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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
División de Perfeccionamiento y Calidad de la Educación
Taller: Estándares Básicos para Matemáticas
Coordinación: Gloria García O.Universidad Pedagógica Nacional
Pedro Javier Rojas G.Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Ligia Amparo Torres R.Universidad del Valle. Normal Superior Farallones de Cali
Gilberto Obando Z.Universidad de AntioquiaCarlos Alberto Trujillo S.
Universidad del Cauca Sylvia Bonilla J.
Universidad Externado de ColombiaBeatriz Espinosa B.
Institución Educativa Distrital Magdalena Ortega de NariñoMyriam Acevedo M.
Universidad Nacional de Colombia
Tabla de Contenido
Pág.
Presentación 3Estándar de Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos 5Estándar de Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos 14Estándar de Pensamiento Métrico y Sistemas de Medida 20Bibliografía 26
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PRESENTACIÓN
El conjunto de talleres que se presenta en este documento pretende en primer
lugar, orientar a los profesores y profesoras en el diseño de actividades en el aula
para articular el desarrollo de los Estándares Básicos de Calidad con los
Proyectos Educativos Institucionales. En segundo lugar, en este conjunto de
talleres se integran los principios que orientan la propuesta de los estándares.
En razón a esta consideración es necesario explicitar de nuevo el significado de
cada uno de los principios expuestos en el Documento Estándares Básicos de
Calidad para la Educación. Área Matemática
Valores sociales, culturales y democráticos de las matemáticas escolares. Tal
como se expresa en el marco de referencia del documento citado –Apartado 1.1–
la incorporación de estos valores en los diseños de actividades redimensiona la
cultura del aula, pues exige que los estudiantes experimenten el valor de someter
las ideas al escrutinio público, lo que supone que el conocimiento se construya en
prácticas de validación, la gestión de esta cultura esta supeditada a proponer
ambientes esencialmente comunicativos, en los que el tipo de actividades y su
estructuración, exige replantear desde los formatos tradicionales de presentación
de los conceptos y estructuras matemáticas hasta las formas tradicionales de
preguntar.
El compromiso con los fines sociales, requiere involucrar las conexiones de las
matemáticas escolares con otras ciencias, con los eventos y fenómenos del
mundo social, deportivo y cultural.
Complejidad y coherencia conceptual. Este principio está orientado a evidenciar
las relaciones entre los procesos, conocimientos básicos y contextos, puesto que
cada conocimiento básico requiere de otros conocimientos, y estos a su vez de
los procesos asociados. La diversidad de contextos amplía el campo semántico de
3
los conocimientos, además para evidenciar las relaciones complejas en la triada,
se requiere establecer la coherencia, horizontal y vertical entre los estándares.
Aprendizaje de las matemáticas. En razón a los principios descritos, es necesario
reconocer que los procesos de comprensión y desarrollo de las competencias
matemáticas son procesos complejos y se suceden en largos períodos de tiempo.
Por lo que es importante destacar que la determinación de las competencias
matemáticas de los estudiantes está asociada a distintas actuaciones en clase,
situaciones problema, que a su vez determinan diferente niveles de complejidad.
Desde las perspectivas anteriores este documento pretende orientar a los
maestros en el diseño y desarrollo de un conjunto de actividades para el aula. Se
han seleccionado algunos estándares y en cada uno de ellos se elabora un
análisis didáctico teniendo en cuenta:
Complejidad conceptual
Coherencia horizontal y vertical, es importante señalar que sólo se
enuncian estándares en los que se explicita la coherencia.
Actividades para el aula, que contemplan: situaciones problema, conceptos
y procesos involucrados.
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Estándar: Reconocer y describir patrones en distintos contextos
Nivel: De primero a tercero
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
Complejidad Conceptual
Los patrones y las regularidades están presentes en la vida diaria, en el lenguaje
hablado y escrito, en el diseño ornamental, en la música, en el movimiento, en la
variación, en la naturaleza (plantas, animales, cristales), pero lo más importante es
que los patrones y las regularidades son uno de los aspectos esenciales de las
matemáticas, pues la actividad matemática consiste en la búsqueda de
regularidades y patrones con el objeto de establecer generalizaciones y a partir
de ellas hacer predicciones. Los patrones se forman a partir de un núcleo y del
establecimiento de unos criterios que rigen la regularidad o reglas de formación.
La regularidad de los núcleos determina tipos de patrones por ejemplo, si el núcleo
se repite el patrón se denomina de repetición.
Los patrones se encuentran en diferentes contextos y dominios de la matemática:
el numérico, el geométrico y el variacional; las reglas que expresan patrones en lo
numérico pueden ser de tipo aditivo, de tipo de multiplicativo o sus combinaciones;
en lo geométrico están determinadas por la simetría; en el contexto algebraico
casi siempre las reglas se expresan a través de formulas y ecuaciones.
En el pensamiento variacional los patrones modelan y diferencian el campo de
las situaciones de variación entre dos variables es decir, permiten estructurar
matemáticamente a través de modelos de funciones de variable real diversas
situaciones. Es por esta razón que el estudio de los patrones esta relacionado con
nociones y conceptos propiamente algebraicos, como variable, función,
5
dependencia e independencia y modelos de función como la lineal y afín,
desigualdades razones de cambio.
Es importante señalar que también los patrones están presentes en la
construcción de modelos matemáticos de fenómenos del mundo real, dado que la
construcción del modelo matemático permite predecir el comportamiento de
fenómenos naturales.
Un ejemplo de esta modelación lo constituye el inicio de la comprensión de las
funciones lineal y afín. Estas funciones pueden generarse, por ejemplo, en
situaciones en que se relacionan magnitudes como la altura de un árbol y la
longitud de su sombra en una hora, en un lugar determinado (F), o la relación
funcional que se define entre los precios de un determinado número de fotocopias
de un mismo ejemplar (G). En estas situaciones se puede observar que cuando
una de las variables aumenta la otra también aumenta, pero en cada caso el
aumento o crecimiento sigue una regla o patrón diferenciado.
La regla que regula el crecimiento en la relación determinada por F, es que al
multiplicar por n los valores de una de las variables, los valores de la otra variable
también se multiplican por n. Y por otro lado, esta variación también cumple que si
se conoce el valor de la variable independiente el valor de la variable dependiente
se obtiene multiplicando por un determinado número k, es decir se presenta un
patrón de variación multiplicativo, que genera la función lineal. En el caso de la
relación G, el patrón de variación es aditivo pues el incremento entre los valores
de la variables es constante dando lugar a la función afín.
Tal como se ha descrito el estudio de los patrones, no es un contenido que se
puede situar en el currículo, en un tiempo y nivel determinado. La totalidad de los
usos de los patrones en diversos contextos (matemáticos y no matemáticos)
constituye el campo semántico del estudio de los patrones. Las conexiones de su
estudio con otros pensamientos y áreas curriculares traza el movimiento
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horizontal para la ampliación de campos semánticos del significado de los
patrones.
Pero en esta ampliación de los campos semánticos también se da en la relación
de los patrones con otras ciencias, pues tal como se afirma al inicio de este
apartado, se encuentran tanto en la naturaleza como en distintos dominios de la
vida científica y cultural. En la naturaleza los átomos se organizan en moléculas,
las moléculas en cristales y células y éstas en unidades de organización más
evolucionada. El reciente hallazgo de las cadenas de ADN, muestra las
organizaciones en cadenas de patrones
Una característica de los patrones en estos campos es la repetición de formas y
disposiciones aunque los objetos que constituyen los patrones sean muy distintos.
En general estos patrones siguen reducidos principios para su crecimiento,
ramificación, partición o fraccionamiento En lo que respecta a la Química, por
ejemplo, las estructuras de muchas moléculas siguen patrones geométricos.
El sistema de representación asociado a los patrones es el sistema algebraico
pero también se expresan en combinación de representaciones icónicas,
geométricas (diagramas), numéricas y gráficas, que actúan como intermediarios
en la construcción general de los núcleos que definen el patrón y las respectivas
reglas. La combinación de distintas representaciones integra las diversas fuentes
de significado para la construcción del significado personal y competente de los
estudiantes. En el contexto numérico, la regularidad del núcleo se expresa a
través del lenguaje aritmético hasta alcanzar el lenguaje algebraico, de igual
modo, son necesarias capacidades para analizar en una expresión numérica o
algebraica la regla que define el patrón
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Coherencia vertical y horizontal
El siguiente esquema describe las relaciones con otros estándares del mismo
pensamiento (coherencia vertical):
Nivel Estándares Pensamiento Variacional
De 1 a 3 Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural y gráfico
De 4 a 5 Predecir patrones de variación en una secuencia numéricaRepresentar y relacionar patrones numéricos con tablas y reglas verbales
De 6 a 7 Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos y Geométricos
De 8 a 9 Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas
Coherencia horizontal
Con el Pensamiento Numérico en aspectos como:
La comprensión de múltiples representaciones para el número. A través de las
representaciones figurales puntuales de los números (números poligonales),
pero a un nivel más elemental, el estudio de los patrones permite comprender
los numerales en la sucesión numérica.
Reconocimiento de propiedades numéricas aditivas y multiplicativas
Con el Pensamiento Geométrico
.Reconocer y valorar simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño.
Los patrones también promueven relaciones entre la geometría y el número, en
tanto los números se pueden representar mediante arreglos figurales, como es el
caso de los números cuadrados o triangulares y sobre esta representación de
carácter geométrico, estudiar las propiedades de los números.
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Situaciones para el aula
Situación 1Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las siguientes secuencias:
1 2 1 2 1 2
A B A B A B
§ ¤ § ¤ § ¤
Conceptos y Procesos
- Identificar un patrón común
- Generalizar el patrón
- Traducir entre distintas representaciones del mismo patrón
- Describir con lenguaje algebraico preverbal de manera global (oral y escrita) la
regularidad que establece el patrón
Situación 2La profesora de Juan, ha dejado la siguiente tarea:
En la pirámide, coloca el número en la cúspide
Explícale a Juan cómo puede hacer la tarea
9
22
882 24
12 202 2
2 2122 40 40 16 2
Conceptos y Procesos
- Reconocer patrón aditivo
- Usar hechos numéricos aditivos
- Expresar en lenguaje aritmético el patrón
- Resolver una ecuación aditiva
- Razonar numéricamente
Situación 3
Los números triangulares reciben este nombre porque pueden ser representados mediante una
configuración de forma triangular.
Explica cómo obtienes el séptimo número triangular
Conceptos y procesos
- Traducir entre sistemas de representación
- Reconocer patrón aditivo
- Usar hechos numéricos aditivos
- Expresar en lenguaje icónico
- Razonar numéricamente
Situación 4 Un entrenador tan solo registró los siguientes datos durante el entrenamiento de
ciclismo de uno de sus pupilos, quien mantuvo la misma velocidad en la carrera
Nº de vueltas 3 7 35
Tiempo (minutos) 12 20 140
10
1 3 6 10
Ayúdale al entrenador a completar la tabla. Explica cómo lo haces.
Conceptos y Procesos
- Leer e interpretar la tabla
- Usar hechos numéricos multiplicativos
- Razonar proporcionalmente
Situación 5Proyecto: Epidemia y control
El proyecto pretende establecer las conexiones del estándar con las ciencias
naturales, sociales y el medio ambiente. Para controlar una epidemia, en razón a
sus consecuencias sobre la población, se requiere sistematizar los datos de
contagio, analizar cómo se propaga la epidemia, los efectos de las drogas que se
utilizan para su control.
Para realizar el proyecto, se puede partir de estudiar datos reales de epidemias y
establecer actividades para sistematizar los datos en registros tabulares, o de
árbol para que los estudiantes analicen y conjeturen sobre el posible patrón de
crecimiento y establezcan las reglas. Un ejemplo de esta actividad se propone a
continuación.
La Oficina de Estadística de la Secretaria de Salud registró en la siguiente tabla
los datos de la propagación de una epidemia. La tabla debe ser analizada por el
grupo de médicos especializados en epidemiología.
Nº de Semanasº
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CasosNuevos
100 244 356 436 484 500 461 392 266 160 80 40
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¿Cómo debe analizar el equipo de médicos los datos de la tabla para establecer la
gravedad de la epidemia? ¿Cómo debe elaborar un informe el equipo de médicos,
que le permita demostrar a la población que la propagación de la epidemia
comienza a ser controlada?
Para establecer el uso de las competencias adquiridas por los estudiantes en el
proyecto anterior, es posible proponer situaciones problema como la siguiente:
En el esquema se describe la reproducción de una bacteria de cólera a una cierta temperatura
Transcurridas 24 horas, ¿qué se puede afirmar del número de bacterias
reproducidas? ¿De qué depende la propagación de la epidemia del cólera?
Situación 6 Proyecto Artesanías, diseños y patrones.
El entorno artístico y tecnológico ofrece inmensas posibilidades para el estudio de
para el reconocimiento y descripción de patrones generados por transformaciones:
(rotaciones, reflexiones, ampliaciones, reducciones), inclusive para introducir a los
estudiantes en el estudio de los fractales.
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Dado que los diseños artesanales de cada una de nuestras regiones (sombreros,
canastos, tapices, vasijas) son muy ricos en este ámbito, un proyecto de aula
podría consistir en una búsqueda de patrones generados por transformaciones
geométricas en estos diseños. Los estudiantes tendrán la oportunidad de
reconocer regularidades, explorar transformaciones, identificar patrones, elaborar
diseños y trabajar medidas lineales y de superficie
Específicamente el proyecto se relaciona con estándares como: reconocer y
aplicar traslaciones y giros sobre una figura reconocer y valorar simetrías en
distintos aspectos del arte y el diseño y con algunos estándares del pensamiento
métrico.
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Estándar: Realizar y describir procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados de acuerdo al contexto
Nivel: Primero a terceroPENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
“La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que estos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas” (MEN, 1998, p.61).
Complejidad conceptual
Los procesos de medición involucran conceptos y procedimientos. En lo referente
a los conceptos se pueden señalar, entre otros, los siguientes: la unidad no figural,
el sistema de unidades, los sistemas de numeración, la aproximación y los
procedimientos indirectos. Entre los procedimientos se encuentran: relación-
estimación entre objetos y unidades, uso de un mismo instrumento para clases de
objetos diferentes, técnicas de recubrimiento, de trasvasado, etc., uso de otras
magnitudes como intermediarias (por ejemplo, ángulos / masa, capacidad /
longitud, etc.), uso y lectura de aparatos de medición graduados, escritura
estándar de la medida, cambio de unidades, verificación, sensibilidad y reglaje de
aparatos, aritmetización mediante el uso de fórmulas, cambios de unidades (de
área, de volumen, etc.).
Establecer relaciones entre magnitud y número (medida) requiere de largos
periodos de tiempo y de procesos iniciales como: (1) Consideración y percepción
de la magnitud como propiedad de una colección de objetos, (2) Conservación de
una magnitud, frente a determinados cambios de los objetos, (3) Ordenación
respecto a una magnitud, estableciendo relaciones de orden y de equivalencia, (4)
Construcción de una unidad de medida y procesos de iteración y aproximación.
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En los procesos de medición, también está involucrada la estimación, que
posibilita analizar lo razonable de una medida específica, incluso obtenida
mediante el uso de instrumentos. Para potenciar la estimación y posibilitar el
tránsito de lo geométrico a lo analítico es necesario que los objetos y eventos
sobre los que se efectúen mediciones no siempre sean regulares.
Los procesos de medición se realizan en contextos tanto de la vida social y
económica, como de las ciencias experimentales. En la vida social, por ejemplo,
en situaciones tan familiares como la preparación de alimentos, donde se usan
distintas unidades culturalmente establecidas, y en desempeños profesionales,
como los de ciencias de la salud, donde los procesos de medición requieren
mayores niveles de precisión. En la actualidad, los avances científicos y
tecnológicos posibilitan, e incluso exigen, el reconocimiento de unidades
estandarizadas, pocas veces abordadas en el contexto escolar, como los
nanosegundos o los megabites (en ciencias de la computación, por ejemplo), que
exigen niveles altos de precisión y por tanto control del error.
Coherencia Horizontal y Vertical del Estándar.
El siguiente esquema permite visualizar la coherencia horizontal y vertical del
estándar en relación con los otros:
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Situaciones para el aulaSituación 1
Haciendo uso de los patrones de medida 1, 2 y 3, determinar el área de la
superficie de la figura en forma de ”flecha” y describir los procedimientos
utilizados.
Patrón 1 Patrón 2 Patrón 3
Conceptos y procesos:
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De décimo a once: Diseñar estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.
Realizar y describir procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados de acuerdo al contexto
De sexto a séptimo: Establecer relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.
P. Numérico: Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones.P. Geométrico: Reconocer y valorar simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño.P. Aleatorio: Clasificar objetos de acuerdo a cualidades o atributos y organizar información relativa.
De octavo a noveno: Justificar la pertinencia de utilizar unidades de medida específicas en contextos de las ciencias.
De cuarto a quinto: Seleccionar unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferentes mediciones.
- Describir relaciones entre objetos y patrones o unidades
- Transformaciones (traslaciones, giros, simetrías,…)
- Usar procedimientos indirectos de medida
- Transformación de unidades
Situación 2 Sugiera y argumente procesos para calcular las siguientes medidas:
El peso(masa) de un huevo
El grosor de una hoja de papel
La superficie de una hoja
La longitud de las dimensiones de una mesa rectangular
La superficie de una cancha de fútbol
La distancia de Bogotá a Santa Marta
La velocidad de un carro de fórmula 1
El presupuesto del país para un año
El consumo de energía de una nevera
Conceptos y procesos:
- Diferenciar magnitudes
- Usar de unidades estandarizadas
- Usar de instrumentos
- Describir relaciones entre objetos y unidades
- Interpretar de información
Situación 3
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Dé ejemplos de objetos (no necesariamente físicos) o eventos cuya medida sea
aproximada al valor indicado y de objetos que cumplan con más de una condición:
- Entre 1 mm y 2mm
- 1,5 cm³
- Entre 2gr y 10g
- Menos de 15 seg
Conceptos y procesos:
Reconocer sistemas de unidades
Describir relaciones entre objetos y unidades
Identificar relaciones entre magnitudes y unidades de medida
Situación 4Una empresa de lácteos requiere diseñar un envase para yogourt que tenga un
volumen de 200c.c., con la mínima cantidad posible de material. Si se quiere
escoger entre dos tipos de envase (ver figura), ¿Cuáles son los procedimientos
que permiten decidir sobre el de envase adecuado?:
Conceptos y procesos:
Reconocer y diseñar formas que dependen de las dimensiones
Establecer comparaciones
Usar sistemas de unidades
Usar y transformar fórmulas de superficie y volumen
Situación 5 Proyecto: La historia de mi pupitre
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Uno de los problemas que con mayor frecuencia se encuentra en las instituciones
educativas es el descuido de los pupitres. Esta situación puede dar origen al
diseño y desarrollo de un proyecto que genere en los estudiantes un aprecio por el
cuidado del pupitre como instrumento importante para el trabajo académico. El
desarrollo del proyecto involucra, en particular, procesos de medición en el diseño
y construcción del pupitre.
Se puede indagar desde el origen de los materiales con que está hecho el pupitre,
incluyendo procesos como: la siembra del árbol, su tala, el corte de la madera y su
comercialización. La gran variedad de datos, producto de procesos de medición
(como cantidad de material utilizado, tiempos empleados en los diversos procesos,
relaciones entre la forma y tamaño de los pupitres y el tamaño de los estudiantes,
costos de los materiales empleados y cantidad de material desechado), pueden
ser analizados a partir de organizaciones en tablas o gráficos.
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Estándar: Establecer conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras y computadores
Nivel: De sexto a séptimoPENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS
Complejidad Conceptual
Con respecto a las propiedades de los números, este estándar se refiere a las de
los números en si - ser primo, ser par, ser impar, entre otras-; a las de los números
con relación a la notación decimal - ser capicúa, por ejemplo-; a las de los
números en relación con las operaciones -la estructura algebraica de los sistemas
numéricos-. Por su parte con respecto a las relaciones, se refiere a relaciones
unarias -ser múltiplo de, ser divisor de, ser divisible por, entre otras-- y a
relaciones binarias -relaciones de orden, relaciones de equivalencia, etc-. Estas
propiedades y relaciones están presentes en la construcción del concepto de
número y, por consiguiente, son aspectos fundamentales de la Teoría de
Números.
El estudio de las propiedades algebraicas de los sistemas numéricos se hace
importante al analizar las extensiones de uno a otro, por ejemplo, la extensión de
los naturales a los enteros o a los racionales, y desde estos a los reales. En estas
transiciones se debe comprender el sentido y significado de lo que preserva o
cambia la extensión en relación a algunas propiedades y al significado de las
operaciones. En lo referente a los cambios en las relaciones, por ejemplo, las de
orden se complejizan por los significados y las formas de representación que
involucra cada conjunto numérico.
Por otra parte, establecer conjeturas sobre las propiedades y relaciones de los
números requiere de la visualización, del reconocimiento de regularidades y
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patrones a partir de razonamientos inductivos y deductivos; y del desarrollo de
procesos de validación o refutación de hipótesis. Los anteriores elementos obligan
a establecer un estrecho vínculo con el pensamiento variacional, pues se hace
necesario el recurso de la identificación y uso de variables, la identificación de
regularidades en el proceso de variación, el uso de diferentes sistemas de
representación para la sistematización de las regularidades, y finalmente, la
identificación y la formulación de las propiedades y relaciones (generalización).
Este estándar también hace referencia al uso en el aula de tecnologías
informáticas como las proporcionadas por calculadores y computadores. Estas
tecnologías son mediadores importantes para la actividad matemática del alumno,
en tanto que extienden las posibilidades de exploración, búsqueda y
experimentación de propiedades y relaciones, y ponen al alcance de los
estudiantes métodos y procesos que por otras vías podrían escapar de sus
posibilidades conceptuales. Estos métodos y procesos se refieren a la capacidad
de integración entre diferentes sistemas de representación en el procesamiento de
la información, la posibilidad del desarrollo de procedimientos algorítmicos
rutinarios o complejos (como por ejemplo, análisis de regresión), y la simulación y
modelación de situaciones como parte del proceso de su tratamiento matemático.
El uso de estos medios debe estar acompañado de la reflexión sobre los procesos
desarrollados y no sobre la implementación del instrumento en si mismo
Coherencia vertical y horizontalCoherencia Vertical
De primero a tercero
Reconocer las relaciones y propiedades de los números (ser par, ser impar,
ser múltiplo de, ser divisible por, etc) en diferentes contextos
Identificar regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes
instrumentos de cálculo (ábacos, calculadoras, bloques, etc)
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De cuarto a quinto
Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las
relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones
Justificar regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y
operaciones utilizando calculadoras o computadores
De sexto a séptimo
Generalizar propiedades y relaciones de los números (ser par, impar,
múltiplo de, divisible por, etc)
Resolver y formular problemas utilizando las propiedades fundamentales de
la teoría de números
Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades
de las operaciones
De diez a once
Utilizar argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que
involucran números naturales
Los estándares relativos a la teoría de números están relacionados
fundamentalmente con los del pensamiento variacional, en tanto proveen
herramientas para la identificación de patrones y relaciones numéricas y con los
del pensamiento aleatorio, en cuanto incorporan conceptos de la estadística y la
teoría de probabilidades (elementos de combinatoria, por ejemplo). El estándar en
consideración se relaciona explícitamente con los siguientes estándares
Coherencia horizontal
Pensamiento variacional
Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de
cambio (variación).
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Pensamiento aleatorio
Usar modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir
posibilidad de ocurrencia de un evento
SITUACIONES PARA EL AULA
Situación 1
El profesor solicita que cada estudiante escriba un número natural de dos o más
dígitos y que con los mismos dígitos pero cambiando el orden (permutándolos)
construya un segundo número, que determine la diferencia entre el mayor y el
menor de los dos números y que divida el resultado por 9.
Lo importante es propiciar la discusión en torno a las soluciones planteadas por
los estudiantes. Colocando el énfasis en carácter del residuo, la cantidad de
dígitos y las posibilidades de generalizar las conjeturas. Para apoyar el proceso de
conjetura se puede considerar el siguiente caso particular
Considere un número natural con dos o más dígitos, réstele la suma de sus dígitos
y divida este resultado por 9. Repita las operaciones con varios números y
conjeture sobre el procedimiento y resultado de las operaciones.
Conceptos y Procesos
- Predecir comportamientos de los números
- Usar la representación decimal
- Identificar y usar relaciones y propiedades de los números
- Estrategias heurísticas (considerar casos especiales, ensayo y error, ...)
- Argumentar con las propiedades y relaciones de los números sobre estrategias y
conjeturas
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Situación 2
Marcos va a hacer una fiesta y necesita comprar vasos, platos y cucharas. Quiere
comprar el mismo número de unidades de cada artículo. Teniendo en cuenta que
los vasos vienen en paquetes de 18 unidades, los platos en paquetes de 24
unidades y las cucharas en paquetes de 12 unidades, cada uno, ¿cuántos
paquetes de cada utensilio debe comprar? ¿Cuál es el número mínimo de
personas que puede invitar a la fiesta de tal forma que no sobren utensilios para
servir la torta?
Suponiendo que Marcos invitó a 150 personas, ¿cuántas unidades de cada
utensilio hay en cada paquete?
Conceptos y Procesos
- Reconocer múltiplos comunes
- Conjeturar, argumentar y probar
- Identificar estrategias de solución
- Formular y resolver problemas
Situación 3
Proyecto: Descubrir un teorema ocultoEn teoría de números, un resultado importante es el siguiente.
“Pequeño” Teorema de Fermat. Para todo número primo, p, y todo entero a no
divisible por p, se tiene que:
ap-1 es divisible por p.
Elaborar un proyecto de aula que permita “redescubrir” este teorema, incluir un
contexto histórico relacionado con el teorema y con la importancia del mismo en
nuestra época.
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Situación 4 Proyecto: Ayudando a Goldbach
Desde el siglo XVIII, el matemático C. Goldbach (en carta dirigida a Leonard
Euler) estableció su famosa conjetura:
Todo número natural y par mayor o igual que 6 puede expresarse como suma de
dos primos impares.
Las actividades deben estar orientadas para que los estudiantes “redescubran” y
verifiquen dicha conjetura. En tales actividades es conveniente incluir breves
revisiones históricas sobre la conjetura y algunos de los matemáticos relacionados
con ella.
BIBLIOGRAFÍA
Ministerio de Educación Nacional (2003). Estándares Básicos de calidad para la
Educación. Área matemática
Ministerio de Educación Nacional (1998) Lineamientos Curriculares. Matemáticas
25
