TALLER DE POLÍGONOS Y CÍRCULOS (Areas y Perímetros)

Ejemplo 1: Un rectángulo tiene 60m2 de área y 32m de perimetro. Hallar sus

dimensiones.

Ejemplo 2: La base de un rectángulo es el triple de su altura y su área es27m2..

Hallar sus dimensiones.

Ejemplo 3: El área de un cuadrado es 81 cm¿ 2 ¿¿¿. Hallar su perímetro.

Ejemplo 4: Dado el trapecio ABCD; BC // AD ; B= 45º, BC = 3a; AB=AD = a.

Hallar: área de ABCD

Ejemplo 5: A la base b de un rectángulo se le añaden 5m. ¿Cuánto debe añadirse a la altura para que el rectángulo resultante tenga un área doble del primero?

Ejemplo 6: Calcular las dimensiones de un trapecio de área 864 m2

, sabiendo

que la base es

35 de la mayor y que la altura es igual al tercio de la suma de las

bases.

Ejemplo 7: Hallar el área de un triángulo isósceles sabiendo que su base mide 12

cms y que la altura es igual a la mitad de uno de los lados congruentes.

Ejemplo 8 : Halle el área de un Decàgono regular de 10 cm. de radio

Ejemplo 9: Halle el área de un Pentàgono regular de 15 cm. de apotema

Ejemplo 10: Halle el área de un Octàgono regular de 12 cm. de lado

Ejemplo 11: Hallar el área entre un octágono regular y una circunferencia de radio 10 cm. circunscrita a dicho octágono.

322

Ejemplo 12: Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Ejemplo 13: Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260º

Ejemplo 14: Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

Ejemplo 15: Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 60º.

Ejemplo 16 : Hallar la suma de los ángulos exteriores de un eptágono.

Ejemplo 17: Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.

Ejemplo 18 : Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120º.

Ejemplo 19: Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono.

Ejemplo 20: Cuál es el polígono en el que se pueden trazar tres diagonales desde un vértice.

Ejemplo 21: Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un octágono.

Ejemplo 22: Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total.

SOLUCIONES:Ejemplo 1:

A=bxh=60 (1)

h P=2b+2h=32 ⇒÷2⇒b+h=16 b b=16 - h (2)

(2) en (1)→(16−h )h=60⇒16h−h2=600=h2−16 h+60⇒0=(h−10)(h−6 ) ⇒ h1=10 y h2=6 h1=10 en (2)→b1=6 ⇒dim ensiones : 10m y 6m h2=6 en (1)→b2=10 Ejemplo 2: b=3h (1) h A=bxh=27 (2)

323

(1) en (2)→3h2=27⇒h=3m h=3m (1)→b=9m; b=3h

Ejemplo 3: . A= L2

= 81 ⇒ L= 9 cm P= 4L = 4 x 9 = 36 cm = P

Ejemplo 4:

sen45=ha⇒h=a . sen45=0 .707 a

Área =

(b+B )h2 =

(a+3a) . 0. 707a2

=1 . 41 .a2

= Área.

Ejemplo 5:

A2 = 2A1

(b + 5) (h + x) = 2bhbh + bx + 5h + 5x = 2bh ⇒ bx + 5x = bh – 5h ⇒ x (b + 5) = h (b – 5)

x= h (b – 5)/ (b + 5) m.

Ejemplo 6:

324

R=10

L/2

a

h=

13 ( x+ 3

5x )=8 x

15

A=

(b+B ) h2

⇒864=(35

x+ x) 815

x

2

⇒ x = 45 m → base mayor;

35 x= 27 m → base menor;

8 x15 = 24 m → altura

Ejemplo 7: Si es isósceles ⇒ BH = 6 cm

h = x /2

Pitágoras: x2 =

( x2 )

2

+ 62;

x2= x2

4+36⇒ x=4√3

Área = b×h

2=

12×4√32

2=12√3

cm2= Área.

Ejemplo 8 : θ=360n

=36010

=36→θ2=18

sen18°=

L2

10=

L20

→ L=20×sen18°=6 .18

cos18°= a10

→a=10× cos18°=9.51

A=n . L .a2

=10× 6.18× 9.512

=293.86cm2

Ejemplo 9: θ=360n

=3605

=72→θ2=36

325

=15

R

L/2

a=

R

L/2

a

5

= 6

R=10

L/2

a

5

tan36°=

L215

=L

30→ L=3 0× tan36=21.8

A=n . L .a2

=5× 21.8×152

=1.64 cm2

Ejemplo 10: θ=360n

=3608

=45→θ2=22.5

tan22 .5°=6a

→a= 6tan22 .5

=14.49

A=n . L .a2

=8×12×14 .492

=695.52cm2

Ejemplo 11:

θ=360n

=3608

=45→θ2=22.5

sen22.5°=

L2

10=

L20

→L=20×sen22 .5°=7.65

cos22 .5°= a10

→a=10. cos22.5=9.24entonces : Aoctagono=n . L .a2

=8×7 .65×9 .242

=282.74 cm2

326

Acirculo=π r2=π 102=314.16cm2

Entonces: Area entre circulo y octágono= 314.16 – 282.74 = 31.42 cm2

Ejemplo 12: sî = ( n-2)180º = (4 - 2)180º = 360º

Ejemplo 13: sî = ( n – 2 )180º ↓

1260º = (n – 2)180º Þ

1260 º180 º + 2 = n Þ n = 9 Þ n = eneágono

Ejemplo 14: î =

sin =

(n−2)180 ºn =

(6−2)180 º6 = 120º = î

Ejemplo 15: î =

(n−2)180 ºn

60º =

(n−2)180 ºn Þ 60n = 180n – 360 Þ

360 = 120n triángulo equilátero Ü 3 = n

Ejemplo 16: sê =360º Þ 360º

Ejemplo 17: ê =

sen =

360 ºn =

360 º8 = 45º

Ejemplo 18: ê =

360 ºn 120 =

360n Þ n =

360120 = 3 Þ triángulo equilátero

Ejemplo 19: d = n – 3 = 5 – 3 = 2

Ejemplo 20: d = n – 3 3 = n – 3 Þ 6 = n Þ hexágono

Ejemplo 21: D =

n(n−3)2 =

8(8−3)2 = 20

Ejemplo 22: D =

n(n−3)2

14 =

n(n−3)2 Þ 28 = n2 – 3n Þ

0 = n2 – 3n –28; 0 = (n – 7)(n + 4); n = 7 Þ eptágono

327

EJEMPLO 23En la figura se tiene que el arco BC es igual al arco DE. Demuestre que el ∠BAD = ∠CAE

Solución: Arco BC es igual al arco DE (Dado); por lo tanto ∠α1 = ∠α2 (Son ángulos centrales; ∠α1 + ∠θ = ∠α2 + ∠θ (Adición); ∠BAD = ∠CAE

EJEMPLO 24 En la figura siguiente hallar los valores de los ángulos X y Y y del arco Z.

Solución:

28 °=88 °−Z

2( Angulo exterior ) ⇒Z=32 °

∠X=88 °2

=44 °=∠ X ( Angulo inscrito )

∠Y=88 °+ {Z2

=88 °+32 °2

=60 ° ¿(Angulo

Interior)

EJEMPLO 25Hallemos los valores de los ángulos X y Y

Solución:

∠X= A D2

=180 °2

=90 ° ( Angulo inscrito )

125 °=A B+A D

2( Angulo inscrito )

∠Y= BC+C D2

( Angulo inscrito )

328

125 °+∠Y = A B+A D+BC+C D2

=360 °2

=180 °

(Suma de arcos en una circunferencia)∠Y=180 °−25 °=55°=∠Y

EJEMPLO 26 Hallemos los valores del ángulo X y del arco Z

Solución: 3Z+2 Z+ Z+2Z+16=360∘

(Circunferencia completa) ❑⇒

Z=43∘

∠X= AD−EC2

(ángulo Exterior)

∠X= 3 Z−Z2

= 2Z2

=Z=43°

EJEMPLO 27: Hallemos el valor del ángulo X

Solución: ∠ A= BD2

(ángulo inscrito)

❑⇒

70°= BD2

❑⇒

BD=140°

∠X= BAD−BD2

=220°−140°

2

❑⇒

∠ X=40°(ángulo exterior)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los otros ángulos interiores?

2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la medida de todos los ángulos interiores de ese romboide.

329

3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm?

4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y  12 cm.

5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.

7. Completa la siguiente tabla:

PROPIEDADCUADRILÁTERO(S) QUE

CUMPLE(N) DICHA PROPIEDAD

Diagonales iguales

Todos sus lados iguales

Lados opuestos iguales

Sus diagonales se dimidian

Diagonales perpendiculares

Ángulos opuestos iguales

Sus diagonales son bisectrices

Una diagonal dimidia a la otra y viceversa

Todos sus lados desiguales

Sólo dos ángulos interiores congruentesLa suma de sus ángulos exteriores es 360º

Sin ángulos interiores congruentes

8. Señala las diferencias entre rombo y romboides.

9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm.

330

10.Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado.

11.

Se mide un terreno entre dos personas con una lienza y estacas. Cuál es el área del terreno si las longitudes encontradas fueron:

12. Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular, sabiendo que la diagonal mide 200 m. y que vendido a $210 el m2., ha producido $3.760.050?

13. Si se prolonga el radio de un círculo en 4 cm. , el área queda aumentada en 80 cm2. Calcular el lado del cuadrado inscrito en el círculo primitivo.

14.Hallar el perímetro del rectángulo mostrado en la figura sabiendo que su área son 9600 m. cuadrados.

15.Hallar el área del rectángulo mostrado en la figura sabiendo que su perímetro son 160 m.

16.Determina el área de un pentágono regular con 5cm. de radio.

17.Halla el área de un octágono regular con 15cm. de apotema.

18.Encuentra el área de un decágono regular con 13 cm. de lado.19. Halar la diagonal de un rectángulo si sus lados están en una razón de 2:3 y su

área es 2400m2.

331

20. Cuanto miden los ángulos interiores de un trapecio isósceles si sus bases miden 20 cm. Y 14 cm. Y su altura 4 cm..¿Cuánto miden sus lados iguales?

21. El área de cada rueda de una bicicleta son 7500 cm2. Para llegar a la ciudad que está a 2 Km; cuantas vueltas giran sus ruedas?

22. Hallar el área entre un circulo y un pentágono regular inscrito en dicha circunferencia, si su apotema mide 7 cm.

23. Un joyero tiene un pedazo de oro de forma cilíndrica de 5m. de longitud y 1cm. De diámetro. ¿Cuántos aros con radio interior de 2cm. Puede fabricar?

24. Encuentre el área de una cancha de futbol encm2 si sus dimensiones son de 80 m. por 1100 dm. ¿Cuántas cuadras mide la cancha si una cuadra mide 80m.x80m.. Si una Hectárea mide 100m.x100m., ¿Cuántas canchas de futbol se necesitaría para cubrir 15 hectáreas?

25. Con un galón de cierta pintura se pueden pintar 100m2. El galón cuesta $50.000. ¿Cuánto cuesta pintar un salón; las paredes y techo; si las dimensiones son 10mx15m., y la altura son 4m.; y el salón tiene 2 puertas de 3m.x2m. que no se pintan?.

26. Una página de un libro mide 30cm.x40cm.. Si la margen superior e inferior son 5cm. Y 4 cm.; y las márgenes derecha e izquierda son 3cm. Y 2 cm. ¿cuál es el área de la porción impresa en la página?

27. Una ventana Normanda se forma por una región semicircular colocada arriba de una región rectangular, como se muestra en la figura. Si la porción rectangular mide 300 cm. de ancho y el area de toda la ventana es (6+9π/4)m2. ¿Cuánto es la altura de toda la ventana?

28. Si una pizza circular de 20 cm. De diámetro es una ración para una persona, ¿Cuántas pizzas circulares de 15 cm. de radio son necesarias para 15 persona?. Supón que el grosor de todas las pizzas es el mismo.

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29. Un patrón para hacer una colcha requiere las piezas A y B como se muestra en la figura. El rectángulo mide 3m. de largo y 2m. de ancho. El radio del cuarto de circulo mide 25 cm.. El patrón requiere 14 piezas de la parte A en una tela de color claro y 28 piezas de B en tela oscura. Encuentre el área de la tela de color claro necesaria y el área de la tela oscura necesaria para elaborar la colcha.

30. Una manguera para jardín está enrollada en círculos que miden 40 cm.de diámetro. Si hay 12 vueltas completas, ¿cuánto mide de largo la manguera?.

31.Halla los valores justificando todos los pasos

32.Halla los valores justificando todos los pasos.

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