Click here to load reader
Upload
chevave322
View
329
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
ANTIDERIVADAS
Definición:
La función F es una antiderivada de f en un
intervalo I si y sólo si ( )´( ) ( )x I F x f x∀ ∈ =
Ejemplos:
f(x) F(x) Sen(x) ‐Cos(x)+C ex ex+C
Cos(x) Sen(x)+C x 2
2x C+
1x
ln x C+
Sec2(x) Tan(x)+C Csc2(x) ‐Cot(x)+C
2
11x +
arc tan(x)+C ‐arc cot(x)+C
2
11 x−
arc sen(x)+C ‐arc cos(x)+C
xn, n≠‐1 1
, 11
nx nn
+
≠ −+
2
11x x −
arc sec(x)+C ‐arc csc(x)+c
ax, a lR+‐{1}
{ }, 1ln( )
xa a lRa
+∈ −
Sec(x)Tan(x) Sec(x)+C Csc(x)Cot(x) ‐Csc(x)+C
De acuerdo a la definición de antiderivada:
F es una antiderivada de f ↔ ( )´( ) ( )F x f x= .
( )( ) ´( ) , pero ´( ) ( )( )
d F x C F x dx F x f xf x dx
+ = =
=
El operador inverso del diferencial es el
integral indefinido que está denotado por
d
∫
( )( ) ( )
( ) ( )
d F x C f x dx
f x dx F x C
+ =
⇒ = +
∫ ∫∫
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
1. ( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫ , k es una constante real
2. ( )( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 3. kdx kx C= +∫ , k es una constante
real 4. 1
, 11
nn xx dx C n
n
+
= + ≠+∫ −
5. lndx x Cx= +∫
6. x xe dx e C= +∫
7. { }, 1ln( )
xx aa dx C a lR
a+
= + ∈ −∫
8. ( ) ( )Sen x dx Cos x C= − +∫ 9. ( ) ( )Cos x dx Sen x C= +∫ 10. 2( ) ( )Sec x dx Tan x C= +∫ 11. 2( ) ( )Csc x dx Cot x C= − +∫ 12. ( ) ( ) ( )Sec x Tan x dx Sec x C= +∫ 13. ( ) ( ) ( )Csc x Cot x dx Csc x C= − +∫ 14.
2 ( )1
( )
dx arcTan x Cx
arcCot x C
= ++
= − +
∫
15. 2
( )1
( )
dx arcSen x Cx
arcCos x C
= +−
= − +
∫
16. 2
( )1
( )
dx arcSec x Cx x
arcCsc x C
= +−
= − +
∫
17. , 0
kxkx ee dx C k
k= + ≠∫
Demostrar las propiedades de linealidad de la antiderivada.
Actividad realizada en el aula.
Ejemplos:
Determinar la antiderivada de las siguientes funciones:
1. 4( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )f x Sec x Tan x Cos xx
= − + −
2. ( )22
2( ) ( ) 3 21
x xg x Sec x ex
= + − ++
Desarrollo
1.
43 ( ) ( ) 3 ( )
3 ( ) ( ) 4 3 ( )
3 ( ) 4 ln 3 ( )
Sec x Tan x Cos x dxx
dxSec x Tan x dx dx Cos x dxx
Sec x x x Sen x C
⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= − + −
= − + − +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2. Realizado en la pizarra por alumnos.
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1. REGLA GENERALIZADA DE LA POTENCIA
Teorema:
Si g es una función derivable y n es un número real diferente de ‐1, entonces:
1( )( ) ´( ) , 11
nn g xg x g x dx C n
n
+
= + ≠+∫ −
(demostración de teorema realizada en la pizarra)
EJEMPLOS:
Determinar las siguientes antiderivadas:
1. 3( ) ( )Sec x Tan x dx∫
ln( )x dxx∫2.
( )2( ) 1dx
arcTan x x +∫3.
4. kxe dx∫
5. 4( ) (2 )Sen x Sen x dx∫
2
( ) 21
arcSen x dxx+
−∫6.