FUNCIONESFUNCIONES

Contenidos:Contenidos:•DefiniciónDefinición

•Análisis de Función:Análisis de Función:

De primer gradoDe primer grado

Valor AbsolutoValor Absoluto

Parte EnteraParte Entera

ExponencialExponencial

LogarítmicaLogarítmica

CuadráticaCuadrática

Función RaízFunción Raíz

Definición:Definición:

•Relación entre dos conjuntos, uno Relación entre dos conjuntos, uno de partida denominado Dominio y de partida denominado Dominio y uno de llegada denominado uno de llegada denominado Recorrido.Recorrido.

( ) ( ) ( ) ( ){ }WDZCYBXA ,;,;,;,

Se denomina “X imagen de A” ó “A pre imagen de X”

Representación cartesianaRepresentación cartesiana

Condiciones:Condiciones:

•Para que una relación cualquiera se Para que una relación cualquiera se defina como función nunca puede defina como función nunca puede ocurrir que:ocurrir que:

Un elemento del dominio tenga dos Un elemento del dominio tenga dos imágenes en el recorrido.imágenes en el recorrido.

Algún elemento del Dominio no Algún elemento del Dominio no tenga imagen.tenga imagen.

Evaluación dE Evaluación dE funcionEsfuncionEs

Función algebraicaFunción algebraica( ) 1x2xf +=

1

2

3

4

3

5

7

9

Función CrecienteFunción Creciente

( ) ( )bfafba

iominDoalpertenecenbyaSi

≥⇒≥

Función DecrecienteFunción Decreciente

( ) ( )bfafba

iominDoalpertenecenbyaSi

≤⇒≥

función Parfunción Par

( ) ( )xfxf −=

( ) 2xxf =

función imParfunción imPar( ) ( )xfxf −=−

( ) 3xxf =

Función de pr imer Función de pr imer gradogrado

Función Afín Función

Lineal

Función constante

Función de primer gradoFunción de primer grado

•Exponente de la variable igual a 1.Exponente de la variable igual a 1.

•Tiene como representación gráfica una Tiene como representación gráfica una recta.recta.

•Dom f: IRDom f: IR

•Rec f: IRRec f: IR

IRIRf →:

Función LinealFunción Lineal

•Función de Primer grado con Función de Primer grado con coeficiente de posición igual a cero que coeficiente de posición igual a cero que por ende pasa por el origen del plano por ende pasa por el origen del plano

cartesianocartesiano

0;)( ≠= aaxxf

03)( += xxf

Caso particular de la función linealFunción identidad

xxf =)(

Función AfínFunción Afín

•Función de primer grado con Función de primer grado con coeficiente de posición distinto de cero, coeficiente de posición distinto de cero, que por ende no pasa por el origen del que por ende no pasa por el origen del

sistema cartesianosistema cartesiano

0,0;)( ≠≠+= babaxxf

12)( += xxf

Función constanteFunción constante

•Función que no Función que no depende de la depende de la

variable x, y que por variable x, y que por ende es representada ende es representada

en el plano cartesiano en el plano cartesiano como una recta como una recta paralela al eje xparalela al eje x

axf =)(

3)( =xf

Función parte enteraFunción parte entera[ ]xxf =)(

•Define la imagen de cada elemento del Define la imagen de cada elemento del dominio como el mayor valor entero menor dominio como el mayor valor entero menor

o igual al númeroo igual al número

Zc

IRDom

:Re

:

[ ]xxf =)(

[ ] 28,2)8,2( ==f

[ ] 22)2( ==f

[ ]xxf =)(

Función Valor AbsolutoFunción Valor Absoluto

•Define la imagen Define la imagen de todos los valores de todos los valores

como números como números positivos.positivos.

x

positivoxx,

negativoxx,−

positivoxx,

x

positivoxx,

x

positivoxx,

negativoxx,−x

positivoxx,

+0:Re

:

IRc

IRDom

xxf =)(

Vértice( )( )khV

khxxf

,

+−=

( )2,1 −−

( )( ) ( )

2;1

21

21

−−=−−−=

−+=

kh

xxf

xxf

[ [+∞− ,2:Rec

Función raíz cuadradaFunción raíz cuadrada

( ) xxf =

+

+

0

0

:Re

:

IRc

IRDom

( ) xxf =

Función ExponencialFunción Exponencial

•Exponente VariableExponente Variable

•Base ConstanteBase Constante

1,;)( ≠= apositivoaaxf x

+IRc

IRDom

:Re

:

1quemayoraFunción Creciente

Función decreciente

1quemenoryceroquemayora

( ) xxf 2=

Asíntota en eje xAsíntota en eje x

( ) xxf 2=

Asíntota en eje x

( )x

xf

=

2

1

Función logarítmicaFunción logarítmica

bacb ca =↔=log

1;,log)( ≠= apositivoaxxf a

IRc

IRDom

:Re

: +

1;,log)( ≠= apositivoaxxf a

IRc

IRDom

:Re

: +

bacb ca =↔=log

1;,log)( ≠= apositivoaxxf a

IRc

IRDom

:Re

: +

1quemayoraFunción Creciente

Función decreciente

1quemenoryceroquemayora

( ) xxf log=

Asíntota eje y

Función cuadráticaFunción cuadrática

• Exponente mayor de la variable igual a 2.Exponente mayor de la variable igual a 2.

• Su gráfica esta representada por una parábola.Su gráfica esta representada por una parábola.

( ) 0;2 ≠++= acbxaxxf

+∞

−

−∞− ,

22,:Re

:

a

bfó

a

bfc

IRDom

( ) 2xxf = Vértice

−−

−−

a

bac

a

bV

a

bf

a

bV

4

4,

2

2,

22

Eje de simetría

a

bx

2

−=

−=

a

bfy

2

Valor mínimo

Intersecciones con el eje xDada una ecuación cuadrática que se puede factorizar de la forma ; Las soluciones de dicha ecuación que representan las intersecciones con el eje x serán

02 =++ cbxax( ) ( ) 0=−− qxpx

qxypx ==

Fórmula cuadrática

Dada una ecuación cuadrática de la formaSi tiene intersecciones con el eje x estas se pueden calcular utilizando la fórmula cuadrática

02 =++ cbxax

a

acbbx

2

42 −±−=

( ) 322 −+= xxxf

( ) ( )13

013

0322

=−==−+

=−+

xx

xx

xx

CUADRÁTICAS INCOMPLETAS

( ) bxaxxf += 2

( ) caxxf += 2

xxxf 2)( 2 −=

( ) 12 −= xxf

FORMA CANÓNICA DE LA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

( ) ( ) khxaxf +−= 2

( ) ( ) 213 2 −+−= xxf

Análisis de discriminanteAnálisis de discriminante

acb 42 −=∆Se define el discriminante de la forma:

soluciónnegativo

solucióncero

solucionespositivo

sin

1

2

→∆→∆→∆

( ) 322 −+= xxxf

1642 =− acb

( )04

442

2

=−++=

acb

xxxf

( )124

422

2

−=−++=

acb

xxxf

Traslación y ref lexión de Traslación y ref lexión de funcionesfunciones

Traslación en el eje xTraslación en el eje x

•Dada una función f(x), trasladarla “a” Dada una función f(x), trasladarla “a” unidades hacia la derecha se representa unidades hacia la derecha se representa como f(x-a)como f(x-a)

•Trasladarla a unidades hacia la izquierda Trasladarla a unidades hacia la izquierda se representa como f(x+a)se representa como f(x+a)

EjemplosEjemplos

Dada la función Dada la función Trasladarla 3 unidades haciaTrasladarla 3 unidades haciala derecha se representa de la formala derecha se representa de la forma

( ) xxf =

( ) 33 −=− xxf

( ) xxf =

( ) 3−= xxf

Dada la función Dada la función

Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia

La izquierda se representa de La izquierda se representa de

La formaLa forma

( ) xxf log=

( ) ( )2log2 +=+ xxf

( ) xxf log=

( ) ( )2log2 +=+ xxf

Traslación en el eje yTraslación en el eje y

•Dada una función f(x), trasladarla “a” Dada una función f(x), trasladarla “a” unidades hacia arriba (en el eje y) se unidades hacia arriba (en el eje y) se representa de la forma f(x)+a.representa de la forma f(x)+a.

•Trasladarla “a” unidades hacia abajo se Trasladarla “a” unidades hacia abajo se representa de la forma f(x)-arepresenta de la forma f(x)-a

EjemplosEjemplos

Dada la función exponencialDada la función exponencial

de la forma de la forma

Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia

Arriba se representa de la formaArriba se representa de la forma

( ) xxf 3=

( ) 232 +=+ xxf

( ) xxf 3=

( ) 232 +=+ xxf

Dada la función valor absolutoDada la función valor absoluto

de la forma de la forma

Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia

Abajo se representa de la formaAbajo se representa de la forma

( ) xxf =

( ) 22 −=− xxf

( ) xxf =

( ) 22 −=− xxf

Reflexión en el eje xReflexión en el eje x

•Dada una función f(x), la Dada una función f(x), la representación simétrica representación simétrica (refelxión) en torno el eje x se (refelxión) en torno el eje x se representa de la forma –f(x)representa de la forma –f(x)

Dada la función cuadráticaDada la función cuadrática

De la forma De la forma

La reflexión en torno al eje xLa reflexión en torno al eje x

Se representa comoSe representa como

( ) 222 ++= xxxf

( ) 222 −−−=− xxxf

( ) 222 ++= xxxf

( ) 222 −−−=− xxxf

Reflexión en el eje yReflexión en el eje y

•Dada una función f(x), la Dada una función f(x), la representación simétrica representación simétrica (refelxión) en torno el eje y se (refelxión) en torno el eje y se representa de la forma f(-x)representa de la forma f(-x)

Dada la función logarítmicaDada la función logarítmica

De la forma De la forma

La reflexión en torno al eje yLa reflexión en torno al eje y

Se representa comoSe representa como

( ) xxf log=

( ) ( )xxf −=− log

( ) xxf log=

( ) ( )xxf −=− log

Reflexión de una función Reflexión de una función cuadrática con respecto al e je cuadrática con respecto al e je

xx

( ) 332 +−= xxxf

( ) ( ) ( ) 332 +−−−=− xxxf

( ) 332 +−= xxxf( ) 332 ++=− xxxf

Casos ParticularesCasos Particulares

( ) xxf =

Trasladarla una unidad Trasladarla una unidad hacia arribahacia arriba

( ) 1+xf

( ) ( )11 +=+ xfxf

Para toda función de primer Para toda función de primer grado con pendiente igual a grado con pendiente igual a

11

( ) [ ]xxf =

Al desplazarla una unidad hacia Al desplazarla una unidad hacia arr ibaarr iba

( ) [ ] 11 +=+ xxf

( ) [ ]xxf =

( ) [ ] 1+= xxf

Para toda Para toda funciónfunción( ) [ ]xxf =

( ) ( )[ ] [ ] axax

constaaxfaxf

+=+∀+=+ .;

FuncionesFunciones

TraslaciónTraslación ReflexiónReflexión

Eje xEje x Eje yEje y Eje xEje x Eje yEje y

Se suma o resta Se suma o resta a la variablea la variable

f(x+a)f(x+a)

Se suma o restaSe suma o restaa la funcióna la función

f(x)+af(x)+a

Inverso adit ivoInverso adit ivode la funciónde la función

-f(x)-f (x)

Inverso adit ivoInverso adit ivode la var iablede la var iable

f( -x)f ( -x)

( ) 321 2 +−=+ xxxf

( ) ?=af