XIV Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica

Santander, España – 5-7 junio de 2002

REPRESENTACIÓN ESTEREOGRÁFICA DE LITOCLASAS, APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN

DE UN PROBLEMA DE ESTABILIDAD DE TALUDES

Antonio A. Arcos Álvarez (1), José Manuel Martínez Simón (1), Luis Méndez Valentín (1), Rubén Martínez Marín (1), Carlos Gordo Murillo (1)

(1)Universidad Politécnica de Madrid, España

E.T.S.I. de Caminos, C. Y P., Departamento de Ingeniería y Morfología del Terreno Correo electrónico: jmms@caminos.upm.es

RESUMEN

El presente trabajo desarrolla y propone un método para la identificación y análisis de las familias de discontinuidades de un macizo rocoso, basado en la representación equiárea polar. La identificación de las familias de los defectos se lleva a cabo mediante la realización de un curvado, isolíneas de densidad de polos, a partir del recuento de los polos en cada uno de los intervalos en que se divide la representación equiárea, intervalos que representan iguales incrementos de los dos ángulos que determinan la orientación de cada discontinuidad. El análisis de las familias se beneficia de la tridimensionalidad intrínseca a la representación mediante curvas de nivel o isodensidad, para así obtener información precisa sobre la presencia porcentual de cada una de las familias así como de su orientación preferencial. Se expone también una aplicación de la representación estereográfica para el análisis de la estabilidad al deslizamiento en cuña en taludes en roca.

Palabras clave : Representación estereográfica; Mecánica de rocas, Familias de discontinuidades; Estabilidad de taludes.

ABSTRACT

This paper develops and propose a method for identifying and analysing the discontinuity families in a rock mass. The method is based in the polar equiareal representation. The representation of the families is carried out by means of a contouring, isolines of equal polar density, taken from counting the number of poles in every interval in which is divided the equiareal representation. Those intervals represent the same increments for the pair of angles defining each discontinuity orientation. The analysis of the families is improved thanks to the threedimensionality inherent with the isodensity lines representation, so it is possible to obtain the necessary information about the porcentual incidence of every family as well as its preference orientation.

Key words: Stereographic representation; Rock mechanics; Discontinuity families; Slope stability.

1 Introducción Para el análisis de problemas muy frecuentes de la mecánica de rocas tales como la estabilidad de taludes, la estabilidad en frentes de túneles, el estudio de las posibilidades

2

de desprendimientos en estas mismas obras o, simplemente, para la realización de algo tan habitual como cualquiera de las clasificaciones geomecánicas más comunes, es necesario el examen de las discontinuidades estructurales a fin de determinar las orientaciones predominantes de éstas, lo que habitualmente se denominan familias de discontinuidades.

Para llevar a cabo esta tarea disponemos generalmente de un amplio conjunto de datos registrados en campo y procedentes de un muestreo más o menos aleatorio, datos que se pueden resumir a efectos del estudio como una sucesión de parejas de valores de la dirección de buzamiento y del buzamiento de las mencionadas discontinuidades, figura1.

Figura 1: Representación de una discontinuidad en el espacio.

Tradicionalmente estas discontinuidades, o más correctamente su orientación, se han representado mediante la proyección de la intersección de un plano paralelo a ellas pasando por el centro de una semiesfera ideal de referencia. Dado el gran número de datos a manejar en las primeras fases de los trabajos se considera más adecuada la llamada proyección estereográfica polar, en que cada discontinuidad es representada por un punto o polo, correspondiente a la intersección de la normal al plano representativo del defecto con la esfera de referencia.

La proyección de los datos de campo podría dar lugar a una representación similar a la de la figura 2. La dispersión de los datos suele ser considerable y para objetivizar la determinación de las direcciones preponderantes o representativas es muy útil realizar un curvado representativo de la densidad de polos. Es en la determinación de esta densidad donde los métodos existentes presentan diversas irregularidades. En ocasiones se utiliza la densidad de polos por unidad de área de la proyección obviando que el mismo área en diferentes situaciones del círculo estereográfico no representa el mismo ángulo sólido. Es el caso de Priest (1) y Phillips (2) y su recuento con un círculo de radio igual a 1/10 del radio de la proyección, círculo que representa el 1% del área de la proyección, figura 3.

Acimut de Dirección

Rumbo

BuzamientoDirección de

Buza

mie

nto

ß

N Acimut de Rumbo

3

Figura 2: Representación equiárea de los polos de las discontinuidades.

Figura 3: Método de recuento propuesto por Priest.

Estas condiciones pueden verse agravadas si la proyección polar empleada es la Isogonal (Red Estereográfica de Wulf), que no guarda la equivalencia de las áreas proyectadas, en vez de la Equiárea1 (Representación de Schmidt) en la que sí se conserva esta equivalencia entre las áreas, si bien esto no es así para las formas. Así, si empleamos el método propuesto por Priest, en la proyección Isogonal el círculo de recuento corresponde a un ángulo sólido de unos 23º cuando se sitúa en el centro de la proyección y de unos 12º cuando se sitúa próxima al perímetro. En la proyección equiárea la distorsión es menor pero también existe, y los ángulos sólidos correspondientes serían en ese caso de 16º y 22º.

Denness (3) propuso una red de celdas curvilíneas que se obtiene al dividir la semiesfera de referencia en 100 cuadrados iguales y representarlos mediante la 1 Quede claro que la representación estereográfica equiárea no es una proyección propiamente dicha.

100260

170200210

190 180

240

220

230

250

160150

120110

140

130

10

310

28

027

0

300

290

10

330

320

340 350 0

60

80

70

4020 30 50 60 70 908

0

2030

40

50

4

proyección equiárea, figura 4. En esta red a pesar de no haber diferencias entre los valores de las áreas de la esfera que representan las divisiones, sí la hay entre los valores de los incrementos angulares de inclinación y acimut (o “plunge” y “trend”) que estas divisiones representan.

Otro aspecto a tener en cuenta es que para el recuento de los polos próximos a la circunferencia exterior (representativos de los planos subverticales) conviene determinar algún método para incluir en un mismo conjunto, los polos que se encuentran en zonas diametralmente opuestas. Priest (1) propuso una plantilla rectangular con dos círculos de recuento cuyos centros estuviesen separados una distancia igual al diámetro de la circunferencia y Denness (3) propuso una modificación de su red a otra de 113 cuadrados en la que los más exteriores tienen una mitad fuera de la red indicando que ha de añadírseles el recuento de los diametralmente opuestos (figuras 3 y 4).

Figura 4: Redes de celdas curvilíneas de Deness La discretización empleada en cualquier caso es siempre arbitraria y no se ajustará a

la distribución de polos que se este estudiando en cada momento. Este problema puede mitigarse mediante la superposición de las áreas de recuento Priest (1) o mediante la realización de un nuevo recuento una vez girada la red de celdas de Denness (3).

Con el fin de ajustarse en cada caso a la distribución de polos estudiada, se han propuesto otros métodos de recuento, es el caso del “Método de Recuento del Círculo Flotante” de Turner y Weiss (4) o el método híbrido entre los de Dennes y Turner y Weiss propuesto por Hoek y Bray (5).

2 Metodología propuesta, ejemplos Se plantea la resolución del problema de la distorsión introducida por la falta de equivalencia entre las áreas de recuento y los ángulos sólidos que representan. Dado que el análisis a realizar es puramente probabilístico, lo que interesa conocer es cual o cuales son las orientaciones más probables de los planos de fracturación.

De esta forma si se divide la semiesfera de referencia en un número determinado de cuadrados que representen incrementos iguales en la inclinación y el acimut, estos representarán intervalos de discretización acordes con el fenómeno probabilístico estudiado. Es decir se pretende realizar gráficamente un recuento similar a la estadística de litoclasas por tabulación rectangular propuesta por Pitean y Rusell (6), figura 5.

5

Figura 5: Estadística de litoclasas por tabulación rectangular. A esta regla básica se le ha añadido una excepción, aquellas divisiones que, una vez

proyectadas, han de quedar en contacto con el perímetro de la proyección, abarcan un ángulo sólido mitad que el del resto de las divisiones. Esta reducción se realiza del lado de la inclinación (también denominada inmersión o “plunge”) con vistas a incluir en el mismo grupo planos subverticales de similar orientación que en la representación estereográfica polar se sitúan en los extremos de un mismo diámetro.

Se propone una discretización con 324 divisiones, basada en la representación estereográfica equiárea, la cual se muestra en la figura 6.

El método propuesto recuenta el número de polos en cada una de estas divisiones (en el caso de las divisiones perimetrales recuenta el numero de polos en cada división más los de la división diametralmente opuesta) asignando el valor resultante o “cota” al centro de gravedad de la división y asignando “cota” 0 a aquellas divisiones en las que no se han encontrado polos.

Figura 6: Discretización propuesta.

30

150220

230

240

210200

190 170180160

300

270

260

250

280

290

320

310

10 20340 350

3300

130

140

12060

100110

9080

70

40

50

6

De esta forma se obtiene un conjunto de puntos, todos los centros de gravedad de las celdas, con tres coordenadas donde la última de estas (cota o “z” del punto) representa la concentración de polos en cada división. Esto permite realizar un curvado por medio de alguno de los algoritmos empleados habitualmente para la representación acotada del terreno, en nuestro caso el método elegido es el Krigeado o Kriging.

La representación de cientos de litoclasas gráficamente es un trabajo extremadamente lento y si a esto añadimos las labores de recuento y curvado podrían hacer totalmente inviable el método propuesto. Por esto se ha puesto a punto un procedimiento informático que realice el proceso descrito.

Para los datos representados en la figura 1, procedentes de un muestreo real con vistas a la ejecución de un túnel, los centros de gravedad de las celdas y el posterior curvado quedam representados en las figuras 7 y 8 respectivamente.

Figura 7: Resultado del recuento mediante la malla de discretización

Figura 8: Curvado representativo de la densidad de polos.

Se observan claramente tres familias de discontinuidades a las que se ha denominado J1, J2 y J3. La J2 es la que presenta mayor dispersión en los valores medidos, mientras que en las familias J1 y J3 se observa una clara concentración alrededor de un valor predominante.

160

230

240

210200

190 180 170

220150

120130

140

20

300

270

260

250

280

290

310

10340 350

320330

0

60110

70

40

50

30

10090

8 0

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

6.00

6.50

J1

J2

J3

7

Pero la determinación de las familias de discontinuidades y su orientación más probable quedan aún sometidas a un elevado grado de subjetivismo una vez realizado el curvado. Es por esto por lo que se considera adecuado aplicar las ventajas de la “tridimensionalidad” intrínseca a la representación acotada. Así pues, mediante la extrusión de las curvas de nivel se obtiene un volumen (el equivalente a lo que denominamos loma o montículo en la representación acotada del terreno) representativo de cada familia de discontinuidades.

Las coordenadas del centro de gravedad de este volumen nos proporcionan una valiosa información en dos sentidos. Por un lado la posición en planta (coordenadas “x” e “y”) nos facilita la orientación más probable para la familia de discontinuidades representada, y por otro su altura (coordenada “z”) nos facilita un valor representativo del número de discontinuidades pertenecientes a la familia estudiada.

Cuando tan solo contamos con una representación acotada tradicional (líneas de nivel) se tiende a identificar la orientación más probable de las discontinuidades con el punto más alto (línea de nivel de mayor cota) del volumen representativo de la familia de discontinuidades, pero esto no tiene por que ser cierto y con el método propuesto se evitan estos errores.

En la figura 9 se ha representado en perspectiva el resultado de extrusionar las líneas de nivel anteriores. Se obtienen tres volúmenes representativos de cada una de las tres familias. Para cada uno de estos tres volúmenes se ha obtenido el centro de gravedad, la posición en planta de este centro de gravedad coincide con el centro de la base del cilindro rojo y la altura de este cilindro es proporcional al valor del volumen.

Se observa como para familias cuyos datos parecen bien distribuidos (J1 y J3) la posición del centro de gravedad es próxima al punto más alto del volumen, aunque no coincidente, y como para la familia de datos más irregulares la identificación del punto más alto del volumen con el valor más probable de la orientación implicaría un error considerable.

Figura 9.- Resultado de la extrusión de la líneas de nivel.

La altura de los cilindros indica que las familias principales son la J1 y la J2, pues a mayor altura mayor porcentaje de medidas correspondientes a cada familia. Por el

8

contrario la familia J3 se presenta en menor medida. Por otra parte que las familias J1 y J2, queden representadas por planos subverticales prácticamente ortogonales afirma la idea de que estas sean las familias principales.

Las conclusiones obtenidas de las figuras 8 y 9 concuerdan con la clasificación de Goodman (7) referente a la distribución de polos. Goodman distingue dos tipos de familias que podemos llamar “focal” y “en banda”. La primera es aquella en la que existe una orientación preferencial alrededor de la cual se distribuyen los polos con simetría axial. En la segunda los polos se distribuyen aproximadamente sobre un segmento de arco máximo.

De la morfología de las distribuciones que se aprecia en las figuras mencionadas se desprende que las familias J1 y J3 se ajustan al tipo “focal”, y este tipo surge cuando en la génesis de la familia actúa una causa fundamental y única de tipo axial como, por ejemplo, un empuje tectónico.

También se aprecia como la familia J2 se asimila con facilidad a la distribución en banda, distribución que por el contrario suele estar asociada a más de una causa, por ejemplo, cuando sobre un empuje tectónico aparece un plegamiento que hace girar los defectos.

3 Aplicación en un problema de estabilidad de taludes

4.1 Condición Necesaria para la Inestabilidad de una Cuña de Roca

En la figura 20 tenemos, en representación estereográfica, los polos de dos planos y la proyección, sobre el plano ecuatorial, de los círculos máximos determinados por los mismos. La intersección de estos planos queda definida por la de los círculos máximos y el centro de la esfera.

Tenemos así determinada una cuña, cuya posible inestabilidad consistiría en deslizar, saliendo el talud, a lo largo de esa intersección.

Para ello, es geométricamente necesario que esta intersección pueda aflorar al talud, es decir, que su inclinación y acimut sean tales, que su intersección con el plano, caso de llegar a producirse, lo sea en el sentido que la cuña se moviese, al salir del talud, descendiendo.

Para que esto ocurra, es necesario que la intersección esté en la lúnula situada por fuera de la proyección del círculo máximo que define la dirección e inclinación del talud libre.

En nuestro caso, esto es así, pero evidentemente, esto no quiere decir que la inestabilidad vaya a producirse. En primer lugar, es posible que ni siquiera haya ninguna cuña cuya arista aflore realmente al talud: por ejemplo, si la distancia entre litoclasas es grande, con relación a la altura del talud, es posible que todas las aristas que se forman pasen por debajo del pie del mismo.

Pero, además, la posibilidad de movimiento que hemos comprobado es puramente cinemática. Para que se produzca, es necesario además que las fuerzas que intenten mover la cuña superen las resistencias.

El calculo de esto es el objeto del párrafo siguiente, pero, en principio, podemos decir que la cuña no se moverá si la inclinación de la arista es menor que el ángulo de rozamiento efectivo en las diaclasas, (es decir, descontando el efecto de la presión del agua que pueda haber en ellas ). En consecuencia, deberá estar dentro de un cono de eje vertical, cuya generatriz forma con la horizontal dicho ángulo, y cuya traza con la esfera es un círculo. Entre este círculo y el círculo máximo correspondiente al talud, definen una lúnula, rayada en la figura 20, en cuyo interior debería estar el punto representativo de la línea de intersección, cosa que no ocurre. Con ello, la inestabilidad sería posible,

9

pero tampoco puede asegurarse todavía que llegue a producirse, como veremos a continuación.

Figura 20: Resolución mediante representación gráfica del problema de la inestabilidad de una cuña definida por dos planos

4.2 Comprobación de la Estabilidad de una Cuña de Roca

Pasemos ahora a calcular las fuerzas que intentan producir la instabilidad y las resistentes.

La cuña tendrá un peso W, pero pueden actuar sobre ella, además, la presión del agua que pueda existir en las litoclasas que la limitan, las fuerzas correspondientes a la aceleración sísmica y también fuerzas originadas por dispositivos de sostenimiento, tales como puntales, bulones, anclajes... Componiendo todas ellas obtendremos un “peso equivalente”, We, que, normalmente, no será vertical. Por otra parte , su línea de acción, no pasará, en general, por la arista de la cuña, pero suele suponerse que si es así, despreciando la influencia del momento que, respecto a ella, produce. Esto nos deja del lado de la seguridad.

Llamando β al ángulo que forma la línea de acción de We con la perpendicular a la arista de la cuña, la componente que tiende a producir el deslizamiento es We⋅sen β. La componente normal a la arista se reparte sobre las dos caras de la cuña, en la que aparecerán dos componentes normales, Pa y Pb (figura 21). En esta figura, aparece la sección de una cuña , por un plano perpendicular a la arista deslizante. Es sencillo dibujar esta sección Partiendo de la figura 20. Dibújese la traza del círculo máximo perpendicular a la arista (que pasará, evidentemente, por los polos de los planos A y B). Las intersecciones de esta traza con las de los planos A y B (que hemos llamado M’ y N’), definen, con el centro de la esfera, la dirección de los lados del triángulo OMN dibujado en la figura 21. Pero, para medir los ángulos α y ξ en su verdadera magnitud , hemos de abatir sobre el plano del dibujo el círculo máximo perpendicular a la arista,

90º80º70º60º50º40º30º20º10º80º70º60º50º40º30º20º10º0º

30°45°

plano A:DB=30ºB=40º

plano Talud:DB=315º

B=60º

Línea intersecciónde los dos planos

Traza delcono a 45º

Círculomáx. deltalud

Plano A(polo)

Plano B(polo)

Plano deltalud (polo)

Círculo máxperpendiculara la arista

Círculomáximoplano A

Círculomáximoplano B

plano B:DB=255ºB=70º

255°

10

girándolo alrededor de su traza hallándose así, los puntos M y N, tal como en la figura 20 se encuentra dibujado.

Figura 21: Sección de una posible cuña inestable por un plano perpendicular a la arista de deslizamiento.

Las fuerzas resistentes son debidas al rozamiento y a la cohesión en las caras de la

cuña.. Las primeras serán iguales a (Pa+Pb)⋅tg φ , aunque también existe la posibilidad de un ángulo de rozamiento diferente para cada cara. Las de cohesión, serán iguales a Ca⋅Aa+Cb⋅Ab siendo Aa y Ab las áreas de cada una de las caras de la cuña.

Las ecuaciones de equilibrio de que disponemos son :

bbaaba ACACtgPPS ⋅+⋅+⋅+= φ)(max

βsenWS e ⋅=

( ) ( ) 0=⋅−+⋅+−⋅ βξαξα cosWsenPsenP eba

( ) ( ) 0=+⋅+−⋅ ξαξα cosPcosP ba

De las dos últimas se deduce ( ) ( )

αξβ

αξαξαβ

sencos

cosWsen

coscoscosWPP eeba ⋅⋅=++−⋅⋅=+

2

Sustituyendo en la expresión de Smax y llamando coeficiente de seguridad a la relación entre éste y el realmente existente, S:

βφβ

αξ

senWACAC

tggcotsencos

SmaxS

F.Seg.Coefe

bbaa

⋅⋅+⋅

+⋅⋅===

Esta expresión sirve para el caso de que la punta posterior de la cuña esté cortada por una grieta de tracción . Las áreas Aa y Ab habrán de ser corregidas y también habrá de tenerse en cuenta el posible empuje hidrostático del agua que penetre en la grieta de tracción.

Como vemos, al tratarse de una cuña, y no de un bloque que deslice sobre un plano, el efecto del rozamiento viene multiplicado por el factor cos ξ / sen α , que algunos llaman “factor de efecto cuña”.

Si no contamos con cohesión, la comprobación de la estabilidad de la forma indicada en la figura 20 es muy sencilla. Basta hallar un ángulo de rozamiento equivalente en las diaclasas, φ* , tal que:

φαξφ tg

sencos

tg * ⋅=

We ⋅cos

α

α

ξ

Pa

M

O

Pb

N

11

después de lo cual, se dibuja la traza del cono correspondiente a φ* , y se comprueba si el punto representativo de la línea de intersección de los dos planos, queda dentro de la nueva lúnula de posible inestabilidad así definida.

4 Conclusiones La metodología propuesta, al desarrollarse mediante un doble procedimiento gráfico e informático, consigue aglutinar las ventajas de ambos procedimientos y desterrar sus inconvenientes.

Así, las representaciones gráficas ofrecen una clara e intuitiva presentación, pero realizadas por los métodos tradicionales pueden conducir a errores del lado de la precisión (aunque por lo que generalmente han sido dadas de lado es por constituir un trabajo extremadamente lento). Por otro lado los métodos analíticos, ya sean de carácter estadístico o de otro tipo, facilitan tan solo valores numéricos que dificultan el proceso de interpretación.

El problema de la lentitud queda sobradamente resuelto con la creación de una aplicación informática que desarrolle el proceso y el de la precisión ha sido solventado, superando los tradicionales métodos de curvado, mediante la extrusión de las isolíneas de densidad de polos. Gracias a esta extrusión de las líneas de “isodensidad” se consigue evitar el problema de la confusión de la orientación preferencial con la de la línea de máxima densidad y, además, se obtiene información adicional sobre la presencia porcentual de las diferentes familias de discontinuidades.

Por último cabe señalar la discretización empleada para realizar el conteo previo al curvado. Esta discretización es tal que cada una de las divisiones que la forman representa igual incremento de cada uno de los dos ángulos que determinan la orientación de una discontinuidad.

Referencias

1) Priest, S.D. Hemispherical Projection Methods in Rock Mechanics. George Allen & Unwin. London 1985.

2) Philips, F.C. The Use of Stereographic Projections in Structural Geology Edward Arnold, London. Third Edition, 1971.

3) Denness, B. A revised method of contouring stereograms using variable curvilinear cells. Geol. Mag. Vol. 109, Number 2, 1972, pages 157-163.

4) Turner, F.J. and Weiss, L.E. Structural Analysis of Metamorphic Tectonics. Mc Graw-Hill Book Co., New York, 1963.

5) Hoek, E. & Bray, J.W. Rock Slope Engineering. Institution of Mining and Metallurgy, London, Third Edition, 1971.

6) Pitean, D.R. & Rusell, L., Cumulative Sums Technique: A new approach to analysing joints in rock. Stability of Soil Slopes. XIII Symp. on Rock Mech. 1972. Un of Urbana, III. Pp. 1-29.

7) Goodman, R.E., Rock Mechanic”. John Wiley and Sons. New York 1980.