7/26/2019 Taller 2 Mat 2198

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso 

Instituto de Matemática 

Taller 2, Mat 2198‐1 

Mayo de 2016 

1.  Determine los puntos de continuidad del campo escalar: 

( )  ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

3 si , 0,0

,

3 si , 0,0

 x y x y

 x y f x y

 x y

⎧≠⎪

+= ⎨⎪ =⎩

. 

2.  Demuestre que el campo escalar  ( )2 2 2

1, , f x y z

 x y z=

+ + satisface la ecuación de 

Laplace, es decir que 

2 2 2

2 2 20

 f f f 

 x y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂  . 

3. Dado el campo escalar  ( ) 2 3, f x y x y= +   : 

3.1. Determine la pendiente de la recta tangente a la superficie   f   en el punto  ( )1,1 p = −  

que se encuentra en el plano  1 y =   . 

3.2. Determine

 las

 ecuaciones,

 vectorial,

 paramétricas

 y simétrica

 de

 la

 recta

 mencionada

 en

 la

 

parte  3.1. 

4.  Dado el campo escalar  ( )   ( )2 2, ln f x y x y= +   . 

4.1. Determine la ecuación del plano tangente a la superficie   f   en el punto  ( )1,0,0 p =   . 

4.2.  Estime el valor de   ( )( )1.3,3 f    , usando aproximación lineal. 

5.  Dado el campo escalar  ( )  ( ) ( )

( ) ( )

2

2 4 si , 0,0

,

0 si , 0,0

 xy x y

 x y f x y

 x y

⎧≠⎪

+= ⎨

⎪ =⎩

: 

5.1. Determine si existen  ( )0,0 f 

 x

∂

∂  , y  ( )0,0

 f 

 y

∂

∂  . 

5.2. Usando la definición de diferenciabilidad, determine si   f   es diferenciable en  ( )0,0   . 

6.  Dada la superficie  ( ) 2cos 4

 xz x x y e yzπ     − + + =   determine: 

6.1. La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto  ( )0,1, 2 p =   . 

7/26/2019 Taller 2 Mat 2198

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  6.2. Las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétrica de la recta normal a la superficie en el 

punto  ( )0,1, 2 p =   . 

7. Dado el campo escalar  ( ) 2 2, 3 4 f x y x xy y= − +   y el punto  ( )1, 2 p =   . 

7.1. Obtenga la dirección en la cual   f   crece más rápidamente en el punto   p . Luego 

determine la derivada direccional en esta dirección. 

7.2. Determine las direcciones  u

 para las cuales  ( ) 0 f 

 pu

∂=

∂   . 

8.  Determine los valores máximos locales, mínimos locales y los puntos de silla del campo escalar,

( ) 3 3, 2 6 f x y x y xy= − − +  

Prof. Miguel A. Padrino G