Tarea 1Ejercicios resueltos

1. Encontrar los incrementos ∆x y ∆y ası como la distancia entre cadapareja de puntos:

(i) A = (−3, 2), B = (−1,−2).

(ii) A = (−1,−2), B = (−3, 2).

(iii) A = (−3.2,−2), B = (−8.1,−2).

(iv) A = (√

2, 4), B = (0, 1.5).

(v) A = (1, 2), B = (4, 2).

Solucion.

(i) ∆x = x2 − x1 = −1− (−3) = 2.∆y = y2 − y1 = −2− (2) = −4.d =

√(∆x)2 + (∆y)2 =

√(2)2 + (−4)2 =

√4 + 16 = 2

√5.

(ii) ∆x = x2 − x1 = −3− (−1) = −2.∆y = y2 − y1 = 2− (−2) = 4.d =

√(∆x)2 + (∆y)2 =

√(−2)2 + (4)2 =

√4 + 16 = 2

√5.

(iii) ∆x = x2 − x1 = −8.1− (−3.2) = −4.9.∆y = y2 − y1 = −2− (−2) = 0.d =

√(∆x)2 + (∆y)2 =

√(−4.9)2 + 02 = 4.9.

1

(iv) ∆x = x2 − x1 = 0−√

2 = −√

2.∆y = y2 − y1 = 1.5− 4 = −2.5.

d =√

(∆x)2 + (∆y)2 =√

(−√

2)2 + (−2.5)2 =√

8.25.

(v) ∆x = x2 − x1 = 4− 1 = 3.∆y = y2 − y1 = 2− 2 = 0.d =

√(∆x)2 + (∆y)2 =

√32 + 02 = 3.

2. Describir las graficas de las siguientes ecuaciones:

(i) x2 + y2 = 1.

(ii) x2 + y2 = 2.

(iii) x2 + y2 ≤ 3.

(iv) x2 + y2 = 0.

(v) x2 + y2 ≥ 1.

Solucion.

(i) El cırculo con centro en (0, 0) y radio 1.

(ii) El cırculo con centro en (0, 0) y radio√

2.

(iii) El cırculo (con sus puntos interiores) con centro en (0, 0) y radio√3.

(iv) El origen, es decir el punto (0, 0).

(v) El plano con excepcion de los puntos interiores del cırculo deradio 1.

2

3. Realizar las actividades 1 y 2 de la siguiente pagina:http://www.cimat.mx/˜cesar/calculo verano 2011/

a) En la actividad 1 hay que introducir algunos valores y observar loque sucede. Tambien hay que dibujar y explicar lo que se obtieneal escribir

y =−2

3+ 1.

b) En la actividad 2 hay que encontrar las ecuaciones que generanla grafica dada.

Solucion.

a) Se muestra la grafica de la ecuacion y = −23x+1 con “escalones”.

El −2 en el numerador indica que los “escalones” mostrados enla grafica bajan 2 unidades, el 3 en el denominador indica quelos “escalones” son de tamano 3.

b) Utilizando lo observado en el inciso anterior con los “escalones”se puede reconstruir la grafica facilmente. Evidentemente existenuna infinidad de soluciones, aquı se muestran dos.

3

4. Dibujar los puntos dados a continuacion y encontrar la pendiente dela lınea que determinan:

(i) A = (−1, 2), B = (−2,−1).

(ii) A = (−2, 1), B = (2,−2).

(iii) A = (2, 3), B = (−1, 3).

(iv) A = (−2, 0), B = (−2, 2).

(v) A = (1, 2), B = (4, 2).

Solucion.

(i) m = ∆y∆x

= −1−2−2−(−1)

= 3.

4

(ii) m = ∆y∆x

= −2−12−(−2)

= −34

.

(iii) m = ∆y∆x

= 3−3−1−2

= 0.

(iv) m = ∆y∆x

= 2−0−2−(−2)

; no hay pendiente.

(v) m = ∆y∆x

= 2−24−1

= 0.

5

5. Encontrar las ecuaciones de las rectas vertical y horizontal que pasanpor los siguientes puntos:

(i) P = (−1, 4/3).

(ii) P = (√

2,−1.3).

(iii) P = (0,−√

2).

(iv) P = (−π, 0).

(v) P = (2, 2).

Solucion.

(i) x = −1, y = 4/3.

(ii) x =√

2, y = −1.3.

(iii) x = 0, y = −√

2.

(iv) x = −π, y = 0.

(v) x = 2, y = 2.

6. Encontrar la ecuacion y hacer una grafica de cada una de las lıneasdescritas:

(i) La lınea que pasa por (−1, 1) con pendiente −1.

(ii) La lınea que pasa por (2,−3) con pendiente 1/2.

(iii) La lınea que pasa por (3, 4) y (−2, 5).

(iv) La lınea que pasa por (5,−1) y es paralela a la lınea 2x−5y = 15.

(v) La lınea que pasa por (4, 10) y es perpendicular a la lınea 6x −3y = 5.

Solucion.

6

(i) P = (−1, 1), m = −1⇒ y − 1 = −1(x− (−1))⇒ y = −x.

(ii) P = (2, 3), m = 12⇒ y − 3 = 1

2(x− 2)⇒ y = 1

2x− 4.

(iii) P = (3, 4), Q = (−2, 5) ⇒ m = ∆y∆x

= 5−4−2−3

= −15⇒ y − 4 =

−15(x− 3)⇒ y = −1

5x+ 23

5.

(iv) P = (5,−1), la ecuacion de la lınea l es 2x− 5y = 15⇒ ml = 2

5⇒ la lınea paralela es y − (−1) = 2

5(x− 5)

⇒ y = 25x− 3.

7

(v) P = (4, 10), la lınea l esta dada por 6x − 3y = 5 ⇒ ml = 2 ⇒m⊥ = −1

2. Por lo que la ecuacion de la lınea perpendicular es

y − 10 = −12(x− 4)⇒ y = −1

2x+ 12

7. Una partıcula comienza en el punto A = (6, 0) y sus coordenadascambian con incrementos ∆x = −6, ∆y = 0. Encuentre su nuevaposicion.Solucion.“Nueva posicion” = (xinicial + ∆x, yinicial)+∆y = (6 + (−6), 0) = (0, 0).

8. Encontrar la ecuacion del cırculo con el centro C y radio r dados.Hacer un dibujo en el plano xy incluyendo el centro de cada cırculo.Identifique las intersecciones del cırculo con los ejes x y y.

(i) C = (−3, 0), r = 3.

8

(ii) C = (−1, 5), r =√

10.

(iii) C = (1, 1), r =√

2.

(iv) C = (−√

3,−2), r = 2.

(v) C = (3, 1/2), r = 5.

Solucion.

(i) C = (−3, 0), r = 3⇒ (x+ 3)2 + y2 = 9.

(ii) C = (−1, 5), r =√

10⇒ (x+ 1)2 + (y − 5)2 = 10.

(iii) C = (1, 1), r =√

2⇒ (x− 1)2 + (y − 1)2 = 2.x = 0⇒ (0− 1)2 + (y − 1)2 = 2⇒ (y − 1)2 = 1⇒ y − 1 = ±1⇒ y = 0 o y = 2Similarmente y = 0⇒ x = 0 o x = 2.

(iv) C = (−√

3,−2), r = 2⇒ (x+√

3)2 + (y + 2)2 = 4,x = 0⇒ (0 +

√3)2 + (y + 2)2 = 4⇒ (y + 2)2 = 1,

9

⇒ y − 1 = ±2⇒ y = −1 o y = −3. Ahora, y = 0⇒ (x+

√3)2 + (0 + 2)2 = 4⇒ (x+

√3)2 = 0)

⇒ x = −√

3.

(v) C = (3, 1/2), r = 5⇒ (x− 3)2 + (y − 12)2 = 25, ası

x = 0⇒ (0− 3)2 + (y − 12)2 = 25⇒ (y − 1

2)2 = 16,

⇒ y − 12

= ±4⇒ y = −92

o y = 72. Por otro lado, y = 0

⇒ (x− 3)2 + (0− 12)2 = 25⇒ (x− 3)2 = 99

4

⇒ x− 3 = ±3√

112⇒ x = 3± 3

√11

2.

9. Graficar los cırculos dados por las siguientes ecuaciones:

(i) x2 + y2 + 4x− 4y + 4 = 0.

(ii) x2 + y2 + 2x = 3.

Solucion.

(i) x2 + y2 + 4x− 4y + 4 = 0⇒ x2 + 4x+ y2 − 4y = −4⇒ x2 + 4x+ 4 + y2 − 4y + 4 = 4

10

⇒ (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 4⇒ C = (−2, 2), r = 2.

(ii) x2 + y2 + 2x = 3⇒ x2 + 2x+ 1 + y2 = 4⇒ (x+ 1)2 + y2 = 4⇒ C = (−1, 0), r = 2.

10. Graficar las parabolas dadas por las siguientes ecuaciones:

(i) y = x2 − 2x− 3.

(ii) y = −x2 + 4x.

Solucion.En ambos incisos se denotara por V al “vertice” de la parabola.

(i) x = − b2a

= − −22(1)

= 1

⇒ y = (1)2 − 2(1)− 3 = −4⇒ V = (1,−4).Si x = 0, entonces y = −3. Por otro lado y = 0⇒ x2 − 2x− 3 = 0⇒ (x− 3)(x+ 1) = 0⇒ x = 3 o x = −1. El eje de la parabola esta en

11

x = −1.

(ii) x = − b2a

= − 42(−1)

= 2

⇒ y = −(2)2 + 4(2) = 4⇒ V = (2, 4).Si x = 0, entonces y = 0. Por otro lado y = 0⇒ −x2 + 4x = 0⇒ −x(x − 4) = 0 ⇒ x(x − 4) = 0 ⇒ x = 4 o x = 0. El eje de laparabola esta en x = 2.

11. Describir las regiones dadas por las siguientes desigualdades:

(i) x2 + y2 > 7.

(ii) x2 + y2 < 5.

(iii) (x− 1)2 + y2 ≤ 4.

(iv) (x)2 + (y − 2)2 ≥ 4.

(v) x2 + y2 > 1, x2 + y2 < 4.

Solucion.

(i) El conjunto de los puntos que se encuentran fuera del cırculo concentro (0, 0) y radio

√7.

12

(ii) El conjunto los puntos que se encuentran dentro del cırculo concentro (0, 0) y radio

√5.

(iii) El conjunto los puntos que se encuentran sobre y dentro del cırcu-lo con centro (1, 0) y radio 2.

(iv) El conjunto los puntos que se encuentran sobre y fuera del cırculocon centro (0, 2) y radio 2.

(v) El conjunto los puntos que se encuentran fuera del cırculo concentro (0, 0) y radio 1 pero dentro del cırculo con centro en (0, 0)y radio 2; es decir, una rondana.

12. Graficar los siguientes pares de ecuaciones y encontrar los puntos don-de las graficas se intersectan.

(i) y = 2x, x2 + y2 = 1.

(ii) x2 + y2 = 1, x2 + y = 1.

Solucion.

(i) y = 2x y x2 + y2 = 1⇒ 1 + x2 + 4x2 = 5x2

⇒ (x =√

55

) y y = 2√

55

o (x = −√

55

) y y = −2√

55

.

Entonces A = (√

55, 2√

55

) y B = (−√

55,−2

√5

5) son los puntos de

interseccion.

(ii) x2 + y2 = 1 y x2 + y = 1 ⇒ y = y2 ⇒ y(y − 1) = 0 ⇒ y = 0 oy = 1.Si y = 1, entonces x2 = 1− y2 = 0 por lo que x = 0.Si y = 0, entonces x2 = 1− y2 = 1 por lo que x = ±1.

13

Entonces A = (0, 1), B = (1, 0) y C = (−1, 0) son los puntos deinterseccion.

14