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Taller 2004
Ondas: de la música a las imágenes
Clase 1
Evaluar qué expectativas tienen del curso, qué carreras piensan seguir y porqué. Hablar
sobre el método científico, la falsa antinomia física experimental vs. física teórica, el
método aristotélico, etc. Contar cómo es la carrera y cómo trabaja un investigador.
Describir cómo se va a desarrollar el taller, qué temas se van a ver y cuál va a ser la
metodología de trabajo. Formar los grupos de trabajo.
Comenzar con una introducción de ondas. Averiguar que es lo que saben al respecto.
INTRODUCCIÓN A ONDAS MECÁNICAS Y ELECTROMAGNÉTICAS
Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o
incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de los fenómenos que pueden
originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante.
Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio
material que haga el papel de soporte de la perturbación; estas se denominan
genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ondas que se forman en la superficie
del agua, las ondas en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y
corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a perturbaciones que se
propagan a través del medio. Sin embargo, existen ondas que pueden propagarse aún
en ausencia de medio material, es decir, en el vacío. Son las ondas electromagnéticas o
campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría pertenecen las ondas
luminosas. Independientemente de esta diferenciación, existen ciertas características
que son comunes a todas las ondas, cualquiera que sea su naturaleza, y que en
conjunto definen el llamado comportamiento ondulatorio, esto es, una serie de
fenómenos típicos que diferencian dicho comportamiento del comportamiento propio de
los corpúsculos o partículas.
Vamos a tratar de comprobar que el sonido y la luz son ondas. Para ello comencemos
analizando algunas experiencias en las cuales puedan observarse ondas mecánicas,
por ejemplo la cuba de ondas y una cuerda vibrante.
Llegado a este punto conviene mostrar que:
i) No existe transporte de materia sino que es la perturbación la que se propaga en el
medio material.
ii) Son ondas transversales.
Para demostrar que el sonido es una onda analicemos la experiencia del osciloscopio
láser. Observando cómo el espejito es empujado por el parlante puede entenderse que
es una onda mecánica pero del tipo longitudinal. Es decir que el parlante, al moverse
hacia atrás y adelante, genera un cambio de presión en el aire que es transmitido a
través del choque de las moléculas hasta llegar a mi oído, donde ese cambio de presión
es detectado. A continuación, mediante el espejo rotante puede mostrarse que la
deflexión que sufre el espejo es también un movimiento armónico. Luego se van a
estudiar las expresiones matemáticas que describen ese tipo de perturbación.
Veamos ahora que la difracción es otra característica de los fenómenos ondulatorios.
Para ello volvamos a la cuba de ondas y estudiemos que sucede cuando ponemos
obstáculos que perturban al frente de ondas. Depende éste de la longitud de onda y del
tamaño del obstáculo?
Analicemos qué pasa si ponemos dos ranuras. Vemos que de acuerdo a como se
superpongan las perturbaciones provenientes de las dos ranuras, el valor de la amplitud
resultante en un punto dado puede ser mayor o menor que para una perturbación
individual o incluso pueden anularse entre sí. Sin embargo después de superponerse las
ondas individuales se separan y continúan completamente inafectadas por su encuentro
previo. A este fenómeno se lo llama interferencia. Si en vez de dos ranuras ponemos
dos varillas que perturben la superficie del agua, originamos dos fuentes puntuales.
Como varía la interfranja de la figura de interferencia en función de la separación de las
fuentes puntuales? Piensen que pasaría si estas fuentes no emitieran en forma
sincronizada. Se vería una figura de interferencia estable? Volveremos sobre el tema
más adelante cuando tratemos interferencia de ondas electromagnéticas.
Ahora estamos en condiciones de analizar si la luz es también un fenómeno ondulatorio.
Veamos que sucede cuando un haz láser pasa a través de una ranura. Es similar el
resultado que se obtiene al encontrado para la cuba de ondas? Podemos tener alguna
idea sobre el tamaño de la longitud de onda de la luz? Que porción del espectro
electromagnético vemos? Hace falta un medio material para que se propaguen este tipo
de ondas? Son ondas transversales o longitudinales? (después lo veremos).
En el siguiente gráfico se muestra la variedad de radiaciones que abarca el espectro
electromagnético y los tamaños característicos de longitudes de onda representativas.
103 102 101 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12
Longitud de onda (en metros)
Ondas de radio
Micro-ondas
Infrarrojo Ultravioleta
Rayos X blandos
Rayos X duros
Rayos Gama
Vis
ible
estadio persona pelota mosca célula bacteria proteína molécula
RadioAM
TV, FM Horno Microondas
Radar Sincrotrón Equipo de Rayos X
Elementos radiactivos
Sol Lámparas
Objetos calientes
103 102 101 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12
Longitud de onda (en metros)
103 102 101 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12
Longitud de onda (en metros)
Ondas de radio
Micro-ondas
Infrarrojo Ultravioleta
Rayos X blandos
Rayos X duros
Rayos Gama
Vis
ible
Vis
ible
estadio persona pelota mosca célula bacteria proteína molécula
RadioAM
TV, FM Horno Microondas
Radar Sincrotrón Equipo de Rayos X
Elementos radiactivos
Sol Lámparas
Objetos calientes
EL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Tipos de ondas
De acuerdo a lo que vimos la clase pasada, junto a una primera clasificación de las
ondas en mecánicas y electromagnéticas, es posible distinguir diferentes tipos de ondas
atendiendo a criterios distintos.
En relación con su ámbito de propagación las ondas pueden clasificarse en:
Unidimensionales: Son aquellas que, como las ondas en las cuerdas, se propagan a lo
largo de una sola dirección del espacio.
Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una
superficie. Se denominan también ondas superficiales y a este grupo pertenecen las
ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra
sobre él.
Tridimensionales: Son aquellas que se propagan hacia diferentes direcciones en un
volumen. Por ejemplo una fuente puntual que emite ondas esféricas en el espacio.
Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas se
clasifican en:
Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de características
periódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de
alguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador se
propagará una onda periódica.
No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el caso de que
se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas
aisladas se denominan también pulsos.
Según que la dirección de propagación coincida o no con la dirección en la que se
produce la perturbación, las ondas pueden ser:
Longitudinales: El movimiento local del medio alcanzado por la perturbación se efectúa
en la dirección de avance de la onda. Un resorte que se comprime, al igual que el
sonido, dan lugar a ondas longitudinales.
Transversales: La perturbación del medio se lleva a cabo en dirección perpendicular a la
de propagación. En las ondas producidas en la superficie del agua las partículas vibran
de arriba a abajo y viceversa, mientras que el movimiento ondulatorio progresa en el
plano perpendicular. Lo mismo sucede en el caso de una cuerda; cada punto vibra en
vertical, pero la perturbación avanza según la dirección de la línea horizontal. Ambas
son ondas transversales. Las ondas electromagnéticas, como veremos, también son
transversales.
Descripción matemática de una onda armónica
La clase pasada vimos, a través de experiencias, que una onda armónica tenía un perfil
sinusoidal, ahora vamos a buscar una expresión matemática que la describa. Para ello
es preciso partir de la ecuación que define la oscilación del origen de la perturbación. Si
la onda es armónica simple su ecuación correspondiente será:
= A · sen t
donde A es la amplitud de la perturbación y = 2 / T, siendo T el período temporal.
También podemos expresar esta ecuación en función de la frecuencia temporal f = 1 / T
= A · sen (2ft)
puede representar la alteración, con el tiempo, de propiedades físicas tan diversas
como una densidad, una presión, un campo eléctrico o un campo magnético.
Dado que la perturbación avanza a una velocidad v, en recorrer una distancia r invertirá
un tiempo t’= r / v. Eso significa que el estado de perturbación de cualquier punto P
situado a una distancia r del origen O coincidirá con el que tenía el origen t' segundos
antes. Por tanto, si en la ecuación de la perturbación que describe la situación del
origen, se cambia t por t - t' se obtiene una ecuación que describe el estado de la
perturbación del punto P:
= A · sen (t – t’) = A · sen (t – r/v)
Evidentemente esta perturbación no sólo se repite a intervalos regulares en el tiempo
sino también en el espacio. Se denomina longitud de onda a la distancia que separa
dos puntos sucesivos del espacio que se encuentran en el mismo estado de
perturbación. Es decir que coincide con el espacio que recorre la perturbación en un
tiempo igual al período, esto es = v · T.
Así el argumento de la función seno correspondiente puede expresarse también en la
forma
dado que = 2/T y v = /T; lo cual permite escribir la ecuación de ondas en función de
sus parámetros o constantes características, tales como la amplitud A, el periodo T y la
longitud y las variables t y r que indican el instante de tiempo considerado y la
distancia al origen del punto en el que se desea estudiar la perturbación.
Veamos un ejemplo
La ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda viene
dada por la expresión
= 0,1 · sen (2t - 4r)
Se trata de determinar a) la amplitud A de la onda, b) su periodo T, c) su longitud de
onda, d) la velocidad de avance de la perturbación, e) la magnitud de la perturbación en
un punto que dista 0,2 m del origen al cabo de 0,5 segundos de iniciarse el movimiento.
Para resolver las cuestiones a, b, c basta con identificar la ecuación general con la que
corresponde al movimiento ondulatorio concreto que se pretende analizar. Por tanto:
a) Comparando el factor que multiplica en ambas a la función seno resulta
A = 0,1 m.
b) Comparando el argumento o ángulo de la función seno, también llamado fase de la
onda correspondiente, resulta:
En lo que respecta a los coeficientes respectivos de la variable t se tiene:
c) En lo que respecta a los coeficientes de la variable r :
d) La velocidad v es el cociente entre y T:
e) Sustituyendo los valores de t = 0,5 s y r = 0,2 m en la expresión de resulta:
= 0,1 · sen (2 · 0,5 - 4 · 0,2) = 0,02 m
Es decir, en ese punto y en ese instante la magnitud de la perturbación, medida por la
altura que alcanza la cuerda, es de 0,02 m, la quinta parte de la máxima altura o
elongación dada por la amplitud A = 0,1 m.
Clase 2
LA NATURALEZA DEL SONIDO
Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtud de
estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonido se
deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados con la
audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propiedades
características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descrito utilizando
los conceptos sobre ondas. Desde un punto de vista fisiológico sólo existe sonido
cuando un oído es capaz de percibirlo.
El sonido y su propagación
Las ondas que se propagan a lo largo de un resorte como consecuencia de una
compresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que se
asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondas
sonoras se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lo
largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.
La clase pasada vimos cómo un parlante genera sonido efectuando desplazamientos
hacia delante y hacia atrás. Si un objeto se mueve en un medio produce una
perturbación que se traduce en un cambio de presión. La campana de un timbre vibra al
ser golpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas
del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas . Un diapasón, la
cuerda de una guitarra o la de un violín o las cuerdas vocales producen sonido según un
mecanismo análogo.
En todo tipo de ondas mecánicas el medio juega un papel esencial en la propagación de
la perturbación; en ausencia de medio material la vibración no puede propagarse. La
velocidad de propagación del sonido depende de las características del medio. En el
caso de medios gaseosos, como el aire, las vibraciones son transmitidas de un punto a
otro a través de choques entre las partículas que constituyen el gas, de ahí que cuanto
mayor sea la densidad de éste, mayor será la velocidad de la onda sonora
correspondiente. En los medios sólidos son las fuerzas que unen entre sí las partículas
constitutivas del cuerpo las que se encargan de propagar la perturbación de un punto a
otro. Este procedimiento más directo explica que la velocidad del sonido sea mayor en
los sólidos que en los gases.
Sonido físico y sensación sonora
No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es
sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los
20000 Hz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que
van desde 16 metros hasta 1,6 centímetros respectivamente. En general se trata de
ondas de pequeña amplitud.
Cuando una onda sonora de tales características alcanza la membrana sensible del
tímpano, produce en él vibraciones que son transmitidas por la cadena de huesecillos
hasta la base de otra membrana, llamada ventana oval, que se halla localizada en la
cóclea o caracol. El hecho de que la ventana oval sea de 20 a 30 veces más pequeña
que el tímpano da lugar a una amplificación que llega a aumentar entre 40 y 90 veces la
presión de la onda que alcanza al tímpano. Esta onda de presión se propaga dentro del
caracol a través de un líquido viscoso hasta alcanzar otra membrana conectada a un
sistema de fibras fijas por sus extremos a modo de cuerdas de arpa, cuyas
deformaciones elásticas estimulan las terminaciones de los nervios auditivos. Las
señales de naturaleza eléctrica generadas de este modo son enviadas al cerebro y se
convierten en sensación sonora. Mediante este proceso el sonido físico es convertido en
sonido fisiológico.
El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias
que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que
caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas
ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propiedades de
las ondas sonoras.
Intensidad
La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte
o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente,
también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que da
idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio como consecuencia de la
propagación de la onda. Se define como la energía que atraviesa por segundo una
superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. La
intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al
cuadrado de su amplitud y disminuye con la distancia al origen de la perturbación.
La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero también
depende de la sensibilidad del oído. El intervalo de intensidades acústicas que va desde
el umbral de audibilidad, o valor mínimo perceptible, hasta el umbral del dolor es muy
amplio, estando ambos valores límite en una relación del orden de 1014
Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la
frecuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad
acústica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades
acústicas iguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.
Tono
El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala
musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud
física que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidos como graves
corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias
altas.
Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de
carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva el
tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre
frecuencias comprendidas entre 1000 y 3000 Hz el tono es relativamente independiente
de la intensidad.
Timbre
El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de
diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta
misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta
característica de cada individuo.
El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al oído.
Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones
generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados
por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un
sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede
considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una
frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara
separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es
característica de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existente
entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del tono.
Experiencia para medir la velocidad del sonido
Se utiliza el montaje experimental esquematizado en la siguiente figura
Generador de ondas
Osciloscopio
Emisor Detector
Un emisor de ultrasonido es alimentado mediante un generador de funciones con una
onda senoidal de aproximadamente 40 KHz. Se mide el período T de la misma en el
osciloscopio para conocer exactamente el valor de la frecuencia f = 1 / T. Sabemos que
la velocidad de propagación viene dada por v = f . con lo cual nos hace falta conocer el
valor de la longitud de onda para poder determinar v. Para ello debemos utilizar la
opción trigger externo del osciloscopio. Si ahora desplazamos el detector, con respecto
al emisor, veremos que en la pantalla del osciloscopio la función registrada también se
desplaza, pasando por determinado punto de la pantalla un cierto número de máximos y
mínimos. Si la distancia que desplazamos el detector es conocida, dividiendo esta por el
número de máximos que atravesaron el punto de la pantalla obtendremos la longitud de
onda de la perturbación. Debemos recordar que la perturbación es espacial y
temporalmente periódica; el osciloscopio nos permite medir directamente la periodicidad
temporal para el punto fijo del espacio en el que se encuentra el detector. Para observar
la periodicidad espacial debemos desplazar el detector y fijarnos que sucede ahora en
un punto fijo de la pantalla.
Podemos aprovechar esta experiencia para medir también el decaimiento de la amplitud
con la distancia.
Clase 3
Experiencias para analizar la composición espectral de distintos sonidos
Estas tres experiencias están orientadas al estudio del contenido de frecuencias
(espectro) de distintas perturbaciones periódicas. La primera de ellas permite realizar
una introducción al análisis de Fourier.
Joseph Fourier (1768-1830) fue un matemático y físico francés que, entre otras cosas,
demostró que toda función periódica no senoidal puede expresarse como la suma de
funciones senoidales de distintas amplitudes, frecuencias y fases. A la frecuencia más
baja se la denomina fundamental y las demás son armónicas superiores.
Para poder observar esta composición de funciones es conveniente utilizar un
sintetizador de señales y un osciloscopio. Puede mostrarse como ejemplo la síntesis de
una onda cuadrada y una triangular.
En la segunda experiencia se estudia el contenido de frecuencias (espectro) de distintas
señales sonoras. Para ello se utiliza una tarjeta digitalizadora (Multipurpose Lab
Interface MPLI) con su correspondiente programa de adquisición, un micrófono, un
diapasón y un sintetizador musical electrónico.
Antes de comenzar la medición es conveniente introducir los conceptos de velocidad de
muestreo y tiempo de medición.
En primera instancia se muestra que un diapasón produce un sonido puro ya que la
perturbación resultante es una onda sinusoidal y en consecuencia posee una sola
frecuencia. A continuación se pasa a estudiar señales de contenido espectral más
complejo generadas a partir del sintetizador. Se compara la forma de la onda y su
contenido espectral (FFT). Unos buenos ejemplos para analizar son la flauta de pan,
que produce un sonido casi puro cuando se toca una sola tecla, y el mismo instrumento
cuando se tocan tres octavas juntas.
Puede mencionarse al ecualizador de un equipo de audio como un dispositivo en el cual
el contenido espectral de una señal es modificado intencionalmente.
Por último, en la tercera experiencia, se muestra el fenómeno de batidos
Qué sucede cuando tenemos dos fuentes que emiten con frecuencias muy cercanas?
Supongamos que las ondas son del tipo
= A · sen t
= A · sen t
Vamos a llamar
= (1 + 2) / 2
= (1 - 2) / 2
Ahora bien, podemos escribir
1 = 1/2 + 2/2 + 1/2 - 2/2 = +
2 = 1/2 + 2/2 - 1/2 + 2/2 = -
Luego
sen t = sen t . cos t + sen t . cos t
sen t = sen t . cos t - sen t . cos t
Con lo cual
2 A cos t . sen t
Vemos que obtenemos una función que oscila con la frecuencia promedio (sen t)
pero modulada por una función de período mayor (2 A cos t)
Para observar este fenómeno se realiza la siguiente experiencia
Generador dual
Osciloscopio
Parlante
El generador dual permite obtener dos señales, cuyas frecuencias pueden controlarse
separadamente y también posibilita realizar la suma de las mismas. La perturbación
resultante (batido) es graficada en un osciloscopio y al mismo tiempo enviada a un
parlante que permite escuchar la señal. Variando la frecuencia de una de las ondas
obtendremos batidos cuya frecuencia irá disminuyendo a medida que las frecuencias
individuales sean tanto más parecidas.
Se muestra el mismo efecto mediante la excitación de dos diapasones.
ONDAS ESTACIONARIAS
Hasta ahora hemos considerado el problema de propagación de ondas en el cual la
perturbación puede viajar libremente en el medio. Sin embargo, un problema de interés
práctico ocurre, por ejemplo, cuando una onda se refleja hacia atrás por algún tipo de
“pared”. Cuando se dispone de un arreglo físico determinado, como en el caso anterior
la pared, las soluciones de la ecuación de ondas deben ajustarse a las condiciones que
el arreglo impone. Estas condiciones se conocen como condiciones de contorno, y
restringen las posibles soluciones a un problema dado.
Dos casos de particular interés lo constituyen las ondas estacionarias de presión en
tubos y ondas estacionarias en cuerdas ya que son la base de los instrumentos
musicales de viento y cuerda.
Vamos a ver por ejemplo los modos normales de una cuerda
L 0
r
En este caso tendremos una combinación de dos perturbaciones: una viajando hacia la
derecha y otra hacia la izquierda. Luego la perturbación resultante será:
= A sen [2 (t/T – r/)] + B sen [2 (t/T + r/)]
Desarrollando los senos y agrupando tenemos que
= (A+B) sen [2t/T] cos [2 r/] + (-A+B) sen [2 r/] cos [2t/T]
En r = 0 0 para todo t por lo tanto, y dado que sen [2 r/] = 0 debe cumplirse
que A = - B , luego
= 2B sen [2 r/] cos [2t/T]
pero en r = L también debe ser 0 para todo t por lo tanto 2 L/ = n
O sea que no todas las longitudes de onda estarán permitidas sino sólo aquellas que
cumplan con esa relación
Experiencia para estudiar modos normales en una cuerda y en superficies
Estas dos experiencias permiten observar la existencia de modos normales
unidimensionales (en una cuerda) y bidimensionales (placas de Chadny). En este último
caso es sólo cualitativa ya que es matemáticamente muy complicado modelizar el
sistema.
En el caso de la cuerda puede realizarse el siguiente montaje:
Wave driver
osciloscopio generador
cuerda
pesas
polea
Se le aplica una tensión To a la cuerda, mediante pesas y cuidando que no se estire.
Los puntos fijos de la misma estarán determinados por la posición del wave-driver y del
soporte indicado en línea de puntos en el gráfico. Variando la frecuencia de la señal
entregada por el generador al wave-driver es posible excitar distintos armónicos en la
cuerda. La frecuencia f puede obtenerse a partir de la medición realizada con el
osciloscopio y la longitud de onda midiendo directamente la posición de los nodos
sobre la cuerda.
Luego sabemos que:
. f = v pero a su vez, en el caso de la cuerda, v = (To / )1/2 donde es la densidad de la
cuerda. Así tenemos todos los elementos como para calcular el valor de pudiendo el
mismo contrastarse con el obtenido a partir de la medición del largo de la cuerda y de su
peso.
Clase 4
LA NATURALEZA DE LA LUZ
En este curso nos limitaremos a estudiar algunos aspectos del carácter ondulatorio de la
luz y dejaremos de lado su carácter corpuscular.
En la primera clase vimos que lo que comúnmente denominamos luz es la porción
visible del espectro electromagnético. Dijimos también que este tipo de ondas eran
transversales y que no necesitaban de un medio material para propagarse.
Podemos hacer la analogía entre una onda electromagnética y la que se propaga en
una cuerda (no olvidando que esta última es mecánica y por lo tanto necesita de un
medio material para propagarse) ya que la amplitud del campo eléctrico es equivalente a
la amplitud de la oscilación en la cuerda y en ambas la vibración es perpendicular a la
dirección de avance de la perturbación.
Sin embargo debemos considerar que una fuente de luz ordinaria consiste en un
número muy grande de emisores atómicos orientados al azar. Cada átomo excitado
emite un tren de onda de aproximadamente 10-8 s en el cual la orientación del campo
eléctrico, si bien es siempre perpendicular a la dirección de propagación, varía de un
emisor al otro. Se denomina a este tipo de radiación luz natural. Si por el contrario se
tiene una radiación en la cual la dirección del campo eléctrico no fluctúa al azar a esa se
la denomina luz polarizada. Esquemáticamente las podríamos representar como en la
figura
Luz natural
Luz polarizada
Vamos a ver mediante una sencilla experiencia que son ondas transversales. Para ello
tomemos dos hojas polaroid y veamos que sucede cuando rotamos una con respecto a
la otra. Qué está pasando acá?
El filtro Polaroid está formado por moléculas alargadas conductoras que pueden
pensarse como hilos de alambre alineados en una dirección determinada. Cuando el
campo eléctrico tiene una orientación que es paralela al alambre hace que los
electrones circulen por el mismo generando así una corriente. Los electrones a la vez
tienen colisiones con los átomos de la red impartiéndoles energía y calentando los
alambres. Así la energía que tenía el campo eléctrico es transferida a los alambres.
Por el contrario cuando el campo eléctrico es perpendicular a los alambres, los
electrones no disponen de lugar para moverse y en consecuencia la energía del campo
eléctrico no es absorbida y la onda permanece inalterada.
En general la orientación que tenga el campo eléctrico de una radiación lo podremos
descomponer en una orientación paralela y otra perpendicular al eje de transmisión del
polaroid.
Dado que el ojo no distingue polarizaciones, es necesario dos polarizadores para
efectuar la experiencia, uno para polarizar la luz natural y otro para analizarla.
Cabe destacar que hay muchos procesos mediante los cuales puede obtenerse luz
parcialmente polarizada. Analizar por ejemplo con un polarizador la luz reflejada por una
superficie.
Podemos preguntarnos ahora qué es el color y que analogía puede hacerse con lo visto
para sonido. Habíamos visto que el espectro electromagnético está constituido por
ondas con una gran variedad de frecuencias. Vimos también que la luz blanca está
constituida por radiaciones cuyas longitudes de onda se hallan distribuidas en forma
continua entre los 700 nm y los 400 nm, cada una asociada con determinado color. Sin
embargo la percepción del color es un fenómeno complejo en donde no sólo interviene
el aspecto físico de la radiación (frecuencia) sino también aspectos fisiológicos y
psicológicos.
Veamos por ejemplo si es necesario sumar radiaciones cuyas frecuencias estén
distribuidas en un continuo para percibir “luz blanca”.
Experiencias para la formación de colores
Para ello montemos tres reflectores que emitan en el rojo (R), verde (G) y azul (B). Si
hacemos superposición de los haces luminosos obtendremos algo como lo
esquematizado en la figura
Donde las combinaciones vienen dadas por
R + G = Y
R + B = M
G + B = C
En general obtendremos una extensa gama de colores combinando con los pesos
adecuados radiación RGB ya que constituye una terna de colores primarios. Ahora bien,
porqué esto es así?
El ojo posee receptores (conos) que responden a un gran ancho de banda pero cuyas
sensibilidades están centradas alrededor de longitudes de onda de 425 nm, 525 nm y
625 nm. Si graficamos sensibilidad vs. longitud de onda las respuestas serían algo
como lo representado en la siguiente figura.
Obsérvese que son campanas que se superponen. Cada tipo de cono no es capaz de
distinguir cuál es la longitud de onda que lo está excitando sólo responde al estímulo de
determinada forma y envía al cerebro una señal proporcional al estímulo recibido. Cómo
hace el cerebro para interpretar que por ejemplo esta recibiendo radiación amarilla y no
roja (las dos son detectadas por los conos rojos)? Porque en un caso también están
excitados de forma adecuada los conos verdes. El cerebro “conoce” la curva de
sensibilidades de cada tipo de cono y cómo ellas se superponen, luego pondera los
estímulos recibidos.
Surge ahora como duda porqué la obtención de los diferentes colores mediante
pigmentos es distinta?
Debemos pensar que los pigmentos absorben determinadas longitudes de onda y en
realidad el color que vemos es debido a la luz reflejada. Por ejemplo si algo iluminado
bajo radiación RGB se ve amarillo (Y), es porque en realidad está absorbiendo la
radiación azul (B) y reflejando la roja y la verde (R+G = Y)
Si en cambio se ve cyan (C) es porque está absorbiendo el rojo (R) y reflejando el azul y
el verde (B+G = C). Si combinamos pigmentos cyan y amarillo, dado que uno absorbe el
rojo y otro el azul, la radiación reflejada será la verde. Así para sustracción de colores la
terna de colores primarios es cyan (C), amarillo (Y) y magenta (M) ya que a partir de
ellos pueden formarse los restantes.
Claramente una pantalla de TV no funciona absorbiendo radiación sino emitiendo luz
por lo tanto los colores deberán formarse a partir de la mezcla (RGB). Es muy ilustrativo
mirar una pantalla de TV con un microscopio, se verá algo así
INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE ONDAS
La primer clase vimos, en las experiencias realizadas con la cuba de ondas, que bajo
determinadas circunstancias es posible hacer que las ondas se difracten e interfieran.
Estos fenómenos son característicos de los procesos ondulatorios y si bien es más fácil
generarlos empleando por ejemplo una fuente sonora, resulta más interesante verlos a
partir de fuentes de luz. Ya habíamos observado difracción de un láser por una ranura
pero ahora estudiaremos estos dos fenómenos con más detenimiento.
Interferencia
Vamos a realizar una experiencia en la cual podamos observar diferentes figuras de
interferencia. Para ello montemos un interferómetro de Michelson ya que nos permitirá
clarificar algunos conceptos.
Por ejemplo, cuando trabajamos con la cuba de ondas dijimos que si las dos varillas que
actuaban como fuentes puntuales generando las ondas no vibraban en forma
sincronizada, entonces no era posible generar una figura de interferencia que
permaneciese estable en el tiempo. Cuando trabajamos con luz, una forma de crear
fuentes que se comporten de esa manera (fuentes coherentes) es, por ejemplo,
generando dos imágenes de una fuente mediante espejos. Sin embargo esto no basta.
Analicemos la siguiente figura:
M1
M ’ M1 2
SE
L
Luz proveniente de una fuente luminosa llega a un semi-espejo (SE) que refleja parte de
la misma hacia el espejo M1 y parte la trasmite hacia el espejo M2. Luego ambos haces
son reflejados y se recombinan luego de volver a reflejarse parcialmente en el semi-
espejo. Consideremos que si M2 estuviese ubicado en la línea punteada M1’ la
diferencia de caminos entre los dos brazos sería nula. Si en cambio uno está más
alejado que el otro la diferencia de distancias recorridas será 2 L.
Una onda tiene una frecuencia tanto mejor definida cuanto más largo es el tren de
ondas. Por ejemplo para tener una onda monocromática ésta debería tener un tren de
ondas infinito y por lo tanto debería haber comenzado a emitirse en t = - . En la
práctica las fuentes luminosas que se usan normalmente tienen trenes de onda muy
cortos ya que cada átomo emite sólo un instante. Por lo tanto si la diferencia de caminos
en el interferómetro (2 L) es mayor que la longitud del tren de ondas, cuando la luz
proveniente de los dos brazos se recombine, en realidad se superpondrán trenes de
ondas emitidos a distintos tiempos y por lo tanto la fase inicial de cada uno de ellos no
variará en forma sincronizada. Así no tendremos una figura de interferencia estable. Se
debe usar entonces una fuente de luz cuyos trenes de onda sean lo suficientemente
largos, por ejemplo un láser.
Ahora variando la orientación de los espejos es posible desplazar las dos imágenes de
la fuente, así como en la cuba de ondas lo hacíamos juntando o separando los alambres
que agitaban la superficie del agua. En este interferómetro tenemos más libertad de
movimientos por lo que es posible no sólo variar el espaciado de la franjas sino también
desplazar una fuente hacia atrás de la otra con lo que se obtiene figuras de interferencia
más complicadas.
Pensemos que entre un máximo de luz y un mínimo hay media longitud de onda de
diferencia de camino óptico. Dado que la longitud de onda de la luz es muy pequeña (en
este caso 633 nm) estamos en condiciones de medir cambios de camino óptico muy
chicos. Resulta así que un interferómetro es una herramienta de medición muy precisa.
Veamos por ejemplo que sucede si calentamos con un soldador el aire que rodea uno
de los brazos cuando inicialmente el interferómetro estaba ajustado para que la
diferencia de camino entre ambos brazos fuese casi cero.............
Clase 5
Difracción
En esta clase veremos el fenómeno de difracción que sufre un haz láser al atravesar
una ranura y lo compararemos con el que produce un alambre muy fino. La geometría
de la difracción por una ranura se esquematiza en la siguiente figura
x
La posición de los mínimos viene dada por: xmín = n L / d n = 1, 2, 3.....
donde es la longitud de onda de la luz empleada, L la distancia de la ranura a la
pantalla y d es el ancho de la ranura. Si bien esta relación surge de una formulación que
aquí no desarrollaremos, analicen, al montar la experiencia, que sucede si se varían las
magnitudes L y d. Qué esperan que suceda si se cambia la longitud de onda?
Cuál es la figura de difracción que obtenemos si ahora cambiamos la ranura por un
alambre delgado? Es similar o no al de la ranura? Si es similar, estimen a partir de la
posición de los mínimos y de la ecuación dada para ellos, el grosor del alambre (tengan
en cuenta que la longitud de onda empleada es = 633 nm y que 1 nm = 10-6 mm). Para
verificar este valor se sugiere medir el alambre en forma directa con un microscopio. El
microscopio tiene una escala grabada en el ocular que debe graduarse según el
aumento empleado. Como lo harían?
Clase 6
Procesado de imágenes
Cuando analizamos señales sonoras vimos que en general estaban compuestas por
numerosas frecuencias. También dijimos que a través de un ecualizador de audio lo que
hacíamos era modificar intencionalmente el contenido espectral de la señal. Esto lo
hacíamos incrementando o disminuyendo la amplitud de determinadas frecuencias.
Podrá hacerse lo mismo con imágenes?
d
L
Con anterioridad vimos que una función no senoidal podía sintetizarse como suma de
funciones sinusoidales de distintas amplitudes, frecuencias y fases. Así generamos, por
ejemplo, ondas cuadradas y triangulares.
Ahora bien, podemos pensar una imagen como una función bidimensional que está
constituida por muchas funciones sinusoidales con distintas frecuencias, amplitudes,
fases y orientaciones (ya que ahora la función resultante ocupa un plano).
Por ejemplo una onda cuadrada unidimensional en imágenes se vería así
y podría componerse sumando estas funciones
Para estar en condiciones de modificar el contenido de frecuencias de una imagen
tenemos que ver que le sucede a un haz de luz cuando atraviesa una transparencia que
tiene una sola frecuencia, esto es, cuando atraviesa un objeto cuya transmisión es
sinusoidal. En ese caso la luz se difracta en tres órdenes, cuya separación y orientación
depende de la frecuencia espacial del objeto y de su orientación.
T (x)
x
T (x)
x
+ T (x)
x
+ T (x)
x
Así para un objeto complejo constituido por muchas frecuencias espaciales tendremos
una multitud de órdenes difractados. Uno central, común para todos los elementos
constitutivos y dos laterales dependientes del valor de la frecuencia y de la orientación
de la periodicidad.
Para modificar el contenido de frecuencias espaciales de un objeto complejo
deberíamos primero, obtener todos los haces difractados, luego bloquear o retardar
alguno de ellos y por último rearmar la imagen modificada. A esta operación se la
denomina filtrado espacial y puede llevarse a cabo en un procesador óptico.
En la siguiente figura se esquematiza un procesador óptico.
Imagen del objeto
Imagen de S
La luz proveniente de un láser se expande y se colima (se obtiene nuevamente un haz
paralelo) mediante la lente L1. Con ese haz se ilumina una transparencia (imagen de
entrada) ubicada en el plano P1. La lente L2 permite obtener en el plano P2 los órdenes
difractados que anteriormente mencionamos. En ese plano se realiza el filtrado espacial,
luego la lente L3 permite reobtener en el plano P3 la imagen modificada. Veamos un
ejemplo
La imagen de entrada (izquierda) tiene un ruido que sería deseable eliminar, la imagen
central muestra el espectro de una porción de esa imagen. Dado que el ruido es
periódico estará caracterizado por frecuencias bien definidas que originan los puntos
brillantes sobre el plano transformado. Si esas frecuencias son eliminadas, obstruyendo
el pasaje de la luz por esas zonas, y se vuelve a componer la imagen, se logra eliminar
el ruido en la zona filtrada (derecha).
