TALLER DE CALCULO VECTORIAL

Andrea Manrique Cantillo | Andrea Suarez Muoz | Regina Percia Velasquez

Universidad del MagdalenaFacultad de Ingeniera

Esp. Leider E. Salcedo Garca

1. Pruebe que el volumen del solido limitado por el cilindro y los planos es igual a . Posteriormente aplique la geometra para comprobar el resultado.

Para resolver esta integral utilizamos una sustitucin trigonomtrica dada por:

Si Si Luego:

Pero

Geomtricamente, el solido corresponde a un cuarto de un cilindro:

2. Pruebe que el volumen del solido que se encuentra debajo del plano y arriba de la regin triangular D, con vrtices es .

La ecuacin de la recta

Como tenemos un punto (1,0), reemplazamos

3. Pruebe que el volumen del solido limitado por los planos con es Como sobre xy asi:

Si Luego entonces,

4. Pruebe que el volumen de la esfera con radio R es

Si

Entonces,

5. Aplique las integrales dobles para probar el rea de la regin D de la figura 1, limitada por la curva con es

Pasaremos de la ecuacin cartesiana de la figura a una ecuacin polar:

Reemplazamos en la ecuacin cartesiana:

Luego la regin D ser:

6. Teniendo en cuenta la figura 2 pruebe que el rea superficial de la parte de la esfera que se encuentra arriba de la regin D, es

Circunferencia mayor

Circunferencia menor

Luego la regin ser:

Resolvemos esta integral por una sustitucin dada por:

Si , luego:

7. Pruebe que

es igual a donde Ees el solido limitado por el cilindro y los planos y arriba del plano X.

8. Aplique integrales triples para determinar el volumen de los siguientes solidos:

En coordenadas polares

En coordenadas polares,

Como

Luego,