Procesos Estocásticos III período 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURASFacultad de Ciencias - Escuela de Matemática

Tarea #2 de Procesos Estocásticos

Problema 1 La matriz de transición de cierto proceso de Markov es:0.3 0.5 0.20.1 0.6 0.30.4 0.1 0.5

a) Si el sistema se encuentra en un principio en el estado 1, determine las probabilidades después de

dos etapas del proceso

b) Si el sistema se encuentra inicialmente en el estado 2, encuentre las probabilidades después de dosetapas

c) Determine la matriz estacionaria.

Problema 2 Las probabilidades de que cierto país sea gobernado por uno de tres partidos políticos X, Y oZ después de la próxima elección están dadas por la matriz de transición1/2 1/3 1/6

1/4 3/4 01/5 2/5 2/5

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido Z gane la próxima elección si el partido X está ahora en el

poder?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido X esté en el poder después de dos elecciones si se suponeque el partido Y se encuentra en el poder ahora?

c) Si el partido Z se encuentra en el poder, ¿cuál es la probabilidad de que estará ahí después de doselecciones?

Problema 3 Las granjas de cierta región pueden clasificarse en tres tipos: agrícolas, pecuarias o mixtas.Actualmente 30 % son agrícolas, 40 % pecuarias y 30 % mixtas. La matriz de transición de un año al siguientees: 0.8 0.1 0.1

0.2 0.8 00.1 0.1 0.8

Encuentre los porcentajes de los tres tipos de granjas

a) el año próximo,

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b) dentro de 2 años,

c) a largo plazo.

Problema 4 En cierto país 90 % de la energía es generada por petróleo, gas o carbón y 10 % provenía dela energía atómica. Cinco años después los porcentajes eran 80 % y 20 % respectivamente, mientras que 5años más tarde fueron 75 % y 25 %. Suponiendo que el proceso es de Markov con(

0.8 0.2)

=(0.9 0.1

)P(

0.75 0.25)

=(0.8 0.2

)P

Determine:

a) La matriz de transición P de 2 × 2.

b) La matriz estacionaria e interprétela.

Problema 5 El valor de una acción fluctúa día con día. Cuando la bolsa de valores se encuentra estable,un incremento en un día tiende a anteceder una baja el día siguiente, y una baja por lo regular es seguidapor un alza. Podemos modelar estos cambios en el valor mediante un proceso de Markov con dos estados,el primer estado consistente en que el valor se incrementa un día dado, el segundo estado definido por labaja. (la posibilidad de que el valor permanezca sin cambio se ignora) suponga que la matriz de transiciónes la siguiente: (

0.1 0.90.8 0.2

)Si el valor de la acción bajó hoy, calcule la probabilidad de que se incremente 3 días después a partir deahora.

Problema 6 El ascensor de un edificio con lobby y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso.El piso en elque finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajesque parten del lobby se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza enel primer piso, sólo el 25 % de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en elsegundo piso, siempre finaliza en el lobby. Se pide:

a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena

b) Dibujar el grafo asociado

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos?

Problema 7 Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuandouna persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90 % de que siga comprándola la vezsiguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80 % de que repita la vez siguiente. Se pide:

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a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad deque compre CocaCola pasadas dos compras a partir de hoy?

b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compreCoca Cola pasadas tres compras a partir de ahora?

c) Supongamos que el 60 % de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40 % Pepsi. A tres compras a partirde ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola.

d) Determinar el estado estable.

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Problema 8 En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de unoa otro. El 1 de septiembre, 1/4 de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10,000 personas.Cada mes el S1 retiene el 90 % de sus clientes y pierde el 10 % que se va al S2. Se averiguó que el S2 soloretiene el 5 % y pierde el 85 % que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40 %, pierde el 50 % queva al S1 y el 10 % va al S2.

a) Establecer la matriz de transición

b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?

c) Hallar el vector de probabilidad estable.

Problema 9 Clasifique los estados de la siguiente matriz de transición:

P =

0.8 0.2 00 0.6 0.40 0.3 0.7

Problema 10 Clasifique los estados de la siguiente matriz de transición:

P =

0.3 0.8 0 0 01 0 0 0 0

0.4 0 0.6 0 00.1 0.1 0.2 0 0.60 0.1 0.3 0.6 0

Problema 11 Clasifique los estados de la siguiente matriz de transición:

P =

1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 38

16

1124 0 0 0

0 0 0 38

12

18 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 13

23

0 0 0 0 0 0 24

14

14

0 0 0 0 0 0 12

12 0

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Problema 12 Dos jugadores toman por turno una bola cada vez de una urna que contiene 3 bolas azules y5 bolas rojas. El jugador que extraiga la primera bola azul gana. Sea A el jugador con una cantidad inicialde L. 3.00 que extrae la primera bola y p la probabilidad de que gane el juego. Sea B el otro jugador con unacantidad inicial de L. 4.00 y q la probabilidad de que gane. Cada jugador hace extracciones sin reemplazo.

a) Encontrar p y q y demostrar que p + q = 1.

b) Determinar la probabilidad de ruina del jugador A.

c) Determine la duración esperada del juego.

Problema 13 Consideremos a un jugador A contra otro muy rico. A comienza con un capital inicial deL. 20.00. A gana L. 1.00 si al lanzar cinco veces una moneda cae a lo más 3 escudos, y pierde L. 1.00 en otrocaso. El juego termina hasta que A pierde todo o hasta que su capital se incrementa L. 2.00. Determine:

a) La probabilidad p del jugador A.

b) La probabilidad de que se arruine el jugador A.

c) La duración esperada del juego.

Problema 14 Se tienen dos vasos conectados por una válvula y contienen 50 moléculas de gas. La válvulase abre al tiempo t = 0 y las moléculas comienzan a difundirse de un vaso a otro. ¿Cuál será el estado delsistema después que haya pasado un largo período de tiempo?

Problema 15 Una partícula en el orgen de la recta numérica tiene probabilidad de moverse una posición ala derecha de p = 0.55. Determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que después de 25 pasos este en la posición 19?

b) Cotas del 95 % y 99 % para Z10000.

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