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Tareas de cálculo II Profra: Ingrid Escobedo Estrada

Primer parte - Vectores 1. Demuestre que los siguientes vectores son linealmente independientes en R4

( )1,1,1,1 −−−=a! ; 4321 342 eeeeb −++−=!

; ( )Tc 2301−=! ;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

0102

d!

2. Demuestre que el conjunto de vectores del ejercicio 1 forman una base para R4

3. Demuestre que el conjunto de vectores

v1 = 2,−3,1,3,1( ) , v2 = e1 −3e3 + e5 ,

v3 = 2 −1 0 −3 1( )T

, v4 =

1−21−12

"

#

$$$$$$

%

&

''''''

y v5 = 1,2−3, 4,−1( )

a) Son linealmente independientes. b) Forman una base para R4 c) Forman unabase para R5

4. Demuestre que cada uno de los conjuntos siguientes están formados por elementos

linealmente independientes

a) ( ){ }3)1,1,3();1,1,2(;1,1,1 RW ∈−−−−= por medio del criterio de determinantes

b) ( ){ }3)2,1,3();4,5,2(;1,1,1 RW ∈−−−−−−−= por medio del criterio de matrices

c) ( ){ }4)0,1,0,1(;)2,1,1,3();1,1,1,2(;1,1,1,1 RW ∈−−−−−−= 5. Demuestre que los conjuntos de los incisos a y b del ejercicio 4 forman una base para R3.

6. Demuestre que el conjunto del inciso c del ejercicio 4 forma una base para R4. 7. Demuestre que el conjunto del inciso a del ejercicio 4 forma una base para R3, utilizando

el criterio que establece que generan a cualquier vector en R3. 8. Demuestre que el conjunto del inciso c del ejercicio 4 forman una base para R4,

utilizando el criterio que establece que generan a cualquier vector en R4. 9. Demuestre que los vectores kjiu 42ˆ +−= ; ( )4,1,5 −=v y ( )Tw 601 −−=

! forman una base para R3

2

10. Demuestre que cada uno de los conjuntos siguientes forma una base para el espacio vectorial que se indica.

a) (1,2) ; (3,– 7) en R2

b) (1, – 4, 2); kji ++− 34 ; ( )T112 −− en R3

c) ( )T1201− ;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1122

; ( )1,1,1,1 ; 4321 3243 eeee +−− en R4

d) (1, – 4, 2); kji ++− 34 ; ( )T112 −− en R4

11. Complete los siguientes cálculos

a. ( ) ( ) ( )?,256?,23,21 −=−− b. ( ) ( ) ( )?,4,2518,5?,24?,,153 −=−−

12. Sean kjiu 22ˆ −−= y ( )1,3,1 −−=v , realizar las operaciones siguientes:

a. −8 u +2 v b. Normalice al vector u c. Normalice al vector v d. Calcule la distancia entre u y v

13. Sean ( )5,1,4 −−=u! y kjiv 243 −+−=! . Realice las operaciones que a continuación se

indican. a. u!2− b. vu !" − c. vu !! 3+− d. Normalice al vector u e. Calcule la distancia entre u y v

14. Sean kjiu 2−+=! y ( )1,3,1 −−=v y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

434

w! , realizar las operaciones siguientes:

a. −6u!+3 v! – 5 w! b. Normalice al vector u! c. Calcule la distancia entre u! y w! d. Obtenga la relación que describe a todos los puntos contenidos en el paralelogramo

formado por los vectores w! y v! 15. Dados kjiu 24 −−=! ; ( )Tv 353−=! y )5,1,2(−=w! . Realice las siguientes

operaciones:

a. u!41 b. wuv !!! 2+− c. Normalice al vector v!

3

16. El vector w tiene punto inicial (2, – 1, 3) y punto final ( – 4, 7, 5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w?, ¿Por qué?

a. kjiu −−= 43! b. )4,16,12( −=v!

17. Repita el ejercicio 12 con los siguientes vectores ( )2,1,3 −=u! y kjiv 35 −+−=! 18. Calcule la distancia del punto dado a la recta indicada

a. )2,2,3( − a )1,1,3()4,1,2()( −−+−= ttl b. )2,1,1( −− a )4,1,1()23,1()( −−+−−= ttl c. )4,5,2( − a )1,2,2()1,2,3()( −+−−= ttl

19. Un aeroplano está situado en la posición (3, 4, 5) al mediodía, y viaja con velocidad

400i+500j−k kilómetros por hora. El piloto sabe que hay un aeropuerto en la posición (23, 29, 0).

a. ¿A qué hora pasará el avión directamente sobre el aeropuerto? Suponer que la Tierra

es plana y que el vector k apunta hacia arriba. b. ¿Cuál será la altura del avión cuando pase sobre dicho aeropuerto?

20. Un avión vuela hacia el este a una rapidez con respecto al aire de 600 Km/h, encuentra un

viento de 50 Km/h que sopla hacia el noreste. Determine la dirección del avión y su rapidez con respecto a tierra.

21. Un semáforo de 200 lb soportado por dos cables cuelga en equilibro con ayuda de dos postes. Considere que el peso del semáforo se representa por W y las fuerzas en los dos cables por F1 y F2. Si W=200J, F1 = F1 cos20º( )i+ F1sen20( ) j y F2 = F2 cos15º( )i+ F2sen15( ) j

Si la condición de equilibrio queda definida por W+F1+F2 = 0, elabore un diagrama del semáforo colgando y sujetado por ambos cables y calcule las magnitudes de F1 y F2

22. Indique cuál es el punto más obvio y la dirección de la recta x1 = −3+ 2t ; x2 = 4− 2t ;

x3 = 5−3t y x4 = −2+ 5t

23. ¿Cuál es la dirección y el punto más obvio de la recta x1 = 2+9t, x2 = 5, x3 = – 4 + 11t, x4= – 6 – 10t, x5=9t ?

24. Obtenga la ecuación de la recta que:

a. Contiene al punto final del vector i y al punto final del vector ( )8,4,6−=v b. Es paralela al vector kjiu 62ˆ +−−= y contiene al punto final del vector

( )Tv 731−=!

25. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto final del vector ( )6,3,4 −−=v y que es paralela al vector kjiw 865 ++−=

26. Hallar la ecuación de la recta que cumple con las características dadas:

4

a) Contiene al punto (3, −2, 1) y es paralela al vector j b) Es paralela al vector k y contiene al punto (2,– 3, 5) c) Contiene al punto final del vector (5, −2, 1) y es paralela al vector 7i–5j+3k d) Contiene a los puntos (4, 2, −1) y (−2, 2, −3) e) Contiene al punto final del vector 4,−3,−6,2,−1( ) y al punto final del vector

−2,5, 4,−8,−10( ) 27. Hallar los puntos de intersección entre las rectas tx 23+= , ty 87 += , tz +−= 2 y

l(t) = −1,−3,3( )+ t −2,2,−2( )

28. Mostrar que todo punto sobre la recta ( ) ( )1,3,22,1,1)( ttl +−= satisface 0635 =−−− zyx 29. ¿En que punto se intersectan las rectas ( ) ( )1,2,11,1,2)( −+−= ttl y

( ) ( )2,2,23,3,1)( −−+−−= ttl ? 30. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto final del vector ( )Tu 814 −−=! y

al punto final del vector ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

475

v

31. Comprobar que se cumple la desigualdad de Cauchy – Schawarz para los vectores

( )3,3,1−−=a! y kjib 32 ++−=!

32. ¿Qué restricciones se debe tener sobre b para que el vector 2i+bj sea ortogonal a

a. 4i−2j+5k b. k c. – 3j+2k

33. Sean )2,1,1( −−=u! ; kjiv 232 −−=! y

T

w⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

111

. Realice lo que se pide en cada inciso.

a. Calcule el área del triángulo cuyos vértices están descritos por los puntos finales de los

vectores u! ; v! y w! b. Calcule la distancia del punto final del vector u! a la recta que contiene a los puntos

finales de los vectores v! y w! c. Calcule la proyección del vector v! sobre el vector w! d. Obtenga la ecuación del plano que contiene a los puntos finales de los vectores u! , v! y

w! e. Calcule la distancia del punto ( )1,5,3 −− al plano formado en el inciso d) f. Calcule el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están representadas por los

vectores u! , v! y w! g. Demuestre que los vectores v! y w! son paralelos h. Obtenga un vector ortonormal a los vectores v! y w!

34. Demuestre que la recta )4,2,3()2,2,1()( −−+−= ttl es ortogonal a la recta definida por los

puntos tx 23+= , ty 52 +−= y tz 64 +=

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35. Calcule la distancia del punto dado a la recta indicada

a. )2,2,3( − a )1,1,3()4,1,2()( −−+−= ttl b. )2,1,1( −− a )4,1,1()23,1()( −−+−−= ttl c. )4,5,2( − a )1,2,2()1,2,3()( −+−−= ttl

36. Calcule la distancia del punto (2,4,1) a la recta que es paralela al eje k y que pasa por el

origen.

37. Calcule la distancia del punto (-1,3,-5) a la recta definida por tx 23−= , ty 52 +−= y tz 64 −=

38. Obtenga el área del paralelogramo formado por los vectores (-1, 3, -4) y 4i-5j+6k 39. Calcule el área del triángulo cuyos vértices están definidos por los puntos (1,-1,2); (3,-4,5)

y (6,-3,1) 40. Obtenga la ecuación del plano que contiene a los vectores (2, 7, 0) y 3i−2j+k y al punto

(−8,5,−9) 41. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas )1,3,2()2,1,0()( −+−= ttl y

)1,3,2()0,1,2()( −+−= ttl 42. Hallar una ecuación del plano que contiene a la recta )4,2,3()2,1,1()( ttl +−= y es

perpendicular al plano 0432 =+−+ zyx 43. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,2,1( −− y es perpendicular al plano

0423 =+−− zyx