existen entonces
lim(x,y)(a,b)
f(x, y) = limxa
{limyb
f(x, y)
}= lim
yb
{limxa f(x, y)
}.
Estos se llaman limites unilaterales.
(1.) Sea f(x, y) = xyx+y si x + y 6= 0. Muestre que
limx0
{limy0
f(x, y)
}= 1
y que
limy0
{limx0
f(x, y)}
= 1
(2.) Sea f(x, y) = x2y2
x2y2+(xy)2 si x2y2 + (x y)2 6= 0. Muestre que
limx0
{limy0
f(x, y)
}= lim
y0
{limx0
f(x, y)}
= 0
pero sin embargolim
(x,y)(0,0)f(x, y)
no existe.
IV. Cuales de las siguientes funciones son continuas en todo
R2.
(1.)
f(x, y) =
{x2y2x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).0, si (x,y)=(0,0)
(2.)
f(x, y) =
{xy x
2y2x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(3.)
f(x, y) =
{sin(x2+y2)x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(4.)
f(x, y) =
{xy4
x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).0, si (x,y)=(0,0)
V. Calcular las derivadas parciales de las siguientes
funciones
2
(1.) f(x, y) = 3x 2y4.(2.) f(x, y) = xyx+y .
(3.) f(x, y) =x2 + y2.
(4.) f(x, y) = (x y)ey2x2 .
VI. Evaluar las derivadas anteriores en el punto (1,1).VII.
Determine cuales de las siguientes funciones satisfacen la
ecuacion
uxx + uyy = 0
(1.) u = x2 + y2.
(2.) u = x2 y2.(3.) u = ln(x2 + y2).
(4.) u = x3 + 3xy2.
VIII. Muestres que si z = xey + yex, entonces z satisface
zxxx + zyyy = xzxyy + yzxxy.
IX. Encontrar una funcion f tal que fx = x + 4y, fy = 3x y.X.
Sea
f(x, y) =
{x3yxy3x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(1.) Encontrar fx, fy en (x, y) 6= (0, 0).(2.) Encontrar fx, fy
en (x, y) = (0, 0) usando la definicion.
(3.) Mostrar que fxy(0, 0) = 1 y que fyx(0, 0) = 1XI. Encontrar
la ecuacion del plano tangente y la ecuacion de la recta normal
de las siguientes superficies
(1.) z = x2 + 3xy2 en (1, 1).
(2.) z = x2 y2 en (1, 2).(3.) z = ex
2y2 en (0, 0).
(4.) z = sin(x y) cos(x+ y) en (0, 0)
(5.) Encontrar la ecuacion del planto tangente a la grafica de
la funcionz = x2 +y2 en (2,1) y calcular la distancia del punto (1,
1) al plano.
(6.) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) = 2xy 3y2 en
(5, 5) enla direccion v = (4, 3).
(7.) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) = 2x2 + y2 en
(0, 1) en ladireccion del punto P = (0, 1) al punto Q = (1, 0).
(8.) Encontrar la direccion en que f(x, y) = x2 + sin(xy) tiene
derivadadireccional de valor 1 en el punto (1, 0).
(9.) Encontrar la maxima razon de cambio de las siguientes
funciones y ladireccion en que ocurre ese crecimiento para cada una
de las siguientesfunciones.
(1.) z = y2
x en (2, 4).
(2.) z = sin(xy) en (1, 0).
(3.) z = (x2 + y2) tan(x y) en (1, 1).
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