INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALUNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

MÉTODOS NUMÉRICOS (TALLER)

GRUPO: 4AM1

TAREA 7

“ECUACIONES DIFERENCIALES”

REYES RODRÍGUEZ ALEJANDRO RUIZ HERNÁNDEZ BRENDA ANGÉLICA

PROFESOR:

RAMÍREZ BARRIOS MIGUEL LUIS

MÉXICO D.F. A 09 DE JULIO DE 2015

EJERCICIO 1

(x2+4 ) dydx

=2 x−8 xy

y(0)=1 en el intervalo [0,8]

Con h=0.01

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 0,991800709275664 0,990993291209243 0,990993216665080

0,2500169676415331.5 0,372980400223570 0,373444493702320 0,3734340538236895 0,250251754878624 0,250267858695072 0,250267746193908

Con h=0.05

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 0,988808428647307 0,983358212356027 0,983359660749962

0,2500166558882171.5 0,361688042229254 0,364525667846541 0,3642623586021565 0,250182932384893 0,250256253463751 0,250253435724293

%COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS (ECUACIONES DIFERENCIALES)function [xr xp1 xp2 xp3 tp1]=Tarea7Ej1h=0.05;ti=0 %Condición Inicialtf=8x0=1 %Condición Final%Eulerx=x0;i=1;for t=ti:h:tf x=x+h*f1(x,t); xp1(i)=x; tp1(i)=t; i=i+1;end%Euler Modificadox=x0;i=1;for t=ti:h:tf x_aux=x+h*f1(x,t); x=x+(h/2)*(f1(x,t)+f1(x_aux,t+h)); xp2(i)=x; tp2(i)=t; i=i+1;end%Rangex=x0;i=1;for t=ti:h:tf k1=h*f1(x,t) k2=h*f1(x+0.5*k1,t+0.5*h); k3=h*f1(x+0.5*k2,t+0.5*h); k4=h*f1(x+k3,t+h); x=x+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); xp3(i)=x; tp3(i)=t; i=i+1;endtr=ti:h:tf;xr=(tr.^8+16*tr.^6+96*tr.^4+256*tr.^2+1024)/(4*(tr.^2+4).^4); %Agregar la Solución de la Ecuaciónplot(tr,xr,'b');hold onplot(tp1,xp1,'k');plot(tp2,xp2,'r');plot(tp3,xp3,'g');legend('Analitica','Euler','Euler Modificado','Range 4to Orden')endfunction z=f1(x,t)z=(2*t-8*t*x)/(t^2+4); end

EJERCICIO 2

(e− y+1 ) sin ( x )dx=(1+cos ( x ))dyy(0)=0 en el intervalo [0,2]

Resolviendo para encontrar dydx

se obtiene:

dydx

=e− y (ey+1 ) sin (x)

cos ( x )+1

La solución de la Ecuación Diferencial es:

log(4/(1+cos(x))-1)

Con h=0.01

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 0.00549593213728976 0.0060439524536017

00.00604392044175391 0,00549593213

71.5 1.01411923748938 1.00640902858382 1.01916684754578 1,01411923748

92 1.77799036217280 1.78494564701490 1.78493129113507 1,77799036217

2

Con h=0.05

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 0,0112313692524073 0,0112290404385123 0,100000000000000 0,007498443099846

31.5 1,07123257093886 1,07107499599563 1,50000000000000 1,045226016289482 1,86014425899998 1,85975318791075 2 1,82390319253633

%COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS (ECUACIONES DIFERENCIALES)function [xp1 xp2 xp3 tp1 tp2 tp3]=Tarea7Ej2h=0.05;ti=0 %Condición Inicialtf=2x0=0 %Condición Final%Eulerx=x0;i=1;for t=ti:h:tf x=x+h*f1(x,t); xp1(i)=x; tp1(i)=t; i=i+1;end%Euler Modificadox=x0;i=1;for t=ti:h:tf x_aux=x+h*f1(x,t); x=x+(h/2)*(f1(x,t)+f1(x_aux,t+h)); xp2(i)=x; tp2(i)=t; i=i+1;end%Rangex=x0;i=1;for t=ti:h:tf k1=h*f1(x,t) k2=h*f1(x+0.5*k1,t+0.5*h); k3=h*f1(x+0.5*k2,t+0.5*h); k4=h*f1(x+k3,t+h); x=x+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); xp3(i)=x; tp3(i)=t; i=i+1;endtr=ti:h:tf;xr=log(4./(1+cos(tr))-1); %Agregar la Solución de la Ecuaciónplot(tr,xr,'b');hold onplot(tp1,xp1,'k');plot(tp2,xp2,'r');plot(tp3,xp3,'g');legend('Analitica','Euler','Euler Modificado','Range 4to Orden')endfunction z=f1(x,t)z=((exp(-x))*(exp(x)+1)*sin(t))/(cos(t)+1);end

EJERCICIO 3

x2 y '= y−xyy(-1)=1 en el intervalo [-1,0]

Con h=0.01

t Euler Euler Modificada Range Analítica-0.9 -1.25060658969911 -1.25422795089152 -1.25424502258329 -0.5197921531-0.5 -3.33226509572109 -3.39823319885161 -3.39855344722839 -0.9356258755

0 NaN NaN NaN Inf

Con h=0.05t Euler Euler Modificada Range Analítica

-0.9 -1.34092251461988 -1.36625289507181 -1.36686344552321 -0.536694160-0.5 -3.47105999631867 -3.84214736961781 -3.85166396113872 -0.966049489

0 NaN NaN NaN Inf

EJERCICIO 4

dxdt

+5 x=20

x(0)=2 en el intervalo [0,10]

Resolviendo para encontrar dydx

se obtiene:

dydx

=−5(x−4)

%COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS (ECUACIONES DIFERENCIALES)function [xr xp1 xp2 xp3 tp1]=Tarea7Ej3h=0.05;ti=-1 %Condición Inicialtf=0x0=-1 %Condición Final%Eulerx=x0;i=1;for t=ti:h:tf x=x+h*f1(x,t); xp1(i)=x; tp1(i)=t; i=i+1;end%Euler Modificadox=x0;i=1;for t=ti:h:tf x_aux=x+h*f1(x,t); x=x+(h/2)*(f1(x,t)+f1(x_aux,t+h)); xp2(i)=x; tp2(i)=t; i=i+1;end%Rangex=x0;i=1;for t=ti:h:tf k1=h*f1(x,t) k2=h*f1(x+0.5*k1,t+0.5*h); k3=h*f1(x+0.5*k2,t+0.5*h); k4=h*f1(x+k3,t+h); x=x+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); xp3(i)=x; tp3(i)=t; i=i+1;endtr=ti:h:tf;xr=-1*(exp(tr+1)/tr*tr).^-1; %Agregar la Solucionplot(tr,xr,'b');hold onplot(tp1,xp1,'k');plot(tp2,xp2,'r');plot(tp3,xp3,'g');legend('Analitica','Euler','Euler Modificado','Range 4to Orden')endfunction z=f1(x,t)z=x-t*x/t.^2;end

La solución de la Ecuación Diferencial es:

x=−2e5 t

+4

Con h=0.01

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 2,86239981544708 2,84582579677820 2,84610034477739 3,6967346701436

81.5 3,99913444554848 3,99894433740829 3,99894777931439 3,9997234578149

32 3,99993339993413 3,99991325216971 3,99991362845474 3,9999773000351

23 4.00000000000000 3,99999941423206 3,99999941803295 3,9999998470488

44 4.00000000000000 3,99999999604458 3,99999999607874 3,9999999989694

25 4.00000000000000 3,99999999997329 3,99999999997358 3,9999999999930

610 4.00000000000000 4,00000000000000 4,00000000000000 4

Con h=0.05

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 3,15625000000000 3,04632568359375 3,05523846973665 3,6967346701436

81.5 3,99973212686475 3,99905044322542 3,99913824704077 3,9997234578149

32 3,99998491512226 3,99999942293884 3,99992925591492 3,9999773000351

23 3,99999995216266 3,99999942293884 3,99999952323448 3,9999998470488

45 3,99999999999952 3,99999999997030 3,99999999997835 3,9999999999930

610 4,00000000000000 4,00000000000000 4,00000000000000 4

EJERCICIO 5

y '+(tanx ) y=cos2 xy(0)=-1 en el intervalo [0,20]

%COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS (ECUACIONES DIFERENCIALES)function [xr xp1 xp2 xp3 tp1]=Tarea7Ej4h=0.05;ti=0 %Condición Inicialtf=10x0=2 %Condición Final%Eulerx=x0;i=1;for t=ti:h:tf x=x+h*f1(x,t); xp1(i)=x; tp1(i)=t; i=i+1;end%Euler Modificadox=x0;i=1;for t=ti:h:tf x_aux=x+h*f1(x,t); x=x+(h/2)*(f1(x,t)+f1(x_aux,t+h)); xp2(i)=x; tp2(i)=t; i=i+1;end%Rangex=x0;i=1;for t=ti:h:tf k1=h*f1(x,t) k2=h*f1(x+0.5*k1,t+0.5*h); k3=h*f1(x+0.5*k2,t+0.5*h); k4=h*f1(x+k3,t+h); x=x+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); xp3(i)=x; tp3(i)=t; i=i+1;endtr=ti:h:tf;xr=((-2)*((exp(5*tr)))).^-1+4; %Agregar la Solución de la Ecuaciónplot(tr,xr,'b');hold onplot(tp1,xp1,'k');plot(tp2,xp2,'r');plot(tp3,xp3,'g');legend('Analitica','Euler','Euler Modificado','Range 4to Orden')endfunction z=f1(x,t)z=-5*(x-4);end

Resolviendo para encontrar dydx

se obtiene:

dydx

=cos (x)sec ( x )∗y

La solución de la Ecuación Diferencial es:y=cos ( x )∗(sin ( x )−1)

Con h=0.01t Euler Euler Modificada Range Analítica

0.1 -1.11524406587010 -1.11578008619992 -1.11578412153690 -0.0355254815737

110 -184.346264626024 -187.760415963514 -187.77246570030620 -25694.0426097533 -26576.7900886176 -26579.7936076585

Con h=0.05

t Euler Euler Modificada Range Analítica0.1 -1.15693795270928 -1.16039399139194 -1.16053377081663 -

0.03552548157371

10 -176.342579835929 -192.605503563855 -192.92104189628120 -22661.7570600621 -26657.8109531612 -26734.2748052157

%COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS (ECUACIONES DIFERENCIALES)function [xr xp1 xp2 xp3 tp1]=Tarea7Ej4h=0.01;ti=0 %Condición Inicialtf=20x0=-1 %Condición Final%Eulerx=x0;i=1;for t=ti:h:tfx=x+h*f1(x,t);xp1(i)=x;tp1(i)=t;i=i+1;end%Euler Modificadox=x0;i=1;for t=ti:h:tfx_aux=x+h*f1(x,t);x=x+(h/2)*(f1(x,t)+f1(x_aux,t+h));xp2(i)=x;tp2(i)=t;i=i+1;end%Rangex=x0;i=1;for t=ti:h:tfk1=h*f1(x,t)k2=h*f1(x+0.5*k1,t+0.5*h);k3=h*f1(x+0.5*k2,t+0.5*h);k4=h*f1(x+k3,t+h);x=x+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);xp3(i)=x;tp3(i)=t;i=i+1;endtr=ti:h:tf;xr=cos(t)*(sin(t)-1); %Agregar la Solucionplot(tr,xr,'b');hold onplot(tp1,xp1,'k');plot(tp2,xp2,'r');plot(tp3,xp3,'g');legend('Analitica','Euler','Euler Modificado','Range 4to Orden')endfunction z=f1(x,t)z=cos(t)/(1/cos(t))*x;end