taller3P

Taller semana 11 calculo I

Barranquilla, 11 de Octubre de 2011

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadıstica

Calculo I - Prof. C. Domınguez, Prof. R. Prato

Taller Tercer Parcial Calculo 1

1. Calcule la derivada (usando la definicion) de las siguientes funciones

(a) f(x) = x3

(b) f(x) = x3 + x− 2

(c) f(x) =√2− x

(d) f(x) = sinx

(e) f(x) =1√x− 1

2. Determine si la funcion tiene derivada en el punto dado. Determine igualmente si la funcion es continuaen dicho punto.

(a) f (x) =

{

5 senx+ 2 , si x ≤ −π2

3 cosx− 3 , si x > −π2

en x = −π

2.

(b)

f (x) =

cosx− 1

x, si x < 0

x2 − 3x , si x ≥ 0en x = 0.

(c)f (x) =

{

x3 − 1 , si x ≤ 13x− 3 , si x > 1

en x = 1.

(d)

f(x) =x2 − 1√2x+ 1

en x = 1.

3. Calcule la primera derivada a las siguientes funciones

(a) f(x) =√x2 + 3x+ 2.

(b) f(x) = (3x+ 2)10.

(c) f(x) = (3x− 1)3(2 − x)5.

(d) f(x) = |3x2 + x+ 1|.

(e) f(x) =(2x2 + 3x− 2)3

(3x+ 5)2.

(f) f (x) = 6x3 + 2x2 − x− 2.

(g) f (x) = cos(

sin(

3 + x2))

(h) f (x) =3x2 + 4

x2 − 5x+ 3.

(i) f (x) = senx cosx− tanx+ secx.

(j) f (x) =(

2x3 + 4x) (

6x3 − x2 + 4x+ 5)

.

(k) f (x) = sen2(

x2 − 1)

.

(l) f (x) = cos2(

x+ 1

x2 + 2

)

.

(m) f (x) = 5x3

(

1− 3x+ 2

x2 − 1

)

.

(n) g (z) =(

3z3 + 4z)

(z − 5) (z + 1) .

(o) h (y) = 3 csc (sen y) .

(p) g (z) = tan(

z2 + 1)

cos(

2z3 − 1)2

.

(q) f (x) = cos2(cos x2)

4. Obtenga (en el caso de existir) los puntos donde la recta tangente a la grafica de la funcion dada esparalela al eje x. Obtenga por lo menos una de las ecuaciones de dichas rectas

(a)

f (x) = x4 + x3.

(b)

f (x) =1

2x2 − 5x3 − 16x.

NRC: 1396 1398 2312Prof. Catalina Domınguez - Prof. Ricardo Prato T.

1/5


(c)f (x) = senx cosx.

(d)f (x) = 2x+ cos 2x.

5. Halle las intersecciones con los ejes de la recta que es tangente a la curva y = x3 en el punto (−2,−8)

6. Hallar valores a y b tales quey = x2 + bx+ a

sea tangente a la recta y = x en el punto (1, 1)

7. Escribir las ecuaciones de la tangente a la curva y = x3 + 2x2 − 4x− 3 en el punto (−2, 5)

8. ¿En que puntos de la curvay = 2x3 + 13x2 + 5x+ 9

pasa su tangente por el origen?

9. Halla valores de las constantes a, b y c para los cuales las graficas de los dos polinomios

f (x) = x2 + ax+ b

yg (x) = x3 − c

se corten en el punto (1, 2) y tengan la misma tangente en dicho punto.

10. Encuentre las coordenadas de todos los puntos en la curva y = sin(2x) − 4 sinx en la que la rectatangente sea horizontal.

11. Demuestre que la curva y = 6x3 + 5x− 3 no tiene recta tangente con pendiente 4.

12. Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curva y = x√x que es paralela a la recta y = 1+ 3x

13. Dadas las siguientes graficas de funciones determine en que puntos la derivada no existe y en quepuntos la derivada se anula

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2


2/5


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

14. Derivar las siguientes funciones

(a) f(x) =ex + e−x

2

(b) f(x) = −x e−x2

(c) f(x) =ex

x(d) f(s) = −es

√s

(e) f(θ) = 2e−θ cos(θ)

(f) f(x) = −2e−x(4x3 + 2x2 − 12x+ 3)

(g) g(x) =3e−x2

x2 + 1

(h) q(x) =1

ex sinx

(i) p(x) =ex

cos(x) sin(x)

(j) r(v) = ve−v sin(v)

(k) h(x) = −xex sec(x)

(l) g(x) = xe−kx con k cte.

(m) h(t) = 3−t2

(n) s(u) = −2u2+u−1

(o) f(t) = te√t2+1

(p) f(t) = −e√t2+1

t

(q) f(x) = 2x2

sin(x2 + 1)

(r) f(x) = 4−x3/4 cos(√x)

(s) q(x) =(

12

)x

(1− x2)2

(t) f(x) =(

23

)−2x

e2x

(u) p(x) =6−x42x

26x

(v) f(x) =2x

2+1

x2 − x

(w) g(x) = −(

12

)x2+x−1

(x) h(x) = −(

14

)−x

(y) f(x) = (4x3+3x) (e−

x

3+3)(x2 − 3x+ 1)

15. Determine f ′(x) y f ′′(x) si

(a) f(x) = xe−(x/2)

(b) f(x) = xe−(x2/3)

(c) f(x) = ex(4x3 − 3x2 − 1)

(d) f(x) = ex sin(x)

(e) f(x) = ex√x

(f) f(x) =1

xex

(g) f(x) = e−x cos(x2)

(h) f(x) = (x+ 1)e−2x

(i) f(x) = −5−x−1 cos(x2)

(j) f(x) = 4x3+3x tan(x)

16. Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curva y = 2/(1 + e−x) cuando x = 0.

17. Encuentredy

dxusando derivacion implıcita


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(a) x3 + y3 = 1

(b) x2 + xy − y2 = 4

(c) x4(x+ y) = y2(3x− y)

(d) xy5 + x2y + 4 cosx sin y = 1

(e) y sin(x2) = x sin(xy2)

(f) (1− 3y)22x2

= e−x3

ey

18. Si f(x) + x2(f(x))3 = 10 y f(1) = 2, encuentre f ′(1).

19. Use derivacion ımplicita para hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto dado

(a) y = sin(2x) = x cos(2y), (π/2, π/4)

(b) sin(x+ y) = 2x− 2y, (π, π)

(c) x2 + 2xy − y2 + x = 2, (1, 2).

(d) x2/3 + y2/3 = 4, (−3√3, 1)

(e) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1)

(f) y2(y2 − 4) = x2(x2 − 5), (0,−2)

20. Si xy + ey = e, encuentre el valor de d2ydx2 en el punto donde x = 0.

21. Encuentre la ecuacion de la normal a la curva de las siguientes ecuaciones en el punto dado

(a) y = ex2

en el punto (2, e4)

(b) x− y2 + y − 2 = 0 en el punto (4, 2)

(c) x2 + 4y2 = 4 en el punto (−1,−√32 )

22. Una funcion f esta definida como sigue:

f (x) =

{

7ax3 − 5x+ 2 , si x ≤ 12x− b , si 1 < x < 2

siendo a y b constantes. Determine valores de las constantes a y b, para que la funcion sea diferenciable.

23. Sea f definida de la siguiente manera:

f (x) =

mx+ b x > 11 + x2 −1 ≤ x ≤ 1

c+ c1x− x2 x < −1

donde m, b, c y c1 son constantes. Hallar los valores de m, b, c y c1 tal que la funcion sea diferenciableen x = 1 y en x = −1

24. Encuentre el valor exacto de cada expresion.

(a) arcsin(√3/2)

(b) arctan(1/√3)

(c) arcsin(1/√2)

(d) csc(arccos(3/5))

(e) arcsec (1/2)

(f) arccos (1/2)

(g) arcsec (−1)

(h) arccos (1)

(i) arccos (0)

25. Demuestre usando derivacion implicita que

(a)d

dx(arccot(x)) =

−1

1 + x2.

(b)d

dx(arcsec(x)) =

1

|x|√1 + x2

con |x| > 1.

(c)d

dx(arccsc(x)) =

−1

|x|√1 + x2

con |x| > 1.

26. Determine la derivada de las siguientes funciones


4/5


(a) y = arctan(cos θ)

(b) y = x arcsin(x) +√1− x2

(c) y = arctan(x −√1 + x2)

(d) y = arccos(b+ a cos(x)

a+ b cos(x)

)

con a, b ctes.

(e) y = arcsin(√

sin(θ))

(f) g(x) =√1− x2 arccos(x2)

(g) x(t) = t− 32 ln(t

2 + 4)− arctan(2t) + 12 ln 2

27. Encuentre y′ si arctan(xy) = 1 + x2y

28. Derive las siguientes funciones

(a) f(x) = x lnx− x

(b) f(x) = sin(x) ln2(x2 − 1)

(c) f(x) = ex ln(x2 − x)3

(d) g(x) = sin(log4 x2)

(e) g(x) = cos2(ln(x2 + 8))

(f) g(t) = ln( (2t+ 1)3

(3t− 1)4

)

(g) h(x) = (ln(1 + ex))2

(h) x(t) = log2(e−t cos(πt))

(i) f(x) = log5(xe−x)

(j) f(x) = (x2 + 2x− 1)log2(xe

x)

−3

(k) f(x) = ln2(xe−x)2

(l) f(x) = ln(ln (ln(x2) ) )

(m) g(x) =1

1− ln(x2 − 1)

29. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

(a) y = xx

(b) f(x) = (cosx)x

(c) f(x) = (cos2 x2)x

(d) f(x) = (cos(x) sin(x))x

(e) y = xcos(x)

(f) f(x) = (sin(x2))ln x2

(g) g(x) =√xex

2

(x2 + 10)5

(h) y =sin2(x) tan4(x) cos2(2x)

(x2 + 1)2

(i) y =(x3 + 4x2)5 sin4(x2)

(x5 + 4x2)3(2x3 − 1)2

30. Verdadero o falso: Si f(x) = 2x + x2, entonces f ′(1) = 22 ln(2)− 2. Justifique su respuesta.

31. Verdadero o falso: La recta tangente a la grafica de la funcion f(x) = x ln(x2) es horizontal en el punto(e−1, 2e−1)

32. Encuentre y′ si y = ln(x2 + y2).


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