. Escribe, resuelve y representa grficamente una desigualdad para mostrar cuntos das ms Alex puede usar las lentes de contacto.

Resuelve cada desigualdad y relaciona la solucin con la grfica correcta.

26. 1 x - 2 A. { x{x

27. 8 > x - (-5) B. { x{x

28. x + 6 > 9 C. { x{x

29. -4 x - 7 D. { x{x

30. Estimacin Es x < 10 una estimacin razonable para las soluciones de la desigualdad 11.879 + x < 21.709? Explica tu respuesta.

31. Deportes Cuando el equipo de bisbol Seattle Mariners juega en su estadio, hay 45,611 asientos en las cuatro reas que se describen en la tabla. Supongamos que todos los asientos del nivel suite y del nivel club estn ocupados durante un partido. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuntas personas p podran ocupar los otros tipos de asientos.

32. Razonamiento crtico Recuerda que en el Captulo 2 se usaba una balanza para hacer un modelo de la resolucin de ecuaciones. Describe cmo se puede usar una balanza para hacer un modelo de la resolucin de desigualdades.

33. Razonamiento crtico Explica por qu x + 4 6 y x - 4 -2 tienen las mismas soluciones.

34. Escrbelo En qu se diferencian las soluciones de x + 2 3 y x + 2 > 3? En qu se diferencian las grficas de las soluciones?

Asientos para los partidos en el estadio de los Mariners

Tipo de asiento Cantidad de asientos

Nivel principal 24,399

Nivel superior 16,022

Nivel club 4,254

Nivel suites 936


a. Daryl calcula que la distancia entre Columbus, Ohio, y Washington, D.C, es 411 millas. Cul es la distancia del viaje de ida y vuelta?

b. Daryl puede pagar un viaje de 1000 millas. Muestra con una desigualdad la cantidad de millas m que puede recorrer durante su estada en Washington, D.C.

c. Resuelve la desigualdad y representa grficamente las soluciones en una recta numrica. Demuestra que tu respuesta es razonable.

36. Qu opcin es una solucin razonable de 4.7367 + p < 20.1784?

15 16 24 25

37. Qu enunciado se puede representar con x + 3 12?

Sam tiene 3 botellas de agua. Entre los dos, Sam y Dave tienen como mximo 12 botellas de agua.

Jennie vendi 3 libros de recetas. Para ganar un premio, tiene que vender al menos 12 libros de recetas.

Peter tiene 3 gorras de bisbol. Peter y sus hermanos tienen menos de 12 gorras de bisbol.

Kathy nad 3 vueltas a la piscina esta semana. Tiene que nadar ms de 12 vueltas.

38. Qu grfica representa las soluciones de p + 3 < 1?

x{{x { xx {

n{x { xx {

39. Qu desigualdad NO tiene las mismas soluciones que n + 12 26?

n 14 n + 6 20 10 n - 4 n - 12 14

DESAFO Y EXTENSINResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

40. 6 9_10

4 4_5

+ x 41. r - 1 2_5

3 7_10

42. 6 2_3

+ m > 7 1_6

Determina si cada enunciado es verdadero algunas veces, siempre o nunca. Explica.

43. a + b > a - b

44. Si a > c, entonces a + b > c + b.

45. Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d.

46. Si x + b > c y x > 0 tienen las mismas soluciones, cul es la relacin entre b y c ?

REPASO EN ESPIRALResuelve cada ecuacin para la variable que se indica. (Leccin 2-5)

47. 2x + 3y = 9 para y 48. P = 4s para s 49. 2a + ab = c para a

50. p + e = f para e 51. 2s - k = 11 para k 52. 5m + n = 0 para m

Halla el valor de x en cada diagrama de figuras semejantes. (Leccin 2-7)

53.

{ x

54.

x

Escribe la desigualdad que se muestra en cada grfica. (Leccin 3-1)

55. { x {

56. { x {

3-3 Cmo resolver desigualdades mediante la multiplicacin o la divisin

ObjetivosResolver desigualdades de un paso mediante la multiplicacin

Resolver desigualdades de un paso mediante la divisin

Quin lo usa?Puedes resolver una desigualdad para determinar cunto puedes comprar con cierta cantidad de dinero. (Ver Ejemplo 3)

Recuerda que resolver desigualdades es similar a resolver ecuaciones. Para resolver una desigualdad que contiene una multiplicacin o una divisin, cancela la operacin dividiendo o multiplicando ambos lados de la desigualdad por el mismo nmero.

Las siguientes reglas muestran las propiedades de la desigualdad para multiplicar o dividir por un nmero positivo. Las reglas para multiplicar o dividir por un nmero negativo aparecen ms adelante en esta leccin.

Multiplicacin y divisin por nmeros positivos


Multiplicacin

Puedes multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero positivo y el enunciado seguir siendo verdadero.

7 < 12

7 (3) < 12 (3)

21 < 36

Si a 0, entonces ac < bc.

Divisin

Puedes dividir ambos lados de una desigualdad entre el mismo nmero positivo y el enunciado seguir siendo verdadero.

15 < 35

15_5

0,

entonces a_c < b_c .

Estas propiedades tambin se cumplen para las desigualdades con los smbolos >, y .

Propiedades de la desigualdad

1E J E M P L O Multiplicar o dividir por un nmero positivoResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A 3x > -273x > -27 Como x se multiplica por 3, divide ambos lados

entre 3 para cancelar la multiplicacin.3x_3

> -27_3

1x > -9 x > -9 { n n

{

Esto es todo lo que tengo, as que llevar 3 lpices, 3 cuadernos, una carpeta y 0.9 calculadoras.

Jonn

y Ha

wki

ns/C

arto

onRe

sour

ce.c

om

TEKS A.7.B Bases de las funciones: investigar mtodos para resolver desigualdades lineales usando grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver desigualdades.

Ver tambin A.1.C, A.1.D, A.3.A, A.7.C

3- 3 Cmo resolver desigualdades mediante la multiplicacin o la divisin 181


B 2_3

r < 6

2_3

r < 6 Como r se multiplica por 2__3 , multiplica

ambos lados por el recproco de 2__3 .

3_2

(2_3 r) < 3_2 (6) r < 9

{ n n {


1a. 4k > 24 1b. -50 5q 1c. 3_4

g > 27

Si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un nmero negativo, la desigualdad resultante no es un enunciado verdadero. Debes invertir el smbolo de desigualdad para que sea verdadero.

5 > -3 5 es mayor que -3.

Multiplica ambos lados por -2.

Sabes que -10 es menor que 6, entonces usa el smbolo para menor que.

5 (-2) -3(-2)

-10 6

-10 < 6

x

Al multiplicar ambos lados por un nmero negativo se cambia el signo de ambos lados de la desigualdad.

Esto significa que hay otro conjunto de propiedades de la desigualdad para multiplicar o dividir por un nmero negativo.

Multiplicacin y divisin por nmeros negativos


Multiplicacin

Si multiplicas ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero negativo, debes invertir el smbolo de desigualdad para que el enunciado siga siendo verdadero.

8 > 4

8 (-2) 4 (-2)

-16 -8

-16 < -8

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

Divisin

Si divides ambos lados de una desigualdad entre el mismo nmero negativo, debes invertir el smbolo de desigualdad para que el enunciado siga siendo verdadero.

12 > 412_-4

4_-4

-3 -1

-3 < -1

Si a > b y c < 0,

entonces a_c < b_c .

Estas propiedades tambin se cumplen para las desigualdades con los smbolos

x

x

{ n { n


2E J E M P L O Multiplicar o dividir por un nmero negativoResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A -8x > 72-8x_-8

< 72_-8

Como x se multiplica por -8, divide ambos lados entre -8. Cambia > por -0.25h

3E J E M P L O Aplicacin para el consumidorRyan tiene una tarjeta de regalo de $16 para una tienda de alimentos naturales en la que un batido cuesta $2.50 con impuestos. Qu cantidades de batidos puede comprar Ryan?

Sea b la cantidad de batidos que Ryan puede comprar.

$2.50 por la cantidad de batidos es como mximo $16.00.

2.50 b 16.00

2.50b 16.00

2.50b_2.50

16.00_2.50

Como b se multiplica por 2.50, divide ambos lados entre 2.50.El smbolo no cambia.

Ryan slo puede comprar un nmero cabal de batidos.b 6.4

Ryan puede comprar 0, 1, 2, 3, 4, 5 6 batidos.

3. Una jarra tiene capacidad para 128 onzas de jugo. Qu cantidades de porciones de 10 onzas se pueden servir con una jarra?

RAZONAR Y COMENTAR1. Compara las propiedades de desigualdad de la multiplicacin y de la divisin

y las propiedades de igualdad de la multiplicacin y de la divisin.

2. ORGANZATE Copia y completa el organizador grfico. En cada celda, escribe y resuelve una desigualdad.

Resolver desigualdades mediante la multiplicacin y la divisin

Divide

Multiplica

Por un nmero positivo Por un nmero negativo

No cambies la direccin del smbolo de desigualdad slo porque ves un signo negativo. Por ejemplo, no tienes que cambiar el smbolo cuando resuelves 4x < -24.

EjerciciosEjercicios3-3

PRCTICA GUIADA



1. 3b > 27 2. -40 8b 3. d_3

> 6 4. 24d 6

5. 1.1m 1.21 6. 2_3

k > 6 7. 9s > -18 8. 4_5

r_2


9. -2x < -10 10. b_-2

8 11. -3.5n < 1.4 12. 4 > -8g

13. d_-6

< 1_2

14. -10h -6 15. 12 > t_-6

16. - 1_2

m -7


17. Viajes Tom ahorr $550 para un viaje escolar. El costo de una habitacin de hotel, con impuestos incluidos, es $80 por noche. Escribe una desigualdad para mostrar la cantidad de noches que Tom puede quedarse en el hotel.



1829 1 3041 2 42 3


18. 10 < 2t 19. 1_3

j 4 20. -80 < 8c 21. 21 > 3d

22. w_4

-2 23. h_4

2_7

24. 6y < 4.2 25. 12c -144

26. 4_5

x 2_5

27. 6b 3_5

28. -25 > 10p 29. b_8

-2

30. -9a > 81 31. 1_2

< r_-3

32. -6p > 0.6 33. y_

-4 > - 1_

2

34. - 1_6

f < 5 35. -2.25t < -9 36. 24 -10w 37. -11z > 121

38. 3_5

< f_

-5 39. -k 7 40. -2.2b < -7.7 41. 16 - 4_

3 p

42. Campamento La cuerda que Roz trajo en su equipo de campamento mide 54 pulgadas de largo. Roz necesita la cuerda en trozos ms cortos, de 18 pulgadas cada uno. Qu cantidades de trozos puede cortar?


43. -8x < 24 44. 3t 24 45. 1_4

x < 5 46. 4_5

p -24

47. 54 -9p 48. 3t > - 1_2

49. - 3_4

b > - 3_2

50. 216 > 3.6r

Escribe una desigualdad para cada enunciado. Resuelve la desigualdad y representa grficamente las soluciones.

51. El producto de un nmero y 7 es no menos de 21.

52. El cociente de h y -6 es al menos 5.

53. El producto de - 4__5 y b es como mximo -16.

54. Diez es no ms que el cociente de t y 4.

55. Escrbelo Explica cmo sabes si tienes que invertir el smbolo de desigualdad cuando resuelves una desigualdad.

56. Geometra El rea de un rectngulo es como mximo 21 pulgadas cuadradas. El ancho del rectngulo es 3.5 pulgadas. Cules son las medidas posibles de la longitud del rectngulo?

CLAVE: MA7 3-3

CLAVE: MA7 Parent


TAKS Grado 8, Obj. 1, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 4, 10


Al nacer, los oranguta-nes pesan alrededor de 3.5 libras. Cuando son adultos, las hembras pueden pesar hasta 110 libras, mientras que los machos pueden pesar hasta 300 libras.

Animales


57. -0.5t 1.5 A. { x{x

58. 1_9

t -3 B. { x{x

59. -13.5 -4.5t C. { x{x

60. t_-6

- 1_2

D. n{x

61. Animales En un refugio de vida silvestre de Carolina del Norte viven especies autctonas de pjaros, mamferos y reptiles. Si el alimento para gatos se vende en bolsas de 20 lb, cul es la menor cantidad de bolsas necesarias en un ao?

Alimento consumido por semana en el refugio de vida silvestre

Tipo de alimento Cantidad de alimento (lb)

Uvas 4

Mezcla de semillas 10

Cacahuates 5

Alimento para gatos 10

Alimento para gatitos 5

62. Educacin Para obtener una A en una clase de matemticas de la universidad, un estudiante debe conseguir no menos del 90% de todos los puntos posibles. En un semestre, los estudiantes con al menos 567 puntos obtuvieron una A en la clase. Muestra las cantidades de puntos posibles con una desigualdad.

63. Razonamiento crtico Explica por qu no puedes resolver una desigualdad multiplicando ambos lados por cero.

64. /////ANLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes tienen respuestas distintas a un problema. Qu respuesta es incorrecta? Explica el error.

A B 9m -27

m -3

9m -27

m -3

-279m9 9

____ ____

-279m9 9

____ ____

65. Jan tiene un presupuesto de $800 para el servicio de buffet. La empresa de servicios de buffet cobra $12.50 por invitado. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar la cantidad de personas que Jan puede invitar.


a. El club de natacin puede gastar un total de $250 en habitaciones de hotel para su viaje de primavera. Un hotel cuesta $75 por noche. Escribe una desigualdad para hallar la cantidad de habitaciones que el club puede reservar en ese hotel. Sea c la cantidad de habitaciones.

b. Resuelve la desigualdad que escribiste en la parte a. Representa grficamente las soluciones en una recta numrica. Asegrate de que tu respuesta sea razonable.

c. Otro hotel ofrece una tarifa de $65 por noche. Esto permite al club reservar ms habitaciones? Explica tu razonamiento.

67. Qu desigualdad NO tiene las mismas soluciones que - 2_3

y > 4?

12 < -2y - 3_4

y > 9_2

y_2

< -12 -3y > 18

68. Las soluciones de qu desigualdad NO { x{xse representan con la siguiente grfica?

x_2

-2 3x -12

-5x 20 -7x 28

69. Qu desigualdad se puede usar para hallar la cantidad de estampillas de 37 centavos que puedes comprar con $4.00?

0.37e 4.00 e_0.37

4.00

0.37e 4.00 4.00_0.37

e

70. Respuesta breve Escribe tres desigualdades que tengan las mismas soluciones que x > 4. Muestra tu trabajo y explica cada paso.

DESAFO Y EXTENSINResuelve cada desigualdad.

71. 2 1_3

- 5_6

g 72. 2x_3

< 8.25 73. 2 5_8

m > 7_10

74. 3 3_5

f 14 2_5

75. Estimacin Cul es el mayor entero que puede ser solucin de la desigualdad 3.806x < 19.902?

76. Razonamiento crtico La propiedad transitiva de la igualdad dice que si a = b y b = c, entonces a = c. Existe una propiedad transitiva de la desigualdad? Da un ejemplo que apoye tu respuesta.

77. Razonamiento crtico La propiedad simtrica de la igualdad dice que si a = b,entonces b = a. Existe una propiedad simtrica de la desigualdad? Da un ejemplo que apoye tu respuesta.

REPASO EN ESPIRALEscribe la potencia que representa cada modelo geomtrico. (Leccin 1-4)

78. 79. 80.

Halla la tasa unitaria. (Leccin 2-6)

81. Doce galones de gasolina cuestan $22.68.

82. Un rbol crece cuatro pies en seis aos.

83. Un estudiante escribe a mquina 105 palabras en 3 minutos.

Resuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones. (Leccin 3-2)

84. x + 5 3 85. t - 1_4

< 3_4

86. 4 > x - 1 87. 6 > b - 8

Desigualdades simplesRecuerda El lamo! El club de espaol est organizando un viaje para el prximo verano. Planean viajar de Fort Worth, Texas, a San Antonio, Texas. Pueden gastar $550 en todo el viaje.

1. El tesorero del club destin $60 del presupuesto para gasolina. El precio actual de la gasolina es $1.95/galn. La camioneta de la escuela recorre un promedio de 20 millas por galn de gasolina. Determina cuntas millas podrn viajar con este presupuesto. Redondea tu respuesta a la milla ms cercana.

2. La distancia entre Fort Worth y San Antonio es 266 millas. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar la cantidad de millas m que podrn recorrer durante su estada en San Antonio. Resuelve tu desigualdad y representa grficamente las soluciones.

3. El tesorero destin $200 para habitaciones de hotel por una noche. El club eligi un hotel que cobra $58 por noche. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar la cantidad de habitaciones n que pueden reservar. Cul es la cantidad mxima de habitaciones que pueden reservar en el hotel?

4. Usa la cantidad mxima de habitaciones que hallaste en la parte 3. Cunto gastar el club en las habitaciones de hotel?

5. Los miembros del club planean gastar $80 en comida. Tambin quieren ver las atracciones de San Antonio, como SeaWorld y El lamo.

Escribe una desigualdad que sirva para hallar la cantidad de dinero disponible para las atracciones. Cul es la cantidad mxima que el club puede gastar en las atracciones?

6. Escribe un resumen del presupuesto del viaje del club de espaol. Incluye la cantidad de dinero que piensan gastar en gasolina, hotel, comida y atracciones.

SECCIN 3A



Listo para seguir? 187

Prueba de las Lecciones 3-1 a 3-3

3-1 Cmo representar y escribir desigualdadesDescribe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

1. -2 < r 2. t - 1 7 3. 2s 6 4. 4 > 5 - x


5. x > -2 6. m 1 1_2

7. g < 8 + 1 8. h 2 3


9. { x{x

10. { x {

11.

x

{x {

Escribe una desigualdad para cada situacin y representa grficamente las soluciones.

12. Debes comprar al menos 5 entradas para obtener un descuento.

13. Los nios menores de 13 aos tienen prohibida la entrada a algunas pelculas a menos que estn con adulto.

14. Un plan de telefona celular ofrece hasta 250 minutos gratis por mes.

3-2 Cmo resolver desigualdades mediante la suma o la restaResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

15. k + 5 7 16. 4 > p - 3 17. r - 8 -12 18. -3 + p < -6

19. Allie debe vender al menos 50 canastas de regalos para recaudar fondos para la banda. Ya vendi 36 canastas. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuntas canastas ms tiene que vender.

20. Dante tiene como mximo $12 para gastar en entretenimiento cada semana. Hasta ahora, gast $7.50 esta semana. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cunto dinero puede gastar Dante en entretenimiento durante el resto de la semana.

3-3 Cmo resolver desigualdades mediante la multiplicacin o la divisinResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

21. -4x < 8 22. d_3

-3 23. 3_4

t 12 24. 8 > -16c

25. Un carrete de cinta mide 80 pulgadas de largo. Riley necesita cortar trozos de 14 pulgadas de largo. Qu cantidades de trozos puede cortar?

SECCIN 3A


ObjetivoResolver desigualdades que contienen ms de una operacin

3-4 Cmo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasos

En la feria del condado, los concursantes pueden participar en competencias en las que se evalan animales, recetas, cosechas, proyectos de arte y otras cosas. A veces se usa un puntaje promedio o un peso promedio para determinar el ganador del primer premio. Un concursante puede usar una desigualdad de varios pasos para determinar el puntaje o el peso necesario para ganar.

Las desigualdades que contienen ms de una operacin deben resolverse en ms de un paso. Usa las operaciones inversas para cancelar las operaciones de la desigualdad de a una por vez.

1E J E M P L O Resolver desigualdades de varios pasosResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A 160 + 4f 500

160 + 4f 500 Como se suma 160 a 4f, resta 160 de ambos lados para cancelar la suma.

Como f se multiplica por 4, divide ambos lados entre 4 para cancelar la multiplicacin.

- 160 - 160

4f 340

4f_4

340_4

f 85

{ x n

nx

B 7 - 2t 21

7 - 2t 21 Como se suma 7 a -2t, resta 7 de ambos lados para cancelar la suma.

Como t se multiplica por -2, divide ambos lados entre -2 para cancelar la multiplicacin.

Cambia por .

- 7

- 7

-2t 14

-2t_-2

14_-2

t -7

{n


1a. -12 3x + 6 1b. x + 5_-2

> 3 1c. 1 - 2n_3

7

Quin lo usa?Los concursantes de una feria del condado pueden resolver una desigualdad para hallar cuntas libras debe pesar una calabaza para ganar un premio. (Ver Ejemplo 3)

Restar un nmero es lo mismo que sumar su opuesto.

7 - 2t = 7 + (-2t)

TEKS A.7.B Funciones lineales: investigar mtodos para resolver desigualdades ... lineales usando grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver ... desigualdades.

Ver tambin A.1.C, A.1.D, A.3.A, A.4.B, A.7.C

Kelton Mason exhibe su cer-do Cowboy en la Exhibicin ganadera y de rodeo de Houston. Cowboy se vendi en $128,000.

3- 4 Cmo resolver desigualdades de varios pasos 189

Para resolver desigualdades ms complicadas, quizs necesites simplificar primero las expresiones a uno o ambos lados mediante el orden de las operaciones, la combinacin de trminos semejantes o la propiedad distributiva.

2E J E M P L O Simplificar antes de resolver desigualdadesResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A -4 + (-8) < - 5c - 2 -12 < -5c - 2 Combina los trminos semejantes. Como se resta 2 de

-5c, suma 2 a ambos lados para cancelar la resta.Como c se multiplica por -5, divide ambos lados

entre -5 para cancelar la multiplicacin.Cambia < por >.

+ 2

+ 2

-10 < -5c

-10_-5

> -5c_-5

2 > c ( c < 2)

{ x{x

B -3 (3 - x) < 42

-3(3 - x) < 4 2

-3 (3) -3(-x) < 4 2

-9 + 3x < 4 2 Distribuye -3 en el lado izquierdo.Simplifica el lado derecho.

Como se suma -9 a 3x, suma 9 a ambos lados para cancelar la suma.

Como x se multiplica por 3, divide ambos lados entre 3 para cancelar la multiplicacin.

-9 + 3x < 16 -9 + 3x < 16

+ 9

+ 9

3x < 25

3x_3

< 25_3

x < 8 1_3

{ x n

n

C 4_5

x + 1_2

> 3_5

10 (4_5x + 1_2) > 10 (3_5) Multiplica ambos lados por 10, el mcd de las fracciones.

Distribuye 10 en el lado izquierdo.

Como se suma 5 a 8x, resta 5 de ambos lados para cancelar la suma.


10 (4_5 x) + 10 (1_2) > 10 (3_5) 8x + 5 > 6

- 5

- 5

8x > 1

8x_8

> 1_8

x > 1_8

n{n n { n xn {


2a. 2m + 5 > 5 2 2b. 3 + 2 (x + 4) > 3 2c. 5_8

< 3_8

x - 1_4


3E J E M P L O Aplicacin a la jardineraPara ganar el primer premio a la cosecha de calabazas de mayor peso en la feria del condado, el peso promedio de las dos calabazas de John debe ser mayor que 819 lb. Una de sus calabazas pesa 887 lb. Cul es la menor cantidad de libras que podra pesar la segunda calabaza para que John gane el primer premio?

Sea c el peso de la segunda calabaza. El peso promedio de las calabazas es la suma de cada peso dividido entre 2.

(887 ms c) dividido entre 2 debe ser mayor que 819.

(887 + c) 2 > 819

887 + c_

2 > 819 Como 887 + c se divide entre 2, multiplica

ambos lados por 2 para cancelar la divisin.

Como se suma 887 a c, resta 887 de ambos lados para cancelar la suma.

2 (887 + c_2 ) > 2 (819) 887 + c > 1638

- 887 - 887 c > 751

La segunda calabaza debe pesar ms de 751 libras.

Comprueba Comprueba el extremo, 751. Comprueba un nmero mayor que 751.

887 + c_

2 = 819

887 + c_2

> 819

887 + 751_2

819 887 + 755_2

> 819

1638_2

819 1642_2

> 819

819 819 821 > 819

3. El promedio de los puntajes de los dos exmenes de Jim debe ser al menos 90 para que l obtenga una A en la clase. Jim obtuvo 95 puntos en el primer examen. Qu puntajes puede obtener en el segundo examen para tener una A en la clase?

RAZONAR Y COMENTAR 1. La desigualdad v 25 establece que 25 es el ? . (valor de v, valor

mnimo de v o valor mximo de v)

2. Describe dos conjuntos de pasos para resolver la desigualdad x + 5____3

> 7.

3. ORGANZATE Copia y 2ESOLVERECUACIONESY

DESIGUALDADESDEVARIOSPASOS

z%NQUSEDIFERENCIANz%NQUSEPARECEN

completa el organizador grfico.

EjerciciosEjercicios

PRCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pg. 188


1. 2m + 1 > 13 2. 2d + 21 11 3. 6 -2x + 2 4. 4c - 7 > 5

5. 4 + x_3

> -4 6. 1 < 0.2x - 0.7 7. 3 - 2x_3

7 8. 2x + 5 2

VER E JEMPLO 2 pg. 189

9. 4 (x + 2) > 6 10. 1_4

x + 2_3

< 3_4

11. 4 - x + 6 2 21

12. 4 - x > 3 (4 - 2) 13. 0.2(x - 10) > -1.8 14. 3(j + 41) 35


15. Negocios A un vendedor le dan a elegir entre dos planes de salario. La primera opcin incluye un sueldo bsico de $300 ms el 10% de comisin por sus ventas. La segunda opcin es un salario mensual de $1200. Cunto debera vender para ganar ms con la primera opcin?



1627 1 2836 2 37 3


16. 4r - 9 > 7 17. 3 5 - 2x 18. w + 3_2

> 6 19. 11w + 99 < 77

20. 9 1_2

v + 3 21. -4x - 8 > 16 22. 8 - 2_3

z 2 23. f + 2 1_2

< -2

24. 3n - 8_5

2 25. -5 > -5 - 3w 26. 10 > 5 - 3p_

2 27. 2v + 1 > 2 1_

3

28. 4 (x + 3) > -24 29. 4 > x - 3 (x + 2) 30. -18 33 - 3h

31. -2 > 7x - 2 (x - 4) 32. 9 - (9) 2 > 10x - x 33. 2a - (-3) 2 13

34. 6 - x_3

+ 1 > 2_3

35. 12(x - 3) + 2x > 6 36. 15 19 + 2 (q - 18)

37. Comunicaciones Una empresa de telefona celular ofrece un plan que cuesta $29.99 e incluye una cantidad ilimitada de minutos durante la noche y el fin de semana. Otra empresa ofrece un plan que cuesta $19.99 y cobra $0.35 por minuto durante la noche y el fin de semana. Para qu cantidades de minutos durante la noche y el fin de semana el plan de la segunda empresa cuesta ms que el de la primera?


38. -12 > -4x - 8 39. 5x + 4 14 40. 2_3

x - 5 > 7

41. x - 3x > 2 - 10 42. 5 - x - 2 > 3 43. 3 < 2x - 5 (x + 3)

44. 1_6

- 2_3

m 1_4

45. 4 - (r - 2) > 3 - 5 46. 0.3 - 0.5n + 1 0.4

47. 62 > 4 (x + 2) 48. -4 - 2n + 4n > 7 - 2 2 49. 1_4

(p - 10) 6 - 4

50. Usa la desigualdad -4t - 8 12 para escribir los nmeros que faltan.

a. t b. t + 4 c. t - 0

d. t + 10 e. 3t f. t_

-5

3-4CLAVE: MA7 3-4

CLAVE: MA7 Parent*(Disponible slo en ingls)


TAKS Grados 9 a 11, Obj. 4, 10


Escribe una desigualdad para cada enunciado. Resulvela y representa grficamente las soluciones.

51. 9 sumado a la mitad de un nmero es menor que 33.

52. Seis es menor que o igual a la suma de 4 y -2x.

53. El producto de 4 y la suma de un nmero y 12 es como mximo 16.

54. La suma de la mitad de un nmero y dos tercios del mismo nmero es menor que 14.


55. 4x - 9 7 A. { x{x

56. -6 3 (x - 2) B. { x{x

57. -2x - 6 -4 + 2 C. { x{x

58. 1_2

- 1_3

x (2_3 + 1_3)2

D. { x{x

59. Entretenimiento Una grabadora de video digital (DVR, por sus siglas en ingls) graba programas de televisin en un disco duro interno. Para usar una DVR, necesitas suscribirte a una empresa que provea el servicio. Dos empresas anuncian sus tarifas por una mquina DVR y la suscripcin al servicio.

Para qu cantidades de meses un consumidor pagar menos por la mquina y la suscripcin en Easy Electronics que en Cable Solutions?

60. Geometra El rea del tringulo que se muestra es menor que 55 pulgadas cuadradas. a. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar x.

b. Resuelve la desigualdad que escribiste en la parte a.

c. Cul es la altura mxima que puede tener el tringulo?PULG

PULG

Cantidad Proceso Costo

1 350 + 3 353

2

3

10

n


a. Una banda quiere grabar un CD de su ltimo concierto. Recibieron una donacin de $500 dlares para cubrir el costo. La grabacin cuesta $350 ms $3 por CD. Completa la tabla para hallar una relacin entre la cantidad de CD y el costo total.

b. Escribe una ecuacin para el costo C de los CD en base a la cantidad n de CD.

c. Escribe una desigualdad que se pueda usar para determinar cuntos CD se pueden grabar con la donacin de $500. Resuelve la desigualdad y determina cuntos CD puede grabar la banda con la donacin de $500.

62. Razonamiento crtico Cul es el menor nmero cabal que es solucin de 4r - 4.9 > 14.95?

63. Escrbelo Describe dos conjuntos de pasos para resolver 2 (x + 3) > 10.

64. Cules son las soluciones de 3y > 2x + 4 cuando y = 6?

7 > x x > 7 x > 11 11 > x

65. Cecilia tiene $30 para gastar en una feria. La entrada cuesta $5.00, el almuerzo cuesta $6.00 y el boleto para cada juego cuesta $1.25. Qu desigualdad representa la cantidad de boletos x que puede comprar Cecilia?

30 - (5 - 6) + 1.25x 30 30 - (5 + 6) 1.25x 5 + 6 + 1.25x 30 30 + 1.25x 5 + 6

66. Qu enunciado se representa con 2p + 5 < 11?

La suma de 5 y 2 por p es al menos 11.

Cinco sumado al producto de 2 y p es menor que 11.

Dos por p ms 5 es como mximo 11.

El producto de 2 y p sumado a 5 es 11.

67. Respuesta grfica Un equipo de bsquetbol anot 8 puntos ms en su segundo partido que en el primero. En el tercer partido, el equipo anot 42 puntos. La cantidad total de puntos en los tres partidos fue ms de 150. Cul es la menor cantidad de puntos que el equipo pudo haber anotado en el segundo partido?

DESAFO Y EXTENSINResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

68. 3(x + 2) - 6x + 6 0 69. -18 > -(2x + 9) - 4 + x 70. 2 + x_2

- (x - 1 )> 1

Escribe una desigualdad para cada enunciado. Representa grficamente las soluciones.

71. x es un nmero positivo. 72. x es un nmero negativo.

73. x es un nmero no negativo. 74. x no es un nmero positivo.

75. x por 3 negativo es positivo. 76. El opuesto de x es mayor que 2.

REPASO EN ESPIRALHalla cada raz cuadrada. (Leccin 1-5)

77. 49 78. - 144 79. 4_9 80. 196 81. - 1 82. 10,000

83. El videoclub A cobra una cuota de socio de $25 y $2 por cada alquiler de video. El videoclub B cobra una cuota de socio de $10 y $2.50 por cada pelcula. Halla la cantidad de alquileres para la que el precio de ambos videoclubes es el mismo. (Leccin 2-4)

Resuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones. (Leccin 3-3)

84. 2x < -8 85. a_-2

-3 86. 1_4

< t_12

3-5 Cmo resolver desigualdades con variables a ambos lados

ObjetivoResolver desigualdades que tienen variables a ambos lados

Quin lo usa?Los dueos de empresas pueden usar desigualdades para buscar los servicios ms econmicos. (Ver Ejemplo 2)

Algunas desigualdades tienen trminos variables a ambos lados del smbolo de desigualdad. Puedes resolver estas desigualdades como resolviste las ecuaciones con variables a ambos lados.

Usa las propiedades de la desigualdad para reunir todos los trminos variables de un lado y todos los trminos constantes del otro.

1E J E M P L O Resolver desigualdades con variables a ambos ladosResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A x < 3x + 8 x < 3x + 8 Para reunir los trminos variables de un lado,

resta x de ambos lados.

Como se suma 8 a 2x, resta 8 de ambos lados para cancelar la suma.


- x

- x

0 < 2x + 8

- 8

- 8

-8 < 2x

-8_2

< 2x_2

-4 < x ( x > -4)

{ x{x

B 6x - 1 3.5x + 4 6x - 1 3.5x + 4 Resta 6x de ambos lados.

Como se suma 4 a -2.5x, resta 4 de ambos lados para cancelar la suma.

Como x se multiplica por -2.5, divide ambos lados entre -2.5 para cancelar la multiplicacin. Invierte el smbolo de desigualdad.

- 6x

- 6x

-1 -2.5x + 4

- 4

- 4

-5 -2.5x

-5_-2.5

-2.5x_-2.5

2 x

{ x{x


1a. 4x 7x + 6 1b. 5t + 1 < -2t - 6


TEKS A.7.B Funciones lineales: investigar mtodos para resolver desigualdades ...lineales sando grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver desigualdades.

Ver tambin A.1.C, A.1.D, A.3.A

3-5 Cmo resolver desigualdades con variables a ambos lados 195

2E J E M P L O Aplicacin a los negociosEl peridico Daily Info cobra una tarifa de $650 ms $80 por semana para publicar un aviso. El Peoples Paper cobra $145 por semana. Para cuntas semanas el costo del Daily info ser menor que el costo del Peoples Paper?

Sea s la cantidad de semanas que se publica el aviso.

La tarifa del Daily

Infoms

$80 por semana

por semanaes

menosque

lo que cobra el Peoples

Paperpor semanas

$650 + $80 s < $145 s

650 + 80s < 145s

- 80s - 80s Resta 80s de ambos lados.Como s se multiplica por 65, divide ambos lados

entre 65 para cancelar la multiplicacin. 650 < 65s

650_65

< 65s_65

10 < s

El costo total en el Daily Info es menor que el costo en el Peoples Papersi el aviso se publica durante ms de 10 semanas.

2. Anuncios A-Plus cobra una tarifa de $24 ms $0.10 por volante por imprimir y repartir los volantes. Impresos y Ms cobra $0.25 por volante. Para cuntos volantes el costo de Anuncios A-Plus es menor que el costo de Impresos y Ms?

Es posible que tengas que simplificar uno o ambos lados de una desigualdad antes de resolverla. Busca los trminos semejantes que puedas combinar y las posiciones en las que puedas aplicar la propiedad distributiva.

3E J E M P L O Simplificar cada lado antes de resolverResuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

A 6 (1 - x) < 3x

6 (1 - x) < 3x Distribuye 6 en el lado izquierdo de la desigualdad.Suma 6x a ambos lados para que el coeficiente

de x sea positivo.


6(1) - 6 (x) < 3x 6 - 6x < 3x

+ 6x

+ 6x

6 < 9x

6_9

< 9x_9

2_3

< x

B -0.2x + 0.9 1.6x-0.2x + 0.9 1.6x Como se suma -0.2x a 0.9, resta -0.2 de ambos lados.

Restar -0.2 es lo mismo que sumar 0.2.

Como x se multiplica por 1.8, divide ambos lados entre 1.8 para cancelar la multiplicacin.

+ 0.2x

+ 0.2x

0.9 1.8x

0.9_1.8

1.8x_1.8

1_2

x ?? ????


3a. 5 (2 - r) 3 (r - 2) 3b. 0.5x - 0.3 + 1.9x < 0.3x + 6

Hay casos especiales de desigualdades que se llaman identidades y contradicciones.

CON PALABRAS EN LGEBRA

Identidad

Si al resolver una desigualdad obtienes un enunciado que es siempre verdadero, la desigualdad original es una identidad y todos los nmeros reales son soluciones.

1 + x < 7 + x

- x

- x

1 < 7

Contradiccin

Si al resolver una desigualdad obtienes un enunciado falso, la desigualdad original es una contradiccin y no tiene soluciones.

x + 7 < x

- x

- x

7 < 0 Estas propiedades tambin se cumplen para las desigualdades con los smbolos >, y .

Identidades y contradicciones

4E J E M P L O Identidades y contradiccionesResuelve cada desigualdad.

A x + 5 x + 3 x + 5 x + 3

- x

- x Resta x de ambos lados.

El enunciado es verdadero. 5 3

Todos los valores de x hacen que la desigualdad sea verdadera. Todos los nmeros reales son soluciones.

B 2x + 6 < 5 + 2x2x + 6 < 5 + 2x

- 2x

- 2x Resta 2x de ambos lados.

El enunciado es falso. 6 < 5

No hay valores de x que hagan que la desigualdad sea verdadera. No hay soluciones.

Resuelve cada desigualdad.

4a. 4(y - 1) 4y + 2 4b. x - 2 < x + 1

En el Ejemplo 3B, tambin puedes multiplicar cada trmino de la desigualdad por una potencia de 10 para eliminar los decimales.

10(-0.2x) + 10(0.9) 10(1.6x)

-2x + 9 16x

PRCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pg. 194


1. 2x > 4x - 6 2. 7y + 1 y - 5

3. 27x + 33 > 58x - 29 4. -3r < 10 - r

5. 5c - 4 > 8c + 2 6. 4.5x - 3.8 1.5x - 2.3


7. Escuela La banda de la escuela vender pizzas para recaudar dinero para comprar uniformes nuevos. El proveedor cobra $100 ms $4 por pizza. Si los miembros de la banda venden las pizzas a $7 cada una, cuntas pizzas tendrn que vender para obtener una ganancia?



8. 5(4 + x) 3 (2 + x) 9. -4(3 - p) > 5 (p + 1) 10. 2(6 - x) < 4x 11. 4x > 3 (7 - x)

12. 1_2

f + 3_4

1_4

f 13. -36.72 + 5.65t < 0.25t



14. 2(x - 2) -2(1 - x) 15. 4(y + 1) < 4y + 2 16. 4v + 1 < 4v - 7

17. b - 4 b - 6 18. 3(x - 5) > 3x 19. 2k + 7 2 (k + 14)

PRCTICA Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS Resuelve cada desigualdad y representa grficamente las soluciones.

20. 3x 5x + 8 21. 9y + 3 > 4y - 7 22. 1.5x - 1.2 < 3.1x - 2.8

23. 7 + 4b 3b 24. 7 - 5t < 4t - 2 25. 2.8m - 5.2 > 0.8m + 4.8

26. Geometra Escribe y resuelve una desigualdad para hallar los valores de x para los que el rea del rectngulo es mayor que el rea del tringulo.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cmo reuniras los trminos variables para resolver la desigualdad

5c - 4 > 8c + 2.

2. ORGANZATE Copia y completa el organizador $ESIGUALDADESCONVARIABLESAAMBOSLADOS

#O NTRADICCIN)DENTIDAD

grfico. En cada recuadro, da un ejemplo del tipo de desigualdad que se indica.

3-5 EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 3-5

CLAVE: MA7 Parent

La Asociacin de Aficionados a las Cometas de Estados Unidos tiene ms de 4000 miembros en 35 pases. Los aficionados participan en festivales, competencias y talleres de construccin de cometas.

Tiempo libre


25 1 26 2 2732 3 3338 4


27. 4(2 - x) 5 (x - 2) 28. -3(n + 4) < 6 (1 - n) 29. 9(w + 2) 12w

30. 4.5 + 1.3t > 3.8t - 3 31. 1_2

r + 2_3

1_3

r 32. 2(4 - n) < 3n - 7


33. 3(2 - x) < -3(x - 1) 34. 7 - y > 5 - y 35. 3(10 + z) 3z + 36

36. -5(k - 1) 5 (2 - k) 37. 4(x - 1) 4x 38. 3(v - 9) 15 + 3v


39. 3t - 12 > 5t + 2 40. -5(y + 3) - 6 < y + 3

41. 3x + 9 - 5x < x 42. 18 + 9p > 12p - 31

43. 2(x - 5) < -3x 44. -2_5

x 4_5

- 3_5

x

45. -2(x - 7) - 4 - x < 8x + 32 46. -3(2r - 4) 2 (5 - 3r)

47. -7x - 10 + 5x 3 (x + 4) + 8 48. -1_3

(n + 8) + 1_3

n 1 - n

49. Tiempo libre Una cometa roja est a 100 pies del suelo y se eleva a 8 pies por segundo. Una cometa azul est a 180 pies del suelo y se eleva a 5 pies por segundo. Cunto tiempo tardar la cometa roja en estar ms arriba que la azul? Redondea tu respuesta al segundo ms cercano.

50. Educacin En la tabla se muestra la cantidad de estudiantes inscritos en la Escuela Superior Howard y en la Escuela Superior Phillips en tres aos.

a. Cunto cambi la cantidad de estudiantes inscritos en Howard cada ao?

b. Usa la cantidad de inscripciones en el ao 1 y tu respuesta de la parte a para escribir una expresin para la cantidad de inscripciones en Howard en cualquier ao x.

c. Cunto cambi la cantidad de inscripciones en Phillips cada ao?

d. Usa la cantidad de inscripciones en el ao 1 y tu respuesta de la parte c para escribir una expresin para la cantidad de inscripciones en Phillips en cualquier ao x.

e. Supongamos que el patrn de la tabla contina. Usa tus expresiones de las partes b y d para escribir una desigualdad que se pueda resolver para hallar el ao en el que la cantidad de inscripciones en la Escuela Superior Phillips ser mayor que en la Escuela Superior Howard. Resuelve tu desigualdad y representa grficamente las soluciones.

Inscripciones en las escuelas

Ao 1 Ao 2 Ao 3

Escuela Superior Howard

1192 1188 1184

Escuela Superior Phillips

921 941 961



a. La orquesta de la escuela quiere grabar un CD de su ltimo concierto. El costo de grabar los CD es $400 + 4.50 por cada CD. Escribe una expresin para el costo de grabar los CD en base a la cantidad n de CD.

b. La orquesta planea vender los CD por $12. Escribe una expresin para la cantidad que la orquesta gana por la venta de n CD.

c. Para que la orquesta obtenga una ganancia, la cantidad que gane por la venta debe ser mayor que el costo de produccin de los CD. Escribe una desigualdad que se pueda resolver para hallar la cantidad de CD que la orquesta tiene que vender para obtener una ganancia. Resuelve tu desigualdad.

Representa cada relacin con una desigualdad. Resuelve tu desigualdad.

52. Cuatro ms que el doble de un nmero es mayor que dos tercios de ese nmero.

53. Diez menos que cinco por un nmero es menor que seis por ese nmero menos ocho.

54. La suma de un nmero y veinte es menor que cuatro por ese nmero menos uno.

55. Tres cuartos de un nmero es mayor que o igual a cinco menos que ese nmero.

56. Entretenimiento Usa la tabla para determinar cuntas pelculas tendras que alquilar para que Video View fuera ms barato que Movie Place.

Cuota de socio ($) Costo por alquiler ($)

Movie Place Ninguna 2.99

Video View 19.99 1.99

57. Geometra En un tringulo acutngulo, todos los ngulos miden menos de 90. Adems, la suma de las medidas de dos ngulos cualesquiera es mayor que la medida del tercer ngulo. Pueden las medidas de un tringulo agudo ser x, x - 1 y 2x? Explica.

58. Escrbelo Compara los pasos que seguiras para resolver una desigualdad con los pasos que seguiras para resolver una ecuacin.

59. Razonamiento crtico Cmo te das cuenta de que la desigualdad x > x + 1 no tiene soluciones con slo mirarla?

60. /////ANLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes resolvieron la desigualdad 5x < 3 - 4x.Qu opcin es incorrecta? Explica el error.

61. Si a - b > a + b, qu enunciado es verdadero?

El valor de a es positivo. El valor de a es negativo.

El valor de b es positivo. El valor de b es negativo.

62. Si -a < b, qu enunciado es verdadero?

a b a < -b a > -b

63. Qu opcin es una solucin de la desigualdad 7 (2 - x) > 4 (x - 2) ?-2 2 4 7

64. Cul es la grfica de a -3x < -6?

65. Respuesta breve Escribe una situacin del mundo real que se podra representar con la desigualdad 7x + 4 > 4x + 13. Explica la relacin entre la desigualdad y la situacin.

DESAFO Y EXTENSINResuelve cada desigualdad.

66. 2 1_2

+ 2x 5 1_2

+ 2 1_2

x 67. 1.6x - 20.7 > 6.3x - (-2.2x)

68. 1.3x - 7.5x < 8.5x - 29.4 69. -4w + -8 - 37_9

75 - 3_9

+ 3w

70. Reemplaza el cuadrado y el crculo con nmeros para que la desigualdad sea una identidad. - 2x < - 2x

71. Reemplaza el cuadrado y el crculo con nmeros para que la desigualdad sea una contradiccin. - 2x < - 2x

72. Razonamiento crtico Explica si hay nmeros que puedan reemplazar el cuadrado y el crculo para que la desigualdad sea una identidad. + 2x < + x

REPASO EN ESPIRAL 73. La razn del ancho de un rectngulo a la longitud es 2 : 5. La longitud es 65 pulgadas.

Halla el ancho. (Leccin 2-6)

74. Halla el inters simple que se pag despus de 6 meses por un prstamo de $5000 a una tasa de inters del 9%. (Leccin 2-9)

Define una variable y escribe una desigualdad para cada situacin. Representa grficamente las soluciones. (Leccin 3-1)

75. Los participantes deben tener al menos 14 aos de edad.

76. La velocidad mxima en una autopista es 60 millas por hora.

Katie FlanniganPrograma de arte culinario

P: Qu clases de matemticas tomaste en la escuela superior?R: lgebra 1, geometra y lgebra 2

P: Qu clases de matemticas has tomado despus de la escuela superior?

R: He tomado una clase de contabilidad bsica y una de matemticas para los negocios.

P: Para qu usas las matemticas?R: Las uso para calcular cunta comida tengo que comprar.

Tambin las uso cuando cambio las cantidades de una receta para cocinar para muchas personas.

P: Cules son tus planes para el futuro?R: Planeo tener mi propia empresa de servicios de buffet. Las

clases de matemticas que tom me ayudarn a manejar los aspectos financieros de mi empresa.

CLAVE: MA7 Career

3-6

Para usar con la Leccin 3-6

3- 6 Laboratorio de lgebra 201

Tablas de verdad y enunciados compuestosUn enunciado compuesto se forma combinando dos o ms enunciados simples. Un enunciado compuesto puede ser verdadero o falso dependiendo de si los enunciados simples que lo componen son verdaderos o falsos.

Intntalo

Para cada par de enunciados simples, indica si P Y Q es verdadero o falso.

1. P: Muchos pjaros vuelan; Q: Una cebra es un animal.

Actividad 1

Sea P Cindy tiene al menos 17 aos de edad. Sea Q Cindy tiene licencia de conducir.

Si...entonces

P esy Q es

por lo tantoP Y Q es

Cindy tiene 18 aos de edad. Cindy tiene licencia de conducir. Verdadero Verdadero Verdadero

Cindy tiene 17 aos de edad. Cindy no tiene licencia de conducir. Verdadero Falso Falso

Cindy tiene 16 aos de edad. Cindy tiene licencia de conducir. Falso Verdadero Falso

Cindy tiene 15 aos de edad. Cindy no tiene licencia de conducir. Falso Falso Falso

P Y Q es verdadero cuando ? .

Actividad 2

Sea P Paul juega al tenis. Sea Q Paul tiene ojos marrones.

Si... entonces P es y Q es por lo tanto P O Q es

Paul juega al tenis. Paul tiene ojos marrones. Verdadero Verdadero Verdadero

Paul juega al tenis. Paul tiene ojos verdes. Verdadero Falso Verdadero

Paul no juega al tenis. Paul tiene ojos marrones. Falso Verdadero Verdadero

Paul no juega al tenis. Paul tiene ojos verdes. Falso Falso Falso

P O Q es verdadero cuando ? .

Intntalo

Para cada par de enunciados simples, indica si P O Q es verdadero o falso.

2. P : El nmero 12 es par; Q : El nmero 12 es un nmero compuesto.

3-6 Cmo resolver desigualdades compuestas

ObjetivosResolver desigualdades compuestas en una variable

Representar grficamente los conjuntos solucin de desigualdades compuestas en una variable

Vocabulariodesigualdad compuestainterseccinunin

Quin lo usa?Un salvavidas puede usar desigualdades compuestas para describir los niveles seguros de pH de una piscina. (Ver Ejemplo 1)

Las desigualdades que has visto hasta ahora son desigualdades simples. Cuando se combinan dos desigualdades simples en un enunciado con las palabras Y u O, el resultado se llama desigualdad compuesta.

CON PALABRAS EN LGEBRA GRFICAS

Todos los nmeros reales mayores que 2 Y menores que 6

x > 2 Y x < 6

2 < x < 6 { n

Todos los nmeros reales mayores que o iguales a 2 Y menores que o iguales a 6

x 2 Y x 6

2 x 6 { n

Todos los nmeros reales menores que 2 mayores que 6 x < 2 x > 6 { nTodos los nmeros reales menores que o iguales a 2 mayores que o iguales a 6

x 2 x 6 { n

Desigualdades compuestas

1E J E M P L O Aplicacin a la qumicaUn analista de agua recomienda que el nivel de pH del agua de una piscina est entre 7.2 y 7.6 inclusive. Muestra los niveles de pH que estn dentro del rango recomendado con una desigualdad compuesta. Representa grficamente las soluciones.

Sea p el nivel de pH del agua de la piscina.

7.2 es menor que o igual a nivel de pH es menor que o igual a 7.6

7.2 p 7.6

7.2 p 7.6

{ x

La frase entre 7.2 y 7.6 inclusive significa que los nmeros 7.2 y 7.6 estn incluidos en las soluciones. Usa un crculo lleno para los extremos que son soluciones.

TEKS A.7.B Funciones lineales: investigar mtodos para resolver desigualdades lineales usando grficas y las propiedades de igualdad, seleccionar un mtodo y resolver desigualdades.

Ver tambin A.1.C, A.1.D, A.3.A

3- 6 Cmo resolver desigualdades compuestas 203

1. El nivel de cloro libre en una piscina debe estar entre 1.0 y 3.0 partes por milln inclusive. Muestra los niveles que estn dentro de este rango con una desigualdad compuesta. Representa grficamente las soluciones.

En este diagrama, el valo A representa algunos enteros que son soluciones de x < 10 y el valo Brepresenta algunos enteros que son soluciones de x > 0. La regin en la que se superponen representa los nmeros que pertenecen a ambos valos. Esos nmeros son soluciones de ambas x < 10 y x > 0.

Puedes representar grficamente las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene la palabra Y si usas la idea de una regin en la que las soluciones se superponen. Esa regin se llama interseccin y en ella se muestran los nmeros que son soluciones de ambas desigualdades.

2E J E M P L O Resolver desigualdades compuestas que contienen YResuelve cada desigualdad compuesta y representa grficamente las soluciones.

A 4 x + 2 8 4 x + 2 Y x + 2 8 Escribe la desigualdad compuesta usando Y.

Resuelve cada desigualdad simple.

- 2

- 2

- 2

- 2

2 x Y x 6

Representa grficamente 2 x.

Representa grficamente x 6.

Representa grficamente la interseccin hallando dnde se superponen las dos grficas.

B -5 2x + 3 < 9 -5 2x + 3 < 9 Como se suma 3 a 2x, resta 3

de cada parte de la desigualdad.

Como x se multiplica por 2, divide cada parte de la desigualdad entre 2.

- 3

- 3

- 3

-8 2x < 6 -8_

2 2x_

2< 6_

2 -4 x < 3

Representa grficamente -4 x.

Representa grficamente x < 3.

Representa grficamente la interseccin hallando dnde se superponen las dos grficas.

Resuelve cada desigualdad compuesta y representa grficamente las soluciones.

2a. -9 < x -10 < -5 2b. -4 3n + 5 < 11

El enunciado -5 2x + 3 9est formado por dos desigualdades conectadas por Y. En el ejemplo 2B se muestra un mtodo abreviado.

x {

x

{n


En este diagrama, el crculo A representa algunos enteros que son soluciones de x < 0 y el crculo Brepresenta algunos enteros que son soluciones de x > 10. Las regiones sombreadas combinadas representan los nmeros que son soluciones tanto para x < 0 como para x > 10.

Puedes representar grficamente las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene la palabra O si usas la idea de combinar regiones. La combinacin de las dos regiones se llama unin y en ella se muestran los nmeros que son soluciones de cualquiera de las desigualdades.

3E J E M P L O Resolver desigualdades compuestas que contienen Resuelve cada desigualdad compuesta y representa grficamente las soluciones.

A -4 + a > 1 -4 + a < -3 -4 + a > 1 -4 + a < -3

+ 4

+ 4

+ 4

+ 4 Resuelve cada desigualdad simple.

a > 5 a < 1

{ x {

Representa grficamente a > 5.

Representa grficamente a < 1.

Representa grficamente la unin combinando las regiones.

B 2x 6 3x > 12 2x 6 3x > 12 2x_2

6_2

3x_3

> 12_3

Resuelve cada desigualdad simple.

x 3 x > 4

{ x {

Representa grficamente x 3.

Representa grficamente x > 4.

Representa grficamente la unin combinando las regiones.


3a. 2 + r < 12 r + 5 > 19 3b. 7x 21 2x < -2

Todas las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene Y deben ser una solucin de ambas partes de la desigualdad compuesta. Si no hay nmeros que sean soluciones de ambas desigualdades simples, entonces la desigualdad compuesta no tiene soluciones.

Las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene O no son siempre dos conjuntos separados de nmeros. Puede haber nmeros que son soluciones de ambas partes de la desigualdad compuesta.

3- 6 Cmo resolver desigualdades compuestas 205

4E J E M P L O Escribir una desigualdad compuesta a partir de una grficaEscribe la desigualdad compuesta que se muestra en cada grfica.

A { x n

La porcin sombreada de la grfica no est entre dos valores, por lo tanto, la desigualdad compuesta contiene la palabra O.

En la parte izquierda de la grfica se muestra una flecha que apunta hacia la izquierda, por lo tanto, usa < . El crculo lleno en -1 significa que -1 es una solucin, por lo tanto, usa .

x -1

En la parte derecha de la grfica se muestra una flecha que apunta hacia la derecha, por lo tanto, usa > . El crculo lleno en 7 significa que 7 es una solucin, por lo tanto, usa .

x 7

La desigualdad compuesta es x -1 x 7.

B { x n

La parte sombreada de la grfica est entre los valores 0 y 6, por lo tanto, la desigualdad compuesta contiene la palabra Y.

Los valores sombreados estn a la derecha de 0, por lo tanto, usa > .El crculo lleno en 0 significa que 0 es una solucin, por lo tanto, usa .

x 0

Los valores sombreados estn a la izquierda de 6, por lo tanto, usa < .El crculo vaco en 6 significa que 6 no es una solucin, por lo tanto, usa 4 Y y 12 sin usar el conector Y.

2. ORGANZATE Copia y completa los organizadores grficos. Escribe tres soluciones en cada una de las tres secciones del diagrama. Luego escribe cada una de tus nueve soluciones en la o las columnas de la tabla que correspondan.

La desigualdad compuesta del Ejemplo 4B tambin se puede escribir con la variable entre los dos extremos.0 x < 6

X9X XX

EjerciciosEjercicios3-6

PRCTICA GUIADA 1. Vocabulario En la grfica de una ? se muestran todos los valores que son

soluciones de ambas desigualdades simples que forman una desigualdad compuesta. (unin o interseccin)


2. Biologa Una iguana necesita vivir en un ambiente clido. La temperatura en una jaula para iguanas debe estar entre los 70 F y los 95 F inclusive. Muestra las temperaturas que estn dentro del rango recomendado con una desigualdad compuesta. Representa grficamente las soluciones.


3. -3 < x + 2 < 7 4. 5 4x + 1 13

5. 2 < x + 2 < 5 6. 11 < 2x + 3 < 21


7. x + 2 < -6 x + 2 > 6 8. r - 1 < 0 r - 1 > 4

9. n + 2 < 3 n + 3 > 7 10. x - 1 < -1 x - 5 > -1


Escribe la desigualdad compuesta que se muestra en cada grfica.

11. {{x

12. { x{x

13.x{ n

14. { n {n



15 1 1619 2 2023 3 2427 4

Prctica independiente 15. Meteorologa La atmsfera de la Tierra est formada por varias capas. Una de las capas, llamada estratosfera, se extiende desde aproximadamente 16 km sobre la superficie de la Tierra hasta aproximadamente 50 km. Muestra las altitudes que estn dentro del rango de la estratosfera con una desigualdad compuesta. Representa grficamente las soluciones.


16. -1 < x

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TAKS TEXAS Aplicaciones de desigualdades