TALLER CALIFICABLE # 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

1) Un barco de carga tiene tres bodegas: en la proa, en el centro y en la popa. Los limites de capacidad de cada bodega son:

Usted como propietario del barco puede aceptar el total o una parte de los artículos que se ofrecen para el transporte. Las características de estos artículos son las siguientes:

Para preservar el equilibrio del barco el tonelaje transportado en cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. Formule un modelo matemático que le permita determinar la mejor forma de cargar el barco para obtener la utilidad máxima.

2) Su compañía posee tres plantas, en las cuales elabora un componente pequeño para un producto industrial. La compañía comercializa el producto a través de cinco distribuidores en el país. Los pronósticos de ventas indican que los requerimientos mensuales por distribuidor son los siguientes:

La

capacidad mensual de producción en cada planta y los costos unitarios de producción se ilustran en el siguiente cuadro:

Los costos de envío a distribuidores desde las plantas se muestran en el cuadro siguiente, en $/unidad:

Formule un modelo matemático que le permita determinar dónde producir los componentes y la forma de despacharlos hacia los distribuidores.

3) Una industria de papel produce pulpa la cual puede vender al mercado local o utilizar para fabricar papel blanco o cartón. Una tonelada de cartón requiere 0.7 ton de pulpa, mientras que una tonelada de papel blanco consume 0.9 ton de pulpa (el cartón y el papel blanco requieren de otras materias primas que no se consideran en este problema). La pulpa se produce a partir de bagazo de caña de azúcar, con un rendimiento del 40%. Se dispone de 260,000 ton/año de bagazo. Las instalaciones para producir pulpa tienen capacidad para 250 ton/día. La máquina de cartón trabaja a una velocidad efectiva de 200 ton/día y la de papel blanco a 150 ton/día. La producción se hace durante 335 días al año, ya que el resto de tiempo se dedica a mantenimiento.

Cada tonelada de papel blanco producida arroja al río 10 unidades de contaminación; una tonelada de cartón arroja 6 unidades y cada tonelada de pulpa arroja 20 unidades. Se permite un máximo total de 1,000,000 unidades de contaminación/año arrojada al río. Las utilidades netas por tonelada de pulpa, cartón y papel blanco son $50, $60 y $80, respectivamente.

Formule un modelo de PL que permita estimar el mejor plan de producción anual. Asuma que todo lo que se produce puede venderse.

4) Un fabricante debe cumplir un contrato a cuatro meses durante los cuales varían los costos de producción. El costo de almacenamiento de unidades producidas en un

mes determinado y no vendidas en ese mes es de $10 por unidad y por mes. Se dispone de la siguiente información:

Formule un modelo matemático para determinar el programa óptimo de producción que cumple con el contrato a costo total mínimo.

5) Una compañía productora de papel debe determinar el mejor esquema de patrones de corte de rollos de 60 y 80 pulgadas de ancho para satisfacer la demanda semanal por rollos más pequeños. El pedido semanal es el siguiente 30 rollos de 28”, 60 rollos de 20” y 48 rollos de 15”. Cualquier sobrante de rollo de ancho menor de 15” se considera como desperdicio. Para ello se dispone también de 50 rollos de 80” de ancho. ¿De qué forma deben cortarse los rollos de 60” y 80” para satisfacer la demanda y obtener el menor desperdicio posible? Suponga que se dispone de un número suficiente de rollos de 60”.

6) Cierto hacendado dispone de los siguientes recursos para emplearlos en la próxima cosecha:

$150.000 de capital disponible.1350 horas de tractor (horas máquina)

65 hectáreas de tierra cultivable.

Esta tierra es propia para sembrar maíz, millo o fríjol. Se supone que tiene a su disposición hombres suficientes. Los costos de producción son los siguientes: tractor e implementos $50/hora, mano de obra $5/hora, alquiler del terreno por la cosecha $200/hectárea. El hacendado ha acordado retornar el 150% del dinero no invertido exclusivamente en los cultivos a la Caja Agraria, donde efectuó el préstamo. Los datos de los cultivos posibles son los siguientes y vienen dados por hectárea:

Determine la proporción de cultivos que genere la máxima utilidad.

7) Desarrollos Alfa posee 324 Ha de terreno en un lago escénico en el corazón de la sierra. Antes se aplicaban pocos o ningún reglamento a los nuevos desarrollos en torno al lago. Las orillas del mismo están hoy pobladas con casas de campo, y

debido a la carencia de servicios de alcantarillado, hay muchas fosas sépticas, en su mayor parte mal instaladas. A través de los años las filtraciones de las fosas sépticas han ocasionado un grave problema de contaminación del agua.

Para mitigar el degradamiento de la calidad de agua, las autoridades municipales aprobaron reglamentos estrictos para todos los desarrollos en el futuro.

1. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, y las casas unifamiliares deben ser al menos el 50 % del total.

2. Para limitar la cantidad de fosas sépticas, se requieren tamaños mínimos de lote de 0.81, 1.21, y 1.62 Ha para casas con una, dos y tres familias, respectivamente.

3. Se deben establecer áreas de recreo de 0.40 Ha cada una, en una proporción de una por cada 200 familias.

4. Para preservar la ecología del lago, no se debe bombear agua subterránea para uso doméstico ni de riego.

El presidente de Desarrollos Alfa estudia la posibilidad de desarrollar los 324 Ha de la empresa. El nuevo desarrollo incluirá casas para una, dos y tres familias. Se estima que el 15 % de las hectáreas se debe asignar acalles y servicios comunitarios. Alfa estima que los ingresos por las diversas unidades de habitación serían

Unidades de habitación Una Dos TresRendimiento neto por unidad ($)

10 20 150 $

El costo de conectar el servicio del agua al área es proporcional a la cantidad de unidades construidas. Sin embargo el municipio cobra un mínimo de 100 000 $ por el proyecto. Además el aumento en la capacidad actual del sistema de abastecimiento de agua se limita a 200 000 gal/día, durante las temporadas pico. Los datos siguientes resumen el costo de conectar el servicio de agua, y también el consumo de agua, suponiendo familias de tamaño promedio.

Unidades de habitación Una Dos TresParques y jardines

Costo del servicio del agua por unidad ($)

1 000 1 200 1 400 800

Consumo de agua por unidad (gal/día)

400 600 840 450

8) Una empresa papelera posee un centro de recolección de desperdicios los cuales somete a diferentes tratamientos de tal manera que pueda producir materia prima para la venta. De acuerdo a la mezcla de los materiales utilizados es posible producir tres tipos de calidades diferentes del producto. Para la mezcla existe cierta flexibilidad y se han especificado estándares de calidad que indican los niveles máximo y mínimo en porcentaje (por peso) de los materiales que se permiten en cada tipo de producto. Las especificaciones se dan en la tabla siguiente junto con el costo de amalgamado por libra y el precio de venta por libra.

Grado EspecificaciónAmalgamadoCosto ($) por

libra

Precio de venta

($) por libra

A

Material I: No más del 30 % del totalMaterial II: No menos del 40 % del totalMaterial III: No más del 50 % del totalMaterial IV: Exactamente el 20 % del total

3.00 8.50

B

Material I: Nomás del 50 % del totalMaterial II: No más del 10 % del totalMaterial IV: Exactamente el 10 % del total

2.50 7.00

C Material I: Nomás del 70 % del total 2.00 5.50

El centro de recolección de la compañía obtiene los materiales de desperdicio de diferentes fuentes por lo cual es capaz de operar a una producción estable. Las cantidades disponibles cada semana así como el costo de tratamiento se muestran en la siguiente tabla.

Material

Libras disponiblesPor semana

Costo del tratamiento($) por libra

Restricciones adicionales

1 3 000 3.00 1. Para cada material deben recolectarse

Aleación I

Aleación II

Caja de recocido

Recocido continúo

Molinos continúo

Aleación III

y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por semana.2. Deben usarse $ 30 000 semanales para tratar estos materiales.

2 2 000 6.003 4 000 4.004 1 000 5.00

La compañía tiene que determinar cuánto debe producir de cada tipo de producto y l mezcla exacta de materiales que debe utilizar para cada tipo de tal manera que se maximice el beneficio total por semana (ventas totales menos costos totales de amalgamado; no se tiene en cuenta el costo del tratamiento ya que es cubierto por donaciones).

9) Se fabrican dos aleaciones, A y B, a partir de cuatro metales, I, II, III y IV, de acuerdo con las siguientes especificaciones:

Aleación Especificaciones Precio de venta

ACuando más el 80 % de ICuando más el 30 % de IICuando menos el 50 % de IV

200

BDe 40 a 60 % de IICuando menos el 30 % de IIICuando más el 70 % de IV

300

A su vez los cuatro metales son obtenidos a partir de tres minerales, de acuerdo con los siguientes datos

MineralCantidad máxima

(Ton)

Componente (%)Precio($)/TonI II III IV Otro

s1 1 000 20 10 30 30 10 302 2 000 10 20 30 30 10 403 3 000 5 5 70 20 0 50

Determine la cantidad de aleación de cada tipo que se debe producir y la cantidad de cada mineral que se debe asignar a la producción de cada aleación.

10) Una empresa siderúrgica produce tres aleaciones diferentes. La figura siguiente ilustra el diagrama de proceso de la empresa

Se deben determinar las cantidades de cada aleación que deben producirse dentro de las limitaciones de volumen de ventas y las capacidades de las máquinas con el fin de maximizar las ganancias. Los datos sobre las capacidades y utilidades se presentan en las tablas siguientes:

Aleación OperaciónVelocidad de

laMáquina

Potencial deventas

Ganancia por

Tonelada

I

Caja de recocidoMolinos continuo (1)Recocido continuoMolinos continuo (2)

2.8 h/Ton50 pies/min20 pies/min25 pies/min

1 250 2 500 $

IICaja de recocidoRecocido continuoMolinos continuo

3.5 h/ton20 pies/min25 pies/min

250 3 500

IIIRecocido continuoMolinos continuo

16 pies/min20 pies/min

1 5004 000

Tipo de máquinaNúmero de máquinas

Turnos8 h/sem

% TiempoOcioso

Caja de recocido 4 21 5Recocido continuo

1 20 10

Molinos continuo

1 12 0

Los rollos de cada aleación son de 400 pies de longitud y pesan 4 toneladas. Formule un modelo de programación lineal del cual pueda obtenerse una política de producción para la siderúrgica (asuma que 1 mes equivale a 4 semanas).

11) El departamento de policía de la ciudad de Cali estima los siguientes requerimientos mínimos diarios de policías:

Note usted que el período 1 sigue inmediatamente al periodo 6. Cada policía trabaja 8 horas consecutivas. El departamento de policía busca un programa de trabajo diario que emplee el menor número de policías en el departamento, teniendo presente cada uno de los requerimientos anotados.

12) Una compañía de aviación debe decidir a cuantas nuevas azafatas emplear y entrenar durante los 6 meses siguientes. Las necesidades expresadas como el número de azafatas • hora • vuelo son 8000 en enero, 9000 en febrero, 8000 en marzo, 10000 en abril, 9000 en mayo y 12000 en junio. Para que una azafata pueda ser puesta en vuelo regular toma un mes su entrenamiento. Una azafata aprendiz requiere 100 horas de supervisión por una azafata experimentada durante el mes de entrenamiento; por lo tanto, durante dicho mes se disponen de 100 horas menos de azafatas para el servicio regular de vuelos. Cada azafata experimentada puede trabajar hasta 150 horas en el mes y la compañía dispone de 60 azafatas a comienzos de enero. Si el máximo tiempo disponible de azafatas experimentadas excede a la necesidad de un mes de vuelos y de requisitos de entrenamiento, las azafatas regulares trabajan menos de 150 horas, pero ninguna es despedida. Cada mes aproximadamente, el 10% de las azafatas experimentadas se retiran de la compañía, para casarse. Una azafata experimentada cuesta a la compañía $800

mensuales y una aprendiz $400. Formule un modelo de Programación Lineal para la situación de empleo y entrenamiento.

13) El Ingenio Dulce produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, a partir de guarapo concentrado. La empresa compra 4 000 toneladas semanales de ese guarapo, y se le contrata para entregar al menos 25 toneladas semanales de cada clase de azúcar. El proceso de producción comienza fabricando azúcar morena y melaza a partir del guarapo. Una tonelada de guarapo concentrado produce 0.3 toneladas de azúcar morena y 0.1 toneladas de melaza. A continuación se produce azúcar blanca procesando el azúcar morena. Se necesita 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de azúcar blanca. Por último, el azúcar glas se produce a partir de azúcar blanca mediante un proceso especial de molienda que tiene una eficiencia de producción del 95 % (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 toneladas de azúcar glas). Las utilidades son $ 150, $ 200, $ 230 y $35 por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, respectivamente. Formule un programa lineal que determine el programa semanal de producción.

14) La empresa ABC fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden a $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son:

• Maní: $0.90 por libra

• Pasas: $1.60 por libra

• Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son:

• Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente.

• Especial: Cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos.

• Extra: Cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.

15) Uno de los experimentos sociales importantes en la región mediterránea es el sistema de comunas (Kibutz), o más ampliamente conocido como comunidades

agrícolas comunales, el cual ha sido desarrollado en Israel. Es muy común para los grupos de comunas unirse y compartir servicios técnicos y también compartir su producción. En el presente caso consideramos un sistema de tres comunas. La planeación global para este grupo se hace en la oficina técnica coordinadora. Esta oficina corrientemente planea la producción agrícola para el año venidero. Los productos agrícolas de cada comuna están limitados tanto por la cantidad de tierra irrigable disponible, como por la cantidad de agua asignada para irrigación. Las dimensiones de las comunas y su agua asignada para el próximo año se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Dimensiones y agua asignada de cada comuna

Los cultivos apropiados para la región en consideración son remolacha, algodón y sorgo. Estos cultivos son los únicos que se considerarán para el período bajo análisis. Los cultivos difieren entre sí principalmente en su retorno neto esperado por hectárea (ha) y en su consumo de agua por hectárea cultivada. Adicionalmente, la oficina coordinadora ha implantado una máxima cuota para el total de hectáreas que se pueden destinar a cada uno de estos cultivos. Toda esta información se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2. Máxima cuota, consumo de agua y retorno esperado de cada cultivo.

Las tres comunas han llegado a un acuerdo para que cada comuna siembre la misma proporción de su tierra irrigable disponible. Sin embargo, cualquier combinación de cultivos puede sembrarse en cualquiera de las comunas. Formule un modelo de programación lineal para este efecto, de manera que ayude a la planeación de las cosechas.