Técnicas de conteo

Principio fundamental del conteo.Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si después de efectuarlas, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y si después de efectuarlas un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en orden indicado es el producto

n1 • n2 • n3

Notación factorial:

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y lo denotamos por el símbolo n! (que se lee n factorial)n! = 1 2 3 … (n-2)(n-1)n∙ ∙ ∙Se define 0! = 1 1!= 1Ejemplos:2! = 1 2 = 2∙3! = 1 2 3 = 6∙ ∙4! = 1 2 3 4 = 24∙ ∙ ∙5! = 1 2 3 4 5 = 120∙ ∙ ∙ ∙6! = 1 2 3 4 5 6 = 720∙ ∙ ∙ ∙ ∙7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5 040∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40 320∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙9! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 362 880∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 3 628 800 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Combinaciones y PermutacionesNormalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante.

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación.

En permutaciones hay 2 tipos:Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Permutaciones

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez).Ejemplo:Consideremos el conjunto de letras { a, b, c, d }a) abcd, bacd, cbad, dcba son permutaciones de

las 4 letras tomadas todas a la vez

b) abc, bac, cab, cbd son permutaciones de las 4 letras tomadas 3 a la vez

c) ab, ba, bc, bd son permutaciones de las 4 letras tomadas 2 a la vez

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez se denota por:

P(n,r)Antes de deducir la formula general, consideremos un caso especial.

Ejemplo:Hallar el número de permutaciones de 6 objetos a, b, c, d, e, f tomados 3 a la vez

En otras palabras , hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con 6 letras.

Representamos las palabras de 3 letras por tres cajas

La primera letra puede escogerse de 6 formas diferentes, la segunda letra se puede escoger de 5 formas diferentes, la tercera letra se puede escoger de 4 formas diferentes

66 5 4

Por el principio fundamental del conteo hay 6 5 4 ∙ ∙= 120 posibles palabras de tres letras sin repetición , o hay 120 permutaciones de 6 objetos tomados 3 a la vez al mismo tiempo, esto es:

En el caso de r = n tenemos

P(n,n) = n(n-1)(n-2) … 3 2 1 = n!∙ ∙