PROBABILIDAD I. TAREA 2.

1. Variables Aleatorias Discretas

Problema 1. Dos pelotas van a seleccionarse de manera aleatoria de una urnaque contiene 8 blancas, 4 negras, y 2 naranjas. Suponga que se ganan $2 por

cada pelota negra seleccionada y se pierde $1 por cada pelota blanca. Sea X la

variable aleatoria que denota la ganancia o perdida del juego. Calcule la funcionde masa de X.

Problema 2. Se tiran dos dados justos. Sea X el producto del resultado decada uno de los dados. Encuantre P(X = i) para i = 1, 2 . . . , 36.

Problema 3. Suponga que la funcion de distribucion de una variable aleatoriaX esta dada por:

F (x) =

0, x < 0x4, 0 x < 1

12+ x1

4, 1 x < 2

1112, 2 x < 3

1, 3 xa) Encuentre P(X = 1), i = 1, 2, 3.b) Calcule P

(12< X < 3

2

).

Problema 4. Se lanzan dos volados con dos monedas distintas. La primera

caera en aguila con probabilidad 0.6 y la segunda con 0.7. Si los resultadosde las monedas son independientes, y X denota el numero de alguilas que seobtienen, encuentre P(X = 1) y calcule E(X).

Problema 5. Sea Pk = P(X = k). Demuestre las siguientes formulas recurren-tes para estas variables aleatorias:

a) Pk+1 =(nk)p

(k+1)(1p)Pk. Si X Bin(n, p).b) Pk+1 =

k+1

Pk. Si X Poisson().

Problema 6. Sean F y G dos funciones de distribucion. Determine si lassiguientes funciones son de distribucion:

a) aF + (1 a)G, con 0 a 1,b) F +G,

Problema 7. Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de distribucionF . Demostrar las siguientes afirmaciones si son ciertas, o dar un contraejemplo

en caso de ser falsas.

a) F (x) = P(X < x) + P(X = x),b) 1 F (x) = P(X > x),

Problema 8. Si X es una variable aleatoria discreta con valores en N, entoncesdemuestre que

E(X) =k=1

P(X k) =l=0

P(X > l) .

1

PROBABILIDAD I. TAREA 2. 2

Problema 9. El numero de veces que una persona se enferma de gripe en un

ano esta dada por una variale aleatoria Poisson con parametro = 5. Unanueva medicina reduce el parametro a = 3, pero solo funciona para el %75

de la poblacion. Si un individuo prueba la medicina y se enferma 2 veces en

un ano, determine la probabilidad de que la medicina haya beneficiado a dichapersona.

Problema 10. Las personas entran a cierto casino a una tasa de 1 persona

cada 2 minutos.

a) Determine la probabilidad de que ninguna persona entre entre las 12:00y las 12:05pm.

b) Calcule la probabilidad de que al menos cuatro personas entren al casino

en el intervalo de tiempo dle inciso anterior.

Problema 11. Las familias de cierta poblacion tienen n hijos con probabilidadpn, n 1, donde (1 p)/p. Calcule la proporcion de las familias que notiene hijos.

Problema 12. Sea X una variable aleatoria Poisson de parametro . Demues-tre que

P(Xes par) =1

2

(1 + e2

).

Hint: Considere la expansion de Taylor de e + e.

Problema 13. Si X es una variable aleatoria geometrica, demueste analtica-

mente que

P(X = n+ k |X > n) = P(X = k) .De un argumento probabilstico para explicar por que la relacion es cierta.

Problema 14. Sea X una variable aleatoria Binomial Negativa con parametrosr y p, y sea Y una variable aleatoria Binomial de parametros n y p. Demuestre

queP(X > n) = P(Y < r) .

Hint: Considere una secuencia de experimentos independientes con probabilidadde exito comun p. Luego intente expresar a los eventos {X > n} y {Y < r} enterminos de los resultados de dicha secuencia.

Problema 15. Si X es una variable aleatoria Hipergeometrica, determine

P(X = k + 1) /P(X = k) .

2. Variables Aleatorias Continuas

Problema 16. Sea X una variable aletoria con funcion de densidad

f(x) =

{c(1 x2

), 1 < x < 1

0, en otro caso.

a) Calcule el valor de c.b) Calcule la funcion de distribucion de X.

Problema 17. Considere la funcion

f(x) =

{c(2x x3

), 0 < x < 5

2

0, en otro caso.

Determine si f puede ser funcion de distribucion y si es el caso, encuentre el

valor de c.

PROBABILIDAD I. TAREA 2. 3

Problema 18. Calcule E(X) si X tiene funcion de densidad dada por:a)

f(x) =

{14xex/2, x > 0

0, en otro caso.

b)

f(x) =

{c(1 x2

), 1 < x < 1

0, en otro caso.

Problema 19. La funcion de densidad de X esta dada por

f(x) =

{a+ bx2, 0 x 10, en otro caso.

Si E(X) = 35

, encuentre a y b.

Problema 20. Un punto es elegido aleatoriamente en una lnea de longitud L

y se divide en dos segmentos. Determine la probabilidad de que la proporcionde las longitudes del segmento mas pequeno y el mas grande sea menor a 1/4.

Problema 21. Si una persona llega a la parada de autobus a las 10 en punto,

y el autobus pasa en algun momento uniforme entre las 10 y las 10:30.

a) Determine la probabilidad de que la persona tenga que esperar mas de

10 minutos.b) Si a las 10:15 el autobus no ha llegado, determina la probabilidad de que

tenga que esperar 10 minutos adicionales.

Problema 22. Una persona participa en un juego de destreza donde lanza un

dardo. Si el dardo cae a una distancia menor o igual a 1cm del objetivo recibe 10puntos, si cae entre 1 y 3cm del objetivo recibe 5 puntos, y si cae entre 3 y 5cm

del objetivo recibe 3 puntos. Si la distancia de donde cae el dardo y el objetivose distribuye uniforme entre 0 y 10 encuentre el valor esperado del numero de

puntos recibidos.

Problema 23. El tiempo de vida de un foco es una variable aleatoria con

funcion de densidad

f(x) = xex,

para x 0. Encuentre la esperanza de vida de dicho foco.

Problema 24. Se va a construir una estacion de bomberos a lo largo de un ca-mino de longitud A, A

PROBABILIDAD I. TAREA 2. 4

Problema 27. Demuestre que

E(Y ) = 0

P(Y > y) dy 0

P(Y < y) dy.

Hint: Muestre que 0

P(Y < y) dy = 0

xfY (x)dx,

y que 0

P(Y > y) dy = 0

xfY (x)dx.

Problema 28. Demuestre que si X tiene funcion de densidad f entonces

E(g(X)) =

g(x)f(x)dx

Hint: Use el ejercicio 27 comenzando por mostrar que

E(g(X)) = 0

P(g(X) > y) dy 0

P(g(X) < y) dy,

y proceda usando el resultado del ejercicio 26, cuando g(X) 0.

Problema 29. Si X es una variable aleatoria exponencialcon parametro yc > 0, demuestre que cX es una variable aleatoria exponencial de parametro

/c.

Problema 30. Sea X una variable aleatoria continua con funcion de distribu-

cion F . Defina a la variable aleatoria Y = F (X). Demuestre que Y se distribuyeuniformemente en (0, 1).