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Clculo Diferencial e Integral IITarea 1: Tarea de Repaso

1. Sean A, B, y C conjuntos, demuestre las siguientes proposiciones:

(a) Si f :A ! B y h: B! Cson inyectivas, entonces h f :A ! C esinyectiva.

(b) Sif :A ! B y h: B! Cson suprayectivas, entonceshf :A ! Cessuprayectiva.

(c) Si f :A ! B y h: B! Cson biyectivas, entonces h f :A ! C esbiyectiva.

2. Demuestra que existe f : A ! B sobre, si y slo existe g : B !A inyectiva

3. Escriba la denicin de quep0 sea punto de acumulacin de un conjunto.

4. Encuentra el conjunto de puntos de acumulacin de los siguientes conjun-tos:

a) Q b) RQ c) R d) N e) Z f) [a; b] g)(a; b)5. a) Es cierto que si una sucesin converge a l entonces l es punto de

acumulacin?

b) Es cierto que si la imagen de una sucesin tiene un punto de acumu-lacin entonces la sucesion converge ?

6. Enuncia el teorema del valor intermedio, el teorema del valor medio y el

de Heine-Borel.

7. Escribe las siguientes deniciones:

a) limx!x0

f(x) = l

b)fes una funcin continua.

c)fes una funcin derivable

8. Da un ejemplo de una funcinftal que limx!x0

f(x) = l y adems:

a)x02 Domf b)x0 =2 Domf9. Demuestra o refuta con un contraejemplo lo siguiente:

a) Si limx!x0 f(x) = 1, entonces limx!x01

f(x) = 0

b) Si limx!x0

f(x) = 0 y f(x)> 0 para toda x; entonces limx!x0

1

f(x)= 1

10. Demostrar que si limx!0

f(x)

x =l yb 6= 0, entonces lim

x!0

f(bx)

x =bl:

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11. Da condiciones sucientes para que una funcinf, denida en un conjuntoD

R, alcance su valor mximo y su valor mnimo en D.

12. Sean f y g dos funciones continuas en [a; b] y tales que f(a) > g(a) yf(b)< g(b). Demostrar que existe c 2 (a; b) tal que f(c) = g(c).

13. Sea f diferenciable en D R: Demuestra que si f0(x) = 0 para todax2 D, entonces f es constante y que si f0(x) > 0 para toda x2 D,entonces fes creciente.

14. Demuestra que la funcin f(x) =p

x; denida en (0;1); es creciente.15. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a)senx cos2 x b) x+ 1

sec(x2 + 3x+ 5)

c)tan d) x2 + 3x+ 1

3p

x 2e)3x5 + 17x3 +

p2x+ 5 f)

ln(sen(exp(x))

x2 + 3x+ 5

g)arctan(cosh x)

16. Dada una funcinf, se dice que Fes una antiderivada o primitiva def siF0 =f: Encuentra TODAS las antiderivadas de las siguientes funciones:

a)cos x b)senx c)sec2 x

d)x2 e)3x3 + 2x2 + 5x f) 1x

g)6xe3x2

h)e5x i)sen2x cos x

17. Se dispone de un alambre rectilneo de longitud L , y se desea cortarlo endos trozos, construyendo con uno de ellos una circunferencia y con el otroun cuadrado. Como debe cortarse el alambre para que la suma de lasreas del crculo y el cuadrado sea mnima?

18. *Si el tiempo t se mide en minutos y un mvil se desplaza con unavelocidad dada por la formula v(t) = t metros por

minuto Qu distancia recorre el mvil durante 10 minutos?

19. *Si un cuerpo se mueve con aceleracin constantea= 2metros por minutoQu distancia recorre durante 13 minutos?

20. *Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una incli-

nacin, sobre la horizontal, de 30

. Suponiendo despreciable la prdida develocidad con el aire, calcular:

a) Cul es la altura mxima que alcanza la bala?.

b) A qu distancia del lanzamiento alcanza la altura mxima?.

c) A qu distancia del lanzamiento cae el proyectil?

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21. *Canto tiempo tarda en caer un cuerpo desde una altura de 20 metros?Desprecia la fuerza de friccin con el aire.

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