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ingeniería economica
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TASA DE RETORNO
PARA UN SOLO
PROYECTO
TIR=Tasa Interna de
Rentabilidad.
VAP=Valor Actual Neto.
VPN=Valor Presente
Neto.
TR=Tasa de Retorno.
La tasa interna de retorno o tasa interna de
rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida
como el promedio geométrico de los
rendimientos futuros esperados de dicha
inversión. Se utiliza para decidir sobre la
aceptación o rechazo de un proyecto de
inversión.
Para ello, la TIR se compara con una tasa
mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad
de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el
coste de oportunidad utilizado para comparar la
TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo).
Si la tasa de rendimiento del proyecto -
expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se
acepta la inversión; en caso contrario, se
rechaza.
CÁLCULOS DE TASA DE RETORNO
PARA UN PROYECTO ÚNICO
Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se
aplica al saldo NO pagado (insoluto) de manera que la
cantidad y el interés total del préstamo se pagan en su
totalidad con el último pago del préstamo.
Generalidades sobre la
tasa de retorno y su
cálculo.
Tasa de retorno (TR) es la tasa de
interés pagada sobre el saldo no
pagado de dinero obtenido en
préstamo, o la tasa de interés ganada
sobre el saldo no recuperado de una
inversión, de manera que el pago o
entrada final iguala exactamente a cero
el saldo con el interés considerado.
Si i= 10% anual. Ésta se expresa como un porcentaje positivo; es
decir, no se considera el hecho de que el interés pagado en un
préstamo sea en realidad una tasa de retorno negativa desde la
perspectiva del prestamista. En términos de una inversión, un
retorno de i = -100% significa que se ha perdido la cantidad
completa.
Cálculos de la tasa de retorno utilizando una
ecuación de valor presente.
Para determinar la tasa de rendimiento de una serie de flujo de
efectivo se utiliza la ecuación TR con relaciones de VP o VA.
El valor presente de los costos o desembolsos VPD se igual al
valor presente de los ingresos o recaudación VPR. En forma
equivalente, ambos pueden restarse e igualarse a cero. Es decir, se
resuelve para i usando
CALCULO DE LA TASA DE
RETORNO POR EL METODO DEL
VALOR PRESENTE
METODOLOGIA
En los cálculos de la tasa de retorno
el objetivo es hallar la tasa de
interés a la cual la suma presente y
la suma futura son equivalentes, es
decir los cálculos que se realizaran
son inversos a los cálculos hechos
anteriormente en los cuales ya
sabíamos la tasa de interés.
El objetivo es hallar la tasa de interés a la cual la suma presente y la suma futura son equivalentes.
La tasa de retorno es una expresión que simplemente iguala una suma presente de dinero con el valor presente de sumas futuras.
𝑷𝑫 = 𝑷𝑹 𝟎 = −𝑷𝑫 + 𝑷𝑹
𝑷𝑫 : Valor presente de los desembolsos. 𝑷𝑹 : Valor presente de los ingresos.
PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE
LA TASA INTERNA DE RETORNO POR EL
MÉTODO DEL VALOR PRESENTE
1.- se dibuja un diagrama de flujo de caja.
2.- se establece la ecuación de la tasa de retorno en la
forma:
𝟎 = −𝑷𝑫 + 𝑷𝑹
3.- se establece los valores de i* por ensayo y error,
hasta lograr el balance de la ecuación.
* Probablemente sea necesario
hallar i* utilizando interpolación
lineal.
Cuando se utiliza el método de ensayo y error para determinar i* el
problema es combinar los flujos de caja en el formato de solo uno de
los factores normalizados.
1. se convierte todos los desembolsos a cantidades únicas ya sea (P o F)
o cantidades uniformes (A), despreciando el valor del dinero en el
tiempo. Por ejemplo si se desea convertir un valor A F, bastara con
multiplicar A por el número de n años.
2. se convierten todos los ingresos a cantidades uniformes.
3. habiendo reducido todos los ingresos o desembolsos a cualquier
formato (P/F, P/A o A/F), se utilizan las tablas de interés para hallar la
tasa aproximada de interés para la cual el valor de (P/F, P/A o A/F),
respectivamente se satisfacen.
*Nota: recuerde que la tasa de retorno obtenida
por este procedimiento es simplemente un
estimado de la tasa real de retorno.
EJEMPLO
Si invertimos hoy s/. 20000 en un fondo en el
cual se espera que produzca s/. 400 anuales
durante 10 años haciendo un valor futuro de
s/. 30000. ¿Cual es la tasa de retorno?
*Dibujamos el diagrama de flujo de caja
S/. 20000
S/.400
i* = ? S/. 30000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
*Aplicamos la ecuación de la tasa de retorno
𝟎 = −𝑷𝑫 + 𝑷𝑹
0= -20000 + 400(P/A , i*%,10) + 30000(P/F, i*%,10)
Se establece los valores de i* por ensayo y error, hasta
lograr el balance de la ecuación. Probablemente sea
necesario hallar i* utilizando interpolación lineal.
Todos los ingresos se consideran como un solo valor futuro
F en el año 10, de manera que pueda utilizar el factor P/F.
P= S/. 20000
F=n(A) F= 10(400) + 30000 F=34000
podemos plantear que:
20000 = 34000(P/F, i*%,10 ) 0.588 = (P/F,
i*%,10)
La tasa de interés esta entre 4% y 5%. Por
consiguiente, utilizaremos i=5% en la ecuación (*).
0 = -20000 + 400(P/A,5%,10) + 30000(P/F,5%,10)
0 = -20000 + 400(( 1+ i)𝒏 − 1)/i(1+i)𝒏 + 30000(1)/ (1+i)𝒏
0 = -20000 + 400(( 1+ 𝟎. 𝟎𝟓)𝟏𝟎 − 1)/0.05(1+𝟎. 𝟎𝟓)𝟏𝟎 +
30000(1)/ (1+𝟎. 𝟎𝟓)𝟏𝟎
0= -20000 + 3088.69+18417.40
0ǂ S/. 1506.09
Estamos poco pasados por el lado positivo, lo cual
indica que los ingresos reportan mas del 5%. En
consecuencia trataremos con i=6%.
0 = -20000 + 400(P/A,6%,10) + 30000(P/F,6%,10)
0 = -20000 + 400(( 1+ i)𝒏 − 1)/i(1+i)𝒏 + 30000(1)/ (1+i)𝒏
0 = -20000 + 400(( 1+ 𝟎. 𝟎𝟔)𝟏𝟎 − 1)/0.06(1+𝟎. 𝟎𝟔)𝟏𝟎 +
30000(1)/ (1+𝟎. 𝟎𝟔)𝟏𝟎
0= -20000 + 2944.04+16751.84
0ǂ S/. -304.12
Como la tasa de interés del 6% es muy alta, interpolamos.
+1506.09 5%
0 i%
- 304.12 6%
(1506.09-0)/(1506.09+304.12)= (5-i)/(5-6)
1506.09/1810.21= (5-i)/-1
-0.83=5-i
i= 5.83%
EJEMPLO 2
Se invierten $ 10000 en una compañía minera, del
cual se espera que se produzca $200 anuales
durante 10 años y $ 14000 al final de los 10 años.
Calcule la tasa interna de retorno
431 20
i*%=?1400
0
10000
5
A=200
9876 10
De la ecuación principal
Todos los ingresos se consideran como un solo valor futuro F en el año 10
de manera que pueda usarse la ecuación:
Donde P=10000 y Fa=n*A = 10*200=2000
F= 2000+14000= 16000
i*=4.8122%
Entonces la TIR debe estar entre 4% y 5%, caso contrario se probara con una
tasa diferente
Para 5% =
Vemos que el valor es positivo y diferente de cero, eso
quiere decir que la TIR es muy baja y debe ser mayor a
5%
Entonces probamos para 6%
Hemos obtenido un valor negativo
diferente de cero, eso quiere decir que la
tasa es muy alta entonces pasamos al
proceso de
INTERPOLACION
Interpolando
6% __________________ -710.4557
I*_________________________0
5%____________________139.1325
METODO DEL
VALOR ACTUAL
NETO (VAN)
VALOR ACTUAL NETO Proviene de la expresión inglesa net presentvalue (NPV) y valor
actual neto (VAN) español
Es un método dinamico que permite calcular el valor presente
de un determinado numero de flujos a futuro originados por una
inversión
𝑉𝐴𝑁 = −𝐼 + 𝑛=1𝑁 𝑄𝑛
(1+𝑟)𝑛
Donde:
Qn = representa los flujos de caja
I = valor de desembolso incial de inversión
r= representa el tipo de interés, coste de capital, rentabilidad
exigida
N=numero de periodos considerados
Cuando el VAN toma un valor igual a 0 r pasa a llamarse TIR
REGLA DE INTERPRETACIÓN
Nótese la siguiente regla de signos: (-)
egresos, (+)ingresos
Si el VAN > 0 la inversión producirá ganancias
por encima de la rentabilidad exigida (r), por
ende el proyecto debe aceptarse
Si el VAN < 0 La inversión producirá perdidas
por encima de la rentabilidad exigida (r), por
ende el proyecto debe rechazarse
Si el VAN = 0 la inversión no producirá
ganancias ni perdidas, por ende la decisión
del proyecto se deberá basar en otros
criterios, como la obtención de un mejor
posicionamiento en el mercado u otros
factores
La dificultad mas resaltante de este método
es identificar la tasa de interés (r)
INFLACIÓN
Es el aumento generalizado y
sostenido de los precios de los
bienes y servicios existentes en el
mercado durante un tiempo
generalmente un año.
Tasa de interés real
1 + 𝐼𝑚𝑒𝑟 = 1 + 𝐼𝑟 ∗ (1 + 𝐼𝑖𝑛)
Donde:
Imer= Tasa de interés del mercado
Ir= Tasa de interés real
Tasa de interés de la inflacion
FINANCIAMIENTO DEL PROYECTO
Primer caso: el capital es invertido por los
inversionistas, los cuales pueden alternar su tasa
de ganancia (r)
Segundo caso: el capital es financiado por una
fuente de inversión, la tasa de ganancia (r) es
brindada por la fuente de inversión
Tercer caso: el capital es divido en porcentajes por
los inversionistas y la fuente de inversión, la tasa de
ganancia (r) se le denominara costo de capital
ponderado
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = (𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 ∗
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2 Una empresa minera que explotara un yacimiento metálico
por el método de cielo abierto, necesita comprar 3
cargadores frontal cada uno con un precio de 225000 u.m.,
6 camiones mineros cada uno con un precio de 320000
u.m., 2 palas neumáticas cada una con un precio de 275000
u.m., si el capital se obtendrá de la manera inversión-
financiamiento aportando los inversores el 45% del capital
y exigiendo una tasa de ganancia del 8% y la fuente de
financiamiento lo restante con un interés bancario del 6 %,
la vida útil de estos activos es de 10 años obteniéndose un
valor residual de todos los activos de 700000 u.m. Si los
flujos de caja netos anuales son +450000 u.m.
Determinar:
A) El costo de capital ponderado para utilizarlo como tasa
de corte del proyecto
B) Aplicar el método del VAN para tomar la decisión del
proyecto
PARTE A)
Datos:
Porcentaje de capital invertido = 45%
Tasa de ganancia exigida por el inversionista = 8%
Porcentaje de capital financiado = 55%
Tasa bancaria =6%
REEMPLAZANDO
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = (𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 ∗
PARTE B) DATOS
Datos:
Inversión = 3*225000+6*320000+2*275000 =
3145000 u.m.
Tasa de rendimiento minima atractiva = 6.9%
Valor residual de los activos = 700000
Vida del proyecto = 10 años
PARTE B) ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Año Flujo de efectivo Factor de descuento Valor Actual VAN
0 0 0 0 -3145000.00
1 450000 0.935453695 420954.16 -2724045.84
2 450000 0.875073616 393783.13 -2330262.71
3 450000 0.818590847 368365.88 -1961896.83
4 450000 0.765753833 344589.22 -1617307.60
5 450000 0.716327252 322347.26 -1294960.34
6 450000 0.670090975 301540.94 -993419.40
7 450000 0.626839079 282077.59 -711341.82
8 450000 0.586378932 263870.52 -447471.30
9 450000 0.548530339 246838.65 -200632.64
10 450000 0.513124732 230906.13 30273.48
10 700000 0.513124732 359187.31 389460.80
RESPUESTA: EL PROYECTO CUMPLE CON UN VAN POSITIVO
POR ENDE ES RENTABLE
TASA DE RETORNO
TASA DE RETORNO
POR EL METODO
DEL CAUE
TASA DE RETORNO POR EL
METODO DEL CAUE
Cuando se utiliza el Valor Presente Neto
(VPN) para calcular la TIR debe hacerse
tomando en cuenta el mínimo común
múltiplo de los años de vida útil de cada
alternativa, sin embargo, cuando se
hace uso del CAUE, solo es necesario
tomar en cuenta un ciclo de vida da
cada alternativa si es que las hubiera,
pues lo que importa en este caso es el
costo de un año; esto puede hacer que
en ocasiones sea de más fácil
aplicación.
TASA INTERNA DE RETORNO
Por el Método del CAUE-Un
solo proyectoFORMULAS A EMPLEAR:
Fundamento: Costos = Ingresos
CAUE = BAUE (Una
Alternativa)
Criterio de Aceptación:
Al evaluar económicamente un proyecto se
debe tener en cuenta que si la tasa mínima
requerida de rendimiento (TMRR) es menor
que la TIR del proyecto, entonces debe
aceptarse el proyecto. Esto es:
Si TMMR < TIR = Aceptar el proyecto
Si TMMR > TIR = Rechazar el proyecto
* TMRR : Tasa Mínima Requerida de Rendimiento
MÉTODOS A EMPLEAR
MÉTODO TRADICIONAL
Se analiza la formula a emplear y se realiza el
tanteo correspondiente para encontrar la tasa de
interés aproximada considerando en primer lugar
una tasa de interés 0%. Se realizan tanto tanteos
sucesivos hasta que la cantidad que se encuentre en
el lado derecho pase al lado izquierdo
MÉTODO PRÁCTICO
Se analiza la formula a emplear y luego se busca el
valor obtenido en tabla.
PROCEDIMIENTO
Paso 1: Analizar el problema
Paso 2: Graficar lo analizado o entendido considerando todos los datos einformaciones del problema e identificando la incognita a encontrar.
Paso 3: PLANTEAR la solución del problema utilizando una de las fórmulaspara hallar la TIR con una ecuación pertinente.
Paso 4: Calcular o desarrollar la ecuación realizando el primer tanteo, con i =0%.
Paso 5: Calcular la i aproximada considerando:
Si P > F, entonces TIR > i aprox.
P < F, entonces TIR < i aprox.
Paso 6: Realizar la cantidad de tanteos que el investigador o analista crea porconveniente realizar hasta que los saldos de ingresos se conviertan en saldosde costos.
Paso 7: Realizar la interpolación respectiva para hallar el valor de la TIRcorrespondiente.
Paso 7: Realizar las conclusions y recomendaciones
PROBLEMA:
METODO TRADICIONAL Una empresa minera puede utilizar distintos métodos
diferentes para la extracción de metales pesados de
un arroyo. Los costos de inversión e ingresos
asociados de uno de estos se muestran en la tabla
adjunta. Suponga que tienen una vida útil de 10 años
con el valor salvamento apreciable y que la TMRR de
la empresa es 15%. Determine si este método es
conveniente para la empresa minera , mediante la
Tasa Interna de Retorno (TIR).
CONCEPTO METODO “A”
Costo Inicial (U.S.$) 18 000
Valor Salvamento(U.S.$) 2 000
Ingreso Anual 6 000
TIR ?¡
SOLUCION:
PASO 1: Analizar el problema
PASO 2: Graficar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P = 18000
I= 6000/año
VS = 2000
MÉTODO A:
PASO 3: Plantear la solución del problema
Costo = Ingreso
CAUE = BAUE
18000 (A/P, i, 10) = 6000 + 2000 (A/F, i, 10)
PASO 4: Cálculos
Donde: i = 0%
PASO 5: Hallar iaprox
PASO 6: Realizar tanteos correspondientes
Probamos con: i = 25%
18000 (A/P, 25%, 10) = 6000 + 2000 (A/F, 25%, 10)
18000(0,2801) = 6000 + 2000 (0,0301)
0 = 1018.40 INGRESOS
18000 (A/P, 0%, 10) = 6000 + 2000 (A/F, 0%, 10)
18000 (1/10) = 6000 + 2000 (1/10)
0 = 4400.00
Hallamos:
iaprox = x 100 = 24,4%
4400
18000
P > F (VS) , entonces TIR > i aprox.
Probamos con: i = 50%
18000 (A/P, 50%, 10) = 6000 + 2000 (A/F, 50%, 10)
18000(0,5088) = 6000 + 2000 (0,0088)
3141.80 = 0COSTOS
PASO 7: Hallar el TIR Por Interpolación
1018.4 25%
0 TIR
-3141.8 50%
= 31,12%TIR = 25% + (50% - 25%) ( )1018.4
1018.4+ 3141.8
PASO 8: Realizar las conclusiones y recomendaciones
Conclusiones
Se trata de una situación en la cual se compara una
sola alternativa.
La alternativa tiene de 10 años de vida útil.
Para la comparación se ha utilizado el método TIR
tradicional.
El TIR tiene un valor de 31,1 % y el TMRR es de 15%,
por lo tanto, se Acepta el proyecto.
Recomendaciones
Se recomienda EMPLEAR este método ya que es
conveniente para la empresa minera.
Desventajas del TIR:
La TIR no permite comparar proyectos con distinta vida
útil
Si se trata de proyectos simples (un solo cambio de signo
en los flujos) habrá una sola TIR
Si hay dos o más cambios de signo pueden existir varias
tasas para las que el VAN es cero, en cuyo caso el
indicador pierde sentido.
También hay proyectos para los que no existe TIR. Por
ejemplo, cuando todos los flujos son positivos.
Problemas
Si se invierten $/ 5000 ahora en
acciones comunes, las cuales se
espera que producirán $/ 100
anuales durante 10 años y $/ 7000
al final de los 10 años. ¿Cuál es la
tasa de retorno?
Método de ensayo y error
Se procede a identificar los datos de
desembolsos (VAD) y entradas (VAR).
VAD = 5000
VAR = 100 y 7000
Luego se procede a igualar, dichos
valores con la siguiente ecuación:
VAD = VAR o 0 = - VAD + VAR
Como ya identificamos nuestros datos los transformaremos a
anualidades:
0 = -5000 (A/P, i*, 10) + 100 + 7000 (A/F, i*, 10)
0= - 5000 i 1+i n
1+i n−1+ 100
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
Primero, hacemos nuestros cálculos para i= 0:
5000 (A/P, 0, 10) = 100 + 7000 (A/F, 0, 10)
5000(1/10)=100+7000(1/10)
0= 300
Entonces, hallamos iaprox:
iaprox= 300/5000*100%= 6% aprox.
Al buscar en las tablas podemos obtener los siguientes valores, al resolver con determinadas tasas de retorno.
Para 5% tenemos un valor de 0.09009
Para 6% tenemos un valor de -0.48264
Procedemos a interpolar para obtener la tasa deseada.
𝑥−5
6−5=
0−0.09009
−0.48264−09009
𝑥−5
1=
−0.09009
−0.57273
𝑥 = 5.16%
Método de las hojas de calculo
El método del valor presente neto proporciona un criterio de decisión preciso y sencillo.
Tomar una decisión de invertir en
un proyecto implica comparar varias
alternativas de inversión.
$ 100,000.00
1
Equivalente en cero de ingreso de $ 40,000 en año 1
Equivalente en cero de ingreso de $ 90.000 en año 2
REGLA DE INTERPRETACION
Si el VAN > 0 la inversión producirá ganancias por encima de la rentabilidad exigida (r), por ende el
proyecto debe aceptarse
Si el VAN < 0 La inversión producirá perdidas por encima de la rentabilidad exigida (r), por ende el
proyecto debe rechazarse
Si el VAN = 0 la inversión no producirá ganancias ni perdidas, por ende la decisión del
proyecto se deberá basar en otros criterios, como la obtención de un mejor posicionamiento en el mercado u otros factores
PROBLEMA 2
Una empresa minera que explotara un yacimiento metálico por el método de cielo abierto, necesita comprar 3 cargadores frontal cada uno con un precio de 225000 u.m., 6 camiones mineros cada uno con un precio de 320000 u.m., 2 palas neumáticas cada una con un precio de 275000 u.m., si el capital se obtendrá de la manera inversión-financiamiento aportando los inversores el 45% del capital y exigiendo una tasa de ganancia del 8% y la fuente de financiamiento lo restante con un interés bancario del 6 %, la vida útil de estos activos es de 10 años obteniéndose un valor residual de todos los activos de 700000 u.m. Si los flujos de caja netos anuales son +450000 u.m.
Determinar:
A) El costo de capital ponderado para utilizarlo como tasa de corte del proyecto
B) Aplicar el método del VAN para tomar la decisión del proyecto
PARTE A)
Datos:
Porcentaje de capital invertido = 45%
Tasa de ganancia exigida por el inversionista = 8%
Porcentaje de capital financiado = 55%
Tasa bancaria =6%
REEMPLAZANDO
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = (𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 ∗
PARTE B) DATOS
Datos:
Inversión = 3*225000+6*320000+2*275000 = 3145000 u.m.
Tasa de rendimiento minima atractiva = 6.9%
Valor residual de los activos = 700000
Vida del proyecto = 10 años
PARTE B) ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Año Flujo de efectivo Factor de descuento Valor Actual VAN
0 0 0 0 -3145000.00
1 450000 0.935453695 420954.16 -2724045.84
2 450000 0.875073616 393783.13 -2330262.71
3 450000 0.818590847 368365.88 -1961896.83
4 450000 0.765753833 344589.22 -1617307.60
5 450000 0.716327252 322347.26 -1294960.34
6 450000 0.670090975 301540.94 -993419.40
7 450000 0.626839079 282077.59 -711341.82
8 450000 0.586378932 263870.52 -447471.30
9 450000 0.548530339 246838.65 -200632.64
10 450000 0.513124732 230906.13 30273.48
10 700000 0.513124732 359187.31 389460.80
RESPUESTA: EL PROYECTO CUMPLE CON UN VAN POSITIVO POR ENDE ES RENTABLE
