Taller Integrales definidas

1. Hallar el área bajo la curva, bajo la definición de Sumas de Riemann en los siguientes casos:

a. 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥2 en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4.

b. 2

2

18)( xxf , en el intervalo cerrado 0, 6 en cinco subintervalos determinados por:

x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 4.5, x4 = 5 y x5 = 6.

c. 825)( 23 xxxxf para la partición 0, 5 en los cinco subintervalos determinados por:

x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2, x3 = 3.2, x4 =4 y x5 = 5.

d. 63)( xxf en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4.

e. 21)( xxf en el intervalo cerrado 0, 1 con n = 4.

f. 42)( xxf en el intervalo cerrado 0, 2 con n = 8.

g. 3)( xxf en el intervalo cerrado -2, 4 dividido en los cuatro subintervalos determinados por:

x0 = -2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, y x4 = 4.

2. Encuentra el área bajo la curva de la función 196)( 23 xxxxf en el intervalo cerrado 2 ,1 .

3. Encuentra el área bajo la curva de la función xxxf 23)( 2 en el intervalo cerrado 3 ,0 .

4. Encuentra el valor de las siguientes integrales.

5. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a. 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑒−𝑡(𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡𝑥2

0

b. 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡𝑥3

0

c. 𝐹(𝑥) = ∫1

1+𝑡2 𝑑𝑡𝑥

1.

d. 𝐻(𝑥) = ∫1

1+𝑡2 𝑑𝑡1

𝑥.

e. 𝐹(𝑥) = ∫1

1+𝑡2 𝑑𝑡𝑥2

1

f. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑒𝑡2𝑑𝑡

𝑥

1

g. 𝐺(𝑥) = ∫ 𝐿𝑛(𝑥2 + 4)𝑥

0dt

h. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡2𝑑𝑡𝑥

0

6. Determinar la integral:

a. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋/4

−𝜋/4

b. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝜋/4

−𝜋/4

c. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝜋/2

−𝜋/2

d. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝜋/2

−𝜋/2

e. ∫ (𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥𝜋/2

−𝜋/2

7. Encuentre 𝑑𝑓

𝑑𝑥 si f toma las siguientes reglas de correspondencia:

8. Determine:

9. Resolver

10. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales y cuando sea posible calcularlas:

a. ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋

20

b. ∫1

√𝑥−1𝑑𝑥

∞

1 c. ∫

𝑑𝑥

√4−𝑥

4

0 d. ∫

𝑑𝑥

𝑒𝑥−2𝑥

∞

1 e. ∫

2+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥

∞

𝜋𝑑𝑥 f. ∫

1

𝑥𝑑𝑥

∞

1

g. ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0 h. ∫

1

1+𝑥2 𝑑𝑥∞

1 i. ∫ (1 − 𝑥)𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

1 j. ∫

𝑒𝑥

𝑒𝑥+1𝑑𝑥

∞

−∞ k. ∫

1

√𝑥3 𝑑𝑥3

0

l. ∫1

𝑥3 𝑑𝑥2

0 m. ∫

1

𝑥3 𝑑𝑥2

−1 n. ∫

𝑑𝑥

√𝑥(𝑥+1)

∞

0

11. Determinar el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo especificado:

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2; [1,3].

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥3; [0,1].

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥1/2; [0,4].

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥1/3; [1,8].

e. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥; [0, 𝜋/2].

f. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥; [−𝜋/2, 𝜋/2].

g. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥; [0, 𝜋/2].

h. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥; [0, 𝜋/4]

i. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥; [0, 𝜋/2]

j. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥; [0,𝜋

2]